Butterworth filtresinin frekans tepkisi denklem ile tanımlanır.

Butterworth filtresinin özellikleri: doğrusal olmayan faz tepkisi; kutup sayısından bağımsız kesme frekansı; bir adım giriş sinyali ile geçici yanıtın salınımlı karakteri. Filtre sırası arttıkça salınım karakteri de artar.

Chebyshev filtresi

Chebyshev filtresinin frekans tepkisi denklem ile açıklanmıştır.

,

nerede T n 2 (ω/ω n ) - Chebyshev polinomu n-Sipariş.

Chebyshev polinomu özyinelemeli formül kullanılarak hesaplanır

Chebyshev filtresinin özellikleri: faz yanıtının artan tekdüzeliği; geçiş bandında dalgalı karakteristik. Filtrenin geçiş bandındaki frekans yanıtının tekdüze olmama katsayısı ne kadar yüksek olursa, geçiş bölgesindeki aynı sırayla düşüş o kadar keskin olur. Kademeli giriş sinyaline sahip geçici dalgalanma, Butterworth filtresininkinden daha güçlüdür. Chebyshev filtresinin kutuplarının Q faktörü, Butterworth filtresininkinden daha yüksektir.

Bessel filtresi

Bessel filtresinin frekans tepkisi denklemle tanımlanır.

,

nerede
;B n 2 (ω/ω cp s ) - Bessel polinomu n sıra.

Bessel polinomu, tekrarlayan formül kullanılarak hesaplanır.

Bessel filtresinin özellikleri: Gauss işleviyle yaklaşık olarak yaklaşık olarak eşitlenen frekans yanıtı ve faz yanıtı; filtrenin faz kayması frekansla orantılıdır, yani. filtrenin frekanstan bağımsız bir grup gecikme süresi vardır. Filtre kutuplarının sayısı değiştikçe kesme frekansı da değişir. Filtre yuvarlanması genellikle Butterworth ve Chebyshev'inkinden daha sığdır. Bu filtre özellikle darbe devreleri ve faza duyarlı sinyal işleme için çok uygundur.

Cauer filtresi (eliptik filtre)

Cauer filtresinin transfer fonksiyonunun genel görünümü

.

Cauer filtre özellikleri: geçiş bandında ve durdurma bandında eşit olmayan frekans yanıtı; yukarıdaki tüm filtrelerin frekans yanıtındaki en dik düşüş; diğer filtre türlerini kullanırken olduğundan daha küçük bir filtre sırası ile gerekli transfer fonksiyonlarını uygular.

Filtre sırasını tanımlama

Gerekli filtre sırası aşağıdaki formüller kullanılarak belirlenir ve en yakın tamsayı değerine yuvarlanır. Butterworth filtre siparişi

.

Chebyshev filtre sırası

.

Bessel filtresi için, sırayı hesaplamak için bir formül yoktur; bunun yerine, Bessel filtresi için filtre sırasının bir birim değerinden gecikme süresinin minimum sapmasına ve dB cinsinden kayıp düzeyine karşılık gelen tabloları sağlanır.

Bessel filtresinin sırasını hesaplarken aşağıdaki parametreler ayarlanır:

Belirli bir frekansta grup gecikme süresinin yüzde toleransı ω ω cp s ;

Filtre kazancının zayıflama seviyesi, frekansta dB olarak ayarlanabilir. ω göre normalleştirilmiş ω cp s .

Bu verilere dayanarak, Bessel filtresinin gerekli sırası belirlenir.

1. ve 2. dereceden yüksek basınçlı filtrelerin kademeli şemaları

İncirde. 12.4, 12.5, LPF aşamalarının tipik şemalarını göstermektedir.

a) B)

Pirinç. 12.4. Butterworth, Chebyshev ve Bessel'in LPF aşamaları: a - 1. sıra; B - 2. sıra

a) B)

Pirinç. 12.5. Cauer LPF basamakları: a - 1. sıra; B - 2. sıra

LPF Butterworth, Chebyshev ve Bessel 1. ve 2. dereceden transfer fonksiyonlarına genel bakış

,
.

1. ve 2. dereceden Cauer LPF'nin transfer fonksiyonlarının genel görünümü

,
.

2. derece Cauer filtresi ile notch filtresi arasındaki temel fark, Cauer filtresinin transfer fonksiyonunda frekans oranıdır. Ω s ≠ 1.

Butterworth, Chebyshev ve Bessel için LPF'leri hesaplama metodolojisi

Bu teknik tablolarda verilen katsayılara dayanmaktadır ve Butterworth, Chebyshev ve Bessel filtreleri için geçerlidir. Cauer filtreleri için hesaplama yöntemi ayrıca verilmiştir. Butterworth, Chebyshev ve Bessel için LPF'lerin hesaplanması, sıralarının belirlenmesiyle başlar. Tüm filtreler için minimum ve maksimum zayıflama ve kesme frekansı parametreleri ayarlanır. Chebyshev filtreleri için, geçiş bandındaki frekans yanıt katsayısı ve Bessel filtreleri için grup gecikme süresi ayrıca belirlenir. Daha sonra, tablolardan alınabilecek filtrenin transfer fonksiyonu belirlenir ve 1. ve 2. mertebedeki kaskadları hesaplanır, aşağıdaki hesaplama prosedürü izlenir:

Filtrenin sırasına ve türüne bağlı olarak, kademeli şemaları seçilirken, çift sıralı filtre şunlardan oluşur: n/ 2. sıranın 2 kademesi ve tek sıranın filtresi - 1. sıranın bir kademesinden ve ( n– 1) / 2. sıranın 2 kademesi;

1. dereceden kaskadını hesaplamak için:

Seçilen filtre tipi ve sırası değeri belirler B 1 1. sıra kademeli;

Ayak izini azaltarak kapasite derecesi seçilir C ve hesaplanmış r formüle göre (seçebilir ve r, ancak seçmeniz önerilir C, doğruluk nedeniyle)

;

Kazanç hesaplanır İLE de sen 1 ilişkiden belirlenen 1. dereceden kaskad

,

nerede İLE de sen- bir bütün olarak filtrenin kazancı; İLE de sen 2 , …, İLE de Un- 2. derece aşamaların büyütme faktörleri;

Amplifikasyon uygulamak için İLE de sen 1 dirençleri aşağıdaki orana göre ayarlamak gerekir

r B = R A ּ (İLE de U1 –1) .

2. derece kaskadını hesaplamak için:

İşgal edilen alanı azaltarak, kapasitelerin derecelendirmeleri seçilir C 1 = C 2 = C;

Katsayılar tablolara göre seçilir B 1 Bence ve Q pi 2. dereceden kaskadlar için;

Belirli bir kapasitör derecesinde C dirençler hesaplanır r formüle göre

;

Seçilen filtre tipi için uygun kazancı ayarlamalısınız. İLE de kullanıcı arayüzü = 3 – (1/Q pi) aşağıdaki orana göre dirençleri ayarlayarak 2. mertebenin her aşamasının

r B = R A ּ (İLE de kullanıcı arayüzü –1) ;

Bessel filtreleri için tüm kapasitörlerin derecelendirmelerini gerekli grup gecikme süresi ile çarpmak gerekir.

Sayısal IIR filtrelerinin (yani, sonsuz dürtü yanıt filtrelerinin) arkasındaki teorinin çoğu, sürekli zaman filtrelerinin nasıl hesaplanacağının anlaşılmasını gerektirir. Bu nedenle, bu bölüm Butterworth, Bessel ve Chebyshev tip I ve II filtreler dahil olmak üzere çeşitli standart analog filtre türleri için tasarım formülleri sağlayacaktır. Bu filtrelere karşılık gelen verilen karakteristikleri yaklaştırmaya yönelik yöntemlerin avantaj ve dezavantajlarının ayrıntılı bir analizi, analog filtreleri hesaplama yöntemlerine ayrılmış bir dizi çalışmada bulunabilir, bu nedenle aşağıda her birinin filtrelerinin ana özelliklerini kısaca listeleyeceğiz. analog filtrelerin katsayılarını elde etmek için gerekli hesaplanmış oranları yazın ve verin.

Ω = 1 rad / s'ye eşit bir kesme frekansına sahip normalleştirilmiş bir alçak geçiren filtre hesaplamak gerekli olsun. Kural olarak, genlik karakteristiğinin karesi yaklaşık bir fonksiyon olarak kullanılacaktır (Bessel filtresi bir istisnadır). Analog filtrenin transfer fonksiyonunun, aşağıdaki formdaki S değişkeninin rasyonel bir fonksiyonu olduğunu varsayacağız:

Alçak geçiren Butterworth filtreleri, s-düzleminde orijinde mümkün olan en düzgün genlik tepkisine sahip olmaları ile karakterize edilir. Bu, genlik karakteristiğinin orijindeki tüm mevcut türevlerinin sıfıra eşit olduğu anlamına gelir. Normalleştirilmiş (yani, 1 rad / s'lik bir kesme frekansına sahip) Butterworth filtresinin kare genlik özelliği:

nerede n - filtre sırası. Fonksiyonu (14.2) tüm S-düzlemine analitik olarak genişleterek elde ederiz.

Tüm kutuplar (14.3) birim çember üzerinde birbirinden aynı uzaklıkta bulunur. S-düzlemi ... Transfer fonksiyonunu ifade edelim. H (ler) sol yarı düzlemde bulunan kutuplar aracılığıyla S :

nerede (14.4)

Burada k = 1,2 ... ..n (14,5)

a normalizasyon sabitidir. Formüller (14.2) ve (14.5) kullanılarak, düşük geçişli Butterworth filtrelerinin çeşitli özellikleri formüle edilebilir.

Düşük Geçişli Butterworth Filtreleri Özellikleri:

1. Butterworth filtrelerinin sadece kutupları vardır (bu filtrelerin transfer fonksiyonlarının tüm sıfırları sonsuzda bulunur).

2. Ω = 1 rad / s frekansında, Butterworth filtrelerinin iletim katsayısı (yani, kesme frekansında genlik özellikleri 3 dB azalır).

3. Filtre sırası n tüm filtreyi tamamen tanımlar. Uygulamada, Butterworth filtresinin sırası genellikle belirli bir Ω t> 1 frekansında belirli bir zayıflama sağlama koşulundan hesaplanır. Ω = Ω t frekansında sağlayan filtrenin sırası.< уровень амплитудной характеристики, равный 1/А, можно найти из соотношения

Pirinç. 14.1. Analog alçak geçiren Butterworth filtresi için kutup konumları.

Pirinç. 14.2- Analog alçak geçiren Butterworth filtresinin grup gecikmesinin yanı sıra genlik ve faz özellikleri.

Örneğin, frekansta gerekli Ω t = 2 rad / s A = 100'e eşit bir zayıflama sağlayın. Ardından

yuvarlak n bir tamsayıya kadar, verilen zayıflamanın 7. dereceden Butterworth filtresini sağlayacağını bulduk.

Çözüm... Tasarım özellikleri olarak 1 / A == 0.0005 (66 dB'lik bir zayıflamaya karşılık gelir) ve Ω t = 2, alırız n== 10.97. Yuvarlama verir sayı = 11... İncirde. 14.1, hesaplanan Butterworth filtresinin kutuplarının konumunu s-düzlemi... Genlik (logaritmik ölçekte) ve faz özellikleri ile bu filtrenin grup gecikmesinin karakteristiği Şek. 14.2.

Butterworth filtresi

Butterworth Düşük Geçişli Filtre Transfer Fonksiyonu n-. sıra şu ifadeyle karakterize edilir:

Butterworth filtresinin frekans yanıtı aşağıdaki özelliklere sahiptir:

1) Herhangi bir sırayla n frekans yanıt değeri

2) kesme frekansında u = u s

LPF'nin frekans yanıtı, artan frekansla monoton olarak azalır. Bu nedenle Butterworth filtrelerine düz yanıtlı filtreler denir. Şekil 3, 1-5 dereceli Butterworth LPF'nin genlik-frekans özelliklerinin grafiklerini göstermektedir. Açıktır ki, filtre sırası ne kadar büyük olursa, ideal bir alçak geçiren filtrenin frekans yanıtı o kadar doğru olarak tahmin edilir.

Şekil 3 - 1'den 5'e kadar olan düşük geçişli Butterworth filtresi için frekans yanıtı

Şekil 4, Butterworth HPF'nin devre uygulamasını göstermektedir.

Şekil 4 - Butterworth HPF-II

Butterworth filtresinin avantajı, geçiş bandı frekanslarında en düzgün frekans yanıtı ve bastırma bandı frekanslarında neredeyse sıfıra indirgenmesidir. Butterworth filtresi, daha yüksek siparişler için frekans yanıtını koruyan tek filtredir (bastırma bandında daha dik bir roll-off hariç), diğer birçok filtre türü (Bessel filtresi, Chebyshev filtresi, eliptik filtre) farklı frekansa sahiptir. farklı siparişlerde yanıt şekilleri.

Bununla birlikte, Tip I ve II Chebyshev filtreleri veya bir eliptik filtre ile karşılaştırıldığında, Butterworth filtresi daha sığ bir yuvarlanma sahiptir ve bu nedenle durdurma bandı frekanslarında istenen özellikleri sağlamak için daha yüksek bir düzene (uygulanması daha zor olan) sahip olmalıdır. .

Chebyshev filtresi

Chebyshev filtresinin transfer fonksiyonunun modülünün karesi şu ifadeyle belirlenir:

Chebyshev polinomu nerede. Chebyshev filtresinin transfer fonksiyonunun modülü, kaybolduğu frekanslarda bire eşittir.

Chebyshev filtreleri genellikle küçük sıralı bir filtre kullanarak gerekli frekans tepkisi özelliklerini sağlamanın gerekli olduğu durumlarda, özellikle de bastırma bandından frekansların iyi bir şekilde bastırılmasının gerektiği ve geçiş bandında ve bastırma frekanslarındaki frekans tepkisinin düzgünlüğünün böyle olmadığı durumlarda kullanılır. önemli.

I ve II tip Chebyshev filtreleri vardır.

1. tür Chebyshev filtresi. Bu, Chebyshev filtrelerinin daha yaygın bir modifikasyonudur. Böyle bir filtrenin geçiş bandında, genliği dalgalanma indeksi e ile belirlenen dalgalanmalar görülebilir. Analog bir elektronik Chebyshev filtresi durumunda, sırası, uygulamasında kullanılan reaktif bileşenlerin sayısına eşittir. Karakteristiğin daha dik bir yuvarlanması, yalnızca geçiş bandında değil, aynı zamanda baskılama bandında da dalgalanmaya izin verilerek, filtrenin transfer fonksiyonuna karmaşık düzlemde jsh sanal ekseninde sıfırlar eklenerek elde edilebilir. Ancak bu, çentik bandında daha az etkili bastırma ile sonuçlanacaktır. Elde edilen filtre, Cauer filtresi olarak da bilinen eliptik bir filtredir.

Dördüncü derecenin birinci türünün Chebyshev alçak geçiren filtresi için frekans yanıtı Şekil 5'te gösterilmiştir.

Şekil 5 - Dördüncü derecenin birinci türünün Chebyshev alçak geçiren filtresi için frekans yanıtı

Bir Chebyshev tip II filtresi (ters Chebyshev filtresi), bileşen sayısında bir artışa yol açan genlik özelliğinde daha az dik bir düşüş nedeniyle bir Chebyshev tip I filtresinden daha az sıklıkla kullanılır. Geçiş bandında dalgalanma yoktur, ancak bastırma bandında bulunur.

Dördüncü derecenin ikinci türünün Chebyshev alçak geçiren filtresinin frekans yanıtı Şekil 6'da gösterilmektedir.

Şekil 6 - II türündeki Chebyshev alçak geçiren filtre için AFC

Şekil 7, I ve II sırasının Chebyshev HPF'lerinin şematik gerçekleşmelerini göstermektedir.

Şekil 7 - HPF Chebyshev: a) Sipariş veriyorum; b) II sıra

Chebyshev filtrelerinin frekans yanıtı özellikleri:

1) Geçiş bandında, frekans yanıtı eşit dalga karakterine sahiptir. (-1? U? 1) aralığında n fonksiyonun 1'e eşit maksimum değere veya eşit minimum değere ulaştığı noktalar. n tek ise, n çift ise;

2) Chebyshev filtresinin kesme frekansındaki frekans yanıtının değeri

3) At, fonksiyon monoton olarak azalır ve sıfıra yönelir.

4) Parametre e, geçiş bandındaki Chebyshev filtresinin frekans yanıtının eşitsizliğini belirler:

Butterworth ve Chebyshev filtrelerinin frekans yanıtının karşılaştırılması, Chebyshev filtresinin geçiş bandında aynı sıradaki Butterworth filtresinden daha fazla zayıflama sağladığını göstermektedir. Chebyshev filtrelerinin dezavantajı, geçiş bandındaki faz-frekans özelliklerinin doğrusal olanlardan önemli ölçüde farklı olmasıdır.

Butterworth ve Chebyshev filtreleri için, kutupların koordinatlarını ve çeşitli derecelerin transfer fonksiyonlarının katsayılarını gösteren ayrıntılı tablolar bulunmaktadır.

Filtreleri analiz ederken ve parametrelerini hesaplarken her zaman bazı standart terimler kullanılır ve en başından bunlara bağlı kalmak mantıklıdır.

Düz geçiş bandı yanıtına ve çentik bandına keskin geçişe sahip düşük geçişli bir filtre istediğinizi varsayalım. Durdurma bandındaki son eğim her zaman 6n dB / oktav olacaktır, burada n kutup sayısıdır. Kutup başına bir kapasitör (veya indüktör) gereklidir, bu nedenle kabaca konuşursak, filtrenin frekans yanıtının son devreden çıkma oranı için gereksinimler karmaşıklığını belirler.

Şimdi, 6 kutuplu bir alçak geçiren filtre kullanmaya karar verdiğinizi varsayalım. Yüksek frekanslarda 36 dB/oktavlık son bir düşüş garanti edilir. Buna karşılık, geçiş bandından durdurma bandına geçişin eğimini azaltarak, geçiş bandında en düz yanıtı sağlama anlamında filtre devresini optimize etmek artık mümkün. Öte yandan, bir miktar geçiş bandı dalgalanmasına izin vererek, geçiş bandından durdurma bandına daha dik bir geçiş elde edilebilir. Önemli olabilecek üçüncü kriter, filtrenin geçiş bandında yer alan bir spektruma sahip sinyalleri, faz kaymalarından kaynaklanan şekillerini bozmadan geçirme yeteneğini tanımlar. Yükselme süresi, aşma ve yerleşme süresi ile de ilgilenebilirsiniz.

Bu özelliklerden herhangi birini veya bunların kombinasyonlarını optimize etmek için uygun bilinen filtre tasarım teknikleri vardır. Gerçekten akıllı filtre seçenekleri yukarıda anlatıldığı gibi çalışmaz; Kural olarak, geçiş bandındaki özelliklerin gerekli tekdüzeliği ve geçiş bandı dışındaki belirli bir frekansta gerekli zayıflama ve diğer parametreler ilk önce ayarlanır. Daha sonra tüm bu gereksinimleri karşılamaya yetecek sayıda kutup ile en uygun devre seçilir. Sonraki birkaç bölüm en popüler üç filtre türünü, yani Butterworth (geçiş bandındaki en düz), Chebyshev filtresini (geçiş bandından çentiğe en dik geçiş) ve Bessel filtresini (en düz gecikme yanıtı) kapsayacaktır. Bu tür filtrelerden herhangi biri, çeşitli filtre şemaları kullanılarak uygulanabilir; bazılarını daha sonra tartışacağız.Hepsi alçak geçiren, yüksek geçiren ve bant geçiren filtreler oluşturmak için eşit derecede uygundur.

Butterworth ve Chebyshev filtreleri. Butterworth filtresi, geçiş bölgesinde düzgün yanıt pahasına elde edilen geçiş bandındaki en düz yanıtı sağlar, yani. bant genişliği ve gecikme arasında. Daha sonra gösterileceği gibi, aynı zamanda zayıf bir faz-frekans yanıtına sahiptir. Frekans yanıtı aşağıdaki formülle verilir:
U çıkışı / U girişi = 1 / 1/2,
burada n, filtrenin sırasıdır (kutup sayısı). Kutup sayısının arttırılması, Şekil 1'de gösterildiği gibi, geçiş bandı yanıtını düzleştirmeyi ve geçiş bandından bastırma bant genişliğine olan eğimi artırmayı mümkün kılar. 5.10.

Pirinç. 5.10 Alçak geçiren Butterworth filtrelerinin normalleştirilmiş özellikleri. Artan filtre sırası ile roll-off'taki artışa dikkat edin.

Bir Butterworth filtresi seçerek, mümkün olan en düz yanıt uğruna diğer her şeyi tehlikeye atıyoruz. Karakteristiği sıfır frekanstan başlayarak yatay olarak gider, bükülmesi bir kesme frekansında başlar ƒ s - bu frekans genellikle -3 dB noktasına karşılık gelir.

Çoğu uygulamada, en önemli faktör, geçiş bandı dalgalanmasının belirli bir değeri, örneğin 1 dB'yi geçmemesi gerektiğidir. Chebyshev filtresi bu gereksinimi karşılarken, tüm geçiş bandında özelliğin bir miktar eşitsizliğine izin verilir, ancak aynı zamanda bükülmesinin keskinliği büyük ölçüde artar. Chebyshev filtresi için, geçiş bandındaki kutup sayısı ve eşitsizlik ayarlanır. Artan geçiş bandı dalgalanmasına izin vermek, daha keskin bir bükülme ile sonuçlanır. Bu filtrenin frekans yanıtı aşağıdaki ilişki ile verilir.
U çıkışı / U girişi = 1 / 1/2,
burada Cn, birinci tür n derecesinin bir Chebyshev polinomudur ve ε, geçiş bandındaki özelliğin tekdüzeliğini belirleyen bir sabittir. Chebyshev filtresi, Butterworth filtresi gibi, ideal olmaktan uzak faz frekansı özelliklerine sahiptir. İncirde. 5.11, 6 kutuplu düşük geçişli Chebyshev ve Butterworth filtrelerinin özelliklerini karşılaştırma için gösterir. Kolayca görebileceğiniz gibi, ikisi de 6 kutuplu bir RC filtreden çok daha iyi.

Pirinç. 5.11. Yaygın olarak kullanılan bazı 6 kutuplu alçak geçiren filtrelerin özelliklerinin karşılaştırılması. Aynı filtrelerin özellikleri hem logaritmik (üst) hem de doğrusal (alt) ölçeklerde gösterilir. 1 - Bessel filtresi; 2 - Butterworth filtresi; 3 - Chebyshev filtresi (dalgalanma 0,5 dB).

Aslında, geçiş bandında maksimum düzeyde düz yanıt veren bir Butterworth filtresi göründüğü kadar çekici değildir, çünkü her durumda geçiş bandında bir miktar düzensizliğe katlanmak zorunda kalırsınız (bir Butterworth filtresi için bu kademeli bir düşüş olacaktır). ƒ s frekansına yaklaşırken karakteristikte ve Chebyshev filtresi için - tüm geçiş bandına dağıtılmış dalgalanma). Ek olarak, derecelendirmeleri belirli bir toleransa sahip öğelerden oluşturulan aktif filtreler, hesaplanandan farklı bir özelliğe sahip olacaktır; bu, gerçekte Butterworth filtresinin özelliği üzerinde geçiş bandında her zaman bir miktar eşitsizlik olacağı anlamına gelir. İncirde. 5.12, kapasitör kapasitansı ve direnç direnci değerlerindeki en istenmeyen sapmaların filtre karakteristiği üzerindeki etkisini gösterir.

Pirinç. 5.12. Elemanların parametrelerindeki değişikliklerin aktif filtrenin özelliği üzerindeki etkisi.

Yukarıdakilerin ışığında, Chebyshev filtresi çok rasyonel bir yapıdır. Bazen eşit dalga filtresi olarak adlandırılır, çünkü geçiş bölgesindeki özelliği, sayısı filtrenin sırası ile artan birkaç eşit boyutlu dalgalanmanın geçiş bandı üzerinde dağıtılması gerçeğinden dolayı yüksek bir dikliğe sahiptir. Nispeten küçük dalgalanma (yaklaşık 0.1 dB) ile bile Chebyshev filtresi, geçiş bölgesinde Butterworth filtresinden çok daha yüksek bir eğim sağlar. Bu farkı ölçmek için, 0,1 dB veya daha az geçiş bandı dalgalanmasına ve geçiş bandı kesme frekansından %25 farklı bir frekansta 20 dB zayıflamaya sahip bir filtreye ihtiyacınız olduğunu varsayın. Hesaplama, bu durumda 19 kutuplu bir Butterworth filtresinin veya sadece 8 kutuplu bir Chebyshev filtresinin gerekli olduğunu gösteriyor.

Geçiş bölümünün dikliğini arttırmak için geçiş bandındaki karakteristiğin dalgalanmasına katlanmanın mümkün olduğu fikri, sözde eliptik filtre (veya Cauer filtresi) fikrinde mantıksal sonucuna getirilir. ), geçiş bölümünün dikliğinin Chebyshev filtre karakteristiğinden bile daha büyük olmasını sağlamak adına hem geçiş bandında hem de bantta özelliğin dalgalanmasına izin verilen gecikme. Bir bilgisayar yardımıyla eliptik filtreler klasik Chebyshev ve Butterworth filtreleri kadar kolay bir şekilde oluşturulabilir. İncirde. 5.13, filtrenin frekans yanıtının grafik ayarını gösterir. Bu durumda (alçak geçiren filtre), geçiş bandındaki filtre kazancının (yani düzlüğün) izin verilen aralığı, özelliğin geçiş bandından çıktığı minimum frekans, özelliğin durdurma bandına geçtiği maksimum frekans ve geçiş bandındaki minimum zayıflama belirlenir.

Pirinç. 5.13. Filtrenin frekans yanıtının parametrelerinin ayarlanması.

Bessel filtreleri. Daha önce belirtildiği gibi, filtrenin frekans yanıtı onun hakkında tam bilgi sağlamaz. Düz frekans yanıtına sahip bir filtre, büyük faz kaymalarına sahip olabilir. Sonuç olarak, spektrumu geçiş bandında bulunan dalga formu filtreden geçerken bozulacaktır. Dalga biçiminin çok önemli olduğu bir durumda, bir lineer faz filtresinin (sabit zaman gecikmeli filtre) mevcut olması arzu edilir. Filtrenin frekansa karşı doğrusal bir faz kayması sağlamasını gerekli kılmak, spektrumu geçiş bandında olan bir sinyal için sabit bir gecikme süresi gerektirmeye eşdeğerdir, yani dalga biçiminde bozulma olmaz. Bir Bessel filtresi (Thomson filtresi olarak da adlandırılır), geçiş bandındaki gecikme süresinin en düz kısmına sahiptir, tıpkı bir Butterworth filtresinin en düz frekans yanıtına sahip olması gibi. Bessel filtresinin zaman alanında ne tür bir gelişme sağladığını anlamak için Şekil 2'ye bakın. 6-kutuplu Bessel ve Butterworth alçak geçiren filtreler için frekans normalleştirilmiş gecikme süresi grafiklerini gösteren 5.14. Butterworth filtresinin zayıf gecikme süresi özellikleri, darbeli sinyaller filtreden geçirildiğinde aşma etkilerine neden olur. Öte yandan, Bessel filtresinin gecikme zamanlarının sabitliği için, genlik-frekans karakteristiğinin geçiş bandı ve durdurma bandı arasında Butterworth filtresinin özelliğinden bile daha düz bir geçiş bölümüne sahip olması gerçeğiyle ödeme yapmalıdır. .

Pirinç. 5.14. 6-bant alçak geçiren Bessel (1) ve Butterworth (2) filtreleri için zaman gecikmelerinin karşılaştırılması. Bessel filtresi, zaman alanındaki mükemmel özellikleri nedeniyle, dalga biçiminde en az bozulmayı verir.

Bir Bessel filtresinin zaman alanındaki performansını iyileştirmeye çalışan, daha hızlı yükselme süresi ve daha iyi frekans yanıtı için kısmi gecikme süresi sabitliğinden ödün veren birçok farklı filtre tasarım tekniği vardır. Gauss filtresi, neredeyse Bessel filtresi kadar iyi bir faz tepkisine sahiptir, ancak geliştirilmiş geçici tepkiye sahiptir. Bir başka ilginç sınıf, geçiş bandındaki gecikme süresi eğrisinde aynı dalgalanmayı elde etmeyi mümkün kılan (Chebyshev filtresinin frekans yanıtının dalgalanmasına benzer) ve spektruma sahip sinyaller için yaklaşık olarak aynı gecikmeyi sağlayan filtrelerdir. durdurma bandı. Sabit gecikmeli filtreler oluşturmaya yönelik başka bir yaklaşım, zaman alanlı ekolayzır olarak da adlandırılan tüm geçişli filtrelerin kullanılmasıdır. Bu filtreler sabit bir frekans yanıtına sahiptir ve faz kayması özel gereksinimlere göre değiştirilebilir. Böylece, herhangi bir filtrenin, özellikle Butterworth ve Chebyshev filtrelerinin gecikme süresini eşitlemek için kullanılabilirler.

Filtrelerin karşılaştırılması. Bessel filtrelerinin geçici tepkisi hakkında önceki açıklamalara rağmen, Butterworth ve Chebyshev filtrelerine kıyasla zaman alanında hala çok iyi özelliklere sahiptir. Chebyshev filtresinin kendisi, çok uygun frekans tepkisi ile, her üç filtre tipinin de en kötü zaman alanı parametrelerine sahiptir. Butterworth filtresi, frekans ve zamanlama arasında bir denge sunar. İncirde. 5.15, daha önce gösterilen frekans yanıtı grafiklerine ek olarak, zaman alanındaki bu üç filtre türünün performans özellikleri hakkında bilgi sağlar. Bu verilere dayanarak, zaman alanındaki filtre parametrelerinin önemli olduğu durumlarda Bessel filtresinin uygulanmasının istendiği sonucuna varılabilir.

Pirinç. 5.15. 6 kutuplu alçak geçiren filtrelerin geçici rejimlerinin karşılaştırılması. Eğriler, 3 dB zayıflamanın 1 Hz'lik bir frekansa dönüştürülmesiyle normalleştirilir. 1 - Bessel filtresi; 2 - Butterworth filtresi; 3 - Chebyshev filtresi (dalgalanma 0,5 dB).

Butterworth filtresinin frekans tepkisi denklem ile tanımlanır.

Butterworth filtresinin özellikleri: doğrusal olmayan faz tepkisi; kutup sayısından bağımsız kesme frekansı; bir adım giriş sinyali ile geçici yanıtın salınımlı karakteri. Filtre sırası arttıkça salınım karakteri de artar.

Chebyshev filtresi

Chebyshev filtresinin frekans tepkisi denklem ile açıklanmıştır.

,

nerede T n 2 (ω/ω n ) - Chebyshev polinomu n-Sipariş.

Chebyshev polinomu özyinelemeli formül kullanılarak hesaplanır

Chebyshev filtresinin özellikleri: faz yanıtının artan tekdüzeliği; geçiş bandında dalgalı karakteristik. Filtrenin geçiş bandındaki frekans yanıtının tekdüze olmama katsayısı ne kadar yüksek olursa, geçiş bölgesindeki aynı sırayla düşüş o kadar keskin olur. Kademeli giriş sinyaline sahip geçici dalgalanma, Butterworth filtresininkinden daha güçlüdür. Chebyshev filtresinin kutuplarının Q faktörü, Butterworth filtresininkinden daha yüksektir.

Bessel filtresi

Bessel filtresinin frekans tepkisi denklemle tanımlanır.

,

nerede
;B n 2 (ω/ω cp s ) - Bessel polinomu n sıra.

Bessel polinomu, tekrarlayan formül kullanılarak hesaplanır.

Bessel filtresinin özellikleri: Gauss işleviyle yaklaşık olarak yaklaşık olarak eşitlenen frekans yanıtı ve faz yanıtı; filtrenin faz kayması frekansla orantılıdır, yani. filtrenin frekanstan bağımsız bir grup gecikme süresi vardır. Filtre kutuplarının sayısı değiştikçe kesme frekansı da değişir. Filtre yuvarlanması genellikle Butterworth ve Chebyshev'inkinden daha sığdır. Bu filtre özellikle darbe devreleri ve faza duyarlı sinyal işleme için çok uygundur.

Cauer filtresi (eliptik filtre)

Cauer filtresinin transfer fonksiyonunun genel görünümü

.

Cauer filtre özellikleri: geçiş bandında ve durdurma bandında eşit olmayan frekans yanıtı; yukarıdaki tüm filtrelerin frekans yanıtındaki en dik düşüş; diğer filtre türlerini kullanırken olduğundan daha küçük bir filtre sırası ile gerekli transfer fonksiyonlarını uygular.

Filtre sırasını tanımlama

Gerekli filtre sırası aşağıdaki formüller kullanılarak belirlenir ve en yakın tamsayı değerine yuvarlanır. Butterworth filtre siparişi

.

Chebyshev filtre sırası

.

Bessel filtresi için, sırayı hesaplamak için bir formül yoktur; bunun yerine, Bessel filtresi için filtre sırasının bir birim değerinden gecikme süresinin minimum sapmasına ve dB cinsinden kayıp düzeyine karşılık gelen tabloları sağlanır.

Bessel filtresinin sırasını hesaplarken aşağıdaki parametreler ayarlanır:

Belirli bir frekansta grup gecikme süresinin yüzde toleransı ω ω cp s ;

Filtre kazancının zayıflama seviyesi, frekansta dB olarak ayarlanabilir. ω göre normalleştirilmiş ω cp s .

Bu verilere dayanarak, Bessel filtresinin gerekli sırası belirlenir.

1. ve 2. dereceden yüksek basınçlı filtrelerin kademeli şemaları

İncirde. 12.4, 12.5, LPF aşamalarının tipik şemalarını göstermektedir.

a) B)

Pirinç. 12.4. Butterworth, Chebyshev ve Bessel'in LPF aşamaları: a - 1. sıra; B - 2. sıra

a) B)

Pirinç. 12.5. Cauer LPF basamakları: a - 1. sıra; B - 2. sıra

LPF Butterworth, Chebyshev ve Bessel 1. ve 2. dereceden transfer fonksiyonlarına genel bakış

,
.

1. ve 2. dereceden Cauer LPF'nin transfer fonksiyonlarının genel görünümü

,
.

2. derece Cauer filtresi ile notch filtresi arasındaki temel fark, Cauer filtresinin transfer fonksiyonunda frekans oranıdır. Ω s ≠ 1.

Butterworth, Chebyshev ve Bessel için LPF'leri hesaplama metodolojisi

Bu teknik tablolarda verilen katsayılara dayanmaktadır ve Butterworth, Chebyshev ve Bessel filtreleri için geçerlidir. Cauer filtreleri için hesaplama yöntemi ayrıca verilmiştir. Butterworth, Chebyshev ve Bessel için LPF'lerin hesaplanması, sıralarının belirlenmesiyle başlar. Tüm filtreler için minimum ve maksimum zayıflama ve kesme frekansı parametreleri ayarlanır. Chebyshev filtreleri için, geçiş bandındaki frekans yanıt katsayısı ve Bessel filtreleri için grup gecikme süresi ayrıca belirlenir. Daha sonra, tablolardan alınabilecek filtrenin transfer fonksiyonu belirlenir ve 1. ve 2. mertebedeki kaskadları hesaplanır, aşağıdaki hesaplama prosedürü izlenir:

Filtrenin sırasına ve türüne bağlı olarak, kademeli şemaları seçilirken, çift sıralı filtre şunlardan oluşur: n/ 2. sıranın 2 kademesi ve tek sıranın filtresi - 1. sıranın bir kademesinden ve ( n– 1) / 2. sıranın 2 kademesi;

1. dereceden kaskadını hesaplamak için:

Seçilen filtre tipi ve sırası değeri belirler B 1 1. sıra kademeli;

Ayak izini azaltarak kapasite derecesi seçilir C ve hesaplanmış r formüle göre (seçebilir ve r, ancak seçmeniz önerilir C, doğruluk nedeniyle)

;

Kazanç hesaplanır İLE de sen 1 ilişkiden belirlenen 1. dereceden kaskad

,

nerede İLE de sen- bir bütün olarak filtrenin kazancı; İLE de sen 2 , …, İLE de Un- 2. derece aşamaların büyütme faktörleri;

Amplifikasyon uygulamak için İLE de sen 1 dirençleri aşağıdaki orana göre ayarlamak gerekir

r B = R A ּ (İLE de U1 –1) .

2. derece kaskadını hesaplamak için:

İşgal edilen alanı azaltarak, kapasitelerin derecelendirmeleri seçilir C 1 = C 2 = C;

Katsayılar tablolara göre seçilir B 1 Bence ve Q pi 2. dereceden kaskadlar için;

Belirli bir kapasitör derecesinde C dirençler hesaplanır r formüle göre

;

Seçilen filtre tipi için uygun kazancı ayarlamalısınız. İLE de kullanıcı arayüzü = 3 – (1/Q pi) aşağıdaki orana göre dirençleri ayarlayarak 2. mertebenin her aşamasının

r B = R A ּ (İLE de kullanıcı arayüzü –1) ;

Bessel filtreleri için tüm kapasitörlerin derecelendirmelerini gerekli grup gecikme süresi ile çarpmak gerekir.