Spektrális teljesítmény. Példák a jelek spektrális sűrűségének meghatározására

Ha az idő függvényeinek halmazát (együttesét) értjük véletlenszerű folyamaton, figyelembe kell venni, hogy a különböző alakú függvények különböző spektrális jellemzőknek felelnek meg. Az (1.47) által meghatározott komplex spektrális sűrűség átlagolása az összes függvényre a folyamat nulla spektrumához vezet (a M [x(t)]=0 ) a spektrális komponensek fázisainak véletlenszerűsége és függetlensége miatt a különböző megvalósításokban.

Bevezethető azonban egy véletlenfüggvény középnégyzetének spektrális sűrűségének fogalma, mivel az átlagos négyzetérték nem függ az összegzett harmonikusok fázisviszonyától. Ha a véletlen függvény alatt x (t) elektromos feszültséget vagy áramerősséget értünk, akkor ennek a függvénynek a középnégyzete az 1 ohm ellenálláson felszabaduló átlagos teljesítménynek tekinthető. Ez a teljesítmény egy bizonyos sávban a frekvenciákon oszlik meg, a véletlenszerű folyamat kialakulásának mechanizmusától függően.

Az átlagos teljesítmény spektrális sűrűség az átlagos Hz-enkénti teljesítmény egy adott frekvencián. ω ... Funkciódimenzió W(ω) , ami a teljesítmény és a sávszélesség aránya, az

Egy véletlenszerű folyamat spektrális sűrűsége akkor határozható meg, ha ismert a véletlenszerű folyamat kialakulásának mechanizmusa. Ami az anyag és az elektromosság atomi szerkezetével kapcsolatos zajt illeti, ez a probléma később fog felmerülni. Itt néhány általános definícióra szorítkozunk.

Kiválasztva néhány megvalósítást az együttesből xk(t) és időtartamát véges intervallumra korlátozva T, alkalmazhatjuk rá a szokásos Fourier-transzformációt és megkereshetjük a spektrális sűrűséget x kT (ω). Ezután a figyelembe vett megvalósítási szegmens energiája kiszámítható a következő képlettel:

(1.152)

Ezt az energiát felosztva T, megkapjuk az átlagos teljesítményt k-th megvalósítása a szegmensen T

(1.153)

Amikor növeli T energia NSkT növekszik, de az arány egy bizonyos határig tart. Miután elértük a határt, a következőket kapjuk:

G
de

képviseli átlagos teljesítmény spektrális sűrűség megfontolás alatt k-th végrehajtás.

Általános esetben a mennyiség W k (ω) több megvalósításra kell átlagolni. Ha ebben az esetben egy stacionárius és ergodikus folyamatra szorítkozunk, feltételezhetjük, hogy az egy implementáció feletti átlagolással kapott függvény W k (ω) az egész folyamatot mint egészet jellemzi. A k index elhagyásával megkapjuk egy véletlen folyamat átlagos teljesítményének végső kifejezését

Egy nulla átlagos folyamathoz

(1.156)

A spektrális sűrűség (1.155) definíciójából nyilvánvaló, hogy W NS (ω) páros és nem negatív függvény ω.

1.5.3. Kapcsolat egy véletlenszerű folyamat spektrális sűrűsége és kovarianciafüggvénye között

Egyrészt a változás mértéke NS(t) az idő határozza meg a spektrum szélességét. A másik oldalon, átváltási érték x (t) meghatározza a kovarianciafüggvény lefolyását. Nyilvánvaló, hogy közöttW NS (ω) és K NS(τ) szoros kapcsolat van.

A Wiener – Khinchin tétel azt állítja NAK NEK NS (τ) és W x (ω) Fourier transzformációkkal kapcsolódnak egymáshoz:

(1.157)

(1.158)

A nulla átlaggal rendelkező véletlenszerű folyamatokhoz hasonló kifejezések a következők:

A determinisztikus jelek Fourier-transzformációihoz hasonló tulajdonság következik az alábbi kifejezésekből: minél szélesebb egy véletlen folyamat spektruma, annál kisebb a korrelációs intervallum, és ennek megfelelően minél nagyobb a korrelációs intervallum, annál szűkebb a folyamat spektruma (lásd 1.20. ábra).

1.20. ábra. Véletlenszerű folyamat szélessávú és keskeny sávú spektruma; a központi sáv határai: ± F 1

A fehér zaj akkor érdekes, ha a spektrum minden frekvencián egyenletes.

Ha az 1.158 kifejezést behelyettesítjük Wx(ω) = W 0 = const, kapjuk

ahol δ (τ) a delta függvény.

A végtelen és egyenletes spektrummal rendelkező fehér zaj esetén a korrelációs függvény nulla τ összes értékére, kivéve τ = 0 ahol R x (0) a végtelenbe megy. Az ilyen zajt, amelynek tűszerű szerkezete végtelenül vékony véletlenszerű kiugró értékekkel rendelkezik, néha delta-korrelált folyamatnak nevezik. A fehér zaj szórása végtelenül nagy.

Önellenőrző kérdések

Melyek a véletlenszerű jelek fő jellemzői?

Hogyan függ össze matematikailag a véletlenszerű jel korrelációs függvénye és energiaspektruma.

Melyik véletlenszerű folyamatot nevezzük stacionáriusnak.

Melyik véletlenszerű folyamatot nevezzük ergodikusnak.

Hogyan határozzuk meg a keskeny sávú jel burkológörbéjét, fázisát és frekvenciáját

Milyen jelet nevezünk analitikusnak.

Kölcsönös teljesítményspektrális sűrűség (keresztteljesítmény-spektrum) két realizáció és stacionárius ergodikus véletlen folyamatok, és a direkt Fourier-transzformáció a kölcsönös kovarianciafüggvényükön

vagy a körkörös és ciklikus frekvenciák arányát figyelembe véve,

Az inverz Fourier-transzformáció a kölcsönös kovarianciafüggvényt és a teljesítményspektrális sűrűséget hozza összefüggésbe:

Hasonlóan (1.32), (1.33) bevezetjük teljesítmény spektrális sűrűség (teljesítmény spektrum) véletlenszerű folyamat

A függvény paritás tulajdonsággal rendelkezik:

A kölcsönös spektrális sűrűségre a következő összefüggés érvényes:

ahol a függvény komplex konjugált.

A spektrális sűrűségek fenti képletei pozitív és negatív frekvenciákra is definiáltak, és meghívásra kerülnek kétoldali spektrális sűrűség ... Hasznosak rendszerek és jelek analitikai vizsgálatához. A gyakorlatban csak nem-negatív frekvenciákra meghatározott spektrális sűrűséget használnak és hívnak egyoldalú (1.14. ábra):

1.14 ábra - Egyoldalas és kétoldalas

spektrális sűrűségek

Levezetünk egy kifejezést, amely egy stacionárius LB egyoldali spektrális sűrűségét köti össze a kovarianciafüggvényével:

Vegyük figyelembe a stacionárius SP és a koszinuszfüggvény kovarianciafüggvényének paritási tulajdonságát, a szinuszfüggvény páratlansági tulajdonságát, valamint az integrációs határok szimmetriáját. Ennek eredményeként a fent kapott kifejezésben a második integrál eltűnik, az első integrálban pedig az integráció határai megfelezhetők, megkétszerezve az együtthatót:

Nyilvánvaló, hogy egy véletlenszerű folyamat teljesítményspektrális sűrűsége valós függvény.

Hasonlóképpen megkaphatja a fordított arányt:

Az (1.42) at kifejezésből az következik

Ez azt jelenti, hogy az egyoldali spektrális sűrűségdiagram alatti teljes terület egyenlő a véletlenszerű folyamat átlagos négyzetével. Más szavakkal, az egyoldalú spektrális sűrűséget úgy értelmezzük, mint a folyamat átlagos négyzetének eloszlását a frekvenciák között.

Az egyoldali sűrűségábra alatti terület, amely két tetszőleges frekvenciaérték közé van zárva, és egyenlő a spektrum ezen frekvenciasávjában zajló folyamat átlagos négyzetével (1.15. ábra):

1.15. ábra - Spektrális sűrűség tulajdonság

A kölcsönös spektrális teljesítménysűrűség összetett mennyiség, ezért exponenciális jelöléssel ábrázolható ezen keresztül modult és fázisszög :

hol van a modul;

- fázisszög;

, A függvény valós és képzeletbeli részei, ill.

A kölcsönös spektrális sűrűség modulus benne van a fontos egyenlőtlenségben

Ez az egyenlőtlenség lehetővé teszi, hogy meghatározzuk koherencia függvény (koherencia négyzete), ami hasonló a normalizált korrelációs függvény négyzetéhez:

A spektrális sűrűség bevezetésének második módja a véletlenszerű folyamatok közvetlen Fourier-transzformációja.

Legyen és két stacionárius ergodikus véletlenszerű folyamat, amelyre véges Fourier transzformációk -x hosszúságú megvalósítások definíciója:

Ezeknek a véletlenszerű folyamatoknak a kétoldali kölcsönös spektrális sűrűségét a reláción keresztüli szorzat segítségével vezetjük be

ahol a várakozási operátor az indexátlagoló műveletet jelenti.

Egy véletlenszerű folyamat kétoldali spektrális sűrűségének kiszámítása az arány szerint történik

Az egyoldali spektrális sűrűségeket hasonló módon vezetjük be:

Az (1.49), (1.50) képletekkel definiált függvények azonosak az (1.32), (1.33) relációkkal meghatározott függvényekkel, mivel Fourier transzformál kovarianciafüggvényeken. Ezt az állítást ún a Wiener-Khinchin tétel.

Ellenőrző kérdések

1. Adja meg a determinisztikus folyamatok osztályozását!

2. Mi a különbség a poliharmonikus és a majdnem periodikus folyamatok között?

3. Fogalmazza meg egy stacionárius sztochasztikus folyamat definícióját!

4. Egy ergodikus véletlenszerű folyamat jellemzőinek átlagolására melyik módszer előnyösebb - mintafüggvény-együttes átlagolása vagy egy realizáció megfigyelési ideje alatt?

5. Fogalmazza meg egy véletlenszerű folyamat valószínűségi eloszlási sűrűségének definícióját!

6. Írja fel egy stacionárius véletlen folyamat korrelációs és kovarianciafüggvényét összekötő kifejezést!

7. Milyen esetben tekintünk két véletlenszerű folyamatot nem korreláltnak?

8. Mutassa be a stacionárius véletlenszerű folyamat négyzetes átlagának kiszámítási módszereit!

9. Milyen transzformáció kapcsolódik egy véletlenszerű folyamat spektrális sűrűség- és kovarianciafüggvényéhez?

10. Mennyiben változnak két véletlenszerű folyamat koherenciafüggvényének értékei?

Irodalom

1. Sergienko, A.B. Digitális jelfeldolgozás / A.B. Sergienko. - M: Péter, 2002. - 604 p.

2. Sadovsky, G.A. Az információ- és méréstechnika elméleti alapjai / G.A. Szadovszkij. - M .: Felsőiskola, 2008 .-- 480 p.

3. Bendat, D. Korrelációs és spektrális elemzés alkalmazása / D. Bendat, A. Pirsol. - M .: Mir, 1983 .-- 312 p.

4. Bendat, D. Véletlenszerű folyamatok mérése és elemzése / D. Bendat, A. Pirsol. - M .: Mir, 1974 .-- 464 p.

Nemzetközi oktatási társaság

Alkalmazott Tudományok Kara

absztrakt

a témán"A teljesítménysűrűség spektrum és kapcsolata a korrelációs függvénnyel"

A fegyelem szerint"Az elektromos kommunikáció elmélete »

Teljesített: csoportos tanuló

FPN-REiT (s) -4S *

Dzsumageldin D

Ellenőrizve: Glukhova N.V.

Almati, 2015

I. Bevezetés

II Fő rész

1. Teljesítmény spektrális sűrűség

1.1 Véletlenszerű változók

1.2 Valószínűségi változó függvényének valószínűségi sűrűsége

2. Véletlenszerű folyamat

3. Módszer a spektrális teljesítménysűrűség meghatározására a korrelációs függvénnyel

III. Következtetés

IV Felhasznált irodalom jegyzéke

Bevezetés

A valószínűségszámítás a "statikában" veszi figyelembe a valószínűségi változókat és azok jellemzőit. A véletlenszerű jelek „dinamikus” leírásának és tanulmányozásának problémáit, mint az időben vagy bármely más változóban fejlődő véletlenszerű jelenségek megjelenítését, a véletlenszerű folyamatok elmélete oldja meg.

A valószínűségi változók független változó közötti eloszlásának univerzális koordinátájaként általában a "t" változót fogjuk használni, és pusztán a kényelem kedvéért időkoordinátaként kezeljük. A valószínűségi változók időbeni eloszlását, valamint az azokat bármilyen matematikai formában megjelenítő jeleket véletlenszerű folyamatoknak szokás nevezni. A szakirodalomban a "véletlenszerű jel" és a "véletlenszerű folyamat" kifejezéseket szinonimaként használják.

A fizikai és műszaki adatok feldolgozása és elemzése során általában három, statisztikai módszerekkel leírt jeltípussal kell számolni. Először is, ezek olyan információs jelek, amelyek valószínűségi jellegű fizikai folyamatokat tükröznek, mint például az ionizáló sugárzás részecskéinek regisztrálási aktusai a radionuklidok bomlása során. Másodszor, a fizikai folyamatok vagy objektumok bizonyos paramétereitől függő információs jelek, amelyek értékei nem ismertek előre, és amelyeket általában ezekből az információs jelekből határoznak meg. Harmadszor pedig ezek az időben kaotikusan változó zajok és interferenciák, amelyek az információs jeleket kísérik, de általában statisztikailag függetlenek tőlük mind értékük, mind időbeli változásuk tekintetében.

Spektrális teljesítménysűrűség

A teljesítményspektrális sűrűség lehetővé teszi egy véletlenszerű folyamat frekvenciatulajdonságainak megítélését. Jellemzi annak intenzitását különböző frekvenciákon, vagy más szóval a frekvenciasáv egységnyi átlagos teljesítményét.

Az átlagos teljesítmény frekvenciákon belüli eloszlásának mintázatát teljesítményspektrumnak nevezzük. A teljesítményspektrumot mérő műszert spektrumanalizátornak nevezzük. A mérések eredményeként talált spektrumot műszeres spektrumnak nevezzük.

A spektrumanalizátor a következő mérési módszereken alapul:

· Szűrési módszer;

· Átalakítási módszer a Wiener-Hinchen-tétel szerint;

· Fourier transzformáció módszere;

· Jelfüggvényeket használó módszer;

· Az ortogonális függvények hardveres alkalmazásának módja.

A teljesítményspektrum mérésének sajátossága a kísérlet jelentős időtartama. Ez gyakran meghaladja a megvalósulás fennállásának időtartamát, vagy azt az időt, amely alatt a vizsgált folyamat stacionaritása megmarad. A stacionárius ergodikus folyamat egy megvalósításából kapott teljesítményspektrum-becslések nem mindig elfogadhatók. Sokszor sok mérést kell végezni, mivel a realizációkat időnként és együttesen is átlagolni kell. Sok esetben a vizsgált véletlenszerű folyamatok megvalósítása előre memorizált, ami lehetővé teszi a kísérlet többszöri megismétlését az elemzés időtartamának változtatásával, különféle feldolgozó algoritmusok és berendezések segítségével.

Egy véletlenszerű folyamat megvalósulásának előzetes rögzítése esetén a hardverhibák a megvalósítás véges időtartama és a nonstacionaritás által meghatározott értékekre csökkenthetők.

Az elemzett implementációk memorizálása lehetővé teszi az instrumentális elemzés felgyorsítását és automatizálását.

Véletlen változók

A valószínűségi változót valószínűségi törvények írják le. Annak a valószínűsége, hogy egy folytonos mennyiség NS mérve bármely intervallumba esik x 1<х <х 2 , a következő kifejezés határozza meg:

, ahol p (x) a valószínűségi sűrűség, és. Egy diszkrét valószínűségi változóhoz x i P (x = x i) = P i, ahol P i a mennyiség i-edik szintjének megfelelő valószínűség NS.

A stacionárius véletlen folyamatok legfontosabb jellemzője a teljesítményspektrális sűrűség, amely a zajteljesítmény frekvenciaspektrumon belüli eloszlását írja le. Tekintsünk egy stacionárius véletlenszerű folyamatot, amelyet véletlen időközönként egymást követő feszültség- vagy áramimpulzusok véletlenszerű sorozatával ábrázolhatunk. A véletlenszerű impulzussorozatú folyamat nem periodikus. Ennek ellenére beszélhetünk egy ilyen folyamat spektrumáról, ebben az esetben a spektrumot a frekvenciák közötti teljesítményeloszlásként értve.

A zaj leírására bevezetjük a zajteljesítmény-spektrális sűrűség (PSD) fogalmát, amelyet általános esetben zajspektrális sűrűségnek (SP) is neveznek, amelyet a következő összefüggés határoz meg:

ahol  P(f) az időben átlagolt zajteljesítmény a frekvenciasávban f mérési frekvencián f.

A (2.10) összefüggésből következően a zaj SD dimenziója W / Hz. Általában az SP a frekvencia függvénye. A zaj SD-jének frekvenciától való függését nevezzük energia spektrum, amely információkat hordoz a rendszer dinamikus jellemzőiről.

Ha egy véletlenszerű folyamat ergodikus, akkor egy ilyen folyamat energiaspektrumát az egyetlen, a gyakorlatban széles körben használt megvalósításával találhatja meg.

Amikor egy stacionárius véletlenszerű folyamat spektrális jellemzőit vizsgáljuk, gyakran szükségesnek bizonyul a zajspektrum szélességének fogalma. Egy véletlenszerű folyamat energiaspektrumának görbe alatti területe a zaj SD-jére vonatkozott egy bizonyos jellemző frekvencián f 0-t hívnak effektív spektrumszélesség, amelyet a következő képlet határoz meg:

(2.11)

Ez az érték egy véletlenszerű folyamat egyenletes energiaspektrumának szélességeként értelmezhető egy szalagban
, átlagos teljesítménye megegyezik a vizsgált folyamattal.

Zajerő P a frekvenciasávba zárva f 1 …f 2 egyenlő

(2.12)

Ha a zaj SP-je a frekvenciasávban f 1 ...f 2 állandó és egyenlő S 0, akkor egy adott frekvenciasávban a zajteljesítményre a következőt kapjuk:
hol f=f 2 -f 1 - áramkör vagy mérőeszköz által átadott frekvenciasáv.

A stacionárius véletlenszerű folyamat fontos esete a fehér zaj, amelynél a spektrális sűrűség nem függ a frekvenciától széles frekvenciatartományban (elméletileg végtelen frekvenciatartományban). A fehér zaj energiaspektruma a -∞ frekvencia tartományban< f < A + ∞ a következőképpen adódik:

= 2S 0 = állandó, (2,13)

A fehérzaj modell egy véletlenszerű folyamatot ír le memória nélkül (utóhatás nélkül). A fehér zaj nagyszámú egyszerű homogén elemet tartalmazó rendszerekben keletkezik, és az ingadozások amplitúdójának normál törvény szerinti eloszlása ​​jellemzi. A fehérzaj tulajdonságait független egyedi események statisztikái határozzák meg (például a töltéshordozók hőmozgása egy vezetőben vagy félvezetőben). A végtelen sávszélességű valódi fehér zaj azonban nem létezik, mert végtelen ereje van.

ábrán. 2.3. a fehér zaj tipikus oszcillogramját mutatja (a pillanatnyi feszültségértékek időfüggősége) (2.3a ábra) és a pillanatnyi feszültségértékek valószínűségi eloszlási függvényét e, ami normális eloszlás (2.3b. ábra). A görbe alatti árnyékolt terület a pillanatnyi feszültségértékek előfordulási valószínűségének felel meg e meghaladja az értéket e 1 .

Rizs. 2.3. A fehér zaj tipikus oszcillogramja (a) és a zajfeszültség amplitúdójának pillanatnyi értékeinek valószínűségi sűrűségfüggvénye (b).

A gyakorlatban egy elem vagy félvezető eszköz zajának nagyságának értékelésekor általában az effektív zajfeszültséget mérik. V 2 egységekben vagy effektív áram A 2 egységekben. Ebben az esetben a zaj SD értékét V 2 / Hz vagy A 2 / Hz egységekben és a feszültségingadozások spektrális sűrűségében fejezzük ki. S u (f) vagy áram S én (f) a következő képletekkel számítják ki:

(2.14)

ahol
és az időben átlagolt zajfeszültség és áram a frekvenciasávban f illetőleg. A fenti sáv az időbeli átlagolást jelöli.

A gyakorlati feladatokban, amikor különféle fizikai mennyiségek fluktuációit vizsgáljuk, bevezetjük az ingadozások általános spektrális sűrűségének fogalmát. Ebben az esetben az ingadozások SD-je, például az ellenállásra R Ohm 2/Hz egységekben kifejezve; a mágneses indukció ingadozásait T 2 / Hz egységekben mérik, az oszcillátor frekvenciájának ingadozásait pedig Hz 2 / Hz = Hz egységekben.

Az azonos típusú lineáris kétportos hálózatok zajszintjének összehasonlításakor célszerű a relatív spektrális zajsűrűséget használni, amelyet a következőképpen határozunk meg:

=
, (2.15)

ahol u- DC feszültségesés lineáris kétportos hálózaton.

Amint a (2.15) kifejezésből látható, a relatív spektrális zajsűrűség S(f) Hz -1 egységekben van kifejezve.

A teljesítményspektrális sűrűség becslése ismert probléma a véletlenszerű folyamatoknál. A véletlenszerű folyamatok példái a zaj és az információhordozó jelek. Általában statisztikailag megbízható becslést szeretne találni. A jelelemzésről részletesen a Digitális jelfeldolgozás tanfolyamon esik szó. A kezdeti információkat a.

Ismert statisztikai jellemzőkkel rendelkező jelek esetén a spektrális tartalom ennek a jelnek egy véges intervallumából határozható meg. Ha a jel statisztikai jellemzői a jel egy szegmensére ismeretlenek, akkor csak a spektrum becslése nyerhető. A különböző módszerek eltérő feltételezéseket használnak, ezért eltérő becsléseket adnak.

A becslés kiválasztásakor feltételezzük, hogy az elemzett jel általában véletlenszerű folyamat. És szükség van egy torzításmentes, alacsony szórású becslés kiválasztására, amely lehetővé teszi a jel spektrumának átlagolását. A torzítás a becslés átlaga és a mennyiség valódi értéke közötti különbség. A torzítatlan becslés egy nulla eltolású becslés. Az alacsony varianciájú becslés jól lokalizálja a keresett értékeket, pl. a valószínűségi sűrűség az átlag körül koncentrálódik. Kívánatos az egységes minősítés, pl. olyan becslés, amely a valódi értékre hajlik a minta méretének növekedésével (a torzítás és a variancia általában nulla). Különbséget kell tenni a paraméteres becslések között, amelyek csak magára a jelre vonatkozó információkat használnak, és nem paramétereseket, egy véletlenszerű jel statisztikai modelljét használva, és kiválasztva ennek a modellnek a paramétereit.

A véletlenszerű folyamatok értékelésénél elterjedt a korrelációs függvények alkalmazása.

Egy ergodikus folyamat esetében lehetőség van a folyamat statisztikai paramétereinek meghatározására egy implementáció feletti átlagolással.

Mert stacionárius véletlenszerű folyamat az R x (t) korrelációs függvény attól az időintervallumtól függ, amelyre meghatároztuk. Ez az érték jellemzi a t intervallummal elválasztott x (t) értékek közötti kapcsolatot. Minél lassabban csökken az R (t), annál hosszabb az az intervallum, amely alatt statisztikai kapcsolat áll fenn a véletlenszerű folyamat értékei között.

ahol az x (t) matematikai elvárás.

Az R (t) korrelációs függvény és a W (w) spektrális teljesítménysűrűség közötti összefüggést egy véletlenszerű folyamat esetén a Wiener-Khinchin tétel határozza meg.

Diszkrét folyamatok esetén a Wiener-Khinchin tétel kapcsolatot hoz létre egy W (w) diszkrét véletlen folyamat spektruma és az R x (n) korrelációs függvénye között.

W (w) = R x (n) exp (-j w n T)

A jel energia becsléséhez az idő- és frekvenciatartományban a Parseval-egyenlőséget használjuk

A spektrális sűrűség becslésének egyik leggyakoribb módja a periodogram módszer alkalmazása.

Periodogram Ebben a módszerben az N minta hosszúságú diszkrét mintavételi pontjain meghatározott x (n) jelre diszkrét Fourier transzformációt hajtunk végre, és ennek statisztikai átlagolását. Az X (k) spektrum tényleges kiszámítása csak véges számú N frekvenciapontnál történik. A gyors Fourier-transzformációt (FFT) alkalmazzuk. A mintánkénti spektrális teljesítménysűrűséget kiszámítjuk:

P xx (X k) = | X (k) | 2/N, X(k) =, k = 0,1, ..., N-1.

Statisztikailag robusztus becsléshez a rendelkezésre álló adatokat átfedő mintákra osztjuk, majd az egyes mintákra kapott spektrumokat átlagoljuk. Az N mintánkénti minták száma és minden következő minta kezdetének eltolása az előző N t kezdetéhez képest be van állítva. Minél kisebb a minták száma a mintában, annál több minta van, és annál kisebb a becslések szórása. De mivel az N mintahossz a frekvenciafelbontással (2.4) van összefüggésben, a mintahossz csökkenése a frekvenciafelbontás csökkenéséhez vezet.

Így a jelet az ablakon keresztül nézzük, és az ablakba nem eső adatokat nullával egyenlőnek vesszük. Az N mintából álló végső x (n) jelet általában egy végtelen jel időbeni szorzásának eredményeként ábrázolják. (n) w R (n) véges hosszúságú téglalap alakú ablakon:

x (n) = (n)∙ w R (n),

és a megfigyelt x (n) jelek folytonos spektrumát X N (f) az idő végtelen jelének X (f), W R (f) Fourier képeinek konvolúciójaként definiáljuk. (n)∙ és ablakok w R (n)

X N (f) = X (f) * W R (f) =

A folytonos téglalap alakú ablak (rect) spektruma egy integrál szinusz formájú sinc (x) = sin (x) / x. Tartalmaz egy fő „lebenyet” és több oldallebenyet, amelyek közül a legnagyobb körülbelül 13 dB-lel a főcsúcs alatt van (lásd 15. ábra).

Egy folytonos téglalap alakú ablak N-pontos mintavételével kapott diszkrét sorozat Fourier-transzformációja (spektruma) a 32. ábrán látható. Kiszámítható az eltolt integrálszinuszok (2.9) összegzésével, ami a Dirichlet-kernelt eredményezi.

Rizs. 32. Egy diszkrét téglalap alakú ablak spektruma

Míg egy végtelen jel pontosan az f k diszkrét frekvenciára koncentrálja erejét, a jel négyszögletes mintájának megosztott teljesítményspektruma van. Minél rövidebb a minta, annál elosztottabb a spektrum.

A spektrális elemzés során az adatokat ablakfüggvények segítségével súlyozzák, ezáltal csökkentve az oldalsó „lebenyek” hatását a spektrális becslésekre.

Két f 1 és f 2 felharmonikus közeli frekvenciájú detektálásához szükséges, hogy a T időablak esetében a fő "lebeny" szélessége Df -3 ≈ Df L = 0 = 1 / T, -3 értéknél meghatározva. dB, kisebb volt, mint a keresett frekvenciák közötti különbség

Df = f 1 -f 2> Df -3

A T időablak szélessége az f s mintavételi gyakorisággal és a mintavételi minták számával van összefüggésben a (2.4) képlettel.

Harmonikus elemző eszközök... A jelek tanulmányozásához nagyon kényelmes a MATLAB csomag, különösen annak Signal Processing alkalmazás (Toolbox) használata.

Módosított periodogramok használjon nem téglalap alakú ablakfüggvényeket, amelyek csökkentik a Gibbs-effektust. Példa erre a Hamming ablak használata. Ugyanakkor a spektrogram fő lebenyének szélessége körülbelül megkétszereződik. A Kaiser ablakot valamivel jobban optimalizálták. A fő lebenyek szélességének növelése aluláteresztő szűrők létrehozásakor az átmeneti sáv (az áteresztő és leállító sávok közötti) növekedéséhez vezet.

Welch becsült funkciója... A módszer abból áll, hogy a szekvenciális időadatokat szegmensekre osztjuk (esetleg átfedéssel), majd az egyes szegmenseket feldolgozzuk, majd a szegmensek feldolgozásának átlagolásával megbecsüljük a spektrumot. A nem téglalap alakú ablakok, mint például a Hamming ablak, használhatók a pontszám javítására. A szegmensek számának növelése csökkenti a szórást, ugyanakkor csökken a módszer frekvenciafelbontása. A módszer jó eredményeket ad, ha a hasznos jel kis mértékben meghaladja a zajt, és gyakran használják a gyakorlatban.

A 33. ábra a keskeny sávú keresett jeleket és fehérzajt tartalmazó adatok harmonikus összetételének becsléseit mutatja különböző mintákon (N = 100, N = 67) és különböző módszerekkel.

Rizs. 33. Jelharmonikusok becslése 1024 pontos FFT-transzformációhoz

Paraméteres módszerek használjon autoregresszív (AR) modelleket. A módszerek szűrőmodelleket építenek, és ezek segítségével becsülik meg a jelspektrumokat. Minden módszer torzított becslést ad a jelben lévő zaj jelenlétében. A harmonikus komponenseket tartalmazó jelek zaj háttérrel történő feldolgozására szolgáló módszereket terveztek. A módszer (szűrő) sorrendje a jelben lévő harmonikusok számának kétszerese. Számos parametrikus módszert javasoltak.

A Burg módszer nagyfrekvenciás felbontást ad rövid mintákhoz. Nagy szűrősorrend esetén a spektrális csúcsok felosztásra kerülnek. A spektrális csúcsok helyzete a kezdeti harmonikus fázisoktól függ.

A kovariancia módszer lehetővé teszi a harmonikus komponensek összegét tartalmazó jel spektrumának becslését.

A Yule-Walker módszer hosszú mintákon jó eredményeket ad, rövid mintákhoz nem ajánlott.

Korrelációs módszerek... A MISIC (Multiple Signal Classification) és az EV (sajátvektorok) módszerek pszeudospektrum formájában adnak eredményeket. A módszerek a jelkorrelációs mátrix vektorainak elemzésén alapulnak. Ezek a módszerek valamivel jobb frekvenciafelbontást adnak, mint az autokorrelációs módszerek.