Заняття 28: Класифікація електричних фільтрів.

28.1 Визначення.

Електричним частотним фільтром називається чотириполюсник, який струми одних частот пропускає добре з малим загасанням (ослабленням 3 дБ), а струми інших частот погано з великим згасанням (30 дБ).

Діапазон частот, у яких ослаблення мало називається смугою пропускання.

Діапазон частот, у яких ослаблення велике називається смугою затримування.

Між цими смугами вводять смугу переходу.

Основною характеристикою електричних фільтрів є залежність робочого загасання частоти.

Ця характеристика називається частотною характеристикою згасання.

- частота зрізу, де робоче згасання становить 3 дБ.

- допустиме згасання, задається механічними параметрами фільтра.

- допустима частота, що відповідає допустимому загасанню.

ПП- смуга пропускання – область частот, у яких
дБ.

ПЗ – смуга затримування – область частот, у яких робоче згасання більше допустимого.

28.2 Класифікація

1
За розташуванням смуги пропускання:

а) ФНЧ – фільтр нижніх частот – пропускає низькі частоти та затримує верхні.

Застосовується в апаратурі зв'язку (телевізійні приймачі).

б
) ФВЧ – фільтр верхніх частот – пропускає високі частоти та затримує низькі.

в
) ПФ – смугові фільтри – пропускають лише певну смугу частот.

г
) ЗФ - режекторні або фільтри, що загороджують, - не пропускають тільки певну смугу частот, а інші пропускають.

2 По елементній базі:

а) фільтри LC(пасивні)

б) фільтри RC(пасивні)

в) активні фільтри ARC

г) спеціальні типи фільтрів:

П'єзоелектричні

Магнітострикційні

3 З математичного забезпечення:

а
) фільтри Баттерворт. Характеристика робочого згасання
має на частоті f=0 значення 0 а потім монотонно збільшується. У смузі пропускання має плоску характеристику – це гідність, але у смузі затримування йде круто – це недолік.

б) фільтри Чебишева. Щоб отримати крутішу характеристику використовують фільтри Чебишева, але у них у смузі пропускання з'являється «хвилястість», що є недоліком.

в) фільтри Золотарьова. Характеристика робочого згасання
у смузі пропускання має хвилястість, а смузі затримування провал характеристик.

Тема заняття 29: Фільтри НЧ та ВЧ Баттерворта.

29.1 Фнч Баттерворт.

Баттерворт запропонував таку формулу згасання:

,ДБ

де
- функція Баттерворта (нормована частота)

n-порядок фільтра

Для ФНЧ
, де - будь-яка потрібна частота

- частота зрізу, яка дорівнює

Щоб реалізувати таку характеристику, використовуються фільтри LіC.

І

ндуктивність ставлять послідовно навантаженні, оскільки
і зі зростанням збільшується
Тому струми низьких частот легко пройдуть через опір індуктивності, а струми високих частот затримаються і в навантаження не потраплять.

Конденсатор ставлять паралельно навантаженню, оскільки
тому конденсатор добре пропускає струми верхніх частот і погано нижніх. Струми верхніх частот замкнуться через конденсатор, а струми низьких частот пройдуть у навантаження.

Схема фільтра складається з LіC, що чергуються.

ФНЧ Баттерворта 3-го порядку Т-подібний

ФНЧ Баттерворт. 3-го порядку П-подібний.

План:

Вступ

• 1 Огляд
  • 1.1 Нормовані поліноми Баттерворта
  • 1.2 Максимальна гладкість
  • 1.3 Спад характеристики на високих частотах
• 2 Проектування фільтра
  • 2.1 Топологія Кауера
  • 2.2 Топологія Саллена-Кея
• 3 Порівняння з іншими лінійними фільтрами
• 4 Приклад
Література

Вступ

Фільтр Баттерворта- один із типів електронних фільтрів. Фільтри цього класу відрізняються від інших методом проектування. Фільтр Баттерворта проектується так, щоб його амплітудно-частотна характеристика була максимально гладкою частотах смуги пропускання.

Подібні фільтри були вперше описані британським інженером Стефаном Баттервортом у статті «Про теорію фільтруючих підсилювачів» (англ. На Theory of Filter Amplifiers ), в журналі Wireless Engineer 1930 року.

1. Огляд

АЧХ фільтра Баттерворта є максимально гладкою на частотах смуги пропускання і знижується практично до нуля на частотах смуги придушення. При відображенні частотного відгуку фільтра Баттерворта на логарифмічній АФЧХ амплітуда знижується до мінус нескінченності на частотах смуги придушення. У разі фільтра першого порядку АЧХ згасає зі швидкістю −6 децибел на октаву (-20 децибел на декаду) (насправді всі фільтри першого порядку незалежно від типу ідентичні та мають однаковий частотний відгук). Для фільтра Баттерворта другого порядку АЧХ загасає на -12 дБ на октаву, для фільтра третього порядку - на -18 дБ і так далі. АЧХ фільтра Баттерворта - монотонно спадна функція частоти. Фільтр Баттерворта - єдиний з фільтрів, що зберігає форму АЧХ для більш високих порядків (за винятком більш крутого спаду характеристики на смузі придушення) тоді як інші різновиди фільтрів (фільтр Бесселя, фільтр Чебишева, еліптичний фільтр) мають різні форми АЧХ при різних порядках.

У порівнянні з фільтрами Чебишева I і II типів або еліптичним фільтром, фільтр Баттерворта має більш пологий спад характеристики і тому повинен мати більший порядок (що складніше в реалізації) для того, щоб забезпечити потрібні характеристики на частотах смуги придушення. Однак фільтр Баттерворта має більш лінійну фазочастотну характеристику на частотах смуги пропускання.

АЧХ для фільтрів Баттерворта нижніх частот від 1 до 5. Нахил характеристики - 20 nдБ/декаду, де n- Порядок фільтра.

Як і для всіх фільтрів при розгляді частотних характеристик використовують фільтр нижніх частот, з якого легко можна отримати фільтр високих частот, а, увімкнувши кілька таких фільтрів послідовно - смуговий фільтр або режекторний фільтр.

Амплітудно-частотна характеристика фільтра Баттерворта-го порядку може бути отримана з передавальної функції:

Легко помітити, що для нескінченних значень АЧХ стає прямокутною функцією, і частоти нижче частоти зрізу пропускатимуться з коефіцієнтом посилення , а частоти вище частоти зрізу будуть повністю пригнічуватися. Для кінцевих значень спад показника буде пологим.

За допомогою формальної заміни представимо вираз у вигляді:

Полюси передавальної функції розташовані на колі радіуса рівновіддалено один від одного в лівій півплощині. Тобто передавальну функцію фільтра Баттерворта можна визначити лише визначенням полюсів його передавальної функції у лівій півплощині s-площини. -й полюс визначається з наступного виразу:

Передачу функцію можна записати у вигляді:

Аналогічні міркування застосовні і до цифрових фільтрів Баттерворта, з тією різницею, що співвідношення записуються не для s-площини, а для z-площини.

Знаменник цієї передавальної функції називається поліном Баттерворта.

1.1. Нормовані поліноми Баттерворта

Поліноми Баттерворта можуть записуватися в комплексній формі, як показано вище, проте зазвичай вони записуються у вигляді співвідношень з речовими коефіцієнтами (комплексно-пов'язані пари об'єднуються за допомогою множення). Нормуються поліноми за частотою зрізу: . Нормовані поліноми Баттерворта, таким чином, мають таку канонічну форму:

, - парно , - непарно

Нижче представлені коефіцієнти поліномів Баттерворта для перших восьми порядків:

Коефіцієнти поліномів 1 2 3 4 5 6 7 8

1.2. Максимальна гладкість

Прийнявши і похідна амплітудної характеристики по частоті виглядатиме таким чином:

Вона монотонно зменшується всім оскільки коефіцієнт посилення завжди позитивний. Таким чином, АЧХ фільтра Баттерворт не має пульсацій. При розкладанні амплітудної характеристики в ряд, отримаємо:

Іншими словами, всі похідні амплітудно-частотної характеристики по частоті до 2 n-ї рівні нулю, з чого випливає «максимальна гладкість».

1.3. Спад характеристики на високих частотах

Прийнявши , знайдемо нахил логарифму АЧХ на високих частотах:

У децибелах високочастотна асимптота має нахил -20 nдБ/декаду.

2. Проектування фільтра

Існує низка різних топологій фільтра, за допомогою яких реалізуються лінійні аналогові фільтри. Ці схеми відрізняються лише значеннями елементів, структура залишається незмінною.

2.1. Топологія Кауера

Топологія Кауера використовує пасивні елементи (ємності та індуктивності). Фільтр Баттеворта із заданою функцією передачі може бути побудований у формі Кауера 1 типу. k-й елемент фільтра задається співвідношенням:

; k непарно; k парно

2.2. Топологія Саллена-Кея

Топологія Саллена-Кея використовує крім пасивних також активні елементи (операційні підсилювачі та ємності). Кожен каскад схеми Саллена-Кея є частиною фільтра, математично описувану парою комплексно-сполучених полюсів. Весь фільтр виходить послідовним з'єднанням каскадів. У випадку, якщо трапляється дійсний полюс, він повинен бути реалізований окремо, зазвичай у вигляді RC-ланцюжка, і включений до загальної схеми.

Передатна функція кожного каскаду у схемі Саллена-Кея має вигляд:

Потрібно, щоб знаменник був одним із множників полінома Баттерворта. Прийнявши, отримаємо:

Останнє співвідношення дає дві невідомі, які можуть бути обрані довільно.

3. Порівняння з іншими лінійними фільтрами

Малюнок нижче показує АЧХ фільтра Баттерворта порівняно з іншими популярними лінійними фільтрами однакового (п'ятого) порядку:

З малюнка видно, що спад АЧХ фільтра Баттерворта найповільніший із чотирьох, проте він має і найгладшу АЧХ на частотах смуги пропускання.

4. Приклад

Аналоговий фільтр Баттерворта нижніх частот (топологія Кауера) з частотою зрізу з наступними номіналами елементів: фарад, ом та генрі.

Логарифмічний графік густини передавальної функції H(s) на площині комплексного аргументу для фільтра Баттерворта третього порядку з частотою зрізу. Три полюси лежать на колі одиничного радіусу у лівій півплощині.

Розглянемо аналоговий низькочастотний фільтр Баттерворта третього порядку з фарадом, ом, і генрі. Позначивши повний опір ємностей Cяк 1/Csта повний опір індуктивностей Lяк Ls, Де - комплексна змінна, і використовуючи рівняння для розрахунку електричних схем, отримаємо наступну передатну функцію для такого фільтра:

АЧХ задається рівнянням:

а ФЧХ задається рівнянням:

Групова затримка визначається як мінус похідна фази кругової частоти і є мірою спотворень сигналу по фазі на різних частотах. Логарифмічна АЧХ такого фільтра немає пульсацій ні смузі пропускання, ні смузі придушення.

Графік модуля передавальної функції на комплексній площині ясно вказує на три полюси у лівій півплощині. Передавальна функція повністю визначається розташуванням цих полюсів на одиничному колі симетрично щодо дійсної осі.

Замінивши кожну індуктивність ємністю, а ємності індуктивностями, отримаємо високочастотний фільтр Баттерворта.

І групова затримка фільтра Баттерворта третього порядку із частотою зрізу

Література

• В.А. ЛукасТеорія автоматичного керування. - M: Надра, 1990.
• Б.Х. КривицькийДовідник з теоретичних основ радіоелектроніки. – М.: Енергія, 1977.
• Miroslav D. Lutovac Filter Design for Signal Processing using MATLAB© and Mathematica©. - New Jersey, USA.: Prentice Hall, 2001. - ISBN 0-201-36130-2
• Richard W. Daniels Approximation Methods for Electronic Filter Design. - New York: McGraw-Hill, 1974. - ISBN 0-07-015308-6
• Steven W. Smith The Scientist and Engineer's Guide до Digital Signal Processing. - Second Edition. - San-Diego: California Technical Publishing, 1999. - ISBN 0-9660176-4-1
• Britton C. Rorabaugh Approximation Methods for Electronic Filter Design. - New York: McGraw-Hill, 1999. - ISBN 0-07-054004-7
• B. Widrow, S.D. Stearns Adaptive Signal Processing. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1985. - ISBN 0-13-004029-0
• S. Haykin Adaptive Filter Theory. - 4rd Edition. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 2001. - ISBN 0-13-090126-1
• Michael L. Honig, David G. Messerschmitt Adaptive Filters - Structures, Algorithms, and Applications. - Hingham, MA: Kluwer Academic Publishers, 1984. - ISBN 0-89838-163-0
• J.D. Markel, AH. Gray, Jr. Linear Prediction of Speech. - New York: Springer-Verlag, 1982. - ISBN 0-387-07563-1
• L.R. Rabiner, RW. Schafer Digital Processing of Speech Signals. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1978. - ISBN 0-13-213603-1
• Richard J. Higgins Digital Signal Processing в VLSI. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1990. - ISBN 0-13-212887-X
• A. V. Oppenheim, R. W. Schafer Digital Signal Processing. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1975. - ISBN 0-13-214635-5
• L. R. Rabiner, B. Gold Theory and Application of Digital Signal Processing. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1986. - ISBN 0-13-914101-4
• John G. Proakis, Dimitris G. Manolakis Introduction to Digital Signal Processing. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1988. - ISBN 0-02-396815-X

ПЕРЕТВОРЕННЯ ЧАСТОТНИХ ВЛАСТИВОСТЕЙ ЦФ (ФНЧ --> ФНЧ1)

ПЕРЕТВОРЕННЯ ЧАСТОТНИХ ВЛАСТИВостей ЦФ (ФНЧ --> ФВЧ)

ПЕРЕТВОРЕННЯ ЧАСТОТНИХ ВЛАСТИВостей ЦФ (ФНЧ --> ПФ)

ПЕРЕТВОРЕННЯ ЧАСТОТНИХ ВЛАСТИВостей ЦФ (ФНЧ --> РФ)

Фільтр Баттерворта 4 порядку

ПЕРЕТВОРЕННЯ ЧАСТОТНИХ ВЛАСТИВОСТЕЙ ЦФ (ФНЧ --> ФНЧ1)

ПЕРЕТВОРЕННЯ ЧАСТОТНИХ ВЛАСТИВостей ЦФ (ФНЧ --> ФВЧ)

ПЕРЕТВОРЕННЯ ЧАСТОТНИХ ВЛАСТИВостей ЦФ (ФНЧ --> ПФ)

ПЕРЕТВОРЕННЯ ЧАСТОТНИХ ВЛАСТИВостей ЦФ (ФНЧ --> РФ)

Фільтр Чебишева 3 порядку

ПЕРЕТВОРЕННЯ ЧАСТОТНИХ ВЛАСТИВОСТЕЙ ЦФ (ФНЧ --> ФНЧ1)

ПЕРЕТВОРЕННЯ ЧАСТОТНИХ ВЛАСТИВостей ЦФ (ФНЧ --> ФВЧ)

ПЕРЕТВОРЕННЯ ЧАСТОТНИХ ВЛАСТИВостей ЦФ (ФНЧ --> ПФ)

ПЕРЕТВОРЕННЯ ЧАСТОТНИХ ВЛАСТИВостей ЦФ (ФНЧ --> РФ)

Фільтр Чебишева 4 порядку

ПЕРЕТВОРЕННЯ ЧАСТОТНИХ ВЛАСТИВОСТЕЙ ЦФ (ФНЧ --> ФНЧ1)

ПЕРЕТВОРЕННЯ ЧАСТОТНИХ ВЛАСТИВостей ЦФ (ФНЧ --> ФВЧ)

ПЕРЕТВОРЕННЯ ЧАСТОТНИХ ВЛАСТИВостей ЦФ (ФНЧ --> ПФ)

ПЕРЕТВОРЕННЯ ЧАСТОТНИХ ВЛАСТИВостей ЦФ (ФНЧ --> РФ)

Фільтр Бесселя 3 порядку

ПЕРЕТВОРЕННЯ ЧАСТОТНИХ ВЛАСТИВОСТЕЙ ЦФ (ФНЧ --> ФНЧ1)

ПЕРЕТВОРЕННЯ ЧАСТОТНИХ ВЛАСТИВостей ЦФ (ФНЧ --> ФВЧ)

ПЕРЕТВОРЕННЯ ЧАСТОТНИХ ВЛАСТИВостей ЦФ (ФНЧ --> ПФ)

ПЕРЕТВОРЕННЯ ЧАСТОТНИХ ВЛАСТИВостей ЦФ (ФНЧ --> РФ)

Фільтр Бесселя 4 порядку

ПЕРЕТВОРЕННЯ ЧАСТОТНИХ ВЛАСТИВОСТЕЙ ЦФ (ФНЧ --> ФНЧ1)

ПЕРЕТВОРЕННЯ ЧАСТОТНИХ ВЛАСТИВостей ЦФ (ФНЧ --> ФВЧ)

ПЕРЕТВОРЕННЯ ЧАСТОТНИХ ВЛАСТИВостей ЦФ (ФНЧ --> ПФ)

ПЕРЕТВОРЕННЯ ЧАСТОТНИХ ВЛАСТИВостей ЦФ (ФНЧ --> РФ)

Провести аналіз впливу помилок завдання коефіцієнтів цифрового ФНЧ на АЧХ (змінюючи один із коефіцієнтів b j). Описати характер зміни ЧХ. Зробити висновок вплив зміни одного з коефіцієнтів на поведінку фільтра.

Аналіз впливу помилок завдання коефіцієнтів цифрового ФНЧ на АЧХ проведемо з прикладу фільтра Бесселя 4 порядку.

Виберемо величину відхилення коефіцієнтів ε, що дорівнює –1,5%, щоб максимальне відхилення АЧХ становило близько 10%.

АЧХ "ідеального" фільтра та фільтрів зі зміненими коефіцієнтами на величину ε показана на малюнку:

І

з малюнка видно, що найбільший вплив на АЧХ має зміна коефіцієнтів b 1 і b 2 (їх величина перевищує величину інших коефіцієнтів). Використовуючи негативну величину, відзначаємо, що позитивні коефіцієнти зменшують амплітуду в нижній частині спектру, а негативні – збільшують. За позитивної величини ε, все відбувається навпаки.

Проквантувати коефіцієнти цифрового фільтра таке число двійкових розрядів, щоб максимальне відхилення АЧХ від вихідної становило близько 10 - 20%. Замалювати АЧХ та описати характер її зміни.

Змінюючи кількість розрядів дробової частини коефіцієнтів b jвідзначимо, що максимальне відхилення АЧХ від вихідної, що не перевищує 20%, виходить приn≥3.

Вид АЧХ при різних nнаведено на малюнках:

n =3, максимальне відхилення АЧХ=19,7%

n =4, максимальне відхилення АЧХ=13,2%

n =5, максимальне відхилення АЧХ=5,8%

n =6, максимальне відхилення АЧХ=1,7%

Таким чином, можна відзначити, що збільшення розрядності при квантуванні коефіцієнтів фільтра призводить до того, що АЧХ фільтра все більше прагне вихідної. Однак необхідно зазначити, що це ускладнює фізичну реалізацію фільтра.

Квантування за різних nможна простежити за малюнком:

Інститут кольорових металів та золота СФУ

Кафедра автоматизації виробничих процесів

Типи фільтрів  ФНЧ Баттерворт  ФНЧ Чебишева I типу  Мінімальний порядок фільтру  ФНЧ із МОС 

 ФНЧ на ІНУН  Біквадратні ФНЧ  Налаштування фільтрів 2 порядку  ФНЧ непарного порядку 

 ФНЧ Чебишева II типу  Еліптичні ФНЧ  Еліптичні ФНЧ на ІНУН  Еліптичні ФНЧ на 3 конденсаторах  Біквадратні еліптичні ФНЧ  Налаштування ФНЧ Чебишева II типу та еліптичних 

 Налаштування фільтрів 2 порядку  Всепропускні фільтри  Моделювання ФНЧ  Створення схем 

 Розрахунок перехідних х-к  Розрахунок частотних х-к  Виконання роботи  Контрольні питання 

Лабораторна робота №1

”Вивчення фільтрації сигналів у середовищі Micro-Cap 6/7”

Мета роботи

1. Вивчити основні типи та характеристики фільтрів

2. Дослідити моделювання фільтрів серед Micro-Cap 6.

3. Дослідити характеристики активних фільтрів у середовищі Micro-Cap 6

Теоретичні відомості

1. Типи та характеристики фільтрів

Фільтрування сигналів відіграє у цифрових системах управління. Вони фільтри використовуються усунення випадкових помилок виміру (накладання сигналів перешкод, шумів) (рис. 1.1). Розрізняють апаратну (схемну) та цифрову (програмну) фільтрацію. У першому випадку використовують електронні фільтри з пасивних та активних елементів, у другому випадку застосовують різні програмні методи виділення та усунення перешкод. Апаратна фільтрація застосовується в модулях УСО (пристроїв зв'язку з об'єктом) контролерів та розподілених систем збору даних та управління.

Цифрова фільтрація використовується в ПВМ верхнього рівня АСУ ТП. У цьому роботі докладно розглядаються питання апаратної фільтрації.

Розрізняють такі типи фільтрів:

фільтри нижніх частот - ФНЧ (пропускають низькі частоти та затримують високі частоти);

фільтри верхніх частот (пропускають високі частоти та затримують низькі частоти);

полосно-пропускаючі фільтри (пропускають смугу частот і затримують частоти, розташовані вище та нижче цієї смуги);

полосно-загороджувальні фільтри (які затримують смугу частот і пропускають частоти, розташовані вище та нижче цієї смуги).

Передатна функція (ПФ) фільтра має вигляд:

де ½ Н(j w)½- модульПФ чи АЧХ; j (w) - ФЧХ; w - кутова частота (рад/с), пов'язана з частотою f (Гц) співвідношенням w = 2p f.

П Ф реалізованого фільтра має вигляд

де аі b - постійні величини, а т , n = 1, 2, 3 ... (m £ n).

Ступінь полінома знаменника nвизначає порядок фільтру. Чим він вищий, тим краще АЧХ, але складніша схема, а вартість вища.

Діапазони або смуги частот, в яких сигнали проходять, - це смуги пропускання і значення АЧХ ½ Н(j w)½ велике, а в ідеальному випадку постійно. Діапазони частот, у яких сигнали придушуються, - це смуги затримування й у них значення АЧХ мало, а ідеальному разі дорівнює нулю.

АЧХ реальних фільтрів відрізняються від теоретичних АЧХ. Для ФНЧ ідеальна та реальна АЧХ наведено на рис. 1.6.

У реальних фільтрах смуга пропускання - це діапазон частот (0 -  c), де значення АЧХ більше за задану величину А 1 . Смуга затримування - це діапазон частот ( 1 -∞), в якому АЧХ менше значення - A 2 . Інтервал частот переходу від смуги пропускання до смуги затримання ( c - 1) називають перехідною областю.

Найчастіше для характеристики фільтрів замість амплітуди використовують загасання. Згасання у децибелах (дБ) визначають за формулою

Значення амплітуди А = 1 відповідає загасання a= 0. Якщо A 1 = A/
= 1/= 0,707, то згасання на частоті w c:

Ідеальна та реальна характеристики ФНЧ з використанням загасання наведено на рис. 1.7.

Рис. 1.8. ФНЧ ( а) та його АЧХ ( б)

Пасивні фільтри (рис. 1.8, 1.9) створюються на основі пасивних R, L, C елементів.

На низьких частотах (нижче 0,5 МГц) параметри котушок індуктивності незадовільні: великі розміри та відхилення характеристик від ідеальних. Котушки індуктивності погано пристосовані для інтегрального виконання. Найпростіший фільтр низьких частот (ФНЧ) та його АЧХ показані на рис. 1.8.

Активні фільтри створюються на основі R, C елементів та активних елементів - операційних підсилювачів (ОУ). ОУ повинні мати: високий коефіцієнт посилення (у 50 разів більший, ніж у фільтра); високу швидкість наростання вихідної напруги (до 100-1000 В/мкс).

Рис. 1.9. Т- та П-подібні ФНЧ

Активні ФНЧ першого та другого порядків наведено на рис. 1.10 – 1.11. Побудова фільтрів n-го порядку здійснюється каскадним з'єднанням ланок N 1 , N 2 , ... , N m з ПФ Н 1 (s), H 2 (s), ..., Н m ( s).

Фільтр парного порядку з п > 2 містить n/2 ланок другого порядку, з'єднаних каскадно. Фільтр непарного порядку з п > 2 містить ( п – 1)/2 ланок другого порядку та одна ланка першого порядку.

Для фільтрів першого порядку ПФ

де Ві З -постійні числа; P(s) - поліном другого або меншого ступеня.

У ФНЧ максимальне згасання у смузі пропускання a 1 не перевищує 3 дБ, а згасання у смузі затримування a 2 знаходиться в межах від 20 до 100 дБ. Коефіцієнт посилення ФНЧ це значення його передавальної функції при s = 0 чи значення його АЧХ при w = 0 , тобто . дорівнює А.

Розрізняють такі типи ФНЧ:

Баттерворта- мають монотонну АЧХ (рис. 1.12);

Чебишева (типу I) - АЧХ містить пульсації у смузі пропускання та монотонна у смузі затримування (рис. 1.13);

інверсні Чебишева(Типу II) - АЧХ монотонна в смузі пропускання і має пульсації в смузі затримування (рис. 1.14);

еліптичні - АЧХ має пульсації як у смузі пропускання, і у смузі затримування (рис. 1.15).

Фільтр Баттерворта НЧ n-го порядку має АЧХ такого виду

ПФ фільтра Баттерворта як поліноміального фільтра дорівнює

Для п = 3, 5, 7 ПФ нормованогофільтра Баттерворта дорівнює

де параметри e та До -постійні числа, а З п- поліном Чебишева першого ступеня п, рівний

Розмах Rр можна зменшити, обравши значення параметра досить малим.

Мінімально допустиме згасання в смузі пропускання - постійний розмах пульсацій - виявляється у децибелах як

.

ПФ фільтрів НЧ Чебишева та Баттерворта ідентичні за формою та описуються виразами (1.15) – (1.16). АЧХ фільтра Чебишева краще за АЧХ фільтра Баттерворта такого ж порядку, тому що у першого вже ширина перехідної області. Однак у фільтра Чебишева ФЧХ гірше (нелінійніша) ніж ФЧХ у фільтра Баттерворта.

АЧХ фільтра Чебишева даного порядку краще за АЧХ Баттерворта, так як у фільтра Чебишева вже ширина перехідної області. Однак ФЧХ фільтра Чебишева гірше (нелінійніша) у порівнянні з ФЧХ фільтра Баттерворта.

ФЧХ фільтра Чебишева для 2-7 порядків наведено на рис. 1.18. Для порівняння на рис. 1.18 штриховою лінією зображена ФЧХ фільтра Баттерворт шостого порядку. Можна також відзначити, що ФЧХ фільтрів Чебишева високого порядку гірше за ФЧХ фільтрів нижчого порядку. Це узгоджується з тим фактом, що АЧХ фільтра Чебишева високого порядку краще за АЧХ фільтра нижчого порядку.

1.1. ВИБІР МІНІМАЛЬНОГО ПОРЯДКУ ФІЛЬТРУ

На основі рис. 1.8 і 1.9 можна дійти невтішного висновку, що що вище порядок фільтрів Баттерворта і Чебишева, краще їх АЧХ. Проте вищий порядок ускладнює схемну реалізацію і внаслідок цього підвищує вартість. Таким чином, важливим є вибір мінімально необхідного порядку фільтра, що задовольняє заданим вимогам.

Нехай у зображеній на рис. 1.2 загальної характеристики задані максимально допустиме згасання в смузі пропускання a 1 (дБ), мінімально допустиме згасання у смузі затримування a 2 (дБ), частота зрізу w з (рад/с) або f c (Гц) та максимальна допустима ширина перехідної області T W , яка визначається наступним чином:

де логарифми можуть бути або натуральними або десятковими.

Рівняння (1.24) можна записати як

w з / w 1 = ( T W/w с) + 1

і отримане співвідношення підставити (1.25) для знаходження залежності порядку пвід ширини перехідної області, а чи не від частоти w 1 . Параметр T W / w з називається нормованоюшириною перехідної області є безрозмірною величиною. Отже, T W і w можна задавати і в радіанах на секунду, і в герцах.

Подібним чином на основі (1.18) для К = 1 знайдемо мінімальний порядок фільтра Чебишева

а з (1.25) випливає, що фільтр Баттерворта, що задовольняє цим вимогам, повинен мати наступний мінімальний порядок:

Знову знаходячи найближче ціле число, отримуємо п= 4.

Цей приклад наочно ілюструє перевагу Чебишева фільтра над фільтром Баттерворта, якщо основним параметром є АЧХ. У розглянутому випадку фільтр Чебишева забезпечує ту саму крутість передавальної функції, що і фільтр Баттерворта подвоєної складності.

1.2. ФНЧ З МНОГОПЕТЛЬОВИМ ЗВОРОТНИМ ЗВ'ЯЗКОМ

І безкінечним коефіцієнтом посилення

Рис. 1.11. ФНЧ із МОС другого порядку

Існує багато способів побудови активних ФНЧ Баттерворта та Чебишева. Далі будуть розглянуті деякі з найбільш застосовуваних нині загальних схем, починаючи з простих (з погляду кількості необхідних схемних елементів) і переходячи до найскладніших.

Для фільтрів вищого порядку рівняння (1.29) визначає ПФ типової ланки другого порядку, де До –коефіцієнт його посилення; Ві З -коефіцієнти ланки, наведені у довідковій літературі. Одна з найпростіших схем активних фільтрів, що реалізують ПФ нижніх частот згідно (1.29), наведено на рис. 1.11.

Ця схема реалізує рівняння (1.29) з інвертуючимкоефіцієнтом посилення – До(До> 0) та

Опір, що задовольняє рівняння (1.30), дорівнює

Доцільний підхід у тому, щоб задати номінальне значення ємності C 2 , близьке до значення 10/ f c мкФ та вибрати найбільше наявне номінальне значення ємності C 1, що відповідає рівнянню (1.31). Опори мають бути близькими до значень, обчислених за (1.31). Чим вище порядок фільтра, тим більш критичними ці вимоги. Якщо у наявності відсутні обчислені номінальні значення опорів, слід зазначити, що це значення опорів можна примножити на загальний коефіцієнт за умови, що значення ємностей діляться той самий коефіцієнт.

Як приклад припустимо, необхідно розробити фільтр Чебишева з МОС другого порядку з нерівномірністю передачі 0,5 дБ, смугою пропускання 1000 Гц і коефіцієнтом посилення рівним 2. У цьому випадку До= 2, w з = 2π (1000), та якщо з додатку А знаходимо, що У = 1,425625 і З=1,516203. Вибираючи номінальне значення C 2 = 10/f c= 10/1000 = 0,01 мкФ = 10 -8 Ф, з (1.32) отримуємо

Тепер припустимо, що необхідно розробити фільтр Баттерворт шостого порядку з МОС, частотою зрізу f c= 1000 Гц та коефіцієнтом посилення K = 8. Він складатиметься з трьох ланок другого порядку, кожна з ПФ, яка визначається рівнянням (2.1). Виберемо коефіцієнт посилення кожної ланки K= 2, що забезпечує необхідний коефіцієнт посилення самого фільтра 2∙2∙2=8. З додатка А для першої ланки знаходимо В= 0,517638 та З = 1. Знову виберемо номінальне значення ємності З 2 = 0,01 мкФ і в цьому випадку з (2.21) знайдемо З 1 = 0,00022 мкф. Задамо номінальне значення ємності З 1 = 200 пФ та з (2.20) знайдемо значення опорів R 2 = 139,4 кОм; R 1 = 69,7 кОм; R 3 = 90,9 кОм. Дві інші ланки розраховуються аналогічним способом, а потім ланки з'єднуються каскадно для реалізації фільтра Баттерворт шостого порядку.

Через свою відносну простоту фільтр з МОС є одним з найбільш популярних типів фільтрів з інвертуючим коефіцієнтом посилення. Він має також певні переваги, а саме хорошу стабільність характеристик і низький вихідний повний опір; таким чином, його можна відразу з'єднувати каскадно з іншими ланками для реалізації більш високого фільтра порядку. Недолік схеми полягає в тому, що неможливо досягти високого значення добротності Q без значного розкидання значень елементів та високої чутливості до їхньої зміни. Для досягнення добрих результатів коефіцієнт посилення До

Скоригована ФНЧ-фільтром. ... МОС-структурою, є можливість регулювання посилення та смуги фільтрапри зміні номіналів мінімального ... фільтрана мікросхемах типу... має той же порядоквеличини, що і... фільтриЧебишеваі Баттерворта, ...

1 Визначимо порядок фільтра. Порядок фільтра це число реактивних елементів ФНЧ і ФВЧ.

де
- функція Баттерворта, що відповідає допустимій частоті .

- Допустиме згасання.

2 Рисуємо схему фільтра отриманого порядку. При практичній реалізації кращі схеми з меншою кількістю індуктивностей.

3 Розраховуємо постійні перетворення фільтра.

, мГн

, нФ

4 Для ідеального фільтра з опором генератора 1 Ом, опір навантаження 1 Ом,
складено таблицю нормованих коефіцієнтів фільтра Баттерворта. У кожному рядку таблиці коефіцієнти симетричні, до середини збільшуються, а потім зменшуються.

5 Щоб знайти елементи схеми, необхідно постійні перетворення помножити на коефіцієнт таблиці.

Порядок фільтру	Порядкові номери фільтра m

Розрахувати параметри фільтра низьких частот Баттерворта, якщо ПП=0,15 кГц, =25 кГц, =30 дБ,
=75 Ом. Знайти
для трьох точок.

29.3 ФВЧ Баттерворт.

Фільтри ФВЧ - це чотириполюсники, у яких в діапазоні (
) згасання мало, а в діапазоні (
) – велике, тобто фільтр повинен пропускати в навантаження струми верхніх частот.

Оскільки ФВЧ повинен пропускати струми високих частот, то шляху струму, що йде навантаження, повинен стояти частотно залежний елемент, який добре пропускає струми високих частот і погано струми низьких частот. Таким елементом є конденсатор.

Ф
ВЧ Т-подібний

ФВЧ П-подібний

Конденсатор ставлять послідовно з навантаженням, оскільки
та зі зростанням частоти
зменшується, отже струми високих частот легко проходять у навантаження через конденсатор. Котушку індуктивності ставлять паралельно навантаженню, оскільки
і зі збільшенням частоти збільшується
тому струми низьких частот замикаються через індуктивності і не потраплять у навантаження.

Розрахунок ФВЧ Баттерворта аналогічний розрахунку ФНЧ Баттерворта, проводиться за тими ж формулами, тільки

.

Розрахувати фільтр верхніх частот ФВЧ Баттерворта, якщо
Ом,
кГц,
дБ,
кГц. Знайти:
.

Тема заняття 30: Смужні та режекторні фільтри Баттерворта.