A kvantálási zaj szórása kerekítéskor. Kvantálási zaj

9. számú előadás

"Kvantálási effektusok és zaj a digitális szűrőkben"

A digitális jelfeldolgozó algoritmusokat megvalósító valós eszközökben figyelembe kell venni a bemeneti jelek kvantálásából adódó hatásokat és az összes regiszter véges bitszélességét. A jelfeldolgozás hibaforrásai az aritmetikai műveletek eredményeinek kerekítése (vagy csonkítása), a bemeneti analóg jelek analóg-digitális átalakításával kapcsolatos kvantálási zaj, a digitális szűrők jellemzőinek megvalósításának pontatlansága a kerekítésük miatt. együtthatók.

Az adatábrázolás véges bitmélységéhez kapcsolódó hatások elemzéséhez szükséges néhány feltételezés a digitális szűrőben fellépő különböző zajforrások statisztikai függetlenségére vonatkozóan. A statisztikai modellt a következő feltevések alapján fogadjuk el:

1. Bármely két, ugyanabból a forrásból származó zajminta nem korrelál egymással.

2. Bármely két zajforrás nem korrelált zajt kelt.

3. Az egyes források zaja nem korrelál a bemeneti jellel.

Ezek a feltételezések nagyban leegyszerűsítik a kvantálási zajhoz kapcsolódó folyamatok elemzését digitális szűrőkben, mivel statisztikailag függetlenítik egymástól az egyes zajforrásokat, és lehetővé teszik az egyes zajforrások külön-külön történő elemzését. Az elfogadott feltételezések azonban nem mindig igazak. Sok olyan példa van, amelyre ezek a feltételezések nem igazak. Például, ha a bemeneti jel állandó vagy szinuszos, akkor a mintavételi gyakoriság többszöröse. Az első esetben a kvantálási hiba összes mintája azonos lesz, a másodikban pedig periodikus sorozatot alkotnak. Így mindkét esetben a felhozott feltételezések helytelenek.

A kvantálási hatások végső soron a digitális szűrők kimeneti jeleinek hibáihoz, és bizonyos esetekben instabil működési módokhoz vezetnek. A feltételezett feltételezések alapján a digitális szűrő kimeneti hibája az egyes független forrásokból eredő hibák szuperpozíciójaként kerül kiszámításra.

Ha impulzusválaszú digitális szűrő bemenete h (t ) érkezik a jel x (t ), akkor a szűrő kimeneti jelét a kifejezés határozza meg

(9.1).

A bemeneti jel kvantálása kvantálási zajt eredményez e in (n ), amely a bemeneti jelre kerül, és hatással van a szűrőre. A szűrő linearitása miatt a szűrő válasza kiszámítható e out (n) a bemeneti zajhoz

(9.2).

Ez azt feltételezi, hogy minden számítástechnikai eszköz és szűrőmemória végtelen bitmélységű.

Hasonlóképpen a szűrő blokkdiagramjának bármely pontján megtalálhatja a jelhibát, amelyet a bemeneti jel kvantálási zaja okoz. e az (n).

(9.3),

ahol h i (n ) A szűrő egy részének impulzusválasza a bemenetétől a hiba becslésének pontjáig.

Ha a szűrő bemeneti jelét bitszélességgel kvantáljuk kuka , akkor a bemeneti jel kvantálási hibája kerekítés használatakor az értékre korlátozódik

(9.4),

és a szűrő kimeneti jelének a bemeneti jel kvantálása által okozott hibája becsülhető meg

(9.5).

Így a bemeneti jel kvantálása által okozott hiba felső korlátja a kvantálási bittől és a szűrőimpulzus-válasz mintaegységeinek összegétől függ.

A bemeneti kerekítési zaj eltérése

(9.6),

ezért a kvantálási zaj szórása a szűrő kimenetén a (9.3) szerint az

(9.7).

Parseval egyenlősége szerint

(9.8)

formába írható (9.7).

(9.9),

ahol - a digitális szűrő amplitúdó-frekvencia karakterisztikája.

Így a megengedett érték szerint s ki 2 és a szűrő ismert frekvencia- vagy impulzusválasza, meghatározhatja a bemeneti jel hibájának szórásának megengedett értékét s a 2-ben , ami viszont meghatározza a szükséges bitmélységet kuka kvantálja a bemeneti jelet.

Jel-zaj arány a szűrőkimeneten, amelyet a jelteljesítmény és a zajteljesítmény arányaként definiálunk logaritmikus skálán, a következőképpen határozzuk meg:

(9.10),

ahol s 2 A hasznos bemeneti jel varianciája, és kuka - a bemeneti jel bitkvantálása. Ezért a kvantálási bitmélység egy bittel történő növelésével a jel-zaj arány körülbelül 6 dB-lel nő.

Példaként vegyünk egy elsőrendű digitális szűrőt, amelyet az egyenlet ír le

(9.11).

Szerkezeti diagramja a 9.1. ábrán látható.

Legyen szórása a bemeneti jel kvantálási zajának s a 2-ben ... Egy ilyen szűrő impulzusválaszának formája van

(9.12).

A (9.7) szerint egy ilyen szűrő kimeneti jelének zajának szórása a bemeneti jel kvantálása miatt

(9.13).

Ahhoz, hogy a szűrő stabil legyen, a feltételnek teljesülnie kellés ezért, azaz a kimeneti zajteljesítmény nagyobb, mint a bemeneti zajteljesítmény. Minél közelebbegyhez, annál nagyobb a szűrő bemeneti zajának nyeresége.

A Parseval-tétel segítségével meg lehet határozni a szűrő kimeneti zajának szórását a frekvenciamenetből. Adjunk meg egy szűrőt, melynek frekvenciamenetét a 9.2. ábra mutatja.

Ekkor a (9.9) szerint a bemeneti jel kvantálása által okozott szűrő kimeneti zajának szórása egyenlő lesz

(9.14).

A bemeneti jel kvantálásának optimális bitmélységének megválasztását a bemeneti jelben rejlő információ-megjelenítés megkívánt pontossága, a benne lévő előbemeneti zaj jelenléte, valamint a jel feldolgozására használt eljárás határozza meg.

A jelben lévő zaj határozza meg a felsőta kvantálási szintek számának határa.Nyilvánvalóan nincs értelme nagy számú bitet használni, ha a jel sok zajt tartalmaz, mivel ebben az esetben a zaj kvantálása történik nagy pontossággal, és nem a jel. Elegendő annyi kvantálási szintet kiválasztani, hogy a kvantálási zaj hozzájárulása kicsi legyen a jelben lévő zajhoz képest.

Másrészt a kvantálási szintek minimális megengedett számának biztosítania kell a kimenő jel kívánt minőségét. A bemeneti jel minőségének romlását okozhatják a jel előfeldolgozási szakaszának tökéletlenségei (az előskálázási erősítők és analóg szűrők zaja és korlátozott frekvenciakarakterisztikája).

Eddig azt feltételezték, hogy a szűrődifferencia egyenlet együtthatói végtelen pontossággal vannak megadva. A szűrő fizikai megvalósítása során ezeket az együtthatókat elektronikus memóriaelemekben (tárolócellákban) tárolják, amelyek kapacitása korlátozott. Ez azt jelenti, hogy a szűrő együtthatók kvantálásra kerülnek, valamint a bemeneti jel.

A szűrő együtthatók kvantálása ugyanazoknak a törvényeknek engedelmeskedik, mint a bemeneti jel kvantálása. A szűrőegyütthatók kvantálása következtében a szűrőátviteli függvény pólusainak és nulláinak értékei kisebb-nagyobb mértékben megváltoznak, ami viszont a szűrő frekvenciakarakterisztikájának megfelelő változásához vezet. Így a szűrőtényezők megdöntése hiba megjelenéséhez vezet

(9.15),

ahol A (w ) - a szűrő frekvenciaválasza nem kvantált együtthatókkal, A d (w ) - a szűrő frekvenciaválasza kvantált együtthatókkal. Az érték nem haladhatja meg a megengedett értéket, amelyet általában abból a feltételből határoznak meg, hogy a valós frekvenciamenet eltérései az ideálistól az elfogadható határokon belül vannak.

A különböző szűrőszerkezetek eltérő érzékenységgel bírnak az egyes együtthatók változásaira. Ezért lehetetlen univerzális módszert javasolni a szükséges együttható kvantálás bitszámának meghatározására minden típusú szűrő esetében. A kvantált szűrőegyütthatókban szükséges bitek számát úgy határozhatjuk meg, hogy az együtthatókódok bitjeinek szekvenciálisan növekvő számát számítjuk ki a feltételig .

Más módszerek is lehetségesek és gyakorlatilag alkalmazhatók, különösen olyan módszerek, amelyek egy adott típusú szűrő jellemzőinek az együtthatói változásaira való érzékenységének előzetes tanulmányozásán alapulnak.

Példaként vegyünk egy bikvadratikus blokkot, amelyet az átviteli függvény ír le

(9.16),

melynek szerkezeti diagramja a 9.3.

Ha az átviteli függvény (9.16) pólusait -vel jelöljük, akkor ez könnyen belátható

(9.17).

Aztán apró változtatásokkal egy 1 és egy 2 a pólusok koordinátáit az értékek megváltoztatják

(9.18),

hasonlóképpen (9.19).

Ezt láthatod D r r közel egy, míg D q értékeken élesen változik q közel nullához.

A szűrők frekvenciakarakterisztikájának érzékenysége az együtthatók értékének változásaira erősen függ a szűrő megvalósításához választott struktúrától.

A digitális szűrőalgoritmus megvalósítása során az összeadás és az együtthatókkal való szorzás műveleteit hajtjuk végre. Fixpontos számok összeadása, ha az összeadó bitszélessége nem kisebb, mint a kifejezések megjelenítésének bitszélessége, nem vezet kerekítési hibához az összeg megjelenítésében.

A szorzási művelet kerekítési hibákhoz kapcsolódik. Két fixpontos szám szorzata -val b 1 és b 2 számjegyek, illetve legfeljebb b 1 + b 2 kisülések. Szekvenciális szorzási műveletek végrehajtásakor korlátozni kell a szorzatok bitszélességét. Ellenkező esetben a későbbi munkák bitmélysége korlátlanul megnő. Ezért a művek tárolására a tárolócellákat általában legfeljebb legfeljebb kapacitással osztják ki b 1 + b 2 ... Így a szorzás eredménye kerekítés alá esik. A szorzatkerekítés eredményeként a szűrőalgoritmus nem valósul meg pontosan, és a kimeneti jel hibásan kerül kiszámításra.

A véges számjegyű szorzó modelljét egy ideális (korlátlan számú számjegyű) szorzó és egy összeadó soros kapcsolásaként ábrázoljuk, amelynek bemenetére a szorzat pontos értékével együtt kvantálási zaj belép. Az összeadó kimenetén a szorzat kvantált értéke -val b mul kisülések (9.4. ábra).

Egy termék kerekítési hibája a felső korlátja alapján becsülhető meg

(9.20),

ahol Q mul - a munka kvantálásának lépése. Ez a hiba diszkrét stacionárius véletlenszerű folyamatnak tekinthető, egyenletes valószínűségeloszlási sűrűséggel, nulla átlaggal és szórással egyenlő

(9.21).

Ha egy ilyen lineáris modellt alkalmazunk a szűrő blokkdiagram minden szorzási csomópontjára, a szűrő kimenetének hibája kiszámítható az összes lekerekítési zajforrásból eredő hibák szuperpozíciójaként. Ehhez csak az impulzusjellemzőket kell meghatározni g i (n ) a szűrőszerkezet egyes részeitén zajforrás (azaz kimenetén szorzó) a szűrő kimenetére, és kiszámítja a szűrő kimeneti zajának összetevőjétén -m zajforrás as

(9.22).

Aztán a kerekítési zaj a kimeneten az összes miatt L a zajforrásokat úgy lehet kiszámítani

(9.23).

Így a szűrő kimeneti zaja miattén -m kerekítési forrás nem haladja meg az értéket

(9.24).

Ezután az összes által okozott kimeneti zaj maximális értéke L kerekítési források (annak ellenére, hogy az összes szorzó bitszélessége azonos) egyenlő

(9.25).

A (9.7) alapján meg tudjuk becsülni az összes forrásból származó lekerekítési zaj szórását

(9.26).

A szűrő kimeneti zajszintje a termékek kvantálásából adódóan erősen függ a szűrő megvalósításához választott struktúra jellemzőitől. Ennek az az oka, hogy a szűrőszakasz impulzusválasza egy adott szorzó kimenetétől a szűrő kimenetéig az alkalmazott szerkezettől függ. A szűrőszerkezet kiválasztásakor figyelembe kell venni a termékkvantálási hibák és az együttható kvantálási hibák hatását is.

A termékek összes kvantálási zajforrása eltérő módon járul hozzá a keletkező kimeneti zajhoz.

Példaként tekintsük a termékek kimeneti kvantálási zajának becslését egy impulzusválaszú bikvadratikus blokkban h (n ). A vizsgált szerkezet zajmodelljét a 9.5. ábra mutatja.

A bemutatott modellből látható, hogy a szűrőszerkezetnek öt forrása van a termékkvantálási zajnak. Forrásai e mul .4 és e mul .5 átmennek ugyanazon az áramkörön, mint a bemeneti jel. Ez azt jelenti, hogy az impulzusválaszokat g 4 (n) és g 5 (n ) egybeesik a szűrő teljes impulzusválaszával h (n). Források e mul .1, e mul .2, e mul .3 közvetlenül adjon hozzá egy hibát a szűrő kimenetén, aminek következtében a szűrő nem tudja felerősíteni őket. Impulzusjellemzőik azonosak d (n ). A (9.7) és (9.26) ponttal összhangban az egyes zajforrások hozzájárulása a következőképpen becsülhető

(9.27).

A teljes kvantálási zaj szórása a szűrő kimenetén a (9.26) szerint egyenlő lesz

(9.28).

A bemeneti jel kvantálása és a szorzatok kvantálása által okozott teljes kvantálási hibát a megfelelő hibák becsléseinek összege határozza meg.

Fixpontos számok összeadásakor nem fordul elő kerekítési hiba (kivéve, ha az összeadó kapacitása nem kisebb, mint az összeadások szóhossza). Rögzített bitmélységű számok összegzésekor azonban túlcsordulás léphet fel, ha az eredmény nem fér bele az összeadások bitszélességének megfelelő számjegyekbe. Túlcsordulás esetén a szűrő működési algoritmusának megsértésének elkerülése érdekében az összeget korlátozni kell, figyelembe véve az előjelet a maximális érték szintjén, amely az eredmény meghatározott számú számjegyébe illeszkedik. A szűrő szoftveres megvalósításában ez a működő algoritmus megfelelő elágazásával valósul meg, a hardveres megvalósításban pedig speciális eszközök beépítése szükséges a túlcsordulás elemzésére és az összeg korlátozására, figyelembe véve az előjelet, a a szűrőkört. Azonban még ezeknek az eszközöknek a megvalósítása sem oldja meg a túlcsordulásokkal kapcsolatos összes problémát, mivel túlcsordulás esetén a szűrő lényegében nemlineáris eszközzé válik, az ebből eredő összes következménnyel együtt. Ezért a szűrő normál működéséhez speciális intézkedéseket kell végrehajtani, hogy elkerüljük a túlcsordulási helyzetet.

A túlcsordulás megelőzésének egyik eszköze a skálázás bevezetése, amely az összeadók összes bemenetén az összegzők bináris kódjainak jobbra tolására redukálódik (ami osztásnak felel meg). Ha a kezdeti tagokat 1,0 szinten normalizáljuk, akkor két szám összeadásakor a túlcsordulás lehetőségének kiküszöbölése érdekében mindegyik tagot egy bittel jobbra kell tolni, ami egyenértékű az egyes tagok 2-vel való osztásával. , a modulusban szereplő tagok mindegyike nem haladja meg a 0,5-öt, és , ami azt jelenti, hogy összegük nem haladja meg az 1,0-t. Ha az összeadónak kettőnél több bemenete van, akkor a kifejezéseket több számjeggyel kell eltolni. Ezt a módszert hívják automatikus méretezés.

Az ilyen skálázás eredményeként léptékezési hiba lép fel, amely abból adódik, hogy az eltolt tagok legkisebb jelentőségű bitje (vagy bitjei, amelyek eltolása nagyobb, mint egy bit) elvész, és az ebből eredő hiba az ábrázolásukban megnő. Tehát, ha a kifejezések egy bittel el vannak tolva, a skálázási hiba maximális értéke a következő

(9.29),

ahol b - a számjegyek száma a kifejezés ábrázolásában. Ha az eltolandó kifejezés egy közvetlen kódolású előjeles szám, akkor ennek a hibának a lehetséges értékei 2 - b, -2 - b, 0. Ha vesszük

(9.30),

akkor ez a hiba véletlenszerű zajként ábrázolható 0-val egyenlő átlagértékkel és szórással

(9.31).

Ha az összegző egy kettős komplemens szám, akkor a skálázási hiba -2 - értékű lehet. b vagy 0 azonos valószínűséggel 0,5. Ebben az esetben a skálázási zaj átlagos értéke -2 - b / 2 és variancia

(9.32).

Ily módon a skálázási hibák a kvantálási hibákhoz hasonlóan számolhatók el a szűrőmodellben.

A túlcsordulás elkerülésének másik módja a szűrő vagy alkotórészeinek bemeneti jeleinek skálázása. Ha a szűrő vagy annak valamely részének impulzusválasza az h i (n ), majd a szűrő (vagy annak egy részének) kimenőjele y i (n ) korlátozza az érték

(9.33),

ahol a szűrő bemeneti jelének felső határa. Ha, akkor a túlcsordulás hiányának szükséges feltétele az

(9.34).

Ha a szűrő együtthatók meg vannak adva (azaz megadva h i (n )), majd, hogy ne legyen túlcsordulás, pl. hogy egyetlen összeadó kimeneti jele ne haladja meg az egyet, a bemeneti jel és a szorzók kimeneti jeleinek nagyságát megfelelően korlátozni kell. Ebből a célból olyan skálázást vezetnek be, hogy a jelek

(9.35),

ahol g i - léptékező tényezők.

A skálázási szorzók a szűrő bemeneteinél vagy a szorzókimeneteknél találhatók. Ha, akkor a túlcsordulás hiányának elégséges feltétele a (9.35) szerint a skálázási együtthatók megválasztása a feltétel alapján

(9.36).

Együtthatók g i az automatikus skálázáshoz hasonlóan általában kettő hatványával egyenlők, és a skálázási szorzást eltolásokra redukáljuk. Ebben az esetben az automatikus skálázáshoz hasonlóan léptékezési zaj lép fel, amely csökkenti a jel-zaj arányt a szűrő kimenetén.

A szűrőn áthaladó jelek amplitúdóinak jelentős csökkenésével a szűrő kimenetén csökken a jel/zaj arány. A skálázási tényezők (9.36) képlet szerinti kiszámítása gyakran túlbecsült eredményekhez, következésképpen a szűrő hatékonyságának csökkenéséhez vezet. Ezenkívül bonyolult szűrőszerkezetek esetén a szűrőimpulzusválasz végtelen számú mintája összegének kiszámítása nehézkes lehet. Ezért a léptéktényezők kiszámítása gyakran más technikával történik, amely a bemeneti jel spektrumának és a szűrő frekvencia tulajdonságainak elemzésén alapul.

Ha a szűrőszerkezet tartalmaz m összeadók, a kimeneti jel az i-edik összeadó vi (n ) a következőképpen ábrázolható

(9.37),

ahol x (n ) A szűrő bemeneti jele, h i (n ) - a szűrőrész impulzusválasza a bemenettől a kimenetig i -edik összeadó.

Z -jelátalakítás v i (n ) így írható

(9.38),

ahol H i (z ) A szűrőrész átviteli függvénye a bemenetről a kimenetre i -edik összeadó.

Jel frekvencia válasz v i (n ) (stabil szűrőhöz) a (9.38) kifejezés változóinak megváltoztatásával érhető el.

(9.40).

Ekkor magának az összeadónak a kimenőjele az v i (n ) az inverz Fourier-transzformációként definiálható V i (e j w T)

(9.41).

Feltéve, hogy a bemeneti jel spektrumának modulusa x (n C , akkor meg tudja becsülni az összeadó kimeneti jelének modulusának maximális értékét

(9.42).

Ha a szűrő bemenet x (n ) egy tényezővel előre skálázva van l i , akkor az utolsó kifejezés alakot ölt

(9.43).

Az összeadó kimenetén a túlcsordulás elkerülése érdekében, pl. a feltétel teljesítéséhez elegendő a normalizáló tényező értékét kiválasztanién ilyen vagyok

(9.44).

Ha azt a feltételezést tesszük, hogy a frekvenciamenet modulusa H i (e j w T ) bizonyos értékre korlátozódik D , akkor az összeadó kimeneti jelének modulusának maximális értékét más módon is megbecsülheti, mégpedig

(9.45).

Ebben az esetben a normalizáló tényező l i az összeadó kimenetén a túlcsordulás kiküszöbölésére úgy választható, hogy

(9.46).

Végül a (9.41) kifejezésre alkalmazva a Cauchy-Bunyakovsky egyenlőtlenséget ( ) a következő egyenlőtlenséget kaphatjuk

(9.47).

Ha feltételezzük, hogy a bemeneti jel spektrumának energiája (a (9.47) egyenlőtlenség második gyökkifejezése) valamilyen értékre korlátozódik E , akkor a normalizáló tényező l i a következő kifejezés alapján választható ki

(9.48).

A skálázási tényező kiválasztásának mindhárom lehetősége a szűrő bemeneti jelének spektrális jellemzőire vonatkozó megbízható információk rendelkezésre állásán alapul. Ha ez az információ nem teljesen megbízható, akkor az összeadó kimenetén a túlcsordulás valószínűsége nem nulla.

A szűrőblokk diagramban szereplő összes összeadó kimenetén a túlcsordulás kizárásához ki kell értékelni az együtthatókat l i mindegyik összeadóhoz és válassza ki a normalizáló tényező végső értékét a szűrő bemenetén as

(9.49).

Mint az automatikus skálázás esetében, az együtthatók l általában 2 hatványával egyenlők, ami a skálázási szorzás műveletét a bemeneti jel kódjának megfelelő számjegyekkel jobbra történő eltolásává változtatja.

A skálázási szorzó, mint bármely más szorzó a szűrőszerkezetben, kvantálási hibazaj forrása, amelynek a kimeneti jelre gyakorolt hatása más szorzók zajához hasonlóan figyelembe vehető.

Nyilvánvaló, hogy azokban az esetekben, amikor a szűrő szerkezeti sémájában egy adott összeadó kettőnél több tagot ad össze, még a végösszeg túlcsordulása hiányában is előfordulhat közbenső részösszegekben. Ezt a tényt az előző indoklás nem vette figyelembe. Ha azonban a szűrő bemeneti és közbenső digitális jelei komplementkódban jelennek meg, akkor az összes fenti normalizálási módszer érvényben marad, mivel komplement kódban számok összegzésekor a végeredmény helyes marad (ha nincs túlcsordulás it) akár részösszegű túlcsordulás esetén is.

Az előző elemzés azon a feltételezésen alapult, hogy a zajjelek statisztikailag függetlenek a mintától a mintáig és a forrástól a forrásig. Ez akkor igaz, ha a bemeneti jel két szomszédos mintája közötti különbség sokkal nagyobb, mint a kvantálási lépés. Nyilvánvaló, hogy sok esetben (különösen, ha a bemeneti jel állandó vagy nullával egyenlő), ez a feltevés nem érvényes. Ilyen körülmények között a kvantálási hibák erősen korrelálhatnak. Ez a szűrő meghibásodásához vezethet, aminek következtében a szűrő instabillá válik, és állandó periodikus rezgések keletkeznek a kimenetén. Ezt a jelenséget az ún holtzóna hatás, és a kimeneten a periodikus rezgéseket hívjuk a határciklus ingadozásai. Ennek a nemlineáris hatásnak az általános elemzése meglehetősen bonyolult. Ezért ennek a jelenségnek a vizsgálatát a legegyszerűbb digitális szűrők esetében fogjuk elvégezni.

Tekintsünk egy elsőrendű szűrőt, amelyet a differenciaegyenlet ír le

(9.50).

Egy ilyen szűrő átviteli funkciója a következő formában van

(9.51).

A szűrő blokkvázlata a 9.6. ábrán látható.

Az ilyen szűrő impulzusválasza az

(9.52).

Ha az együttható egy 1 1 vagy –1, akkor a szűrő instabillá válik és impulzusválasza van

(9.53).

A 9.1. táblázat mutatja az impulzusválasz minták pontos értékeit (9.52). b 0 = 10, a 1 = 0,9.

	h (n)	H Q (n)



	7.29
	6.561
	5.9049
	5.31441

	2.65614*10 -4

Most tegyük fel, hogy a szűrőnek van egy fixpontos tizedes szorzója, amelyben minden termék szerepel a 1 * y (n -1) a feltételnek megfelelően a legközelebbi egész számra kerekítve

(9.54).

A 9.1. táblázat harmadik oszlopa egy ilyen szűrő impulzusválaszának mintáit mutatja. Amint látható, amikor a szűrő válasza állandóvá válik, és a kvantálás instabillá teszi a szűrőt.

Ha feltételezzük, hogy a (9.50) differenciaegyenlet instabil szűrőre érvényes marad, akkor az effektív érték... Ha, akkor a szűrő válasza bemeneti jel hiányában addig csökken, amíg a kimeneti jel el nem éri a zónát [- k, k ] hívott Holt zóna... Ha ez megtörténik, a szűrőmód instabillá válik. Bármilyen ok, ami miatt a modul túllépi a kimenetet k , a stabilitás helyreállításához vezet. Bemeneti jel hiányában azonban a válasz ismét a holt zónának megfelelő értékre csökken.

Így a szűrő határciklus üzemmódban lesz, és a kimeneti jel amplitúdója egyenlő k ... Mivel az effektív érték az 1 egyenlő 1-gyel, ha 1> 0, vagy –1-gyel 1 esetén <0, то частота такого предельного цикла равна 0 или w s / 2.

(9.60).

Ezzel a kifejezéssel kiválasztható a számítási eszköz minimális bitszáma abból a feltételből, hogy a határciklus rezgési amplitúdóját egy adott szinten korlátozzuk.

Elemezzük a holt zóna hatását egy másodrendű szűrőre, amit a differenciaegyenlet ír le egyenlő lesz 1. Ebben az esetben

(9.66).

Ezért, mint korábban, az instabil szűrőműködés feltétele a következőképpen definiálható

(9.67).

Ha k Egy egész szám, akkor a mennyiségek a tartományok közül a 2

(9.68)

holt zónák [-1,1], [-2,2], ..., [- k, k ], ill.

Ha a szűrő bináris szorzót használ, az eredmény kvantálási lépése egyenlő q , akkor a határciklus oszcillációinak megjelenésének feltétele a forma

Mayorov V.P.
Semin M.S.

Ennek a cikknek az a célja, hogy bemutassa, hogyan néznek ki a képek a különböző jel-zaj arányok mellett. Ez az arány kulcsfontosságú a képminőség és a kamera érzékenységének értékeléséhez.

A kvantumzaj úgy ahogy van

Az alábbiakban példák mutatják be, hogyan néznek ki a képek különböző fényviszonyok között. Egy objektum fényerejét a CCD cellában a fény hatására létrejövő elektronok számában fejezzük ki. A képminőséget a kép világos részén mért jel-zaj arány (S/N) határozza meg.

Televíziós bemeneti rendszerként SONY ICX085AL CCD mátrixon alapuló VS-CTT-085-60 rendszert használtak. A számítások során 25 elektron leolvasási zajértékét vettük fel (az olvasási zajt lásd alább).

Az eredeti kép a TV teszttáblázatának középpontja. A jel-zaj arány körülbelül 80. A kép mérete 256 * 256 pixel.

1. ábra Eredeti kép

A bal oldali képek a mátrix olvasási zaját (25 elektron) figyelembe vevő képek, a jobb oldaliak azonos megvilágítású képek, de olvasási zaj mint olyan hiányában. Mondhatjuk, hogy a jobb oldali képoszlop ideális eset, amihez végtelenül sokáig lehet közelíteni, de elvileg nem lehet felülmúlni, mert akkor minden a "kvantumzajokon" nyugszik.

Jelerősség	Zajos képek 25 elektron olvasása	Képek nélkül olvasási zaj
Jel 25 elektron	S/N = 1
Jel 52 elektron	S/N = 2
Jel 108 elektron	S/N = 4
Jel 234 elektron	S/N = 8
Jel 547 elektron	S/N = 16
Jel 1400 elektron	S/N = 32

Próbáljuk meg elmagyarázni mindezt.

A CCD-mátrixból nyert kép zaja 2 fő komponensre egyszerűsíthető (valójában ezekből az összetevőkből több is van, de a többi ebben az esetben elhanyagolható):

mátrix olvasási zaj;
fotonok kvantumzaja.

A mátrix olvasási zaja állandó, és csak a CCD áramkör határozza meg. Sajnos a SONY cég, amelynek CCD-in minden kísérletünket elvégeztük, nem jelenti ezt a paramétert. Egyszerűen megmértük a VS-CTT-085-60 kameránkon, és kiderült, hogy 20-25 elektronnak felel meg. Ehhez a mátrixhoz hasonló számokat láttunk külföldi kameragyártók weboldalain.

A kvantumzaj minden dolog és különösen a fény alapvető tulajdonságaiból származik. A fénykvantumok véletlenszerűen oszlanak el térben és időben. Ebben az esetben a cellában felhalmozódott elektronok száma a számuk négyzetgyökéig határozható meg (Poisson-statisztika).

Az objektum alacsony fényerejénél a legnagyobb mértékben a mátrix olvasási zaja járul hozzá a zajhoz. Ez a zaj határozza meg a látható lehetséges legalacsonyabb jelszintet.

Egy 400-625 elektronból álló képen a kvantumzajt hasonlítják össze az olvasási zajjal. Ha a jel nagyobb, mint ez az érték, a teljes zajhoz a legnagyobb mértékben a „fotonok kvantumzaja” járul hozzá. Az utolsó sor képei nagyon közel vannak, de ez csak 7%-a (!!!) az ICX085 mátrix maximális pixelkapacitásának (20 000 e-1).

Következtetés

Ha az eladó azt mondja, hogy szuper-duper kamerájának érzékenysége 0,0хххх1 lux - ne felejtse el megkérdezni -, milyen jel-zaj aránynál mérik mindezt?

Nézd meg a képeket, és vond le a következtetéseket! Még egyszer megismételhetjük: csodákra a televíziós kamerák érzékenységének növelésében nem szabad számítani.

Ha a mátrix telítettségéhez közeli megvilágításnál "zajos" képet kap, akkor nincs értelme a kamerában keresni a zajok okát.

A mérnöki projektek számításának és fejlesztésének fő szempontja a rendszerek működési minőségének analitikai jellemzőinek felhasználása. Csak ilyen jellemzők megléte esetén lehet a rendszert objektíven értékelni, és költséghatékonyan összevetni az alternatív fejlesztések költségeivel. A telefonmérnökök által megkövetelt egyik jellemző a hallgatóhoz eljuttatott beszéd minősége. A beszédminőség mérését bonyolítják a beszédnek a tipikus hallgató által észlelt szubjektív tulajdonságai. A beszédjelben előforduló zaj vagy torzítás szubjektív észlelésének egyik jellemzője a frekvencia összetételével, vagy a zavaró hatások spektrumával és azok teljesítményszintjével társul. A zaj ezen hatásait a frekvencia függvényében figyelembe vettük az 1. fejezetben, amikor bemutattuk a C-hurkos mérés és a psofometrikus mérés fogalmát.

A PCM-kódolók egymást követő kvantálási hibáiról általában feltételezik, hogy véletlenszerű eloszlásúak, és nem korrelálnak egymással. Így a PCM rendszerek kvantálási hibáinak kumulatív hatása additív zajnak tekinthető, amelynek szubjektív hatása hasonló a sávkorlátos fehér zajhoz. ábrán. A 3.9. ábra a kvantálási hibák jelamplitúdótól való függését mutatja egy egységes kvantálási lépésekkel rendelkező kódoló esetében. Vegye figyelembe, hogy ha a jelnek van ideje több kvantálási lépéssel amplitúdójában változtatni, a kvantálási hibák függetlenné válnak. Ha a jelet f s-nál jóval nagyobb frekvencián mintavételezzük, akkor az egymást követő minták gyakran ugyanarra a lépésre esnek, ami a kvantálási hibák függetlenségének elvesztéséhez vezet.

Az analóg jel digitális formává alakításakor fellépő kvantálási hibákat vagy kvantálási zajokat általában az átlagos zajteljesítmény és az átlagos jelteljesítmény arányában fejezik ki. Ennek megfelelően a kvantálási jel-zaj arány a következőképpen definiálható

OSHK = E (x 2 (t)) / E (2), (3.1)

ahol E (.) - matematikai elvárás vagy átlagérték, x (t) - analóg bemeneti jel, y (t) - dekódolt kimeneti jel.

Három szempontot kell figyelembe venni az átlagos kvantálási zaj meghatározásánál.

Az y (t) –x (t) hiba amplitúdóját a q / 2 érték korlátozza, ahol q a kvantálási lépés. (A dekódolt kimeneti minták pontosan a kvantálási lépés közepén helyezkednek el.)

Feltételezhető, hogy a mintaértékek egyenlő valószínűséggel a kvantálási lépésen belül bármely pontba eshetnek (egyenletes valószínűségi sűrűséget feltételezünk, amely egyenlő 1 / q-val).

Feltételezzük, hogy a jel amplitúdói a kódoló működési tartományára korlátozódnak. Ha a diszkrét érték meghaladja a legmagasabb kvantálási lépés határát, akkor túlterhelés okozta torzítások lépnek fel.

Ha a kényelem kedvéért feltételezzük, hogy a felhúzó ellenállás ellenállása 1 Ohm, akkor az átlagos kvantálási zajteljesítmény (az A függelékben számítva) a következőképpen adódik:

Kvantálási zajteljesítmény = q 2/12. (3.2)

Ha minden kvantálási lépés azonos értékű (egyenletes kvantálás), és a kvantálási zaj nem függ a mintaértékektől, akkor a kvantálási jel-zaj arányt (decibelben) a következőképpen határozzuk meg:

SNR = 10 lg = 10,8 + 20 lg (v / q), (3,3)

ahol v a bemeneti jel amplitúdójának négyzetes középértéke. Különösen egy szinuszos bemeneti jel esetén a kvantálási jel-zaj arány (decibelben) egyenletes kvantálás mellett

SNR = 10 lg [(A 2/2) / (q 2/12)] = 7,78 + 20 lg (A / q), (3,4)

ahol A a szinusz amplitúdója.

Példa 3.1 Az 1 V amplitúdójú szinuszos jelet úgy kell digitalizálni, hogy a kvantálási jel/zaj arány legalább 30 dB legyen. Hány azonos kvantálási lépésre van szükség, és hány bitre van szükség az egyes minták kódolásához?

Megoldás. A (3.4) képlet segítségével meghatározzuk a maximális kvantálási lépésméretet q = 10 - (30 - 7,78) / 20 = 0,078B.

Így minden jelpolaritáshoz 13 kvantálási lépés szükséges (összesen 26 kvantálási lépés). Az egyes minták kódolásához szükséges bitek száma n = log 2 26 = 4,75 bit mintánként.

A kvantálási zajteljesítmény mérése során a spektrális komponenseket gyakran ugyanúgy súlyozzák, mint az analóg csatornák zaját. Sajnos a súlyozott zaj mérései nem mindig tükrözik a kódoló (dekódoló) által továbbított beszédészlelés valódi minőségét. Ha a kvantálási zaj spektrális eloszlása többé-kevésbé megismétli a beszédjel spektrális eloszlását, akkor ezek a zajok sokkal kevésbé észrevehetők, mint a beszéddel nem korrelált zajok. Másrészt, ha a kvantálási folyamat energiát hoz létre az adott hangokban található hangfrekvenciáktól eltérő hangfrekvenciákon, ezek a torzítások észrevehetőbbé válnak.

A kiváló minőségű PCM kódolók olyan kvantálási zajt generálnak, amely egyenletesen oszlik el a PM tartományban, és nem függ a kódolt jeltől. Ebben az esetben a kvantálási jel-zaj arány (3,4) jó mérőszáma a PCM transzformáció minőségének. Néhány, alább tárgyalt kódolótípusnál (különösen a vokódereknél) a kvantálási zajteljesítmény ismerete nem túl hasznos. A kódolón áthaladó beszéd minőségének egyéb jellemzőit írja le, amelyek jobban meghatározzák a beszéd hallgató általi észlelését.

Szinte minden DSP használja a jelek diszkretizálását állandó T d periódussal, és az ettől a periódustól való eltérések véletlenszerűek. Ezek az eltérések a vett jel alakjának megváltozásához vezetnek, amit szubjektíven mintavételezési zajnak nevezett jellegzetes interferenciaként érzékelünk.

A T i értékeit főként az impulzusok alacsony frekvenciájú fázisingadozásai határozzák meg, amelyeket az adóállomás lineáris regenerátorainak működésének pontatlansága okoz.

Jeltűrés a mintavételi zaj ellen:

A mintavételi pillanatok eltolásainak megengedett relatív értékei;

ahol a fő oszcillátorok instabilitása által okozott eltérés nagysága;

ahol a fázisingadozások okozta eltérés nagysága.

Mintavételi időszak

63 dB szükséges mintavételezési zajtűrés

Mivel , azután:

Következtetés: a mintavételezési zajokkal szembeni elfogadható védettség biztosítása érdekében a mintavételi periódus nem térhet el 20 ns-nál nagyobb mértékben.

Kvantálási zaj

Egységes kvantálási zaj

A jelszint szerinti kvantálás az analóg-digitális jelátalakítás fő művelete, és pillanatnyi értékeinek a legközelebbi megengedettre kerekítéséből áll. Egyenletes kvantálás esetén a kvantálási szintek közötti távolság azonos. Egy jel kvantálásakor hibák lépnek fel, amelyek nagysága véletlenszerű és egyenletes eloszlású, nem haladja meg a kvantálási lépés értékének felét. A kvantált jel az eredeti jel és a hibajel összege, amelyet ingadozási zajként érzékelünk.

Kvantálási zajtűrés a leggyengébb jelekre egyenletes kvantálás mellett:

Pszofometrikus együttható 0,75 a PM-csatorna esetében;

Jel dinamikus tartomány, egyenlő, dB;

m a bitek száma a bináris kódban.

5.2. táblázat. Kezdeti adatok

Jelszintek:

Jel dinamikus tartománya:

Szükséges számjegyek száma:

A kód bitessége az egyenletes kvantáláshoz.

Az egyenletes kvantálás lépéseinek száma a következő lesz:

Következtetés: adott biztonsággal egységes kóddal való kódoláshoz bitmélységű kódra van szükség.

Nem egyenletes kvantálási zaj

A valódi PCM rendszerek nem egységes kvantálást használnak. Egyenetlen kvantálás - a karakterisztika meredekségének csökkentése a kvantálási lépések méretének csökkentésével a jel kis pillanatnyi értékeinél a lépések növelésével nagy értékeknél.

A nem egységes kódolás 8 bites kódokat használ, pl. a kvantálási szintek száma 256.

A dinamikatartományt az A - vagy - tömörítési jellemzők segítségével tömörítik. Esetünkben a tömörítési karakterisztikát használjuk, amelyet a következő kifejezés ír le:

Rizs. 5.2.2. Kompressziós jellemzők

A DSP szegmens nem egységes kvantálási jellemzőket használ, mert digitális alapon meglehetősen könnyen megvalósíthatók. A karakterisztika 0-hoz képest szimmetrikus, pozitív és negatív ágai 8 szegmensből állnak, mindegyik szegmens 16 azonos lépésre van felosztva (minden szegmensen belül a kvantálás egységes).

A szegmensek az A típusú tömörítési karakterisztika sima görbéjét közelítik a nullában és az első szegmensben, a lépés minimális, és minden további szegmensben megduplázódik a lépésméret az előzőhöz képest.

A kvantálási zaj elleni védelem kifejezése az első két szegmensben a következő lesz:

2-7 szegmenshez:

ahol i a szegmens száma.

A grafikon eleje - egy ferde egyenes - a nulla és az első szakasznak felel meg. Ez egy egységes kvantálású zóna, így a jelszint növekedésével arányosan nő a biztonság. A második szegmensre való átlépéskor a védelem hirtelen 6 dB-lel csökken. A 7. szegmens felső határának elérésekor a túlterhelési zóna beáll.

Hangszeres zajok

Az analóg jel digitálissá alakítása során zaj jelenik meg a végberendezésben, amelyet a konverter jellemzőinek az ideálistól való eltérése határoz meg. Ezeket az eltéréseket az egyes egységek működésének korlátozott sebessége és végpontossága, a konverterek paramétereinek hőmérséklet-ingadozásokkal járó változása, a készülékek elöregedése stb. A hangszeres zaj szintje növekszik a kód átviteli sebességének és bitszélességének növekedésével.

A kvantálási zaj és a műszeres zaj kapcsolata:

a csökkentett műszeres konverziós hiba RMS értéke;

A kód bitessége.

Nem egységes kvantáláshoz:

Az egységes kvantáláshoz:

Kimenet : nem egyenletes kvantálásnál a műszeres zaj ereje sokkal kisebb, mint egyenletes kvantálásnál, ezért célszerű nem egységes kvantálást alkalmazni.

Üresjárati csatorna zaj

Bemeneti jelek hiányában a kódoló bemenetén gyenge interferenciák lépnek fel, amelyek magukban foglalják a belső zajokat és az áthallást, a kiegyensúlyozatlan impulzusmaradékokat stb. Ha kiderül, hogy a kódoló karakterisztikája úgy van eltolva, hogy a nulla bemeneti jel szintje egybeesik a kódoló döntési szintjével, akkor bármilyen tetszőlegesen kis amplitúdójú interferencia a kódkombináció megváltozásához vezet. Ebben az esetben a dekódoló kimeneti jele egy szögletes impulzus, amelynek tartománya (a minimális kvantálási lépés értéke) és véletlenszerű nulla átlépési idők. A keletkező zajt üresjárati csatornazajnak nevezzük. Kis értéke ellenére ezeket a zajokat nem „takarja el” a jel, ami az előfizetők számára észrevehető.

A foglalatlan csatorna zajtűrésének legalább:

ahol a a jel csúcstényezője, az egyenletes és nem egyenletes kvantálás minimális kvantálási lépése.

Egységes kvantálás:

Egyenetlen kvantálás:

Következtetés: nem egyenletes kvantálás esetén a foglalatlan csatorna zavarás elleni védettsége 12,1 dB-lel magasabb, mint egy egyenletes csatorna esetén.

Kvantálási zajtűrés a leggyengébb jelekre egyenletes kvantálás mellett:

– Pszofometrikus együttható 0,75 a PM-csatorna esetében;

- a jel dinamikus tartománya egyenlő , dB;