Lineárisan függő és lineárisan független mátrixoszlopok tulajdonságai. Lineáris sorfüggőség Sorok Lineáris függő

Mátrixsorok lineáris függetlensége

Adott egy méretmátrix

Jelöljük a mátrix sorait a következőképpen:

A két sort ún egyenlő ha a megfelelő elemeik egyenlőek. ...

Mutassuk be a karakterlánc számmal való szorzásának és a karakterláncok hozzáadásának műveleteit elemről elemre:

Meghatározás. Egy karakterláncot mátrixsorok lineáris kombinációjának nevezünk, ha egyenlő e sorok tetszőleges valós számokkal (bármilyen számokkal) képzett szorzatainak összegével:

Meghatározás. A mátrix sorait ún lineárisan függő , ha vannak olyan számok, amelyek egyidejűleg nem egyenlők nullával, így a mátrix sorainak lineáris kombinációja egyenlő a nulla sorral:

Ahol . (1.1)

A mátrix sorainak lineáris függése azt jelenti, hogy a mátrix legalább 1 sora a többi lineáris kombinációja.

Meghatározás. Ha a sorok lineáris kombinációja (1.1) akkor és csak akkor nulla, ha az összes együttható, akkor a sorok ún. lineárisan független .

Mátrix rangtétel. Egy mátrix rangja megegyezik a lineárisan független sorok vagy oszlopok maximális számával, amelyen keresztül az összes többi sor (oszlop) lineárisan kifejeződik.

A tétel alapvető szerepet játszik a mátrixelemzésben, különösen a lineáris egyenletrendszerek tanulmányozásában.

6,13,14,15,16. Vektorok. Műveletek vektorokkal (összeadás, kivonás, szorzás egy számmal),n -dimenziós vektor. A vektortér fogalma és alapja.

A vektor egy kiindulási ponttal rendelkező irányított szakasz Aés a végpont V(ami önmagával párhuzamosan mozgatható).

A vektorok 2 nagybetűvel, vagy egy kisbetűvel, vonallal vagy nyíllal jelölhetők.

Hossz (vagy modul) vektor egy szám, amely egyenlő a vektort képviselő AB szakasz hosszával.

Az egy egyenesen vagy párhuzamos vonalakon fekvő vektorokat nevezzük kollineáris .

Ha a vektor eleje és vége egybeesik (), akkor egy ilyen vektort nevezünk nulla és = jelöli. A nulla vektor hossza nulla:

1) Ha egy vektort megszorozunk egy számmal:

Lesz egy hosszúságú vektor, amelynek iránya egybeesik a vektor irányával, ha, és vele ellentétes, ha.

2) Ellentétes vektor - a vektor szorzatát - a (-1) szám hívja, azaz. - =.

3) Két vektor összege és egy vektort nevezünk, melynek eleje egybeesik a vektor elejével, vége pedig a vektor végével, feltéve, hogy az eleje egybeesik a végével. (háromszögek szabálya). Több vektor összegét is hasonló módon határozzuk meg.

4) Két vektor különbségével és a vektor és a vektor összegét -, az ellenkezőjét nevezzük.

Skaláris szorzat

Meghatározás: Két vektor skaláris szorzata az a szám, amely egyenlő ezen vektorok hosszának a közöttük lévő szög koszinuszának szorzatával:

n-dimenziós vektor és vektortér

Meghatározás... Az n-dimenziós vektor rendezett gyűjtemény n így írt valós számok x = (x 1, x 2, ..., x n), ahol x i – én -adik vektor komponens NS.

Az n-dimenziós vektor fogalmát széles körben használják a közgazdaságtanban, például egy bizonyos árukészletet a vektorral jellemezhetünk. x = (x 1, x 2, ..., x n),és a megfelelő árakat y = (y 1, y 2,…, y n).

- Két n-dimenziós vektor egyenlő akkor és csak akkor, ha a megfelelő összetevőik egyenlőek, azaz. x = y ha x én= y én, én = 1,2,…,n.

- Két vektor összege ugyanaz a dimenzió n vektornak nevezzük z = x + y amelynek komponensei egyenlők a vektortagok megfelelő komponenseinek összegével, azaz. z én= x én+ y én, i = 1,2, ..., n.

- Egy x vektor szorzata egy valós számmal vektort nevezzük, amelynek komponensei egyenlők a vektor megfelelő komponenseinek szorzatával, azaz. , én= 1,2,…,n.

Bármely vektoron végzett lineáris műveletek kielégítik a következő tulajdonságokat:

1) - az összeg kommutatív (eltolható) tulajdonsága;

2) - az összeg asszociatív (kombinációs) tulajdonsága;

3) egy numerikus tényezőhöz képest asszociatív tulajdonság;

4) - elosztó (elosztó) tulajdonság a vektorok összege tekintetében;

5) a számszerű tényezők összege tekintetében elosztó tulajdonság;

6) Van egy olyan nulla vektor, amely bármely vektorra (a nulla vektor speciális szerepe);

7) Bármely vektorhoz van egy ellentétes vektor, amelyre;

8) bármely vektorra (az 1-es numerikus tényező speciális szerepe).

Meghatározás... A valós komponensű vektorok halmazát, amelyben a vektorok összeadásának és a vektornak a fenti nyolc tulajdonságot kielégítő számmal való szorzását (axiómának tekintjük) definiáljuk, ún. vektor állapot .

A vektortér mérete és alapja

Meghatározás... A lineáris teret ún n-dimenziós ha tartalmaz n lineárisan független vektorok, és bármelyik vektor már függő. Más szavakkal, a tér dimenziója A benne található lineárisan független vektorok maximális száma. Az n számot a tér dimenziójának nevezzük, és jelöljük.

Egy n-dimenziós tér n lineárisan független vektorának gyűjteményét ún alapon .

7. A mátrix sajátvektorai és sajátértékei. A mátrix karakterisztikus egyenlete.

Meghatározás... A vektort ún saját vektor lineáris operátor, ha van olyan szám, amely:

A számot megfelelőnek nevezik operátor értéke (mátrixok A) a vektornak megfelelő.

Mátrix formában írható:

Hol van az oszlopmátrix a vektor koordinátáiból, vagy kiterjesztett formában:

Írjuk át a rendszert úgy, hogy a jobb oldalon nullák legyenek:

vagy mátrix formában:. A kapott homogén rendszernek mindig van nulla megoldása. A nem nulla megoldás létezéséhez szükséges és elegendő, hogy a rendszer determinánsa:.

A determináns egy polinom n-edik fokozat viszonylag. Ezt a polinomot ún operátor karakterisztikus polinomja vagy A mátrix, és a kapott egyenlet a következő az operátor karakterisztikus egyenlete vagy A mátrix.

Példa:

Keresse meg a mátrix által megadott lineáris operátor sajátértékeit és sajátvektorait.

Megoldás: A karakterisztikus egyenlet összeállítása vagy honnan a lineáris operátor sajátértéke.

Keresse meg a sajátértéknek megfelelő sajátvektort! Ehhez megoldjuk a mátrix egyenletet:

Vagy , vagy, honnan találjuk:, vagy

Vagy .

Tegyük fel, hogy megkapjuk, hogy a vektorok bármelyik esetén egy sajátértékkel rendelkező lineáris operátor sajátvektorai.

Hasonlóképpen egy vektor.

8. Rendszer NS lineáris egyenletek -val NS változók (általános nézet). Egy ilyen rendszer mátrixjelölése. Rendszermegoldás (definíció). Együttes és inkonzisztens, határozott és határozatlan lineáris egyenletrendszerek.

Lineáris egyenletrendszer megoldása ismeretlenekkel

A közgazdaságtanban széles körben alkalmazzák a lineáris egyenletrendszereket.

A változókkal rendelkező lineáris egyenletrendszer a következőképpen alakul:

,

ahol () tetszőleges számokat hívunk változók együtthatói és szabad egyenlettagok , ill.

Rövid bejegyzés: ().

Meghatározás. A rendszer megoldása egy olyan értékkészlet, amelynek behelyettesítésekor a rendszer minden egyenlete valódi egyenlőséggé válik.

1) Az egyenletrendszert ún közös ha van legalább egy megoldása, és következetlen ha nincs megoldása.

2) Az együttes egyenletrendszert ún egy bizonyos ha egyedi megoldása van, és határozatlan ha egynél több megoldása van.

3) Két egyenletrendszert nevezünk egyenértékű (egyenértékű) ha azonos megoldáskészlettel rendelkeznek (például egy megoldás).

Írjuk fel a rendszert mátrix formában:

Jelöljük: , ahol

A- a változók együtthatói mátrixa vagy a rendszer mátrixa, NS - mátrix-változóoszlop, V - szabad tagok mátrixoszlopa.

Mivel a mátrixoszlopok száma megegyezik a mátrixsorok számával, majd a szorzatuk:

Van egy oszlopmátrix. A kapott mátrix elemei a kiindulási rendszer bal oldalai. A mátrixok egyenlőségének definíciója alapján a kezdeti rendszer a következő formában írható fel:.

Cramer tétele. Legyen a rendszer mátrixának determinánsa, és legyen a mátrixból kapott mátrix determinánsa, ha a th oszlopot a szabad tagok oszlopával helyettesítjük. Ekkor, ha, akkor a rendszernek van egy egyedi megoldása, amelyet a képletek határoznak meg:

Cramer képlete.

Példa. Egyenletrendszer megoldása Cramer-képletekkel!

Megoldás... A rendszermátrix meghatározója. Ezért a rendszer egyedi megoldást kínál. Kiszámítjuk, amelyet az első, második, harmadik oszlop szabad tagok oszlopával való helyettesítésével kapunk:

Cramer képletei szerint:

9. Gauss-módszer a rendszer megoldásáran lineáris egyenletek -val NS változók. A Jordan-Gauss módszer fogalma.

Gauss módszer - a változók egymást követő eliminálásának módja.

A Gauss-módszer abból áll, hogy a sorok elemi transzformációi és az oszlopok permutációi segítségével az egyenletrendszert egy lépésenkénti (vagy háromszög alakú) ekvivalens rendszerré redukáljuk, amelyből az összes többi változót szekvenciálisan megtaláljuk, kezdve a utolsó (szám szerint) változók.

Kényelmes a Gauss-transzformációkat nem magukkal az egyenletekkel, hanem az együtthatóik kiterjesztett mátrixával végrehajtani, amelyet úgy kapunk, hogy a mátrixhoz egy szabad tagok oszlopát rendeljük:

.

Megjegyzendő, hogy a Gauss-módszer bármilyen alakú egyenletrendszer megoldására használható .

Példa. Oldja meg a rendszert Gauss módszerrel:

Írjuk ki a rendszer kiterjesztett mátrixát.

1. lépés . Cseréljük fel az első és a második sort úgy, hogy egyenlő legyen 1-gyel.

2. lépés. Szorozzuk meg az első sor elemeit (–2) és (–1)-gyel, és adjuk hozzá a második és harmadik sor elemeihez úgy, hogy az első oszlopban az elem alatt nullák jelenjenek meg. ...

A következő tételek igazak kompatibilis lineáris egyenletrendszerekre:

1. tétel. Ha a kompatibilis rendszer mátrixának rangja megegyezik a változók számával, azaz. , akkor a rendszernek van egy egyedi megoldása.

2. tétel. Ha a kompatibilis rendszer mátrixának rangja kisebb, mint a változók száma, pl. , akkor a rendszer határozatlan és végtelen számú megoldása van.

Meghatározás. A mátrix alapmollja bármely nullától eltérő moll, amelynek sorrendje megegyezik a mátrix rangjával.

Meghatározás. Azokat az ismeretleneket, amelyek együtthatói szerepelnek az alap-moll jelölésében, bázisnak (vagy alapnak), a többi ismeretlent szabadnak (vagy mollnak) nevezzük.

Az egyenletrendszer megoldása az esetben azt jelenti, hogy kifejezzük és (mivel az együtthatóikból álló determináns nem egyenlő nullával), akkor és szabad ismeretlenek.

Az alapváltozókat fejezzük ki szabad változókkal.

A kapott mátrix második sorából fejezzük ki a változót:

Az első sorból a következőket fejezzük ki:

Az egyenletrendszer általános megoldása:,.

Legyen k sor és k oszlop (k ≤ min (m; n)) tetszőlegesen kiválasztva egy (m; n) méretű A mátrixban. A mátrix elemei a kiválasztott sorok és oszlopok metszéspontjában egy k rendű négyzetmátrixot alkotnak, melynek determinánsát k y rendű M kk mollnak vagy az A mátrix k-edrendű molljának nevezzük.

A mátrix rangja az A mátrix nullától eltérő molljainak maximális r rendje, és minden, nullától eltérő r rendű moll alapmoll. Megnevezés: hang A = r. Ha A rang = rang B és az A és B mátrixok mérete megegyezik, akkor az A és B mátrixokat egyenértékűnek mondjuk. Megnevezés: A ~ B.

A mátrix rangjának kiszámításának fő módszerei a bordering minors módszer és a metódus.

A határ menti kiskorúak módszere

A határos kiskorúak módszerének lényege a következő. Tegyük fel, hogy a mátrixban már találtunk egy k-rendű, nullától eltérő mollot. Ekkor a következőkben csak azokat a k + 1 rendű minorokat tekintjük, amelyek nullától eltérő k-edik rendű mollot tartalmaznak (azaz határolják). Ha mindegyik egyenlő nullával, akkor a mátrix rangja k, ellenkező esetben a (k + 1)-edik rend határos minorjai között van egy nem nulla, és az egész eljárás megismétlődik.

Egy mátrix sorainak (oszlopainak) lineáris függetlensége

A mátrix rangjának fogalma szorosan kapcsolódik a sorok (oszlopok) lineáris függetlenségének fogalmához.

Mátrix sorok:

lineárisan függőnek nevezzük, ha vannak olyan λ 1, λ 2, λ k számok, amelyekre az egyenlőség igaz:

Az A mátrix sorait lineárisan függetlennek nevezzük, ha a fenti egyenlőség csak akkor lehetséges, ha minden szám λ 1 = λ 2 =… = λ k = 0

Hasonló módon határozzuk meg az A mátrix oszlopainak lineáris függését és függetlenségét.

Ha az A mátrix bármely (a l) sora (ahol (a l) = (a l1, a l2, ..., a ln)) ábrázolható

Hasonló módon definiálható az oszlopok lineáris kombinációjának fogalma is. A következő alaptétel igaz.

Az alapvonalak és az alaposzlopok lineárisan függetlenek. Az A mátrix bármely sora (vagy oszlopa) alapsorok (oszlopok) lineáris kombinációja, vagyis az alapmollt metsző sorok (oszlopok). Így az A mátrix rangja: rang A = k egyenlő az A mátrix lineárisan független sorainak (oszlopainak) maximális számával.

Azok. a mátrix rangja a mátrixon belüli legnagyobb négyzetmátrix dimenziója, amelyhez meg kell határozni a rangot, amelynél a determináns nem nulla. Ha az eredeti mátrix nem négyzetes, vagy ha négyzetes, de a determinánsa nulla, akkor alacsonyabb rendű négyzetmátrixoknál a sorok és oszlopok tetszőlegesen kerülnek kiválasztásra.

A determinánsok használata mellett a mátrix rangja a mátrix lineárisan független sorainak vagy oszlopainak számából is kiszámítható. Ez egyenlő a lineárisan független sorok vagy oszlopok számával, amelyik a kisebb. Például, ha egy mátrixnak 3 lineárisan független sora és 5 lineárisan független oszlopa van, akkor a rangja három.

Példák egy mátrix rangjának megállapítására

A bordering minors módszerrel keresse meg a mátrix rangját

határozat Másodrendű kiskorú

a határos moll M 2 szintén nem nulla. Azonban mindkét negyedrendű kiskorú, M3-mal határos.

egyenlők nullával. Ezért az A mátrix rangja 3, az alapmoll pedig például a fenti moll M 3.

Az elemi transzformációk módszere azon a tényen alapul, hogy a mátrix elemi transzformációi nem változtatják meg a rangját. Ezekkel a transzformációkkal a mátrixot olyan formára tudjuk hozni, amikor a 11, a 22,…, a rr (r ≤min (m, n)) kivételével minden eleme nulla. Ez nyilvánvalóan azt jelenti, hogy cseng A = r. Megjegyzendő, hogy ha az n-edik rendű mátrix felső háromszögmátrix alakú, vagyis olyan mátrix, amelyben a főátló alatti összes elem nulla, akkor a definíciója megegyezik a mátrixon lévő elemek szorzatával. főátló. Ezt a tulajdonságot használhatjuk a mátrix rangjának elemi transzformációk módszerével történő kiszámításakor: ezek segítségével kell a mátrixot háromszög alakúra redukálni, majd a megfelelő determináns kiválasztása után azt találjuk, hogy a mátrix rangja mátrix egyenlő a főátló nullától eltérő elemeinek számával.

Az elemi transzformációk módszerével keressük meg a mátrix rangját!

Megoldás: Jelöljük az A mátrix i-edik sorát α i szimbólummal. Az első szakaszban elemi átalakításokat hajtunk végre

A második szakaszban az átalakításokat hajtjuk végre

Ennek eredményeként azt kapjuk

Az azonos sorrendű vektorok rendszerét lineáris függőnek nevezzük, ha ezekből a vektorokból megfelelő lineáris kombinációval nulla vektor nyerhető. (Ebben az esetben nem megengedett, hogy a lineáris kombináció minden együtthatója nulla legyen, mert ez triviális lenne.) Ellenkező esetben a vektorokat lineárisan függetlennek nevezzük. Például a következő három vektor:

lineárisan függenek, mivel könnyen ellenőrizhető. Lineáris függés esetén bármely vektor mindig kifejezhető a fennmaradó vektorok lineáris kombinációjával. Példánkban: vagy vagy Megfelelő számításokkal könnyen ellenőrizhető. Ez magában foglalja a következő definíciót: egy vektor lineárisan független más vektoroktól, ha nem ábrázolható ezen vektorok lineáris kombinációjaként.

Tekintsünk egy vektorrendszert anélkül, hogy meghatároznánk, hogy lineárisan függő vagy lineárisan független. Minden a oszlopvektorból álló rendszernél lehetőség van a lineárisan független vektorok lehetséges maximális számának azonosítására. Ez a betűvel jelölt szám az adott vektorrendszer rangja. Mivel minden mátrixot oszlopvektorok rendszerének tekinthetünk, a mátrix rangja a benne található lineárisan független oszlopvektorok maximális száma. A sorvektorokat a mátrix rangjának meghatározására is használják. Mindkét módszer ugyanazt az eredményt adja ugyanarra a mátrixra, és nem haladhatja meg a legkisebbet vagy A négyzetes mátrix rangja 0-tól ig terjed. Ha minden vektor nulla, akkor egy ilyen mátrix rangja nulla. Ha minden vektor lineárisan független egymástól, akkor a mátrix rangja az. Ha a fenti vektorokból mátrixot alkotunk, akkor ennek a mátrixnak a rangja 2. Mivel minden két vektor egy lineáris kombinációval a harmadikra ​​redukálható, a rang kisebb, mint 3.

De meg lehet győződni arról, hogy bármelyik két vektor lineárisan független, ezért a rang

Egy négyzetes mátrixot degeneráltnak nevezünk, ha oszlopvektorai vagy sorvektorai lineárisan függőek. Egy ilyen mátrix determinánsa egyenlő nullával, és inverz mátrixa nem létezik, amint azt fentebb megjegyeztük. Ezek a megállapítások egyenértékűek egymással. Ennek következtében egy négyzetes mátrixot nem degeneráltnak vagy nem szingulárisnak nevezünk, ha oszlopvektorai vagy sorvektorai függetlenek egymástól. Egy ilyen mátrix determinánsa nem egyenlő nullával, és létezik inverz mátrixa (vö. 43. oldal)

A mátrix rangjának nyilvánvaló geometriai értelmezése van. Ha a mátrix rangja egyenlő, akkor azt mondjuk, hogy a -dimenziós teret vektorok fedik át. Ha a rang, akkor a vektorok a -dimenziós altérben helyezkednek el, amely mindegyiket tartalmazza. Tehát a mátrix rangja megfelel annak a térnek a minimálisan szükséges dimenziójának, amelyben "az összes vektor benne van", a -dimenziós térben lévő -dimenziós alteret -dimenziós hipersíknak nevezzük. A mátrix rangja a hipersík legkisebb dimenziójának felel meg, amelyben még minden vektor található.

Tekintsünk egy tetszőleges, nem feltétlenül négyzet alakú mxn A mátrixot.

A mátrix rangja.

A mátrix rangjának fogalma a mátrix sorai (oszlopai) lineáris függésének (függetlenségének) fogalmához kapcsolódik. Tekintsük ezt a fogalmat a húrokra. Oszlopokhoz - ugyanaz.

Jelöljük az A mátrix nyelőit:

e 1 = (a 11, a 12, ..., a 1n); е 2 = (а 21, а 22, ..., а 2n); ..., е m = (а m1, а m2, ..., а mn)

e k = e s ha a kj = a sj, j = 1,2,…, n

A mátrix sorain végzett aritmetikai műveleteket (összeadás, szorzás egy számmal) elemenként végrehajtott műveletként vezetjük be: λе k = (λа k1, λа k2,…, λа kn);

e k + e s = [(a k1 + a s1), (a k2 + a s2),…, (a kn + a sn)].

Az e vonalat hívják lineáris kombináció e 1, e 2, ..., e k sorok, ha egyenlő e sorok tetszőleges valós számok szorzatának összegével:

е = λ 1 е 1 + λ 2 е 2 +… + λ k е k

Az e 1, e 2, ..., e m sorokat hívjuk lineárisan függő ha vannak λ 1, λ 2,…, λ m valós számok, amelyek nem mindegyike egyenlő nullával, akkor ezeknek a soroknak a lineáris kombinációja egyenlő a nulla sorral: λ 1 е 1 + λ 2 е 2 +… + λ m е m = 0 ,ahol 0 =(0,0,…,0) (1)

Ha a lineáris kombináció akkor és csak akkor egyenlő nullával, ha az összes λ i együttható nulla (λ 1 = λ 2 =… = λ m = 0), akkor az e 1, e 2, ..., em sorok hívják lineárisan független.

1. tétel... Ahhoz, hogy az e 1, e 2, ..., e m egyenesek lineárisan függőek legyenek, szükséges és elegendő, hogy ezen egyenesek egyike a többi sor lineáris kombinációja.

Bizonyíték. Szükség... Legyenek az e 1, e 2,…, e m sorok lineárisan függőek. A határozottság kedvéért engedjük be (1) λ m ≠ 0, akkor

Hogy. A string e m a többi karakterlánc lineáris kombinációja. Ch.t.d.

Megfelelőség... Legyen az egyik karakterlánc, például az e m, a többi karakterlánc lineáris kombinációja. Aztán vannak olyan számok, amelyekre az egyenlőség érvényes, amelyeket átírhatunk így:

ahol az együtthatók közül legalább 1 (-1) nem egyenlő nullával. Azok. a karakterláncok lineárisan függőek. Ch.t.d.

Meghatározás. A k-rendű minor Az mxn méretű A mátrixot k-adrendű determinánsnak nevezzük, amelynek elemei az A mátrix tetszőleges k sora és k oszlopa metszéspontjában helyezkednek el. (k≤min (m, n)). ...

Példa., I. rendű kiskorúak: =, =;

2. rendű kiskorúak:, 3. rendű

A 3. rendű mátrixban 9 I. rendű moll, 9 2. rendű moll és 1 3. rendű moll (ennek a mátrixnak a determinánsa) van.

Meghatározás. Az A mátrix rangja szerint ennek a mátrixnak a legmagasabb rendű nullától eltérő molljai. Megnevezés - rg A vagy r (A).

Mátrix rang tulajdonságai.

1) az A nxm mátrix rangja nem haladja meg a méretei közül a kisebbet, azaz

r(A) ≤min (m, n).

2) r (A) = 0, ha a mátrix minden eleme egyenlő 0-val, azaz. A = 0.

3) Egy n -edrendű А négyzetmátrixra r (A) = n, ha А nem degenerált.

(Egy átlós mátrix rangja megegyezik a nem nulla átlós elemeinek számával).

4) Ha a mátrix rangja r, akkor a mátrixnak van legalább egy r rendű mollja, amely nem egyenlő nullával, és minden magasabb rendű moll egyenlő nullával.

A mátrix rangjaira a következő összefüggések érvényesek:

2) r (A + B) ≤r (A) + r (B); 3) r (AB) ≤ min (r (A), r (B));

3) r(A+B)≥│r(A)-r(B)│; 4) r (AT A) = r (A);

5) r (AB) = r (A), ha B négyzetes nem degenerált mátrix.

6) r (AB) ≥r (A) + r (B) -n, ahol n az A mátrix oszlopainak vagy a B mátrix sorainak száma.

Meghatározás. Egy r (A) rendű nullától eltérő mollot hívunk alap moll... (Az A mátrixban több alapvető moll is lehet). Azokat a sorokat és oszlopokat, amelyek metszéspontjában alap-moll található, ennek megfelelően nevezzük el alapvonalakés alaposzlopok.

2. Tétel (az alapmollról). Az alapsorok (oszlopok) lineárisan függetlenek. Bármely sor (bármely oszlop) A mátrix az alapsorok (oszlopok) lineáris kombinációja.

Bizonyíték... (Húrokhoz). Ha az alap karakterláncok lineárisan függőek lennének, akkor az (1) tétel szerint ezen karakterláncok egyike más alapvető karakterláncok lineáris kombinációja lenne, akkor az alapmoll értékének megváltoztatása nélkül ebből a karakterláncból kivonhatja a megadott lineáris kombinációt. és kapunk egy nulla karakterláncot, és ez ellentmond annak a ténynek, hogy az alapmoll nem nulla. Hogy. az alapvonalak lineárisan függetlenek.

Bizonyítsuk be, hogy az A mátrix bármely sora alapsorok lineáris kombinációja. Mivel a sorok (oszlopok) tetszőleges változtatásával a determináns megőrzi a nullával való egyenlőség tulajdonságát, ekkor az általánosság elvesztése nélkül feltételezhetjük, hogy az alapmoll a mátrix bal felső sarkában van

A =, azok. az első r sorban és az első r oszlopban található. Legyen 1 £ j £ n, 1 £ i £ m. Mutassuk meg, hogy az (r + 1)-edik rend determinánsa

Ha j £ r vagy i £ r, akkor ez a determináns egyenlő nullával, mivel két egyforma oszlopa vagy két egyforma sora lesz.

Ha j> r és i> r, akkor ez a determináns az A mátrix (r + 1) -edik rendjének minora. a mátrix rangja r, ami azt jelenti, hogy bármely magasabb rendű moll egyenlő 0-val.

Az utolsó (hozzáadott) oszlop elemei szerint bővítve azt kapjuk

a 1j A 1j + a 2j A 2j +… + a rj A rj + a ij A ij = 0, ahol az utolsó A ij algebrai komplementer egybeesik az M r alapmollral, és ezért A ij = M r ≠ 0.

Az utolsó egyenlőséget elosztva A ij-vel, az a ij elemet lineáris kombinációként fejezhetjük ki:, ahol.

Rögzítjük az i (i> r) értéket, és megkapjuk, hogy bármely j esetén (j = 1,2, ..., n) az ei i-edik sor elemei lineárisan kifejeződnek az e 1 sorok elemein keresztül, e 2, ..., er, azaz e. Az i-edik sor alapvonalak lineáris kombinációja:. Ch.t.d.

3. Tétel (szükséges és elégséges feltétele a determináns eltűnésének). Ahhoz, hogy a D n-rendű determináns nullával egyenlő legyen, szükséges és elegendő, hogy sorai (oszlopai) lineárisan függjenek.

Bizonyítás (40. o.). Szükség... Ha a D n-edrendű determináns nulla, akkor mátrixának alapmollja r rendű

Így az egyik sor a többi lineáris kombinációja. Ekkor az 1. Tétel szerint a determináns sorai lineárisan függőek.

Megfelelőség... Ha D sorai lineárisan függőek, akkor az 1. Tétel szerint egy A i sor a fennmaradó sorok lineáris kombinációja. Az A i sorból a megadott lineáris kombinációt kivonva D értékének megváltoztatása nélkül a nulla egyenest kapjuk. Ezért a determinánsok tulajdonságai alapján D = 0. h.t.d.

4. tétel. Az elemi transzformációk nem változtatják meg a mátrix rangját.

Bizonyíték... Ahogy a determinánsok tulajdonságainak figyelembe vételekor is kiderült, négyzetmátrixok transzformációja során a determinánsaik vagy nem változnak, vagy megszorozódnak egy nem nulla számmal, vagy változnak az előjel. Ebben az esetben az eredeti mátrix nullától eltérő molljainak legmagasabb rendje megmarad, pl. a mátrix rangja nem változik. Ch.t.d.

Ha r (A) = r (B), akkor A és B - megfelelője: A ~ B.

5. tétel. Az elemi transzformációk segítségével a mátrix redukálható lépésenkénti nézet. A mátrix az ún lépés, ha a következő formában van:

А =, ahol a ii ≠ 0, i = 1,2,…, r; r≤k.

Az r≤k feltétel mindig elérhető transzpozícióval.

6. tétel. Egy lépcsőzetes mátrix rangja megegyezik a nullától eltérő sorok számával .

Azok. A lépcsős mátrix rangja r, mivel van egy nem nulla r-rendű moll:

Vegye figyelembe, hogy a mátrix sorai és oszlopai méretek aritmetikai vektoraiként tekinthetők més n, ill. Így a méretmátrix gyűjteményként értelmezhető m n-dimenziós ill n m-dimenziós aritmetikai vektorok. A geometriai vektorokkal analóg módon bevezetjük a mátrix sorai és oszlopai lineáris függésének és lineáris függetlenségének fogalmát.

4.8.1. Meghatározás. Vonal
hívott karakterláncok lineáris kombinációja együtthatókkal
ha az egyenlőség ennek a sornak minden elemére igaz:

,
.

4.8.2. Meghatározás.

Húrok
hívják lineárisan függő ha van ezeknek egy nemtriviális lineáris kombinációja, amely egyenlő a nulla sorral, azaz. nem minden ilyen szám egyenlő nullával

,
.

4.8.3. Meghatározás.

Húrok
hívják lineárisan független ha csak triviális lineáris kombinációjuk egyenlő a nulla karakterlánccal, azaz.

,

4.8.4. Tétel. (A mátrixsorok lineáris függésének kritériuma)

Ahhoz, hogy a sorok lineárisan függjenek egymástól, szükséges és elegendő, hogy legalább az egyik a többi lineáris kombinációja legyen.

Bizonyíték:

Szükség. Hagyja a vonalakat
lineárisan függőek, akkor van egy nemtriviális lineáris kombinációjuk, amely egyenlő a nulla karakterlánccal:

.

Az általánosság elvesztése nélkül feltételezzük, hogy a lineáris kombináció együtthatói közül az első nem nulla (egyébként a sorok újraszámozhatók). Ezt az arányt elosztva ezzel , kapunk

,

vagyis az első sor a többi lineáris kombinációja.

Megfelelőség. Legyen az egyik sor pl. , akkor a többi lineáris kombinációja

vagyis létezik egy nemtriviális karakterlánc-kombináció
egyenlő a null karakterlánccal:

ami a vonalakat jelenti
szükség szerint lineárisan függőek.

Megjegyzés.

Hasonló definíciók és állítások is megfogalmazhatók egy mátrix oszlopaira.

4.9. A mátrix rangja.

4.9.1. Meghatározás. Kisebb rendelés mátrixok méret
a sorrend meghatározójának nevezzük némelyikének metszéspontjában elhelyezkedő elemekkel vonalak és oszlopok.

4.9.2. Meghatározás. Nem nulla kisebb rendelés mátrixok méret
hívott alapvető kiskorú ha a rendmátrix összes kiskorúja
egyenlők nullával.

Megjegyzés. Egy mátrixnak több alapvető minorja is lehet. Nyilvánvalóan mindegyik azonos sorrendben lesz. Az eset is lehetséges, ha a mátrix méret
kisebb rendelés nem nulla, és a rend minorjai
nem létezik, vagyis
.

4.9.3. Meghatározás. Az alapmollt alkotó sorokat (oszlopokat) ún alapvető sorok (oszlopok).

4.9.4. Meghatározás. Rang szerint egy mátrix alapmoll sorrendjének nevezzük. Mátrix rang jelöljük
vagy
.

Megjegyzés.

Vegyük észre, hogy a determináns sorainak és oszlopainak egyenlősége miatt a mátrix rangja nem változik transzponáláskor.

4.9.5. Tétel. (A mátrix rangjának invarianciája elemi transzformációk alatt)

A mátrix rangja nem változik elemi transzformációi során.

Nincs bizonyíték.

4.9.6. Tétel. (Az alap mollról).

Az alapsorok (oszlopok) lineárisan függetlenek. A mátrix bármely sora (oszlopa) ábrázolható az alapsorok (oszlopok) lineáris kombinációjaként.

Bizonyíték:

Végezzük el a húrok bizonyítását. Az oszlopokra vonatkozó állítás bizonyítása analógia útján is elvégezhető.

Legyen a mátrix rangja méretek
egyenlő , a
- alap moll. Az általánosság elvesztése nélkül tegyük fel, hogy az alap-moll a bal felső sarokban található (egyébként elemi transzformációkkal hozhatja a mátrixot ebbe az alakba):

.

Először bizonyítsuk be az alapsorok lineáris függetlenségét. A bizonyítást ellentmondásos úton végezzük. Tegyük fel, hogy az alapvonalak lineárisan függenek. Ekkor a 4.8.4. Tétel szerint az egyik sztring a fennmaradó alapvető karakterláncok lineáris kombinációjaként ábrázolható. Ezért ha ebből a karakterláncból kivonjuk a megadott lineáris kombinációt, akkor nulla karakterláncot kapunk, ami azt jelenti, hogy a mellék
egyenlő nullával, ami ellentmond a kiskor definíciójának. Ezzel ellentmondást kaptunk, így az alapsorok lineáris függetlensége igazolt.

Most bizonyítsuk be, hogy a mátrix bármely sora ábrázolható alapsorok lineáris kombinációjaként. Ha a kérdéses sor száma 1-től r, akkor nyilvánvalóan egy lineáris kombinációként ábrázolható, amelynek együtthatója 1 a sorra a többi sorra pedig nulla együttható. Most mutassuk meg, hogy ha a sorszám tól től
előtt
, az alapvonalak lineáris kombinációjaként ábrázolható. Tekintsük a mátrix mollját
az alapmollból származik
a sor hozzáadásával és egy tetszőleges oszlop
:

Mutassuk meg, hogy az adott moll
tól től
előtt
és tetszőleges oszlopszámra 1-től .

Valóban, ha az oszlop számát 1-től r, akkor van egy determinánsunk két azonos oszloppal, ami nyilvánvalóan egyenlő nullával. Ha az oszlopszám tól től r+1 erre és a sorszámot tól től
előtt
, azután
az eredeti mátrix magasabb rendű mollja, mint az alapmoll, ami azt jelenti, hogy az alapmoll definíciójából nullával egyenlő. Így bebizonyosodik, hogy a kiskorú
bármely sorszám esetén nulla tól től
előtt
és tetszőleges oszlopszámra 1-től ... Az utolsó oszlop szerint kibontva a következőket kapjuk:

Itt
- a megfelelő algebrai komplementerek. vegye észre, az
mivel ezért
az alapmoll. Ezért a sor elemei k az alapsorok megfelelő elemeinek lineáris kombinációjaként ábrázolható olyan együtthatókkal, amelyek nem függnek az oszlop számától :

Így bebizonyítottuk, hogy egy mátrix tetszőleges sora az alapsorok lineáris kombinációjaként ábrázolható. A tétel bizonyítva van.

13. előadás

4.9.7. Tétel. (A nem degenerált négyzetmátrix rangjáról)

Ahhoz, hogy egy négyzetes mátrix ne legyen degenerált, szükséges és elegendő, hogy a mátrix rangja megegyezzen a mátrix méretével.

Bizonyíték:

Szükség. Legyen a négyzetmátrix méret n akkor nem degenerált
, ezért a mátrix meghatározója egy alap-moll, azaz.

Megfelelőség. Legyen
akkor az alapmoll sorrendje megegyezik a mátrix méretével, ezért az alapmoll a mátrix meghatározója , azaz
alapvető kiskorú meghatározása szerint.

Következmény.

Ahhoz, hogy egy négyzetmátrix ne legyen degenerált, szükséges és elegendő, hogy sorai lineárisan függetlenek legyenek.

Bizonyíték:

Szükség. Mivel a négyzetes mátrix nem degenerált, rangja megegyezik a mátrix méretével
vagyis a mátrix meghatározója az alapmoll. Következésképpen a 4.9.6. Tétel az alapmollról a mátrix sorai lineárisan függetlenek.

Megfelelőség. Mivel a mátrix minden sora lineárisan független, rangja nem kisebb, mint a mátrix mérete, ezért
ezért az előző 4.9.7. Tétel szerint a mátrix nem degenerált.

4.9.8. A kiskorúak határolásának módszere a mátrix rangjának megállapításához.

Vegyük észre, hogy ezt a módszert részben implicit módon már leírtuk az alapvető moll tétel bizonyítása során.

4.9.8.1. Meghatározás. Kisebb
hívott határos kiskorúval kapcsolatban
ha kiskorútól származik
egy új sor és egy új oszlop hozzáadása az eredeti mátrixhoz.

4.9.8.2. Egy mátrix rangjának meghatározására szolgáló eljárás a bordering minors módszerrel.

Keresse meg a mátrix bármely, nullától eltérő aktuális kisebbjét.

Kiszámoljuk az összes vele határos kiskorút.

Ha mindegyik egyenlő nullával, akkor az aktuális moll az alap, és a mátrix rangja megegyezik az aktuális moll sorrendjével.

Ha legalább egy nullától eltérő értéket találunk a határos kiskorúak között, akkor az aktuálisnak minősül, és az eljárás folytatódik.

Határozzuk meg a kiskorúak határolásának módszerével a mátrix rangját

.

Könnyen megjelölhető az aktuális nem nulla másodrendű kisebb, például

.

Kiszámoljuk a vele határos kiskorúakat:

Ezért, mivel minden határos harmadrendű kiskorú egyenlő nullával, akkor a moll
alap, vagyis

Megjegyzés. A vizsgált példából látható, hogy a módszer meglehetősen munkaigényes. Ezért a gyakorlatban sokkal gyakrabban használják az elemi transzformációk módszerét, amelyet az alábbiakban tárgyalunk.

4.9.9. Mátrix rangjának meghatározása elemi transzformációk módszerével.

A 4.9.5. Tétel alapján kijelenthető, hogy a mátrix rangja nem változik elemi transzformációk hatására (azaz az ekvivalens mátrixok rangjai egyenlők). Ezért a mátrix rangja megegyezik az eredetiből elemi transzformációkkal kapott lépcsőzetes mátrix rangjával. Egy lépcsőzetes mátrix rangja nyilvánvalóan megegyezik a nem nulla sorok számával.

Meghatározzuk a mátrix rangját

elemi transzformációk módszerével.

Adjuk meg a mátrixot a lépcsős nézethez:

Az eredményül kapott lépcsőzetes mátrix nullától eltérő sorainak száma három, ezért

4.9.10. Egy lineáris térbeli vektorrendszer rangja.

Tekintsünk egy vektorrendszert
valami lineáris tér ... Ha lineárisan függő, akkor lineárisan független alrendszer különböztethető meg benne.

4.9.10.1. Meghatározás. A vektorrendszer rangja
lineáris tér a rendszer lineárisan független vektorainak maximális száma. A vektorrendszer rangja
ként jelölve
.

Megjegyzés. Ha egy vektorrendszer lineárisan független, akkor a rangja megegyezik a rendszerben lévő vektorok számával.

Fogalmazzunk meg egy tételt, amely megmutatja a lineáris térbeli vektorrendszer rangja és a mátrix rangja közötti összefüggést.

4.9.10.2. Tétel. (A lineáris térben lévő vektorrendszer rangjáról)

Egy lineáris térben lévő vektorrendszer rangja megegyezik egy olyan mátrix rangjával, amelynek oszlopai vagy sorai a lineáris tér valamely bázisában lévő vektorok koordinátái.

Nincs bizonyíték.

Következmény.

Ahhoz, hogy egy lineáris térben lévő vektorrendszer lineárisan független legyen, szükséges és elegendő, hogy egy mátrix rangja, amelynek oszlopai vagy sorai a vektorok koordinátái egy bizonyos bázisban, egyenlő legyen a vektorok számával. rendszer.

A bizonyíték nyilvánvaló.

4.9.10.3. Tétel (A lineáris burkológörbe méretéről).

A vektorok lineáris burkának mérete
lineáris tér egyenlő ennek a vektorrendszernek a rangjával:

Nincs bizonyíték.