Кореляційний аналіз двох сигналів си шарп приклад. Кореляційні функції детермінованих сигналів

Кореляція – математична операція, схожа на згорткою, дозволяє отримати із двох сигналів третій. Буває автокореляція (автокореляційна функція), взаємна кореляція (взаємнокореляційна функція, кроскореляційна функція). Приклад:

[Взаємна кореляційна функція]

[Автокореляційна функція]

Кореляція - це техніка виявлення заздалегідь відомих сигналів на тлі шумів, що ще називають оптимальною фільтрацією. Хоча кореляція дуже схожа на згортку, але обчислюються вони по-різному. Області застосування також різні (c(t)=a(t)*b(t) - згортка двох функцій, d(t)=a(t)*b(-t) - взаємна кореляція).

Кореляція – це та сама згортка, тільки один із сигналів інвертується зліва направо. Автокореляція (автокореляційна функція) характеризує ступінь зв'язку між сигналом та його зсунутою на τ копією. Взаємнокореляційна функція характеризує ступінь зв'язку між двома різними сигналами.

Властивості автокореляційної функції:

1) R(τ)=R(-τ). Функція R(τ) – є парною.
2) Якщо х(t) – синусоїдальна функція часу, її автокореляційна функція – косинусоидальная тієї ж частоти. Інформація про початкову фазу втрачається. Якщо x(t)=A*sin(ωt+φ), то R(τ)=A 2 /2 * cos(ωτ).
3) Функція автокореляції та спектру потужності пов'язані перетворенням Фур'є.
4) Якщо х(t) – будь-яка періодична функція, то R(τ) для неї може бути представлена у вигляді суми автокореляційних функцій від постійної складової та від синусоїдально змінної складової.
5) Функція R(τ) не несе жодної інформації про початкові фази гармонійних складових сигналу.
6) Для випадкової функції часу R(τ) швидко зменшується із збільшенням τ. Інтервал часу, після якого R(τ) стає рівним 0, називається інтервалом автокореляції.
7) Заданою x(t) відповідає цілком певне R(τ), але для однієї і тієї ж R(τ) можуть відповідати різні функції x(t)

Вихідний сигнал із шумами:

Автокореляційна функція вихідного сигналу:

Властивості взаємної кореляційної функції (ВКФ):

1) ВКФ перестав бути ні парної ні непарної функцією, тобто. Rху (τ) не дорівнює Rху (-τ).
2) ВКФ залишається незмінною за зміни чергування функцій та змін символу аргументу, тобто. Rху (τ) = Rху (-τ).
3) Якщо випадкові функції x(t) і y(t) не містять постійних складових і створюються незалежними джерелами, то для них R ху (τ) прагне 0. Такі функції називаються некорельованими.

Вихідний сигнал із шумами:

Меандр тієї ж частоти:

Кореляція вихідного сигналу та меандру:

Увага! Кожен електронний конспект лекцій є інтелектуальною власністю свого автора та опублікований на сайті виключно для ознайомлення.

3 Кореляційний аналіз сигналів

Сенс спектрального аналізу сигналів полягає у вивченні того, як сигнал може бути представлений у вигляді суми (або інтеграла) простих гармонійних коливань і як форма сигналу визначає структуру розподілу частот амплітуд і фаз цих коливань. На противагу цьому завданням кореляційного аналізу сигналів є визначення міри подібності та відмінності сигналів або зрушених за часом копій одного сигналу. Введення заходу відкриває шляхи до проведення кількісних вимірювань ступеня схожості сигналів. Буде показано, що існує певний взаємозв'язок між спектральними та кореляційними характеристиками сигналів.

3.1 Автокореляційна функція (АКФ)

Автокореляційна функція сигналу з кінцевою енергією – це значення інтеграла від добутку двох копій цього сигналу, зрушених відносно один одного на час τ, що розглядається у функції цього тимчасового зсуву τ:

Якщо сигнал визначено кінцевому інтервалі часу , його АКФ перебуває як:

де – інтервал перекриття зрушених копій сигналу.

Вважається, що чим більше значення кореляційної функції при даному значенні , тим більшою мірою дві копії сигналу, зрушені на проміжок часу , схожі один на одного. Тому кореляційна функція є мірою подібності для зрушених копій сигналу.

Захід, що вводиться таким чином, для сигналів, що мають форму випадкових коливань навколо нульового значення, має наступні характерні властивості.

Якщо зрушені копії сигналу коливаються приблизно такт друг до друга, це ознакою їх схожості і АКФ приймає великі позитивні значення (велика позитивна кореляція). Якщо копії коливаються майже протифазі, АКФ приймає великі негативні значення (антисходство копій сигналу, велика негативна кореляція).

Максимум АКФ досягається при збігу копій, тобто за відсутності зсуву. Нульові значення АКФ досягаються при зрушеннях, при яких не помітно ні подібності, ні антиподібності копій сигналу (нульова кореляція,

відсутність кореляції).

На рис.3.1 зображено фрагмент реалізації деякого сигналу на інтервалі часу від 0 до 1 с. Сигнал випадково коливається навколо нульового значення. Оскільки інтервал існування сигналу кінцевий, то кінцева та її енергія. Його АКФ можна обчислити відповідно до рівняння:

Автокореляційна функція сигналу, обчислена MathCad відповідно до цього рівняння, представлена на рис. 3.2. Кореляційна функція показує не тільки те, що сигнал схожий сам на себе (зсув τ=0), але і те, що деякою схожістю володіють і копії сигналу, зрушені один щодо одного приблизно на 0.063 с (бічний максимум автокореляційної функції). На противагу цьому копії сигналу зрушені на 0.032 с, повинні бути антиподібні дуг на одного, тобто бути в деякому сенсі протилежними один одному.

На рис.33 показані пари цих двох копій. На малюнку можна простежити, що розуміється під схожістю та антисхожістю копій сигналу.

Кореляційна функція має такі властивості:

1. При τ = 0 автокореляційна функція приймає найбільше значення, що дорівнює енергії сигналу

2. Автокореляційна функція є парною функцією тимчасового зсуву .

3. Зі зростанням τ автокореляційна функція зменшується до нуля

4. Якщо сигнал не містить розривів типу δ – функцій, то – безперервна функція.

5. Якщо сигнал є електричною напругою, кореляційна функція має розмірність .

Для періодичних сигналів у визначенні автокореляційної функції той же інтеграл ділять ще на період повторення сигналу:

Так введена кореляційна функція відрізняється такими властивостями:

Значення кореляційної функції в нулі дорівнює потужності сигналу,

Розмір кореляційної функції дорівнює квадрату розмірності сигналу, наприклад .

Наприклад обчислимо кореляційну функцію гармонійного коливання :

Використовуючи ряд тригонометричних перетворень, отримаємо остаточно:

Таким чином, автокореляційна функція гармонійного коливання є косинусоїдою з тим самим періодом зміни, що і сам сигнал. При зрушеннях, кратних періоду коливання, гармоніка перетворюється на себе і АКФ приймає найбільші значення, рівні половині квадрата амплітуди. Зсуви за часом, кратні половині періоду коливання, рівносильні зміщенню фази на кут, змінюється знак коливань, а АКФ приймає мінімальне значення, негативне і дорівнює половині квадрата амплітуди. Зрушення, кратні чверті періоду, переводять, наприклад, синусоїдальне коливання в косінусоїдальне і навпаки. При цьому АКФ перетворюється на нуль. Такі сигнали, що у квадратурі друг щодо друга, з погляду автокореляційної функції виявляються зовсім схожими друг на друга.

Важливим є те, що вираз для кореляційної функції сигналу не увійшла його початкова фаза. Інформація про фазу загубилася. Це означає, що з кореляційної функції сигналу не можна відновити сам сигнал. Відображення на протилежність відображенню не є однозначним.

Якщо під механізмом генерування сигналів розуміти якогось деміурга, що створює сигнал з обраної ним кореляційної функції, то він зміг би створити цілу сукупність сигналів (ансамбль сигналів), що мають дійсно одну і ту ж кореляційну функцію, але відрізняються один від одного фазовими співвідношеннями.

Актом прояви сигналом своєї вільної волі, незалежної від волі творця (виникнення окремих реалізацій деякого випадкового процесу),

Результатом стороннього насильства над сигналом (введення у сигнал вимірювальної інформації, одержуваної під час проведення вимірювань будь-якої фізичної величини).

Аналогічно справи з будь-яким періодичним сигналом. Якщо періодичний сигнал з основним періодом Т має амплітудний спектр та фазовий спектр, то кореляційна функція сигналу набуває наступного вигляду:

Вже в цих прикладах проявляється деякий зв'язок між кореляційною функцією та спектральними властивостями сигналу. Докладніше про ці співвідношення йтиметься надалі.

3.2 Взаємно-кореляційна функція (ВКФ).

На відміну від автокореляційної функції взаємнокореляційна функція визначає ступінь схожості копій двох різних сигналів x(t) і y(t), зрушених на час один відносно одного:

Взаємнокореляційна функція має такі властивості:

1. При τ = 0 взаємнокореляційна функція набуває значення, що дорівнює взаємної енергіїсигналів, тобто енергії їхньої взаємодії

2. За будь-якого τ має місце співвідношення:

де – енергії сигналів.

3. Зміна знака тимчасового зсуву рівносильна взаємній перестановці сигналів:

4. Зі зростанням τ взаємнокореляційна функція хоч і не монотонно, але зменшується до нуля

5. Значення взаємнокореляційної функції на нулі нічим не виділяється серед інших значень.

Для періодичних сигналів поняття взаємно-кореляційної функції, як правило, взагалі не використовується.

Прилади для вимірювання значень автокореляційної та взаємнокореляційної функції називаються корелометрами або кореляторами. Корелометри застосовуються, наприклад, для вирішення наступних інформаційно-вимірювальних завдань:

Статистичний аналіз електроенцефалограм та інших результатів реєстрації біопотенціалів,

Визначення просторових координат джерела сигналу за величиною тимчасового зсуву, при якому досягається максимум ВКФ,

Виділення слабкого сигналу і натомість сильних статичних незв'язаних перешкод,

Виявлення та локалізація каналів витоку інформації шляхом визначення кореляції між сигналами радіоефіру в приміщенні та за його межами,

Автоматизоване виявлення в ближній зоні, розпізнавання та пошук працюючих радіовипромінюючих підслуховуючих пристроїв, включаючи мобільні телефони, що використовуються як підслухувальні пристрої,

Локалізація місць витоків у трубопроводах виходячи з визначення ВКФ двох сигналів акустичного шуму, викликаного витоком, у двох точках виміру, у яких розташовані датчики на трубі.

3.3 Співвідношення між кореляційними та спектральними функціями.

Як кореляційні, і спектральні функції описують внутрішню структуру сигналів, їх внутрішню будову. Тому можна очікувати, що між цими двома способами опису сигналів існує певна взаємозалежність. Наявність такого зв'язку Ви вже бачили на прикладі періодичних сигналів.

Взаємна кореляційна функція, як і будь-яка інша функція часу, може бути перетворена на Фур'є:

Змінимо порядок інтегрування:

Вираз у квадратних дужках можна було б розглядати як перетворення Фур'є для сигналу y(t), але у показнику експоненти не стоїть знак мінус. Це говорить про те, що внутрішній інтеграл дає нам вираз, комплексно пов'язаний зі спектральною функцією.

Але вираз залежить від часу, тому його можна винести за знак зовнішнього інтеграла. Тоді зовнішній інтеграл просто дасть визначення спектральної функції сигналу x(t). Остаточно маємо:

Це означає, що перетворення Фур'є для взаємної кореляційної функції двох сигналів дорівнює добутку спектральних функцій, одна з яких піддана комплексному сполучення. Цей твір називається взаємним спектром сигналів:

З отриманого виразу випливає важливий висновок: якщо спектри сигналів x(t) і y(t) не перекривають один одного, тобто розташовуються в різних діапазонах частот, такі сигнали є некорельованими, незалежними один від одного.

Якщо покласти в наведених формулах: x(t) = y(t), то отримаємо вираз для перетворення Фур'є автокореляційної функції

Це означає, що автокореляційна функція сигналу і квадрат модуля спектральної функції пов'язані один з одним за допомогою перетворення Фур'є.

Функція називається енергетичним спектромсигналу. Енергетичний спектр показує, як загальна енергія сигналу розподіляється за частотами окремих гармонійних складових.

3.4 Енергетичні характеристики сигналів із частотної області

Взаємна кореляційна функція двох сигналів пов'язана перетворенням Фур'є із взаємним спектром сигналів, тому її можна виразити у вигляді зворотного перетворення Фур'є від взаємного спектра:

Тепер підставимо в цей ланцюжок рівностей значення тимчасового зсуву. В результаті отримаємо співвідношення, яке визначає зміст рівності Релея:

тобто інтеграл від добутку двох сигналів дорівнює інтегралу від добутку спектрів цих сигналів, один з яких підданий операції комплексного сполучення.

Це співвідношення називається рівністю Парсеваля.

Періодичні сигнали мають нескінченну енергію, але кінцеву потужність. При їх розгляді ми стикалися з можливістю обчислення потужності періодичного сигналу через суму квадратів модулів коефіцієнтів його комплексного спектра:

Це співвідношення має повну аналогію з рівністю Парсеваля.

3.1 Автокореляційна функція (акф)

Якщо сигнал визначено на кінцевому інтервалі часу , його АКФ перебуває як:

де
- Інтервал перекриття зрушених копій сигналу.

Вважається, що чим більше значення автокореляційної функції
при даному значенні тим більше дві копії сигналу, зсунуті на проміжок часу , схожі один на одного. Тому кореляційна функція
і є мірою схожості зрушених копій сигналу.

Автокореляційна функція сигналу, обчислена в MathCad відповідно до цього рівняння, представлена на рис. 3.2. Кореляційна функція показує не тільки те, що сигнал схожий сам на себе (зсув τ=0), але й те, що деякою схожістю володіють і копії сигналу, зрушені один щодо одного приблизно на 0.063 с (бічний максимум автокореляційної функції). На противагу цьому копії сигналу зрушені на 0.032 с, повинні бути антиподібні дуг на одного, тобто бути в деякому сенсі протилежними один одному.

Кореляційна функція має такі властивості:

1. При τ = 0 автокореляційна функція приймає найбільше значення, що дорівнює енергії сигналу

2. Автокореляційна функція є парною функцією тимчасового зсуву
.

3. Зі зростанням τ автокореляційна функція зменшується до нуля

4. Якщо сигнал не містить розривів типу δ - функцій, то
- Безперервна функція.

5. Якщо сигнал є електричною напругою, кореляційна функція має розмірність
.

Так введена кореляційна функція відрізняється такими властивостями:

Наприклад обчислимо кореляційну функцію гармонійного коливання :

Використовуючи ряд тригонометричних перетворень, отримаємо остаточно:

Таким чином, автокореляційна функція гармонійного коливання є косінусоїдою з тим самим періодом зміни, що і сам сигнал. При зрушеннях, кратних періоду коливання, гармоніка перетворюється на себе і АКФ приймає найбільші значення, рівні половині квадрата амплітуди. Зсуви за часом, кратні половині періоду коливання, рівносильні зміщенню фази на кут
, у своїй змінюється знак коливань, а АКФ приймає мінімальне значення, негативне і дорівнює половині квадрата амплітуди. Зрушення, кратні чверті періоду, переводять, наприклад, синусоїдальне коливання в косінусоїдальне і навпаки. При цьому АКФ перетворюється на нуль. Такі сигнали, що у квадратурі друг щодо друга, з погляду автокореляційної функції виявляються зовсім схожими друг на друга.

Важливим є те, що вираз для кореляційної функції сигналу не увійшла його початкова фаза. Інформація про фазу загубилася. Це означає, що з кореляційної функції сигналу не можна відновити сам сигнал. Відображення
на противагу відображенню
не є взаємно однозначним.

актом прояву сигналом своєї вільної волі, незалежної від волі творця (виникнення окремих реалізацій деякого випадкового процесу),

результатом стороннього насильства над сигналом (введення у сигнал вимірювальної інформації, одержуваної під час проведення вимірювань будь-якої фізичної величини).

Аналогічно справи з будь-яким періодичним сигналом. Якщо періодичний сигнал із основним періодом Т має амплітудний спектр
та фазовий спектр
, то кореляційна функція сигналу набуває наступного вигляду:

У теорії зв'язку кореляційна теорія використовується для дослідження випадкових процесів, дозволяючи встановити зв'язок між кореляційними і спектральними властивостями випадкових сигналів. Часто виникає завдання виявлення одного сигналу, що передається в іншому або в перешкодах. Для надійного виявлення сигналів і застосовується метод кореляціїзаснований на кореляційній теорії. На практиці виявляється корисним аналіз характеристики, що дає уявлення про швидкість зміни в часі, а також тривалість сигналу без розкладання його гармонійні складові.

Нехай копія сигналу u(t -т) зміщена щодо свого оригіналу u(t)на інтервал часу т. Для кількісної оцінки ступеня відмінності (зв'язку) сигналу u(t)та його зміщеної копії u(t -т) використовують автокореляційну функцію(АКФ). АКФ показує ступінь подібності між сигналом та його зсунутою копією - що більше значення АКФ, то це подібність сильніше.

Для детермінованого сигналу кінцевої тривалості (фінітного сигналу) аналітичний запис АКФ є інтегралом виду

Формула (2.56) показує, що за відсутності зсуву копії щодо сигналу (т = 0) АКФ позитивна, максимальна і дорівнює енергії сигналу:

Така енергія [Дж] виділяється на резисторі з опором 1 Ом, якщо до його висновків підключити деяку напругу u(t)[В].

Однією з найважливіших властивостей АКФ є її парність: В(т) = В(-т). Дійсно, якщо у виразі (2.56) зробити заміну змінної х = t -т, то

Тому інтеграл (2.56) можна подати в іншому вигляді:

Для періодичного сигналу з періодом Г, енергія якого нескінченно велика (оскільки сигнал існує нескінченний час), обчислення АКФ за формулою (2.56) є неприйнятним. У цьому випадку визначають АКФ за період:

Приклад 2.3

Визначимо АКФ прямокутного імпульсу, що має амплітуду Ета тривалість т і (рис. 2.24).

Рішення

Для імпульсу обчислення АКФ зручно провести графічно. Така побудова показана на рис. 2.24, а - г,де наведено відповідно вихідний імпульс u(t)= u tзсунута на т його копія м т (?) = u(t- т) = м т та їх твір u(f)u(t- т) = uu vРозглянемо графічне обчислення інтегралу (2.56). твір, добуток u(t)u(t- т) не дорівнює нулю на інтервалі часу, коли є накладення один на одного будь-яких частин сигналу та його копії. Як випливає з рис. 2.24, цей інтервал дорівнює х - т м, якщо тимчасове зсув копії менше тривалості імпульсу. У таких випадках для імпульсу АКФ визначиться як В(т) = Е 2 (т і - |т|) при тимчасовому зрушенні копії на час |т| В(0) = = Е 2т і = Е (див. рис. 2.24, г).

Мал. 2.24.

а -імпульс; 6 - Копія; в -твір сигналу та копії; г -АКФ

Часто вводять зручний для аналізу та порівняння сигналів числовий параметр - інтервал кореляціїт до, аналітично і графічно дорівнює ширині основи АКФ. Для цього прикладу інтервал кореляції т к = 2т і.

Приклад 2.4

Визначимо АКФ гармонійного (косинусоїдального) сигналу u(t) == t/m cos(co? + а).

Мал. 2.25.

а -гармонійний сигнал; б -АКФ гармонійного сигналу

Рішення

Використовуючи формулу (2.57) та позначивши У п (т) = В(т), знаходимо

З цієї формули випливає, що АКФ гармонійного сигналу теж гармонійною функцією (рис. 2.25, б)і має розмірність потужності (2). Відзначимо ще один дуже важливий факт, що обчислена АКФ не залежить від початкової фази гармонійного сигналу (параметр

З проведеного аналізу випливає важливий висновок: АКФ практично будь-якого сигналу залежить від його фазового спектра.Отже, сигнали, амплітудні спектри яких повністю збігаються, а фазові різняться, матимуть однакову АКФ. Ще одне зауваження полягає в тому, що по АКФ не можна відновити вихідний сигнал (знову ж таки внаслідок втрати інформації про фазу).

Зв'язок між АКФ та енергетичним спектром сигналу. Нехай імпульсний сигнал u(t)має спектральну щільність 5(з). Визначимо АКФ за формулою (2.56), записавши і(С)у вигляді зворотного перетворення Фур'є (2.30):

Ввівши нову змінну х = t -т, з останньої формули отримаємо інтеграл

є функція, комплексно-пов'язана спектральної щільності сигналу

З урахуванням співвідношення (2.59) формула (2.58) набуде вигляду функцію

називають енергетичним спектром (спектральною щільністю енергії) сигналу,що показує розподіл енергії за частотою. Розмірність енергетичного діапазону сигналу відповідає величині IP/с) - [(В 2 -с)/Гц].

Враховуючи співвідношення (2.60), остаточно отримаємо вираз для АКФ:

Отже, АКФ сигналу є зворотне перетворення Фур'є з його енергетичного спектра. Пряме перетворення Фур'є від АКФ

Отже, пряме перетворення Фур'є (2.62) АКФ визначає енергетичний спектр,а зворотне перетворення Фур'є енергетичного спектру(2.61) - АКФ детермінованого сигналу.Ці результати є важливими з двох причин. По-перше, виходячи з розподілу енергії та спектру стає можливим оцінити кореляційні властивості сигналів - чим ширший енергетичний спектр сигналу, тим менше інтервал кореляції. Відповідно, що більше інтервал кореляції сигналу, то коротше його енергетичний спектр. По-друге, співвідношення (2.61) та (2.62) дозволяють експериментально визначити одну з функцій за значенням іншої. Найчастіше зручніше спочатку отримати АКФ, а потім за допомогою прямого перетворення Фур'є обчислити енергетичний спектр. Цей прийом широко застосовують під час аналізу властивостей сигналів у реальному масштабі часу, тобто. без тимчасової затримки під час його обробці.

Взаємокореляційна функція двох сигналів. Якщо треба оцінити рівень зв'язку між сигналами u x (t)і u 2 (t),то використовують взаємокореляційну функцію(ВКФ)

При т = Про ВКФ дорівнює так званій взаємної енергії двох сигналів

Значення ВКФ не змінюється, якщо замість затримки другого сигналу u 2 (t)розглядати випередження його першим сигналом м(?), тому

АКФ є окремим випадком ВКФ, якщо сигнали однакові, тобто. u y (t) = u 2 (t) = u (t).На відміну від АКФ ВКФ двох сигналів 12 (т) не є парною і необов'язково максимальна при т = 0, тобто. за відсутності тимчасового зсуву сигналів.

На ранніх етапах розвитку радіотехніки питання про вибір найкращих сигналів для тих чи інших конкретних застосувань не було дуже гострим. Це зумовлювалося, з одного боку, щодо простою структурою переданих повідомлень (телеграфні посилки, радіомовлення); з іншого, практична реалізація сигналів складної форми в комплексі з обладнанням для їх кодування, модуляції та зворотного перетворення на повідомлення виявлялася важко здійсненною.

Нині ситуація докорінно змінилася. У сучасних радіоелектронних комплексах вибір сигналів диктується передусім не технічними зручностями їхнього генерування, перетворення та прийому, а можливістю оптимального вирішення завдань, передбачених під час проектування системи. Щоб зрозуміти, як виникає потреба у сигналах зі спеціально обраними властивостями, розглянемо наступний приклад.

Порівняння сигналів, зрушених у часі.

Звернемося до спрощеної ідеї роботи імпульсного радіолокатора, призначеного для виміру дальності до співу. Тут інформація про об'єкт вимірювання закладена у величині - затримці часу між зондуючим і прийнятим сигналами. Форми зондуючого та прийнятого і сигналів однакові при будь-яких затримках.

Структурна схема пристрою обробки сигналів радіолокації, призначеного для вимірювання дальності, може виглядати так, як це зображено на рис. 3,3.

Система складається з набору елементів, що здійснюють затримку «еталонного» сигналу, що передається на деякі фіксовані відрізки часу

Мал. 3.3. Пристрій для вимірювання часу затримки сигналів

Затримані сигнали разом з прийнятим сигналом подаються на пристрої порівняння, що діють відповідно до принципу: сигнал на виході з'являється лише за умови, що обидва вхідні коливання є копіями один одного. Знаючи номер каналу, у якому відбувається зазначена подія, можна виміряти затримку, отже, і дальність до мети.

Подібний пристрій працюватиме тим точніше, чим більшою мірою відрізняються один від одного сигнал і його копія, зміщена в часі.

Таким чином, ми отримали якісне уявлення про те, які сигнали можна вважати «хорошими» для даного застосування.

Перейдемо до точного математичного формулювання поставленої проблеми і покажемо, що це коло питань безпосередньо стосується теорії енергетичних спектрів сигналів.

Автокореляційна функція сигналу.

Для кількісного визначення ступеня відмінності сигналу та його зміщеної в часі копії прийнято вводити автокореляційну функцію (АКФ) сигналу , рівну скалярному добутку сигналу та копії:

Надалі припускатимемо, що досліджуваний сигнал має локалізований у часі імпульсний характер, так що інтеграл виду (3.15) свідомо існує.

Безпосередньо видно, що при автокореляційній функції стає рівною енергії сигналу:

До найпростіших властивостей АКФ можна віднести її парність:

Дійсно, якщо в інтегралі (3.15) зробити заміну змінних то

Нарешті, важливість автокореляційної функції полягає в наступному: при будь-якому значенні тимчасового зсуву модуль АКФ не перевищує енергії сигналу:

Цей факт безпосередньо випливає з нерівності Коші – Буняковського (див. гл. 1):

Отже, АКФ є симетричною кривою з центральним максимумом, який завжди позитивний. При цьому в залежності від виду сигналу автокореляційна функція може мати як монотонно спадаючий, так і коливається характер.

Приклад 3.3. Знайти АКФ прямокутного відеоімпульсу.

На рис. 3.4,а зображено прямокутний відеоімпульс з амплітудою U і тривалістю Тут же представлена його копія, зсунута в часі у бік запізнення на . Інтеграл (3.15) обчислюється у разі елементарно виходячи з графічного побудови. Дійсно, твір та й на відміну від нуля лише в межах інтервалу часу, коли спостерігається накладення сигналів. З рис. 3.4, видно, що цей часовий інтервал дорівнює якщо зсув не перевищує тривалості імпульсу. Таким чином, для аналізованого сигналу

Графік такої функції – трикутник, зображений на рис. 3.4,б. Ширина основи трикутника вдвічі більша за тривалість імпульсу.

Мал. 3.4. Знаходження АКФ прямокутного відеоімпульсу

Приклад 3.4. Знайти АКФ прямокутного радіоімпульсу.

Розглянемо радіосигнал виду

Знаючи заздалегідь, що АКФ парна, обчислимо інтеграл (3.15), вважаючи . При цьому

звідки легко отримуємо

Природно, що за величина стає рівною енергії цього імпульсу (див. приклад 1.9). Формула (3.21) описує АКФ прямокутного радіоімпульсу при всіх зсувах , що лежать в межах Якщо абсолютне значення зсуву перевищує тривалість імпульсу, то автокореляційна функція буде тотожно перетворюватися на нуль.

приклад 3.5. Визначити АКФ послідовності прямокутних відеоімпульсів.

У радіолокації широко використовуються сигнали, що являють собою пачки з однакових формою імпульсів, наступних один за одним через однаковий інтервал часу. Для виявлення такої пачки, а також для вимірювання її параметрів, наприклад, положення в часі, створюють пристрої, які апаратурним чином реалізують алгоритми обчислення АКФ.

Мал. 3.5. АКФ пачки із трьох однакових відеоімпульсів: а - пачка імпульсів; б - графік АКФ

На рис. 3.5, зображена пачка, що складається з трьох однакових відеоімпульсів прямокутної форми. Тут же представлено її автокореляційну функцію, обчислену за формулою (3.15) (рис. 3.5, б).

Добре видно, що максимум АКФ досягається при Однак якщо затримка виявляється кратною періоду послідовності (при нашому випадку), спостерігаються побічні пелюстки АКФ, порівняні по висоті з головною пелюсткою. Тому можна говорити про відому недосконалість кореляційної структури даного сигналу.

Автокореляційна функція необмежено протяжного сигналу.

Якщо потрібно розглядати необмежено протяжні в часі періодичні послідовності, підхід до вивчення кореляційних властивостей сигналів повинен бути дещо змінений.

Вважатимемо, що така послідовність виходить з деякого локалізованого в часі, тобто імпульсного сигналу, коли тривалість останнього прагне нескінченності. Для того щоб уникнути розбіжності одержуваних виразів, визначимо іову АКФ як середнє значення скалярного добутку сигналу та його копії:

При такому підході автокореляційна функція стає рівною середньої взаємної потужності цих сигналів.

Наприклад, бажаючи знайти АКФ для необмеженої в часі косінусоїди можна скористатися формулою (3.21), отриманої для радіоімпульсу тривалістю, а потім перейти до межі з огляду на визначення (3.22). В результаті отримаємо

Ця АКФ сама є періодичною функцією; її значення при рівні

Зв'язок між енергетичним спектром сигналу та його автокореляційною функцією.

При вивченні матеріалу цього розділу читач може подумати, що методи кореляційного аналізу виступають як деякі особливі прийоми, які не мають зв'язку з принципами спектральних розкладів. Однак, це не так. Легко показати, що існує тісний зв'язок між АКФ та енергетичним спектром сигналу.

Дійсно, відповідно до формули (3.15) АКФ є скалярний добуток: Тут символом позначена зміщена в часі копія сигналу

Звернувшись до узагальненої формули Релея (2.42), можна записати рівність

Спектральна щільність зміщеного сигналу в часі

Таким чином, приходимо до результату:

Квадрат модуля спектральної щільності, як відомо, є енергетичним спектром сигналу. Отже, енергетичний спектр та автокореляційна функція пов'язані перетворенням Фур'є:

Зрозуміло, що є і зворотне співвідношення:

Ці результати є принципово важливими з двох причин. По-перше, можна оцінювати кореляційні властивості сигналів, виходячи з розподілу їх енергії по спектру. Чим ширша смуга частот сигналу, тим основніша пелюстка автокореляційної функції і тим досконаліший сигнал з точки зору можливості точного вимірювання моменту його початку.

По-друге, формули (3.24) та (3.26) вказують шлях експериментального визначення енергетичного спектра. Найчастіше зручніше спочатку отримати автокореляційну функцію, а потім, використовуючи перетворення Фур'є, знайти енергетичний спектр сигналу. Такий прийом набув поширення щодо властивостей сигналів з допомогою швидкодіючих ЕОМ у реальному масштабі часу.

Співвідношенням совтк Звідси випливає, що інтервал кореляції

виявляється тим менше, що вище верхня гранична частота спектра сигналу.

Обмеження, що накладаються на вигляд автокореляційної функції сигналу.

Знайдений зв'язок між автокореляційною функцією та енергетичним спектром дає можливість встановити цікавий та на перший погляд неочевидний критерій існування сигналу із заданими кореляційними властивостями. Справа в тому, що енергетичний спектр будь-якого сигналу, за визначенням, має бути позитивним [див. формулу (3.25)]. Ця умова буде виконуватися далеко не за будь-якого вибору АКФ. Наприклад, якщо взяти

і обчислити відповідне перетворення Фур'є, то

Ця знакозмінна функція не може являти собою енергетичний спектр будь-якого сигналу.