Varianta zgomotului de cuantizare la rotunjire. Zgomot de cuantizare

Cursul numărul 9

„Efecte de cuantizare și zgomot în filtrele digitale”

În dispozitivele reale care implementează algoritmi de procesare a semnalelor digitale, este necesar să se țină cont de efectele cauzate de cuantizarea semnalelor de intrare și de lățimea finită a biților a tuturor registrelor. Sursele de erori în procesarea semnalului sunt rotunjirea (sau trunchierea) rezultatelor operațiilor aritmetice, zgomotul de cuantificare asociat cu conversia analog-digitală a semnalelor analogice de intrare, inexactitatea în implementarea caracteristicilor filtrelor digitale din cauza rotunjirii acestora. coeficienți.

Pentru a analiza efectele asociate cu adâncimea finită de biți a reprezentării datelor, este necesar să se facă câteva ipoteze privind independența statistică a diferitelor surse de zgomot care apar în filtrul digital. Se adoptă un model statistic pe baza următoarelor ipoteze:

1. Orice două mostre de zgomot din aceeași sursă nu sunt corelate.

2. Oricare două surse de zgomot creează zgomot necorelat.

3. Zgomotul fiecărei surse nu este corelat cu semnalul de intrare.

Aceste ipoteze simplifică foarte mult analiza proceselor asociate cu zgomotul de cuantizare în filtrele digitale, deoarece fac sursele individuale de zgomot independente statistic unele de altele și fac posibilă analiza pentru fiecare dintre ele separat. Cu toate acestea, ipotezele acceptate nu sunt întotdeauna adevărate. Există multe exemple pentru care aceste presupuneri nu sunt adevărate. De exemplu, dacă semnalul de intrare este constant sau sinusoidal, la un multiplu al ratei de eșantionare. În primul caz, toate probele de eroare de cuantizare vor fi aceleași, iar în al doilea formează o secvență periodică. Astfel, în ambele cazuri, ipotezele prezentate sunt incorecte.

Efectele de cuantizare duc în cele din urmă la erori în semnalele de ieșire ale filtrelor digitale și, în unele cazuri, la moduri de funcționare instabile. În virtutea ipotezelor făcute, eroarea de ieșire a filtrului digital este calculată ca o suprapunere a erorilor datorate fiecărei surse independente.

Dacă intrarea unui filtru digital cu răspuns la impuls h (t ) sosește semnalul x (t ), atunci semnalul de ieșire al filtrului este determinat de expresie

(9.1).

Cuantizarea semnalului de intrare are ca rezultat zgomot de cuantizare e în (n ), care se suprapune semnalului de intrare și afectează filtrul. Datorită liniarității filtrului, răspunsul filtrului poate fi calculat e out (n) pentru a intra zgomot

(9.2).

Aceasta presupune că toate dispozitivele de calcul și memoriile cu filtru au o adâncime de biți infinită.

În mod similar, puteți găsi eroarea semnalului în orice punct din diagrama bloc a filtrului, cauzată de zgomotul de cuantizare al semnalului de intrare. e în (n).

(9.3),

unde h i (n ) Este răspunsul la impuls al unei părți a filtrului de la intrarea sa până la punctul în care eroarea este estimată.

Dacă semnalul de intrare al filtrului este cuantificat cu o lățime de biți cos , atunci eroarea de cuantizare a semnalului de intrare la utilizarea rotunjirii este limitată la valoare

(9.4),

iar eroarea semnalului de ieșire al filtrului cauzată de cuantificarea semnalului de intrare poate fi estimată ca

(9.5).

Astfel, limita superioară a erorii cauzate de cuantizarea semnalului de intrare depinde de bitul de cuantizare și de suma unităților de eșantion ale răspunsului la impuls al filtrului.

Variația zgomotului de rotunjire de intrare

(9.6),

prin urmare, varianța zgomotului de cuantizare la ieșirea filtrului în conformitate cu (9.3) este

(9.7).

După egalitatea lui Parseval

(9.8)

se poate scrie (9.7) sub forma

(9.9),

Unde - caracteristica amplitudine-frecventa a filtrului digital.

Astfel, conform valorii admisibile e afară 2 și răspunsul în frecvență cunoscut sau răspunsul la impuls al filtrului, puteți determina valoarea admisibilă a variației erorii semnalului de intrare s în 2 , care la rândul său determină adâncimea de biți necesară cos cuantificați semnalul de intrare.

Raportul semnal-zgomot la ieșirea filtrului, care este definită ca raportul dintre puterea semnalului și puterea zgomotului pe o scară logaritmică, este definită ca

(9.10),

unde s s 2 Este varianța semnalului de intrare util și cos - cuantizarea pe biți a semnalului de intrare. Prin urmare, cu o creștere a adâncimii biților de cuantizare cu un bit, raportul semnal-zgomot crește cu aproximativ 6 dB.

Ca exemplu, luați în considerare un filtru digital de ordinul întâi descris de ecuație

(9.11).

Diagrama sa structurală este prezentată în Figura 9.1.

Lăsați zgomotul de cuantificare a semnalului de intrare să aibă variație s în 2 ... Răspunsul la impuls al unui astfel de filtru are forma

(9.12).

Conform (9.7), varianța zgomotului semnalului de ieșire al unui astfel de filtru, datorită cuantizării semnalului de intrare, este

(9.13).

Pentru ca filtrul să fie stabil, condiția trebuie îndeplinităprin urmare, adică puterea de zgomot de ieșire este mai mare decât puterea de zgomot de intrare. Aproapela unu, cu atât câștigul zgomotului de intrare de către filtru este mai mare.

Folosind teorema lui Parseval, este posibil să se determine varianța zgomotului de ieșire al filtrului din răspunsul său în frecvență. Să fie dat un filtru, al cărui răspuns în frecvență este prezentat în Figura 9.2.

Apoi, conform (9.9), varianța zgomotului de ieșire a filtrului cauzată de cuantificarea semnalului de intrare va fi egală cu

(9.14).

Alegerea adâncimii optime de biți a cuantizării semnalului de intrare este determinată de precizia necesară a reprezentării informațiilor inerente semnalului de intrare, de prezența zgomotului de pre-intrare în acesta și de procedura utilizată pentru procesarea semnalului.

Zgomotul din semnal determină partea superioarălimita numărului de niveluri de cuantizare.Evident, nu are sens să folosiți un număr mare de biți atunci când semnalul conține mult zgomot, deoarece în acest caz zgomotul, și nu semnalul, va fi cuantificat cu mare precizie. Este suficient să alegeți atât de multe niveluri de cuantizare încât contribuția zgomotului de cuantizare să fie mică în comparație cu zgomotul conținut în semnal.

Pe de altă parte, numărul minim permis de niveluri de cuantizare ar trebui să asigure calitatea dorită a semnalului de ieșire. Deteriorarea calității semnalului de intrare poate fi cauzată de imperfecțiuni în etapa de preprocesare a semnalului (zgomot și caracteristici de frecvență limitată ale amplificatoarelor de prescalare și filtrelor analogice).

Până acum, s-a presupus că coeficienții ecuației diferenței filtrului sunt dați cu o precizie infinită. În implementarea fizică a filtrului, acești coeficienți sunt stocați în elemente de memorie electronică (celule de stocare), care au o capacitate limitată. Aceasta înseamnă că coeficienții filtrului sunt cuantificați, precum și semnalul de intrare.

Cuantizarea coeficienților filtrului respectă aceleași legi ca și cuantizarea semnalului de intrare. Ca urmare a cuantificării coeficienților filtrului, valorile polilor și zerourilor funcției de transfer a filtrului se modifică într-o măsură mai mare sau mai mică, ceea ce, la rândul său, duce la o modificare corespunzătoare a caracteristicilor de frecvență ale filtrului. Astfel, înclinarea coeficienților filtrului duce la apariția unei erori

(9.15),

unde A (w ) - răspunsul în frecvență al filtrului cu coeficienți necuantificați, A d (w ) - răspunsul în frecvență al filtrului cu coeficienți cuantificați. Valoarea nu trebuie să depășească valoarea admisibilă, determinată de obicei din condiția ca abaterile răspunsului în frecvență real de la ideal să fie în limite acceptabile.

Structurile de filtrare diferite au sensibilitate diferită la modificările coeficienților individuali. Prin urmare, este imposibil să se propună o metodă universală pentru determinarea numărului necesar de biți de cuantificare a coeficientului pentru toate tipurile de filtre. Numărul necesar de biți în coeficienții filtrului cuantificați poate fi determinat prin calcularea unui număr crescător de biți în codurile de coeficienți până la condiția .

Alte metode sunt posibile și aplicate practic, în special metode bazate pe un studiu preliminar al sensibilității caracteristicilor unui anumit tip de filtru la modificările coeficienților acestuia.

Ca exemplu, luați în considerare un bloc biquadratic descris de funcția de transfer

(9.16),

a cărei diagramă structurală este prezentată în figura 9.3.

Dacă notăm polii funcției de transfer (9.16) cu, atunci este ușor de observat că

(9.17).

Apoi cu mici modificări un 1 si un 2 coordonatele polilor sunt modificate de valori

(9.18),

în mod similar (9.19).

Puteți vedea asta D r r aproape de unu, în timp ce D q se modifică brusc la valori q aproape de zero.

Sensibilitatea caracteristicilor de frecvență ale filtrelor la modificările valorilor coeficienților depinde în mare măsură de structura aleasă pentru implementarea filtrului.

La implementarea algoritmului de filtru digital se efectuează operațiile de adunare și înmulțire cu coeficienți. Adunarea numerelor cu punct fix atunci când lățimea de biți a sumatorului nu este mai mică decât lățimea de biți a reprezentării termenilor nu duce la erori de rotunjire în prezentarea sumei.

Operația de înmulțire este asociată cu erori de rotunjire. Produsul a două numere cu virgulă fixă cu b 1 și b 2 cifrele, respectiv, pot conține până la b 1 + b 2 evacuări. Când se efectuează operații de înmulțire secvențială, este necesar să se limiteze lățimea de biți a produselor. În caz contrar, adâncimea de biți a lucrărilor ulterioare va crește la infinit. Prin urmare, pentru lucrările de depozitare, celulele de stocare sunt de obicei alocate cu o capacitate mai mică de până la b 1 + b 2 ... Astfel, rezultatul înmulțirii este supus rotunjirii. Ca urmare a rotunjirii produsului, algoritmul de filtru nu este implementat cu acuratețe și semnalul de ieșire este calculat cu o eroare.

Modelul unui multiplicator cu un număr finit de cifre este reprezentat ca o conexiune în serie a unui multiplicator ideal (cu un număr nelimitat de cifre) și a unui sumator, la a cărui intrare, împreună cu valoarea exactă a produsului, zgomotul de cuantizare intra. La ieșirea sumatorului, valoarea cuantificată a produsului cu b mul evacuări (Figura 9.4).

Eroarea de rotunjire a unui produs poate fi estimată prin limita sa superioară

(9.20),

unde Q mul - pasul de cuantificare a lucrării. Această eroare poate fi considerată ca un proces aleator staționar discret cu o densitate uniformă de distribuție a probabilității, cu medie zero și varianță egală cu

(9.21).

Prin adoptarea unui astfel de model liniar pentru fiecare nod de multiplicare din diagrama bloc al filtrului, eroarea din ieșirea filtrului poate fi calculată ca o suprapunere a erorilor datorate tuturor surselor de zgomot de rotunjire. În acest scop, este necesar doar să se determine caracteristicile impulsului gin ) părți ale structurii filtrului din fiecare i a-a sursă de zgomot (adică ieșirea i al-lea multiplicator) la ieșirea filtrului și calculați componenta zgomotului de ieșire a filtrului din cauza i -m sursa de zgomot ca

(9.22).

Apoi, zgomotul de rotunjire la ieșire se datorează tuturor L sursele de zgomot pot fi calculate ca

(9.23).

Astfel, zgomotul de ieșire a filtrului se datorează i -m sursa de rotunjire nu depășește valoarea

(9.24).

Apoi valoarea maximă a zgomotului de ieșire cauzat de toate L sursele de rotunjire (în ciuda faptului că lățimea de biți a tuturor multiplicatorilor este aceeași) este egală cu

(9.25).

Pe baza (9.7), putem estima varianța zgomotului de rotunjire rezultat din toate sursele ca

(9.26).

Nivelul de zgomot de ieșire al filtrului, datorită cuantizării produselor, depinde puternic de caracteristicile structurii alese pentru implementarea filtrului. Acest lucru se datorează faptului că răspunsul la impuls al secțiunii filtrului de la ieșirea unui anumit multiplicator la ieșirea filtrului depinde de structura utilizată. Atunci când alegeți o structură de filtru, este necesar să luați în considerare efectul erorilor de cuantificare a produsului împreună cu erorile de cuantificare a coeficienților.

Toate sursele de zgomot de cuantizare ale produselor au o contribuție diferită la zgomotul de ieșire rezultat.

Ca exemplu, luați în considerare estimarea zgomotului de cuantificare de ieșire a produselor dintr-un bloc biquadratic având un răspuns la impuls h (n ). Modelul de zgomot al structurii luate în considerare este prezentat în Figura 9.5.

Din modelul prezentat se poate observa că structura filtrului are cinci surse de zgomot de cuantificare a produsului. Surse de e mul .4 și e mul .5 trece prin același circuit ca și semnalul de intrare. Aceasta înseamnă că impulsul răspunde g 4 (n) și g 5 (n ) coincid cu răspunsul general la impuls al filtrului h (n). Surse e mul .1, e mul .2, e mul .3 adăugați direct o eroare la ieșirea filtrului, ca urmare a căreia acestea nu pot fi amplificate de filtru. Caracteristicile lor de impuls sunt egale d (n ). În conformitate cu (9.7) și (9.26), contribuția surselor individuale de zgomot poate fi estimată ca

(9.27).

Variația zgomotului total de cuantizare la ieșirea filtrului în conformitate cu (9.26) va fi egală cu

(9.28).

Eroarea totală de cuantizare cauzată de cuantizarea semnalului de intrare și cuantizarea produselor este determinată de suma estimărilor erorilor corespunzătoare.

La însumarea numerelor cu un punct fix, nu apare o eroare de rotunjire (cu excepția cazului în care sumatorul are o capacitate nu mai mică decât lungimea cuvântului adunărilor). Cu toate acestea, atunci când se însumează numere cu o adâncime de biți fixă, poate apărea depășire atunci când rezultatul rezultat nu se încadrează în numărul de cifre corespunzător lățimii de biți a aditivilor. În cazul depășirii, pentru a evita încălcarea algoritmului de funcționare a filtrului, suma ar trebui limitată ținând cont de semnul la nivelul valorii maxime care se încadrează în numărul specificat de cifre ale rezultatului. În implementarea software a filtrului, aceasta se realizează prin ramificarea corespunzătoare a algoritmului de funcționare, iar în implementarea hardware, necesită includerea unor dispozitive speciale pentru analizarea depășirii și limitarea sumei, ținând cont de semn, în circuitul filtrului. Cu toate acestea, chiar și implementarea acestor mijloace nu rezolvă toate problemele asociate cu depășirile, deoarece în prezența depășirilor, filtrul se transformă într-un dispozitiv substanțial neliniar cu toate consecințele care decurg. Prin urmare, pentru funcționarea normală a filtrului, este necesar să se implementeze măsuri speciale pentru a evita cu totul apariția unei situații de preaplin.

Unul dintre mijloacele de prevenire a depășirii este introducerea de scalare, care se reduce la deplasarea la dreapta (care este echivalentă cu diviziunea) a codurilor binare ale sumelor la toate intrările sumatoarelor. Dacă termenii inițiali sunt normalizați la nivelul de 1,0, atunci când se însumează două numere, pentru a elimina posibilitatea de depășire, fiecare dintre termeni trebuie deplasat cu un bit la dreapta, ceea ce echivalează cu împărțirea fiecărui termen la 2. După aceea , fiecare dintre termenii din modul nu va depăși 0,5 și , ceea ce înseamnă că suma lor nu va depăși 1,0. Dacă sumatorul are mai mult de două intrări, atunci termenii trebuie să fie mutați cu mai multe cifre. Această metodă se numește scalare automată.

Ca urmare a unei astfel de scalari, apare o eroare de scalare datorita faptului ca bitul cel mai putin semnificativ (sau bitii cu o deplasare de mai mult de un bit) dintre termenii deplasati se pierd si eroarea rezultata in reprezentarea lor creste. Deci, atunci când termenii sunt deplasați cu un bit, valoarea maximă a erorii de scalare este

(9.29),

unde b - numărul de cifre din reprezentarea termenului. Dacă termenul care este mutat este un număr semnat direct codificat, atunci valorile posibile ale acestei erori sunt 2 - b, -2 - b, 0. Dacă luăm

(9.30),

atunci această eroare poate fi reprezentată ca zgomot aleatoriu cu valoare medie egală cu 0 și varianță

(9.31).

Dacă sumandul este un număr de complement a doi, atunci eroarea de scalare poate lua valori -2 - b sau 0 cu probabilitate egală 0,5. În acest caz, zgomotul de scalare are o valoare medie de -2 - b/2 și varianță

(9.32).

În acest fel, erorile de scalare pot fi luate în considerare în modelul de filtru într-un mod similar cu erorile de cuantizare.

O altă modalitate de a preveni posibilitatea de depășire este să scalați semnalele de intrare ale filtrului sau ale părților sale constitutive. Dacă răspunsul la impuls al filtrului sau al unei părți a acestuia este h i (n ), apoi semnalul de ieșire al filtrului (sau al unei părți a acestuia) y i (n ) este limitată de valoare

(9.33),

unde este limita superioară a semnalului de intrare al filtrului. Dacă, atunci condiția necesară pentru absența preaplinului este

(9.34).

Dacă sunt specificați coeficienții de filtru (adică, specificați h i (n )), apoi, astfel încât să nu existe revărsări, i.e. astfel încât semnalul de ieșire al oricărui sumator să nu depășească unu, este necesar să se limiteze în mod corespunzător mărimile semnalului de intrare și ale semnalelor de ieșire ale multiplicatorilor. În acest scop, o astfel de scalare este introdusă astfel încât semnalele

(9.35),

unde g i - factori de scalare.

Multiplicatorii de scalare sunt incluși la intrările filtrului sau la ieșirile multiplicatorului. Dacă, atunci o condiție suficientă pentru absența revărsărilor este, conform (9.35), alegerea coeficienților de scalare pe baza condiției

(9.36).

Coeficienții g i sunt alese, ca în cazul scalarii automate, de obicei egale cu puteri de doi, iar multiplicarea scalarii se reduce la ture. În acest caz, similar cu cazul scalării automate, apare zgomotul de scalare, care reduce raportul semnal-zgomot la ieșirea filtrului.

Odată cu o scădere semnificativă a amplitudinilor semnalelor care trec prin filtru, raportul semnal-zgomot la ieșirea filtrului scade. Calcularea factorilor de scalare conform formulei (9.36) duce adesea la rezultate supraestimate și, în consecință, la o scădere a eficienței filtrului. În plus, cu structuri complexe de filtru, calcularea sumei unui număr infinit de mostre ale răspunsului la impulsul filtrului poate fi dificil de implementat. Prin urmare, calculul factorilor de scară este adesea efectuat conform unei tehnici diferite bazate pe analiza spectrului semnalului de intrare și a proprietăților de frecvență ale filtrului.

Dacă structura filtrului conține m sumatori, semnalul de ieșire al i-lea sumător vi (n ) poate fi reprezentat ca

(9.37),

unde x (n ) Este semnalul de intrare al filtrului, h i (n ) - răspuns la impuls al părții filtrului de la intrare la ieșire i - al-lea sumator.

Z -conversia semnalului v i (n ) poate fi scris ca

(9.38),

unde H i (z ) Este funcția de transfer a părții filtrului de la intrare la ieșire i - al-lea sumator.

Raspunsul in frecventa semnalului v i (n ) (pentru un filtru stabil) se poate obține prin modificarea variabilelor din expresia (9.38)

(9.40).

Atunci semnalul de ieșire al sumatorului în sine este v i (n ) poate fi definită ca transformată Fourier inversă a lui V i (e j w T)

(9.41).

Presupunând că modulul spectrului semnalului de intrare x (n C , atunci puteți estima valoarea maximă a modulului semnalului de ieșire al sumatorului

(9.42).

Dacă intrarea filtrului x (n ) este prescalată de un factor eu , apoi ultima expresie ia forma

(9.43).

Pentru a evita revărsările la ieșirea sumătorului, de ex. pentru a îndeplini condiția, este suficient să alegeți valoarea factorului de normalizare eu sunt așa încât

(9.44).

Dacă facem ipoteza că modulul răspunsului în frecvență H i (e j w T ) este limitată la o anumită valoare D , atunci puteți estima valoarea maximă a modulului semnalului de ieșire al sumatorului într-un alt mod, și anume

(9.45).

În acest caz, factorul de normalizare eu pentru a elimina preaplinul la iesirea sumatorului se poate alege astfel incat

(9.46).

În cele din urmă, aplicând expresiei (9.41) inegalitatea Cauci-Bunyakovsky ( ) se poate obține următoarea inegalitate

(9.47).

Dacă presupunem că energia spectrului semnalului de intrare (a doua expresie radicală în inegalitate (9.47)) este limitată la o anumită valoare E , apoi factorul de normalizare eu poate fi selectat pe baza următoarei expresii

(9.48).

Toate cele trei opțiuni pentru alegerea factorului de scalare se bazează pe disponibilitatea informațiilor fiabile despre caracteristicile spectrale ale semnalului de intrare al filtrului. Dacă această informație nu este absolut de încredere, atunci probabilitatea unui depășire la ieșirea sumatorului nu este zero.

Pentru a exclude depășirea la ieșirile tuturor sumatorilor incluse în diagrama bloc a filtrului, este necesar să se evalueze coeficienții eu pentru fiecare dintre sumatori și alegeți valoarea finală a factorului de normalizare la intrarea filtrului ca

(9.49).

Ca și în cazul scalarii automate, coeficienții l sunt de obicei alese egale cu puteri de 2, ceea ce transformă operația de multiplicare la scară într-o deplasare a codului semnalului de intrare cu numărul corespunzător de cifre la dreapta.

Multiplicatorul de scalare, ca orice alt multiplicator din structura filtrului, este o sursă de zgomot de eroare de cuantizare, al cărui efect asupra semnalului de ieșire poate fi luat în considerare similar zgomotului altor multiplicatori.

Este evident că în cazurile în care un anume sumator din schema structurală a filtrului adaugă mai mult de doi termeni, chiar și în absența depășirii în suma finală, acesta poate avea loc în sume parțiale intermediare. Acest fapt nu a fost luat în considerare în raționamentul anterior. Cu toate acestea, dacă semnalele digitale de intrare și intermediare ale filtrului sunt prezentate într-un cod de complement, atunci toate metodele de normalizare de mai sus rămân valabile, deoarece la însumarea numerelor într-un cod de complement, rezultatul final rămâne corect (dacă nu există nicio depășire în it) chiar dacă există revărsare în sume parțiale.

Analiza anterioară s-a bazat pe presupunerea că semnalele de zgomot sunt independente din punct de vedere statistic de la probă la probă și de la sursă la sursă. Acest lucru este adevărat dacă diferența dintre două mostre adiacente ale semnalului de intrare este mult mai mare decât pasul de cuantizare. Este clar că în multe cazuri (în special, când semnalul de intrare este constant sau egal cu zero), această ipoteză nu este validă. În aceste circumstanțe, erorile de cuantizare pot fi foarte corelate. Acest lucru poate duce la o funcționare defectuoasă a filtrului, în urma căreia filtrul devine instabil și la ieșirea acestuia sunt generate oscilații periodice constante. Acest fenomen se numește efect de zonă moartă, iar oscilațiile periodice la ieșire se numesc fluctuaţiile ciclului limită. Analiza generală a acestui efect neliniar este destul de complexă. Prin urmare, vom efectua un studiu al acestui fenomen pentru cele mai simple filtre digitale.

Luați în considerare un filtru de ordinul întâi descris de ecuația diferențelor

(9.50).

Funcția de transfer a unui astfel de filtru are forma

(9.51).

Schema bloc a filtrului este prezentată în Figura 9.6.

Răspunsul la impuls al unui astfel de filtru este

(9.52).

Dacă coeficientul a 1 este egal cu 1 sau –1, apoi filtrul devine instabil și are un răspuns la impuls

(9.53).

Tabelul 9.1 prezintă valorile exacte ale eșantioanelor de răspuns la impuls (9.52) la b 0 = 10, a 1 = 0,9.

	h (n)	H Q (n)



	7.29
	6.561
	5.9049
	5.31441

	2.65614*10 -4

Acum, să presupunem că filtrul are un multiplicator zecimal cu virgulă fixă în care se află fiecare produs a 1 * y (n -1) se rotunjește la cel mai apropiat număr întreg în funcție de condiție

(9.54).

A treia coloană a tabelului 9.1 prezintă eșantioanele răspunsului la impuls al unui astfel de filtru. După cum puteți vedea, atunci când răspunsul filtrului devine constant, iar cuantizarea face filtrul instabil.

Dacă presupunem că ecuația diferenței (9.50) rămâne valabilă pentru un filtru instabil, atunci valoarea efectivă... Dacă, atunci răspunsul filtrului va scădea în absența unui semnal de intrare până când semnalul de ieșire ajunge în zona [- k, k ] a sunat zonă moartă... Când se întâmplă acest lucru, modul de filtrare va deveni instabil. Orice cauză care face ca modulul să depășească ieșirea k , duce la restabilirea stabilității. Cu toate acestea, în absența unui semnal de intrare, răspunsul scade din nou la o valoare corespunzătoare zonei moarte.

Astfel, filtrul va fi în modul ciclu limită cu amplitudinea semnalului de ieșire egală cu k ... Din moment ce valoarea efectivă un 1 este egal cu 1 pentru un 1> 0 sau –1 pentru un 1 <0, то частота такого предельного цикла равна 0 или w s / 2.

(9.60).

Această expresie poate fi utilizată pentru a selecta numărul minim de biți ai dispozitivului de calcul din condiția limitării amplitudinii de oscilație a ciclului limită la un nivel dat.

Să analizăm efectul zonei moarte pentru un filtru de ordinul doi, care este descris de ecuația diferenței va fi egal cu 1. În acest caz

(9.66).

Prin urmare, ca și înainte, condiția pentru funcționarea instabilă a filtrului poate fi definită ca

(9.67).

Dacă k Este un număr întreg, apoi cantitățile a 2 din intervale

(9.68)

va duce la apariția zonelor moarte [-1,1], [-2,2], ..., [- k, k ] respectiv.

Dacă filtrul folosește un multiplicator binar cu un pas de cuantificare a rezultatului egal cu q , atunci condiția de apariție a oscilațiilor ciclului limită are forma

Mayorov V.P.
Semin M.S.

Scopul acestui articol este de a arăta cum arată imaginile la diferite rapoarte semnal-zgomot. Acest raport este crucial pentru evaluarea calității imaginii și a sensibilității camerei.

Zgomot cuantic așa cum este

Mai jos sunt exemple pentru a ilustra modul în care arată imaginile în diferite condiții de iluminare. Luminozitatea unui obiect este exprimată în termeni de numărul de electroni care sunt generați într-o celulă CCD ca urmare a expunerii la lumină. Calitatea imaginii este evaluată prin raportul semnal-zgomot (S / N) măsurat pe porțiunea de lumină a imaginii.

Un sistem VS-CTT-085-60 bazat pe o matrice CCD SONY ICX085AL a fost folosit ca sistem de intrare pentru televiziune. În calcule, a fost luată valoarea zgomotului de citire de 25 de electroni (vezi mai jos pentru zgomotul de citire).

Imaginea originală este piesa centrală a diagramei de testare TV. Raportul semnal-zgomot este de aproximativ 80. Dimensiunea acestei imagini este de 256 * 256 pixeli.

Fig 1. Imaginea originală

Imaginile din stânga sunt imagini care țin cont de zgomotul de citire a matricei (25 de electroni), cele din dreapta sunt imagini la același nivel de iluminare, dar în absența zgomotului de citire ca atare. Putem spune că coloana de imagini din dreapta este un caz ideal de care te poți apropia pentru un timp infinit de lung, dar în principiu este imposibil de depășit, pentru că atunci totul se bazează pe „zgomote cuantice”.

Puterea semnalului	Imagini cu zgomot citind 25 de electroni	Cu excepția imaginilor zgomot de citit
Semnal 25 de electroni	S/N = 1
Semnal 52 de electroni	S/N = 2
Semnal 108 electroni	S/N = 4
Semnal 234 de electroni	S/N = 8
Semnal 547 de electroni	S/N = 16
Semnal 1400 de electroni	S/N = 32

Să încercăm să explicăm toate acestea.

Zgomotul din imaginea obținută din matricea CCD poate fi simplificat în 2 componente principale (de fapt, există mai multe dintre aceste componente, dar restul în acest caz poate fi neglijat):

zgomot de citire a matricei;
zgomotul cuantic al fotonilor.

Zgomotul de citire a matricei este o constantă și este determinat doar de circuitul CCD. Din păcate, compania SONY pe CCD-urile căreia am efectuat toate experimentele noastre nu raportează acest parametru. Pur și simplu l-am măsurat pe camera noastră specifică VS-CTT-085-60 și s-a dovedit a fi egal cu 20-25 de electroni. Am văzut numere similare pe site-urile web ale producătorilor străini de camere de pe această matrice.

Zgomotul cuantic provine din proprietățile fundamentale ale tuturor lucrurilor și în special din lumina. Quantele de lumină sunt distribuite aleatoriu în spațiu și timp. În acest caz, numărul de electroni acumulați într-o celulă poate fi determinat până la rădăcina pătrată a numărului lor (statistica Poisson).

La un nivel scăzut de luminozitate al obiectului, cea mai mare contribuție la zgomot o are zgomotul de citire a matricei. Acest zgomot determină cel mai scăzut nivel posibil de semnal care poate fi văzut.

Într-o imagine compusă din 400-625 de electroni, zgomotul cuantic este comparat cu zgomotul de citire. Când semnalul este mai mare decât această valoare, cea mai mare contribuție la zgomotul total o are „zgomotul cuantic al fotonilor”. Imaginile de pe ultimul rând sunt foarte apropiate, dar aceasta este doar 7% (!!!) din capacitatea maximă de pixeli a matricei ICX085 (20.000 e-1).

Concluzie

Dacă vânzătorul vă spune că camera lui super-duper are o sensibilitate de 0,0хххх1 lux - nu uitați să întrebați - la ce raport semnal-zgomot se măsoară toate acestea?

Priviți imaginile și trageți propriile concluzii! Putem repeta încă o dată - nu trebuie să ne așteptăm la miracole în creșterea sensibilității camerelor de televiziune.

Dacă aveți o imagine „zgomotoasă” la iluminare apropiată de saturația matricei, atunci nu are sens să căutați cauza acestor zgomote în cameră.

Principalul aspect al calculului și dezvoltării proiectelor de inginerie este necesitatea utilizării caracteristicilor analitice ale calității funcționării sistemelor. Numai în prezența unor astfel de caracteristici sistemul poate fi evaluat în mod obiectiv și poate fi comparat eficient din punct de vedere al costurilor cu costul dezvoltărilor alternative. Una dintre caracteristicile cerute de inginerii de telefonie este calitatea vorbirii transmise ascultătorului. Măsurătorile calității vorbirii sunt complicate de proprietățile subiective ale vorbirii, care sunt percepute de ascultătorul tipic. Una dintre caracteristicile percepției subiective a zgomotului sau a distorsiunii într-un semnal de vorbire este asociată cu compoziția frecvenței sau cu spectrul de influențe interferente în combinație cu nivelul puterii acestora. Aceste efecte ale zgomotului în funcție de frecvență au fost luate în considerare în Capitolul 1 la introducerea conceptelor de cântărire C-loop și cântărire psofometrică.

Erorile de cuantizare consecutive într-un codificator PCM sunt, în general, presupus a fi distribuite aleatoriu și nu sunt corelate între ele. Astfel, efectul cumulativ al erorilor de cuantizare în sistemele PCM poate fi privit ca zgomot aditiv cu un efect subiectiv care este similar cu cel al zgomotului alb limitat pe bandă. În fig. 3.9 arată dependența erorilor de cuantizare de amplitudinea semnalului pentru un encoder cu pași uniformi de cuantizare. Rețineți că dacă semnalul are timp să se schimbe în amplitudine cu mai mulți pași de cuantizare, erorile de cuantizare devin independente. Dacă semnalul este eșantionat la o frecvență mult mai mare decât f s, atunci eșantioanele succesive vor cădea adesea pe aceleași trepte, ceea ce va duce la o pierdere a independenței erorilor de cuantizare.

Erorile de cuantizare sau zgomotul de cuantizare care apar la conversia unui semnal analog în formă digitală sunt de obicei exprimate în termeni de putere medie de zgomot față de puterea medie a semnalului. În consecință, raportul semnal-zgomot de cuantizare poate fi definit ca

OSHK = E (x 2 (t)) / E (2), (3.1)

unde E (.) - așteptarea matematică, sau valoarea medie, x (t) - semnal de intrare analogic, y (t) - semnal de ieșire decodificat.

Există trei puncte de făcut în determinarea zgomotului mediu de cuantizare.

Eroarea y (t) –x (t) este limitată în amplitudine de valoarea q / 2, unde q este pasul de cuantizare. (Eșantioanele de ieșire decodificate sunt situate exact la mijlocul etapei de cuantificare.)

Se poate presupune că valorile eșantionului cu probabilitate egală pot cădea în orice punct din etapa de cuantificare (se presupune o densitate uniformă de probabilitate egală cu 1 / q).

Se presupune că amplitudinile semnalului sunt limitate la domeniul de operare al codificatorului. Dacă valoarea discretă depășește limita celui mai înalt pas de cuantizare, atunci apar distorsiuni cauzate de suprasarcină.

Dacă, pentru comoditate, presupunem că rezistența de tracțiune are o rezistență de 1 Ohm, atunci puterea medie a zgomotului de cuantizare (calculată în Anexa A) este dată de:

Puterea zgomotului de cuantizare = q 2/12. (3,2)

Dacă toți pașii de cuantizare au valori egale (cuantizare uniformă) și zgomotul de cuantizare nu depinde de valorile eșantionului, atunci raportul semnal-zgomot de cuantizare (în decibeli) este definit ca

SNR = 10lg = 10,8 + 20lg (v / q), (3,3)

unde v este valoarea pătrată medie a amplitudinii semnalului de intrare. În special, pentru un semnal de intrare sinusoidal, raportul semnal-zgomot de cuantizare (în decibeli) cu cuantizare uniformă este

SNR = 10 lg [(A 2/2) / (q 2/12)] = 7,78 + 20 lg (A / q), (3,4)

unde A este amplitudinea sinusoidei.

Exemplul 3.1 Un semnal sinusoidal cu o amplitudine de 1 V ar trebui digitizat astfel încât să se obțină un raport semnal-zgomot de cuantizare de cel puțin 30 dB. Câți pași de cuantificare identici sunt necesari și câți biți sunt necesari pentru a codifica fiecare probă?

Soluţie. Folosind formula (3.4), determinăm dimensiunea maximă a pasului de cuantificare q = 10 - (30 - 7,78) / 20 = 0,078B.

Astfel, sunt necesari 13 pași de cuantizare pentru fiecare polaritate a semnalului (în total 26 de pași de cuantizare). Numărul de biți necesari pentru a codifica fiecare probă este definit ca n = log 2 26 = 4,75 biți per probă.

În măsurarea puterii de zgomot de cuantizare, componentele spectrale sunt adesea ponderate în același mod ca zgomotul pe canalele analogice. Din păcate, măsurătorile zgomotului ponderat nu reflectă întotdeauna adevărata calitate a percepției vorbirii transmise de codificator (decodor). Dacă distribuția spectrală a zgomotului de cuantizare repetă mai mult sau mai puțin distribuția spectrală a semnalului de vorbire, aceste zgomote sunt mult mai puțin vizibile decât zgomotele necorelate cu vorbirea. Pe de altă parte, dacă procesul de cuantizare creează energie la alte frecvențe tonale decât cele găsite în sunete specifice, aceste distorsiuni devin mai vizibile.

Codificatoarele PCM de înaltă calitate generează zgomot de cuantizare care este distribuit uniform în intervalul PM și nu depinde de semnalul codificat. În acest caz, raportul de cuantizare semnal-zgomot (3.4) este o măsură bună a calității transformării PCM. În unele tipuri de codificatoare discutate mai jos (în special în vocodere), cunoașterea puterii zgomotului de cuantizare nu este foarte utilă. În descrie alte caracteristici ale calității vorbirii trecute prin codificator, care determină mai bine percepția vorbirii de către ascultător.

Aproape toate DSP-urile folosesc discretizarea semnalelor cu o perioadă constantă T d, iar abaterile de la această perioadă T i sunt aleatorii. Aceste abateri duc la o modificare a formei semnalului primit, care este percepută subiectiv ca o interferență caracteristică numită zgomot de eșantionare.

Valorile T i sunt determinate în principal de fluctuațiile de fază de joasă frecvență ale impulsurilor cauzate de inexactități în funcționarea regeneratoarelor liniare ale stației de transmisie.

Imunitate la semnal la zgomotul de eșantionare:

Valorile relative admisibile ale compensațiilor instantelor de eșantionare;

unde este magnitudinea abaterii cauzate de instabilitatea oscilatoarelor master;

unde este mărimea abaterii cauzate de fluctuațiile de fază.

Perioada de prelevare

63 dB Imunitate la zgomot de eșantionare necesară

pentru că , atunci:

Concluzie: pentru a asigura o imunitate acceptabilă la zgomotul de eșantionare, perioada de eșantionare nu trebuie să devieze cu mai mult de 20 ns.

Zgomot de cuantizare

Zgomot de cuantizare uniformă

Cuantificarea semnalului pe nivel este operația principală de conversie a semnalului analog-digital și constă în rotunjirea valorilor sale instantanee la cea mai apropiată permisă. Cu cuantizarea uniformă, distanța dintre nivelurile de cuantizare este aceeași. La cuantizarea unui semnal apar erori, a căror mărime este aleatorie și are o distribuție uniformă, care nu depășește valoarea a jumătate din treapta de cuantizare. Semnalul cuantificat este suma semnalului original și a semnalului de eroare, care este perceput ca zgomot de fluctuație.

Imunitate la zgomot de cuantizare pentru cele mai slabe semnale cu cuantizare uniformă:

Coeficientul psofometric egal cu 0,75 pentru canalul PM;

Interval dinamic al semnalului, egal, dB;

m este numărul de biți din codul binar.

Tabelul 5.2. Datele inițiale

Niveluri de semnal:

Interval dinamic al semnalului:

Numărul necesar de cifre:

Bitness-ul codului pentru cuantificare uniformă.

Numărul de pași pentru cuantificarea uniformă va fi:

Concluzie: pentru a codifica cu un cod uniform cu o anumită securitate, aveți nevoie de cod cu o adâncime de biți.

Zgomot de cuantizare neuniform

Sistemele PCM reale folosesc cuantizarea neuniformă. Cuantificare neuniformă - reducerea pantei caracteristicii prin scăderea dimensiunii pașilor de cuantificare pentru valori instantanee mici ale semnalului prin creșterea pașilor pentru valori mari.

Codificarea neuniformă utilizează coduri de 8 biți, adică numărul de niveluri de cuantizare este 256.

Intervalul dinamic este comprimat folosind caracteristicile de compresie A - sau -. În cazul nostru, se utilizează caracteristica de compresie, care este descrisă de următoarea expresie:

Orez. 5.2.2. Caracteristica de compresie

DSP utilizează caracteristici de cuantizare neuniforme ale segmentului deoarece sunt destul de ușor de implementat pe bază digitală. Caracteristica este simetrică față de 0, ramurile sale pozitive și negative constau din 8 segmente, fiecare segment este împărțit în 16 pași identici (în cadrul fiecărui segment, cuantizarea este uniformă).

Segmentele aproximează o curbă netedă a caracteristicii de compresie de tip A în zero și în primul segment, treapta este minimă, iar în fiecare segment ulterior mărimea pasului este dublată în raport cu cel precedent.

Expresia pentru protecția împotriva zgomotului de cuantizare în primele două segmente va fi:

Pentru 2-7 segmente:

unde i este numărul segmentului.

Începutul graficului - o linie dreaptă înclinată - corespunde cu zero și primul segment. Aceasta este o zonă de cuantizare uniformă, astfel încât securitatea crește proporțional cu creșterea nivelului semnalului. La trecerea la al doilea segment, protecția este redusă brusc cu 6 dB. Când se atinge limita superioară a celui de-al 7-lea segment, se instalează zona de suprasarcină.

Zgomote instrumentale

În procesul de conversie a unui semnal analogic în digital, zgomotul apare în echipamentul terminal, care este determinat de abaterea caracteristicilor convertorului de la ideal. Aceste abateri sunt cauzate de viteza limitată și acuratețea finală a funcționării unităților individuale, modificări ale parametrilor convertoarelor cu fluctuații de temperatură, îmbătrânirea dispozitivelor etc. Nivelul zgomotului instrumental crește odată cu creșterea ratei de transmisie și a lățimii de biți a codului.

Relația dintre zgomotul de cuantizare și zgomotul instrumental:

Valoarea RMS a erorii de conversie instrumentală redusă;

Bitness-ul codului.

Pentru cuantizarea neuniformă:

Pentru cuantificare uniformă:

Ieșire : cu cuantizarea neuniformă, puterea zgomotului instrumental este mult mai mică decât cu cuantizarea uniformă, prin urmare, este mai bine să utilizați cuantizarea neuniformă.

Zgomotul canalului inactiv

În absența semnalelor de intrare la intrarea encoderului, acționează interferențe slabe, care includ zgomote intrinseci și diafonie, reziduuri de impulsuri dezechilibrate etc. Dacă caracteristica codificatorului se dovedește a fi deplasată în așa fel încât nivelul semnalului de intrare zero coincide cu nivelul de decizie al codificatorului, atunci interferența cu orice amplitudine arbitrar mică duce la o schimbare a combinației de cod. În acest caz, semnalul de ieșire al decodorului este un impuls dreptunghiular cu un interval (este valoarea pasului minim de cuantizare) și cu timpi aleatori de trecere cu zero. Zgomotul rezultat se numește zgomot de canal inactiv. În ciuda valorii sale mici, aceste zgomote nu sunt, așa cum ar fi, „mascate” de semnal, care este vizibil pentru abonați.

Imunitatea la zgomot a unui canal neocupat trebuie să fie de cel puțin:

unde, a este factorul de creastă al semnalului, este pasul minim de cuantizare pentru cuantizarea uniformă și neuniformă.

Cuantificare uniformă:

Cuantificare neuniformă:

Concluzie: la cuantizarea neuniformă, imunitatea la interferența unui canal neocupat este cu 12,1 dB mai mare decât în cazul unui canal uniform.

Imunitate la zgomot de cuantizare pentru cele mai slabe semnale cu cuantizare uniformă:

–Coeficient psofometric egal cu 0,75 pentru canalul PM;

- domeniul dinamic al semnalului egal cu , dB;