Двійкова кодування онлайн. Переклад чисел з однієї системи числення в іншу онлайн

Бінарний код є текст, інструкції процесора комп'ютера або інші дані з використанням будь-якої Двосимвольні системи. Найчастіше це система 0 і 1. призначає шаблон бінарних цифр (біт) кожному символу і інструкції. Наприклад, бінарна рядок з восьми біт може представляти будь-яке з 256 можливих значень і тому може генерувати безліч різних елементів. Відгуки про бінарному коді світового професійного співтовариства програмістів свідчать про те, що це основа професії і головний закон функціонування обчислювальних систем і електронних пристроїв.

Розшифровка бінарного коду

В обчисленнях і телекомунікації бінарні коди використовуються для різних методів кодування символів даних в бітові рядки. Ці методи можуть використовувати рядки фіксованою або змінною ширини. Для перекладу в бінарний код існує безліч наборів символів і кодування. У коді з фіксованою шириною кожна буква, цифра або інший символ представляється бітовим рядком тієї ж довжини. Ця бітова рядок, що інтерпретується як бінарне число, зазвичай відображається в кодових таблицях в вісімковій, десятковій або шістнадцятковій нотації.

Розшифровка бінарного коду: бітова рядок, що інтерпретується як бінарне число, може бути переведена в десяткове число. Наприклад, нижній регістр літери a, якщо він представлений бітовим рядком 01100001 (як і в стандартному коді ASCII), також може бути представлений як десяткове число 97. Переклад бінарного коду в текст являє собою ту ж процедуру, тільки в зворотному порядку.

Як це працює

З чого складається бінарний код? Код, який використовується в цифрових комп'ютерах, заснований на в якій є тільки два можливих стани: вкл. і викл., зазвичай позначаються нулем і одиницею. Якщо в десятковій системі, яка використовує 10 цифр, кожна позиція кратна 10 (100, 1000 і т. Д.), То в двійковій системі кожне цифрове положення кратно 2 (4, 8, 16 і т. Д.). сигнал двійкового коду являє собою серію електричних імпульсів, які представляють числа, символи та операції, які необхідно виконати.

Пристрій, що називається годинами, посилає регулярні імпульси, а такі компоненти, як транзистори, включаються (1) або вимикаються (0), щоб передавати або блокувати імпульси. У двійковому коді кожне десяткове число (0-9) представлено набором з чотирьох двійкових цифр або бітів. Чотири основних арифметичних операції (додавання, віднімання, множення і ділення) можуть бути зведені до комбінаціям фундаментальних булевих алгебраїчних операцій над двійковими числами.

Біт в теорії зв'язку і інформації є одиницю даних, еквівалентну результату вибору між двома можливими альтернативами в системі довічних номерів, що зазвичай використовуються в цифрових комп'ютерах.

Відгуки про бінарному коді

Характер коду і даних є базовою частиною фундаментального світу ІТ. C цим інструментом працюють фахівці світового ІТ-«закулісся» - програмісти, чия спеціалізація прихована від уваги рядового користувача. Відгуки про бінарному коді від розробників свідчать про те, що ця область вимагає глибокого вивчення математичних основ і великий практики в сфері матаналізу і програмування.

Бінарний код - це найпростіша форма комп'ютерного коду або даних програмування. Він повністю представлений двійковій системою цифр. Згідно відгуками про бінарному коді, його часто асоціюється з машинним кодом, так як виконавчі набори можуть бути об'єднані для формування вихідного коду, Який інтерпретується комп'ютером або іншим апаратним забезпеченням. Почасти це вірно. використовує набори двійкових цифр для формування інструкцій.

Поряд з самої базової формою коду двійковий файл також є найменший обсяг даних, який протікає через всі складні комплексні апаратні і програмні системи, Обробні сьогоднішні ресурси і активи даних. Найменший обсяг даних називається бітом. поточні рядки бітів стають кодом або даними, які інтерпретуються комп'ютером.

двійкове число

В математиці і цифровій електроніці двійковечисло - це число, виражене в системі числення base-2 або двійковій цифровий системі, Яка використовує тільки два символи: 0 (нуль) і 1 (один).

Система чисел base-2 являє собою позиційну нотацію з радіусом 2. Кожна цифра згадується як біт. Завдяки своїй простий реалізації в цифрових електронних схемах з використанням логічних правил, двійкова система використовується багатьма сучасними комп'ютерами та електронними пристроями.

Історія

Сучасна бінарна система чисел як основа для двійкового коду була винайдена Готтфрід Лейбніцем в 1679 році і представлена \u200b\u200bв його статті «Пояснення бінарної арифметики». Бінарні цифри були центральними для теології Лейбніца. Він вважав, що виконавчі числа символізують християнську ідею творчості ex nihilo, або творіння з нічого. Лейбніц намагався знайти систему, яка перетворює вербальні висловлювання логіки в чисто математичні дані.

Бінарні системи, що передують Лейбніца, також існували в стародавньому світі. Прикладом може служити китайська бінарна система І Цзин, де текст для передбачення заснований на подвійності інь і ян. В Азії та в Африці використовувалися щілинні барабани з бінарними тонами для кодування повідомлень. Індійський учений Пінгала (близько 5-го століття до н.е.) розробив бінарну систему для опису просодії в своєму творі «Чандашутрема».

Жителі острова Мангарева у Французькій Полінезії використовували гібридну бінарному-десяткову систему до 1450 року. В XI столітті вчений і філософ Шао Юн розробив метод організації гексаграмм, який відповідає послідовності від 0 до 63, як представлено в бінарному форматі, причому інь дорівнює 0, янь - 1. Порядок також є словниковим порядком в блоках елементів, вибраних з двоелементною набору.

Новий час

У 1605 році обговорив систему, в якій літери алфавіту можуть бути зведені до послідовностей бінарних цифр, які потім можуть бути закодовані як ледь помітні варіації шрифту в будь-якому випадковому тексті. Важливо відзначити, що саме Френсіс Бекон доповнив загальну теорії бінарного кодування наглядом, що цей метод може бути застосований з будь-якими об'єктами.

Інший математик і філософ на ім'я Джордж Бул опублікував в 1847 році статтю під назвою «Математичний аналіз логіки», в якій описується алгебраїчна система логіки, відома сьогодні як булева алгебра. Система була заснована на бінарному підході, який складався з трьох основних операцій: AND, OR і NOT. Ця система не була введена в експлуатацію, поки аспірант з Массачусетського технологічного інституту на ім'я Клод Шеннон не помітив, що булева алгебра, яку він вивчив, була схожа на електричний ланцюг.

Шеннон написав дисертацію в 1937 році, в якій були зроблені важливі висновки. Теза Шеннона став відправною точкою для використання бінарного коду в практичних додатках, таких як комп'ютери та електричні схеми.

Інші форми двійкового коду

Бітова рядок не є єдиним типом двійкового коду. Двійкова система в цілому - це будь-яка система, яка допускає тільки два варіанти, таких як перемикач в електронній системі або простий істинний або помилковий тест.

Брайль - це тип двійкового коду, який широко використовується сліпими людьми для читання і запису на дотик, названий по імені його творця Луї Брайля. Ця система складається з сіток по шість точок в кожної, по три на стовпець, в якому кожна точка має два стани: підняті або поглиблені. Різні комбінації точок здатні представляти всі букви, цифри і знаки пунктуації.

Американський стандартний код для обміну інформацією (ASCII) використовує 7-бітний двійковий код для представлення тексту та інших символів в комп'ютерах, обладнанні зв'язку та інших пристроях. Кожній букві або символу присвоюється номер від 0 до 127.

Двійковій-кодоване десяткове значення або BCD - це двійкове кодоване подання цілочисельних значень, яке використовує 4-бітний граф для кодування десяткових цифр. Чотири довічних біта можуть кодувати до 16 різних значень.

У номерах з кодуванням BCD тільки перші десять значень в кожному полубайте є коректними і кодують десяткові цифри з нулем, через дев'ять. Решта шість значень є некоректними і можуть викликати або машинне виняток, або Незазначені поведінку, в залежності від комп'ютерної реалізації арифметики BCD.

Арифметика BCD іноді краще числових форматів з плаваючою комою в комерційних і фінансових додатках, де складну поведінку округлення чисел є небажаним.

застосування

Більшість сучасних комп'ютерів використовують програму бінарного коду для інструкцій і даних. Компакт-диски, DVD-диски і диски Blu-ray представляють звук і відео в двійковій формі. Телефонні дзвінки переносяться в цифровому вигляді в мережах міжміського і мобільного телефонного зв'язку з використанням імпульсно-кодової модуляції і в мережах передачі голосу по IP.

Всім відомо, що комп'ютери можуть виконувати обчислення з великими групами даних на величезній швидкості. Але не всі знають, що ці дії залежать від двох умов: є чи ні ток і яка напруга.

Яким же чином комп'ютер примудряється обробляти таку різноманітну інформацію?
Секрет полягає в двійковій системі числення. Всі дані надходять в комп'ютер, представлені у вигляді одиниць і нулів, кожному з яких відповідає один стан електропроводи: одиницям - висока напруга, Нулях - низька або ж одиницям - наявність напруги, нулях - його відсутність. Перетворення даних в нулі і одиниці називається двійковій конверсією, а остаточне їх позначення - двійковим кодом.
У десятковому позначенні, заснованому на десятковій системі числення, яка використовується у повсякденному житті, числове значення представлено десятьма цифрами від 0 до 9, і кожне місце в числі має цінність в десять разів вище, ніж місце праворуч від нього. Щоб уявити число більше дев'яти в десятковій системі числення, на його місце ставиться нуль, а на наступне, більш цінне місце зліва - одиниця. Точно так же в двійковій системі, де використовуються тільки дві цифри - 0 і 1, кожне місце в два рази цінніше, ніж місце праворуч від нього. Таким чином, в двійковому коді тільки нуль і одиниця можуть бути зображені як одномісні числа, і будь-яке число, більше одиниці, вимагає вже два місця. Після нуля і одиниці наступні три довічних числа це 10 (читається один-нуль) і 11 (читається один-один) і 100 (читається один-нуль-нуль). 100 двійковій системи еквівалентно 4 десяткової. На верхній таблиці праворуч показані інші двійковій-десяткові еквіваленти.
Будь-яке число може бути виражене в двійковому коді, просто воно займе більше місця, ніж в десятковому позначенні. У двійковій системі можна записати і алфавіт, якщо за кожною буквою закріпити певний двійковечисло.

Дві цифри на чотири місця
16 комбінацій можна скласти, використовуючи темні і світлі кулі, комбінуючи їх в наборах з чотирьох штук Якщо темні кулі прийняти за нулі, а світлі за одиниці, то і 16 наборів виявляться 16-одиничним двійковим кодом, числова цінність якого становить від нуля до п'яти ( см. верхню таблицю на стор. 27). Навіть з двома видами куль в двійковій системі можна побудувати нескінченну кількість комбінацій, просто збільшуючи число кульок в кожній групі - або число місць в числах.

Біти і байти

Найменша одиниця в комп'ютерній обробці, біт - це одиниця даних, яка може володіти одним з двох можливих умов. Наприклад, кожна з одиниць і нулів (праворуч) означає 1 біт. Біт можна представити і іншими способами: наявністю або відсутністю електричного струму, Дірочкою і її відсутністю, напрямком намагнічування вправо або вліво. Вісім бітів складають байт. 256 можливих байтів можуть уявити 256 знаків і символів. Багато комп'ютерів обробляють байт даних одночасно.

Двійкова конверсія. Чотирицифровий двійкового коду може уявити десяткові числа від 0 до 15.

кодові таблиці

Коли двійковий код використовується для позначення букв алфавіту або пунктуаційних знаків, потрібні кодові таблиці, в яких зазначено, який код якому символу відповідає. Складено кілька таких кодів. Більшість ПК пристосоване під семіціфровой код, званий ASCII, або американський стандартний код для інформаційного обміну. На таблиці праворуч показані коди ASCII для англійського алфавіту. Інші коди призначаються для тисяч символів і алфавітів інших мов світу.

Частина таблиці коду ASCII

Результат вже отримано!

системи числення

Існують позиційні і не позиційні системи числення. Арабська система числення, яким ми користуємося в повсякденному житті, є позиційною, а римська - немає. У позиційних системах числення позиція числа однозначно визначає величину числа. Розглянемо це на прикладі числа 6372 в десятковому системі числення. Пронумеруємо це число справа наліво починаючи з нуля:

Тоді число 6372 можна представити в наступному вигляді:

6372 \u003d 6000 + 300 + 70 + 2 \u003d 6 · 10 3 + 3 · 10 2 + 7 · 10 1 +2 · 10 0.

Число 10 визначає систему числення (в даному випадку це 10). Як ступенів взяті значення позиції даного числа.

Розглянемо речовий десяткове число 1287.923. Пронумеруємо його починаючи з нуля позиції числа від десяткового дробу вліво і вправо:

Тоді число 1287.923 можна представити у вигляді:

1287.923 \u003d 1000 + 200 + 80 + 7 + 0.9 + 0.02 + 0.003 \u003d 1 · 10 3 + 2 · 10 2 + 8 · 10 1 + 7 · 10 0 + 9 · 10 -1 + 2 · 10 -2 + 3 · 10 -3.

У загальному випадку формулу можна представити в наступному вигляді:

Ц n · s n + Ц n-1 · s n-1 + ... + Ц 1 · s 1 + Ц 0 · s 0 + Д-1 · s -1 + Д -2 · s -2 + ... + Д -k · s -k

де Ц n -метою число в позиції n, Д -k - дробове число в позиції (-k), s - система зчислення.

Кілька слів про системах счісленія.Чісло в десятковій системі числення складається з безлічі цифр (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), в вісімковій системі числення - з безлічі цифр (0,1, 2,3,4,5,6,7), в двійковій системі числення - з безлічі цифр (0,1), в шістнадцятковій системі числення - з безлічі цифр (0,1,2,3,4,5,6, 7,8,9, A, B, C, D, E, F), де A, B, C, D, E, F відповідають числам 10,11,12,13,14,15.В таблиці Таб.1 представлені числа в різних системах числення.

Таблиця 1
Система зчислення
10	2	8	16
0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F

Переклад чисел з однієї системи числення в іншу

Для переведення чисел з однієї системи числення в іншу, найпростіше спочатку перевести число в десяткову систему числення, а потім, з десяткової системи числення перевести в необхідну систему числення.

Переклад чисел з будь-якої системи числення в десяткову систему числення

За допомогою формули (1) можна перевести числа з будь-якої системи числення в десяткову систему числення.

приклад 1. Переводити число 1011101.001 з двійкової системи числення (СС) в десяткову СС. Рішення:

1 • 2 6 +0 · 2 5 + 1 • 2 4+ 1 • 2 3+ 1 · 2 + 2 + 0 · 2 +1 1 · 2 0 + 0 · 2 -1 + 0 · 2 -2 + 1 · 2 -3 \u003d 64 + 16 + 8 + 4 + 1 + 1/8 \u003d 93.125

приклад2. Переводити число 1011101.001 з вісімковій системи числення (СС) в десяткову СС. Рішення:

приклад 3 . Переводити число AB572.CDF з шістнадцятковій системи числення в десяткову СС. Рішення:

тут A -замінив на 10, B - на 11, C- на 12, F - на 15.

Переклад чисел з десяткової системи числення в іншу систему числення

Для переведення чисел з десяткової системи числення в іншу систему числення потрібно переводити окремо цілу частину числа і дробову частину числа.

Цілу частину числа перекладається з десятковою маються на СС в іншу систему числення - послідовним розподілом цілої частини числа на підставу системи числення (для двійковій СС - на 2, для 8-ічной СС - на 8, для 16-ічной - на 16 і т.д. ) до отримання цілого залишку, менше, ніж підстава СС.

приклад 4 . Переведемо число 159 з десяткової СС в двійкову СС:

159	2
158	79	2
1	78	39	2
	1	38	19	2
		1	18	9	2
			1	8	4	2
				1	4	2	2
					0	2	1
						0

Як видно з Рис. 1, число 159 при діленні на 2 дає приватна 79 і залишок 1. Далі число 79 при розподілі на 2 дає приватна 39 і залишок 1 і т.д. В результаті побудувавши число із залишків поділу (справа наліво) отримаємо число в двійковій СС: 10011111 . Отже можна записати:

159 10 =10011111 2 .

приклад 5 . Переведемо число 615 з десяткової СС в вісімкову СС.

615	8
608	76	8
7	72	9	8
	4	8	1
		1

При приведенні числа з десяткової СС в вісімкову СС, потрібно послідовно ділити число на 8, поки не вийде цілий залишок менше, ніж 8. У результаті побудувавши число із залишків поділу (справа наліво) отримаємо число в вісімковій СС: 1147 (Див. Рис. 2). Отже можна записати:

615 10 =1147 8 .

приклад 6 . Переведемо число 19673 з десяткової системи числення в шістнадцяткову СС.

19673	16
19664	1229	16
9	1216	76	16
	13	64	4
		12

Як видно з малюнка Рис.3, послідовним розподілом числа 19673 на 16 отримали залишки 4, 12, 13, 9. У шістнадцятковій системі числення числі 12 відповідає С, зокрема 13 - D. Отже наше шістнадцяткове число - це 4CD9.

Для перекладу правильних десяткових дробів (дійсне число з нульовою цілою частиною) в систему числення з основою s необхідно дане число послідовно помножити на s до тих пір, поки в дробової частини не вийде чистий нуль, або ж не отримаємо необхідну кількість розрядів. Якщо при множенні вийде число з цілою частиною, відмінне від нуля, то цю цілу частину не враховувати (вони послідовно зачісліваются в результат).

Розглянемо вищевикладене на прикладах.

приклад 7 . Переведемо число 0.214 з десяткової системи числення в двійкову СС.

		0.214
	x	2
0		0.428
	x	2
0		0.856
	x	2
1		0.712
	x	2
1		0.424
	x	2
0		0.848
	x	2
1		0.696
	x	2
1		0.392

Як видно з Рис.4, число 0.214 послідовно множиться на 2. Якщо в результаті множення вийде число з цілою частиною, відмінне від нуля, то ціла частина записується окремо (зліва від числа), а число записується з нульовою цілою частиною. Якщо ж при множенні вийти число з нульовою цілою частиною, то зліва від неї записується нуль. Процес множення триває до тих пір, поки в дробової частини не вийде чистий нуль або ж не отримаємо необхідну кількість розрядів. Записуючи жирні числа (Рис.4) зверху вниз отримаємо необхідне число в двійковій системі числення: 0. 0011011 .

Отже можна записати:

0.214 10 =0.0011011 2 .

приклад 8 . Переведемо число 0.125 з десяткової системи числення в двійкову СС.

		0.125
	x	2
0		0.25
	x	2
0		0.5
	x	2
1		0.0

Для приведення числа 0.125 з десятковою маються на СС в двійкову, дане число послідовно множиться на 2. У третьому етапі вийшло 0. Отже, вийшов наступний результат:

0.125 10 =0.001 2 .

приклад 9 . Переведемо число 0.214 з десяткової системи числення в шістнадцяткову СС.

		0.214
	x	16
3		0.424
	x	16
6		0.784
	x	16
12		0.544
	x	16
8		0.704
	x	16
11		0.264
	x	16
4		0.224

Дотримуючись прикладів 4 і 5 отримуємо числа 3, 6, 12, 8, 11, 4. Але в шістнадцятковій СС числах 12 і 11 відповідають числа C і B. Отже маємо:

0.214 10 \u003d 0.36C8B4 16.

приклад 10 . Переведемо число 0.512 з десяткової системи числення в вісімкову СС.

		0.512
	x	8
4		0.096
	x	8
0		0.768
	x	8
6		0.144
	x	8
1		0.152
	x	8
1		0.216
	x	8
1		0.728

отримали:

0.512 10 =0.406111 8 .

приклад 11 . Переведемо число 159.125 з десяткової системи числення в двійкову СС. Для цього переведемо окремо цілу частину числа (Приклад 4) і дробову частину числа (Приклад 8). Далі об'єднуючи ці результати отримаємо:

159.125 10 =10011111.001 2 .

приклад 12 . Переведемо число 19673.214 з десяткової системи числення в шістнадцяткову СС. Для цього переведемо окремо цілу частину числа (Приклад 6) і дробову частину числа (Приклад 9). Далі об'єднуючи ці результати отримаємо.

Грецька грузинська
ефіопська
Єврейська
Акшара-санкхья інші Вавилонська
Єгипетська
етруська
Римська
Дунайська аттична
стос
Майяська
Егейська
символи КППУ позиційні , , , , , , , , , , Нега-позиційна симетрична змішані системи Фібоначчієва непозиційної Одинична (унарна)

Двійкова система числення - позиційна система числення з основою 2. Завдяки безпосередньої реалізації в цифрових електронних схемах на логічних вентилях, двійкова система використовується практично у всіх сучасних комп'ютерах і інших обчислювальних електронних пристроях.

Двійковий запис чисел

У двійковій системі числення числа записуються за допомогою двох символів ( 0 і 1 ). Щоб не плутати, в якій системі числення записано число, його постачають покажчиком справа внизу. Наприклад, число в десятковій системі 5 10 , В двійковій 101 2 . Іноді двійковечисло позначають префіксом 0bабо символом & (Амперсанд) , наприклад 0b101або відповідно &101 .

У двійковій системі числення (як і в інших системах числення, крім десяткового) знаки читаються по одному. Наприклад, число 101 2 вимовляється «один нуль один».

Натуральні числа

Натуральне число, що записується в двійковій системі числення як (A n - 1 a n - 2 ... a 1 a 0) 2 (\\ displaystyle (a_ (n-1) a_ (n-2) \\ dots a_ (1) a_ (0)) _ (2)), має значення:

(An - 1 an - 2 ... a 1 a 0) 2 \u003d Σ k \u003d 0 n - 1 ak 2 k, (\\ displaystyle (a_ (n-1) a_ (n-2) \\ dots a_ (1) a_ ( 0)) _ (2) \u003d \\ sum _ (k \u003d 0) ^ (n-1) a_ (k) 2 ^ (k),)

Негативні числа

Негативні двійкові числа позначаються так само як і десяткові: знаком «-» перед числом. А саме, негативне ціле число, що записується в двійковій системі числення (- a n - 1 a n - 2 ... a 1 a 0) 2 (\\ displaystyle (-a_ (n-1) a_ (n-2) \\ dots a_ (1) a_ (0)) _ (2)), Має величину:

(- a n - 1 a n - 2 ... a 1 a 0) 2 \u003d - Σ k \u003d 0 n - 1 a k 2 k. (\\ Displaystyle (-a_ (n-1) a_ (n-2) \\ dots a_ (1) a_ (0)) _ (2) \u003d - \\ sum _ (k \u003d 0) ^ (n-1) a_ ( k) 2 ^ (k).)

додатковому коді.

Дробові числа

Дробове число, що записується в двійковій системі числення як (An - 1 an - 2 ... a 1 a 0, a - 1 a - 2 ... a - (m - 1) a - m) 2 (\\ displaystyle (a_ (n-1) a_ (n-2) \\ dots a_ (1) a_ (0), a _ (- 1) a _ (- 2) \\ dots a _ (- (m-1)) a _ (- m)) _ (2)), Має величину:

(An - 1 an - 2 ... a 1 a 0, a - 1 a - 2 ... a - (m - 1) a - m) 2 \u003d Σ k \u003d - mn - 1 ak 2 k, (\\ displaystyle (a_ ( n-1) a_ (n-2) \\ dots a_ (1) a_ (0), a _ (- 1) a _ (- 2) \\ dots a _ (- (m-1)) a _ (- m)) _ ( 2) \u003d \\ sum _ (k \u003d -m) ^ (n-1) a_ (k) 2 ^ (k),)

Додавання, віднімання і множення двійкових чисел

Таблиця додавання

Приклад складання «стовпчиком» (десяткове вираження 14 10 + 5 10 \u003d 19 10 в двійковому вигляді виглядає як 1110 2 + 101 2 \u003d 10011 2):

Приклад множення "стовпчиком" (десяткове вираження 14 10 * 5 10 \u003d 70 10 в двійковому вигляді виглядає як 1110 2 * 101 2 \u003d 1000110 2):

Починаючи з цифри 1 всі цифри множаться на два. Точка, яка стоїть після 1, називається двійковій точкою.

Перетворення двійкових чисел в десяткові

Припустимо, дано двійкове число 110001 2 . Для перекладу в десяткове запишіть його як суму за розрядами наступним чином:

1 * 2 5 + 1 * 2 4 + 0 * 2 3 + 0 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 49

Те ж саме трохи інакше:

1 * 32 + 1 * 16 + 0 * 8 + 0 * 4 + 0 * 2 + 1 * 1 = 49

Можна записати це в вигляді таблиці наступним чином:

512	256	128	64	32	16	8	4	2	1
				1	1	0	0	0	1
				+32	+16	+0	+0	+0	+1

Рухайтеся справа наліво. Під кожною двійковій одиницею напишіть її еквівалент в рядку нижче. Складіть отримані десяткові числа. Таким чином, двійкове число 110001 2 рівнозначно десятковому 49 10.

Перетворення дрібних двійкових чисел в десяткові

Потрібно перевести число 1011010,101 2 в десяткову систему. Запишемо це число в такий спосіб:

1 * 2 6 + 0 * 2 5 + 1 * 2 4 + 1 * 2 3 + 0 * 2 2 + 1 * 2 1 + 0 * 2 0 + 1 * 2 -1 + 0 * 2 -2 + 1 * 2 -3 = 90,625

Те ж саме трохи інакше:

1 * 64 + 0 * 32 + 1 * 16 + 1 * 8 + 0 * 4 + 1 * 2 + 0 * 1 + 1 * 0,5 + 0 * 0,25 + 1 * 0,125 = 90,625

Або по таблиці:

64	32	16	8	4	2	1		0.5	0.25	0.125
1	0	1	1	0	1	0	,	1	0	1
+64	+0	+16	+8	+0	+2	+0		+0.5	+0	+0.125

Перетворення методом Горнера

Для того, щоб перетворювати числа з двійкової в десяткову систему даним методом, треба підсумувати цифри зліва направо, множачи раніше отриманий результат на основу системи (в даному випадку 2). Методом Горнера зазвичай переводять з двійковій в десяткову систему. Зворотна операція скрутна, так як вимагає навичок додавання і множення в двійковій системі числення.

Наприклад, двійкове число 1011011 2 перекладається в десяткову систему так:

0*2 + 1 = 1
1*2 + 0 = 2
2*2 + 1 = 5
5*2 + 1 = 11
11*2 + 0 = 22
22*2 + 1 = 45
45*2 + 1 = 91

Тобто в десятковій системі це число буде записано як 91.

Переклад дробової частини чисел методом Горнера

Знаки взято з числа справа наліво і діляться на основу системи числення (2).

наприклад 0,1101 2

(0 + 1 )/2 = 0,5
(0,5 + 0 )/2 = 0,25
(0,25 + 1 )/2 = 0,625
(0,625 + 1 )/2 = 0,8125

Відповідь: 0,1101 2 \u003d 0,8125 10

Перетворення десяткових чисел в двійкові

Припустимо, нам потрібно перевести число 19 в двійкове. Ви можете скористатися такою процедурою:

19/2 \u003d 9 із залишком 1
9/2 \u003d 4 c залишком 1
4/2 \u003d 2 без залишку 0
2/2 \u003d 1 без залишку 0
1/2 \u003d 0 із залишком 1

Отже, ми ділимо кожне приватне на 2 і записуємо залишок в кінець двійковій запису. Продовжуємо розподіл до тих пір, поки в приватне не буде 0. Результат записуємо справа наліво. Тобто нижня цифра (1) буде найлівішій і т.д. В результаті отримуємо число 19 в двійковій запису: 10011 .

Перетворення дрібних десяткових чисел в двійкові

Якщо у вихідному числі є ціла частина, то вона перетвориться окремо від дробу. Переклад дробового числа з десяткової системи числення в двійкову здійснюється за наступним алгоритмом:

• Дріб множиться на основу двійкової системи числення (2);
• В отриманому творі виділяється ціла частина, яка приймається в якості старшого розряду числа в двійковій системі числення;
• Алгоритм завершується, якщо дрібна частина отриманого твори дорівнює нулю або якщо досягнута необхідна точність обчислень. В іншому випадку обчислення тривають над дробової частиною твору.

Приклад: Потрібно перевести дробове десяткове число 206,116 в дробове двійкове число.

Переклад цілої частини дає 206 10 \u003d 11001110 2 по раніше описаним алгоритмам. Дробову частину 0,116 множимо на підставу 2, заносячи цілі частини твору в розряди після коми шуканого дробового двійкового числа:

0,116 2 = 0 ,232
0,232 2 = 0 ,464
0,464 2 = 0 ,928
0,928 2 = 1 ,856
0,856 2 = 1 ,712
0,712 2 = 1 ,424
0,424 2 = 0 ,848
0,848 2 = 1 ,696
0,696 2 = 1 ,392
0,392 2 = 0 ,784
і т.д.

Таким чином 0,116 10 ≈ 0, 0001110110 2

Отримаємо: 206,116 10 ≈ +11001110,0001110110 2

застосування

У цифрових пристроях

Двійкова система використовується в цифрових пристроях, оскільки є найбільш простий і відповідає вимогам:

• чим менше значень існує в системі, тим простіше виготовити окремі елементи, які оперують цими значеннями. Зокрема, дві цифри двійкової системи числення можуть бути легко представлені багатьма фізичними явищами: є струм (струм більше порогової величини) - немає струму (струм менше порогової величини), індукція магнітного поля більше порогової величини чи ні (індукція магнітного поля менше порогової величини) і т.д.
• Чим менше кількість станів у елемента, тим вище стійкість перед перешкодами і тим швидше він може працювати. Наприклад, щоб закодувати три стану через величину напруги, струму або індукції магнітного поля, потрібно ввести два граничних значення і два компаратора,

В обчислювальної техніки широко використовується запис негативних двійкових чисел в додатковому коді. Наприклад, число -5 10 може бути записано як -101 2 але в 32-бітному комп'ютері буде зберігатися як 2.

В англійській системі заходів

При вказівці лінійних розмірів в дюймах за традицією використовують двійкові дроби, а не десяткові, наприклад: 5¾ ", 7 15/16", 3 11/32 "і т. Д.

узагальнення

Двійкова система числення є комбінацією двійковій системи кодування і показовою вагової функції з повним правом рівним 2. Слід зазначити, що число може бути записано в двійковому коді, а система числення при цьому може бути не двійковій, а з іншою підставою. Приклад: двійковій-десяткове кодування, в якому десяткові цифри записуються в двійковому вигляді, а система числення - десяткова.

Історія

• Повний набір з 8 триграм і 64 гексаграмм, аналог 3-бітних і 6-бітних чисел, був відомий в древньому Китаї в класичних текстах книги Змін. Порядок гексаграмм в книзі Змін, Розташованих відповідно до значень відповідних двійкових цифр (від 0 до 63), і метод їх отримання був розроблений китайським вченим і філософом Шао Юн в XI столітті. Однак немає доказів, що свідчать про те, що Шао Юн розумів правила двійковій арифметики, розташовуючи Двосимвольні кортежі в лексикографічному порядку.

• Набори, що представляють собою комбінації двійкових цифр, використовувалися африканцями в традиційних ворожіннях (таких як ІФА) поряд із середньовічною Геомантія.

• У 1854 році англійський математик Джордж Буль опублікував знакову роботу, що описує алгебраїчні системи стосовно до логіки, яка в даний час відома як Булева алгебра або алгебра логіки. Його логічного обчисленню судилося зіграти важливу роль в розробці сучасних цифрових електронних схем.

• У 1937 році Клод Шеннон представив до захисту кандидатську дисертацію Символічний аналіз релейних і перемикачів схем в, в якій булева алгебра і двоичная арифметика були використані стосовно до електронних реле і перемикачів. На дисертації Шеннона по суті заснована вся сучасна цифрова техніка.

• У листопаді 1937 року Джордж Штібіц, згодом працював в Bell Labs, створив на базі реле комп'ютер «Model K» (від англ. « Kitchen », кухня, де проводилася збірка), який виконував двійкове додавання. В кінці 1938 року Bell Labs розгорнула дослідницьку програму на чолі зі Штібіцом. Створений під його керівництвом комп'ютер, завершений 8 січня 1940 року, вмів виконувати операції з комплексними числами. Під час демонстрації на конференції American Mathematical Society в Дартмутського коледжу 11 вересня 1940 року Штібіц продемонстрував можливість посилки команд віддаленого калькулятору комплексних чисел по телефонній лінії з використанням телетайпа. Це була перша спроба використання віддаленої обчислювальної машини за допомогою телефонної лінії. Серед учасників конференції, що були свідками демонстрації, були Джон фон Нейман, Джон мокли і Норберт Вінер, згодом писали про це в своїх мемуарах.

• На фронтоні будівлі (колишнього Обчислювального Центру СО АН СРСР) в Новосибірському Академмістечку присутній двійковечисло 1000110, рівне 70 10, що символізує дату спорудження будівлі (

Двійковий код - це подання інформації в комбінації 2-х знаків 1 або 0, так би мовити в програмування є чи ні, істина або лож, true або false. Звичайному, людині важко зрозуміти, як інформацію можна представити у вигляді нулів і одиниць. Я постараюся трохи прояснити цю ситуацію.

Насправді двійковий код - це просто! Наприклад, будь-яку букву алфавіту можна представити у вигляді набору нулів та одиниць. Наприклад, буква H латинського алфавіту матиме такий вигляд в двійковій системі - 01001000, буква E - 01000101, бука L має таке двійкове подання - 01001100, P – 01010000.

Тепер не складно здогадатися, що для того щоб написати англійське слово HELP на машинній мові потрібно використовувати ось такий двійковий код:

01001000 01000101 01001100 01010000

Саме такий код використовує для своєї роботи наш домашній комп'ютер. Звичайній людині читати такий код дуже складно, а ось для обчислювальних машин він самий зрозумілий.

Двійковий код (машинний код) в наш час використовується в програмуванні, адже комп'ютер працює саме завдяки двійкового коду. Але не варто думати, що процес програмування зводиться до набору одиниць і нулів. Спеціально, щоб спростити розуміння між людиною і комп'ютером придумали мови програмування (Сі ++, бейсик і т.п.). Програміст пише програму на понятому йому мові, а потім за допомогою спеціальної програми-компілятора переводить своє творіння в машинний код, який і запускає комп'ютер.

Переводимо натуральне число десяткової системи числення в двійкову

Беремо потрібне число, у мене це буде 5, ділимо число на 2:
5: 2 = 2,5 є залишок, значить, перше число двійкового коду буде 1 (якщо ні - 0 ). Відкидаємо залишок і знову ділимо число на 2 :
2: 2 = 1 відповідь на всі сто, значить, друге число двійкового коду буде - 0.Снова ділимо результат на 2:
1: 2 = 0.5 число вийшло з залишком значить записуємо 1 .
Ну а так як результат рівний 0 не можна більше поділити, двійковий код готовий і в результаті у нас вийшло число двійкового коду 101 . Я думаю, переводити з десяткового числа в двійкове ми навчилися, тепер навчимося робити навпаки.

Переводимо кількість з двійкової системи в десяткову

Тут теж досить просто, давайте наше з вами двійковечисло пронумеруємо, починати необхідно з нуля з кінця числа.

101 це 1 ^ 2 0 ^ 1 1 ^ 0.

Що з цього вийшло? Ми зрадили ступеня числах! тепер за формулою:

(X * 2 ^ y) + (x * 2 ^ y) + (x * 2 ^ y)

де x - порядкове число двійкового коду
y - ступінь цього числа.
Формула буде розтягуватися в залежності від розміру вашого числа.
отримуємо:

(1 * 2^2) + (0 * 2^1) + (1 * 2^0) = 4 + 0 + 1 = 5.

Історія двійковій системи числення

Вперше двійкову систему запропонував Лейбіц, він вважав, що дана система допоможе в складних математичних обчисленнях, та й взагалі принесе користь науці. Але за деякими даними, до того як Лейбіц запропонував двійкову систему числення в Китаї на стіні з'явився напис, яку можна було розшифрувати використовуючи двійковий код. На цій написи були намальовані довгі і короткі палички і якщо припустити, що довга це 1, а коротка 0, цілком можливо, що в Китаї ідея двійкового коду ходила за багато років до його винаходу. Хоча розшифровка коду знайденого на стіні виявила там просте натуральне число, але все ж факт залишається фактом.