Як обчислити додатки алгебри до елементів матриці. Алгебраїчні доповнення та мінори

Мінори матриці

Нехай дана квадратна матрицяА, n - ого порядку. Міноромдеякого елемента аij , визначника матриці n - ого порядку називається визначник(n - 1) - ого порядку, отриманий з вихідного шляхом викреслення рядка та стовпця, на перетині яких знаходиться обраний елемент аij. Позначається Мій.

Розглянемо з прикладу визначника матриці 3 - його порядку:
Мінори та алгебраїчні доповнення, визначник матриці 3 - його порядку, тоді згідно з визначенням мінора, міноромМ12, що відповідає елементу а12, буде визначник:При цьому, за допомогою мінорівможна полегшувати завдання обчислення визначника матриці. Потрібно розкласти визначник матриціпо деякому рядку і тоді визначникдорівнюватиме сумі всіх елементів цього рядка на їх мінори. Розкладання визначника матриці 3 - його порядку виглядатиме так:

знак перед добутком дорівнює (-1) n , де n = i + j.

Алгебраїчні доповнення:

Алгебраїчним доповненнямелемент аij називається його мінор, взятий зі знаком "+", якщо сума (i + j) парне число, і зі знаком "-", якщо ця сума непарне число. позначається Аij.
Аij = (-1) i + j × Міj.

Тоді можна переформулювати викладене вище властивість. Визначник матрицідорівнює сумі добуток елементів деякого ряду (рядки або стовпця) матриціна відповідні їм алгебраїчні доповнення. приклад.

Без перетворення матриці, визначник легко порахувати тільки для матриць розміром 2×2 та 3×3. Це робиться за формулами:

Для матриці

визначник дорівнює:

Для матриці

визначник дорівнює:

a11*(a22*a33-a23*a32)-a12*(a21*a33-a23*a31)+a13*(a21*a32-a22*a31)

Розрахунки для матриць розміром 4×4 і вище скрутні, тому їх потрібно перетворювати відповідно до властивостей визначника. Потрібно прагнути отримати матрицю, в якій всі значення крім одного будь-якого стовпця або рядка дорівнюють нулю. Приклад такої матриці:

Для неї визначник дорівнює:

A12*(a21*(a33*a44-a34*a43)-a23*(a31*a44-a34*a41)+a24*(a31*a43-a33*a41))

Зверніть увагу, що

a21*(a33*a44-a34*a43)-a23*(a31*a44-a34*a41)+a24*(a31*a43-a33*a41)

це обчислення детермінанта матриці, отриманої відрахуванням рядка і стовпця, на перетині яких знаходиться єдине не нульове число рядка/стовпця, за яким ми розкладаємо матрицю:

І набуте значення ми множимо на те саме число, з "нульового" стовпця / рядка, при цьому число може бути помножено на -1 (усі подробиці нижче).

Якщо привести матрицю до трикутного вигляду, її визначник обчислюється як добуток цифр по діагоналі. Наприклад, для матриці

Визначник дорівнює:

Аналогічно слід надходити з матрицями 5×5, 6×6 та іншими більшими розмірами.

Перетворення матриць потрібно виконувати відповідно до властивостей визначника. Але перш ніж перейти до практики обчислення визначника для матриць 4×4, давайте повернемося до матриць 3×3 і докладно розглянемо, як обчислюється визначник для них.

Мінор

Визначник матриці не дуже простий для розуміння, оскільки в його понятті є рекурсія: визначник матриці складається з декількох елементів, у тому числі з визначника (інших) матриць.

Щоб не застрягти на цьому, давайте прямо зараз (тимчасово) приймемо, що визначник матриці

обчислюється так:

Ще розберемося в умовних позначеннях і в таких поняттях як мінорі алгебраїчне доповнення.

Буквою i ми позначаємо порядковий номер стоки, літерою j – порядковий номер стовпця.

a ij означає елемент матриці (цифру) на перетині рядка і стовпця j.

Уявімо матрицю, яка отримана з вихідним видаленням рядка i і стовпця j. Визначник нової матриці, яка отримана з вихідним видаленням рядка і стовпця j, називається мінором M ij елемента a ij .

Проілюструємо сказане. Припустимо, дана матриця

Тоді для визначення мінору M 11 елемента a 11 нам потрібно скласти нову матрицю, яка виходить з вихідним видаленням першого рядка та першого стовпця:

І обчислити нею визначник: 2*1 – (-4)*0 = 2

Для визначення мінора M 22 елемента a 22 нам потрібно скласти нову матрицю, яка виходить з вихідним видаленням другого рядка та другого стовпця:

І обчислити нею визначник: 1*1 -3*3 = -8

Алгебраїчне доповнення

Алгебраїчним доповненням А ij для елемента a ij називається мінор M ij цього елемента, взятий зі знаком «+», якщо сума індексів рядка та стовпця (i + j), на перетині яких стоїть цей елемент, парна, та зі знаком «-», якщо сума індексів непарна.

Таким чином,

Для матриці з попереднього прикладу

А 11 = (-1) (1+1) * (2 * 1 - (-4) * 0) = 2

А 22 = (-1) (2+2) * (1 * 1 -3 * 3) = -8

Обчислення визначника для матриць

Визначником порядку n, що відповідає матриці А, називається число, що позначається det A і обчислюється за формулою:

У цій формулі нам все вже знайоме, давайте тепер порахуємо визначник матриці для

Який би не був номер рядка i = 1,2, ..., n або стовпця j = 1, 2, ..., n визначник n-го порядку дорівнює сумі творів елементів цього рядка або цього стовпця на їх додатки алгебри, тобто.

Тобто. детермінант можна обчислити за будь-яким стовпцем або за будь-яким рядком.

Щоб переконатися в цьому, обчислимо визначник для матриці з останнього прикладу другого стовпця

Як бачимо, результат ідентичний і для цієї матриці визначник завжди буде -52 незалежно від того, за яким рядком або яким стовпцем ми його вважатимемо.

Властивості визначника матриць

1. Рядки та стовпці визначника рівноправні, тобто величина визначника не зміниться, якщо поміняти місцями його рядки та стовпці із збереженням порядку їхнього прямування. Ця операція називається транспонування визначника. Відповідно до сформульованої властивості det A = det AT.
2. При перестановці місцями двох рядків (або двох стовпців) визначник зберігає абсолютну величину, але змінює знак на протилежний.
3. Визначник із двома однаковими рядками (або стовпцями) дорівнює нулю.
4. Примноження всіх елементів деякого рядка (або деякого стовпця) визначника на число λ рівносильне множенню визначника на число λ.
5. Якщо всі елементи якогось рядка (або будь-якого стовпця) визначника дорівнюють нулю, то і сам визначник дорівнює нулю.
6. Якщо елементи двох рядків (або двох шпальт) визначника пропорційні, то визначник дорівнює нулю.
7. Якщо до елементів деякого рядка (або деякого стовпця) визначника додати відповідні елементи іншого рядка (іншого стовпця), помножені на довільний множник λ, величина визначника не зміниться.
8. Сума творів елементів будь-якого рядка (якогось стовпця) визначника на відповідні додатки алгебри елементів будь-якого іншого рядка (будь-якого іншого стовпця) дорівнює нулю.
9. Якщо всі елементи i-го рядка визначника представлені у вигляді суми двох доданків a ij = bj + cj то визначник дорівнює сумі двох визначників, у яких усі рядки, крім i-го, такі ж, як і в заданому визначнику, i-й рядок в одному з доданків складається з елементів bj, а в іншому - з елементів cj. Аналогічна властивість справедлива і для стовпців визначника.
10. Визначник добутку двох квадратних матриць дорівнює добутку їх визначників: det (А * В) = det A * det B.

Для обчислення визначника будь-якого порядку можна використовувати спосіб послідовного зниження порядку визначника. Для цього користуються правилом розкладання визначника елементами рядка або стовпця. Ще один спосіб обчислення визначників полягає в тому, щоб за допомогою елементарних перетворень з рядками (або стовпцями), насамперед відповідно до властивостей 4 і 7 визначників, привести визначник до вигляду, коли під головною діагоналлю визначника (визначається так само, як і для квадратних матриць) всі елементи дорівнюють нулю. Тоді визначник дорівнює добутку елементів, які розташовані на головній діагоналі.

При обчисленні визначника послідовним зниженням порядку зменшення обсягу обчислювальної роботи доцільно за допомогою властивості 7 визначників домогтися обнулення частини елементів будь-якого рядка або якого-небудь стовпця визначника, що зменшить число алгебраїчних доповнень, що обчислюються.

Приведення матриці до трикутного вигляду, перетворення матриці, що полегшує обчислення визначника

Нижче наведені методи недоцільно використовувати для матриць 3×3, але я пропоную розглянути суть методів на простому прикладі. Скористайтеся матрицею, для якої ми вже вважали визначник — нам буде простіше перевірити правильність обчислень:

Використовуючи 7-му властивість визначника, віднімемо з другого рядка третій, помножений на 2:

з третього рядка віднімемо відповідні елементи першого рядка визначника, помножені на 3:

Так як елементи визначника, розташовані під його головною діагоналлю, дорівнюють 0, то, отже, визначтеся дорівнює добутку елементів, розташованих на головній діагоналі:

1*2*(-26) = -52.

Як бачимо, відповідь збіглася з отриманими раніше.

Згадаймо формулу визначника матриці:

Детермінант - це сума алгебраїчних доповнень, помножена на члени одного з рядків або одного зі стовпців.

Якщо в результаті перетворень ми зробимо так, що один з рядків (або стовпець) складатиметься повністю з нулів крім однієї позиції, то нам не потрібно буде вважати всі додатки алгебри, оскільки вони свідомо дорівнюватимуть нулю. Як і попередній метод, це доцільно застосовувати для матриць великих розмірів.

Покажемо приклад на тій самій матриці:

Помічаємо, що другий стовпець визначника містить один нульовий елемент. Додаємо до елементів другого рядка елементи першого рядка помножені на -1. Отримаємо:

Обчислимо визначник другого стовпця. Нам потрібно порахувати лише одне алгебраїчне доповнення, оскільки інші свідомо зводяться до нуля:

Обчислення визначника для матриць 4×4, 5×5 і більших розмірів

Щоб уникнути занадто великих обчислень для матриць великих розмірів, слід робити перетворення, описані вище. Наведемо кілька прикладів.

Обчислити визначтеся матриці

Вирішення. Використовуючи 7-ту властивість визначника, віднімемо з другого рядка третім, з четвертого рядка — відповідні елементи першого рядка визначника, помножені відповідно на 3, 4, 5. Ці дії скорочено будемо позначати так: (2) - (1) * 3; (3) - (1) * 4; (4) - (1) * 5. Отримаємо:

Виконаємо дії

Мінори матриці

Нехай дана квадратна матрицяА, n - ого порядку. Міноромдеякого елемента а ij, визначника матриці n - ого порядку називається визначник(n - 1) - ого порядку, отриманий з вихідного шляхом викреслення рядка та стовпця, на перетині яких знаходиться обраний елемент ij. Позначається М ij .

Розглянемо з прикладу визначника матриці 3 - його порядку:

Тоді згідно з визначенням мінору, міноромМ 12 , що відповідає елементу а 12 , буде визначник:

При цьому, за допомогою мінорівможна полегшувати завдання обчислення визначника матриці. Потрібно розкласти визначник матриціпо деякому рядку і тоді визначникдорівнюватиме сумі всіх елементів цього рядка на їх мінори. Розкладання визначника матриці 3 - його порядок виглядатиме так:

Знак перед твором дорівнює (-1) n де n = i + j.

Алгебраїчні доповнення:

Алгебраїчним доповненнямелемента а ij називається його мінор, взятий зі знаком "+", якщо сума (i + j) парне число, і зі знаком "-", якщо ця сума непарне число. Позначається А ij. А ij = (-1) i + j × М ij .

Тоді можна переформулювати викладене вище властивість. Визначник матрицідорівнює сумі добуток елементів некторого ряду (рядки або стовпця) матриціна відповідні їм алгебраїчні доповнення. Приклад:

4. Зворотна матриця та її обчислення.

Нехай А – квадратна матриця n - ого порядку.

Квадратна матрицяА називається невиродженою, якщо визначник матриці(Δ = det A) не дорівнює нулю (Δ = det A ≠ 0). В іншому випадку (Δ = 0) матрицяА називається виродженою.

Матрицею, союзною до матриціА, називається матриця

Де А ij - алгебраїчне доповненняелемента а ij даної матриці(воно визначається так само, як і алгебраїчне доповненняелемента визначника матриці).

МатрицяА -1 називається зворотної матриціА, якщо виконується умова: А А - 1 = А -1 А = Е, де Е - одинична матрицятого ж порядку, що і матрицяА. МатрицяА -1 має самі розміри, як і матрицяА.

зворотна матриця

Якщо існують квадратні матриціХ і А, що задовольняють умові: X A = A X X = E , де Е - одинична матрицятого ж самого порядку, то матрицяХ називається зворотною матрицеюдо матриці А і позначається А-1. Будь-яка невироджена матрицямає зворотну матрицюі до того ж тільки одну, тобто для того, щоб квадратна матриця A мала зворотну матрицю, необхідно і достатньо, щоб її визначникбув відмінний від нуля.

Для отримання зворотної матрицівикористовують формулу:

Де М ji додатковий мінорелемента а ji матриціА.

5. Ранг матриці. Обчислення рангу з допомогою елементарних перетворень.

Розглянемо прямокутну матрицю mхn. Виділимо в цій матриці якісь k рядків і k стовпців, 1 £ k £ min (m, n) . З елементів, що стоять на перетині виділених рядків та стовпців, складемо визначник k-го порядку. Усі такі визначники називаються мінорами матриці. Наприклад, для матриці можна скласти мінори другого порядку та мінори першого порядку 1, 0, -1, 2, 4, 3.

Визначення.Рангом матриці називається найвищий порядок відмінного від нуля мінора цієї матриці. Позначають ранг матриці r(A).

У наведеному прикладі ранг матриці дорівнює двом, оскільки, наприклад, мінор

Ранг матриці зручно обчислювати методом елементарних перетворень. До елементарних перетворень відносять такі:

1) перестановки рядків (стовпців);

2) множення рядка (стовпця) на число, відмінне від нуля;

3) додавання до елементів рядка (стовпця) відповідних елементів іншого рядка (стовпця), попередньо помножених на деяке число.

Ці перетворення не змінюють рангу матриці, тому що відомо, що 1) при перестановці рядків визначник змінює знак і, якщо він не дорівнював нулю, то вже і не стане; 2) при множенні рядка визначника на число, що не дорівнює нулю, визначник множиться на це число; 3) третє елементарне перетворення взагалі змінює визначник. Таким чином, виробляючи над матрицею елементарні перетворення, можна отримати матрицю, для якої легко обчислити її ранг і, отже, вихідної матриці.

Визначення.Матриця, отримана з матриці за допомогою елементарних перетворень, називається еквівалентною і позначається А У.

Теорема.Ранг матриці не змінюється при елементарних перетвореннях матриці.

За допомогою елементарних перетворень можна привести матрицю до так званого ступінчастого вигляду, коли обчислення її рангу не важко.

Матриця називається ступінчастою якщо вона має вигляд:

Очевидно, що ранг ступінчастої матриці дорівнює числу ненульових рядків. , т.к. є мінор-го порядку, не рівний нулю:

.

приклад.Визначити ранг матриці за допомогою елементарних перетворень.

Ранг матриці дорівнює кількості ненульових рядків, тобто. .

У цій темі розглянемо поняття алгебраїчного доповнення та мінору. Виклад матеріалу спирається на терміни, пояснені у темі "Матриці. Види матриць. Основні терміни". Також нам знадобляться деякі формули для обчислення визначників. Оскільки у цій темі чимало термінів, які стосуються мінорів і алгебраїчним доповненням, я додам короткий зміст, щоб орієнтуватися у матеріалі було простіше.

Мінор $M_(ij)$ елементу $a_(ij)$

$M_(ij)$ елемента$a_(ij)$ матриці $A_(n\times n)$ називають визначник матриці, отриманої з матриці $A$ кресленням i-го рядка і j-го стовпця (тобто рядки і стовпця, на перетині яких знаходиться елемент $a_(ij)$).

Наприклад розглянемо квадратну матрицю четвертого порядку: $A=\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & -3 & 9\\ 2 & -7 & 11 & 5 \\ -9 & 4 & 25 & 84 \\ 3 & 12 & -5 & 58 \end(array) \right)$. Знайдемо мінор елемента $a_(32)$, тобто. знайдемо $M_(32)$. Спочатку запишемо мінор $M_(32)$, а потім обчислимо його значення. Для того, щоб скласти $M_(32)$, викреслимо з матриці $A$ третій рядок та другий стовпець (саме на перетині третього рядка та другого стовпця розташований елемент $a_(32)$). Ми отримаємо нову матрицю, визначник якої і є мінор $M_(32)$:

Цей мінор неважко обчислити, використовуючи формулу №2 з теми обчислення:

$$ M_(32)=\left| \begin(array) (ccc) 1 & -3 & 9\\ 2 & 11 & 5 \\ 3 & -5 & 58 \end(array) \right|= 1\cdot 11\cdot 58+(-3) cdot 5cdot 3+2cdot (-5)cdot 9-9cdot 11cdot 3-(-3)cdot 2cdot 58-5cdot (-5)cdot 1=579. $$

Отже, мінор елемента $a_(32)$ дорівнює 579, тобто. $ M_ (32) = 579 $.

Часто замість словосполучення "мінор елемента матриці" у літературі зустрічається "мінор елемента визначника". Суть залишається незмінною: щоб отримати мінор елемента $a_(ij)$ потрібно викреслити з вихідного визначника i-й рядок і j-й стовпець. Решту елементів записують у новий визначник, який і є мінором елемента $a_(ij)$. Наприклад, знайдемо мінор елемента $a_(12)$ визначника $\left| \begin(array) (ccc) -1 & 3 & 2 \\ 9 & 0 & -5 \\ 4 & -3 & 7 \end(array) \right|$. Щоб записати необхідний мінор $M_(12)$ нам знадобиться викреслити із заданого визначника перший рядок і другий стовпець:

Щоб знайти значення даного мінору використовуємо формулу №1 з теми обчислення визначників другого та третього порядків:

$$ M_(12)=\left| \begin(array) (cc) 9 & -5\\ 4 & 7 \end(array) \right|=9\cdot 7-(-5)\cdot 4=83. $$

Отже, мінор елемента $a_(12)$ дорівнює 83, тобто. $ M_ (12) = 83 $.

Додаток алгебри $A_(ij)$ елемента $a_(ij)$

Нехай задана квадратна матриця $A_(n\times n)$ (тобто квадратна матриця n-го порядку).

Алгебраїчне доповнення$A_(ij)$ елемента$a_(ij)$ матриці $A_(n\times n)$ знаходиться за такою формулою: $$ A_(ij)=(-1)^(i+j)\cdot M_(ij), $$

де $M_(ij)$ - мінор елемента $a_(ij)$.

Знайдемо алгебраїчне доповнення елемента $a_(32)$ матриці $A=\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & -3 & 9\\ 2 & -7 & 11 & 5 \\ -9 & 4 & 25 & 84 \ 3 & 12 & -5 & 58 \ end (array) \ right) $, тобто. знайдемо $A_(32)$. Раніше ми вже знаходили мінор $M_(32)=579$, тому використовуємо отриманий результат:

Зазвичай при знаходженні додатків алгебри не обчислюють окремо мінор, а вже потім саме доповнення. Запис мінору опускають. Наприклад, знайдемо $A_(12)$, якщо $A=\left(\begin(array) (ccc) -5 & 10 & 2\\ 6 & 9 & -4 \\ 4 & -3 & 1 \end( array) \right)$. Відповідно до формули $A_(12)=(-1)^(1+2)\cdot M_(12)=-M_(12)$. Однак щоб отримати $M_(12)$ достатньо викреслити перший рядок і другий стовпець матриці $A$, то навіщо вводити зайве позначення для мінора? Відразу запишемо вираз для додатку алгебри $A_(12)$:

Мінор k-го порядку матриці $A_(m\times n)$

Якщо в попередніх двох пунктах ми говорили лише про квадратні матриці, то тут поведемо також про прямокутні матриці, у яких кількість рядків зовсім не обов'язково дорівнює кількості стовпців. Отже, нехай задано матрицю $A_(m\times n)$, тобто. матриця, що містить m рядків та n стовпців.

Мінором k-го порядкуматриці $A_(m\times n)$ називається визначник, елементи якого розташовані на перетині k рядків і k шпальт матриці $A$ (при цьому передбачається, що $k≤ m$ і $k≤ n$).

Наприклад, розглянемо таку матрицю:

$$A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 0 & -3 & 9\\ 2 & 7 & 14 & 6 \\ 15 & -27 & 18 & 31\\ 0 & 1 & 19 & 8\\ 0 & -12 & 20 & 14\\ 5 & 3 & -21 & 9\\ 23 & -10 & -5 & 58 \end(array) \right) $$

Запишемо для неї якийсь мінор третього порядку. Щоб записати мінор третього порядку, нам потрібно вибрати якісь три рядки і три стовпці даної матриці. Наприклад, візьмемо рядки №2, №4, №6 та стовпці №1, №2, №4. На перетині цих рядків і стовпців будуть розміщені елементи необхідного мінору. На малюнку елементи мінору показані синім кольором:

$$ \left(\begin(array) (cccc) -1 & 0 & -3 & 9 \\ \boldblue(2) & \boldblue(7) & 14 & \boldblue(6) \\ 15 & -27 & 18 & 31 \\boldblue(0) & \boldblue(1) & 19 & \boldblue(8)\\ 0 & -12 & 20 & 14\\ \boldblue(5) & \boldblue(3) & -21 & \boldblue(9)\\ 23 & -10 & -5 & 58 \end(array) \right);\; M=\left|\begin(array) (ccc) 2 & 7 & 6 \\ 0 & 1 & 8 \\ 5 & 3 & 9 \end(array) \right|. $$

Мінори першого порядку перебувають на перетині одного рядка та одного стовпця, тобто. мінори першого порядку дорівнюють елементам заданої матриці.

Мінор k-го порядку матриці $A_(m\times n)=(a_(ij))$ називається головним, якщо на головній діагоналі цього мінору знаходяться лише головні діагональні елементи матриці $A$.

Нагадаю, що основними діагональними елементами називають ті елементи матриці, у яких індекси рівні: $a_(11)$, $a_(22)$, $a_(33)$ тощо. Наприклад, для розглянутої вище матриці $A$ такими елементами будуть $a_(11)=-1$, $a_(22)=7$, $a_(33)=18$, $a_(44)=8$. На малюнку вони виділені зеленим кольором:

$$\left(\begin(array) (cccc) \boldgreen(-1) & 0 & -3 & 9\\ 2 & \boldgreen(7) & 14 & 6 \\ 15 & -27 & \boldgreen(18 ) & 31\\ 0 & 1 & 19 & \boldgreen(8)\\ 0 & -12 & 20 & 14\\ 5 & 3 & -21 & 9\\ 23 & -10 & -5 & 58 \end( array) \right) $$

Наприклад, якщо в матриці $A$ ми викреслимо рядки та стовпці з номерами 1 і 3, то на їхньому перетині будуть розташовані елементи мінору другого порядку, на головній діагоналі якого будуть лише діагональні елементи матриці $A$ (елементи $a_(11) =-1$ і $a_(33)=18$ матриці $A$). Отже, ми отримаємо головний мінор другого порядку:

$$ M=\left|\begin(array) (cc) \boldgreen(-1) & -3 \\ 15 & \boldgreen(18) \end(array) \right| $$

Природно, що ми могли взяти інші рядки і стовпці, наприклад з номерами 2 і 4, отримавши при цьому інший головний мінор другого порядку.

Нехай певний мінор $M$ k-го порядку матриці $A_(m\times n)$ не дорівнює нулю, тобто. $M\neq 0$. При цьому всі мінори, порядок яких вищий за k, дорівнюють нулю. Тоді мінор $M$ називають базисним, А рядки і стовпці, на яких розташовані елементи базового мінору, називають базисними рядкамиі базисними стовпцями.

Наприклад розглянемо таку матрицю:

$$A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & 0 & 3 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 4 & 1 & 0\\ 1 & 0 & -2 & -1 & 0\ \ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end(array) \right) $$

Запишемо мінор цієї матриці, елементи якого розташовані на перетині рядків №1, №2, №3 та стовпців з №1, №3, №4. Ми отримаємо мінор третього порядку (його елементи виділені в матриці $A$ фіолетовим кольором):

$$ \left(\begin(array) (ccc) \boldpurple(-1) & 0 & \boldpurple(3) & \boldpurple(0) & 0 \\ \boldpurple(2) & 0 & \boldpurple(4) & \boldpurple(1) & 0 \\ \boldpurple(1) & 0 & \boldpurple(-2) & \boldpurple(-1) & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end(array) \ right); \; M=\left|\begin(array) (ccc) -1 & 3 & 0 \\ 2 & 4 & 1 \\ 1 & -2 & -1 \end(array) \right|. $$

Знайдемо значення цього мінору, використовуючи формулу №2 з теми обчислення визначників другого та третього порядків:

$ $ M = \ left | \begin(array) (ccc) -1 & 3 & 0 \\ 2 & 4 & 1 \\ 1 & -2 & -1 \end(array) \right|=4+3+6-2=11. $$

Отже, $ M = 11 \ neq 0 $. Тепер спробуємо скласти будь-який мінор, порядок якого вищий за три. Щоб скласти мінор четвертого порядку, нам доведеться використати четвертий рядок, проте всі елементи цього рядка дорівнюють нулю. Отже, у будь-якому мінорі четвертого порядку буде нульовий рядок, а це означає, що всі мінори четвертого порядку дорівнюють нулю. Мінори п'ятого і вищих порядків скласти ми можемо, оскільки матриця $A$ має лише 4 рядки.

Ми знайшли мінор третього порядку, не рівний нулю. При цьому всі мінори вищих порядків дорівнюють нулю, отже, розглянутий нами мінор - базисний. Рядки матриці $A$, на яких розташовані елементи цього мінору (перший, другий та третій), - базисні рядки, а перший, третій і четвертий стовпці матриці $A$ - базисні стовпці.

Цей приклад, звісно, ​​тривіальний, оскільки його мета - наочно показати суть базисного мінору. Взагалі, базисних мінорів може бути кілька, і зазвичай процес пошуку такого мінору набагато складніший і об'ємніший.

Введемо ще одне поняття - мінер, що облямовує.

Нехай якийсь мінор k-го порядку $M$ матриці $A_(m\times n)$ розташований на перетині рядків і k стовпців. Додамо до набору цих рядків та стовпців ще один рядок та стовпець. Отриманий мінор (k+1)-го порядку називають облямовуючим міноромдля мінору $M$.

Для прикладу звернемося до такої матриці:

$$A=\left(\begin(array) (ccccc) -1 & 2 & 0 & -2 & -14\\ 3 & -17 & -3 & 19 & 29\\ 5 & -6 & 8 & - 9 & 41\-5 & 11 & 19 & -20 & -98\\ 6 & 12 & 20 & 21 & 54\\ -7 & 10 & 14 & -36 & 79 \end(array) \right) $ $

Запишемо мінор другого порядку, елементи якого розташовані на перетині рядків №2 та №5, а також стовпців №2 та №4. Ці елементи виділені у матриці червоним кольором:

$$ \left(\begin(array) (ccccc) -1 & 2 & 0 & -2 & -14\\ 3 & \boldred(-17) & -3 & \boldred(19) & 29\\ 5 & -6 & 8 & -9 & 41\\ -5 & 11 & 19 & -20 & -98\\ 6 & \boldred(12) & 20 & \boldred(21) & 54\\ -7 & 10 & 14 & -36 & 79 \end(array) \right);\; M=\left|\begin(array) (ccc) -17 & 19 \\ 12 & 21 \end(array) \right|. $$

Додамо до набору рядків, на яких лежать елементи мінору $M$, рядок №1, а до набору стовпців - стовпець №5. Отримаємо новий мінор $M"$ (вже третього порядку), елементи якого розташовані на перетині рядків №1, №2, №5 і стовпців №2, №4, №5. Елементи мінору $M$ на малюнку виділені червоним кольором, а елементи, які ми додаємо до мінору $M$ - синім:

$$ \left(\begin(array) (ccccc) -1 & \boldblue(2) & 0 & \boldblue(-2) & \boldblue(-14)\\ 3 & \boldred(-17) & -3 & \boldred(19) & \boldblue(29)\\ 5 & -6 & 8 & -9 & 41\\ -5 & 11 & 19 & -20 & -98\\ 6 & \boldred(12) & 20 & \boldred(21) & \boldblue(54)\\ -7 & 10 & 14 & -36 & 79 \end(array) \right);\; M"=\left|\begin(array) (ccc) 2 & -2 & -14 \\ -17 & 19 & 29 \\ 12 & 21 & 54 \end(array) \right|. $$

Мінор $M"$ є мінором для мінора $M$. (Мінор третього порядку):

$$ \left(\begin(array) (ccccc) -1 & 2 & 0 & -2 & -14\\ 3 & \boldred(-17) & \boldblue(-3) & \boldred(19) & 29 \\ 5 & -6 & 8 & -9 & 41\\ -5 & \boldblue(11) & \boldblue(19) & \boldblue(-20) & -98\\ 6 & \boldred(12) & \ boldblue(20) & \boldred(21) & 54\\ -7 & 10 & 14 & -36 & 79 \end(array) \right);\; M""=\left|\begin(array) (ccc) -17 & -3 & 19 \\ 11 & 19 & -20 \\ 12 & 20 & 21 \end(array) \right|. $$

Мінор $M""$ також є мінором для мінора $M$.

Мінор k-го порядку матриці $A_(n\times n)$. Додатковий мінор. Алгебраїчне доповнення до мінору квадратної матриці.

Знову повернемося до квадратних матриць. Введемо поняття додаткового мінору.

Нехай заданий мінор $M$ k-го порядку матриці $A_(n\times n)$. Визначник (n-k)-го порядку, елементи якого отримані з матриці $A$ після викреслення рядків і стовпців, що містять мінор $M$, називається мінором, додатковим до мінору$M$.

Наприклад розглянемо квадратну матрицю п'ятого порядку:

$$ A=\left(\begin(array)(ccccc) -1 & 2 & 0 & -2 & -14\\ 3 & -17 & -3 & 19 & 29\\ 5 & -6 & 8 & - 9 & 41 \ -5 & 11 & 16 & -20 & -98 \\ -7 & 10 & 14 & -36 & 79 \end(array) \right) $$

Виберемо в ній рядки №1 та №3, а також стовпці №2 та №5. На перетині рядків і стовпців будуть елементи мінора $M$ другого порядку. Ці елементи виділені в матриці $A$ зеленим кольором:

$$ \left(\begin(array)(ccccc) -1 & \boldgreen(2) & 0 & -2 & \boldgreen(-14)\\ 3 & -17 & -3 & 19 & 29\\ 5 & \boldgreen(-6) & 8 & -9 & \boldgreen(41)\\ -5 & 11 & 16 & -20 & -98\\ -7 & 10 & 14 & -36 & 79 \end(array) \ right); \; M=\left|\begin(array)(cc) 2 & -14 \ -6 & 41 \end(array) \right|. $$

Тепер приберемо з матриці $A$ рядки №1 і №3 і стовпці №2 і №5, на перетині яких знаходяться елементи мінору $M$ (елементи рядків і стовпців, що прибираються, показані червоним кольором на малюнку нижче). Решта елементів утворюють мінор $M"$:

$$ \left(\begin(array)(ccccc) \boldred(-1) & \boldred(2) & \boldred(0) & \boldred(-2) & \boldred(-14)\\ 3 & \ boldred(-17) & -3 & 19 & \boldred(29)\\ \boldred(5) & \boldred(-6) & \boldred(8) & \boldred(-9) & \boldred(41)\ \ -5 & \boldred(11) & 16 & -20 & \boldred(-98)\ -7 & \boldred(10) & 14 & -36 & \boldred(79) \end(array) \right) ;\; M"=\left|\begin(array) (ccc) 3 & -3 & 19 \\ -5 & 16 & -20 \\ -7 & 14 & -36 \end(array)\right|. $$

Мінор $M"$, порядок якого дорівнює $5-2=3$, є мінором, додатковим до мінору $M$.

Алгебраїчним доповненням до мінору$M$ квадратної матриці $A_(n\times n)$ називається вираз $(-1)^(\alpha)\cdot M"$, де $\alpha$ - сума номерів рядків і стовпців матриці $A$, на яких розташовані елементи мінору $M$, а $M"$ - мінор, додатковий до мінору $M$.

Словосполучення "додаток алгебри до мінора $M$" часто замінюють словосполученням "додаток алгебри до мінора $M$".

Наприклад розглянемо матрицю $A$, на яку ми знаходили мінор другого порядку $ M=\left| \begin(array) (ccc) 2 & -14 \\ -6 & 41 \end(array) \right| $ і додатковий до нього мінор третього порядку: $ M "= \ left | \ begin (array) (ccc) 3 & -3 & 19 \ \ -5 & 16 & -20 \ (array) \right|$ Позначимо алгебраїчне доповнення мінору $M$ як $M^*$.

$$ M^*=(-1)^\alpha\cdot M". $$

Параметр $\alpha$ дорівнює сумі номерів рядків та стовпців, на яких знаходиться мінор $M$. Цей мінор розташований на перетині рядків №1, №3 та стовпців №2, №5. Отже, $ alpha = 1 +3 +2 +5 = 11 $. Отже:

$$ M^*=(-1)^(11)\cdot M"=-\left| \begin(array) (ccc) 3 & -3 & 19\\ -5 & 16 & -20 \\ -7 & 14 & -36 \end(array) \right|.$$

У принципі, використовуючи формулу №2 з теми обчислення визначників другого і третього порядків, можна довести обчислення остаточно, отримавши значення $M^*$:

$$ M^*=-\left| \begin(array) (ccc) 3 & -3 & 19 \\ -5 & 16 & -20 \\ -7 & 14 & -36 \end(array) \right|=-30. $$