Chiziqli bog'liq va chiziqli mustaqil matritsa ustunlarining xossalari. Chiziqli qatorga bog'liqlik qatorlar chiziqli bog'liq

Matritsa qatorlarining chiziqli mustaqilligi

Hajmi matritsasi berilgan

Matritsaning qatorlarini quyidagicha belgilaymiz:

Ikki qator deyiladi teng agar ularning mos keladigan elementlari teng bo'lsa. ...

Satrni songa ko'paytirish va element bo'yicha bajariladigan amallar sifatida satrlarni qo'shish amallarini kiritamiz:

Ta'rif. Satr matritsa qatorlarining chiziqli birikmasi deb ataladi, agar u ixtiyoriy haqiqiy sonlar (har qanday sonlar) bo'yicha ushbu qatorlar ko'paytmalarining yig'indisiga teng bo'lsa:

Ta'rif. Matritsaning qatorlari deyiladi chiziqli bog'liq , agar bir vaqtning o'zida nolga teng bo'lmagan raqamlar mavjud bo'lsa, matritsa qatorlarining chiziqli birikmasi nol qatorga teng bo'ladi:

Qayerda. (1.1)

Matritsa satrlarining chiziqli bog'liqligi matritsaning kamida 1 qatori qolganlarning chiziqli birikmasi ekanligini anglatadi.

Ta'rif. Agar (1.1) satrlarning chiziqli birikmasi nolga teng bo'lsa va faqat barcha koeffitsientlar bo'lsa, u holda qatorlar deyiladi. chiziqli mustaqil .

Matritsa darajalari teoremasi. Matritsaning darajasi uning chiziqli mustaqil satrlari yoki ustunlarining maksimal soniga teng, ular orqali boshqa barcha satrlar (ustunlar) chiziqli tarzda ifodalanadi.

Teorema matritsali tahlilda, xususan, chiziqli tenglamalar tizimini o'rganishda asosiy rol o'ynaydi.

6,13,14,15,16. Vektorlar. Vektorlar ustida amallar (qo‘shish, ayirish, songa ko‘paytirish),n -o'lchovli vektor. Vektor fazo tushunchasi va uning asosi.

Vektor - bu boshlang'ich nuqtasi bo'lgan yo'naltirilgan segment A va yakuniy nuqta V(u o'ziga parallel ravishda ko'chirilishi mumkin).

Vektorlar 2 ta katta harf yoki chiziq yoki o'q bilan bitta kichik harf sifatida belgilanishi mumkin.

Uzunlik (yoki modul) vektor - vektorni ifodalovchi AB segmentining uzunligiga teng son.

Bir to'g'ri chiziqda yoki parallel chiziqlar ustida yotgan vektorlar deyiladi kollinear .

Agar vektorning boshi va oxiri mos kelsa (), unda bunday vektor deyiladi nol va = bilan belgilanadi. Nol vektorning uzunligi nolga teng:

1) Vektorni raqamga ko'paytirish orqali:

Uzunligi bo'lgan vektor bo'ladi, uning yo'nalishi vektorning yo'nalishiga to'g'ri keladi, agar va unga qarama-qarshi, agar.

2) Qarama-qarshi vektor - vektorning mahsuloti deyiladi - (-1) raqami bilan, ya'ni. - =.

3) Ikki vektor yig'indisi va vektor deyiladi, uning boshlanishi vektorning boshiga, oxiri esa vektorning oxiriga to'g'ri keladi, agar boshlanishi oxiriga to'g'ri keladi. (uchburchaklar qoidasi). Bir nechta vektorlarning yig'indisi xuddi shunday tarzda aniqlanadi.

4) Ikki vektorning farqiga ko'ra va vektor va vektor yig'indisi - deb ataladi, aksincha.

Skalyar mahsulot

Ta'rif: Ikki vektorning skalyar koʻpaytmasi bu vektorlar uzunliklarining ular orasidagi burchak kosinusiga koʻpaytmasiga teng sondir:

n o'lchovli vektor va vektor fazosi

Ta'rif... n o'lchovli vektor tartiblangan to'plamdir n kabi yoziladigan haqiqiy sonlar x = (x 1, x 2, ..., x n), qayerda x i – i -vektor komponenti X.

Iqtisodiyotda n o'lchovli vektor tushunchasi keng qo'llaniladi, masalan, ma'lum bir tovarlar to'plami vektor bilan tavsiflanishi mumkin. x = (x 1, x 2, ..., x n), va tegishli narxlar y = (y 1, y 2,…, y n).

- Ikki n o'lchovli vektor teng agar va faqat ularning tegishli komponentlari teng bo'lsa, ya'ni. x = y agar x i= y i, i = 1,2,…,n.

- Ikki vektor yig'indisi bir xil o'lcham n vektor deyiladi z = x + y uning komponentlari vektor atamalarining mos keladigan komponentlari yig'indisiga teng, ya'ni. z i= x i+ y i, i = 1,2, ..., n.

- X vektorining haqiqiy songa ko'paytmasi vektor deyiladi, uning komponentlari vektorning mos keladigan komponentlari tomonidan mahsulotga teng, ya'ni. , i= 1,2,…,n.

Har qanday vektor ustidagi chiziqli operatsiyalar quyidagi xususiyatlarni qondiradi:

1) - summaning kommutativ (o'zgaruvchan) xususiyati;

2) - summaning assotsiativ (birlashma) mulki;

3) son omilga nisbatan assotsiativ xususiyatdir;

4) - vektorlar yig'indisiga nisbatan taqsimlovchi (tarqatuvchi) xususiyat;

5) son omillar yig'indisiga nisbatan taqsimlovchi xususiyatdir;

6) Har qanday vektor uchun (nol vektorning alohida roli) bo'ladigan nol vektor mavjud;

7) Har qanday vektor uchun qarama-qarshi vektor shunday bo'ladi;

8) har qanday vektor uchun (1-sonli omilning alohida roli).

Ta'rif... Vektorlarni qo‘shish va vektorni yuqoridagi sakkizta xususiyatga (aksioma sifatida qaraladi) qanoatlantiruvchi songa ko‘paytirish amallari aniqlangan haqiqiy komponentli vektorlar to‘plami deyiladi. vektor holati .

Vektor fazoning o'lchami va asosi

Ta'rif... Chiziqli fazo deyiladi n o'lchovli o'z ichiga olgan bo'lsa n chiziqli mustaqil vektorlar va har qanday vektor allaqachon bog'liqdir. Boshqa so'z bilan, kosmosning o'lchami Undagi chiziqli mustaqil vektorlarning maksimal soni. n soni fazoning o'lchami deb ataladi va bilan belgilanadi.

n o'lchovli fazoning n ta chiziqli mustaqil vektorlari yig'indisi deyiladi asos .

7. Matritsaning xos vektorlari va xos qiymatlari. Matritsaning xarakteristik tenglamasi.

Ta'rif... Vektor deyiladi o'z vektori chiziqli operator, agar shunday raqam bo'lsa:

Raqam to'g'ri deb nomlanadi operator qiymati (matritsalar A) vektorga mos keladi.

Matritsa shaklida yozilishi mumkin:

Vektor koordinatalaridan ustun matritsasi qayerda yoki kengaytirilgan shaklda:

Keling, tizimni o'ng tomonda nol bo'lishi uchun qayta yozamiz:

yoki matritsa shaklida:. Olingan bir jinsli sistema har doim nol yechimga ega. Nolga teng bo'lmagan yechim mavjudligi uchun tizimning determinanti: bo'lishi zarur va etarli.

Determinant polinomdir n-nisbiy daraja. Bu polinom deyiladi operatorning xarakteristik polinomi yoki A matritsasi va natijada tenglama bo'ladi operatorning xarakteristik tenglamasi yoki matritsasi A.

Misol:

Matritsa tomonidan berilgan chiziqli operatorning xos qiymatlari va xos vektorlarini toping.

Yechish: xarakteristik tenglamani tuzish yoki chiziqli operatorning xos qiymati shundan kelib chiqadi.

Xususiy qiymatga mos keladigan xos vektorni toping. Buning uchun matritsa tenglamasini yechamiz:

Yoki , yoki, qaerdan topamiz:, yoki

Yoki .

Faraz qilaylik, vektorlar har qanday uchun xos qiymatga ega chiziqli operatorning xos vektorlari ekanligini tushunamiz.

Xuddi shunday, vektor.

8. Tizim P bilan chiziqli tenglamalar P o'zgaruvchilar (umumiy ko'rinish). Bunday tizimning matritsa belgilari. Tizimli yechim (ta'rif). Chiziqli tenglamalarning qo`shma va nomuvofiq, aniq va noaniq sistemalari.

Noma’lum chiziqli tenglamalar sistemasini yechish

Iqtisodiyotda chiziqli tenglamalar tizimlari keng qo'llaniladi.

O'zgaruvchilar bilan chiziqli tenglamalar tizimi quyidagi shaklga ega:

,

bu yerda () ixtiyoriy raqamlar deyiladi o'zgaruvchilar uchun koeffitsientlar va tenglamalarning erkin shartlari , mos ravishda.

Qisqa yozuv: ().

Ta'rif. Tizim yechimi - bu qiymatlar to'plami bo'lib, ular almashtirilganda tizimdagi har bir tenglama haqiqiy tenglikka aylanadi.

1) Tenglamalar sistemasi deyiladi qo'shma agar u kamida bitta yechimga ega bo'lsa va mos kelmaydigan agar uning yechimlari bo'lmasa.

2) Birlashgan tenglamalar sistemasi deyiladi ma'lum agar u noyob yechimga ega bo'lsa va aniqlanmagan agar u bir nechta yechimga ega bo'lsa.

3) Ikki tenglamalar sistemasi deyiladi ga teng (ekvivalent) agar ular bir xil echimlar to'plamiga ega bo'lsa (masalan, bitta yechim).

Tizimni matritsa shaklida yozamiz:

Belgilaymiz: , qayerda

A- o'zgaruvchilar uchun koeffitsientlar matritsasi yoki tizim matritsasi; X - matritsa-o'zgaruvchilar ustuni, V - matritsa-erkin a'zolar ustuni.

Chunki matritsa ustunlari soni matritsa qatorlari soniga teng, keyin ularning mahsuloti:

Ustun matritsasi mavjud. Olingan matritsaning elementlari dastlabki tizimning chap tomonlari hisoblanadi. Matritsalar tengligi ta'rifiga asoslanib, boshlang'ich sistema quyidagi ko'rinishda yozilishi mumkin:.

Kramer teoremasi. Sistema matritsasining determinanti bo‘lsin va matritsadan th ustunni erkin hadlar ustuni bilan almashtirib olingan matritsaning aniqlovchisi bo‘lsin. Keyin, agar, u holda tizim formulalar bilan aniqlangan yagona yechimga ega bo'ladi:

Kramer formulasi.

Misol. Kramer formulalari yordamida tenglamalar tizimini yeching

Yechim... Tizim matritsasining aniqlovchisi. Shuning uchun tizim o'ziga xos echimga ega. Biz mos ravishda birinchi, ikkinchi, uchinchi ustunlarni bo'sh a'zolar ustuni bilan almashtirish natijasida olingan hisoblaymiz:

Kramer formulalariga ko'ra:

9. Tizimni yechishning Gauss usulin bilan chiziqli tenglamalar P o'zgaruvchilar. Jordan-Gauss usuli haqida tushuncha.

Gauss usuli - o'zgaruvchilarni ketma-ket yo'q qilish usuli.

Gauss usuli shundan iboratki, satrlarni elementar o'zgartirish va ustunlar o'rnini almashtirishdan foydalangan holda, tenglamalar tizimi bosqichma-bosqich (yoki uchburchak) shakldagi ekvivalent tizimga tushiriladi, undan boshlab barcha boshqa o'zgaruvchilar ketma-ket topiladi. oxirgi (raqam bo'yicha) o'zgaruvchilar.

Gauss o'zgarishlarini tenglamalarning o'zi bilan emas, balki matritsaga erkin shartlar ustunini belgilash orqali olingan ularning koeffitsientlarining kengaytirilgan matritsasi bilan amalga oshirish qulay:

.

Shuni ta'kidlash kerakki, Gauss usulidan har qanday shakldagi tenglamalar tizimini yechish mumkin .

Misol. Gauss usuli yordamida tizimni yeching:

Keling, tizimning kengaytirilgan matritsasini yozamiz.

1-qadam . Keling, birinchi va ikkinchi qatorlarni 1 ga teng bo'lishi uchun almashtiramiz.

2-qadam. Birinchi qatorning elementlarini (-2) va (-1) ga ko'paytiring va ularni ikkinchi va uchinchi qatorlar elementlariga qo'shing, shunda birinchi ustundagi element ostida nollar paydo bo'ladi. ...

Quyidagi teoremalar chiziqli tenglamalarning mos tizimlari uchun to'g'ri keladi:

Teorema 1. Agar mos keladigan tizim matritsasining darajasi o'zgaruvchilar soniga teng bo'lsa, ya'ni. , keyin tizim noyob yechimga ega.

Teorema 2. Agar mos keladigan tizim matritsasining darajasi o'zgaruvchilar sonidan kamroq bo'lsa, ya'ni. , u holda sistema noaniq va cheksiz sonli echimlarga ega.

Ta'rif. Matritsaning asosiy minori - tartibi matritsa darajasiga teng bo'lgan har qanday nolga teng bo'lmagan minor.

Ta'rif. Koeffitsientlari asosiy minor belgisiga kiritilgan noma'lumlar asosiy (yoki asosiy), qolgan noma'lumlar esa erkin (yoki kichik) deb ataladi.

Tenglamalar sistemasini holatda yechish degani va (ularning koeffitsientlaridan tashkil topgan determinant nolga teng bo'lmagani uchun) va erkin noma'lumlarni ifodalash demakdir.

Keling, asosiy o'zgaruvchilarni erkin ko'rinishda ifodalaylik.

Olingan matritsaning ikkinchi qatoridan o'zgaruvchini ifodalaymiz:

Birinchi qatordan biz ifodalaymiz:,

Tenglamalar sistemasining umumiy yechimi:,.

K satr va k ustun (k ≤ min (m; n)) o‘lchamdagi (m; n) A matritsada ixtiyoriy ravishda tanlansin. Tanlangan satr va ustunlar kesishmasidagi matritsa elementlari k tartibli kvadrat matritsa hosil qiladi, uning determinanti k y tartibli minor M kk yoki A matritsaning k-tartib minori deyiladi.

Matritsaning darajasi A matritsaning nolga teng bo'lmagan minorlarining maksimal r tartibidir va noldan boshqa har qanday minor r asosiy minor hisoblanadi. Belgilash: rang A = r. Rang A = rang B bo'lsa va A va B matritsalarining o'lchamlari bir xil bo'lsa, A va B matritsalari ekvivalent deyiladi. Belgilanishi: A ~ B.

Matritsaning darajasini hisoblashning asosiy usullari chegaralangan kichiklar usuli va usuli hisoblanadi.

Voyaga etmaganlarni chegaralash usuli

Voyaga etmaganlarni chegaralash usulining mohiyati quyidagicha. Faraz qilaylik, matritsada nolga teng bo'lmagan k tartibli minor allaqachon topilgan. Keyinchalik, faqat k + 1 tartibli kichiklar noldan farq qiluvchi k-tartibning minorini o'z ichiga olgan (ya'ni chegarasi) hisobga olinadi. Agar ularning barchasi nolga teng bo'lsa, u holda matritsaning darajasi k bo'ladi, aks holda (k + 1) tartibli chegaradosh kichiklar orasida nolga teng bo'lmagan mavjud va butun protsedura takrorlanadi.

Matritsa satrlarining (ustunlarining) chiziqli mustaqilligi

Matritsaning darajasi tushunchasi uning satrlarining (ustunlarining) chiziqli mustaqilligi tushunchasi bilan chambarchas bog'liq.

Matritsa qatorlari:

l 1, l 2, l k sonlar mavjud bo'lsa, ular chiziqli bog'liq deb ataladi, shunda tenglik to'g'ri bo'ladi:

Agar barcha sonlar l 1 = l 2 =… = l k = 0 bo'lsa, yuqoridagi tenglik mumkin bo'lsa, A matritsaning qatorlari chiziqli mustaqil deyiladi.

A matritsa ustunlarining chiziqli bog'liqligi va mustaqilligi xuddi shunday tarzda aniqlanadi.

Agar A (a l) = (a l1, a l2, ..., a ln)) matritsaning istalgan satrini (a l) quyidagicha ifodalash mumkin bo‘lsa.

Ustunlarning chiziqli birikmasi tushunchasi ham xuddi shunday tarzda aniqlanadi. Quyidagi asosiy minor teorema to'g'ri.

Asosiy chiziqlar va asosiy ustunlar chiziqli mustaqildir. A matritsaning istalgan satri (yoki ustuni) asosiy satrlarning (ustunlarning), ya’ni asosiy minorni kesib o‘tuvchi satrlarning (ustunlarning) chiziqli birikmasidir. Shunday qilib, A matritsaning darajasi: A = k darajasi A matritsaning chiziqli mustaqil satrlarining (ustunlarining) maksimal soniga teng.

Bular. matritsaning darajasi - bu matritsa ichidagi eng katta kvadrat matritsaning o'lchami bo'lib, uning uchun determinant nolga teng bo'lmagan darajani aniqlash kerak. Agar dastlabki matritsa kvadrat bo'lmasa yoki kvadrat bo'lsa, lekin uning determinanti nolga teng bo'lsa, pastki tartibli kvadrat matritsalar uchun satrlar va ustunlar o'zboshimchalik bilan tanlanadi.

Determinantlardan foydalanishdan tashqari, matritsaning darajasini matritsaning chiziqli mustaqil satrlari yoki ustunlari soni bilan hisoblash mumkin. Bu chiziqli mustaqil satrlar yoki ustunlar soniga teng, qaysi biri kamroq bo'lsa. Misol uchun, agar matritsada 3 ta chiziqli mustaqil qator va 5 ta chiziqli mustaqil ustun bo'lsa, unda uning darajasi uchta bo'ladi.

Matritsaning darajasini topishga misollar

Chegaralovchi kichiklar usulidan foydalanib, matritsaning darajasini toping

Qaror.Ikkinchi tartibdagi kichik

chegaradosh kichik M 2 ham nolga teng emas. Biroq, M 3 bilan chegaradosh to'rtinchi tartibli ikkala voyaga etmaganlar.

nolga teng. Demak, A matritsaning darajasi 3 ga, asosiy minor esa, masalan, yuqoridagi minor M 3 ga teng.

Elementar o'zgartirishlar usuli matritsaning elementar o'zgarishlari uning darajasini o'zgartirmasligiga asoslanadi. Ushbu o'zgartirishlardan foydalanib, matritsani uning barcha elementlari, 11, a 22,..., rr (r ≤min (m, n)) dan tashqari, nolga teng bo'lgan shaklga keltirishimiz mumkin. Bu aniq A = r oralig'ini bildiradi. E'tibor bering, agar n-tartibli matritsa yuqori uchburchak matritsa shakliga ega bo'lsa, ya'ni asosiy diagonal ostidagi barcha elementlar nolga teng bo'lgan matritsa bo'lsa, u holda uning ta'rifi yuqoridagi elementlarning ko'paytmasiga teng bo'ladi. asosiy diagonali. Ushbu xususiyatdan matritsaning darajasini elementar o'zgartirishlar usuli bilan hisoblashda foydalanish mumkin: matritsani uchburchakka qisqartirish uchun ulardan foydalanish kerak, so'ngra tegishli determinantni tanlab, biz matritsaning darajasi ekanligini aniqlaymiz. matritsa asosiy diagonalning nolga teng bo'lmagan elementlari soniga teng.

Elementar o'zgartirishlar usulidan foydalanib, matritsaning darajasini toping

Yechish.A matritsaning i-qatorini a i belgisi bilan belgilaymiz. Birinchi bosqichda biz elementar o'zgarishlarni amalga oshiramiz

Ikkinchi bosqichda biz o'zgarishlarni amalga oshiramiz

Natijada, biz olamiz

Bir xil tartibli vektorlar sistemasi, agar bu vektorlardan tegishli chiziqli birikma yordamida nol vektor olish mumkin bo'lsa, chiziqli bog'liq deb ataladi. (Bu holda, chiziqli birikmaning barcha koeffitsientlari nolga teng bo'lishiga yo'l qo'yilmaydi, chunki bu ahamiyatsiz bo'lar edi.) Aks holda, vektorlar chiziqli mustaqil deyiladi. Masalan, quyidagi uchta vektor:

chiziqli bog'liqdir, chunki tekshirish oson. Chiziqli bog'liqlik holatida har qanday vektor har doim qolgan vektorlarning chiziqli birikmasi bilan ifodalanishi mumkin. Bizning misolimizda: yoki yoki Tegishli hisob-kitoblar bilan tekshirish oson. Bu quyidagi ta'rifni nazarda tutadi: vektor boshqa vektorlardan chiziqli mustaqildir, agar uni ushbu vektorlarning chiziqli birikmasi sifatida tasvirlash mumkin bo'lmasa.

Vektorlar sistemasini chiziqli bog'liq yoki chiziqli mustaqilligini aniqlamasdan ko'rib chiqing. Ustun vektorlaridan tashkil topgan har bir tizim uchun a, chiziqli mustaqil vektorlarning maksimal mumkin bo'lgan sonini aniqlash mumkin. Harf bilan belgilangan bu raqam berilgan vektor tizimining darajasi hisoblanadi. Har bir matritsani ustun vektorlari tizimi sifatida ko'rish mumkin bo'lganligi sababli, matritsaning darajasi u o'z ichiga olgan chiziqli mustaqil ustun vektorlarining maksimal soni sifatida aniqlanadi. Matritsaning darajasini aniqlash uchun qator vektorlaridan ham foydalaniladi. Ikkala usul ham bir xil matritsa uchun bir xil natijani beradi va eng kichigidan oshmasligi kerak yoki tartibli kvadrat matritsaning darajasi 0 dan 0 gacha. Agar barcha vektorlar nolga teng bo'lsa, bunday matritsaning darajasi nolga teng. Agar barcha vektorlar bir-biridan chiziqli mustaqil bo'lsa, u holda matritsaning darajasi. Agar siz yuqoridagi vektorlardan matritsa hosil qilsangiz, bu matritsaning darajasi 2 ga teng. Har ikki vektorni chiziqli kombinatsiya orqali uchinchiga qisqartirish mumkinligi sababli, daraja 3 dan kam.

Ammo ularning har qanday ikkita vektori chiziqli mustaqil ekanligiga ishonch hosil qilish mumkin, shuning uchun daraja

Kvadrat matritsa, agar uning ustun vektorlari yoki satr vektorlari chiziqli bog'liq bo'lsa, degenerativ deb ataladi. Bunday matritsaning determinanti nolga teng va yuqorida aytib o'tilganidek, uning teskari matritsasi mavjud emas. Bu topilmalar bir-biriga teng. Natijada, kvadrat matritsa, agar uning ustun vektorlari yoki satr vektorlari bir-biridan mustaqil bo'lsa, degeneratsiyalanmagan yoki yagona bo'lmagan deb ataladi. Bunday matritsaning determinanti nolga teng emas va uning teskari matritsasi mavjud (43-bet bilan solishtiring)

Matritsaning darajasi aniq geometrik talqinga ega. Agar matritsaning darajasi teng bo'lsa, u holda - o'lchovli fazo vektorlar bilan qoplangan deyiladi. Agar daraja bo'lsa, vektorlar hammasini o'z ichiga olgan o'lchovli pastki fazoda yotadi. Shunday qilib, matritsaning darajasi "barcha vektorlar joylashgan" fazoning minimal talab qilinadigan o'lchamiga to'g'ri keladi, - o'lchovli fazodagi - o'lchovli pastki fazo - o'lchovli giperplaniya deb ataladi. Matritsaning darajasi barcha vektorlar hali ham yotadigan giperplanning eng kichik o'lchamiga mos keladi.

Kvadrat bo‘lishi shart emas, ixtiyoriy, mxn A matritsasini ko‘rib chiqaylik.

Matritsaning darajasi.

Matritsaning darajasi tushunchasi matritsa satrlarining (ustunlarining) chiziqli bog'liqligi (mustaqilligi) tushunchasi bilan bog'liq. Keling, ushbu kontseptsiyani satrlar uchun ko'rib chiqaylik. Ustunlar uchun - bir xil.

A matritsasining cho‘kmalarini belgilaymiz:

e 1 = (a 11, a 12, ..., a 1n); e 2 = (a 21, a 22, ..., a 2n); ..., e m = (a m1, a m2, ..., a mn)

e k = e s, agar a kj = a sj, j = 1,2,…, n

Element bo‘yicha bajariladigan amallar sifatida matritsa satrlari bo‘yicha arifmetik amallar (qo‘shish, songa ko‘paytirish) kiritiladi: le k = (la k1, la k2,…, la kn);

e k + e s = [(a k1 + a s1), (a k2 + a s2),…, (a kn + a sn)].

E qatori chaqiriladi chiziqli birikma e 1, e 2, ..., e k satrlari, agar u ixtiyoriy haqiqiy sonlar bo'yicha ushbu chiziqlar ko'paytmalari yig'indisiga teng bo'lsa:

e = l 1 e 1 + l 2 e 2 +… + l k e k

e 1, e 2, ..., e m qatorlar deyiladi chiziqli bog'liq agar l 1, l 2,…, l m haqiqiy sonlar bo‘lsa, hammasi nolga teng bo‘lmasa, bu qatorlarning chiziqli birikmasi nol qatorga teng bo‘ladi: l 1 e 1 + l 2 e 2 +… + l m e m = 0 , qayerda 0 =(0,0,…,0) (1)

Agar chiziqli birikma nolga teng bo'lsa, agar barcha koeffitsientlar l i nolga teng bo'lsa (l 1 = l 2 =… = l m = 0), u holda e 1, e 2, ..., em qatorlari. deyiladi chiziqli mustaqil.

Teorema 1... e 1, e 2, ..., e m chiziqlar chiziqli bog'liq bo'lishi uchun bu chiziqlardan biri qolgan chiziqlarning chiziqli birikmasi bo'lishi zarur va etarli.

Isbot. Kerak... e 1, e 2,…, e m qatorlar chiziqli bog‘liq bo‘lsin. Aniqlik uchun in (1) l m ≠ 0, keyin

Bu. string e m - qolgan qatorlarning chiziqli birikmasi. Ch.t.d.

Adekvatlik... Satrlardan biri, masalan, e m, qolgan satrlarning chiziqli birikmasi bo'lsin. Keyin tenglik amal qiladigan raqamlar bor, ularni quyidagicha qayta yozish mumkin:

bu erda kamida 1 koeffitsient (-1) nolga teng emas. Bular. satrlar chiziqli bog'liqdir. Ch.t.d.

Ta'rif. K-tartibning kichiki mxn oʻlchamdagi A matritsaning elementlari A. (k≤min (m, n)) ning istalgan k satri va har qanday k ustuni kesishmasida yotgan k-tartibli determinant deb ataladi. ...

Misol., 1-tartibdagi voyaga etmaganlar: =, =;

2-tartib voyaga etmaganlar:, 3-tartib

3-tartibdagi matritsada 1-tartibdagi 9 ta minor, 2-tartibdagi 9 ta minor va 3-tartibdagi 1 ta minor (bu matritsaning determinanti) mavjud.

Ta'rif. A matritsasining darajasi bo'yicha bu matritsaning nolga teng bo'lmagan kichiklarining eng yuqori tartibidir. Belgilash - rg A yoki r (A).

Matritsaning darajali xususiyatlari.

1) A nxm matritsasining darajasi uning o'lchamlari kichikligidan oshmaydi, ya'ni,

r (A) ≤min (m, n).

2) matritsaning barcha elementlari 0 ga teng bo'lganda r (A) = 0, ya'ni. A = 0.

3) n --tartibli A kvadrat matritsa uchun r (A) = n, A degenerativ bo'lmaganda.

(Diagonal matritsaning darajasi uning diagonali nolga teng bo'lmagan elementlari soniga teng).

4) Agar matritsaning darajasi r bo'lsa, u holda matritsada kamida bitta r-tartibli minor mavjud bo'lib, u nolga teng emas va yuqori darajali barcha minorlar nolga teng.

Matritsaning darajalari uchun quyidagi munosabatlar amal qiladi:

2) r (A + B) ≤r (A) + r (B); 3) r (AB) ≤min (r (A), r (B));

3) r (A + B) ≥│r (A) -r (B) │; 4) r (A T A) = r (A);

5) r (AB) = r (A), agar B kvadrat degenerativ bo'lmagan matritsa bo'lsa.

6) r (AB) ≥r (A) + r (B) -n, bu yerda n – A matritsa ustunlari yoki B matritsa satrlari soni.

Ta'rif. r (A) tartibli nolga teng bo‘lmagan minor deyiladi asosiy kichik... (Matritsada bir nechta asosiy voyaga etmaganlar bo'lishi mumkin). Chorrahasida asosiy minor joylashgan qatorlar va ustunlar mos ravishda nomlanadi asosiy chiziqlar va asosiy ustunlar.

2-teorema (asosiy minor bo'yicha). Asosiy qatorlar (ustunlar) chiziqli mustaqildir. Har qanday satr (har qanday ustun) matritsasi A asosiy satrlarning (ustunlarning) chiziqli birikmasidir.

Isbot... (Stringlar uchun). Agar asosiy satrlar chiziqli bog'liq bo'lsa, u holda (1) teoremaga ko'ra, bu satrlardan biri boshqa asosiy satrlarning chiziqli birikmasi bo'lar edi, u holda asosiy minorning qiymatini o'zgartirmasdan, ushbu satrdan belgilangan chiziqli birikmani ayirish mumkin. va nol qatorni oling va bu tayanch minor noldan farqli ekanligiga zid keladi. Bu. tayanch chiziqlar chiziqli mustaqildir.

A matritsaning istalgan qatori asosiy qatorlarning chiziqli birikmasi ekanligini isbotlaylik. Chunki satrlarning (ustunlarning) o'zboshimchalik bilan o'zgarishi bilan determinant nolga tenglik xususiyatini saqlab qoladi, keyin umumiylikni yo'qotmasdan, asosiy minor matritsaning yuqori chap burchagida joylashgan deb taxmin qilishimiz mumkin.

A =, bular. birinchi r qatorda va birinchi r ustunda joylashgan. 1 £ j £ n, 1 £ i £ m bo‘lsin. (r+1)-tartibning determinanti ekanligini ko'rsatamiz

Agar j £ r yoki i £ r bo'lsa, bu aniqlovchi nolga teng, chunki u ikkita bir xil ustun yoki ikkita bir xil qatorga ega bo'ladi.

Agar j> r va i> r bo'lsa, bu aniqlovchi A matritsaning (r + 1) --tartibining minoridir. matritsaning darajasi r, ya'ni yuqori darajadagi har qanday minor 0 ga teng.

Uni oxirgi (qo'shilgan) ustunning elementlariga ko'ra kengaytirib, biz olamiz

a 1j A 1j + a 2j A 2j +… + a rj A rj + a ij A ij = 0, bu yerda oxirgi algebraik to‘ldiruvchi A ij asosiy minor M r bilan mos keladi va shuning uchun A ij = M r ≠ 0 bo‘ladi.

Oxirgi tenglikni A ij ga bo‘lib, a ij elementini chiziqli birikma shaklida ifodalashimiz mumkin:, bu yerda.

Biz i (i> r) qiymatini aniqlaymiz va har qanday j (j = 1,2, ..., n) uchun i-qatorning elementlari ei e 1 qatorlar elementlari orqali chiziqli ifodalanganligini olamiz, e 2, ..., er, ya'ni e. i-chi qator asosiy chiziqlarning chiziqli birikmasidir:. Ch.t.d.

Teorema 3. (aniqlovchining yo'qolishi uchun zarur va etarli shart). n-tartibli determinant D nolga teng bo'lishi uchun uning qatorlari (ustunlari) chiziqli bog'liq bo'lishi zarur va etarli.

Isbot (40-bet). Kerak... Agar n-darajali determinant D nolga teng bo'lsa, uning matritsasining asosiy minori r tartibli bo'ladi.

Shunday qilib, bitta chiziq boshqalarning chiziqli birikmasidir. Keyin, 1-teorema bo'yicha, determinantning qatorlari chiziqli bog'liqdir.

Adekvatlik... Agar D satrlari chiziqli bog'liq bo'lsa, u holda 1-teorema bo'yicha bir qator A i qolgan qatorlarning chiziqli birikmasidir. Belgilangan chiziqli birikmani A i chiziqdan D qiymatini o'zgartirmasdan ayirib, biz nol chiziqni olamiz. Shuning uchun determinantlarning xossalari bo'yicha D = 0. h.t.d.

Teorema 4. Elementar transformatsiyalar matritsaning darajasini o'zgartirmaydi.

Isbot... Determinantlarning xossalarini ko'rib chiqishda ko'rsatilgandek, kvadrat matritsalarni o'zgartirganda, ularning determinantlari yo o'zgarmaydi, yoki nolga teng bo'lmagan songa ko'paytiriladi yoki ishorani o'zgartiradi. Bunday holda, asl matritsaning nolga teng bo'lmagan kichiklarining eng yuqori tartibi saqlanib qoladi, ya'ni. matritsaning darajasi o'zgarmaydi. Ch.t.d.

Agar r (A) = r (B), u holda A va B - ekvivalenti: A ~ B.

Teorema 5. Elementar transformatsiyalar yordamida matritsani qisqartirish mumkin bosqichma-bosqich ko'rinish. Matritsa deyiladi qadam, agar u shaklga ega bo'lsa:

A =, bu yerda a ii ≠ 0, i = 1,2, ..., r; r≤k.

r≤k shartiga har doim transpozitsiya orqali erishish mumkin.

Teorema 6. Bosqichli matritsaning darajasi uning nolga teng bo'lmagan qatorlari soniga teng .

Bular. Bosqichli matritsaning darajasi r, chunki r tartibli nolga teng bo'lmagan minor mavjud:

Matritsaning satrlari va ustunlarini o'lchamlarning arifmetik vektorlari sifatida ko'rish mumkinligiga e'tibor bering. m va n, mos ravishda. Shunday qilib, o'lcham matritsasi to'plam sifatida talqin qilinishi mumkin m n-o'lchovli yoki n m-o’lchovli arifmetik vektorlar. Geometrik vektorlarga o'xshatib, matritsaning satr va ustunlarining chiziqli bog'liqligi va chiziqli mustaqilligi tushunchalarini kiritamiz.

4.8.1. Ta'rif. Chiziq
chaqirdi satrlarning chiziqli birikmasi koeffitsientlar bilan
agar tenglik ushbu qatorning barcha elementlari uchun to'g'ri bo'lsa:

,
.

4.8.2. Ta'rif.

Satrlar
deyiladi chiziqli bog'liq nol qatorga teng ularning notrivial chiziqli birikmasi bo'lsa, ya'ni. nolga teng barcha bunday raqamlar mavjud emas

,
.

4.8.3. Ta'rif.

Satrlar
deyiladi chiziqli mustaqil faqat ularning trivial chiziqli birikmasi nol qatorga teng bo'lsa, ya'ni.

,

4.8.4. Teorema. (Matritsa qatorlarining chiziqli bog'liqligi mezoni)

Qatorlar chiziqli bog'liq bo'lishi uchun ulardan kamida bittasi boshqalarning chiziqli birikmasi bo'lishi zarur va etarli.

Isbot:

Kerak. Chiziqlarga ruxsat bering
chiziqli bog'liq bo'lsa, unda ularning nol qatoriga teng bo'lmagan chiziqli birikmasi mavjud:

.

Umumiylikni yo'qotmasdan, chiziqli birikmaning birinchi koeffitsientini nolga teng deb hisoblaymiz (aks holda qatorlarni qayta raqamlash mumkin). Bu nisbatni bo'lish , olamiz

,

ya'ni birinchi qator qolganlarning chiziqli birikmasidir.

Adekvatlik. Masalan, qatorlardan biri bo'lsin. , boshqalarning chiziqli birikmasidir, demak

ya'ni satrlarning notrivial chiziqli birikmasi mavjud
null satrga teng:

chiziqlarni bildiradi
kerak bo'lganda chiziqli bog'liqdir.

Izoh.

Shunga o'xshash ta'riflar va bayonotlar matritsa ustunlari uchun shakllantirilishi mumkin.

§4.9. Matritsaning darajasi.

4.9.1. Ta'rif. Kichik buyurtma matritsalar hajmi
tartibning aniqlovchisi deyiladi uning bir qismining kesishmasida joylashgan elementlar bilan chiziqlar va ustunlar.

4.9.2. Ta'rif. Noldan farqli kichik buyurtma matritsalar hajmi
chaqirdi Asosiy kichik tartib matritsasining barcha kichiklari bo'lsa
nolga teng.

Izoh. Matritsada bir nechta asosiy kichiklar bo'lishi mumkin. Shubhasiz, ularning barchasi bir xil tartibda bo'ladi. Bu holat matritsa bo'lganda ham mumkin hajmi
kichik buyurtma nolga teng bo'lmagan va tartibning kichiklari
mavjud emas, ya'ni
.

4.9.3. Ta'rif. Asosiy minorni tashkil etuvchi qatorlar (ustunlar) deyiladi Asosiy qatorlar (ustunlar).

4.9.4. Ta'rif. Darajasi bo'yicha matritsaning asosiy minorining tartibi deyiladi. Matritsa darajasi belgilangan
yoki
.

Izoh.

E'tibor bering, determinantning satrlari va ustunlari tengligi tufayli matritsaning darajasi ko'chirilganda o'zgarmaydi.

4.9.5. Teorema. (Elementar o'zgarishlarda matritsa darajasining o'zgarmasligi)

Matritsaning darajasi uning elementar transformatsiyasida o'zgarmaydi.

Hech qanday dalil.

4.9.6. Teorema. (Asosiy minor haqida).

Asosiy qatorlar (ustunlar) chiziqli mustaqildir. Matritsaning har qanday satri (ustunlari) uning asosiy satrlarining (ustunlarining) chiziqli birikmasi sifatida ifodalanishi mumkin.

Isbot:

Keling, iplar uchun dalilni bajaramiz. Ustunlar uchun bayonotning isboti analogiya orqali amalga oshirilishi mumkin.

Matritsaning darajasi bo'lsin o'lchamlari
ga teng , a
- asosiy kichik. Umumiylikni yo'qotmasdan, asosiy minor yuqori chap burchakda joylashgan deb taxmin qiling (aks holda, elementar transformatsiyalar yordamida matritsani ushbu shaklga keltirishingiz mumkin):

.

Avval asosiy qatorlarning chiziqli mustaqilligini isbotlaylik. Biz isbotni qarama-qarshilik bilan bajaramiz. Aytaylik, asosiy chiziqlar chiziqli bog'liq. Keyin, 4.8.4-teoremaga muvofiq, satrlardan biri qolgan asosiy satrlarning chiziqli birikmasi sifatida ifodalanishi mumkin. Shuning uchun, agar biz ushbu satrdan ko'rsatilgan chiziqli birikmani ayirsak, biz nol qatorga ega bo'lamiz, ya'ni kichik
nolga teng, bu asosiy kichikning ta'rifiga zid keladi. Shunday qilib, biz qarama-qarshilikka erishdik, shuning uchun asos qatorlarining chiziqli mustaqilligi isbotlangan.

Keling, matritsaning istalgan qatorini asosiy qatorlarning chiziqli birikmasi sifatida tasvirlash mumkinligini isbotlaylik. Agar ko'rib chiqilayotgan qatorning raqami bo'lsa 1 dan r, keyin, aniqki, u qator uchun 1 ga teng koeffitsientli chiziqli birikma sifatida ifodalanishi mumkin. va qolgan chiziqlar uchun nol koeffitsientlar. Keling, agar chiziq raqamini ko'rsatamiz dan
oldin
, u asosiy chiziqlarning chiziqli birikmasi sifatida ifodalanishi mumkin. Matritsaning minorini ko'rib chiqing
asosiy minordan olingan
qatorni qo'shish va ixtiyoriy ustun
:

Keling, berilgan kichik ekanligini ko'rsatamiz
dan
oldin
va har qanday ustun raqami uchun 1 dan .

Haqiqatan ham, agar ustun raqami bo'lsa 1 dan r, keyin biz ikkita bir xil ustunli determinantga egamiz, bu aniq nolga teng. Agar ustun raqami bo'lsa dan r+1 gacha va qator raqami dan
oldin
, keyin
asosiy minordan yuqori tartibli asl matritsaning minoridir, demak u asosiy minorning taʼrifidan nolga teng. Shunday qilib, voyaga etmaganligi isbotlangan
har qanday qator raqami uchun nolga teng dan
oldin
va har qanday ustun raqami uchun 1 dan ... Uni oxirgi ustunga ko'ra kengaytirib, biz quyidagilarni olamiz:

Bu yerda
- mos keladigan algebraik to'ldiruvchilar. e'tibor bering, bu
chunki, shuning uchun
asosiy minor hisoblanadi. Demak, qatorning elementlari k ustun raqamiga bog'liq bo'lmagan koeffitsientlar bilan asosiy qatorlarning tegishli elementlarining chiziqli birikmasi sifatida ifodalanishi mumkin. :

Shunday qilib, biz matritsaning ixtiyoriy qatorini uning asosiy satrlarining chiziqli birikmasi sifatida tasvirlash mumkinligini isbotladik. Teorema isbotlangan.

13-ma'ruza

4.9.7. Teorema. (Buzilmagan kvadrat matritsa darajasida)

Kvadrat matritsa degenerativ bo'lmasligi uchun matritsaning darajasi ushbu matritsaning o'lchamiga teng bo'lishi zarur va etarli.

Isbot:

Kerak. Kvadrat matritsa bo'lsin hajmi n degenerativ emas
, shuning uchun matritsaning determinanti asosiy minordir, ya'ni.

Adekvatlik. Mayli
u holda asosiy minorning tartibi matritsaning o'lchamiga teng bo'ladi, shuning uchun asosiy minor matritsaning determinantidir. , ya'ni.
asosiy voyaga etmaganning ta'rifi bilan.

Natija.

Kvadrat matritsa buzilmagan bo'lishi uchun uning qatorlari chiziqli mustaqil bo'lishi zarur va etarli.

Isbot:

Kerak. Kvadrat matritsa degenerativ bo'lmaganligi sababli, uning darajasi matritsaning o'lchamiga teng
ya'ni matritsaning determinanti asosiy minordir. Binobarin, 4.9.6-teoremaga ko'ra, asosiy minor bo'yicha matritsaning qatorlari chiziqli mustaqildir.

Adekvatlik. Matritsaning barcha qatorlari chiziqli mustaqil bo'lganligi sababli, uning darajasi matritsaning o'lchamidan kam emas va shuning uchun,
shuning uchun oldingi 4.9.7 teorema bo'yicha matritsa degenerativ emas.

4.9.8. Matritsaning darajasini topish uchun voyaga etmaganlarni chegaralash usuli.

E'tibor bering, bu usul allaqachon asosiy minor teoremasining isbotida qisman aniq tasvirlangan.

4.9.8.1. Ta'rif. Kichik
chaqirdi chegaradosh voyaga etmaganga nisbatan
agar u voyaga etmagandan olingan bo'lsa
asl matritsaning bitta yangi satri va bitta yangi ustunini qo'shish.

4.9.8.2. Chegaraviy kichiklar usuli bilan matritsaning darajasini topish tartibi.

Matritsaning noldan boshqa istalgan joriy minorini toping.

Biz u bilan chegaradosh barcha voyaga etmaganlarni hisoblaymiz.

Agar ularning barchasi nolga teng bo'lsa, u holda joriy minor asosiy hisoblanadi va matritsaning darajasi joriy minorning tartibiga teng.

Agar chegaradosh voyaga etmaganlar orasida kamida bitta nolga teng bo'lmasa, u joriy hisoblanadi va protsedura davom etadi.

Keling, voyaga etmaganlarni chegaralash usulidan foydalanib, matritsaning darajasini topamiz

.

Hozirgi nolga teng bo'lmagan ikkinchi darajali minorni ko'rsatish oson, masalan,

.

Biz u bilan chegaradosh voyaga etmaganlarni hisoblaymiz:

Shuning uchun, uchinchi tartibdagi barcha chegaradosh voyaga etmaganlar nolga teng bo'lganligi sababli, u holda kichik
asosiy, ya'ni

Izoh. Ko'rib chiqilgan misoldan ko'rinib turibdiki, usul juda mashaqqatli. Shuning uchun amalda elementar transformatsiyalar usuli ko'proq qo'llaniladi, ular quyida muhokama qilinadi.

4.9.9. Elementar o'zgartirishlar usulida matritsaning darajasini topish.

4.9.5-teoremaga asoslanib, elementar transformatsiyalarda matritsaning darajasi o'zgarmasligini (ya'ni ekvivalent matritsalarning darajalari teng) da'vo qilish mumkin. Shunday qilib, matritsaning darajasi elementar o'zgartirishlar orqali dastlabki matritsadan olingan pog'onali matritsaning darajasiga teng. Bosqichli matritsaning darajasi uning nolga teng bo'lmagan qatorlar soniga teng.

Biz matritsaning darajasini aniqlaymiz

elementar transformatsiyalar usuli bilan.

Keling, matritsani beramiz bosqichli ko'rinishga:

Olingan pog'onali matritsaning nolga teng bo'lmagan qatorlari soni uchtadir, shuning uchun

4.9.10. Chiziqli fazodagi vektorlar sistemasining darajasi.

Vektorlar tizimini ko'rib chiqing
ba'zi chiziqli bo'shliq ... Agar u chiziqli bog'liq bo'lsa, unda chiziqli mustaqil quyi tizimni ajratish mumkin.

4.9.10.1. Ta'rif. Vektorlar sistemasining darajasi
chiziqli fazo - bu tizimning chiziqli mustaqil vektorlarining maksimal soni. Vektorlar sistemasining darajasi
sifatida belgilanadi
.

Izoh. Agar vektorlar tizimi chiziqli mustaqil bo'lsa, uning darajasi tizimdagi vektorlar soniga teng bo'ladi.

Chiziqli fazodagi vektorlar sistemasining darajalari va matritsaning ranklari o'rtasidagi bog'liqlikni ko'rsatuvchi teorema tuzamiz.

4.9.10.2. Teorema. (Chiziqli fazodagi vektorlar sistemasi darajasida)

Chiziqli fazodagi vektorlar tizimining darajasi ustunlari yoki satrlari chiziqli fazoning qaysidir asosidagi vektorlarning koordinatalari bo'lgan matritsaning darajasiga teng.

Hech qanday dalil.

Natija.

Chiziqli fazodagi vektorlar sistemasi chiziqli mustaqil bo'lishi uchun ma'lum asosda vektorlarning koordinatalari bo'lgan matritsa, ustunlari yoki satrlari darajasi vektorlar soniga teng bo'lishi zarur va etarlidir. tizimi.

Buning isboti aniq.

4.9.10.3. Teorema (chiziqli konvertning o'lchami haqida).

Vektorlarning chiziqli korpusining o'lchami
chiziqli fazo bu vektorlar tizimining darajasiga teng:

Hech qanday dalil.