Частотний діапазон функції уолша. Частотний спектр

1. Спектр синусоїди (рис. 14.14, а) у базисі функцій Уолша.

Інтервал розкладання у разі доцільно прирівняти величині Т.

Переходячи до безрозмірного часу записуємо коливання у формі Обмежимося 16 функціями, причому спочатку виберемо впорядкування по Уолшу. Оскільки задана функція непарна щодо точки, всі коефіцієнти при парних функціях Уолша в ряді (14.27), тобто при рівні нулю.

Ті з восьми функцій, що збігаються з функціями Радемахера і мають періодичність всередині інтервалу, призводить до нульового коефіцієнта через парність у зазначених інтервалах.

Отже, лише чотири коефіцієнти з 16 не дорівнюють нулю: А (1), А (5), А (9) та А (13). Визначимо ці коефіцієнти за формулою (14.28). Підінтегральні функції, що є творами сигналів (див. рис. 14.14, а) та відповідної функції представлені на рис. 14.14, б - д. Шматкове інтегрування цих творів дає

Спектр аналізованого сигналу у базисі функцій Уолша (упорядкованих по Уолшу) представлений рис. 14.15, а.

Рис. 14.14. Стробування відрізка синусоїди функціями Волша

Рис. 14.15. Спектри синусоїди в базисі функцій Уолша, упорядкованих по Уолшу (а), Пелі (б) та Адамару (в). Розмір базису

При впорядкуванні по Пелі та Адамару спектр того ж сигналу набуває вигляду, показаного на рис. 14.15, б та ст. Ці спектри отримані із спектру на рис. 14.15, а перестановкою коефіцієнтів відповідно до таблиці (див. рис. 14.13), що показує взаємозв'язок між способами упорядкування функцій Уолша (для ).

Для зменшення спотворень при відновленні коливання обмеженою кількістю функцій Уолша перевагу слід надавати упорядкуванню, яке забезпечує монотонне зменшення спектра. Інакше кажучи, найкращим є впорядкування, у якому кожен наступний спектральний компонент не більше (за модулем) попереднього, т. е. . У цьому сенсі найкращим упорядкуванням при поданні відрізка синусоїди, як це випливає з рис. 14.15 є впорядкування Пелі, а найгіршим - Адамара.

Відновлення вихідного сигналу (див. рис. 14.14, а) шістнадцятьма функціями Уолша представлено на рис. 14.16 (дванадцять спектральних коефіцієнтів звертаються на нуль), Від способу упорядкування функцій це побудова, зрозуміло, залежить. Очевидно, що для більш задовільної апроксимації синусоїдального коливання в базисі Уолша потрібне суттєве збільшення кількості спектральних компонентів.

Поза інтервалом (0,1) ряд (14.27), як зазначалося в § 14. 4, описує періодичне продовження, в даному прикладі гармонійну функцію.

2. Спектр гармонійного коливання (рис. 14.17) у базисі функцій Уолша. Як і попередньому прикладі, розглядається один цикл гармонійного коливання з періодом . Переходячи до безрозмірного часу, записуємо коливання у формі

Спектр Волша функції визначено у прикладі 1. Цілком аналогічно визначення спектру функції на інтервалі )