Transpunerea matricei în Microsoft Excel. Matrix transposition online Matrix transport online

Matricea А -1 se numește matrice inversă față de matricea А dacă А * А -1 = Е, unde Е este matricea unitară de ordinul n-lea. O matrice inversă poate exista doar pentru matrice pătrată.

Scopul serviciului... Cu ajutorul acestui serviciu online, puteți găsi complemente algebrice, matrice transpusă A T, matrice adjunctă și matrice inversă. Soluția se realizează direct pe site (online) și este gratuită. Rezultatele calculului sunt prezentate într-un raport Word și în format Excel (adică este posibil să se verifice soluția). vezi exemplul de proiectare.

Instruire. Pentru a obține o soluție, este necesar să se stabilească dimensiunea matricei. Apoi, într-o nouă casetă de dialog, completați matricea A.

Vezi și Matrice inversă folosind metoda Jordan-Gauss

Algoritm pentru găsirea matricei inverse

1. Găsirea matricei transpuse A T.
2. Definiția complementelor algebrice. Înlocuiți fiecare element al matricei cu complementul său algebric.
3. Alcătuirea unei matrici inverse din adunări algebrice: fiecare element al matricei rezultate este împărțit la determinantul matricei originale. Matricea rezultată este inversul matricei originale.

Următorul algoritm de matrice inversă este asemănător celui precedent, cu excepția unor pași: mai întâi se calculează complementele algebrice, apoi se determină matricea adjunctă C.

1. Determinați dacă matricea este pătrată. Dacă nu, atunci nu există o matrice inversă pentru aceasta.
2. Calculul determinantului matricei A. Dacă nu este egal cu zero, continuăm soluția; în caz contrar, matricea inversă nu există.
3. Definiția complementelor algebrice.
4. Umplerea matricei de unire (reciprocă, alăturată) C.
5. Alcătuirea unei matrici inverse din complemente algebrice: fiecare element al matricei adiacente C se împarte la determinantul matricei originale. Matricea rezultată este inversul matricei originale.
6. Se face o verificare: se înmulțesc matricea originală și matricea rezultată. Rezultatul ar trebui să fie matricea de identitate.

Exemplul #1. Să scriem matricea după cum urmează:

Complementele algebrice. ∆ 1,2 = - (2 4 - (- 2 (-2))) = -4 ∆ 2,1 = - (2 4-5 3) = 7 ∆ 2,3 = - (- 1 5 - (- 2 2)) = 1 ∆ 3,2 = - (- 1 (-2) -2 3) = 4

A -1 =

0,6 -0,4 0,8 0,7 0,2 0,1 -0,1 0,4 -0,3

Un alt algoritm pentru găsirea matricei inverse

Să dăm o altă schemă pentru găsirea matricei inverse.

1. Aflați determinantul matricei pătrate date A.
2. Găsiți complementele algebrice ale tuturor elementelor matricei A.
3. Scriem complementele algebrice ale elementelor de rând în coloane (transpunere).
4. Împărțim fiecare element al matricei rezultate la determinantul matricei A.

După cum vedeți, operația de transpunere poate fi aplicată atât la început, peste matricea originală, cât și la final, peste complementele algebrice obținute.

Un caz special: Inversul matricei de identitate E este matricea de identitate E.

Transpunerea unei matrice prin acest calculator online nu vă va lua mult timp, dar va da rapid un rezultat și vă va ajuta să înțelegeți mai bine procesul în sine.

Uneori, în calculele algebrice, este nevoie de a schimba rândurile și coloanele unei matrice. Această operație se numește transpunere matriceală. Rândurile devin coloane în ordine, iar matricea însăși devine transpusă. Există anumite reguli în aceste calcule și, pentru a le înțelege și a vă familiariza vizual cu procesul, utilizați acest calculator online. Vă va facilita foarte mult sarcina și vă va ajuta să înțelegeți mai bine teoria transpunerii matricei. Un avantaj semnificativ al acestui calculator este demonstrarea unei soluții detaliate și detaliate. Astfel, utilizarea sa contribuie la obținerea unei înțelegeri mai profunde și mai informate a calculelor algebrice. În plus, cu ajutorul acestuia puteți verifica oricând cât de bine ați făcut față sarcinii prin transpunerea manuală a matricelor.

Calculatorul este foarte ușor de utilizat. Pentru a găsi online matricea transpusă, indicați dimensiunea matricei făcând clic pe pictogramele „+” sau „-” până când se obțin valorile dorite pentru numărul de coloane și rânduri. Apoi, numerele necesare sunt introduse în câmpuri. Mai jos este butonul „Calculați” - apăsând pe acesta se afișează o soluție gata făcută cu o explicație detaliată a algoritmului.

Pentru a transpune o matrice, trebuie să scrieți rândurile matricei în coloane.

Dacă, atunci matricea transpusă

Daca atunci

Exercitiul 1. Găsi

1. Determinanții matricilor pătrate.

Pentru matricele pătrate se introduce un număr, care se numește determinant.

Pentru matrice de ordinul doi (dimensiune), determinantul este dat de formula:

De exemplu, pentru o matrice, determinantul acesteia

Exemplu . Calculați determinanții matricilor.

Pentru matricele pătrate de ordinul al treilea (dimensiunea), există o regulă „triunghi”: în figură, linia punctată înseamnă - înmulțiți numerele prin care trece linia punctată. Primele trei numere trebuie adăugate, următoarele trei numere trebuie scăzute.

Exemplu... Calculați determinantul.

Pentru a da o definiție generală a unui determinant, este necesar să se introducă conceptul de minor și complement algebric.

Minor elementul matricei se numește determinant obținut prin ștergerea - acel rând și - acea coloană.

Exemplu. Să găsim câteva minore ale matricei A.

Complement algebric elementul se numește număr.

Aceasta înseamnă că, dacă suma indicilor și este pară, atunci nu sunt diferite. Dacă suma indicilor și este impară, atunci ei diferă doar prin semn.

Pentru exemplul anterior.

Determinantul matricei este suma produselor elementelor unui șir

(coloana) prin complementele lor algebrice. Luați în considerare această definiție pe o matrice de ordinul trei.

Prima înregistrare se numește factorizarea determinantului din primul rând, a doua este factorizarea din a doua coloană, iar ultima este descompunerea în al treilea rând. În total, astfel de extinderi pot fi scrise de șase ori.

Exemplu... Calculați determinantul conform regulii „triunghiului” și extinzându-l de-a lungul primei linii, apoi de-a lungul celei de-a treia coloane, apoi de-a lungul celei de-a doua linii.

Să extindem determinantul de-a lungul primei linii:

Să extindem determinantul cu a treia coloană:

Să extindem determinantul de-a lungul celei de-a doua linii:

Rețineți că cu cât sunt mai multe zerouri, cu atât calculele sunt mai ușoare. De exemplu, extinzându-ne de-a lungul primei coloane, obținem

Printre proprietățile determinanților există o proprietate care permite obținerea de zerouri și anume:

Dacă la elementele unui anumit rând (coloană) adăugăm elementele altui rând (coloană) înmulțite cu un număr diferit de zero, atunci determinantul nu se va modifica.

Să luăm același determinant și să obținem zerouri, de exemplu, în prima linie.

Determinanții de ordin superior se calculează în același mod.

Sarcina 2. Calculați determinantul de ordinul al patrulea:

1) extinderea la orice rând sau orice coloană

2) primind anterior zerouri

Primim un zero suplimentar, de exemplu, în a doua coloană. Pentru a face acest lucru, înmulțiți elementele din a doua linie cu -1 și adăugați la a patra linie:

1. Rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare prin metoda lui Cramer.

Să arătăm soluția unui sistem de ecuații algebrice liniare prin metoda lui Cramer.

Sarcina 2. Rezolvați sistemul de ecuații.

Este necesar să se calculeze patru determinanți. Primul se numește principal și constă din coeficienții pentru necunoscute:

Rețineți că dacă, sistemul nu poate fi rezolvat prin metoda lui Cramer.

Ceilalți trei determinanți se notează, și se obțin prin înlocuirea coloanei corespunzătoare cu coloana laturilor din dreapta.

Găsim. Pentru a face acest lucru, schimbăm prima coloană din determinantul principal în coloana din partea dreaptă:

Găsim. Pentru a face acest lucru, schimbați a doua coloană din determinantul principal în coloana din partea dreaptă:

Găsim. Pentru a face acest lucru, schimbați a treia coloană din determinantul principal în coloana din partea dreaptă:

Găsim soluția sistemului prin formulele lui Cramer:,,

Astfel, soluția sistemului,

Să facem o verificare, pentru aceasta înlocuim soluția găsită în toate ecuațiile sistemului.

1. Rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare prin metoda matricei.

Dacă o matrice pătrată are un determinant diferit de zero, există o matrice inversă astfel încât. Matricea se numește unitate și are forma

Matricea inversă se găsește prin formula:

Exemplu... Aflați inversul unei matrice

În primul rând, calculăm determinantul.

Găsiți complemente algebrice:

Scriem matricea inversă:

Pentru a verifica calculele, trebuie să vă asigurați că.

Să fie dat un sistem de ecuații liniare:

Notăm

Atunci sistemul de ecuații poate fi scris sub formă de matrice ca și, prin urmare. Formula rezultată se numește metoda matriceală pentru rezolvarea sistemului.

Sarcina 3. Rezolvați sistemul într-un mod matricial.

Este necesar să scrieți matricea sistemului, să găsiți inversul acesteia și apoi să înmulțiți cu coloana părților din dreapta.

Am găsit deja matricea inversă în exemplul anterior, așa că putem găsi o soluție:

1. Rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare prin metoda Gauss.

Metoda lui Cramer și metoda matricei sunt utilizate numai pentru sisteme pătratice (numărul de ecuații este egal cu numărul de necunoscute), iar determinantul nu trebuie să fie egal cu zero. Dacă numărul de ecuații nu este egal cu numărul de necunoscute, sau determinantul sistemului este zero, se aplică metoda Gauss. Metoda lui Gauss poate fi folosită pentru a rezolva orice sistem.

Și înlocuiți în prima ecuație:

Sarcina 5. Rezolvați sistemul de ecuații prin metoda Gauss.

Folosind matricea rezultată, restaurăm sistemul:

Găsim o soluție:

Când lucrați cu matrice, uneori trebuie să le transpuneți, adică, în cuvinte simple, să le întoarceți. Desigur, puteți ucide datele manual, dar Excel oferă mai multe modalități de a le face mai ușor și mai rapid. Să le aruncăm o privire în detaliu.

Transpunerea matricei este procesul de schimbare a coloanelor și a rândurilor. Excel are două opțiuni de transpunere: utilizarea funcției TRANSPUNEși folosind instrumentul special de inserare. Să luăm în considerare fiecare dintre aceste opțiuni mai detaliat.

Metoda 1: operatorul TRANSPOSE

Funcţie TRANSPUNE aparţine categoriei operatorilor Referințe și tablouri... O particularitate este că, ca și alte funcții care funcționează cu matrice, rezultatul emiterii nu este conținutul celulei, ci o întreagă matrice de date. Sintaxa pentru funcție este destul de simplă și arată astfel:

TRANSPONERE (matrice)

Adică, singurul argument al acestui operator este o referire la tablou, în cazul nostru matricea, care ar trebui transformată.

Să vedem cum poate fi aplicată această funcție folosind un exemplu cu o matrice reală.

1. Selectați celula goală de pe foaie, care este planificată să fie celula din stânga sus a matricei transformate. Apoi, faceți clic pe pictogramă „Funcția de inserare” care se află lângă bara de formule.



2. Lansare în curs Vrăjitorii de funcții... Deschidem o categorie în ea Referințe și tablouri sau „Listare alfabetică completă”... După ce a găsit numele „TRANS”, selectați-l și faceți clic pe butonul "BINE".



3. Este lansată fereastra cu argumente ale funcției. TRANSPUNE... Singurul argument al acestui operator corespunde câmpului "Matrice"... Trebuie să introduceți coordonatele matricei în ea, care ar trebui să fie răsturnate. Pentru a face acest lucru, plasați cursorul în câmp și, ținând apăsat butonul stâng al mouse-ului, selectați întreaga gamă a matricei de pe foaie. După ce adresa zonei este afișată în fereastra de argumente, faceți clic pe butonul "BINE".



4. Dar, după cum puteți vedea, în celula, care este destinată afișarii rezultatului, este afișată o valoare incorectă sub forma unei erori "#VALOARE!"... Acest lucru se datorează modului în care funcționează operatorii matrice. Pentru a remedia această eroare, selectați un interval de celule în care numărul de rânduri ar trebui să fie egal cu numărul de coloane din matricea originală, iar numărul de coloane să fie egal cu numărul de rânduri. Această corespondență este foarte importantă pentru ca rezultatul să fie afișat corect. Mai mult, celula care conține expresia "#VALOARE!" ar trebui să fie celula din stânga sus a matricei selectate și tocmai din această celulă trebuie începută procedura de selecție ținând apăsat butonul stâng al mouse-ului. După ce ați făcut o selecție, plasați cursorul pe bara de formule imediat după declarația operatorului TRANSPUNE, care ar trebui să fie afișat în el. După aceea, pentru a face calculul, trebuie să faceți clic pe nu pe buton introduce, așa cum se obișnuiește în formulele obișnuite, și formați combinația Ctrl + Shift + Enter.



5. După aceste acțiuni, matricea a fost afișată așa cum avem nevoie, adică într-o formă transpusă. Dar mai este o problemă. Faptul este că acum noua matrice este o matrice legată de formulă, care nu poate fi schimbată. Când încercați să faceți orice modificare a conținutului matricei, va apărea o eroare. Unii utilizatori sunt destul de mulțumiți de această stare de lucruri, deoarece nu vor face modificări în matrice, dar alții au nevoie de o matrice cu care să poată lucra pe deplin.

   Pentru a rezolva această problemă, selectați întregul interval transpus. Trecând la filă "Acasă" faceți clic pe pictogramă "Copie", care se află pe panglica din grup „Clipboard”... În loc de acțiunea specificată, după selecție, puteți crea un set de comenzi rapide standard de la tastatură pentru copiere Ctrl + C.



6. Apoi, fără a elimina selecția din intervalul transpus, faceți clic pe ea cu butonul drept al mouse-ului. În meniul contextual din grup Opțiuni de lipire faceți clic pe pictogramă „Valori”, care arată ca o pictogramă care înfățișează numere.

   

   Aceasta este urmată de formula matricei TRANSPUNE va fi ștearsă, iar în celule va rămâne o singură valoare, cu care puteți lucra în același mod ca și cu matricea originală.

Metoda 2: transpuneți o matrice folosind pastă specială

În plus, matricea poate fi transpusă folosind un element din meniul contextual, care este numit „Lipire specială”.

După aceste acțiuni, doar matricea transformată va rămâne pe foaie.

În aceleași două moduri, care au fost discutate mai sus, puteți transpune în Excel nu numai matrice, ci și tabele cu drepturi depline. Procedura va fi aproape identică.

Așadar, am aflat că în Excel, o matrice poate fi transpusă, adică răsturnată prin schimbarea coloanelor și rândurilor în două moduri. Prima opțiune implică utilizarea funcției TRANSPUNE iar al doilea este Paste Special Tools. În general, rezultatul final care se obține folosind ambele metode nu este diferit. Ambele metode funcționează în aproape orice situație. Deci, atunci când alegeți o opțiune de conversie, preferințele personale ale unui anumit utilizator ies în prim-plan. Adică, care dintre aceste metode este mai convenabilă pentru tine personal, folosește-o pe aceea.