Analiza corelației a două semnale și exemplu clar. Funcții de corelație ale semnalelor deterministe

Corelația - o operație matematică, similară cu convoluția, vă permite să obțineți o treime din două semnale. Se întâmplă: autocorelație (funcția de autocorelare), corelația încrucișată (funcția de corelație încrucișată, funcția de corelație încrucișată). Exemplu:

[Funcția de corelație încrucișată]

[Funcția de autocorelare]

Corelația este o tehnică de detectare a semnalelor cunoscute anterior pe un fundal de zgomot, numită și filtrare optimă. Deși corelația este foarte asemănătoare cu convoluția, acestea sunt calculate în moduri diferite. Domeniile lor de aplicare sunt, de asemenea, diferite (c (t) = a (t) * b (t) - convoluția a două funcții, d (t) = a (t) * b (-t) - corelație încrucișată).

Corelația este aceeași convoluție, doar unul dintre semnale este inversat de la stânga la dreapta. Autocorelația (funcția de autocorelare) caracterizează gradul de conexiune dintre semnal și copia acestuia deplasat cu τ. Funcția de corelare încrucișată caracterizează gradul de conexiune între 2 semnale diferite.

Proprietățile funcției de autocorelare:

1) R (τ) = R (-τ). Funcția R (τ) este pară.
2) Dacă x (t) este o funcție sinusoidală a timpului, atunci funcția sa de autocorelare este cosinus de aceeași frecvență. Informațiile fazei inițiale se pierd. Dacă x (t) = A * sin (ωt + φ), atunci R (τ) = A 2/2 * cos (ωτ).
3) Funcția de autocorelare și spectrul de putere sunt legate prin transformata Fourier.
4) Dacă х (t) este orice funcție periodică, atunci R (τ) pentru aceasta poate fi reprezentată ca o sumă de funcții de autocorelare dintr-o componentă constantă și dintr-o componentă variabilă sinusoid.
5) Funcția R (τ) nu poartă nicio informație despre fazele inițiale ale componentelor armonice ale semnalului.
6) Pentru o funcție aleatoare a timpului, R (τ) scade rapid odată cu creșterea lui τ. Intervalul de timp după care R (τ) devine egal cu 0 se numește interval de autocorelație.
7) Un dat x (t) corespunde unui R (τ) bine definit, dar pentru același R (τ) pot corespunde diferite funcții x (t)

Semnal original cu zgomot:

Funcția de autocorelare a semnalului original:

Proprietățile funcției de corelație încrucișată (CCF):

1) CCF nu este nici o funcție pară, nici impară, adică R xy (τ) nu este egal cu R xy (-τ).
2) CCF rămâne neschimbat la schimbarea alternanței funcțiilor și schimbarea semnului argumentului, i.e. R xy (τ) = R xy (-τ).
3) Dacă funcțiile aleatoare x (t) și y (t) nu conțin componente constante și sunt create de surse independente, atunci pentru ele R xy (τ) tinde spre 0. Astfel de funcții se numesc necorelate.

Semnal original cu zgomot:

Un meadru de aceeași frecvență:

Corelația semnalului inițial și a meandrei:

Atenţie! Fiecare notițe electronice de curs sunt proprietatea intelectuală a autorului lor și sunt publicate pe site doar în scop informativ.

3 Analiza corelației semnalelor

Sensul analizei spectrale a semnalelor este de a studia modul în care un semnal poate fi reprezentat ca o sumă (sau integrală) a oscilațiilor armonice simple și modul în care forma de undă determină structura distribuției de frecvență a amplitudinilor și fazelor acestor oscilații. În contrast, sarcina analizei corelației semnalelor este de a determina o măsură a gradului de similitudine și diferență dintre semnale sau copii deplasate în timp ale unui semnal. Introducerea unei măsuri deschide calea către măsurători cantitative ale gradului de similitudine a semnalelor. Se va arăta că există o anumită relație între caracteristicile spectrale și de corelație ale semnalelor.

3.1 Funcția de autocorelare (ACF)

Funcția de autocorelație a unui semnal cu o energie finită este valoarea integralei produsului a două copii ale acestui semnal, deplasate una față de cealaltă cu timpul τ, considerat ca o funcție a acestei deplasări în timp τ:

Dacă semnalul este determinat pe un interval de timp finit, atunci ACF-ul său se găsește ca:

unde este intervalul de suprapunere al copiilor de semnal deplasat.

Se crede că cu cât valoarea funcției de autocorelare este mai mare la o valoare dată, cu atât cele două copii ale semnalului, deplasate de intervalul de timp, sunt similare între ele. Prin urmare, funcția de corelare este o măsură a similitudinii pentru copiile deplasate ale semnalului.

Măsura de similitudine introdusă în acest fel pentru semnalele având forma de oscilații aleatorii în jurul zero are următoarele proprietăți caracteristice.

Dacă copiile deplasate ale semnalului oscilează aproximativ în timp una față de alta, atunci acesta este un semn al similitudinii lor, iar ACF ia valori pozitive mari (corelație pozitivă mare). Dacă copiile oscilează aproape în antifază, ACF ia valori negative mari (anti-similaritate a copiilor semnal, corelație negativă mare).

ACF maxim se atinge atunci când copiile coincid, adică atunci când nu există nicio schimbare. Valorile zero ACF sunt atinse la schimburi la care nici asemănarea, nici antisimilaritatea copiilor de semnal nu este vizibilă (corelație zero,

nicio corelare).

Figura 3.1 prezintă un fragment al implementării unui anumit semnal în intervalul de timp de la 0 la 1 s. Semnalul fluctuează aleatoriu în jurul zero. Deoarece intervalul de existență a semnalului este finit, energia sa este, de asemenea, finită. ACF-ul său poate fi calculat conform ecuației:

Funcția de autocorelare a semnalului, calculată în MathCad în conformitate cu această ecuație, este prezentată în Fig. 3.2. Funcția de corelare arată nu numai că semnalul este similar cu el însuși (deplasare τ = 0), dar și că copiile semnalului care sunt deplasate unul față de celălalt cu aproximativ 0,063 s (maximul lateral al funcției de autocorelare) au, de asemenea, unele similitudine. Spre deosebire de aceasta, copiile semnalului, deplasate cu 0,032 s, ar trebui să fie anti-asemănătoare între ele, adică, într-un anumit sens, ar trebui să fie opuse una față de alta.

Figura 33 prezintă perechile acestor două copii. Figura arată ce se înțelege prin similitudinea și anti-asemănarea copiilor de semnal.

Funcția de corelare are următoarele proprietăți:

1. La τ = 0, funcția de autocorelare ia cea mai mare valoare egală cu energia semnalului

2. Funcția de autocorelare este o funcție de decalare uniformă a timpului .

3. Odată cu creșterea lui τ, funcția de autocorelare scade la zero

4. Dacă semnalul nu conține discontinuități de tipul funcțiilor δ - atunci este o funcție continuă.

5. Dacă semnalul este o tensiune electrică, atunci funcția de corelare are dimensiuni.

Pentru semnalele periodice din definiția funcției de autocorelare, aceeași integrală este împărțită la perioada de repetare a semnalului:

Funcția de corelare introdusă are următoarele proprietăți:

Valoarea funcției de corelare la zero este egală cu puterea semnalului,

Dimensiunea funcției de corelare este egală cu pătratul dimensiunii semnalului, de exemplu.

De exemplu, să calculăm funcția de corelare a unei oscilații armonice:

Folosind o serie de transformări trigonometrice, obținem în sfârșit:

Astfel, funcția de autocorelare a unei oscilații armonice este un cosinus cu aceeași perioadă de variație ca și semnalul însuși. Cu deplasări care sunt multipli ai perioadei de oscilație, armonica este convertită în sine și ACF ia cele mai mari valori, egale cu jumătate din pătratul amplitudinii. Deplasările în timp, multipli ai jumătate ai perioadei de oscilație, sunt echivalente cu o defazare printr-un unghi, în timp ce semnul oscilațiilor se modifică, iar ACF ia o valoare minimă, negativă și egală cu jumătate din pătratul amplitudinii. Deplasările care sunt multipli ai unui sfert de perioadă traduc, de exemplu, o oscilație sinusoidală într-una cosinus și invers. În acest caz, ACF dispare. Astfel de semnale, care sunt în cuadratura unul față de celălalt, din punctul de vedere al funcției de autocorelare, se dovedesc a fi complet diferite unele de altele.

Este important ca expresia funcției de corelare a semnalului să nu includă faza sa inițială. S-au pierdut informații despre fază. Aceasta înseamnă că semnalul în sine nu poate fi reconstruit din funcția de corelare a semnalului. Maparea, spre deosebire de mapare, nu este unul la unu.

Dacă înțelegem mecanismul de generare a semnalului ca un anumit demiurg care creează un semnal în funcție de funcția de corelare pe care a ales-o, atunci el ar putea crea un întreg set de semnale (un ansamblu de semnale) care au de fapt aceeași funcție de corelare, dar diferă de fiecare. altele în relaţii de fază.

Actul de manifestare printr-un semnal al liberului său arbitru, independent de voința creatorului (apariția unor realizări separate ale unui proces aleatoriu),

Rezultatul violenței străine împotriva semnalului (introducerea în semnal a informațiilor de măsurare obținute în timpul măsurătorilor oricărei mărimi fizice).

Situația este similară cu orice semnal periodic. Dacă un semnal periodic cu perioada principală T are un spectru de amplitudine și un spectru de fază, atunci funcția de corelare a semnalului ia următoarea formă:

Deja în aceste exemple se manifestă o anumită legătură între funcția de corelare și proprietățile spectrale ale semnalului. Aceste rapoarte vor fi discutate mai detaliat mai târziu.

3.2 Funcția de corelație încrucișată (CCF).

Spre deosebire de funcția de autocorelare, funcția de corelație încrucișată determină gradul de similitudine al copiilor a două semnale diferite x (t) și y (t), deplasate în timp τ unul față de celălalt:

Funcția de corelație încrucișată are următoarele proprietăți:

1. La τ = 0, funcția de corelație încrucișată ia o valoare egală cu energie reciprocă semnale, adică energia interacțiunii lor

2. Pentru orice τ, este valabilă următoarea relație:

unde sunt energiile semnalului.

3. Schimbarea semnului deplasării timpului este echivalentă cu permutarea reciprocă a semnalelor:

4. Odată cu creșterea lui τ, funcția de corelație încrucișată, deși nu este monoton, scade la zero

5. Valoarea funcției de corelație încrucișată la zero nu iese în evidență față de alte valori.

Pentru semnalele periodice, conceptul de funcție de corelație încrucișată, de regulă, nu este folosit deloc.

Instrumentele de măsurare a valorilor funcțiilor de autocorelare și corelație încrucișată se numesc corelatori sau corelatori. Corelometrele sunt folosite, de exemplu, pentru a rezolva următoarele informații și sarcini de măsurare:

Analiza statistică a electroencefalogramelor și a altor rezultate ale înregistrării biopotențialelor,

Determinarea coordonatelor spațiale ale sursei de semnal prin mărimea deplasării în timp la care se atinge CCF maxim,

Izolarea unui semnal slab pe un fundal de interferențe statice puternice fără legătură,

Detectarea și localizarea canalelor de scurgere de informații prin determinarea corelației dintre semnalele radio din interior și exterior,

Detectarea, recunoașterea și căutarea automate în câmpul apropiat pentru dispozitive de interceptare cu emisie radio care funcționează, inclusiv telefoane mobile utilizate ca dispozitive de interceptare,

Localizarea scurgerilor în conducte pe baza determinării CCF a două semnale acustice de zgomot cauzate de o scurgere în două puncte de măsurare în care senzorii sunt amplasați pe conductă.

3.3 Relații dintre corelație și funcțiile spectrale.

Atât funcțiile de corelație, cât și cele spectrale descriu structura internă a semnalelor, structura lor internă. Prin urmare, se poate aștepta să existe o anumită interdependență între aceste două moduri de descriere a semnalelor. Ați văzut deja prezența unei astfel de conexiuni pe exemplul semnalelor periodice.

Funcția de corelație încrucișată, ca orice altă funcție a timpului, poate fi supusă transformării Fourier:

Să schimbăm ordinea integrării:

Expresia dintre paranteze pătrate ar putea fi considerată ca transformata Fourier pentru semnalul y (t), dar nu există semnul minus în exponent. Acest lucru sugerează că integrala interioară ne oferă o expresie complexă conjugată cu funcția spectrală.

Dar expresia nu depinde de timp, deci poate fi luată în afara semnului integralei externe. Atunci integrala exterioară ne va oferi pur și simplu definiția funcției spectrale a semnalului x (t). În sfârșit, avem:

Aceasta înseamnă că transformata Fourier pentru funcția de corelație încrucișată a două semnale este egală cu produsul funcțiilor lor spectrale, dintre care una este supusă unei conjugări complexe. Acest produs se numește spectru încrucișat de semnale:

Din expresia obținută rezultă o concluzie importantă: dacă spectrele semnalelor x (t) și y (t) nu se suprapun, adică sunt situate în diferite game de frecvență, atunci astfel de semnale sunt necorelate, independente unele de altele. .

Dacă punem în formulele de mai sus: x (t) = y (t), atunci obținem o expresie pentru transformata Fourier a funcției de autocorelare

Aceasta înseamnă că funcția de autocorelare a semnalului și pătratul modulului funcției sale spectrale sunt legate între ele prin transformarea Fourier.

Funcția este numită spectrul energetic semnal. Spectrul de energie arată modul în care energia totală a unui semnal este distribuită pe frecvențele componentelor sale armonice individuale.

3.4 Caracteristicile energetice ale semnalelor din domeniul frecvenței

Funcția de corelație reciprocă a două semnale este legată de transformata Fourier de spectrul reciproc al semnalelor, prin urmare poate fi exprimată ca transformată Fourier inversă a spectrului încrucișat:

Acum să înlocuim valoarea de deplasare în timp în acest lanț de egalități. Ca rezultat, obținem un raport care determină sensul Egalități Rayleigh:

adică integrala produsului a două semnale este egală cu integrala produsului spectrelor acestor semnale, dintre care unul este supus unei conjugări complexe.

Acest raport se numește Egalitatea lui Parseval.

Semnalele periodice au energie infinită, dar putere finită. Când le luăm în considerare, am întâlnit deja posibilitatea de a calcula puterea unui semnal periodic prin suma pătratelor modulelor coeficienților spectrului său complex:

Această relație are o analogie completă cu egalitatea lui Parseval.

3.1 Funcția de autocorelare (ACF)

Dacă semnalul este detectat la un interval de timp finit , atunci ACF-ul său se găsește ca:

Unde
- interval de suprapunere de copii de semnal deplasat.

Se crede că cu cât este mai mare valoarea funcției de autocorelare
la această valoare , cu atât cele două copii ale semnalului sunt deplasate mai mult cu intervalul de timp sunt asemănătoare între ele. Prin urmare, funcția de corelare
și este o măsură a similitudinii pentru copiile deplasate ale semnalului.

Măsura de similitudine introdusă în acest fel pentru semnalele având forma de oscilații aleatorii în jurul zero are următoarele proprietăți caracteristice.

Figura 33 prezintă perechile acestor două copii. Figura arată ce se înțelege prin similitudinea și anti-asemănarea copiilor de semnal.

Funcția de corelare are următoarele proprietăți:

1. La τ = 0, funcția de autocorelare ia cea mai mare valoare egală cu energia semnalului

2. Funcția de autocorelare este o funcție de decalare uniformă a timpului
.

3. Odată cu creșterea lui τ, funcția de autocorelare scade la zero

4. Dacă semnalul nu conține discontinuități de tipul funcțiilor δ - atunci
-functie continua.

5... Dacă semnalul este o tensiune electrică, atunci funcția de corelare are dimensiunea
.

Pentru semnalele periodice din definiția funcției de autocorelare, aceeași integrală este împărțită la perioada de repetare a semnalului:

Funcția de corelare introdusă are următoarele proprietăți:

De exemplu, să calculăm funcția de corelare a unei oscilații armonice:

Folosind o serie de transformări trigonometrice, obținem în sfârșit:

Astfel, funcția de autocorelare a unei oscilații armonice este un cosinus cu aceeași perioadă de variație ca și semnalul însuși. Cu deplasări care sunt multipli ai perioadei de oscilație, armonica este convertită în sine și ACF ia cele mai mari valori, egale cu jumătate din pătratul amplitudinii. Deplasările în timp, multipli ai jumătate din perioada de oscilație, sunt echivalente cu o schimbare de fază printr-un unghi
, în acest caz semnul oscilațiilor se modifică, iar ACF ia o valoare minimă, negativă și egală cu jumătate din pătratul amplitudinii. Deplasările care sunt multipli ai unui sfert de perioadă traduc, de exemplu, o oscilație sinusoidală într-una cosinus și invers. În acest caz, ACF dispare. Astfel de semnale, care sunt în cuadratura unul față de celălalt, din punctul de vedere al funcției de autocorelare, se dovedesc a fi complet diferite unele de altele.

Este important ca expresia funcției de corelare a semnalului să nu includă faza sa inițială. S-au pierdut informații despre fază. Aceasta înseamnă că semnalul în sine nu poate fi reconstruit din funcția de corelare a semnalului. Afişa
spre deosebire de afisare
nu este unul la unu.

actul de manifestare printr-un semnal al liberului său arbitru, independent de voința creatorului (apariția unor realizări separate ale unui proces aleatoriu),

rezultatul violenței străine împotriva semnalului (introducerea în semnal a informațiilor de măsurare obținute în timpul măsurătorilor oricărei mărimi fizice).

Situația este similară cu orice semnal periodic. Dacă un semnal periodic cu o perioadă fundamentală T are un spectru de amplitudine
și spectrul de fază
, atunci funcția de corelare a semnalului ia următoarea formă:

Deja în aceste exemple se manifestă o anumită legătură între funcția de corelare și proprietățile spectrale ale semnalului. Aceste rapoarte vor fi discutate mai detaliat mai târziu.

În teoria comunicării, teoria corelației este utilizată în studiul proceselor aleatorii, făcând posibilă stabilirea unei relații între corelația și proprietățile spectrale ale semnalelor aleatorii. Adesea apare problema detectării unui semnal transmis în altul sau în interferență. Pentru detectarea fiabilă a semnalului, se aplică metoda. corelații bazat pe teoria corelației. În practică, se dovedește a fi util să se analizeze caracteristicile care dau o idee a ratei de schimbare în timp, precum și a duratei semnalului fără a-l descompune în componente armonice.

Lasă semnalul să se copieze u (t - m) este decalată față de originalul său u (t) pentru intervalul de timp t. Pentru a cuantifica gradul de diferenţă (conectare) a semnalului u (t)și copia sa offset u (t - t) utilizare funcția de autocorelare(ACF). ACF arată gradul de similitudine dintre un semnal și copia sa deplasată - cu cât valoarea ACF este mai mare, cu atât este mai puternică această similitudine.

Pentru un semnal determinist de durată finită (semnal finit), înregistrarea analitică a ACF este o integrală a formei

Formula (2.56) arată că, în absența unei deplasări de copiere față de semnal (m = 0), ACF este pozitiv, maxim și egal cu energia semnalului:

O astfel de energie [J] este eliberată pe un rezistor cu o rezistență de 1 Ohm, dacă o tensiune este conectată la bornele sale. u (t)[V].

Una dintre cele mai importante proprietăți ale ACF este paritatea sa: V( t) = V(- T). Într-adevăr, dacă în expresia (2.56) schimbăm variabila x = t - t atunci

Prin urmare, integrala (2.56) poate fi reprezentată sub altă formă:

Pentru un semnal periodic cu o perioadă Г, a cărui energie este infinit de mare (deoarece semnalul există pentru un timp infinit), calculul ACF prin formula (2.56) este inacceptabil. În acest caz, ACF se determină pentru perioada:

Exemplul 2.3

Să definim ACF-ul unui impuls dreptunghiular, care are o amplitudine Eşi durata t şi (Fig. 2.24).

Soluţie

Pentru impuls, este convenabil să se calculeze ACF grafic. Acest aranjament este prezentat în Fig. 2.24, anunț, unde este dat, respectiv, impulsul inițial u (t)= u t copia sa m t (?) = u (t- t) = m t și produsul lor u (f) u (t- t) = uu v Se consideră calculul grafic al integralei (2.56). Muncă u (t) u (t- t) nu este egal cu zero în intervalul de timp în care există o suprapunere a oricăror părți ale semnalului și copia acestuia. După cum rezultă din Fig. 2.24, acest interval este egal cu x - t m dacă deplasarea în timp a copiei este mai mică decât durata impulsului. În astfel de cazuri, pentru puls, ACF este definit ca V( t) = E 2 ( t și - | t |) cu o deplasare în timp a copiei la ora curentă | t | B (0) = = E 2 m u = E (vezi Fig. 2.24, G).

Orez. 2.24.

A - puls; 6 - copie; v - produs de semnal și copie; G - ACF

Un parametru numeric, convenabil pentru analiza și compararea semnalelor, este adesea introdus - interval de corelare t k, analitic și grafic egal cu lățimea bazei ACF. Pentru acest exemplu, intervalul de corelație este m k = 2m și.

Exemplul 2.4

Determinați ACF-ul unui semnal armonic (cosinus). u (t) == t / m cos (co? + a).

Orez. 2.25.

A - semnal armonic; b - ACF de semnal armonic

Soluţie

Folosind formula (2.57) și notând În p ( t) = V( m), găsim

Din această formulă rezultă că ACF-ul unui semnal armonic este, de asemenea, o funcție armonică (Fig. 2.25, b)și are dimensiunea puterii (V 2). Rețineți încă un fapt foarte important că ACF calculat nu depinde de faza inițială a semnalului armonic (parametrul

Din analiză rezultă o concluzie importantă: ACF a aproape orice semnal nu depinde de spectrul său de fază.În consecință, semnalele, ale căror spectre de amplitudine coincid complet, iar spectrele de fază diferă, vor avea același ACF. O altă remarcă este că semnalul original nu poate fi restabilit de la ACF (din nou, din cauza pierderii informațiilor de fază).

Relația dintre ACF și spectrul energiei semnalului. Lasă semnalul pulsului u (t) are o densitate spectrală 5 (ω). Definim ACF folosind formula (2.56) prin scriere și (C) sub forma transformării Fourier inverse (2.30):

Prin introducerea unei noi variabile x = t - m, din ultima formula obtinem aici integrala

este funcția complexă conjugată a densității spectrale a semnalului

Ținând cont de relația (2.59), formula (2.58) ia forma Funcţie

sunt numite spectrul energetic (densitatea de energie spectrală) a semnalului, arătând distribuția de frecvență a energiei. Dimensiunea spectrului energiei semnalului corespunde valorii IP / s) - [(V 2 -s) / Hz].

Ținând cont de relația (2.60), obținem în final expresia pentru ACF:

Deci, ACF-ul unui semnal este transformata Fourier inversă a spectrului său de energie. Transformată Fourier directă a ACF

Asa de, transformată Fourier directă (2.62) ACF determină spectrul de energie, A transformata Fourier inversă a spectrului de energie(2.61) - ACF a unui semnal determinist. Aceste rezultate sunt importante din două motive. În primul rând, pe baza distribuției energiei în spectru, devine posibilă estimarea proprietăților de corelare ale semnalelor - cu cât spectrul de energie al semnalului este mai larg, cu atât intervalul de corelație este mai mic. În consecință, cu cât intervalul de corelare a semnalului este mai mare, cu atât spectrul său de energie este mai scurt. În al doilea rând, relațiile (2.61) și (2.62) fac posibilă determinarea experimentală a uneia dintre funcții din valoarea celeilalte. Este adesea mai convenabil să obțineți mai întâi ACF și apoi să calculați spectrul de energie folosind transformarea Fourier directă. Această tehnică este utilizată pe scară largă în analiza proprietăților semnalului în timp real, adică fără întârziere în timp în procesarea acestuia.

Funcția de corelație încrucișată a două semnale. Dacă trebuie să evaluați gradul de conexiune dintre semnale u x (t)și u 2 (t), apoi folosiți funcția de corelație încrucișată(VKF)

Pentru m = 0, CCF este egal cu așa-numitul energia reciprocă a două semnale

Valoarea CCF nu se modifică dacă în loc să întârzie al doilea semnal u 2 (t) luați în considerare avansul său prin primul semnal m, (?), prin urmare

ACF este un caz special de CCF dacă semnalele sunt aceleași, adică. u y (t) = u 2 (t) = u (t). Spre deosebire de ACF, CCF a două semnale B 12 (t) nu este par și nu este neapărat maxim la t = 0, adică. în absenţa deplasării în timp a semnalelor.

În primele etape ale dezvoltării ingineriei radio, problema alegerii celor mai bune semnale pentru anumite aplicații specifice nu era foarte acută. Aceasta s-a datorat, pe de o parte, structurii relativ simple a mesajelor transmise (mesaje telegrafice, radiodifuziune); pe de altă parte, implementarea practică a semnalelor de formă complexă în combinație cu echipamente pentru codificarea, modularea și transformarea lor inversă într-un mesaj s-a dovedit a fi dificil de implementat.

În prezent, situația s-a schimbat radical. În complexele radio-electronice moderne, alegerea semnalelor este dictată în primul rând nu de comoditatea tehnică a generării, conversiei și recepționării acestora, ci de posibilitatea soluționării optime a problemelor avute în vedere în proiectarea sistemului. Pentru a înțelege cum apare nevoia de semnale cu proprietăți special selectate, luați în considerare următorul exemplu.

Comparația semnalelor decalate în timp.

Să ne întoarcem la ideea simplificată a funcționării unui radar cu impulsuri conceput să măsoare distanța de a cânta. Aici sunt incluse în valoare informații despre obiectul de măsurare - întârzierea dintre semnalele de sondare și cele primite. Formele de sondare și și semnalele recepționate sunt aceleași la orice întârziere.

Schema bloc a unui dispozitiv de procesare a semnalului radar destinat pentru măsurarea domeniului poate arăta așa cum se arată în Fig. 3.3.

Sistemul este format dintr-un set de elemente care întârzie semnalul transmis „de referință” pentru niște intervale de timp fixe

Orez. 3.3. Dispozitiv de măsurare a timpului de întârziere a semnalului

Semnalele întârziate, împreună cu semnalul recepționat, sunt alimentate la aparatele de comparație, funcționând în conformitate cu principiul: semnalul de ieșire apare numai dacă ambele oscilații de intrare sunt „copii” una a celeilalte. Cunoscând numărul canalului în care are loc evenimentul specificat, este posibil să se măsoare întârzierea și, prin urmare, intervalul până la țintă.

Un astfel de dispozitiv va funcționa cu atât mai precis, cu atât semnalul și „copia sa”, deplasate în timp, diferă unul de celălalt.

Acest lucru ne oferă o „idee bună despre ce semnale sunt bune” pentru o anumită aplicație.

Să trecem la formularea matematică exactă a problemei puse și să arătăm că această gamă de probleme este direct legată de teoria spectrelor energetice ale semnalelor.

Funcția de autocorelare a semnalului.

Pentru a cuantifica gradul de diferență dintre semnal și copia sa decalată în timp, se obișnuiește să se introducă funcția de autocorelare (ACF) a semnalului, care este egală cu produsul scalar al semnalului și al copiei:

În cele ce urmează, vom presupune că semnalul studiat are un caracter impulsiv localizat în timp, astfel încât cu siguranță există o integrală de forma (3.15).

Se vede direct că la, funcția de autocorelare devine egală cu energia semnalului:

Una dintre cele mai simple proprietăți ale unui ACF este paritatea sa:

Într-adevăr, dacă facem o schimbare de variabile în integrala (3.15), atunci

În cele din urmă, o proprietate importantă a funcției de autocorelare este următoarea: pentru orice valoare a deplasării în timp, modulul ACF nu depășește energia semnalului:

Acest fapt rezultă direct din inegalitatea Cauchy - Bunyakovsky (vezi cap. 1):

Deci, ACF pare a fi o curbă simetrică cu un maxim central, care este întotdeauna pozitiv. În acest caz, în funcție de tipul de semnal, funcția de autocorelare poate avea atât caracter monoton descrescător, cât și oscilant.

Exemplul 3.3. Găsiți ACF-ul unui impuls video dreptunghiular.

În fig. 3.4, a arata un impuls video dreptunghiular cu amplitudinea si durata U. Aici este, de asemenea, "copia" sa, deplasata in timp in directia intarzierii cu. Integrala (3.15) se calculează în acest caz elementar pe baza unei construcții grafice. Într-adevăr, produsul dintre și și este diferit de zero numai în intervalul de timp când se observă suprapunerea semnalelor. Din fig. 3.4, se poate observa că acest interval de timp este egal dacă deplasarea nu depășește durata pulsului. Astfel, pentru semnalul considerat

Graficul unei astfel de funcții este un triunghi prezentat în Fig. 3.4, b. Lățimea bazei triunghiului este de două ori lățimea impulsului.

Orez. 3.4. Găsirea ACF al unui impuls video dreptunghiular

Exemplul 3.4. Găsiți ACF-ul unui impuls radio dreptunghiular.

Vom lua în considerare un semnal radio de formă

Știind dinainte că ACF este par, calculăm integrala (3.15) prin setare. în care

de unde obținem ușor

Desigur, la, valoarea devine egală cu energia acestui impuls (vezi Exemplul 1.9). Formula (3.21) descrie ACF al unui impuls radio dreptunghiular pentru toate deplasările care se află în limitele Dacă valoarea absolută a deplasării depășește durata impulsului, atunci funcția de autocorelare va dispărea în mod identic.

Exemplul 3.5. Determinați ACF-ul unei secvențe de impulsuri video dreptunghiulare.

În radar sunt utilizate pe scară largă semnalele, care sunt pachete de impulsuri de aceeași formă, care se succed în același interval de timp. Pentru a detecta o astfel de explozie, precum și pentru a măsura parametrii acesteia, de exemplu, poziția în timp, sunt create dispozitive care implementează hardware-ul algoritmi pentru calcularea ACF.

Orez. 3.5. ACF a unei rafale de trei impulsuri video identice: a - o rafală de impulsuri; b - graficul ACF

În fig. 3.5, c prezintă un pachet format din trei impulsuri video dreptunghiulare identice. De asemenea, arată funcția sa de autocorelare, calculată prin formula (3.15) (Fig. 3.5, b).

Se vede clar că maximul ACF este atins la Cu toate acestea, dacă întârzierea se dovedește a fi un multiplu al perioadei de secvență (la în cazul nostru), se observă lobi laterali ai ACF, comparabili ca înălțime cu lobul principal. . Prin urmare, putem vorbi despre imperfecțiunea cunoscută a structurii de corelație a acestui semnal.

Funcția de autocorelare a unui semnal extins infinit.

Dacă se cere să se ia în considerare secvențe periodice infinit extinse în timp, atunci abordarea studierii proprietăților de corelare a semnalelor ar trebui oarecum modificată.

Vom presupune că o astfel de secvență se obține din unele localizate în timp, adică impuls, semnal, atunci când durata acestuia din urmă tinde spre infinit. Pentru a evita divergența expresiilor obținute, definim noul ACF ca valoarea medie a produsului scalar al semnalului și copia acestuia:

Cu această abordare, funcția de autocorelare devine egală cu puterea medie reciprocă a acestor două semnale.

De exemplu, dorind să găsim ACF pentru o undă cosinus infinită, se poate folosi formula (3.21) obținută pentru un impuls radio cu o durată și apoi se trece la limita dată definiția (3.22). Drept urmare, obținem

Acest ACF este în sine o funcție periodică; valoarea sa la egal

Relația dintre spectrul de energie al unui semnal și funcția sa de autocorelare.

Când studiază materialul acestui capitol, cititorul poate crede că metodele de analiză a corelației acționează ca niște tehnici speciale care nu au nicio legătură cu principiile descompunerii spectrale. Cu toate acestea, nu este. Este ușor de demonstrat că există o relație strânsă între ACF și spectrul de energie al semnalului.

Într-adevăr, în conformitate cu formula (3.15), ACF este un produs punctual: aici, simbolul denotă o copie decalată în timp a semnalului și,

Revenind la formula generalizată Rayleigh (2.42), putem scrie egalitatea

Densitatea spectrală decalată în timp

Astfel, ajungem la rezultatul:

Se știe că pătratul modulului densității spectrale reprezintă spectrul de energie al semnalului. Deci, spectrul de energie și funcția de autocorelare sunt legate de transformata Fourier:

Este clar că există și o relație inversă:

Aceste rezultate sunt fundamental importante din două motive. În primul rând, se dovedește a fi posibil să se estimeze proprietățile de corelare ale semnalelor pe baza distribuției energiei lor pe spectru. Cu cât lățimea de bandă a semnalului este mai largă, cu atât lobul principal al funcției de autocorelare este mai îngust și semnalul este mai perfect din punctul de vedere al posibilității de a măsura cu precizie momentul începerii acestuia.

În al doilea rând, formulele (3.24) și (3.26) indică modalitatea de a determina experimental spectrul de energie. Este adesea mai convenabil să obțineți mai întâi funcția de autocorelare și apoi, folosind transformata Fourier, să găsiți spectrul de energie al semnalului. Această tehnică a devenit larg răspândită în studiul proprietăților semnalelor folosind computere de mare viteză în timp real.

Prin raportul sovtk Rezultă că intervalul de corelație

se dovedește a fi mai mică, cu atât frecvența de tăiere superioară a spectrului de semnal este mai mare.

Restricții impuse tipului de funcție de autocorelare a semnalului.

Legătura găsită între funcția de autocorelare și spectrul energetic face posibilă stabilirea unui criteriu interesant și la prima vedere neevident pentru existența unui semnal cu proprietăți de corelație date. Faptul este că spectrul energetic al oricărui semnal, prin definiție, trebuie să fie pozitiv [vezi. formula (3.25)]. Această condiție nu va fi îndeplinită pentru nicio alegere a ACF. De exemplu, dacă luați

și calculați transformata Fourier corespunzătoare, atunci

Această funcție alternativă nu poate reprezenta spectrul energetic al niciunui semnal.