2. Заміна змінної (метод підстановки)

Суть методу підстановки полягає в тому, що в результаті введення нової змінної заданий складнийінтеграл наводиться до табличного або такого, прийом обчислення якого відомий.

Нехай потрібно обчислити інтеграл. Існує два правила підстановки:

Загального правила добору функції
не існує, але є кілька типів підінтегральних функцій, для яких є рекомендації щодо підбору функції
.

Заміну змінних можна застосовувати кілька разів, доки не буде отримано результату.

приклад 1. Знайти інтеграли:

а)
; б)
; в)
;

г)
; д)
; е)
.

Рішення.

а) Серед табличних інтегралів немає які містять радикали різних ступенів, тому «хочеться позбутися», перш за все, від
і
. Для цього потрібно замінити хтаким виразом, з якого легко витягувалися б обидва корені:

б) Типовий приклад, коли виникає бажання «позбутися» показової функції
. Але в даному випадку зручніше за нову змінну взяти весь вираз, що стоїть у знаменнику дробу:

;

в) Помічаючи, що у чисельнику стоїть твір
, Що є частиною диференціала підкореного виразу, замінимо все це вираз нової змінної:

;

г) Тут, як і у випадку а), хочеться позбавитися радикала. Але оскільки, на відміну від пункту а), тут лише один корінь, то саме його і замінимо на нову змінну:

д) Тут вибору заміни сприяють дві обставини: з одного боку інтуїтивне бажання позбутися логарифмів, з іншого боку – наявність виразу , що є диференціалом функції
. Але так само, як і в попередніх прикладах, в заміну краще включити і супутні логарифму константи:

е) Тут, так само як і в попередньому прикладі, інтуїтивне бажання позбутися громіздкого показника підінтегральної функції узгоджується з відомим фактом:
(Формула 8 таблиці 3). Тому маємо:

.

Заміна змінних для деяких класів функцій

Розглянемо деякі класи функцій, котрим можуть бути рекомендовані певні підстановки.

Таблиця 4.Раціональні функції

Вигляд інтегралу	Спосіб інтегрування
1.1.
1.2.
1.3.	Виділення повного квадрата:
1.4.	Рекурентна формула

Трансцендентні функції:

1.5.
- Підстановка t = e x ;

1.6.
- Підстановка t= log a x.

приклад 2.Знайти інтеграли від раціональних функцій:

а)
; б)
;

в)
; д)
.

Рішення.

а) Цей інтеграл не потрібно обчислювати за допомогою заміни змінних, тут простіше використовувати підведення під знак диференціала:

б) Аналогічно, використовуємо підбиття під знак диференціалу:

;

в) Перед нами інтеграл типу 1.3 таблиці 4, скористаємося відповідними рекомендаціями:

д) Аналогічно попередньому прикладу:

приклад 3.Знайти інтеграли

а)
; б)
.

Рішення.

б) Підінтегральний вираз містить логарифм, тому скористаємося рекомендацією 1.6. Тільки в цьому випадку зручніше замінити не просто функцію
, а все підкорене вираз:

.

Таблиця 6. Тригонометричні функції (R

Вигляд інтегралу	Спосіб інтегрування
3.1.	Універсальна підстановка , , ,
3.1.1. , якщо	Підстановка
3.1.2. , якщо	Підстановка .
3.1.3. . , якщо (тобто є лише парні ступені функцій )	Підстановка
3.2.	Якщо - непарне, то див. 3.1.1; якщо - непарне, то див. 3.1.2; якщо – парне, див. 3.1.3; якщо – парні, тобто використовувати формули зниження ступеня ,
3.3. , ,	Використовувати формули

приклад 4.Знайти інтеграли:

а)
; б)
; в)
; д)
.

Рішення.

а) Тут інтегруємо тригонометричну функцію. Застосуємо універсальну підстановку (таблиця 6, 3.1):

.

б) Тут також застосуємо універсальну підстановку:

.

Зауважимо, що у розглянутому інтегралі заміну змінних довелося застосувати двічі.

в) Обчислюємо аналогічно:

д) Розглянемо два прийоми обчислення даного інтегралу.

1)

.

Як бачимо, отримали різні функції-первоподібні. Це не означає, що один із використаних прийомів дає невірний результат. Справа в тому, що використовуючи відомі тригонометричні тотожності, що пов'язують тангенс половинного кута з тригонометричними функціями повного кута, маємо

Таким чином, знайдені первісні збігаються один з одним.

Приклад 5.Знайти інтеграли:

а)
; б)
; в)
; г)
.

Рішення.

а) У цьому інтегралі також можна застосувати універсальну підстановку
, але оскільки косинус, що входить у підінтегральну функцію – парною мірою, то раціональніше використовувати рекомендації пункту 3.1.3 таблиці 6:

б) Спочатку наведемо всі тригонометричні функції, що входять до підінтегрального виразу до одного аргументу:

В отриманому інтегралі можна застосувати універсальну підстановку, але зауважуємо, що підінтегральна функція не змінює знак при зміні символів синуса та косинуса:

Отже, функція має властивості, зазначені в пункті 3.1.3 таблиці 6, тому найбільш зручною буде підстановка
. Маємо:

в) Якщо в заданій підінтегральної функції змінити знак у косинуса, то вся функція змінить символ:

.

Отже, підінтегральна функція має властивість, описану в пункті 3.1.2. Отже, раціонально скористатися підстановкою
. Але перш, як і в попередньому прикладі, перетворимо підінтегральну функцію:

г) Якщо в заданій підінтегральній функції поміняти знак у синуса, то вся функція поміняє знак, отже, маємо випадок, описаний у пункті 3.1.1 таблиці 6, тому нової змінної потрібно позначити функцію
. Але оскільки в підінтегральному вираженні не спостерігається жодної функції
, ні її диференціала, попередньо перетворюємо:

Приклад 6.Знайти інтеграли:

а)
; б)
;

в)
г)
.

Рішення.

а) Цей інтеграл відноситься до інтегралів виду 3.2 таблиці 6. Оскільки синус у непарній мірі, то згідно з рекомендаціями, зручно замінити функцію
. Але спочатку перетворимо підінтегральну функцію:

.

б) Цей інтеграл відноситься до того ж типу, що і попередній, але тут функції
і
мають парні ступеня, тому необхідно застосувати формули зниження ступеня:
,
. Отримаємо:

=

в) Перетворимо функцію:

г) Згідно з рекомендаціями 3.1.3 таблиці 6, у цьому інтегралі зручно зробити заміну
. Отримаємо:

Таблиця 5.Ірраціональні функції (R- Раціональна функція своїх аргументів)

Вигляд інтегралу	Спосіб інтегрування
	Підстановка , де k – спільний знаменник дробів …, .
	Підстановка , де k-Спільний знаменник дробів …,
2.3.	Підстановка, , де k– загальний знаменник дробів-показників …,
2.4.	Підстановка .
2.5.	Підстановка ,
2.6.	Підстановка , .
2.7.	Підстановка , .
2.8. (диференціальний біном), інтегрується лише у трьох випадках: а) р- ціле (підстановка х = t k, де k– загальний знаменник дробів ті п); б) - ціле (заміна = t k, де k-Знаменник дробу р); в) - ціле (заміна = t k, де k-Знаменник дробу р).

Приклад 7.Знайти інтеграли:

а)
; б)
; в)
.

Рішення.

а) Цей інтеграл можна віднести до інтегралів виду 2.1, тому виконаємо відповідну підстановку. Нагадаємо, що сенс заміни в цьому випадку полягає в тому, щоб позбавитися ірраціональності. А це означає, що замінити слід підкорене вираз таким ступенем нової змінної, з якої витягувалися б всі корені, що є під інтегралом. У нашому випадку це очевидно :

Під інтегралом вийшов неправильний раціональний дріб. Інтегрування таких дробів передбачає насамперед виділення цілої частини. Тому розділимо чисельник на знаменник:

Тоді отримуємо
, звідси

Переходимо до розгляду загального випадку – методу заміни змінних у невизначеному інтегралі.

Приклад 5

Як приклад я взяв інтеграл, який ми розглядали на початку уроку. Як ми вже говорили, для вирішення інтеграла нам сподобалася таблична формула, і вся справа хотілося б звести до неї.

Ідея методу заміни полягає в тому, щоб складний вираз (або деяку функцію) замінити однією літерою.
У цьому випадку напрошується:
Друга за популярністю літера для заміни - це літера.
В принципі, можна використовувати й інші літери, але ми все-таки дотримуватимемося традицій.

Отже:
Але при заміні у нас залишається! Напевно, багато хто здогадався, що й здійснюється перехід до нової змінної , то новому інтегралі все має бути виражено через букву , і диференціалу там зовсім місце.
Слід логічний висновок, що потрібно перетворити на деякий вираз, який залежить тільки від.

Дія така. Після того, як ми підібрали заміну, в даному прикладі нам потрібно знайти диференціал . З диференціалами, гадаю, дружба вже у всіх налагоджена.

Оскільки , то

Після розбирання з диференціалом остаточний результат рекомендую переписати максимально коротко:
Тепер за правилами пропорції висловлюємо потрібний нам:

В підсумку:
Таким чином:

А це вже самий табличний інтеграл ( таблиця інтегралів, Звичайно, справедлива і для змінної ).

Наприкінці залишилося провести зворотну заміну. Згадуємо, що .

Готово.

Чистове оформлення розглянутого прикладу має виглядати приблизно так:

“

Проведемо заміну:

“

Значок не несе ніякого математичного сенсу, він означає, що ми перервали рішення для проміжних пояснень.

При оформленні прикладу зошита надрядкову позначку зворотної заміни краще виконувати простим олівцем.

Увага!У таких прикладах знаходження диференціала розписуватись докладно не буде.

А тепер саме час згадати перший спосіб розв'язання:

В чому різниця? Принципової різниці немає. Це фактично одне й те саме. Але з погляду оформлення завдання метод підведення функції під знак диференціалу набагато коротший..

Виникає питання. Якщо перший спосіб коротший, то навіщо використовувати метод заміни? Справа в тому, що для ряду інтегралів не просто «підігнати» функцію під знак диференціала.

Приклад 6

Знайти невизначений інтеграл.

Проведемо заміну: (іншу заміну тут важко вигадати)

Як бачите, в результаті заміни вихідний інтеграл значно спростився - звівся до звичайної статечної функції. Це і є мета заміни – спростити інтеграл.

Ледачі просунуті люди запросто вирішать даний інтеграл шляхом підведення функції під знак диференціала:

Інша річ, що таке рішення явно далеко не для всіх студентів. Крім того, вже у цьому прикладі використання методу підведення функції під знак диференціалу значно підвищує ризик заплутатися у рішенні.

Приклад 7

Знайти невизначений інтеграл. Виконати перевірку.

Приклад 8

Знайти невизначений інтеграл.

Заміна:
Залишилося з'ясувати, на що перетвориться

Добре, ми висловили, але що робити з «іксом», що залишився в чисельнику?!
Іноді під час рішення інтегралів зустрічається наступний трюк: ми висловимо з тієї ж заміни !

Приклад 9

Знайти невизначений інтеграл.

Це приклад самостійного рішення. Відповідь наприкінці уроку.

Приклад 10

Знайти невизначений інтеграл.

Напевно, деякі звернули увагу, що в моїй довідковій таблиці немає правила заміни змінної. Зроблено це свідомо. Правило внесло б плутанину до пояснення та розуміння, оскільки у вищерозглянутих прикладах воно не фігурує у явному вигляді.

Настав час розповісти про основну передумову використання методу заміни змінної: у підінтегральному вираженні має бути певна функція та її похідна : (функції, можуть бути і не у творі)

У зв'язку з цим при знаходженні інтегралів досить часто доводиться заглядати в таблицю похідних.

У прикладі помічаємо, що ступінь чисельника на одиницю менше ступеня знаменника. У таблиці похідних знаходимо формулу , яка знижує ступінь на одиницю. Отже, якщо позначити за знаменник, то великі шанси, що чисельник перетвориться на щось хороше.

Заміна:

До речі, тут не так складно підвести функцію під знак диференціалу:

Слід зазначити, що для дробів начебто такий фокус вже не пройде (точніше кажучи, застосувати потрібно буде не тільки прийом заміни). Інтегрувати деякі дроби можна навчитися на уроці Інтегрування деяких дробів.

Ось ще пара типових прикладів для самостійного вирішення тієї ж опери:

Приклад 11

Знайти невизначений інтеграл.

Приклад 12

Знайти невизначений інтеграл.

Рішення наприкінці уроку.

Приклад 13

Знайти невизначений інтеграл.

Дивимося в таблицю похідних і знаходимо наш арккосинус: . У нас у підінтегральному вираженні знаходиться арккосинус і щось схоже на його похідну.

Загальне правило:
За позначаємо саму функцію(а чи не її похідну).

В даному випадку: . Залишилося з'ясувати, на що перетвориться частина підінтегрального виразу, що залишилася.

У цьому прикладі знаходження я докладно розпишу оскільки – складна функція.

Або коротше:
За правилом пропорції висловлюємо потрібний нам залишок:

Таким чином:

Ось тут підвести функцію під знак диференціала вже не так просто.

Приклад 14

Знайти невизначений інтеграл.

Приклад самостійного рішення. Відповідь дуже близько.

Уважні читачі помітили, що я розглянув мало прикладів із тригонометричними функціями. І це не випадково, оскільки під інтеграли від тригонометричних функційвідведено окремий урок. Більше того, на зазначеному уроці дано деякі корисні орієнтири для заміни змінної, що особливо актуально для чайників, яким не завжди і не відразу зрозуміло, яку саме заміну потрібно проводити в тому чи іншому інтегралі. Також деякі типи замін можна переглянути у статті Визначений інтеграл. Приклади рішень.

Більш досвідчені студенти можуть ознайомитись із типовою заміною в інтегралах з ірраціональними функціями. Заміна при інтегруванні коренів є специфічною, і її техніка виконання відрізняється від тієї, яку ми розглянули цьому уроці.

Бажаю успіхів!

Приклад 3:Рішення :

Приклад 4:Рішення :

Приклад 7:Рішення :

Приклад 9:Рішення :

Заміна:

Приклад 11:Рішення :

Проведемо заміну:

Приклад 12:Рішення :

Проведемо заміну:

Приклад 14:Рішення :

Проведемо заміну:

Інтегрування частинами. Приклади рішень

І знову здрастуйте. Сьогодні на уроці ми навчимося інтегрувати частинами. Метод інтегрування частинами – це з наріжних каменів інтегрального обчислення. На заліку, іспиті студенту майже завжди пропонують вирішити інтеграли таких типів: найпростіший інтеграл (Див. статтюНевизначений інтеграл. Приклади рішень ) або інтеграл на зміну змінної (Див. статтюМетод заміни змінної у невизначеному інтегралі ) або інтеграл саме на метод інтегрування частинами.

Як завжди, під рукою мають бути: Таблиця інтеграліві Таблиця похідних. Якщо у Вас досі немає, то, будь ласка, відвідайте комору мого сайту: Математичні формули та таблиці. Не втомлюся повторювати – краще все роздрукувати. Весь матеріал я постараюся викласти послідовно, просто і доступно, в інтегруванні частинами немає особливих труднощів.

Яке завдання вирішує метод інтегрування частинами? Метод інтегрування частинами вирішує дуже важливе завдання, він дозволяє інтегрувати деякі функції, відсутні в таблиці, твір, добутокфункцій, а деяких випадках – і приватне. Як ми пам'ятаємо, немає зручної формули: . Натомість є така: – формула інтегрування частинами своєї персоною. Знаю, знаю, ти одна така – з нею ми й працюватимемо весь урок (вже легше).

4) , – зворотні тригонометричні функції («арки»), «арки», помножені на якийсь багаточлен.

Також частинами беруться деякі дроби, відповідні приклади ми також докладно розглянемо.

Інтеграли від логарифмів

Приклад 1

Знайти невизначений інтеграл.

Класика. Іноді цей інтеграл можна зустріти в таблицях, але користуватися готовою відповіддю небажано, тому що у викладача весняний авітаміноз і він сильно залаяється. Тому що аналізований інтеграл аж ніяк не табличний - він береться частинами. Вирішуємо:

Перериваємо рішення на проміжні пояснення.

Використовуємо формулу інтегрування частинами:

А способи приведення інтегралів до табличнихми Вам перерахували:

метод заміни змінної;

метод інтегування частинами;

Метод безпосереднього інтегрування

способи подання невизначених інтегралів через табличні для інтегралів від раціональних дробів;

методи подання невизначених інтегралів через табличні інтеграли для інтегралів від ірраціональних виразів;

способи вираження невизначених інтегралів через табличні для інтегралів від тригонометричних функцій

Невизначений інтеграл статечної функції

Невизначений інтеграл експоненти показової функції

А ось невизначений інтеграл логарифму не є табличним інтегралом, замість нього табличною є формула:

Невизначені інтеграли тригонометричних функцій: Інтеграли синуса косинуса та тангенсу

Невизначені інтеграли зі зворотними тригонометричними функціями

Приведення до табличного виглядуабо метод безпосереднього інтегрування. За допомогою тотожних перетворень підінтегральної функції інтеграл зводиться до інтегралу, до якого застосовуються основні правила інтегрування та можливе використання таблиці основних інтегралів.

приклад

Завдання.Знайти інтеграл

Рішення.Скористаємося властивостями інтеграла і наведемо цей інтеграл до табличного виду.

Відповідь.

Технічно метод заміни змінної у невизначеному інтегралі реалізується двома способами:

– Підведення функцій під знак диференціала. - Власне заміна змінної.

Підведення функції під знак диференціалу

Приклад 2

Виконати перевірку.

Аналізуємо підінтегральну функцію. Тут у нас дріб, причому в знаменнику лінійна функція (з «ікс» у першому ступені). Дивимося на таблицю інтегралів і знаходимо найбільш схожу річ: .

Підводимо функцію під знак диференціалу:

Ті, кому важко одночасно збагнути, яку дріб треба домножувати, можуть швиденько на чернетці розкрити диференціал: . Ага, виходить, значить, щоб нічого не змінилося, мені треба примножити інтеграл на . Далі використовуємо табличну формулу:

Перевірка: Отримано вихідну підінтегральну функцію, отже, інтеграл знайдено правильно.

Приклад 5

Знайти невизначений інтеграл.

Як приклад я взяв інтеграл, який ми розглядали на початку уроку. Як ми вже говорили, для вирішення інтеграла нам сподобалася таблична формула , і вся справа хотілося б звести до неї.

Ідея методу заміни полягає в тому, щоб складний вираз (або деяку функцію) замінити однією літерою.В даному випадку напрошується: Друга за популярністю літера для заміни – це . В принципі, можна використовувати й інші літери, але ми таки дотримуватимемося традицій.

Отже: Але при заміні у нас залишається! Напевно, багато хто здогадався, що й здійснюється перехід до нової змінної , то новому інтегралі все має бути виражено через букву , і диференціалу там зовсім місце. Слід логічний висновок, що потрібно перетворити на деякий вираз, який залежить тільки від.

Дія така. Після того, як ми підібрали заміну, в даному прикладі нам потрібно знайти диференціал . З диференціалами, гадаю, дружба вже у всіх налагоджена.

Оскільки , то

Після розбирання з диференціалом остаточний результат рекомендую переписати максимально коротко: Тепер за правилами пропорції висловлюємо потрібний нам :

В підсумку: Таким чином: А це вже самий табличний інтеграл (Таблиця, інтегралів, природно, справедлива і для змінної).

Наприкінці залишилося провести зворотну заміну. Згадуємо, що .

Готово.

Чистове оформлення розглянутого прикладу має виглядати приблизно так:

“

Проведемо заміну:

“

Значок не несе ніякого математичного сенсу, він означає, що ми перервали рішення для проміжних пояснень.

При оформленні прикладу зошита надрядкову позначку зворотної заміни краще виконувати простим олівцем.

Увага!У таких прикладах знаходження диференціала розписуватись докладно не буде.

А тепер саме час згадати перший спосіб розв'язання:

В чому різниця? Принципової різниці немає. Це фактично одне й те саме. Але з погляду оформлення завдання метод підведення функції під знак диференціалу набагато коротший.Виникає питання. Якщо перший спосіб коротший, то навіщо використовувати метод заміни? Справа в тому, що для ряду інтегралів не так просто «підігнати» функцію під знак диференціалу.

Інтегрування частинами. Приклади рішень

Інтеграли від логарифмів

Приклад 1

Знайти невизначений інтеграл.

Класика. Іноді цей інтеграл можна зустріти в таблицях, але користуватися готовою відповіддю небажано, тому що у викладача весняний авітаміноз і він сильно залаяється. Тому що аналізований інтеграл аж ніяк не табличний - він береться частинами. Вирішуємо:

Перериваємо рішення на проміжні пояснення.

Використовуємо формулу інтегрування частинами:

Формула застосовується зліва направо

Дивимося на ліву частину: . Очевидно, що в нашому прикладі (і в інших, які ми розглянемо) щось потрібно позначити за , а щось за .

В інтегралах розглянутого типу зазавжди позначається логарифм.

Технічно оформлення рішення реалізується так, в стовпчик записуємо:

Тобто за ми позначили логарифм, а за – рештупідінтегрального виразу.

Наступний етап: знаходимо диференціал:

Диференціал – це майже те саме, що й похідна, як його знаходити, ми вже розбирали на попередніх уроках.

Тепер знаходимо функцію. Щоб знайти функцію необхідно проінтегрувати праву частинунижньої рівності:

Тепер відкриваємо наше рішення та конструюємо праву частину формули: . Ось, до речі, і зразок чистового рішення з невеликими позначками:

Єдиний момент, у творі я відразу переставив місцями і тому, що множник прийнято записувати перед логарифмом.

Як бачите, застосування формули інтегрування частинами, по суті, звело наше рішення до двох простих інтегралів.

Зверніть увагу, що у ряді випадків одразу післязастосування формули, під інтегралом, що залишився, обов'язково проводиться спрощення - в аналізованому прикладі ми скоротили підінтегральний вираз на «ікс».

Виконаємо перевірку. Для цього потрібно взяти похідну від відповіді:

Отримано вихідну підінтегральну функцію, отже, інтеграл вирішено правильно.

У результаті перевірки використовували правило диференціювання произведения: . І це невипадково.

Формула інтегрування частинами та формула– це два взаємно зворотні правила.

Інтеграли від експоненти, помноженої на багаточлен

Загальне правило: за

Приклад 5

Знайти невизначений інтеграл.

Використовуючи знайомий алгоритм, інтегруємо частинами:

Якщо виникли труднощі з інтегралом, слід повернутися до статті Метод заміни змінної у невизначеному інтегралі.

Єдине, що ще можна зробити, це «зачесати» відповідь:

Але якщо Ваша техніка обчислень не дуже хороша, то найвигідніший варіант залишити відповіддю чи навіть

Тобто приклад вважається вирішеним, коли взято останній інтеграл. Помилка не буде, інша справа, що викладач може попросити спростити відповідь.

Інтеграли від тригонометричних функцій, помножених на багаточлен

Загальне правило: зазавжди позначається багаточлен

Приклад 7

Знайти невизначений інтеграл.

Інтегруємо частинами:

Хммм, …і коментувати нема чого.

Заміна багаточленаабо. Тут – багаточлена ступеня, наприклад, вираз – багаточлен ступеня.

Допустимо, у нас є приклад:

Застосуємо метод заміни змінної. Як ти думаєш, що потрібно прийняти за? Правильно, .

Рівняння набуває вигляду:

Проводимо зворотну заміну змінних:

Розв'яжемо перше рівняння:

Вирішимо другерівняння:

… Що це означає? Правильно! Що рішень немає.

Таким чином, ми отримали дві відповіді -; .

Зрозумів як застосовувати метод заміни змінної при багаточлен? Потренуйся зробити подібне самостійно:

Вирішив? Тепер перевіримо з тобою головні моменти.

За треба взяти.

Ми отримуємо вираз:

Вирішуючи квадратне рівняння, ми отримуємо, що має два корені: і.

Рішенням першого квадратного рівняння є числа та

Розв'язанням другого квадратного рівняння – числа в.

Відповідь: ; ; ;

Підведемо підсумки

Метод заміни змінної має основних типів замін змінних у рівняннях та нерівностях:

1. Ступінна заміна, коли ми приймаємо якесь невідоме, зведене в ступінь.

2. Заміна многочлена, коли ми приймаємо ціле вираз, що містить невідоме.

3. Дробно-раціональна заміна, коли ми приймаємо якесь відношення, що містить невідому змінну.

Важливі порадипри введенні нової змінної:

1. Заміну змінних потрібно робити відразу, за першої ж можливості.

2. Рівняння щодо нової змінно потрібно вирішувати остаточно і лише потім повертатися до старого невідомому.

3. При поверненні до початкового невідомого (та й взагалі протягом усього рішення), не забувай перевіряти коріння на ОДЗ.

Нова змінна вводиться аналогічно, як у рівняннях, і у нерівностях.

Розберемо 3 завдання

Відповіді на 3 завдання

1. Нехай, тоді вираз набуває вигляду.

Оскільки, може бути як позитивним, і негативним.

Відповідь:

2. Нехай, тоді вираз набуває вигляду.

рішення немає, оскільки.

Відповідь:

3. Угрупуванням отримуємо:

Нехай, тоді вираз набуває вигляду
.

Відповідь:

ЗАМІНА ЗМІННИХ. СЕРЕДНІЙ РІВЕНЬ.

Заміна змінних- це запровадження нового невідомого, щодо якого рівняння чи нерівність має простіший вид.

Перелічу основні типи замін.

Ступенева заміна

Ступінна заміна.

Наприклад, з допомогою заміни биквадратное рівняння наводиться до квадратному: .

У нерівності все аналогічно.

Наприклад, у нерівності зробимо заміну, і отримаємо квадратну нерівність: .

Приклад (виріши самостійно):

Рішення:

Це дробово-раціональне рівняння (повтори), але вирішувати його звичайним методом (приведення до спільного знаменника) незручно, оскільки ми отримаємо рівняння ступеня, тому застосовується заміна змінних.

Все стане набагато простіше після заміни: . Тоді:

Тепер робимо зворотну заміну:

Відповідь: ; .

Заміна багаточлена

Заміна багаточлена або.

Тут – багаточлен ступеня, тобто. вираз виду

(Наприклад, вираз - багаточлен ступеня, тобто).

Найчастіше використовується заміна квадратного тричлена: або.

Приклад:

Розв'яжіть рівняння.

Рішення:

І знову використовується заміна змінних.

Тоді рівняння набуде вигляду:

Коріння цього квадратного рівняння: і.

Маємо два випадки. Зробимо зворотну заміну для кожного з них:

Отже, це рівняння коріння немає.

Коріння цього рівняння: і.

Відповідь. .

Дробно-раціональна заміна

Дробно-раціональна заміна.

і − багаточлени ступенів та відповідно.

Наприклад, при вирішенні поворотних рівнянь, тобто рівнянь виду

зазвичай використовується заміна.

Нині покажу, як це працює.

Легко перевірити, що не є коренем цього рівняння: адже якщо підставити рівняння, отримаємо, що суперечить умові.

Розділимо рівняння на:

Перегрупуємо:

Тепер робимо заміну: .

Принадність її в тому, що при зведенні в квадрат у подвоєному творі доданків скорочується x:

Звідси слідує що.

Повернемося до нашого рівняння:

Тепер достатньо вирішити квадратне рівняння та зробити зворотну заміну.

Приклад:

Розв'яжіть рівняння: .

Рішення:

При рівність не виконується, тому. Розділимо рівняння на:

Рівняння набуде вигляду:

Його коріння:

Зробимо зворотну заміну:

Розв'яжемо отримані рівняння:

Відповідь: ; .

Ще приклад:

Розв'яжіть нерівність.

Рішення:

Безпосередньою підстановкою переконуємось, що не входить у вирішення цієї нерівності. Розділимо чисельник та знаменник кожного з дробів на:

Тепер очевидна заміна змінної: .

Тоді нерівність набуде вигляду:

Використовуємо метод інтервалів для знаходження y:

при всіх, тому що

при всіх, тому що

Отже, нерівність рівносильна наступному:

при всіх, оскільки.

Отже, нерівність рівносильна наступному: .

Отже, нерівність виявляється рівносильною сукупності:

Відповідь: .

Заміна змінних- один з найважливіших методів розв'язання рівнянь та нерівностей.

Насамкінець дам тобі пару важливих порад :

ЗАМІНА ЗМІННИХ. КОРОТКИЙ ВИКЛАД І ОСНОВНІ ФОРМУЛИ.

Заміна змінних- метод розв'язання складних рівнянь та нерівностей, який дозволяє спростити вихідне вираження та привести його до стандартного вигляду.

Види заміни змінної:

1. Ступінна заміна:за приймається якесь невідоме, зведене до ступеня - .
2. Дробно-раціональна заміна:за приймається якесь відношення, що містить невідому змінну - , де - багаточлени ступенів n і m, відповідно.
3. Заміна багаточлена:за приймається ціле вираження, що містить невідоме - або, де – багаточлен ступеня.

Після вирішення спрощеного рівняння/нерівності необхідно провести зворотну заміну.

Переходимо до розгляду загального випадку – методу заміни змінних у невизначеному інтегралі.

Приклад 5

Як приклад візьмемо інтеграл, який ми розглядали на початку уроку. Як ми вже говорили, для вирішення інтеграла нам сподобалася таблична формула ,

і вся справа хотілося б звести до неї.

Ідея методу заміни полягає в тому, щоб складний вираз (або деяку функцію) замінити однією літерою.

У цьому випадку напрошується:

Друга за популярністю буква для заміни – це буква z. В принципі, можна використовувати й інші літери, але ми все-таки дотримуватимемося традицій.

Але при заміні у нас залишається dx! Напевно, багато хто здогадався, що якщо здійснюється перехід до нової змінної t, то в новому інтегралі все має бути виражено через букву t, та диференціалу dxтам зовсім не місце. Слід логічний висновок, що dxпотрібно перетворити на деякий вираз, який залежить тільки відt.

Дія така. Після того, як ми підібрали заміну, в даному прикладі - це нам потрібно знайти диференціал dt.

Тепер за правилами пропорції висловлюємо dx:

.

Таким чином:

.

А це вже самий табличний інтеграл

(Таблиця, інтегралів, природно, справедлива і для змінної t).

Наприкінці залишилося провести зворотну заміну. Згадуємо, що .

Чистове оформлення розглянутого прикладу має виглядати приблизно так:

Проведемо заміну: тоді

.

.

Значок не несе ніякого математичного сенсу, він означає, що ми перервали рішення для проміжних пояснень.

При оформленні прикладу зошита надрядкову позначку зворотної заміни краще виконувати простим олівцем.

Увага!У таких прикладах знаходження диференціала нової змінної розписуватися докладно нічого очікувати.

Згадати перший спосіб розв'язання:

В чому різниця? Принципової різниці немає. Це фактично одне й те саме.

Але, з погляду оформлення завдання, метод підведення функції під знак диференціала набагато коротший.

Виникає питання. Якщо перший спосіб коротший, то навіщо використовувати метод заміни? Справа в тому, що для ряду інтегралів не просто «підігнати» функцію під знак диференціала.

Приклад 6

Знайти невизначений інтеграл.

.

Проведемо заміну:

;

.

Як бачите, в результаті заміни вихідний інтеграл значно спростився - звівся до звичайної статечної функції. Це і є мета заміни – спростити інтеграл.

Ледачі просунуті люди запросто вирішать даний інтеграл шляхом підведення функції під знак диференціала:

Інша річ, що таке рішення явно далеко не для всіх студентів. Крім того, вже у цьому прикладі використання методу підведення функції під знак диференціалу значно підвищує ризик заплутатися у рішенні.

Приклад 7

Знайти невизначений інтеграл

Виконати перевірку.

Приклад 8

Знайти невизначений інтеграл.

.

Рішення:Проводимо заміну: .

.

Залишилося з'ясувати, на що перетвориться xdx? Іноді під час рішення інтегралів зустрічається наступний трюк: xми висловимо з тієї ж заміни:

.

Приклад 9

Знайти невизначений інтеграл.

Це приклад самостійного рішення. Відповідь наприкінці уроку.

Приклад 10

Знайти невизначений інтеграл.

Напевно, деякі звернули увагу, що в довідковій таблиці немає правила заміни змінної. Зроблено це свідомо. Правило внесло б плутанину до пояснення та розуміння, оскільки у вищерозглянутих прикладах воно не фігурує у явному вигляді.

Настав час розповісти про основну передумову використання методу заміни змінної: у підінтегральному вираженні має бути певна функція та її похідна. Наприклад як : .

Функции , може бути й над творі, а іншому поєднанні.

У зв'язку з цим при знаходженні інтегралів досить часто доводиться заглядати в таблицю похідних.

У прикладі 10 помічаємо, що ступінь чисельника на одиницю менше ступеня знаменника. У таблиці похідних знаходимо формулу , яка знижує ступінь на одиницю. Отже, якщо позначити за tзнаменник, то великі шанси, як і чисельник xdxперетвориться на щось хороше:

Заміна: .

До речі, тут не так складно підвести функцію під знак диференціалу:

Слід зазначити, що для дробів начебто такий фокус вже не пройде (точніше кажучи, застосувати потрібно буде не тільки прийом заміни).

Інтегрувати деякі дроби можна навчитися на уроці Інтегрування складних дробів. Ось ще пара типових прикладів для самостійного рішення на той самий метод.

Приклад 11

Знайти невизначений інтеграл

Приклад 12

Знайти невизначений інтеграл

Рішення наприкінці уроку.

Приклад 13

Знайти невизначений інтеграл

.

Дивимося в таблицю похідних і знаходимо наш арккосинус: , оскільки в нас у підінтегральному вираженні знаходиться арккосинус і щось схоже на його похідну.

Загальне правило:

За tпозначаємо саму функцію(а чи не її похідну).

В даному випадку: . Залишилося з'ясувати, на що перетвориться частина підінтегрального виразу, що залишилася.

У цьому прикладі знаходження d t розпишемо докладно, оскільки – складна функція:

Або, коротше:

.

За правилом пропорції висловлюємо потрібний нам залишок: .

Таким чином:

Приклад 14

Знайти невизначений інтеграл.

.

Приклад самостійного рішення. Відповідь дуже близько.

Уважні читачі помітили, що ми розглянули мало прикладів із тригонометричними функціями. І це не випадково, оскільки під і інтеграли від тригонометричних функційвідведено окремі уроки 7.1.5, 7.1.6, 7.1.7. Більше того, далі дані деякі корисні орієнтири для заміни змінної, що особливо актуально для чайників, яким не завжди і не відразу зрозуміло, яку саме заміну потрібно проводити в тому чи іншому інтегралі. Також деякі типи замін можна переглянути у статті 7.2.

Більш досвідчені студенти можуть ознайомитись із типовою заміною в інтегралах з ірраціональними функціями

Приклад 12: Рішення:

Проведемо заміну:

Приклад 14: Рішення:

Проведемо заміну: