Hogyan számítsuk ki a mátrix elemeinek algebrai komplementereit. Algebrai kiegészítések és minorok

A mátrix minorjai

Adott egy négyzet mátrix A, n -edik sorrend. Kisebb valamely аij elemből az n-edrendű mátrix determinánsát hívják döntő(n - 1) - a kezdeti sorrendből a sor és az oszlop törlésével kapott sorrend, amelynek metszéspontjában a kiválasztott аij elem található. Мij jelzésű.

Nézzünk egy példát mátrix meghatározója 3 - sorrendje:
Minorok és algebrai komplementerek, 3. mátrix determinánsa - sorrendje, majd a definíció szerint minor, minor Az a12 elemnek megfelelő M12 lesz döntő:Sőt, használva kiskorúak a számítási feladat megkönnyítése lehetséges mátrix meghatározója... Le kell bomlani egy mátrix meghatározója valamilyen vonalon és akkor döntő egyenlő lesz ennek a sornak a kiskorúak összes elemének összegével. Bomlás mátrix meghatározója 3 - a sorrend így fog kinézni:

, a szorzat előtti előjel (-1) n, ahol n = i + j.

Algebrai összeadások:

Algebrai komplementerаij elemet annak nevezzük kiskorú, "+" jellel, ha az összeg (i + j) páros szám, és "-" jellel, ha ez az összeg páratlan szám. Aij van kijelölve.
Аij = (-1) i + j × Мij.

Ezután újrafogalmazhatjuk a fenti tulajdonságot. Egy mátrix meghatározója egyenlő valamelyik sor (sor vagy oszlop) elemeinek szorzatának összegével mátrixok sajátjukhoz algebrai komplementerek... Példa.

Mátrix transzformáció nélkül a determináns csak 2 × 2 és 3 × 3 mátrixok esetén könnyen kiszámítható. Ez a következő képletekkel történik:

Mátrixhoz

a meghatározó:

Mátrixhoz

a meghatározó:

a11 * (a22 * a33-a23 * a32) -a12 * (a21 * a33-a23 * a31) + a13 * (a21 * a32-a22 * a31)

A 4 × 4-es és nagyobb mátrixok kiszámítása nehézkes, ezért azokat a determináns tulajdonságainak megfelelően kell transzformálni. Arra kell törekedni, hogy olyan mátrixot kapjunk, amelyben minden érték egy kivételével bármely oszlop vagy bármely sor egyenlő nullával. Példa egy ilyen mátrixra:

Ehhez a meghatározó:

A12 * (a21 * (a33 * a44-a34 * a43) -a23 * (a31 * a44-a34 * a41) + a24 * (a31 * a43-a33 * a41))

vegye figyelembe, hogy

a21 * (a33 * a44-a34 * a43) -a23 * (a31 * a44-a34 * a41) + a24 * (a31 * a43-a33 * a41)

ez a mátrix determinánsának kiszámítása, amelyet annak a sornak és oszlopnak a kivonásával kapunk, amelynek metszéspontjában egyetlen nem nulla sor/oszlop szám található, amely szerint a mátrixot felbontjuk:

És a kapott értéket megszorozzuk ugyanazzal a számmal a "nulla" oszlopból / sorból, míg a szám -1-gyel szorozható (az összes részlet lentebb).

Ha a mátrixot háromszög alakúra redukáljuk, akkor a determinánsát az átló mentén lévő számjegyek szorzataként számítjuk ki. Például a mátrixhoz

A meghatározó:

Ugyanezt kell tenni az 5 × 5, 6 × 6 és más nagy méretű mátrixokkal is.

A mátrix transzformációkat a determináns tulajdonságainak megfelelően kell végrehajtani. Mielőtt azonban rátérnénk a 4 × 4-es mátrixok determinánsának kiszámítására, térjünk vissza a 3 × 3-as mátrixokhoz, és nézzük meg közelebbről, hogyan számítják ki a determinánst ezekre.

Kisebb

A mátrix determinánsát nem túl könnyű megérteni, mivel a koncepciójában rekurzió van: a mátrix determinánsa több elemből áll, beleértve a (más) mátrixok determinánsát is.

Hogy ezen ne ragadjunk le, tegyük fel most (átmenetileg), hogy a mátrix meghatározója

így számítják ki:

Értsük meg az olyan konvenciókat és fogalmakat is, mint pl kiskorúés algebrai komplementer.

Az i betűvel a lefolyó sorszámát jelöljük, a j betűvel - az oszlop sorszámát.

a ij a mátrix elemét (számjegyét) jelenti az i sor és a j oszlop metszéspontjában.

Képzeljünk el egy mátrixot, amelyet az i sor és a j oszlop törlésével kapunk az eredetiből. Az új mátrix determinánsát, amelyet az i sor és a j oszlop törlésével kapunk az eredetiből, az a ij elem moll M ij -jének nevezzük.

Illusztráljuk az elhangzottakat. Tegyük fel, hogy adott a mátrix

Ezután az a 11 elem kisebb M 11 értékének meghatározásához új mátrixot kell összeállítani, amelyet az első sor és az első oszlop eltávolításával kapunk az eredetiből:

És számítsd ki a determinánst: 2 * 1 - (-4) * 0 = 2

Az a 22 elem kisebb M 22 értékének meghatározásához új mátrixot kell összeállítani, amelyet a második sor és a második oszlop eltávolításával kapunk az eredetiből:

És számítsd ki a determinánst: 1 * 1 -3 * 3 = -8

Algebrai komplementer

Az A ij algebrai komplementere egy a ij elemre ennek az elemnek a "+" jellel vett kis M ij értéke, ha annak a sor- és oszlopindexnek az összege (i + j), amelynek metszéspontjában ez az elem található, páros, és a "-" jellel, ha az indexek összege páratlan.

És így,

Az előző példa mátrixához

A 11 = (-1) (1 + 1) * (2 * 1 - (-4) * 0) = 2

A 22 = (-1) (2 + 2) * (1 * 1 -3 * 3) = -8

Mátrixok determinánsának kiszámítása

Az A mátrixnak megfelelő n rendű determináns egy det A-val jelölt szám, amelyet a következő képlettel számítunk ki:

Ebben a képletben minden már ismerős számunkra, most számítsuk ki a for mátrix determinánsát

Bármi legyen is az i sor száma = 1,2, ..., n vagy a j oszlopé = 1, 2, ..., n, az n-edrendű determináns megegyezik az elemeinek szorzatainak összegével. ezt a sort vagy oszlopot algebrai komplementereikkel, pl

Azok. a determináns bármely oszlopra vagy sorra számítható.

Ennek ellenőrzésére kiszámítjuk a mátrix determinánsát a második oszlop utolsó példájából

Amint látható, az eredmény azonos, és ennél a mátrixnál a determináns mindig -52 lesz, függetlenül attól, hogy melyik sorban vagy melyik oszlopban számoljuk.

Mátrix meghatározó tulajdonságai

1. A determináns sorai és oszlopai egyenlőek, vagyis a determináns értéke nem változik, ha sorait és oszlopait felcseréljük, miközben megtartjuk a sorrendjüket. Ezt a műveletet minősítő transzponálásnak nevezik. A megfogalmazott tulajdonságnak megfelelően det A = det AT.
2. Két sor (vagy két oszlop) felcserélésekor a determináns megtartja abszolút értékét, de az előjelét az ellenkezőjére változtatja.
3. A két azonos sorral (vagy oszloppal) rendelkező determináns nulla.
4. A determináns valamely sorának (vagy oszlopának) összes elemének megszorzása λ számmal egyenlő a determináns λ számmal való megszorzásával.
5. Ha a determináns bármely sorának (vagy oszlopának) minden eleme nulla, akkor maga a determináns nulla.
6. Ha a determináns két sorának (vagy két oszlopának) elemei arányosak, akkor a determináns nulla.
7. Ha a determináns valamelyik sorának (vagy oszlopának) elemeihez hozzáadjuk egy másik sor (más oszlop) megfelelő elemeit, megszorozva egy tetszőleges λ tényezővel, akkor a determináns értéke nem változik.
8. A determináns bármely sora (bármely oszlopa) elemeinek szorzata bármely másik sor (bármely másik oszlop) elemeinek megfelelő algebrai komplementereivel egyenlő nullával.
9. Ha a determináns i-edik sorának minden elemét két tag összegeként adjuk meg: a ij = bj + cj, akkor a determináns egyenlő két determináns összegével, amelyben minden sor, kivéve az i-edik , megegyeznek az adott determinánssal, az i-edik sor az egyik tagban bj elemekből áll, a másikban pedig cj elemekből áll. Hasonló tulajdonság igaz a determináns oszlopokra is.
10. Két négyzetmátrix szorzatának determinánsa megegyezik a determinánsaik szorzatával: det (A * B) = det A * det B.

Egy tetszőleges sorrendű determináns kiszámításához a determináns sorrendjének egymás utáni csökkentésének módszere használható. Ehhez használja a determináns egy sor vagy oszlop elemei alapján történő felosztásának szabályát. A determinánsok kiszámításának másik módja az, hogy elemi transzformációkat használunk sorokkal (vagy oszlopokkal), elsősorban a determinánsok 4-es és 7-es tulajdonságainak megfelelően, hogy a determinánst olyan formába hozza, amikor a determináns főátlója alatt van (ugyanúgy definiálva, mint négyzetes mátrixoknál) minden elem egyenlő nullával. Ekkor a determináns egyenlő a főátlón található elemek szorzatával.

A determináns kiszámításakor a számítási munka mennyiségének csökkentésére szolgáló sorrend sorozatos csökkentésével célszerű a determinánsok 7. tulajdonságát használni a determináns bármely sorának vagy oszlopának egyes elemeinek nullázására, ami csökkenti a kiszámított műveletek számát. algebrai komplementerek.

Mátrix redukálása háromszög alakúra, mátrix átalakítása, amely megkönnyíti a determináns kiszámítását

Az alábbiakban bemutatott módszerek nem praktikusak 3 × 3-as mátrixokhoz, de azt javaslom, hogy a módszerek lényegét egy egyszerű példán keresztül vegyük figyelembe. Használjuk azt a mátrixot, amelyhez már kiszámoltuk a determinánst - így könnyebben ellenőrizhetjük a számítások helyességét:

A determináns 7. tulajdonságának felhasználásával vonja ki a második sorból a harmadikat, szorozva 2-vel:

a harmadik sorból kivonjuk a determináns első sorának megfelelő elemeit, megszorozva 3-mal:

Mivel a determináns főátlója alatt lévő elemei egyenlőek 0-val, ezért a meghatározás egyenlő a főátlón található elemek szorzatával:

1*2*(-26) = -52.

Mint látható, a válasz egybeesett a korábban kapott válaszokkal.

Emlékezzünk a mátrix determinánsának képletére:

A determináns az algebrai komplementerek összege, szorozva az egyik sor vagy az egyik oszlop tagjaival.

Ha a transzformációk eredményeként az egyik sort (vagy oszlopot) egy pozíció kivételével teljes egészében nullákból álljuk, akkor nem kell az összes algebrai komplementet megszámolnunk, mert ezek minden bizonnyal nullával egyenlőek. Az előző módszerhez hasonlóan ezt a módszert is célszerű nagy mátrixokhoz használni.

Mutassunk egy példát ugyanazon a mátrixon:

Vegye figyelembe, hogy a determináns második oszlopa már tartalmaz egy nulla elemet. Adja hozzá a második sor elemeihez az első sor elemeit szorozva -1-gyel. Kapunk:

Számítsuk ki a második oszlop determinánsát. Csak egy algebrai komplementet kell kiszámítanunk, mivel a többit biztosan nullára redukáljuk:

A determináns kiszámítása 4 × 4, 5 × 5 mátrixokra és nagy méretekre

A túl nagy számítások elkerülése érdekében nagy mátrixok esetén végezze el a fent leírt transzformációkat. Íme néhány példa.

Számítsa ki a Define Matrix

Megoldás: A determináns 7. tulajdonságát felhasználva a második sorból kivonjuk a harmadikat, a negyedik sorból pedig a determináns első sorának megfelelő elemeit, szorozva 3-mal, 4-el, 5-tel.Ezek a műveletek rövidítve lesznek a következők szerint: (2) - (13; (3) - (1) * 4; (4) - (1) * 5. A következőt kapjuk:

Végezzünk műveleteket

A mátrix minorjai

Adott egy négyzet mátrix A, n -edik sorrend. Kisebb valamilyen a ij elemből, mátrix meghatározója n -edik rendet hívják döntő(n - 1) - az eredetiből annak a sornak és oszlopnak a törlésével kapott sorrend, amelynek metszéspontjában a kiválasztott elem egy ij található. Jelölése М ij.

Nézzünk egy példát mátrix meghatározója 3 - sorrendje:

Akkor a definíció szerint kiskorú, kiskorú Az a 12 elemnek megfelelő M 12 lesz döntő:

Sőt, használva kiskorúak a számítási feladat megkönnyítése lehetséges mátrix meghatározója... Le kell bomlani egy mátrix meghatározója valamilyen vonalon és akkor döntő egyenlő lesz ennek a sornak a kiskorúak összes elemének összegével. Bomlás mátrix meghatározója 3 - a sorrend így fog kinézni:

A szorzat előtti jel (-1) n, ahol n = i + j.

Algebrai összeadások:

Algebrai komplementer az a ij elemet annak nevezzük kiskorú, "+" jellel, ha az összeg (i + j) páros szám, és "-" jellel, ha ez az összeg páratlan szám. Jelölése А ij. És ij = (-1) i + j × M ij.

Ezután újrafogalmazhatjuk a fenti tulajdonságot. Egy mátrix meghatározója egyenlő egy bizonyos sor (sor vagy oszlop) elemeinek szorzatának összegével mátrixok sajátjukhoz algebrai komplementerek... Példa:

4. Az inverz mátrix és számítása.

Legyen A négyzet mátrix n -edik sorrend.

Négyzet mátrix A-t nem degeneráltnak nevezzük, ha egy mátrix meghatározója(Δ = det A) nem egyenlő nullával (Δ = det A ≠ 0). Ellenkező esetben (Δ = 0) mátrix A-t degeneráltnak nevezzük.

Mátrix, szövetségese mátrix Ah, hívott mátrix

Hol A ij - algebrai komplementer ennek a ij eleme mátrixok(ugyanúgy van meghatározva, mint algebrai komplementer elem mátrix meghatározója).

Mátrix A -1-et hívják inverz mátrix A, ha a feltétel teljesül: A × A -1 = A -1 × A = E, ahol E egy egység mátrix ugyanolyan sorrendben, mint mátrix A. Mátrix Az A -1 mérete megegyezik a mátrix A.

inverz mátrix

Ha vannak négyzetek mátrixok X és A, teljesítve a feltételt: X × A = A × X = E, ahol E az egység mátrix akkor ugyanabban a sorrendben mátrix X-et hívják inverz mátrix az A mátrixhoz, és A -1-gyel jelöljük. Bármilyen nem degenerált mátrix Megvan inverz mátrixés ráadásul csak egyet, vagyis négyzetre azért mátrix A volt inverz mátrix, szükséges és elégséges, hogy az döntő nullától eltérő volt.

Kapni inverz mátrix használd a képletet:

Ahol az M ji nem kötelező kiskorú elem a ji mátrixok A.

5. A mátrix rangja. Rangsorszámítás elemi transzformációk segítségével.

Vegyünk egy téglalap alakú mхmátrixot. Válasszunk ki ebben a mátrixban néhány k sort és k oszlopot, 1 £ k £ min (m, n). A kijelölt sorok és oszlopok metszéspontjában lévő elemekből összeállítjuk a k-edik sorrend determinánsát. Minden ilyen determinánst a mátrix minorjának nevezünk. Például egy mátrixhoz összeállíthatja a másodrendű minorokat és elsőrendű kiskorúak 1, 0, -1, 2, 4, 3.

Meghatározás. A mátrix rangja ennek a mátrixnak a legmagasabb rendű nullától eltérő mollja. Jelölje az r mátrix rangját (A).

A fenti példában a mátrix rangja kettő, mivel például a minor

Kényelmes egy mátrix rangját elemi transzformációk módszerével kiszámítani. Az elemi átalakítások a következőket tartalmazzák:

1) sorok (oszlopok) permutációi;

2) egy sor (oszlop) szorzata nullától eltérő számmal;

3) egy sor (oszlop) elemeihez hozzáadjuk egy másik sor (oszlop) megfelelő elemeit, előzőleg megszorozva valamilyen számmal.

Ezek a transzformációk nem változtatják meg a mátrix rangját, hiszen ismert, hogy 1) a sorok átrendezésekor a determináns előjelet vált, és ha nem egyenlő nullával, akkor nem lesz belőle; 2) ha a determináns karakterláncát megszorozzuk egy olyan számmal, amely nem egyenlő nullával, a determináns megszorozódik ezzel a számmal; 3) a harmadik elemi transzformáció egyáltalán nem változtatja meg a determinánst. Így a mátrixon elemi transzformációkat végrehajtva egy olyan mátrixot kaphatunk, amelynek a rangja és így az eredeti mátrix könnyen kiszámítható.

Meghatározás. A mátrixból elemi transzformációkkal kapott mátrixot ekvivalensnek nevezzük és jelöljük A V.

Tétel. A mátrix rangja nem változik az elemi mátrix transzformációk során.

Az elemi transzformációk segítségével a mátrix az úgynevezett lépcsős formára redukálható, amikor a rangjának kiszámítása nem nehéz.

Mátrix lépcsősnek nevezzük, ha a következő formában van:

Nyilvánvaló, hogy a lépcsős mátrix rangja megegyezik a nem nulla sorok számával mivel van egy harmadrendű moll, ami nem egyenlő nullával:

.

Példa. Határozza meg a mátrix rangját elemi transzformációk segítségével!

A mátrix rangja megegyezik a nullától eltérő sorok számával, azaz. ...

Ebben a témában megvizsgáljuk az algebrai komplement és a moll fogalmát. Az anyag bemutatása a "Mátrixok. Mátrixok típusai. Alapfogalmak" témakörben kifejtett fogalmakra épül. A determinánsok kiszámításához szükségünk van néhány képletre is. Mivel ebben a témában sok a mollokhoz és algebrai kiegészítésekhez kapcsolódó kifejezés, egy rövid összefoglalót teszek hozzá, hogy könnyebben eligazodjon az anyagban.

A $ a_ (ij) $ elem kisebb $ M_ (ij) $

$ M_ (ij) $ elem$ a_ (ij) $ mátrixok $ A_ (n \ x n) $ nevezze el a $ A $ mátrixból kapott mátrix determinánsát az i-edik sor és a j-edik oszlop törlésével (azaz a sor és az oszlop metszéspontja, amelynek van egy eleme $ a_ (ij) $).

Vegyünk például egy negyedrendű négyzetmátrixot: $ A = \ left (\ start (tömb) (cccc) 1 & 0 & -3 & 9 \\ 2 & -7 & 11 & 5 \\ -9 & 4 & 25 & 84 \\ 3 & 12 & -5 & 58 \ end (tömb) \ jobb) $. Keresse meg a $ a_ (32) $ mellékelemet, azaz! találni $ M_ (32) $. Először felírjuk a kisebb $ M_ (32) $ értéket, majd kiszámítjuk az értékét. A $ M_ (32) $ összeállításához törölje ki a harmadik sort és a második oszlopot a $ A $ mátrixból (a harmadik sor és a második oszlop metszéspontjában található a $ a_ (32) $ elem ). Kapunk egy új mátrixot, melynek meghatározója a szükséges moll $ M_ (32) $:

Ez a minor könnyen kiszámítható a számítási téma # 2 képletével:

$$ M_ (32) = \ bal | \ kezdődik (tömb) (cc) 1 & -3 & 9 \\ 2 & 11 & 5 \\ 3 & -5 & 58 \ end (tömb) \ right | = 1 \ cdot 11 \ cdot 58 + (- 3) \ cdot 5 \ cdot 3 + 2 \ cdot (-5) \ cdot 9-9 \ cdot 11 \ cdot 3 - (- 3) \ cdot 2 \ cdot 58-5 \ cdot (-5) \ cdot 1 = 579. $$

Tehát az a_ (32) $ moll 579 $, azaz. M_ $ (32) = 579 $.

A szakirodalomban gyakran a „mátrixelem kisebb” kifejezése helyett „a determináns elemének kisebb része” szerepel. A lényeg változatlan: ahhoz, hogy a $ a_ (ij) $ elem mollját megkapjuk, ki kell húzni az i-edik sort és a j-edik oszlopot az eredeti determinánsból. A fennmaradó elemeket az új determinánsba írjuk, amely a $ a_ (ij) $ elem mollja. Például keressük meg a $ \ left | determináns $ a_ (12) $ mellékelemét. \ kezdődik (tömb) (cccc) -1 & 3 & 2 \\ 9 & 0 & -5 \\ 4 & -3 & 7 \ end (tömb) \ right | $. A szükséges moll $ M_ (12) $ felírásához ki kell húzni az első sort és a második oszlopot a megadott determinánsból:

Ennek a minor értéknek a meghatározásához az # 1 képletet használjuk a másod- és harmadrendű determinánsok kiszámítása témakörből:

$$ M_ (12) = \ bal | \ kezdődik (tömb) (cc) 9 & -5 \\ 4 & 7 \ end (tömb) \ right | = 9 \ cdot 7 - (- 5) \ cdot 4 = 83. $$

Tehát a $ a_ (12) $ mollja 83, azaz. M_ $ (12) = 83 $.

$ A_ (ij) $ a_ (ij) $ algebrai komplementere

Legyen adott egy $ A_ (n \ x n) $ négyzetmátrix (azaz egy n-edrendű négyzetmátrix).

Algebrai komplementer$ A_ (ij) $ elem$ a_ (ij) $ a mátrix $ A_ (n \ x n) $-át a következő képlettel találjuk meg: $$ A_ (ij) = (- 1) ^ (i + j) \ cdot M_ (ij), $ $

ahol $ M_ (ij) $ a $ a_ (ij) $ elem mollja.

Keresse meg a mátrix $ a_ (32) $ elemének algebrai kiegészítését $ A = \ left (\ begin (tömb) (cccc) 1 & 0 & -3 & 9 \\ 2 & -7 & 11 & 5 \\ -9 & 4 & 25 & 84 \\ 3 & 12 & -5 & 58 \ end (tömb) \ right) $, azaz. találni $ A_ (32) $. Korábban már megtaláltuk a kisebb $ M_ (32) = 579 $, ezért a kapott eredményt használjuk:

Általában az algebrai komplementerek keresésekor nem számítják ki külön a mollot, és csak ezután magát a komplementet. A kisebb bejegyzést kihagyjuk. Például keresse meg a $ A_ (12) $ értéket, ha $ A = \ balra (\ kezdete (tömb) (cccc) -5 & 10 & 2 \\ 6 & 9 & -4 \\ 4 & -3 & 1 \ end ( tömb) \ jobbra) $. A képlet szerint $ A_ (12) = (- 1) ^ (1 + 2) \ cdot M_ (12) = - M_ (12) $. Ahhoz azonban, hogy $ M_ (12) $-t kapjunk, elég áthúzni a $ A $ mátrix első sorát és második oszlopát, akkor miért kell bevezetni egy szükségtelen jelölést a minorra? Azonnal írjuk fel a $ A_ (12) $ algebrai komplementer kifejezését:

A $ A_ mátrix k-edik rendjének minora (m \ x n) $

Ha az előző két bekezdésben csak négyzetes mátrixokról beszéltünk, akkor itt téglalap alakú mátrixokról is lesz szó, amelyekben a sorok száma nem feltétlenül egyezik meg az oszlopok számával. Tehát legyen adott a $ A_ (m \ x n) $ mátrix, azaz. egy m sort és n oszlopot tartalmazó mátrix.

A k-rendű minor a $ A_ mátrix (m \ x n) $-át determinánsnak nevezzük, amelynek elemei a $ A $ mátrix k sorának és k oszlopának metszéspontjában helyezkednek el (feltételezzük, hogy $ k≤ m $ és $ k≤ n $).

Vegyünk például egy ilyen mátrixot:

$$ A = \ left (\ begin (tömb) (cccc) -1 & 0 & -3 & 9 \\ 2 & 7 & 14 & 6 \\ 15 & -27 & 18 & 31 \\ 0 & 1 & 19 & 8 \\ 0 & -12 & 20 & 14 \\ 5 & 3 & -21 & 9 \\ 23 & -10 & -5 & 58 \ end (tömb) \ jobbra) $$

Írjunk hozzá valami harmadrendű minort. Harmadrendű minor írásához ki kell jelölnünk ennek a mátrixnak bármelyik három sorát és három oszlopát. Vegyük például a 2., 4., 6. sorokat és az 1., 2., 4. oszlopot. A szükséges minor elemei e sorok és oszlopok metszéspontjában helyezkednek el. Az ábrán a kisebb elemek kék színnel jelennek meg:

$$ \ balra (\ start (tömb) (cccc) -1 & 0 & -3 & 9 \\ \ boldblue (2) & \ boldblue (7) & 14 & \ boldblue (6) \\ 15 & -27 & 18 & 31 \\ \ boldblue (0) & \ boldblue (1) & \ boldblue (1) & 19 & \ boldblue (8) \\ 0 & -12 & 20 & 14 \\ \ boldblue (5) & \ boldblue (3) & -21 & \ boldblue (9) \\ 23 & -10 & -5 & 58 \ end (tömb) \ right); \; M = \ balra | \ kezdődik (tömb) (cc) 2 & 7 & 6 \\ 0 & 1 & 8 \\ 5 & 3 & 9 \ end (tömb) \ right |. $$

Az elsőrendű minorok egy sor és egy oszlop metszéspontjában helyezkednek el, i.e. az elsőrendű minorok egyenlők az adott mátrix elemeivel.

A $ A_ (m \ x n) = (a_ (ij)) $ mátrix k-edrendű mollját ún. a fő ha ennek a minornak a főátlója csak a $ A $ mátrix főátlóelemeit tartalmazza.

Hadd emlékeztesselek arra, hogy a fő átlós elemek a mátrix azon elemei, amelyek indexei egyenlőek: $ a_ (11) $, $ a_ (22) $, $ a_ (33) $ és így tovább. Például a fent vizsgált $ A $ mátrix esetében az ilyen elemek a következők lesznek: $ a_ (11) = - 1 $, $ a_ (22) = 7 $, $ a_ (33) = 18 $, $ a_ (44) = 8 $. Az ábrán zölddel vannak kiemelve:

$$ \ balra (\ kezdés (tömb) (cccc) \ félkövér zöld (-1) & 0 & -3 & 9 \\ 2 & \ félkövér zöld (7) & 14 & 6 \\ 15 & -27 & \ félkövér zöld (18 ) & 31 \\ 0 & 1 & 19 & \ félkövér zöld (8) \\ 0 & -12 & 20 & 14 \\ 5 & 3 & -21 & 9 \\ 23 & -10 & -5 & 58 \ end ( tömb) \ jobbra) $$

Például, ha a $ A $ mátrixban kihúzzuk az 1-es és 3-as sorokat és oszlopokat, akkor a metszéspontjukban lesznek másodrendű mellékelemek, amelyek főátlóján csak átlós elemei lesznek. $ A $ mátrix (a $ a_ (11) = -1 $ és $ a_ (33) = 18 $ elemei a $ A $ mátrixból). Ezért megkapjuk a második sorrend fő mollját:

$$ M = \ bal | \ kezdődik (tömb) (cc) \ félkövér zöld (-1) & -3 \\ 15 & \ félkövér zöld (18) \ vége (tömb) \ jobb | $$

Természetesen vehetünk más sorokat és oszlopokat is, például 2-es és 4-es számmal, így kapunk egy másik, másodrendű dúr-mollt.

Tegyük fel, hogy a $ A_ mátrix k-edik rendjének néhány kisebb $ M $ (m \ x n) $ nem egyenlő nullával, azaz. $ M \ neq 0 $. Ebben az esetben minden kiskorú, akinek a sorrendje nagyobb, mint k, egyenlő nullával. Ekkor a kisebb $ M $ meghívásra kerül alapvető, és azokat a sorokat és oszlopokat hívják meg, amelyeken az alap-moll elemei találhatók alapvonalakés alaposzlopok.

Vegyük például a következő mátrixot:

$$ A = \ balra (\ kezd (tömb) (cccc) -1 & 0 & 3 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 4 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -2 & -1 & 0 \ \ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ end (tömb) \ jobbra) $$

Írjuk fel ennek a mátrixnak a mollját, melynek elemei az 1., 2., 3. sorok és az 1., 3., 4. számú oszlopok metszéspontjában helyezkednek el. Egy harmadrendű mollot kapunk (az elemei a $ A $ mátrixban lilával vannak kiemelve):

$$ \ balra (\ kezdődik (tömb) (cc) \ boldpurple (-1) & 0 & \ boldlila (3) & \ boldpurple (0) & 0 \\ \ boldpurple (2) & 0 & \ boldlila (4) & \ félkövérlila (1) & 0 \\ \ vastaglila (1) & 0 & \ félkövérlila (-2) & \ félkövérlila (-1) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ vége (tömb) \ jobb); \; M = \ balra | \ kezdődik (tömb) (cc) -1 & 3 & 0 \\ 2 & 4 & 1 \\ 1 & -2 & -1 \ end (tömb) \ right |. $$

Keressük meg ennek a minornak az értékét a # 2 képlet segítségével a másod- és harmadrendű determinánsok kiszámítása témakörből:

$$ M = \ bal | \ kezdődik (tömb) (cccc) -1 & 3 & 0 \\ 2 & 4 & 1 \\ 1 & -2 & -1 \ end (tömb) \ right | = 4 + 3 + 6-2 = 11. $$

Tehát $ M = 11 \ neq 0 $. Most próbáljunk meg olyan mollokat komponálni, amelyek sorrendje háromnál magasabb. Egy negyedrendű minor létrehozásához a negyedik sort kell használnunk, de ennek a sornak minden eleme nulla. Ezért minden negyedrendű kiskorúnak nulla sora lesz, ami azt jelenti, hogy minden negyedrendű kiskorú nullával egyenlő. Az ötödik és magasabb rendű kisebbeket nem állíthatjuk össze, mivel a $ A $ mátrixnak csak 4 sora van.

Találtunk egy harmadrendű kiskorút, ami nem nulla. Ebben az esetben minden magasabb rendű kiskorú nullával egyenlő, ezért az általunk tekintett moll alap. A $ A $ mátrix azon sorai, amelyeken ennek a minornak az elemei (első, második és harmadik) találhatók, az alapsorok, a $ A $ mátrix első, harmadik és negyedik oszlopa pedig az alaposzlopok. .

Ez a példa természetesen triviális, hiszen célja az alapmoll lényegének világos bemutatása. Általában több alapvető kiskorú lehet, és általában az ilyen kiskorú megtalálásának folyamata sokkal bonyolultabb és terjedelmesebb.

Vezessünk be még egy fogalmat – a határos moll.

Legyen a $ A_ mátrix $ M $ k-edik sorrendjének néhány kisebb része (m \ x n) $ k sor és k oszlop metszéspontjában. Adjunk hozzá még egy sort és oszlopot ezen sorok és oszlopok halmazához. A kapott (k + 1)-edik mollot hívjuk határos kiskorú a kiskorú $ M $.

Vegyük például a következő mátrixot:

$$ A = \ bal (\ kezdődik (tömb) (cccccc) -1 & 2 & 0 & -2 & -14 \\ 3 & -17 & -3 & 19 & 29 \\ 5 & -6 & 8 & - 9 & 41 \\ -5 & 11 & 19 & -20 & -98 \\ 6 & 12 & 20 & 21 & 54 \\ -7 & 10 & 14 & -36 & 79 \ end (tömb) \ jobbra) $ $

Írjuk fel a másodrendű mollot, melynek elemei a 2. és 5. számú egyenesek, valamint a 2. és 4. oszlopok metszéspontjában helyezkednek el. Ezek az elemek pirossal vannak kiemelve a mátrixban:

$$ \ balra (\ kezdés (tömb) (cccccc) -1 & 2 & 0 & -2 & -14 \\ 3 & \ félkövér (-17) & -3 & \ félkövér (19) & 29 \\ 5 & -6 & 8 & -9 & 41 \\ -5 & 11 & 19 & -20 & -98 \\ 6 & \ félkövér (12) & 20 & \ félkövér (21) & 54 \\ -7 & 10 & 14 & -36 & 79 \ end (tömb) \ right); \; M = \ bal | \ kezdődik (tömb) (cc) -17 & 19 \\ 12 & 21 \ vége (tömb) \ jobb |. $$

Adjunk hozzá a sorok készletéhez, amelyeken a $ M $ mellékelemek találhatók, egy másik # 1 sort, és az oszlopkészlethez - az 5. oszlopot. Kapunk egy új kisebb $ M "$-t (már harmadrendű), melynek elemei az 1., 2., 5. sorok és a 2., 4. számú oszlopok metszéspontjában helyezkednek el, 5. sz. Az ábrán a $ M $ moll elemei pirossal vannak kiemelve, a $ M $ mollhoz hozzáadott elemek pedig kékek:

$$ \ balra (\ start (tömb) (cccccc) -1 & \ boldblue (2) & 0 & \ boldblue (-2) & \ boldblue (-14) \\ 3 & \ boldred (-17) & -3 & \ félkövér (19) & \ félkövérkék (29) \\ 5 & -6 & 8 & -9 & 41 \\ -5 & 11 & 19 & -20 & -98 \\ 6 & \ félkövér (12) & 20 & \ félkövér (21) & \ félkövérkék (54) \\ -7 & 10 & 14 & -36 & 79 \ end (tömb) \ jobb); \; M "= \ balra | \ kezdődik (tömb) (cccc) 2 & -2 & -14 \\ -17 & 19 & 29 \\ 12 & 21 & 54 \ end (tömb) \ jobb |. $$

A Minor $ M "$ egy határoló moll a $ M $ kisebbhez. Hasonlóképpen, hozzáadva a sorok halmazához, amelyeken a moll $ M $ elemei fekszenek, a # 4 sor és az oszlopkészlethez - a # 3 oszlop, kisebb $ M-t kapunk" "$ (harmadrendű moll):

$$ \ balra (\ start (tömb) (cccccc) -1 & 2 & 0 & -2 & -14 \\ 3 & \ félkövér (-17) & \ boldblue (-3) & \ félkövér (19) & 29 \\ 5 & -6 & 8 & -9 & 41 \\ -5 & \ boldblue (11) & \ boldblue (19) & \ boldblue (-20) & -98 \\ 6 & \ boldred (12) & \ félkövérkék (20) & \ félkövér (21) & 54 \\ -7 & 10 & 14 & -36 & 79 \ end (tömb) \ jobb); \; M "" = \ balra | \ kezdődik (tömb) (cccc) -17 & -3 & 19 \\ 11 & 19 & -20 \\ 12 & 20 & 21 \ end (tömb) \ jobb |. $$

Minor $ M "" $ is egy határoló moll a kisebb $ M $-hoz.

A $ A_ mátrix k-edrendű minora (n \ x n) $. További kiskorú. Négyzetmátrix mollának algebrai kiegészítése.

Térjünk vissza ismét a négyzetmátrixokhoz. Vezessük be a további minor fogalmát.

Legyen megadva a $ A_ mátrix k-edik rendjének néhány kisebb $ M $ (n \ x n) $. Az (n-k) -edik sorrend determinánsát, melynek elemeit a $ A $ mátrixból a moll $ M $-t tartalmazó sorok és oszlopok törlése után kapjuk, minornak nevezzük, kiegészíti a kiskorút$ M $.

Például vegyünk egy ötödik rendű négyzetmátrixot:

$$ A = \ bal (\ kezdődik (tömb) (cccccc) -1 & 2 & 0 & -2 & -14 \\ 3 & -17 & -3 & 19 & 29 \\ 5 & -6 & 8 & - 9 & 41 \\ -5 & 11 & 16 & -20 & -98 \\ -7 & 10 & 14 & -36 & 79 \ end (tömb) \ jobbra) $$

Jelöljük ki benne az 1. és 3. számú sort, valamint a 2. és 5. számú oszlopot. Ezeknek a soroknak és oszlopoknak a metszéspontjában másodrendű mellékelemek lesznek $ M $. Ezek az elemek zölddel vannak kiemelve a $ A $ mátrixban:

$$ \ balra (\ start (tömb) (cccccc) -1 & \ félkövér zöld (2) & 0 & -2 & \ félkövér zöld (-14) \\ 3 & -17 & -3 & 19 & 29 \\ 5 & \ félkövér zöld (-6) & 8 & -9 & \ félkövér zöld (41) \\ -5 & 11 & 16 & -20 & -98 \\ -7 & 10 & 14 & -36 & 79 \ vége (tömb) \ jobb); \; M = \ left | \ begin (tömb) (cc) 2 & -14 \\ -6 & 41 \ end (tömb) \ right |. $$

Most eltávolítjuk a $ A $ mátrixból az # 1 és # 3 sorokat és a # 2 és # 5 oszlopokat, amelyek metszéspontjában a mellék $ M $ elemei vannak (az eltávolítandó sorok és oszlopok elemei láthatók az alábbi ábrán pirossal). A fennmaradó elemek egy kisebb $ M "$-t alkotnak:

$$ \ left (\ start (tömb) (cccccc) \ félkövér (-1) & \ félkövér (2) & \ félkövér (0) & \ félkövér (-2) & \ félkövér (-14) \\ 3 & \ félkövér (-17) & -3 & 19 & \ félkövér (29) \\ \ félkövér (5) & \ félkövér (-6) & \ félkövér (8) & \ félkövér (-9) & \ félkövér (41) \ \ -5 & \ félkövér (11) & 16 & -20 & \ félkövér (-98) \\ -7 & \ félkövér (10) & 14 & -36 & \ félkövér (79) \ vége (tömb) \ jobb) \; M "= \ left | \ begin (tömb) (cccc) 3 & -3 & 19 \\ -5 & 16 & -20 \\ -7 & 14 & -36 \ end (tömb) \ right |. $$

A $ M "$ moll, amelynek sorrendje 5-2 $ = 3 $, a $ M $ moll kiegészítője.

A moll algebrai kiegészítése$ M $ négyzetmátrix $ A_ (n \ x n) $ a $ (- 1) ^ (\ alfa) \ cdot M "$ kifejezés, ahol $ \ alpha $ a sorok és oszlopok számának összege a $ A $ mátrixból, amelyen a $ M $ moll elemei találhatók, és a $ M "$ a moll kiegészítője a $ M $-nak.

Az „algebrai kiegészítés a $ M $ mollhoz” kifejezést gyakran felváltja a „$ M $ minor algebrai kiegészítése” kifejezés.

Vegyük például a $ A $ mátrixot, amelyre a másodrendű kisebb $ M = \ bal | \ kezdődik (tömb) (cc) 2 & -14 \\ -6 & 41 \ end (tömb) \ jobb | $ és a harmadik sorrend további moll: $ M "= \ balra | \ begin (tömb) (cccc) 3 & -3 & 19 \\ -5 & 16 & -20 \\ -7 & 14 & -36 \ end (tömb) \ right | $. Jelölje a $ M $ minor algebrai komplementerét $ M ^ * $ alakban. Ezután definíció szerint:

$$ M ^ * = (- 1) ^ \ alfa \ cdot M ". $$

A $ \ alpha $ paraméter azon sor- és oszlopszámok összege, amelyeken a $ M $ minor található. Ez a minor az 1., 3. sor és a 2., 5. oszlop metszéspontjában található. Ezért $ \ alfa = 1 + 3 + 2 + 5 = 11 $. Így:

$$ M ^ * = (- 1) ^ (11) \ cdot M "= - \ balra | \ kezdődik (tömb) (cc) 3 & -3 & 19 \\ -5 & 16 & -20 \\ -7 & 14 & -36 \ vége (tömb) \ jobb |. $$

Elvileg a második és harmadik sorrend determinánsainak kiszámítása témakörből származó # 2 képlet segítségével a számításokat a végére hozhatja, és megkapja a $ M ^ * $ értéket:

$$ M ^ * = - \ balra | \ kezdődik (tömb) (cc) 3 & -3 & 19 \\ -5 & 16 & -20 \\ -7 & 14 & -36 \ end (tömb) \ right | = -30. $$