Cum se calculează complementele algebrice ale elementelor unei matrice. Complemente algebrice și minore

Minori ai matricei

Dat un pătrat matrice A, n-a ordine. Minor al unui element aij se numește determinantul matricei de ordinul al n-lea determinant(n - 1) - a-lea ordin, obținut din cel original prin ștergerea rândului și coloanei, la intersecția cărora se află elementul selectat аij. Este desemnată Мij.

Să luăm în considerare un exemplu determinant al matricei 3 - ordinea sa:
Minori și complemente algebrice, determinant al matricei 3 - ordinea acesteia, apoi conform definiției minor, minor M12, corespunzător elementului a12, va fi determinant:Mai mult, folosind minori este posibil să se faciliteze sarcina de calcul determinant al matricei... Trebuie să se descompun determinant al unei matrice pe vreo linie și apoi determinant va fi egală cu suma tuturor elementelor acestei linii de către minorii lor. Descompunere determinant al matricei 3 - ordinea sa va arăta astfel:

, semnul dinaintea produsului este (-1) n, unde n = i + j.

Adunări algebrice:

Complement algebric elementul аij se numește its minor, luată cu semnul „+”, dacă suma (i + j) este un număr par, și cu semnul „-”, dacă această sumă este un număr impar. Aij este desemnat.
Аij = (-1) i + j × Мij.

Apoi putem reformula proprietatea de mai sus. Determinant al unei matrice este egal cu suma produsului elementelor unui rând (rând sau coloană) matrici la respectivul lor complemente algebrice... Exemplu.

Fără transformarea matricei, determinantul este ușor de calculat numai pentru matrice 2 × 2 și 3 × 3. Acest lucru se face folosind formulele:

Pentru matrice

determinantul este:

Pentru matrice

determinantul este:

a11 * (a22 * a33-a23 * a32) -a12 * (a21 * a33-a23 * a31) + a13 * (a21 * a32-a22 * a31)

Calculele pentru matrice de 4 × 4 și mai mari sunt dificile, așa că trebuie transformate în conformitate cu proprietățile determinantului. Este necesar să ne străduim să obțineți o matrice în care toate valorile, cu excepția uneia, orice coloană sau orice rând, sunt egale cu zero. Un exemplu de astfel de matrice:

Pentru aceasta, determinantul este:

A12 * (a21 * (a33 * a44-a34 * a43) -a23 * (a31 * a44-a34 * a41) + a24 * (a31 * a43-a33 * a41))

Rețineți că

a21 * (a33 * a44-a34 * a43) -a23 * (a31 * a44-a34 * a41) + a24 * (a31 * a43-a33 * a41)

acesta este calculul determinantului matricei obținut prin scăderea rândului și coloanei, la intersecția cărora se află singurul număr de rând/coloană diferit de zero, conform căruia descompunem matricea:

Și înmulțim valoarea rezultată cu același număr din coloana/rândul „zero”, în timp ce numărul poate fi înmulțit cu -1 (toate detaliile de mai jos).

Dacă matricea este redusă la o formă triunghiulară, atunci determinantul său este calculat ca produsul cifrelor de-a lungul diagonalei. De exemplu, pentru matrice

Determinantul este:

Același lucru ar trebui făcut cu matricele 5 × 5, 6 × 6 și alte dimensiuni mari.

Transformările matriceale trebuie efectuate în conformitate cu proprietățile determinantului. Dar înainte de a trece la practica de calcul a determinantului pentru matrice 4 × 4, să ne întoarcem la matrice 3 × 3 și să aruncăm o privire mai atentă la modul în care este calculat determinantul pentru ele.

Minor

Determinantul unei matrice nu este foarte ușor de înțeles, deoarece există recursivitate în conceptul său: determinantul unei matrice este format din mai multe elemente, inclusiv determinantul (alte) matrice.

Pentru a nu rămâne blocați în acest sens, să presupunem chiar acum (temporar) că determinantul matricei

se calculeaza astfel:

Să înțelegem, de asemenea, convențiile și concepte precum minorși complement algebric.

Cu litera i notăm numărul ordinal al scurgerii, cu litera j - numărul ordinal al coloanei.

a ij înseamnă elementul matricei (cifra) la intersecția rândului i și coloanei j.

Imaginați-vă o matrice care se obține din original prin ștergerea rândului i și a coloanei j. Determinantul noii matrice, care se obține din original prin ștergerea rândului i și a coloanei j, se numește minorul M ij al elementului a ij.

Să ilustrăm ceea ce s-a spus. Să presupunem că dată fiind matricea

Apoi, pentru a determina M 11 minor al elementului a 11, trebuie să compunem o nouă matrice, care se obține din original eliminând primul rând și prima coloană:

Și calculați determinantul pentru acesta: 2 * 1 - (-4) * 0 = 2

Pentru a determina M 22 minor al elementului a 22, trebuie să compunem o nouă matrice, care se obține din original prin eliminarea celui de-al doilea rând și a doua coloană:

Și calculați determinantul pentru acesta: 1 * 1 -3 * 3 = -8

Complement algebric

Complementul algebric A ij pentru un element a ij este minorul M ij al acestui element, luat cu semnul „+”, dacă suma indicilor de rând și coloane (i + j), la intersecția cărora se află acest element. situat, este par și cu semnul „-”, dacă suma indicilor este impară.

Prin urmare,

Pentru matricea din exemplul anterior

A 11 = (-1) (1 + 1) * (2 * 1 - (-4) * 0) = 2

A 22 = (-1) (2 + 2) * (1 * 1 -3 * 3) = -8

Calcularea determinantului pentru matrici

Determinantul de ordin n corespunzător matricei A este un număr notat cu det A și calculat prin formula:

Totul din această formulă ne este deja familiar, să calculăm acum determinantul matricei pentru

Indiferent de numărul rândului i = 1,2, ..., n sau al coloanei j = 1, 2, ..., n, determinantul de ordinul al n-lea este egal cu suma produselor elementelor din acest rând sau această coloană prin complementele lor algebrice, adică

Acestea. determinantul poate fi calculat pentru orice coloană sau pentru orice rând.

Pentru a verifica acest lucru, calculăm determinantul pentru matrice din ultimul exemplu pentru a doua coloană

După cum puteți vedea, rezultatul este identic și pentru această matrice determinantul va fi întotdeauna -52, indiferent de ce rând sau ce coloană îl vom număra.

Proprietățile determinante ale matricei

1. Rândurile și coloanele determinantului sunt egale, adică valoarea determinantului nu se va modifica dacă schimbați rândurile și coloanele acestuia menținând ordinea. Această operație se numește transpunere calificativ. În conformitate cu proprietatea formulată det A = det AT.
2. Când schimbați două rânduri (sau două coloane), determinantul își păstrează valoarea absolută, dar își schimbă semnul în sens opus.
3. Un determinant cu două rânduri (sau coloane) identice este zero.
4. Înmulțirea tuturor elementelor unui rând (sau a unei coloane) a determinantului cu numărul λ este echivalentă cu înmulțirea determinantului cu numărul λ.
5. Dacă toate elementele oricărui rând (sau oricărei coloane) ale determinantului sunt egale cu zero, atunci determinantul în sine este egal cu zero.
6. Dacă elementele a două rânduri (sau două coloane) ale determinantului sunt proporționale, atunci determinantul este zero.
7. Dacă la elementele unui rând (sau a unei coloane) a determinantului adăugăm elementele corespunzătoare dintr-un alt rând (altă coloană), înmulțite cu un factor arbitrar λ, atunci valoarea determinantului nu se va modifica.
8. Suma produselor elementelor oricărui rând (orice coloană) a determinantului prin complementele algebrice corespunzătoare ale elementelor oricărui alt rând (orice altă coloană) este egală cu zero.
9. Dacă toate elementele rândului i al determinantului sunt prezentate ca suma a doi termeni a ij = bj + cj, atunci determinantul este egal cu suma a doi determinanți, în care toate rândurile, cu excepția i-lea , sunt aceleași ca în determinantul dat, i-lea rând într-unul dintre termenii este format din elemente bj, iar în celălalt, este format din elemente cj. O proprietate similară este adevărată pentru coloanele determinante.
10. Determinantul produsului a două matrice pătrate este egal cu produsul determinanților lor: det (A * B) = det A * det B.

Pentru a calcula un determinant de orice ordine, se poate folosi metoda descreșterii succesive a ordinului determinantului. Pentru a face acest lucru, utilizați regula de descompunere a determinantului de elementele unui rând sau coloană. O altă modalitate de calculare a determinanților este aceea că, folosind transformări elementare cu rânduri (sau coloane), în primul rând în conformitate cu proprietățile 4 și 7 ale determinanților, aduceți determinantul la forma când se află sub diagonala principală a determinantului (definită în același mod ca și pentru matricele pătrate) toate elementele sunt egale cu zero. Atunci determinantul este egal cu produsul elementelor situate pe diagonala principală.

Atunci când se calculează determinantul prin scăderea succesivă a ordinului de reducere a volumului de lucru de calcul, este recomandabil să se folosească proprietatea 7 a determinanților pentru a scoate la zero unele dintre elementele oricărui rând sau orice coloană a determinantului, ceea ce va reduce numărul de determinanți calculati. complemente algebrice.

Reducerea unei matrice la o formă triunghiulară, transformarea unei matrice care facilitează calculul determinantului

Metodele prezentate mai jos sunt imposibil de utilizat pentru matrice 3 × 3, dar îmi propun să luăm în considerare esența metodelor cu un exemplu simplu. Să folosim matricea pentru care am calculat deja determinantul - ne va fi mai ușor să verificăm corectitudinea calculelor:

Folosind a 7-a proprietate a determinantului, scădeți din al doilea rând pe al treilea, înmulțit cu 2:

din a treia linie, scădem elementele corespunzătoare din prima linie a determinantului, înmulțite cu 3:

Deoarece elementele determinantului situate sub diagonala sa principală sunt egale cu 0, atunci, prin urmare, determinarea este egală cu produsul elementelor situate pe diagonala principală:

1*2*(-26) = -52.

După cum puteți vedea, răspunsul a coincis cu cele primite mai devreme.

Să ne amintim formula pentru determinantul unei matrice:

Determinantul este suma complementelor algebrice înmulțită cu membrii unuia dintre rânduri sau ai uneia dintre coloane.

Dacă, în urma transformărilor, facem ca unul dintre rândurile (sau coloana) să fie format în întregime din zerouri, cu excepția unei singure poziții, atunci nu va fi nevoie să numărăm toate complementele algebrice, deoarece acestea vor fi cu siguranță egale cu zero. La fel ca metoda anterioară, este recomandabil să folosiți această metodă pentru matrici mari.

Să arătăm un exemplu pe aceeași matrice:

Rețineți că a doua coloană a determinantului conține deja un element zero. Adăugați elementelor din al doilea rând elementele primului rând înmulțite cu -1. Primim:

Să calculăm determinantul pentru a doua coloană. Trebuie doar să calculăm un complement algebric, deoarece restul sunt cu siguranță reduse la zero:

Calculul determinantului pentru matrice 4 × 4, 5 × 5 și dimensiuni mari

Pentru a evita calcule prea mari pentru matrice mari, ar trebui să faceți transformările descrise mai sus. Iată câteva exemple.

Calculați Definiți Matricea

Rezolvare.Folosind a 7-a proprietate a determinantului, o scadem pe a treia din al doilea rand, iar din al patrulea rand elementele corespunzatoare din primul rand al determinantului, inmultite cu 3, 4, respectiv 5. Aceste actiuni vor fi prescurtate. după cum urmează: (2) - (13; (3) - (1) * 4; (4) - (1) * 5. Se obține:

Să facem acțiuni

Minori ai matricei

Dat un pătrat matrice A, n-a ordine. Minor a unui element a ij, determinant al matricei se numește ordinul n-a determinant(n - 1) - ordinea a-lea, obținută din original prin ștergerea rândului și coloanei, la intersecția cărora se află elementul selectat a ij. Se notează cu М ij.

Să luăm în considerare un exemplu determinant al matricei 3 - ordinea sa:

Apoi, conform definiției minor, minor M 12, corespunzător elementului a 12, va fi determinant:

Mai mult, folosind minori este posibil să se faciliteze sarcina de calcul determinant al matricei... Trebuie să se descompun determinant al unei matrice pe vreo linie și apoi determinant va fi egală cu suma tuturor elementelor acestei linii de către minorii lor. Descompunere determinant al matricei 3 - ordinea sa va arăta astfel:

Semnul din fața produsului este (-1) n, unde n = i + j.

Adunări algebrice:

Complement algebric elementul a ij se numește its minor, luată cu semnul „+”, dacă suma (i + j) este un număr par, și cu semnul „-”, dacă această sumă este un număr impar. Se notează cu А ij. Și ij = (-1) i + j × M ij.

Apoi putem reformula proprietatea de mai sus. Determinant al unei matrice este egal cu suma produsului elementelor unui anumit rând (rând sau coloană) matrici la respectivul lor complemente algebrice... Exemplu:

4. Matricea inversă și calculul acesteia.

Fie A un pătrat matrice ordinul n-a.

Pătrat matrice A se numește nedegenerat dacă determinant al unei matrice(Δ = det A) nu este egal cu zero (Δ = det A ≠ 0). În caz contrar (Δ = 0) matrice A se numește degenerat.

Matrice, aliat cu matrice Ah, sunat matrice

Unde A ij - complement algebric element a ij din aceasta matrici(este definit în același mod ca complement algebric element determinant al matricei).

Matrice A -1 este numit matrice inversă A, dacă este îndeplinită condiția: A × A -1 = A -1 × A = E, unde E este o unitate matrice de aceeasi ordine ca matrice A. Matrice A -1 are aceleași dimensiuni ca matrice A.

matrice inversă

Dacă există pătrate matrici X și A, îndeplinind condiția: X × A = A × X = E, unde E este unitatea matrice de aceeași ordine, atunci matrice X este numit matrice inversă la matricea A și se notează cu A -1. Orice nedegenerat matrice Are matrice inversă si, in plus, doar unul, adica in ordinea unui patrat matrice A avut matrice inversă, este necesar și suficient ca acesta determinant a fost diferit de zero.

A primi matrice inversă utilizați formula:

Unde M ji este opțional minor element a ji matrici A.

5. Rangul matricei. Calculul rangului folosind transformări elementare.

Considerăm o matrice mхn dreptunghiulară. Să selectăm în această matrice câteva k rânduri și k coloane, 1 £ k £ min (m, n). Din elementele de la intersecția rândurilor și coloanelor selectate, vom compune determinantul ordinului k. Toți astfel de determinanți sunt numiți minori ai matricei. De exemplu, pentru o matrice, puteți compune minorii de ordinul doi și minorii de ordinul I 1, 0, -1, 2, 4, 3.

Definiție. Rangul unei matrice este cel mai înalt ordin al unui minor diferit de zero al acestei matrice. Notați rangul matricei r (A).

În exemplul de mai sus, rangul matricei este de doi, deoarece, de exemplu, este minor

Este convenabil să se calculeze rangul unei matrice prin metoda transformărilor elementare. Transformările elementare includ următoarele:

1) permutări de rânduri (coloane);

2) înmulțirea unui rând (coloană) cu un alt număr decât zero;

3) adăugarea elementelor unui rând (coloană) a elementelor corespunzătoare unui alt rând (coloană), înmulțite anterior cu un număr.

Aceste transformări nu modifică rangul matricei, întrucât se știe că 1) atunci când rândurile sunt rearanjate, determinantul își schimbă semnul și, dacă nu a fost egal cu zero, atunci nu va deveni; 2) la înmulțirea șirului determinantului cu un număr care nu este egal cu zero, determinantul se înmulțește cu acest număr; 3) a treia transformare elementară nu schimbă deloc determinantul. Astfel, efectuând transformări elementare asupra matricei, se poate obține o matrice pentru care este ușor de calculat rangul acesteia și, deci, matricea inițială.

Definiție. Matricea obținută din matrice folosind transformări elementare se numește echivalentă și se notează A V.

Teorema. Rangul matricei nu se modifică în cazul transformărilor elementare ale matricei.

Cu ajutorul transformărilor elementare, matricea poate fi redusă la așa-numita formă în trepte, când calculul rangului său nu este dificil.

Matrice se numește treptat dacă are forma:

Evident, rangul matricei în trepte este egal cu numărul de rânduri diferite de zero de cand există un minor de ordinul al treilea, care nu este egal cu zero:

.

Exemplu. Determinați rangul matricei folosind transformări elementare.

Rangul matricei este egal cu numărul de rânduri diferite de zero, adică. ...

În acest subiect, vom lua în considerare conceptele de complement algebric și minor. Prezentarea materialului se bazează pe termenii explicați la tema „Matrici. Tipuri de matrice. Termeni de bază”. Avem nevoie și de câteva formule pentru a calcula determinanții. Deoarece există o mulțime de termeni legați de minori și completări algebrice în acest subiect, voi adăuga un scurt rezumat pentru a facilita navigarea materialului.

Minor $ M_ (ij) $ al elementului $ a_ (ij) $

$ M_ (ij) $ element$ a_ (ij) $ matrice $ A_ (n \ ori n) $ denumește determinantul matricei obținute din matrice $ A $ prin ștergerea rândului i și coloanei j (adică rândul și coloana de la intersecţie a căreia există un element $ a_ (ij) $).

De exemplu, luați în considerare o matrice pătrată de ordinul al patrulea: $ A = \ left (\ begin (array) (cccc) 1 & 0 & -3 & 9 \\ 2 & -7 & 11 & 5 \\ -9 & 4 & 25 & 84 \\ 3 & 12 & -5 & 58 \ end (matrice) \ dreapta) $. Găsiți elementul minor $ a_ (32) $, adică. găsiți $ M_ (32) $. În primul rând, notăm minorul $ M_ (32) $ și apoi calculăm valoarea acestuia. Pentru a compune $ M_ (32) $, ștergeți al treilea rând și a doua coloană din matrice $ A $ (la intersecția celui de-al treilea rând și a doua coloană se află elementul $ a_ (32) $ ). Vom obține o nouă matrice, al cărei determinant este minorul necesar $ M_ (32) $:

Acest minor este ușor de calculat folosind formula # 2 din subiectul de calcul:

$$ M_ (32) = \ stânga | \ begin (matrice) (ccc) 1 & -3 & 9 \\ 2 & 11 & 5 \\ 3 & -5 & 58 \ end (matrice) \ dreapta | = 1 \ cdot 11 \ cdot 58 + (- 3) \ cdot 5 \ cdot 3 + 2 \ cdot (-5) \ cdot 9-9 \ cdot 11 \ cdot 3 - (- 3) \ cdot 2 \ cdot 58-5 \ cdot (-5) \ cdot 1 = 579. $$

Deci, minorul $ a_ (32) $ este 579, i.e. $ M_ (32) = 579 $.

Adesea, în locul expresiei „minor al elementului matriceal” în literatură, există „minor al elementului determinant”. Esența rămâne neschimbată: pentru a obține minorul elementului $ a_ (ij) $, trebuie să tăiați al-lea rând și j-a coloană din determinantul inițial. Elementele rămase sunt scrise în noul determinant, care este minorul elementului $ a_ (ij) $. De exemplu, să găsim elementul minor $ a_ (12) $ al determinantului $ \ left | \ begin (matrice) (ccc) -1 & 3 & 2 \\ 9 & 0 & -5 \\ 4 & -3 & 7 \ end (matrice) \ dreapta | $. Pentru a scrie minorul necesar $ M_ (12) $, trebuie să tăiem primul rând și a doua coloană din determinantul dat:

Pentru a găsi valoarea acestui minor, folosim formula # 1 din subiectul calculării determinanților de ordinul doi și trei:

$$ M_ (12) = \ stânga | \ begin (array) (cc) 9 & -5 \\ 4 & 7 \ end (array) \ right | = 9 \ cdot 7 - (- 5) \ cdot 4 = 83. $$

Deci, minorul $ a_ (12) $ este 83, i.e. $ M_ (12) = 83 $.

Complement algebric $ A_ (ij) $ de $ a_ (ij) $

Să fie dată o matrice pătrată $ A_ (n \ ori n) $ (adică o matrice pătrată de ordinul al n-lea).

Complement algebric$ A_ (ij) $ element$ a_ (ij) $ a matricei $ A_ (n \ ori n) $ se găsește prin următoarea formulă: $$ A_ (ij) = (- 1) ^ (i + j) \ cdot M_ (ij), $ $

unde $ M_ (ij) $ este minorul elementului $ a_ (ij) $.

Găsiți complementul algebric al elementului $ a_ (32) $ al matricei $ A = \ left (\ begin (array) (cccc) 1 & 0 & -3 & 9 \\ 2 & -7 & 11 & 5 \\ -9 & 4 & 25 & 84 \\ 3 & 12 & -5 & 58 \ end (matrice) \ dreapta) $, i.e. găsi $ A_ (32) $. Mai devreme am găsit deja minorul $ M_ (32) = 579 $, așa că folosim rezultatul obținut:

De obicei, atunci când se găsesc complemente algebrice, minorul nu este calculat separat și numai atunci complementul în sine. Intrarea minoră este omisă. De exemplu, găsiți $ A_ (12) $ dacă $ A = \ left (\ begin (array) (ccc) -5 & 10 & 2 \\ 6 & 9 & -4 \\ 4 & -3 & 1 \ end ( matrice) \ dreapta) $. După formula $ A_ (12) = (- 1) ^ (1 + 2) \ cdot M_ (12) = - M_ (12) $. Totuși, pentru a obține $ M_ (12) $ este suficient să tăiați primul rând și a doua coloană a matricei $ A $, așa că de ce să introduceți o notație inutilă pentru minor? Să notăm imediat expresia pentru complementul algebric $ A_ (12) $:

Minor de ordinul k al matricei $ A_ (m \ ori n) $

Dacă în cele două paragrafe precedente am vorbit doar despre matrice pătrată, atunci aici vom vorbi și despre matrice dreptunghiulară, în care numărul de rânduri nu este neapărat egal cu numărul de coloane. Deci, să fie dată matricea $ A_ (m \ ori n) $, adică. o matrice care conține m rânduri și n coloane.

Minor de ordinul k al matricei $ A_ (m \ ori n) $ se numește determinant, ale cărui elemente sunt situate la intersecția dintre k rânduri și k coloane ale matricei $ A $ (se presupune că $ k≤ m $ și $ k≤ n $).

De exemplu, luați în considerare o matrice ca aceasta:

$$ A = \ stânga (\ începe (matrice) (cccc) -1 & 0 & -3 & 9 \\ 2 & 7 & 14 & 6 \\ 15 & -27 & 18 & 31 \\ 0 & 1 & 19 & 8 \\ 0 & -12 & 20 & 14 \\ 5 & 3 & -21 & 9 \\ 23 & -10 & -5 & 58 \ end (matrice) \ dreapta) $$

Să scriem ceva minor de ordinul trei pentru el. Pentru a scrie un minor de ordinul al treilea, trebuie să selectăm oricare trei rânduri și trei coloane din această matrice. De exemplu, să luăm rândurile # 2, # 4, # 6 și coloanele # 1, # 2, # 4. Elementele minorului necesar vor fi situate la intersecția acestor rânduri și coloane. În figură, elementele minore sunt prezentate cu albastru:

$$ \ stânga (\ begin (matrice) (cccc) -1 & 0 & -3 & 9 \\ \ boldblue (2) & \ boldblue (7) & 14 & \ boldblue (6) \\ 15 & -27 & 18 & 31 \\ \ boldblue (0) & \ boldblue (1) & 19 & \ boldblue (8) \\ 0 & -12 & 20 & 14 \\ \ boldblue (5) & \ boldblue (3) & -21 & \ boldblue (9) \\ 23 & -10 & -5 & 58 \ end (matrice) \ dreapta); \; M = \ stânga | \ begin (matrice) (ccc) 2 & 7 & 6 \\ 0 & 1 & 8 \\ 5 & 3 & 9 \ end (matrice) \ dreapta |. $$

Minorii de primul ordin sunt situati la intersectia unui rand si a unei coloane, i.e. minorii de ordinul întâi sunt egali cu elementele matricei date.

Ordinul k minor al matricei $ A_ (m \ ori n) = (a_ (ij)) $ se numește principalul dacă diagonala principală a acestui minor conține doar elementele diagonale principale ale matricei $ A $.

Permiteți-mi să vă reamintesc că elementele diagonale principale sunt acele elemente ale matricei ai căror indici sunt egali: $ a_ (11) $, $ a_ (22) $, $ a_ (33) $ și așa mai departe. De exemplu, pentru matricea $ A $ considerată mai sus, astfel de elemente vor fi $ a_ (11) = - 1 $, $ a_ (22) = 7 $, $ a_ (33) = 18 $, $ a_ (44) = 8 $. Ele sunt evidențiate cu verde în figură:

$$ \ stânga (\ begin (matrice) (cccc) \ boldgreen (-1) & 0 & -3 & 9 \\ 2 & \ boldgreen (7) & 14 & 6 \\ 15 & -27 & \ boldgreen (18 ) & 31 \\ 0 & 1 & 19 & \ boldgreen (8) \\ 0 & -12 & 20 & 14 \\ 5 & 3 & -21 & 9 \\ 23 & -10 & -5 & 58 \ end ( matrice) \ dreapta) $$

De exemplu, dacă în matricea $ A $ tăiem rânduri și coloane cu numerele 1 și 3, atunci la intersecția lor vor exista elemente de ordinul doi minore, pe a căror diagonală principală vor exista doar elemente diagonale ale matricea $ A $ (elementele lui $ a_ (11) = -1 $ și $ a_ (33) = 18 $ ale matricei $ A $). Prin urmare, obținem minorul principal de ordinul doi:

$$ M = \ stânga | \ begin (matrice) (cc) \ boldgreen (-1) & -3 \\ 15 & \ boldgreen (18) \ end (matrice) \ dreapta | $$

Desigur, am putea lua și alte rânduri și coloane, de exemplu, cu numerele 2 și 4, obținând astfel un minor major diferit de ordinul doi.

Să presupunem că unele minore $ M $ de ordinul k al matricei $ A_ (m \ ori n) $ nu este egal cu zero, i.e. $ M \ neq 0 $. În acest caz, toți minorii a căror ordine este mai mare decât k sunt egali cu zero. Apoi se numește minorul $ M $ de bază, iar rândurile și coloanele pe care sunt situate elementele minorului de bază sunt numite linii de bazăși coloane de bază.

De exemplu, luați în considerare următoarea matrice:

$$ A = \ stânga (\ începe (matrice) (ccc) -1 & 0 & 3 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 4 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -2 & -1 & 0 \ \ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ end (matrice) \ dreapta) $$

Să notăm minorul acestei matrice, ale cărei elemente sunt situate la intersecția rândurilor nr. 1, nr. 2, nr. 3 și coloanele nr. 1, nr. 3, nr. 4. Vom obține un minor de ordinul al treilea (elementele sale sunt evidențiate în matricea $ A $ în violet):

$$ \ stânga (\ begin (matrice) (ccc) \ boldpurple (-1) & 0 & \ boldpurple (3) & \ boldpurple (0) & 0 \\ \ boldpurple (2) & 0 & \ boldpurple (4) & \ boldpurple (1) & 0 \\ \ boldpurple (1) & 0 & \ boldpurple (-2) & \ boldpurple (-1) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ end (matrice) \ dreapta); \; M = \ stânga | \ begin (matrice) (ccc) -1 & 3 & 0 \\ 2 & 4 & 1 \\ 1 & -2 & -1 \ end (matrice) \ dreapta |. $$

Să găsim valoarea acestui minor, folosind formula # 2 din subiectul calculării determinanților de ordinul doi și trei:

$$ M = \ stânga | \ begin (matrice) (ccc) -1 & 3 & 0 \\ 2 & 4 & 1 \\ 1 & -2 & -1 \ end (matrice) \ dreapta | = 4 + 3 + 6-2 = 11. $$

Deci, $ M = 11 \ neq 0 $. Acum să încercăm să compunem orice minor, a cărui ordine este mai mare de trei. Pentru a face un minor de ordinul al patrulea, trebuie să folosim a patra linie, dar toate elementele acestei linii sunt egale cu zero. Prin urmare, orice minor de ordinul al patrulea va avea o linie zero, ceea ce înseamnă că toți minorii de ordinul al patrulea sunt egali cu zero. Nu putem compune minori de ordinul al cincilea și mai mare, deoarece matricea $ A $ are doar 4 rânduri.

Am găsit un minor de ordinul al treilea care nu este zero. În acest caz, toți minorii de ordine superioară sunt egali cu zero, prin urmare, minorul considerat de noi este de bază. Rândurile matricei $ A $, pe care se află elementele acestui minor (primul, al doilea și al treilea), sunt rândurile de bază, iar prima, a treia și a patra coloană din matricea $ A $ sunt coloanele de bază. .

Acest exemplu este, desigur, banal, deoarece scopul său este de a arăta în mod clar esența minorului de bază. În general, pot exista mai mulți minori de bază și, de obicei, procesul de găsire a unui astfel de minor este mult mai complicat și mai voluminos.

Să mai introducem un concept - minorul învecinat.

Fie unele minore de ordinul k $ M $ ale matricei $ A_ (m \ ori n) $ să fie situate la intersecția dintre k rânduri și k coloane. Să mai adăugăm un rând și o coloană la setul acestor rânduri și coloane. Se numește minorul rezultat al ordinului (k + 1). minor învecinat pentru minor $ M $.

De exemplu, luați în considerare următoarea matrice:

$$ A = \ stânga (\ începe (matrice) (ccccc) -1 & 2 & 0 & -2 & -14 \\ 3 & -17 & -3 & 19 & 29 \\ 5 & -6 & 8 & - 9 & 41 \\ -5 & 11 & 19 & -20 & -98 \\ 6 & 12 & 20 & 21 & 54 \\ -7 & 10 & 14 & -36 & 79 \ end (matrice) \ dreapta) $ $

Să notăm minorul de ordinul doi, ale cărui elemente sunt situate la intersecția liniilor №2 și №5, precum și coloanele №2 și №4. Aceste elemente sunt evidențiate cu roșu în matrice:

$$ \ stânga (\ begin (matrice) (ccccc) -1 & 2 & 0 & -2 & -14 \\ 3 & \ boldred (-17) & -3 & \ boldred (19) & 29 \\ 5 & -6 & 8 & -9 & 41 \\ -5 & 11 & 19 & -20 & -98 \\ 6 & \ boldred (12) & 20 & \ boldred (21) & 54 \\ -7 & 10 & 14 & -36 & 79 \ end (matrice) \ dreapta); \; M = \ stânga | \ început (matrice) (ccc) -17 și 19 \\ 12 și 21 \ final (matrice) \ dreapta |. $$

Să adăugăm la setul de rânduri pe care se află elementele minore $ M $, un alt rând # 1 și la setul de coloane - coloana # 5. Vom obține un nou minor $ M "$ (deja de ordinul trei), ale cărui elemente sunt situate la intersecția rândurilor nr. 1, nr. 2, nr. 5 și coloanele nr. 2, nr. 4, Nr. 5. Elementele minorului $ M $ din figură sunt evidențiate cu roșu, iar elementele pe care le adăugăm la minorul $ M $ sunt albastre:

$$ \ stânga (\ begin (matrice) (ccccc) -1 & \ boldblue (2) & 0 & \ boldblue (-2) & \ boldblue (-14) \\ 3 & \ boldred (-17) & -3 & \ boldred (19) & \ boldblue (29) \\ 5 & -6 & 8 & -9 & 41 \\ -5 & 11 & 19 & -20 & -98 \\ 6 & \ boldred (12) & 20 & \ boldred (21) & \ boldblue (54) \\ -7 & 10 & 14 & -36 & 79 \ end (matrice) \ dreapta); \; M "= \ stânga | \ început (matrice) (ccc) 2 & -2 & -14 \\ -17 & 19 & 29 \\ 12 & 21 & 54 \ end (matrice) \ dreapta |. $$

Minor $ M "$ este un minor de margine pentru minor $ M $. În mod similar, adăugând la setul de rânduri pe care se află elementele minorului $ M $, rândul # 4 și la setul de coloane - coloana # 3, obținem minor $ M" "$ (minor de ordinul trei):

$$ \ stânga (\ begin (matrice) (ccccc) -1 & 2 & 0 & -2 & -14 \\ 3 & \ boldred (-17) & \ boldblue (-3) & \ boldred (19) & 29 \\ 5 & -6 & 8 & -9 & 41 \\ -5 & \ boldblue (11) & \ boldblue (19) & \ boldblue (-20) & -98 \\ 6 & \ boldred (12) & \ boldblue (20) & \ boldred (21) & 54 \\ -7 & 10 & 14 & -36 & 79 \ end (matrice) \ dreapta); \; M "" = \ stânga | \ begin (matrice) (ccc) -17 & -3 & 19 \\ 11 & 19 & -20 \\ 12 & 20 & 21 \ end (matrice) \ dreapta |. $$

Minor $ M "" $ este, de asemenea, un minor la graniță pentru minorul $ M $.

Ordinul k minor al matricei $ A_ (n \ ori n) $. Minor suplimentar. Complement algebric la minorul unei matrice pătrate.

Să revenim la matrice pătrată din nou. Să introducem conceptul de minor suplimentar.

Să fie date unele minore $ M $ de ordinul k al matricei $ A_ (n \ ori n) $. Determinantul ordinului (n-k) --lea, ale cărui elemente se obțin din matricea $ A $ după ștergerea rândurilor și coloanelor care conțin minorul $ M $, se numește minor, complementar minorului$ M $.

De exemplu, luați în considerare o matrice pătrată de ordinul al cincilea:

$$ A = \ stânga (\ începe (matrice) (ccccc) -1 & 2 & 0 & -2 & -14 \\ 3 & -17 & -3 & 19 & 29 \\ 5 & -6 & 8 & - 9 & 41 \\ -5 & 11 & 16 & -20 & -98 \\ -7 & 10 & 14 & -36 & 79 \ end (matrice) \ dreapta) $$

Să selectăm rândurile nr. 1 și nr. 3 din el, precum și coloanele nr. 2 și nr. 5. La intersecția acestor rânduri și coloane vor exista elemente minore de ordinul doi $ M $. Aceste elemente sunt evidențiate cu verde în matricea $ A $:

$$ \ stânga (\ începe (matrice) (ccccc) -1 & \ boldgreen (2) & 0 & -2 & \ boldgreen (-14) \\ 3 & -17 & -3 & 19 & 29 \\ 5 & \ boldgreen (-6) & 8 & -9 & \ boldgreen (41) \\ -5 & 11 & 16 & -20 & -98 \\ -7 & 10 & 14 & -36 & 79 \ end (matrice) \ dreapta); \; M = \ stânga | \ begin (matrice) (cc) 2 & -14 \\ -6 & 41 \ end (matrice) \ dreapta |. $$

Acum eliminăm din matrice $ A $ rândurile # 1 și # 3 și coloanele # 2 și # 5, la intersecția cărora se află elementele minorului $ M $ (se arată elementele rândurilor și coloanelor care urmează să fie eliminate în roșu în figura de mai jos). Elementele rămase formează un $ M "$ minor:

$$ \ stânga (\ begin (matrice) (ccccc) \ boldred (-1) & \ boldred (2) & \ boldred (0) & \ boldred (-2) & \ boldred (-14) \\ 3 & \ boldred (-17) & -3 & 19 & \ boldred (29) \\ \ boldred (5) & \ boldred (-6) & \ boldred (8) & \ boldred (-9) & \ boldred (41) \ \ -5 & \ boldred (11) & 16 & -20 & \ boldred (-98) \\ -7 & \ boldred (10) & 14 & -36 & \ boldred (79) \ end (matrice) \ dreapta) ; \; M "= \ stânga | \ început (matrice) (ccc) 3 & -3 & 19 \\ -5 & 16 & -20 \\ -7 & 14 & -36 \ end (matrice) \ dreapta |. $$

$ M "$ minor, a cărui ordin este $ 5-2 = $ 3, este un complementar minor al $ M $ minor.

Complement algebric la un minor$ M $ a unei matrice pătrate $ A_ (n \ ori n) $ este expresia $ (- 1) ^ (\ alpha) \ cdot M "$, unde $ \ alpha $ este suma numerelor de rânduri și coloane a matricei $ A $, pe care sunt situate elementele minorului $ M $, iar $ M "$ este complementarul minorului $ M $.

Expresia „complement algebric la minorul $ M $” este adesea înlocuită cu expresia „complement algebric la minorul $ M $”.

De exemplu, luăm în considerare matricea $ A $, pentru care am găsit ordinul doi minor $ M = \ stânga | \ begin (matrice) (ccc) 2 & -14 \\ -6 & 41 \ end (matrice) \ dreapta | $ și un minor suplimentar de ordinul al treilea: $ M "= \ left | \ begin (array) (ccc) 3 & -3 & 19 \\ -5 & 16 & -20 \\ -7 & 14 & -36 \ end (matrice) \ dreapta | $. Notați complementul algebric al minorului $ M $ ca $ M ^ * $. Apoi, prin definiție:

$$ M ^ * = (- 1) ^ \ alpha \ cdot M ". $$

Parametrul $ \ alpha $ este suma numerelor rândurilor și coloanelor pe care se află minorul $ M $. Acest minor este situat la intersecția rândurilor # 1, # 3 și coloanele # 2, # 5. Prin urmare, $ \ alpha = 1 + 3 + 2 + 5 = 11 $. Asa de:

$$ M ^ * = (- 1) ^ (11) \ cdot M "= - \ stânga | \ begin (matrice) (ccc) 3 & -3 & 19 \\ -5 & 16 & -20 \\ -7 & 14 & -36 \ end (matrice) \ dreapta |. $$

În principiu, folosind formula # 2 din subiectul calculării determinanților ordinului al doilea și al treilea, puteți duce calculele până la sfârșit, obținând valoarea $ M ^ * $:

$$ M ^ * = - \ stânga | \ begin (matrice) (ccc) 3 & -3 & 19 \\ -5 & 16 & -20 \\ -7 & 14 & -36 \ end (matrice) \ dreapta | = -30. $$