Межа функції двох змінних.
Поняття та приклади рішень

Ласкаво просимо на третій урок на тему ФНП, де почали збуватися всі ваші побоювання =) Як багато хто підозрював, поняття межі поширюється і на функцію довільної кількості аргументів, в чому нам сьогодні і належить розібратися. Проте є оптимістична новина. Вона полягає в тому, що при межі певною мірою абстрактні і відповідні завдання вкрай рідко зустрічаються на практиці. У цьому нашу увагу буде зосереджено межах функції двох змінних чи, як частіше її записуємо: .

Багато ідей, принципів і методів схожі з теорією і практикою «звичайних» меж, отже, ви повинні вміти знаходити межіі найголовніше РОЗУМІТИ, що таке межа функції однієї змінної. І якщо доля привела вас на цю сторінку, то, швидше за все, вже чимало розумієте-умієте. А якщо ні – нічого страшного, всі прогалини реально заповнити за лічені години і навіть хвилини.

Події цього заняття розгортаються у нашому тривимірному світі, і тому буде просто величезним недоглядом не взяти в них живої участі. Спочатку збудуємо добре відому декартову систему координат у просторі. Давайте встанемо і трохи походимо по кімнаті ... ... підлога, якою ви ходите - це площина. Поставимо десь вісь… ну, наприклад, у будь-якому кутку, щоб не заважала на шляху. Чудово. Тепер, будь ласка, подивіться нагору і уявіть, що там зависла розправлена ​​ковдра. Це поверхня, задана функцією. Наше переміщення по підлозі, як легко зрозуміти, імітує зміна незалежних змінних , і ми можемо пересуватися виключно під ковдрою, тобто. в області визначення функції двох змінних. Але найцікавіше лише починається. Просто над кінчиком вашого носа по ковдрі повзає маленький тарганчик, куди ви туди і він. Назвемо його Фредді. Його переміщення імітує зміну відповідних значень функції (за винятком тих випадків, коли поверхня або її фрагменти паралельні площині та висота не змінюється). Шановний читачу з ім'ям Фредді, не ображайся, так треба для науки.

Візьмемо в руки шило і проткнемо ковдру в довільній точці, висоту якої позначимо через, після чого суворо під отвором встромимо інструмент у підлогу - це буде точка. Тепер починаємо нескінченно близьконаближатися до цієї точки , причому наближатися ми маємо право ЗА БУДЬ-ЯКОЮ траєкторією (Кожна точка якої, зрозуміло, входить в область визначення). Якщо у всіх випадках Фредді буде нескінченно близькопідповзати до проколу на висоту і саме на цю висоту, то функція має межу в точці при :

Якщо за вказаних умов проколота точка розташована на краю ковдри, то межа все одно існуватиме – важливо, щоб у скільки завгодно малої околицівістря шила були хоч якісь точки з області визначення функції. Крім того, як і у випадку з межею функції однієї змінної, не має значення, чи визначено функцію у точці чи ні. Тобто наш прокол можна заліпити жуйкою (рахувати, що функція двох змінних безперервна) і це не вплине на ситуацію – згадуємо, що сама суть межі має на увазі нескінченно близьке наближення, а не «точний захід» у крапку.

Однак безхмарне життя затьмарюється тим фактом, що на відміну від свого молодшого брата, межі набагато частіше не існує. Це пов'язано з тим, що до тієї чи іншої точки на площині зазвичай існує дуже багато шляхів, і кожен з них повинен приводити Фредді до проколу. (опціонально «заліпленому жуйкою»)і строго на висоту. А химерних поверхонь з не менш химерними розривами хоч греблю гати, що призводить до порушення цієї жорсткої умови в деяких точках.

Організуємо найпростіший приклад - візьмемо в руки ніж і розріжемо ковдру таким чином, щоб точка, що проколола, лежала на лінії розрізу. Зауважте, що межа все ще існує, єдине, ми втратили право ступати в крапки під лінією розрізу, так як ця ділянка «випала» з області визначення функції. Тепер акуратно піднімемо ліву частину ковдри вздовж осі, а праву його частину, навпаки – зрушимо вниз або навіть залишимо її на місці. Що змінилося? А принципово змінилося таке: якщо зараз ми будемо підходити до точки зліва, то Фредді виявиться на більшій висоті, ніж, якби ми наближалися до цієї точки праворуч. Отже, межі немає.

І звичайно ж, чудові межікуди без них. Розглянемо повчальний у всіх сенсах приклад:

Приклад 11

Використовуємо до болю знайому тригонометричну формулу, де і стандартним штучним прийомом організовуємо перші чудові межі :

Перейдемо до полярних координат:
Якщо то

Здавалося б, рішення йде до закономірної розв'язки і ніщо не віщує неприємностей, проте в самому кінці існує великий ризик допустити серйозний недолік, про характер якого я вже трохи натякнув у Прикладі 3 і докладно розписав після Прикладу 6. Спочатку кінцівка, потім коментар:

Давайте розберемося, чому погано записати просто «нескінченність» або «плюс нескінченність». Подивимося на знаменник: оскільки , то полярний радіус прагне нескінченно маломуПозитивне значення: . Крім того, . Таким чином, знак знаменника і всієї межі залежить тільки від косинуса:
якщо полярний кут (2-а та 3-я координатні чверті: );
якщо полярний кут (1-а та 4-а координатні чверті: ).

Геометрично це означає, що якщо наближатися до початку координат зліва, то поверхня, задана функцією , простягається до нескінченності вниз:

Щоб дати поняття межі функції кількох змінних, обмежимося випадком двох змінних хі у. За визначенням функція f(x, y)має межу в точці ( х 0 , у 0), рівний числу А, що позначається так:

(Пишуть ще f(x, y)>Апри (x, y)> (х 0 , у 0)), якщо вона визначена в деякій околиці точки ( х 0 , у 0), за винятком, можливо, самої цієї точки і якщо існує межа

яка б не була прагнення ( х 0 , у 0) послідовність точок ( x k , y k).

Так само, як і у випадку функції однієї змінної, можна ввести інше еквівалентне визначення межі функції двох змінних: функція fмає в точці ( х 0 , у 0) межа, рівна Аякщо вона визначена в деякій околиці точки ( х 0 , у 0) за винятком, можливо, самої цієї точки, і для будь-якого е > 0 знайдеться таке д > 0, що

| f(x, y) - A | < е (3)

для всіх (x, y)

0 < < д. (4)

Це визначення, у свою чергу, еквівалентно наступному: для будь-якого е > 0 знайдеться д-околиця точки ( х 0 , у 0) така, що для всіх ( x, y) з цієї околиці, відмінних від ( х 0 , у 0) виконується нерівність (3).

Оскільки координати довільної точки ( x, y) околиці точки ( х 0 , у 0) можна записати у вигляді х = х 0 + Д х, у = у 0 + Д у, то рівність (1) еквівалентна наступній рівності:

Розглянемо деяку функцію, задану в околиці точки ( х 0 , у 0), крім, можливо, самої цієї точки.

Нехай щ = (щ х, щ у) - довільний вектор довжини одиниця (|щ|2 = щ х 2 + щ у 2 = 1) та t> 0 – скаляр. Точки виду ( х 0 + tщ х , y 0 + tщ у) (0 < t)

утворюють промінь, що виходить з ( х 0 , у 0) у напрямку вектора щ. До кожного щ можна розглядати функцію

f (х 0 + tщ х , y 0 + tщ у) (0 < t < д)

від скалярної змінної t, де д - Досить мале число.

Межа цієї функції (однієї змінної t)

f (х 0 + tщ х , y 0 + tщ у),

fу точці ( х 0 , у 0) за напрямом щ.

приклад 1.Функції

визначено на площині ( x, y) за винятком точки х 0 = 0, у 0 = 0. Маємо (врахувати, що і):

(Для е > 0 вважаємо д = е/2 і тоді | f(x, y)| < е, если < д).

з якого видно, що межа ц у точці (0, 0) за різними напрямками взагалі різна (поодинокий вектор променя y = kx, х> 0, має вигляд

приклад 2.Розглянемо в R 2 функцію

(х 4 + у 2 ? 0).

Ця функція в точці (0, 0) на будь-якій прямій y = kx, що проходить через початок координат, має межу, що дорівнює нулю:

при х > 0.

Однак ця функція не має межі в точках (0, 0), бо при у = х 2

Будемо писати, якщо функція fвизначена в деякій околиці точки ( х 0 , у 0), за винятком, можливо, самої точки ( х 0 , у 0) і для кожного N> 0 знайдеться д > 0 таке, що

| f(x, y)| > N,

якщо 0< < д.

Можна також говорити про межу f, коли х, у > ?:

Арівність (5) треба розуміти у тому сенсі, що для всякого е > 0 знайдеться таке N> 0, що всім х, у, котрим | x| > N, |y| > N, функція fвизначено та має місце нерівність

| f(x, y) - А| < е.

Справедливі рівності

де може бути х > ?, у>?. При цьому, як завжди, межі (кінцеві) у їх лівих частинах існують, якщо існують межі fта ц.

Доведемо для прикладу (7).

Нехай ( x k , y k) > (х 0 , у 0) ((x k , y k) ? (х 0 , у 0)); тоді

Таким чином, межа в лівій частині (9) існує і дорівнює правій частині (9), а так як послідовність ( x k , y k) прагнути до ( х 0 , у 0) за будь-яким законом, то ця межа дорівнює межі функції f(x, y)ц (x, y)у точці ( х 0 , у 0).

Теорема.якщо функція f(x, y)має межу, не рівну нулю в точці ( х 0 , у 0), тобто.

то існує д > 0 таке, що для всіх х, у, що задовольняють нерівності

0 < < д, (10)

вона задовольняє нерівності

Тому для таких (x, y)

тобто. має місце нерівність (11). З нерівності (12) для зазначених (x, y)слід звідки при A> 0 і при

A < 0 (сохранение знака).

За визначенням функція f(x) = f(x 1 , …, x n ) = Aмає межу в точці

x 0 = , рівний числу А, що позначається так:

(Пишуть ще f(x) > A (x > x 0)), якщо вона визначена на деякій околиці точки x 0 , за винятком, можливо, її самої, і якщо існує межа

яка б не була прагне до x 0 послідовність точок х kіз зазначеної околиці ( k= 1, 2, ...), відмінних від x 0 .

Інше еквівалентне визначення полягає в наступному: функція fмає в точці x 0 межа, рівна А, якщо вона визначена в околиці точки x 0 , за винятком, можливо, її самої, і для будь-якого е > 0 знайдеться таке д > 0, що

для всіх х, що задовольняють нерівності

0 < |x - x 0 | < д.

Це визначення своєю чергою еквівалентно наступному: для будь-якого е > 0 знайдеться околиця U (x 0 ) крапки x 0 така, що для всіх хU(x 0 ) , х ? x 0 виконується нерівність (13).

Очевидно, що якщо число Ає межа f(x)в x 0 , то Ає межа функції f(x 0 + h)від hу нульовій точці:

і навпаки.

Розглянемо деяку функцію f, задану у всіх точках околиці точки x 0 , крім, можливо, точки x 0; нехай щ = (щ 1 , ..., щ п) - довільний вектор довжини одиниця (|щ| = 1) та t> 0 – скаляр. Крапки виду x 0 + tщ (0< t) утворюють вихід з x 0 промінь у напрямку вектора щ. До кожного щ можна розглядати функцію

(0 < t < д щ)

від скалярної змінної t, де д щ є число, що залежить від щ. Межа цієї функції (від однієї змінної t)

якщо він існує, природно називати межею fу точці x 0 у напрямку вектора щ.

Будемо писати, якщо функція fвизначена в деякій околиці x 0 , крім, можливо, x 0 , і для кожного N> 0 знайдеться д > 0 таке, що | f(x)| > N, якщо 0< |x - x 0 | < д.

Можна говорити про межу f, коли х > ?:

Наприклад, у разі кінцевого числа Арівність (14) треба розуміти в тому сенсі, що для будь-якого е > 0 можна вказати таке N> 0, що для точок х, котрим | x| > N, функція fвизначено та має місце нерівність.

Отже, межа функції f(x) = f(x 1 , ..., х п ) від пзмінних визначається за аналогією як і, як функції від двох змінних.

Отже, перейдемо визначення межі функції кількох змінних.

Число Аназивається межею функції f(M)при М > М 0 якщо для будь-якого числа е > 0 завжди знайдеться таке число д > ​​0, що для будь-яких точок М, відмінних від М 0 та задовольняють умові | ММ 0 | < д, будет иметь место неравенство | f(M) - А | < е.

Межа позначають У разі функції двох змінних

Теореми про межі.Якщо функції f 1 (M)і f 2 (M)при М > М 0 прагнуть кожна до кінцевої межі, то:

приклад 1.Знайти межу функції:

Рішення. Перетворимо межу наступним чином:

Нехай y = kxтоді

приклад 2.Знайти межу функції:

Рішення. Скористаємося першою чудовою межею Тоді

приклад 3.Знайти межу функції:

Рішення. Скористаємося другою чудовою межею Тоді

Розглянемо площину та систему Oxy декартових прямокутних координат на ній (можна розглядати інші системи координат).

З аналітичної геометрії знаємо, що кожній упорядкованій парі чисел (x, y) можна порівняти єдину точку M площині і навпаки, кожній точці M площині відповідає єдина пара чисел.

Тому надалі, говорячи про точку, ми часто матимемо на увазі відповідну їй пару чисел (x, y) і навпаки.

Визначення 1.2 Безліч пар чисел (x, y) , що задовольняють нерівності, називається прямокутником (відкритим).

На площині він зобразиться прямокутником (рис. 1.2) зі сторонами, паралельними до осей координат, і з центром у точці M 0 (x 0 y 0 ) .

Прямокутник прийнято позначати наступним символом:

Введемо важливе подальшого викладу поняття: околиця точки.

Визначення 1.3 Прямокутної δ -околицею ( дельта-околицею ) точки M 0 (x 0 y 0 ) називається прямокутник

з центром у точці M 0 і з однаковими по довжині сторонами 2δ .

Визначення 1.4 Круговий δ - околицею точки M 0 (x 0 y 0 ) називається коло радіусу δ з центром у точці M 0 , тобто безліч точок M(xy) координати яких задовольняють нерівності:

Можна запровадити поняття околиць та інших видів, але з метою математичного аналізу технічних завдань, переважно, використовуються лише прямокутні і кругові околиці.

Введемо таке поняття межі функції двох змінних.

Нехай функція z = f(x, y) визначена в деякій галузі ζ і M 0 (x 0 y 0 ) - Точка, що лежить всередині або на кордоні цієї області.

Визначення 1.5 Кінцеве число A називається межею функції f(x, y) при

якщо для будь-якого позитивного числа ε можна знайти таке позитивне число δ , що нерівність

виконується для всіх точок М(х,у) з області ζ , відмінних від M 0 (x 0 y 0 ) , координати яких задовольняють нерівності:

Сенс цього визначення полягає в тому, що значення функції f (х, у) як завгодно мало відрізняються від числа А в точках досить малої околиці точки М 0 .

Тут основою визначення покладено прямокутні околиці М 0 . Можна було б розглядати кругові околиці точки М 0 і тоді треба було б вимагати виконання нерівності

у всіх точках М(х,у) області ζ , відмінних від М 0 і задовольняють умові:

Відстань між точками М і М 0 .

Вживаються такі позначення межі:

Враховуючи визначення межі функції двох змінних, можна перенести основні теореми про межі для функцій однієї змінної функції двох змінних.

Наприклад, теореми про межі суми, твору та частки двох функцій.

§3 Безперервність функції двох змінних

Нехай функція z = f (x, y) визначено у точці M 0 (x 0 y 0 ) та її околиці.

Визначення 1.6 Функція називається безперервною у точці M 0 (x 0 y 0 ) , якщо

Якщо функція f (x, y) безперервна в точці M 0 (x 0 y 0 ) , то

Оскільки

Тобто якщо функція f (x, y) безперервна в точці M 0 (x 0 y 0 ) , то нескінченно малим приріст аргументів у цій галузі відповідає нескінченно мале прирощення Δz функції z .

Справедливе і зворотне твердження: якщо нескінченно малим приріст аргументів відповідає нескінченно мале прирощення функції, то функція безперервна

Функцію, безперервну в кожній точці області, називають безперервною в області. Для безперервних функцій двох змінних, як і, як й у функції однієї змінної, безперервної на відрізку, справедливі основні теореми Вейерштрасса і Больцано - Коші.

Довідка: Карл Теодор Вільгельм Вейєрштрас (1815 - 1897) - німецький математик. Бернард Больцано (1781 – 1848) – чеський математик і філософ. Огюстен Луї Коші (1789 – 1857) – французький математик, президент французької Академії наук (1844 – 1857).

приклад 1.4. Дослідити на безперервність функцію

Ця функція визначена при всіх змінних значеннях x і y , крім початку координат, де знаменник перетворюється на нуль.

Багаточлен x 2 +y 2 безперервний усюди, а значить і безперервний корінь квадратний з безперервної функції.

Дріб буде безперервною всюди, крім точок, де знаменник дорівнює нулю. Тобто функція, що розглядається, безперервна на всій координатній площині Оху , виключаючи початок координат.

приклад 1.5. Дослідити на безперервність функцію z = tg (x, y) . Тангенс визначений і безперервний при всіх кінцевих значеннях аргументу, крім значень, рівних непарному числу величини π/2 , тобто. виключаючи точки, де

При кожному фіксованому "k" рівняння (1.11) визначає гіперболу. Тому функція, що розглядається, є безперервною функцією x та y виключаючи точки, що лежать на кривих (1.11).

5.1. Векторна функція та координатні функції.

5.2. Безперервність векторної функції. Межа векторної функції.

5. Похідна та диференціал векторної функції, геометрична інтерпретація.Рівняння дотичної до кривої у просторі. (5.3)

5.3. Похідна та диференціал векторної функції.

5.3.1. Визначення та геометрична інтерпретація похідної векторної функції.

5.3.2. Диференціал векторної функції.

5.3.3. Правила диференціювання.

5.3.4. Рівняння дотичної до кривої у тривимірному просторі.

6. F: Rnr – дійсні функції кількох (багатьох) дійсних змінних.

6.1. Межа і безперервність функції кількох змінних.

6.1.1. Межа функції кількох змінних. Повторні межі.

6.1.2. Безперервність функції кількох змінних.

6.1.3. Властивості межі функції кількох змінних. Властивості функцій, безперервних у точці.

8. Межа функції двох змінних. Зв'язок подвійної межі з повторними. (6.1.1)

6.1.1. Межа функції кількох змінних. Повторні межі.

9.Визначення приватної похідної. Приватні похідні найвищих порядків. Теорема про змішані похідні. (6.2.3, 6.3.1)

6.2.3. Приватні похідні

10. Визначення диференційованої функції двох змінних. Зв'язок диференційованості з безперервністю та існуванням приватних похідних. (6.2.4)

6.2.4. Зв'язок диференційованості із існуванням приватних похідних. Єдиність диференціалу.

11. Диференціал функції двох змінних. Наближені обчислення за допомогою диференціалу. Дотична площина. (6.2.1, 6.2.5, 6.2.6)

6.2.1. Диференційована функція. Диференціал.

6.2.6. Геометрична інтерпретація диференційованості функції двох змінних. Дотична площина до графіка функції.

12. Інваріантність форми диференціалу. Формули приватних похідних складних функций.(6.2.9)

13. Інваріантність форми диференціалу. Формули окремих похідних неявних функцій. (6.2.10)

6.2.10. Теорема існування неявної функції. Похідна (приватні похідні) неявної функції.

14. Похідна за напрямом. Формула для її обчислення. (6.2.7)

15. Градієнт функції у точці. Геометричний зміст напрямку та довжини градієнта. Орієнтація градієнта щодо лінії чи поверхні рівня. (6.2.8)

17. Диференціали вищих систем. Формула Тейлора f(X, y). (6.4)

18. Необхідні та достатні умови екстремуму функції f(X, y). (6.5.1-6.5.3)

6.5.2. Необхідна умова локального екстремуму функції кількох змінних.

6.5.3. Достатня умова локального екстремуму функції кількох змінних.

20. Найбільше та найменше значення диференційованої функції двох змінних у замкнутій обмеженій області. Алгоритм їхнього знаходження. (6.7)

21. Метод найменших квадратів. (6.8)

6.1. Межа і безперервність функції кількох змінних.

R n – метричний простір:

для M 0 (x, x,…, x) та M(х 1 , х 2 , …, х n) ( М 0 , М) = .

n= 2: для M 0 (x 0 , y 0), M (x, y) ( М 0 , М) =
.

Околиця точки M 0 U  (M 0) = – внутрішні точки кола радіусу з центром в M 0 .

6.1.1. Межа функції кількох змінних. Повторні межі.

f: R n Rзадана в деякій околиці точки M 0 , крім, можливо, самої точки M 0 .

Визначення.Число Аназивається межеюфункції

f(x 1 , x 2 , …, x n) у точці M 0 , якщо  >0  >0  M (0 <  (М 0 , М ) <   | f (M ) – A |<  ).

Ф орми запису:

n = 2:

Це подвійна межа.

Мовою околиць точок:

>0  >0  M (x , y ) (M  U  (M 0 )\ M 0  f (x , y )  U  (А )).

(Mможе наближатися до М 0 будь-яким шляхом).

Повторні межі:
і
.

(Mнаближається до М 0 відповідно по горизонталі та по вертикалі).

Теорема про зв'язок подвійного та повторних меж.

Якщо  подвійна межа
і межі
,
,

то  повторні межі
,
і дорівнюють подвійному.

Зауваження 1.Зворотне твердження неправильне.

приклад. f (x, y) =

,

.

Однак подвійна межа

=

не існує, тому що в будь-якій околиці точки (0, 0) функція приймає і «далекі» від нуля значення, наприклад, якщо x = y, то f (x, y) = 0,5.

Примітка 2.Навіть якщо  АR: f (x, y) А

при русі Mдо M 0 за будь-якою прямою, подвійною межею може не існувати.

приклад.f (x, y) =
,M 0 (0, 0). M (x, y)  M 0 (0, 0)

Висновок: межа (подвійна) не існує.

Приклад знаходження межі.

f (x, y) =
, M 0 (0, 0).

Покажемо, що число 0 є межа функції у точці M 0 .

=
,

 – відстань між точками Мі M 0 .(скористалися нерівністю
,

яка випливає з нерівностей
)

Задамо  > 0 і нехай  = 2. <  

6.1.2. Безперервність функції кількох змінних.

Визначення. f (x, y) безперервна в точці M 0 (x 0 , y 0), якщо вона визначена в деякій U  (M 0) та
,Т. е.>0 >0  M (0 < (М 0 , М) <   | f (M) – f (M 0)|< ).

Зауваження.Функція може змінюватися безперервно вздовж одних напрямків, що проходять через точку М 0 , а вздовж інших напрямів чи шляхів іншої форми мати розриви. Якщо це так, вона розривна у точці М 0 .

6.1.3. Властивості межі функції кількох змінних. Властивості функцій, безперервних у точці.

Має місце єдиність межі;

функція, що має кінцеву межу в точці М 0 , обмежена в деякій околиці цієї точки; виконуються порядкові та алгебраїчні властивостімежі,

граничний перехід зберігає знаки рівності та несуворих нерівностей.

Якщо функція безперервна у точці М 0 та f (М 0 )  0 , то знак значеньf (М ) зберігаєтьсяу деякій U  (M 0).

Сума, твір, приватна(знаменник  0) безперервних функцій також безперервні функції, безперервна складна функція, Складена з безперервних.

6.1.4. Властивості функцій, безперервних на зв'язному замкнутому обмеженому множині.n= 1, 2 та 3.

Визначення 1.Безліч  називається зв'язковимякщо разом з будь-якими двома своїми точками воно містить і деяку безперервну криву, що з'єднує їх.

Визначення 2.Безліч  в R nназивається обмеженимякщо воно міститься в деякій «кулі»
.

n = 1 

n = 2 

n = 3  .

Прикладизв'язкових замкнутих обмежених множин.

R 1 = R: відрізок [ a, b];

R 2: відрізок АВбудь-якої безперервної кривої з кінцями в точках Аі У;

замкнута безперервна крива;

коло
;

Визначення 3. f: R n  Rбезперервна на зв'язному замкнутому множині   R nякщо  M 0 

.

Теорема.Безлічзначеньбезперервної функції

f: R n  Rна замкнутій обмеженій зв'язній множині є відрізок [ m , M ] , тут m - найменше, а M - найбільшеїї значення у точках множини.

Таким чином, на будь-якій замкнутій обмеженій зв'язній множині вR n безперервна функція обмежена, приймає свої найменше, найбільше, і навіть всі проміжні значення.

"

Кафедра: Вища математика

Реферат

з дисципліни «Вища математика»

Тема: «Межа і безперервність функцій кількох змінних»

Тольятті, 2008

Вступ

Поняття функції однієї змінної не охоплює всі залежності, що у природі. Навіть у найпростіших завданнях зустрічаються величини, значення яких визначаються сукупністю значень кількох величин.

Для вивчення подібних залежностей запроваджується поняття функції кількох змінних.

Поняття функції кількох змінних

Визначення.Величина uназивається функцією кількох незалежних змінних ( x, y, z, …, t), якщо кожній сукупності значень цих змінних ставиться у відповідність певне значення величини u.

Якщо змінна є функцією від двох змінних хі у, то функціональну залежність позначають

z = f (x, y).

Символ fвизначає тут сукупність дій чи правило для обчислення значення zза цією парою значень хі у.

Так, для функції z = x 2 + 3xy

при х= 1 і у= 1 маємо z = 4,

при х= 2 і у= 3 маємо z = 22,

при х= 4 та у= 0 маємо z= 16 і т.д.

Аналогічно називається величина uфункцією від трьох змінних x, y, z, якщо дано правило, як за даною трійкою значень x, yі zобчислити відповідне значення u:

u = F (x, y, z).

Тут символ Fвизначає сукупність дій чи правило для обчислення значення u, що відповідає даним значенням x, yі z.

Так, для функції u = xy + 2xz – 3yz

при х = 1, у= 1 і z= 1 маємо u = 0,

при х = 1, у= -2 і z= 3 маємо u = 22,

при х = 2, у= -1 і z= -2 маємо u = -16 і т.д.

Таким чином, якщо через деякий закон кожної сукупності пчисел ( x, y, z, …, t) з деякої множини Еставиться у відповідність певне значення змінної u, то й uназивається функцією від пзмінних x, y, z, …, t, визначеної на безлічі Е, і позначається

u = f(x, y, z, …, t).

Змінні x, y, z, …, tназиваються аргументами функції, безліч Е- областю визначення функції.

Приватним значенням функції називається значення функції у певній точці М 0 (x 0 , y 0 , z 0 , …, t 0) і позначається f (М 0) = f (x 0 , y 0 , z 0 , …, t 0).

Область визначення функції називається безліч всіх значень аргументів, яким відповідають будь-які дійсні значення функції.

Функція двох змінних z = f (x, y) у просторі представляється деякою поверхнею. Тобто коли точка з координатами х, упробігає всю область визначення функції, розташовану у площині хОу, Відповідна просторова точка, взагалі кажучи, описує поверхню.

Функцію трьох змінних u = F (x, y, z) розглядають як функцію точки деякої множини точок тривимірного простору. Аналогічно, функцію пзмінних u = f(x, y, z, …, t) розглядають як функцію точки деякого п-мірного простору.

Межа функції кількох змінних

Щоб дати поняття межі функції кількох змінних, обмежимося випадком двох змінних хі у. За визначенням функція f (x, y) має межу в точці ( х 0 , у 0), рівний числу А, що позначається так:

(1)

(Пишуть ще f (x, y) →Апри (x, y) → (х 0 , у 0)), якщо вона визначена в деякій околиці точки ( х 0 , у 0), за винятком, можливо, самої цієї точки і якщо існує межа

(2)

яка б не була прагнення ( х 0 , у 0) послідовність точок ( x k, y k).

Так само, як і у випадку функції однієї змінної, можна ввести інше еквівалентне визначення межі функції двох змінних: функція fмає в точці ( х 0 , у 0) межа, рівна Аякщо вона визначена в деякій околиці точки ( х 0 , у 0) за винятком, можливо, самої цієї точки, і для будь-якого ε > 0 знайдеться таке δ > 0, що

| f (x, y) – A| < ε(3)

для всіх (x, y) , що задовольняють нерівності

< δ. (4)

Це визначення, своєю чергою, еквівалентно наступному: для будь-якого ε > 0 знайдеться δ-околиця точки ( х 0 , у 0) така, що для всіх ( x, y) з цієї околиці, відмінних від ( х 0 , у 0) виконується нерівність (3).

Оскільки координати довільної точки ( x, y) околиці точки ( х 0 , у 0) можна записати у вигляді х = х 0 + Δ х, у = у 0 + Δ у, то рівність (1) еквівалентна наступній рівності:

Розглянемо деяку функцію, задану в околиці точки ( х 0 , у 0), крім, можливо, самої цієї точки.

Нехай ω = (ω х, ω у) – довільний вектор довжини одиниця (|ω|2 = ω х 2 + ω у 2 = 1) та t> 0 – скаляр. Крапки виду

(х 0 + tω х, y 0 + tω у) (0 < t)

утворюють промінь, що виходить з ( х 0 , у 0) у напрямку вектора ω. Для кожного можна розглядати функцію

f(х 0 + tω х, y 0 + tω у) (0 < t< δ)

від скалярної змінної t, де δ - Досить мале число.

Межа цієї функції (однієї змінної t)

f(х 0 + tω х, y 0 + tω у),

якщо він існує, природно називати межею fу точці ( х 0 , у 0) у напрямку ω.

приклад 1.Функції

визначено на площині ( x, y) за винятком точки х 0 = 0, у 0 = 0. Маємо (врахувати, що

та ):

(Для ε > 0 вважаємо δ = ε/2 і тоді | f (x, y) | < ε, если

< δ).

з якого видно, що межа у точці (0, 0) за різними напрямками взагалі різна (поодинокий вектор променя y = kx, х> 0, має вигляд

).

приклад 2.Розглянемо в R 2 функцію

(х 4 + у 2 ≠ 0).

Ця функція в точці (0, 0) на будь-якій прямій y = kx, що проходить через початок координат, має межу, що дорівнює нулю:

при х → 0.

Однак ця функція не має межі в точках (0, 0), бо при у = х 2

і

Будемо писати

, якщо функція fвизначена в деякій околиці точки ( х 0 , у 0), за винятком, можливо, самої точки ( х 0 , у 0) і для кожного N> 0 знайдеться δ > 0 таке, що

|f (x, y) | > N,

якщо 0<

< δ.

Можна також говорити про межу f, коли х, у → ∞:

(5)

Наприклад, у разі кінцевого числа Арівність (5) треба розуміти тому, що для всякого ε > 0 знайдеться таке N> 0, що всім х, у, котрим | x| > N, |y| > N, функція fвизначено та має місце нерівність