Свойства линейно зависимых и линейно независимых столбцов матриц. Линейная зависимость строк Строки линейно зависимы

Линейная независимость строк матрицы

Дана матрица размера

Обозначим строки матрицы следующим образом:

Две строки называются равными , если равны их соответствующие элементы. .

Введем операции умножения строки на число и сложение строк как операции, проводимые поэлементно:

Определение. Строка называется линейной комбинацией строк матрицы, если она равна сумме произведений этих строк на произвольные действительные числа (любые числа):

Определение. Строки матрицы называются линейно зависимыми , если существует такие числа , не равные одновременно нулю, что линейная комбинация строк матрицы равна нулевой строке:

Где . (1.1)

Линейная зависимость строк матрицы обозначает, что хотя бы 1 строка матрицы является линейной комбинацией остальных.

Определение. Если линейная комбинация строк (1.1) равна нулю тогда и только тогда, когда все коэффициенты , то строки называются линейно независимыми .

Теорема о ранге матрицы . Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк или столбцов, через которые линейно выражаются все остальные строки (столбцы).

Теорема играет принципиальную роль в матричном анализе, в частности, при исследовании систем линейных уравнений.

6, 13,14,15,16. Векторы. Операции над векторами (сложение, вычитание, умножение на число), n -мерный вектор. Понятие о векторном пространстве и его базисе.

Вектором назевается направленный отрезок с начальной точкой А и конечной точкой В (который можно перемещать параллельно самому себе).

Векторы могут обозначаться как 2-мя прописными буквами, так и одной строчной с чертой или стрелкой.

Длиной (или модулем) вектора называется число, равное длине отрезка АВ, изображающего вектор.

Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, называют коллинеарными .

Если начало и конец вектора совпадают (), то такой вектор называется нулевым и обозначается = . Длина нулевого вектора равна нулю:

1) Произведением вектора на число :

Будет вектор, имеющий длину, направление которого совпадает с направлением вектора , если , и противоположно ему, если .

2) Противоположным вектором -называется произведение вектора -на число (-1), т.е. -=.

3) Суммой двух векторов и называется вектор , начало которого совпадает с началом вектора , а конец с концом вектора , при условии, что начало совпадает с концом . (правило треугольников). Аналогично определяется сумма нескольких векторов.

4) Разностью двух векторов и называется сумма вектора и вектора -, противоположного .

Скалярное произведение

Определение : Скалярным произведение двух векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

n-мерный вектор и векторное пространство

Определение . n-мерным вектором называется упорядоченная совокупность n действительных чисел, записываемых в виде х = (х 1 ,х 2 ,…,х n) , где х i – i -я компонента вектора х .

Понятие n-мерного вектора широко используется в экономике, например, некоторый набор товаров можно охарактеризовать вектором х = (х 1 ,х 2 ,…,х n), а соответствующие цены у = (у 1 ,у 2 ,…,у n).

- Два n-мерных вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие компоненты, т.е. х=у , если х i = у i , i = 1,2,…,n .

- Суммой двух векторов одинаковой размерности n называется вектор z = x + y , компоненты которого равны сумме соответствующих компонент слагаемых векторов, т.е. z i = x i + y i , i = 1,2,…,n .

- Произведением вектора х на действительное число называется вектор , компоненты которого равны произведению на соответствующие компоненты вектора , т.е. , i = 1,2,…,n .

Линейные операции над любыми векторами удовлетворяют следующим свойствам:

1) - коммутативное (переместительное) свойство суммы;

2) - ассоциативное (сочетательное) свойство суммы;

3) - ассоциативное относительно числового множителя свойство;

4) - дистрибутивное (распределительное) относительно суммы векторов свойство;

5) - дистрибутивное относительно суммы числовых множителей свойство;

6) Существует нулевой вектор такой, что для любого вектора (особая роль нулевого вектора);

7) Для любого вектора существует противоположный вектор такой, что ;

8) для любого вектора (особая роль числового множителя 1).

Определение . Множество векторов с действительными компонентами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющее приведенным выше восьми свойствами (рассматриваемым как аксиомы), называется векторным состоянием .

Размеренность и базис векторного пространства

Определение . Линейное пространство называется n-мерным , если в нем существует n линейно независимых векторов, а любые из векторов уже являются зависимыми. Другими словами, размерность пространства – это максимальное число содержащихся в нем линейно независимых векторов. Число n называется размерностью пространства и обозначается .

Совокупность n линейно независимых векторов n-мерного пространства называется базисом .

7. Собственные векторы и собственные значения матрицы. Характеристическое уравнение матрицы.

Определение . Вектор называется собственным вектором линейного оператора , если найдется такое число , что:

Число называется собственным значением оператора (матрицы А ), соответствующим вектору .

Можно записать в матричной форме:

Где - матрица-столбец из координат вектора , или в развернутом виде:

Перепишем систему так, чтобы в правых частях были нули:

или в матричном виде: . Полученная однородная система всегда имеет нулевое решение. Для существования ненулевого решения необходимо и достаточно, чтобы определитель системы: .

Определитель является многочленом n -й степени относительно . Этот многочлен называется характеристическим многочленом оператора или матрицы А, а полученное уравнение – характеристическим уравнением оператора или матрицы А.

Пример:

Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора , заданного матрицей .

Р е ш е н и е: Составляем характеристическое уравнение или , откуда собственное значение линейного оператора .

Находим собственный вектор , соответствующий собственному значению . Для этого решаем матричное уравнение:

Или , или , откуда находим: , или

Или .

Предположим, что , получим, что векторы , при любом являются собственными векторами линейного оператора с собственным значением .

Аналогично, вектор .

8. Система п линейных уравнений с п переменными (общий вид). Матричная форма записи такой системы. Решение системы (определение). Совместные и несовместные, определенные и неопределенные системы линейных уравнений.

Решение системы линейных уравнений с неизвестными

Системы линейных уравнений находят широкое применение в экономике.

Система линейных уравнений с переменными имеет вид:

,

где () - произвольные числа, называемые коэффициентами при переменных и свободными членами уравнений , соответственно.

Краткая запись: ().

Определение. Решением системы называется такая совокупность значений , при подстановке которых каждое уравнение системы обращается в верное равенство.

1) Система уравнений называется совместной , если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной , если она не имеет решений.

2) Совместная система уравнений называется определенной , если она имеет единственное решение, и неопределенной , если она имеет более одного решения.

3) Две системы уравнений называются равносильными (эквивалентными ) , если они имеют одно и то же множество решений (например, одно решение).

Запишем систему в матричной форме:

Обозначим: , где

А – матрица коэффициентов при переменных, или матрица системы, Х – матрица-столбец переменных, В – матрица-столбец свободных членов.

Т.к. число столбцов матрицы равно числу строк матрицы , то их произведение:

Есть матрица-столбец. Элементами полученной матрицы являются левые части начальной системы. На основании определения равенства матриц начальную систему можно записать в виде: .

Теорема Крамера . Пусть - определитель матрицы системы, а - определитель матрицы, получаемой из матрицы заменой -го столбца столбцом свободных членов. Тогда, если , то система имеет единственное решение, определяемое по формулам:

Формула Крамера.

Пример. Решить систему уравнений по формулам Крамера

Р е ш е н и е . Определитель матрицы системы . Следовательно, система имеет единственное решение. Вычислим , полученные из заменой соответственно первого, второго, третьего столбцов столбцом свободных членов:

По формулам Крамера:

9. Метод Гаусса решения системы n линейных уравнений с п переменными. Понятие о методе Жордана – Гаусса.

Метод Гаусса - метод последовательного исключения переменных.

Метод Гаусса заключается в том, что с помощью элементарных преобразований строк и перестановок столбцов система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.

Преобразования Гаусса удобно проводить не с самими уравнениями, а с расширенной матрицей их коэффициентов , получаемой приписыванием к матрице столбца свободных членов :

.

Следует отметить, что методом Гаусса можно решить любую систему уравнений вида .

Пример. Методом Гаусса решить систему:

Выпишем расширенную матрицу системы .

Шаг 1 . Поменяем местами первую и вторую строки, чтобы стал равным 1.

Шаг 2. Умножим элементы первой строки на (–2) и (–1) и прибавим их к элементам второй и третьей строк, чтобы под элементом в первом столбце образовались нули. .

Для совместных систем линейных уравнений верны следующие теоремы:

Теорема 1. Если ранг матрицы совместной системы равен числу переменных, т.е. , то система имеет единственное решение.

Теорема 2. Если ранг матрицы совместной системы меньше числа переменных, т.е. , то система является неопределенной и имеет бесконечное множество решений.

Определение. Базисным минором матрицы называется любой ненулевой минор, порядок которого равен рангу матрицы.

Определение. Те неизвестных, коэффициенты при которых входят в запись базисного минора, называются базисными (или основными), остальные неизвестных называются свободными (или неосновными).

Решить систему уравнений в случае - это значит выразить и (т.к. определитель, составленный из их коэффициентов не равен нулю ), тогда и - свободные неизвестные.

Выразим базисные переменные через свободные.

Из второй строки полученной матрицы выразим переменную :

Из первой строки выразим : ,

Общее решение системы уравнений: , .

Пусть в матрице А размеров (m; n) выбраны произвольно k строк и k столбцов (k ≤ min(m; n)). Элементы матрицы, стоящие на пересечении выбранных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу порядка k, определитель которой называется минором M kk порядка k y или минором k-го порядка матрицы A.

Рангом матрицы называется максимальный порядок r отличных от нуля миноров матрицы A, а любой минор порядка r, отличный от нуля, — базисным минором. Обозначение: rang A = r. Если rang A = rang B и размеры матриц A и Bсовпадают, то матрицы A и B называются эквивалентными. Обозначение: A ~ B.

Основными методами вычисления ранга матрицы являются метод окаймляющих миноров и метод .

Метод окаймляющих миноров

Суть метода окаймляющих миноров состоит в следующем. Пусть в матрице уже найден минор порядка k, отличный от нуля. Тогда далее рассматриваются лишь те миноры порядка k+1, которые содержат в себе (т. е. окаймляют) минорk-го порядка, отличный от нуля. Если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k, в противном случае среди окаймляющих миноров (k+1)-го порядка найдется отличный от нуля и вся процедура повторяется.

Линейная независимость строк (столбцов) матрицы

Понятие ранга матрицы тесно связано с понятием линейной независимости ее строк (столбцов).

Строки матрицы :

называют линейно зависимыми, если найдутся такие числа λ 1 , λ 2 , λ k , что справедливо равенство:

Строки матрицы A называются линейно независимыми, если вышеприведённое равенство возможно лишь в случае, когда все числа λ 1 = λ 2 = … = λ k = 0

Аналогичным образом определяется линейная зависимость и независимость столбцов матрицы A.

Если какая-либо строка (a l) матрицы A (где (a l)=(a l1 , a l2 ,…, a ln)) может быть представлена в виде

Аналогичным образом определяется понятие линейной комбинации столбцов. Справедлива следующая теорема о базисном миноре.

Базисные строчки и базисные столбцы линейно независимы. Любая строка (либо столбец) матрицы A является линейной комбинацией базисных строк (столбцов), т. е. строк (столбцов), пересекающих базисный минор. Таким образом, ранг матрицы A: rang A = k равен максимальному числу линейно независимых строк (столбцов) матрицы A.

Т.е. ранг матрицы — это размерность самой большой квадратной матрицы внутри той матрицы, для которой нужно определить ранг, для которой определитель не равен нулю. Если исходная матрица не является квадратной, либо если она квадратная, но её определитель равен нулю, то для квадратных матриц меньшего порядка строки и столбцы выбираются произвольно.

Кроме как через определители, ранг матрицы можно посчитать по числу линейно независимых строк или столбцов матрицы. Он равен количеству линейно независимых строк или столбцов в зависимости от того, чего меньше. Например, если матрица имеет 3 линейно независимых строки и 5 линейно независимых столбцов, то её ранг равняется трём.

Примеры нахождения ранга матрицы

Методом окаймляющих миноров найти ранг матрицы

Р е ш е н и е. Минор второго порядка

окаймляющий минор M 2 , также отличен от нуля. Однако оба минора четвёртого порядка, окаймляющие M 3 .

равны нулю. Поэтому ранг матрицы A равен 3, а базисным минором является, например, представленный выше минор M 3 .

Метод элементарных преобразований основан на том, что элементарные преобразования матрицы не меняют её ранга. Используя эти преобразования, можно привести матрицу к виду, когда все её элементы, кроме a 11 , a 22 , …, a rr (r ≤min (m, n)), равны нулю. Это, очевидно, означает, что rang A = r. Заметим, что если матрица n-го порядка имеет вид верхней треугольной матрицы, т. е. матрицы, у которой все элементы под главной диагональю равны нулю, то её определитесь равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали. Это свойство можно использовать при вычислении ранга матрицы методом элементарных преобразований: необходимо с их помощью привести матрицу к треугольной и тогда, выделив соответствующий определитель, найдём, что ранг матрицы равен числу элементов главной диагонали, отличных от нуля.

Методом элементарных преобразований найти ранг матрицы

Р е ш е н и е. Обозначим i-ю строку матрицы A символом α i . На первом этапе выполним элементарные преобразования

На втором этапе выполним преобразования

В результате получим

Система векторов одного и того же порядка называется линейно-зависимой, если из этих векторов путем соответствующей линейной комбинации можно получить нулевой вектор. (При этом не допускается, чтобы все коэффициенты линейной комбинации были равны нулю, так как это было бы тривиально.) В противном случае векторы называются линейно-независимыми. Например, следующие три вектора:

линейно зависимы, так как что легко проверить. В случае линейной зависимости любой вектор можно всегда выразить через линейную комбинацию остальных векторов. В нашем примере: или или Это легко проверить соответствующими расчетами. Отсюда вытекает следующее определение: вектор линейно независим от других векторов, если его нельзя представить в виде линейной комбинации из этих векторов.

Рассмотрим систему векторов, не уточняя, является ли она линейнозависимой или линейно-независимой. У каждой системы, состоящей из вектор-столбцов а, можно выявить максимально возможное число линейно-независимых векторов. Это число, обозначаемое буквой , и является рангом данной системы векторов. Так как каждую матрицу можно рассматривать как систему вектор-столбцов, ранг матрицы определяется как максимальное число содержащихся в ней линейнонезависимых вектор-столбцов. Для определения ранга матрицы пользуются и вектор-строками. Оба способа дают одинаковый результат для одной и той же матрицы, причем не может превосходить наименьшее из или Ранг квадратной матрицы порядка колеблется от 0 до . Если все векторы являются нулевыми, то ранг такой матрицы равен нулю. Если все векторы линейно независимы друг от друга, то ранг матрицы равен. Если образовать матрицу из приведенных выше векторов то ранг этой матрицы равен 2. Так как каждые два вектора могут быть сведены к третьему путем линейной комбинации, то ранг меньше 3.

Но можно убедиться, что любые два вектора из них являются-линейно-независимыми, следовательно, ранг

Квадратную матрицу называют вырожденной, если ее вектор-столбцы или вектор-строки линейно зависимы. Определитель такой матрицы равен нулю и обратной ей матрицы не существует, как уже было отмечено выше. Эти выводы эквивалентны друг другу. Вследствие этого квадратную матрицу называют невырожденной, или неособенной, если ее вектор-столбцы или вектор-строки независимы друг от друга. Определитель такой матрицы не равен нулю и обратная ей матрица существует (сравни со с. 43)

Ранг матрицы имеет вполне очевидную геометрическую интерпретацию. Если ранг матрицы равен , то говорят, что -мерное пространство натянуто на векторов. Если ранг то векторов лежат в -мерном подпространстве, которое всех их включает в себя. Итак, ранг матрицы соответствует минимально необходимой размерности пространства, «в котором содержатся все векторы», -мерное подпространство в -мерном пространстве называют -мерной гиперплоскостью. Ранг матрицы соответствует наименьшей размерности гиперплоскости, в которой еще лежат все векторы.

Рассмотрим произвольную, необязательно квадратную, матрицу А размера mxn.

Ранг матрицы.

Понятие ранга матрицы связано с понятием линейной зависимости (независимости) строк (столбцов) матрицы. Рассмотрим это понятие для строк. Для столбцов – аналогично.

Обозначим стоки матрицы А:

е 1 =(а 11 ,а 12 ,…,а 1n); е 2 =(а 21 ,а 22 ,…,а 2n);…, е m =(а m1 ,а m2 ,…,а mn)

e k =e s если a kj =a sj , j=1,2,…,n

Арифметические операции над строками матрицы (сложение, умножение на число) вводятся как операции, проводимые поэлементно: λе k =(λа k1 ,λа k2 ,…,λа kn);

e k +е s =[(а k1 +a s1),(a k2 +a s2),…,(а kn +a sn)].

Строка е называется линейной комбинацией строк е 1 , е 2 ,…,е k , если она равна сумме произведений этих строк на произвольные действительные числа:

е=λ 1 е 1 +λ 2 е 2 +…+λ k е k

Строки е 1 , е 2 ,…,е m называются линейно зависимыми , если существуют действительные числа λ 1 ,λ 2 ,…,λ m , не все равные нулю, что линейная комбинация этих строк равна нулевой строке: λ 1 е 1 +λ 2 е 2 +…+λ m е m =0 ,где0 =(0,0,…,0) (1)

Если линейная комбинация равна нулю тогда и только тогда, когда все коэффициенты λ i равны нулю (λ 1 =λ 2 =…=λ m =0), то строки е 1 , е 2 ,…,е m называются линейно независимыми.

Теорема 1 . Для того, чтобы строки е 1 ,е 2 ,…,е m были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы одна из этих строк была линейной комбинацией остальных строк.

Доказательство . Необходимость . Пусть строки е 1 , е 2 ,…,е m линейно зависимы. Пусть, для определенности в (1) λ m ≠0, тогда

Т.о. строка е m является линейной комбинацией остальных строк. Ч.т.д.

Достаточность . Пусть одна из строк, например е m , является линейной комбинацией остальных строк. Тогда найдутся числа такие, что выполняется равенство , которое можно переписать в виде ,

где хотя бы 1 из коэффициентов, (-1), не равен нулю. Т.е. строки линейно зависимы. Ч.т.д.

Определение. Минором k-го порядка матрицы А размера mxn называется определитель k-го порядка с элементами, лежащими на пересечении любых k строк и любых k столбцов матрицы А. (k≤min(m,n)). .

Пример. , миноры 1-го порядка: =, =;

миноры 2-го порядка: , 3-го порядка

У матрицы 3-го порядка 9 миноров 1-го порядка, 9 миноров 2-го порядка и 1 минор 3-го порядка (определитель этой матрицы).

Определение. Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы. Обозначение - rg A или r(A).

Свойства ранга матрицы .

1) ранг матрицы A nxm не превосходит меньшего из ее размеров, т.е.

r(A)≤min(m,n).

2) r(A)=0 когда все элементы матрицы равны 0, т.е. А=0.

3) Для квадратной матрицы А n –го порядка r(A)=n , когда А невырожденная.

(Ранг диагональной матрицы равен количеству ее ненулевых диагональных элементов).

4) Если ранг матрицы равен r, то матрица имеет хотя бы один минор порядка r, не равный нулю, а все миноры больших порядков равны нулю.

Для рангов матрицы справедливы следующие соотношения:

2) r(A+B)≤r(A)+r(B); 3) r(AB)≤min{r(A),r(B)};

3) r(A+B)≥│r(A)-r(B)│; 4) r(A T A)=r(A);

5) r(AB)=r(A), если В - квадратная невырожденная матрица.

6) r(AB)≥r(A)+r(B)-n, где n-число столбцов матрицы А или строк матрицы В.

Определение. Ненулевой минор порядка r(A) называется базисным минором . (У матрицы А может быть несколько базисных миноров). Строки и столбцы, на пересечении которых стоит базисный минор, называются соответственно базисными строками и базисными столбцами .

Теорема 2 (о базисном миноре). Базисные строки (столбцы) линейно независимы. Любая строка (любой столбец) матрица А является линейной комбинацией базисных строк (столбцов).

Доказательство . (Для строк). Если бы базисные строки были линейно зависимы, то по теореме (1) одна из этих строк была бы линейной комбинацией других базисных строк, тогда, не изменяя величины базисного минора, можно вычесть из этой строки указанную линейную комбинацию и получить нулевую строку, а это противоречит тому, что базисный минор отличен от нуля. Т.о. базисные строки линейно независимы.

Докажем, что любая строка матрицы А является линейной комбинацией базисных строк. Т.к. при произвольных переменах строк (столбцов) определитель сохраняет свойство равенства нулю, то, не ограничивая общности, можно считать, что базисный минор находится в верхнем левом углу матрицы

А=, т.е. расположен на первых r строках и первых r столбцах. Пусть 1£j£n, 1£i£m. Покажем, что определитель (r+1)-го порядка

Если j£r или i£r, то этот определитель равен нулю, т.к. у него будет два одинаковых столбца или две одинаковых строки.

Если же j>r и i>r, то этот определитель является минором (r+1)-го порядка матрицы А. Т.к. ранг матрицы равен r, значит любой минор большего порядка равен 0.

Раскладывая его по элементам последнего (добавленного) столбца, получаем

a 1j A 1j +a 2j A 2j +…+a rj A rj +a ij A ij =0, где последнее алгебраическое дополнение A ij совпадает с базисным минором М r и поэтому A ij = М r ≠0.

Разделив последнее равенство на A ij , можем выразить элемент a ij , как линейную комбинацию: , где .

Зафиксируем значение i (i>r) и получаем, что для любого j (j=1,2,…,n) элементы i-й строки e i линейно выражаются через элементы строк е 1 , е 2 ,…,е r , т.е. i-я строка является линейной комбинацией базисных строк: . Ч.т.д.

Теорема 3. (необходимое и достаточное условие равенства нулю определителя). Для того, чтобы определитель n-го порядка D был равен нулю, необходимо и достаточно, чтобы его строки (столбцы) были линейно зависимы.

Доказательство (с.40) . Необходимость . Если определитель n-го порядка D равен нулю, то базисный минор его матрицы имеет порядок r

Т.о., одна строка является линейной комбинацией других остальных. Тогда по теореме 1 строки определителя линейно зависимы.

Достаточность . Если строки D линейно зависимы, то по теореме 1 одна строка А i является линейной комбинацией остальных строк. Вычитая из строки А i указанную линейную комбинацию, не изменив величины D, получим нулевую строку. Следовательно, по свойствам определителей, D=0. ч.т.д.

Теорема 4. При элементарных преобразованиях ранг матрицы не меняется.

Доказательство . Как было показано при рассмотрении свойств определителей, при преобразованиях квадратных матриц их определители либо не изменяются, либо умножаются на ненулевое число, либо меняют знак. При этом наивысший порядок отличных от нуля миноров исходной матрицы сохраняется, т.е. ранг матрицы не изменяется. Ч.т.д.

Если r(A)=r(B), то А и В –эквивалентные: А~В.

Теорема 5. При помощи элементарных преобразований можно привести матрицу к ступенчатому виду. Матрица называется ступенчатой, если она имеет вид:

А=, где a ii ≠0, i=1,2,…,r; r≤k.

Условия r≤k всегда можно достигнуть транспонированием.

Теорема 6. Ранг ступенчатой матрицы равен количеству ее ненулевых строк.

Т.е. Ранг ступенчатой матрицы равен r, т.к. есть отличный от нуля минор порядка r:

Заметим, что строки и столбцы матрицы можно рассматривать как арифметические векторы размеров m и n , соответственно. Таким образом, матрицу размеров можно интерпретировать как совокупностьm n -мерных илиn m -мерных арифметических векторов. По аналогии с геометрическими векторами введем понятия линейной зависимости и линейной независимости строк и столбцов матрицы.

4.8.1. Определение. Строка
называетсялинейной комбинацией строк с коэффициентами
, если для всех элементов этой строки справедливо равенство:

,
.

4.8.2. Определение.

Строки
называютсялинейно зависимыми , если существует их нетривиальная линейная комбинация, равная нулевой строке, т.е. существуют такие не все равные нулю числа

,
.

4.8.3. Определение.

Строки
называютсялинейно независимыми , если только их тривиальная линейная комбинация равна нулевой строке, т.е.

,

4.8.4. Теорема. (Критерий линейной зависимости строк матрицы)

Для того, чтобы строки были линейно зависимыми, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы одна из них была линейной комбинацией остальных.

Доказательство:

Необходимость. Пусть строки
линейно зависимы, тогда существует их нетривиальная линейная комбинация, равная нулевой строке:

.

Без ограничения общности предположим, что первый из коэффициентов линейной комбинации отличен от нуля (в противном случае можно перенумеровать строки). Разделив это соотношение на , получим

,

то есть первая строка является линейной комбинацией остальных.

Достаточность. Пусть одна из строк, например, , является линейной комбинацией остальных, тогда

то есть существует нетривиальная линейная комбинация строк
, равная нулевой строке:

а значит, строки
линейно зависимы, что и требовалось доказать.

Замечание.

Аналогичные определения и утверждения могут быть сформулированы и для столбцов матрицы.

§4.9. Ранг матрицы.

4.9.1. Определение. Минором порядка матрицы размера
называется определитель порядка с элементами, расположенными на пересечении некоторых ее строк и столбцов.

4.9.2. Определение. Отличный от нуля минор порядка матрицы размера
называетсябазисным минором , если все миноры матрицы порядка
равны нулю.

Замечание. Матрица может иметь несколько базисных миноров. Очевидно, что все они будут одного порядка. Также возможен случай, когда у матрицы размера
минор порядка отличен от нуля, а миноров порядка
не существует, то есть
.

4.9.3. Определение. Строки (столбцы), образующие базисный минор, называются базисными строками (столбцами).

4.9.4. Определение. Рангом матрицы называется порядок ее базисного минора. Ранг матрицы обозначается
или
.

Замечание.

Отметим, что в силу равноправности строк и столбцов определителя ранг матрицы не меняется при ее транспонировании.

4.9.5. Теорема. (Инвариантность ранга матрицы относительно элементарных преобразований)

Ранг матрицы не меняется при ее элементарных преобразованиях.

Без доказательства.

4.9.6. Теорема. (О базисном миноре).

Базисные строки (столбцы) линейно независимы. Всякая строка (столбец) матрицы может быть представлена в виде линейной комбинации ее базисных строк (столбцов).

Доказательство:

Проведем доказательство для строк. Доказательство утверждения для столбцов может быть проведено по аналогии.

Пусть ранг матрицы размеров
равен, а
− базисный минор. Без ограничения на общность предположим, что базисный минор расположен в левом верхнем углу (в противном случае можно привести матрицу к этому виду с помощью элементарных преобразований):

.

Докажем сначала линейную независимость базисных строк. Доказательство проведем от противного. Предположим, что базисные строки линейно зависимы. Тогда согласно теореме 4.8.4 одна из строк может быть представлена в виде линейной комбинации остальных базисных строк. Следовательно, если вычесть из этой строки указанную линейную комбинацию, то мы получим нулевую строку, а это означает, что минор
равен нулю, что противоречит определению базисного минора. Таким образом, мы получили противоречие, следовательно, линейная независимость базисных строк доказана.

Докажем теперь, что всякая строка матрицы может быть представлена в виде линейной комбинации базисных строк. Если номер рассматриваемой строки от 1 доr , то тогда, очевидно, она может быть представлена в виде линейной комбинации c коэффициентом, равным 1 при строке и нулевыми коэффициентами при остальных строках. Покажем теперь, что если номер строкиот
до
, она может быть представлена в виде линейной комбинации базисных строк. Рассмотрим минор матрицы
, полученный из базисного минора
добавлением строкии произвольного столбца
:

Покажем, что данный минор
от
до
и для любого номера столбцаот 1 до.

Действительно, если номер столбца от 1 доr , то имеем определитель с двумя одинаковыми столбцами, который, очевидно, равен нулю. Если же номер столбца отr +1 до , а номер строкиот
до
, то
является минором исходной матрицы большего порядка, чем базисный минор, а это означает, что он равен нулю из определения базисного минора. Таким образом, доказано, что минор
равен нулю для любого номера строкиот
до
и для любого номера столбцаот 1 до. Разлагая его по последнему столбцу, получим:

Здесь
− соответствующие алгебраические дополнения. Заметим, что
, так как следовательно,
является базисным минором. Следовательно, элементы строкиk могут быть представлены в виде линейной комбинации соответствующих элементов базисных строк с коэффициентами, не зависящими от номера столбца :

Таким образом, мы доказали, что произвольная строка матрицы может быть представлена в виде линейной комбинации ее базисных строк. Теорема доказана.

Лекция 13

4.9.7. Теорема. (О ранге невырожденной квадратной матрицы)

Для того, чтобы квадратная матрица являлась невырожденной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы равен размеру этой матрицы.

Доказательство:

Необходимость. Пусть квадратная матрица размераn является невырожденной, тогда
, следовательно, определитель матрицы является базисным минором, т.е.

Достаточность. Пусть
тогда порядок базисного минора равен размеру матрицы, следовательно, базисным минором является определитель матрицы, т.е.
по определению базисного минора.

Следствие.

Для того, чтобы квадратная матрица была невырожденной, необходимо и достаточно, чтобы ее строки были линейно независимыми.

Доказательство:

Необходимость. Так как квадратная матрица является невырожденной, то ее ранг равен размеру матрицы
то есть определитель матрицы является базисным минором. Следовательно, по теореме 4.9.6 о базисном миноре строки матрицы являются линейно независимыми.

Достаточность. Так как все строки матрицы линейно независимы, то ее ранг не меньше размера матрицы, а значит,
следовательно, по предыдущей теореме 4.9.7 матрицаявляется невырожденной.

4.9.8. Метод окаймляющих миноров для нахождения ранга матрицы.

Заметим, что частично этот метод уже был неявно описан в доказательстве теоремы о базисном миноре.

4.9.8.1. Определение. Минор
называетсяокаймляющим по отношению к минору
, если он получен из минора
добавлением одной новой строки и одного нового столбца исходной матрицы.

4.9.8.2. Процедура нахождения ранга матрицы методом окаймляющих миноров.

Находим какой-либо текущий минор матрицы отличный от нуля.

Вычисляем все окаймляющие его миноры.

Если все они равны нулю, то текущий минор является базисным, и ранг матрицы равен порядку текущего минора.

Если среди окаймляющих миноров находится хотя бы один отличный от нуля, то он полагается текущим и процедура продолжается.

Найдем с помощью метода окаймляющих миноров ранг матрицы

.

Легко указать текущий минор второго порядка, отличный от нуля, например,

.

Вычисляем окаймляющие его миноры:

Следовательно, так как все окаймляющие миноры третьего порядка равны нулю, то минор
является базисным, то есть

Замечание. Из рассмотренного примера видно, что метод является достаточно трудоемким. Поэтому на практике гораздо чаще используется метод элементарных преобразований, речь о котором пойдет ниже.

4.9.9. Нахождение ранга матрицы методом элементарных преобразований.

На основании теоремы 4.9.5 можно утверждать, что ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях (то есть ранги эквивалентных матриц равны). Поэтому ранг матрицы равен рангу ступенчатой матрицы, полученной из исходной элементарными преобразованиями. Ранг же ступенчатой матрицы, очевидно, равен количеству ее ненулевых строк.

Определим ранг матрицы

методом элементарных преобразований.

Приведем матрицу к ступенчатому виду:

Количество ненулевых строк полученной ступенчатой матрицы равно трем, следовательно,

4.9.10. Ранг системы векторов линейного пространства.

Рассмотрим систему векторов
некоторого линейного пространства. Если она является линейно зависимой, то в ней можно выделить линейно независимую подсистему.

4.9.10.1. Определение. Рангом системы векторов
линейного пространстваназывается максимальное количество линейно независимых векторов этой системы. Ранг системы векторов
обозначается как
.

Замечание. Если система векторов линейно независима, то ее ранг равен количеству векторов системы.

Сформулируем теорему, показывающую связь понятий ранга системы векторов линейного пространства и ранга матрицы.

4.9.10.2. Теорема. (О ранге системы векторов линейного пространства)

Ранг системы векторов линейного пространства равен рангу матрицы, столбцами или строками которой являются координаты векторов в некотором базисе линейного пространства.

Без доказательства.

Следствие.

Для того, чтобы система векторов линейного пространства являлась линейно независимой, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы, столбцами или строками которой являются координаты векторов в некотором базисе, был равен количеству векторов системы.

Доказательство очевидно.

4.9.10.3. Теорема (О размерности линейной оболочки).

Размерность линейной оболочки векторов
линейного пространстваравна рангу этой системы векторов:

Без доказательства.