Spectrul de frecvență al funcției Walsh. Spectrul de frecvențe

1. Spectrul unei sinusoide (Fig. 14.14, a) pe baza funcţiilor Walsh.

În acest caz, este recomandabil să se echivaleze intervalul de descompunere cu valoarea lui T.

Trecând la timpul adimensional, scriem oscilația sub forma Ne restrângem la 16 funcții și mai întâi alegem ordonarea Walsh. Deoarece funcția dată este impară în raport cu punctul, toți coeficienții pentru funcțiile pare Walsh din seria (14.27), adică for sunt egali cu zero.

Cele din restul de opt functii care coincid cu functiile Rademacher si au o periodicitate in interval conduc la un coeficient zero datorita paritatii in intervalele indicate.

Deci, doar patru dintre cei 16 coeficienți nu sunt egali cu zero: A (1), A (5), A (9) și A (13). Să determinăm acești coeficienți prin formula (14.28). Integranții care sunt produsele semnalelor (vezi Fig. 14.14, a) și funcția corespunzătoare sunt prezentați în Fig. 14.14, b - e. Integrarea pe bucăți a acestor produse oferă

Spectrul semnalului luat în considerare pe baza funcțiilor Walsh (ordonate conform lui Walsh) este prezentat în Fig. 14.15, a.

Orez. 14.14. Încadrarea unui segment de sinusoid cu funcții Walsh

Orez. 14.15. Spectrele unei sinusoide pe baza funcțiilor Walsh ordonate conform (a) Walsh, (b) Paley și (c) Hadamard. Dimensiunea de bază

Când este ordonat conform lui Paley și Hadamard, spectrul aceluiași semnal ia forma prezentată în Fig. 14.15, b și c. Aceste spectre au fost obținute din spectrul din Fig. 14.15, ci prin rearanjarea coeficienților în conformitate cu tabelul (vezi Fig. 14.13), arătând relația dintre modalitățile de ordonare a funcțiilor Walsh (pentru).

Pentru a reduce distorsiunile la restabilirea unei oscilații cu un număr limitat de funcții Walsh, ar trebui să se acorde preferință ordonării, care asigură o dezintegrare monotonă a spectrului. Cu alte cuvinte, cea mai bună ordonare este astfel încât fiecare componentă spectrală următoare să nu fie mai mare (în valoare absolută) decât cea anterioară, i.e. În acest sens, cea mai bună ordonare atunci când reprezintă un segment al unei sinusoide, după cum urmează din Fig. 14.15, este ordinul lui Paley, iar cel mai rău este al lui Hadamard.

Restabilirea semnalului original (vezi Fig. 14.14, a) prin șaisprezece funcții Walsh este prezentată în Fig. 14.16 (doisprezece coeficienți spectrali dispar) Această construcție, desigur, nu depinde de modul în care sunt ordonate funcțiile. Evident, pentru o aproximare mai satisfăcătoare a oscilației sinusoidale în baza Walsh, este necesară o creștere semnificativă a numărului de componente spectrale.

În afara intervalului (0,1), seria (14.27), așa cum este menționat în § 14. 4, descrie o continuare periodică, în acest exemplu o funcție armonică.

2. Spectrul oscilațiilor armonice (Fig. 14.17) în baza funcțiilor Walsh. Ca și în exemplul anterior, este luat în considerare un ciclu armonic cu o perioadă. Trecând la timpul fără dimensiuni, scriem oscilația în formă

Spectrul Walsh al funcției este definit în exemplul 1. Definiția spectrului unei funcții pe interval)