Két jel korrelációs analízise si éles példa. Determinisztikus jelek korrelációs függvényei

Korreláció - a konvolúcióhoz hasonló matematikai művelet lehetővé teszi, hogy két jelből egy harmadikat kapjon. Előfordul: autokorreláció (autokorrelációs függvény), keresztkorreláció (keresztkorrelációs függvény, keresztkorrelációs függvény). Példa:

[Keresztkorrelációs függvény]

[Autokorrelációs funkció]

A korreláció a korábban ismert jelek érzékelésére szolgáló technika zajos háttérben, amelyet optimális szűrésnek is neveznek. Bár a korreláció nagyon hasonló a konvolúcióhoz, különböző módon számítják ki őket. Alkalmazási területeik is eltérőek (c (t) = a (t) * b (t) - két függvény konvolúciója, d (t) = a (t) * b (-t) - keresztkorreláció).

A korreláció ugyanaz a konvolúció, csak az egyik jel balról jobbra fordított. Az autokorreláció (autokorrelációs függvény) a jel és a τ-val eltolt másolata közötti kapcsolat mértékét jellemzi. A keresztkorrelációs függvény 2 különböző jel közötti kapcsolat mértékét jellemzi.

Az autokorrelációs függvény tulajdonságai:

1) R (τ) = R (-τ). Az R (τ) függvény páros.
2) Ha x (t) az idő szinuszos függvénye, akkor az autokorrelációs függvénye azonos frekvenciájú koszinusz. A kezdeti fázis információi elvesznek. Ha x (t) = A * sin (ωt + φ), akkor R (τ) = A 2/2 * cos (ωτ).
3) Az autokorrelációs függvényt és a teljesítményspektrumot a Fourier-transzformáció köti össze.
4) Ha х (t) tetszőleges periodikus függvény, akkor R (τ) egy állandó komponensből és egy szinuszosan változó komponensből származó autokorrelációs függvények összegeként ábrázolható.
5) Az R (τ) függvény nem hordoz információt a jel harmonikus összetevőinek kezdeti fázisairól.
6) Az idő véletlenszerű függvényében R (τ) gyorsan csökken a τ növekedésével. Azt az időtartamot, amely után R (τ) egyenlő lesz 0-val, autokorrelációs intervallumnak nevezzük.
7) Egy adott x (t) egy jól definiált R (τ)-nak felel meg, de ugyanazon R (τ) esetén különböző x (t) függvények felelhetnek meg.

Eredeti jel zajjal:

Az eredeti jel autokorrelációs funkciója:

A keresztkorrelációs függvény (CCF) tulajdonságai:

1) A CCF nem páros és nem páratlan függvény, azaz. R xy (τ) nem egyenlő R xy-vel (-τ).
2) A CCF változatlan marad a függvények váltakozásának és az argumentum előjelének megváltoztatásakor, pl. R xy (τ) = R xy (-τ).
3) Ha az x (t) és y (t) véletlenfüggvények nem tartalmaznak állandó komponenseket és független forrásokból jönnek létre, akkor R xy (τ) 0-ra hajlamos. Az ilyen függvényeket korrelálatlannak nevezzük.

Eredeti jel zajjal:

Azonos frekvenciájú meander:

Az eredeti jel és a meander összefüggése:

Figyelem! Minden elektronikus jegyzet a szerző szellemi tulajdonát képezi, és csak tájékoztatási célokat szolgál az oldalon.

3 Jelek korrelációs elemzése

A jelek spektrális elemzésének célja annak vizsgálata, hogy egy jel hogyan ábrázolható egyszerű harmonikus rezgések összegeként (vagy integráljaként), és hogyan határozza meg a hullámforma ezen rezgések amplitúdóinak és fázisainak frekvenciaeloszlásának szerkezetét. Ezzel szemben a jelek korrelációs elemzésének feladata a jelek vagy egy jel időeltolásos másolatai közötti hasonlóság és különbség mértékének meghatározása. Egy mérték bevezetése megnyitja az utat a jelek hasonlósági fokának kvantitatív mérése előtt. Megmutatjuk, hogy van bizonyos kapcsolat a jelek spektrális és korrelációs jellemzői között.

3.1 Autokorrelációs funkció (ACF)

Egy véges energiájú jel autokorrelációs függvénye a jel két példányának szorzatának integráljának értéke, egymáshoz képest eltolva a τ idővel, és ennek a τ időeltolódásnak a függvényeként tekintünk:

Ha a jelet egy véges időintervallumban határozzák meg, akkor az ACF a következőképpen jelenik meg:

ahol az eltolt jelmásolatok átfedési intervalluma.

Úgy gondolják, hogy minél nagyobb az autokorrelációs függvény értéke egy adott értéknél, annál inkább hasonlít egymáshoz a jel két, az időintervallumtal eltolt másolata. Ezért a korrelációs függvény a jel eltolt másolatai hasonlóságának mértéke.

Az így bevezetett hasonlósági mérték nulla körüli véletlenszerű oszcillációt mutató jelekre a következő jellemző tulajdonságokkal rendelkezik.

Ha a jel eltolt másolatai hozzávetőlegesen időben oszcillálnak egymáshoz, akkor ez a hasonlóságuk jele, és az ACF nagy pozitív értékeket vesz fel (nagy pozitív korreláció). Ha a másolatok szinte ellenfázisban oszcillálnak, az ACF nagy negatív értékeket vesz fel (a jelmásolatok antihasonlósága, nagy negatív korreláció).

A maximális ACF akkor érhető el, ha a másolatok egybeesnek, vagyis ha nincs eltolás. A nulla ACF értékeket olyan eltolásoknál érik el, amelyeknél sem a jelmásolatok hasonlósága, sem antihasonlósága nem észrevehető (nulla korreláció,

nincs összefüggés).

A 3.1. ábra egy bizonyos jel megvalósításának részletét mutatja 0 és 1 s közötti időintervallumban. A jel véletlenszerűen nulla körül ingadozik. Mivel a jel létezési intervalluma véges, az energiája is véges. Az ACF-e a következő egyenlet szerint számítható ki:

A jel autokorrelációs függvénye, amelyet a MathCadben ennek az egyenletnek megfelelően számítottunk ki, az ábrán látható. 3.2. A korrelációs függvény nemcsak azt mutatja meg, hogy a jel önmagához hasonló (eltolódás τ = 0), hanem azt is, hogy a jel egymáshoz képest kb. 0,063 s-kal eltolt másolatai (az autokorrelációs függvény oldalsó maximuma) is rendelkeznek néhány hasonlóság. Ezzel szemben a 0,032 s-kal eltolt jel másolatainak antihasonlónak kell lenniük egymáshoz, azaz bizonyos értelemben ellentétesnek kell lenniük egymással.

A 33. ábra e két másolat párjait mutatja. Az ábrán látható, hogy mit kell érteni a jelmásolatok hasonlósága és antihasonlósága alatt.

A korrelációs függvény a következő tulajdonságokkal rendelkezik:

1. τ = 0 esetén az autokorrelációs függvény a jelenergiával megegyező legnagyobb értéket veszi fel

2. Az autokorrelációs függvény egy egyenletes időeltolási függvény .

3. τ növelésével az autokorrelációs függvény nullára csökken

4. Ha a jel nem tartalmaz δ - típusú függvények szakadásait, akkor folytonos függvényről van szó.

5. Ha a jel elektromos feszültség, akkor a korrelációs függvénynek vannak méretei.

Az autokorrelációs függvény definíciójában periodikus jelek esetén ugyanazt az integrált osztjuk el a jelismétlési periódussal:

A bevezetett korrelációs függvény a következő tulajdonságokkal rendelkezik:

A korrelációs függvény értéke nullánál egyenlő a jelteljesítménnyel,

A korrelációs függvény dimenziója megegyezik például a jel dimenziójának négyzetével.

Például számítsuk ki egy harmonikus rezgés korrelációs függvényét:

Egy sor trigonometrikus transzformáció segítségével végül megkapjuk:

Így a harmonikus oszcilláció autokorrelációs függvénye egy koszinusz, amelynek variációs periódusa megegyezik a jelével. Az oszcillációs periódus többszöröseinek megfelelő eltolódásokkal a harmonikus önmagává alakul, és az ACF veszi fel a legnagyobb értékeket, ami az amplitúdó négyzetének felével egyenlő. Az időeltolások, az oszcillációs periódus felének többszörösei, egy szögnyi fáziseltolódásnak felelnek meg, miközben a rezgések előjele megváltozik, és az ACF minimális értéket vesz fel, negatív, és egyenlő az amplitúdó négyzetének felével. A periódus negyedének többszörösei eltolódások például a szinuszos rezgést koszinuszos oszcillációvá alakítják, és fordítva. Ebben az esetben az ACF eltűnik. Az ilyen jelek, amelyek egymáshoz képest négyzetesek, az autokorrelációs függvény szempontjából teljesen eltérőnek bizonyulnak egymástól.

Fontos, hogy a szignál korrelációs függvény kifejezése ne tartalmazza a kezdeti fázist. A fázis információi elvesztek. Ez azt jelenti, hogy maga a jel nem rekonstruálható a jelkorrelációs függvényből. A leképezés a leképezéssel ellentétben nem egy az egyhez.

Ha a jelgenerálási mechanizmust úgy értjük, mint egy bizonyos demiurgust, amely az általa választott korrelációs függvénynek megfelelő jelet hoz létre, akkor létrehozhat egy egész jelkészletet (jelek együttesét), amelyek valójában ugyanazzal a korrelációs funkcióval rendelkeznek, de különböznek egymástól. egyéb fázisbeli kapcsolatok.

A megnyilvánulás aktusa szabad akaratának jelzése által, függetlenül az alkotó akaratától (valamilyen véletlenszerű folyamat különálló megvalósulásának megjelenése),

A jellel szembeni idegen erőszak eredménye (bármilyen fizikai mennyiség mérése során kapott mérési információ bevezetése a jelbe).

Hasonló a helyzet bármely periodikus jelnél. Ha egy T főperiódusú periodikus jelnek van amplitúdóspektruma és fázisspektruma, akkor a jelkorrelációs függvény a következő formában jelenik meg:

Már ezekben a példákban is megmutatkozik bizonyos kapcsolat a korrelációs függvény és a jel spektrális tulajdonságai között. Ezekről az arányokról a későbbiekben részletesebben lesz szó.

3.2 Keresztkorrelációs függvény (CCF).

Az autokorrelációs függvénnyel ellentétben a keresztkorrelációs függvény két különböző x (t) és y (t) jel másolatának hasonlóságának mértékét határozza meg, egymáshoz képest τ idővel eltolva:

A keresztkorrelációs függvény a következő tulajdonságokkal rendelkezik:

1. τ = 0 esetén a keresztkorrelációs függvény egyenlő értéket vesz fel kölcsönös energia jelek, vagyis kölcsönhatásuk energiája

2. Bármely τ esetén a következő összefüggés áll fenn:

hol vannak a jelenergiák.

3. Az időeltolás előjelének megváltoztatása egyenértékű a jelek kölcsönös permutációjával:

4. τ növekedésével a keresztkorrelációs függvény, bár nem monoton, de nullára csökken

5. A keresztkorrelációs függvény nulla értéke nem tűnik ki a többi érték közül.

A periodikus jelek esetében a keresztkorrelációs függvény fogalmát általában egyáltalán nem használják.

Az autokorrelációs és keresztkorrelációs függvények értékeinek mérésére szolgáló eszközöket korrelátoroknak vagy korrelátoroknak nevezzük. A korrelométerek például a következő információs és mérési feladatok megoldására szolgálnak:

Az elektroencefalogramok statisztikai elemzése és a biopotenciálok regisztrálásának egyéb eredményei,

A jelforrás térbeli koordinátáinak meghatározása az időeltolódás nagyságával, amelynél a maximális CCF érhető el,

Gyenge jel leválasztása erős statikus, független interferencia hátterében,

Információszivárgási csatornák észlelése és lokalizálása a beltéri és kültéri rádiójelek közötti korreláció meghatározásával,

Működő rádiókibocsátó lehallgató eszközök, köztük lehallgatóeszközként használt mobiltelefonok automatizált közeli észlelése, felismerése és keresése,

A csővezetékek szivárgásának lokalizálása két akusztikus zajjel CCF-jének meghatározása alapján, amelyet szivárgás okoz két mérési ponton, ahol érzékelők találhatók a csövön.

3.3 Összefüggések a korreláció és a spektrális függvények között.

Mind a korrelációs, mind a spektrális függvények leírják a jelek belső szerkezetét, belső szerkezetét. Ezért várható, hogy a jelek leírásának e két módja között van némi kölcsönös függés. A periodikus jelek példáján már láthatta egy ilyen kapcsolat jelenlétét.

A keresztkorrelációs függvény, mint bármely más időfüggvény, alávethető a Fourier-transzformációnak:

Változtassuk meg az integráció sorrendjét:

A szögletes zárójelben lévő kifejezés az y (t) jel Fourier-transzformációjaként fogható fel, de a kitevőben nincs mínuszjel. Ez arra utal, hogy a belső integrál olyan kifejezést ad nekünk, amely komplex konjugált a spektrális függvénnyel.

De a kifejezés nem függ az időtől, így a külső integrál előjelén kívülre vihető. Ekkor a külső integrál egyszerűen megadja az x (t) jel spektrális függvényének definícióját. Végül a következőkkel rendelkezünk:

Ez azt jelenti, hogy két jel keresztkorrelációs függvényének Fourier-transzformációja egyenlő a spektrális függvényeik szorzatával, amelyek közül az egyiket komplex konjugációnak vetik alá. Ezt a terméket a jelek keresztspektrumának nevezik:

A kapott kifejezésből egy fontos következtetés következik: ha az x (t) és y (t) jelek spektruma nem fedi egymást, azaz különböző frekvenciatartományban helyezkednek el, akkor az ilyen jelek korrelálatlanok, egymástól függetlenek. .

Ha betesszük a fenti képleteket: x (t) = y (t), akkor az autokorrelációs függvény Fourier-transzformációjára egy kifejezést kapunk.

Ez azt jelenti, hogy a jel autokorrelációs függvénye és spektrális függvényének modulusának négyzete a Fourier-transzformáción keresztül összefügg egymással.

A függvényt hívják energia spektrum jel. Az energiaspektrum azt mutatja meg, hogy a jel teljes energiája hogyan oszlik el az egyes harmonikus komponensek frekvenciái között.

3.4 A frekvenciatartományból érkező jelek energetikai jellemzői

Két jel kölcsönös korrelációs függvénye a Fourier-transzformációval kapcsolódik a jelek kölcsönös spektrumához, ezért a keresztspektrum inverz Fourier-transzformációjaként fejezhető ki:

Helyettesítsük be az időeltolódás értékét az egyenlőségláncba. Ennek eredményeként olyan arányt kapunk, amely meghatározza a jelentést Rayleigh-egyenlőség:

vagyis két jel szorzatának integrálja egyenlő ezen jelek spektrumai szorzatának integráljával, amelyek közül az egyiket komplex konjugációnak vetik alá.

Ezt az arányt ún Parseval egyenlősége.

A periodikus jelek energiája végtelen, de ereje véges. Amikor megvizsgáljuk őket, már találkoztunk azzal a lehetőséggel, hogy egy periodikus jel teljesítményét a komplex spektrum együtthatói modulusai négyzetösszegével számítsuk ki:

Ez az összefüggés teljes analógiát mutat Parseval egyenlőségével.

A jelek spektrális elemzésének célja annak vizsgálata, hogy egy jel hogyan ábrázolható egyszerű harmonikus rezgések összegeként (vagy integráljaként), és hogyan határozza meg a hullámforma ezen rezgések amplitúdóinak és fázisainak frekvenciaeloszlásának szerkezetét. Ezzel szemben a jelek korrelációs elemzésének feladata a jelek vagy egy jel időeltolásos másolatai közötti hasonlóság és különbség mértékének meghatározása. Egy mérték bevezetése megnyitja az utat a jelek hasonlóságának mértékének kvantitatív mérése előtt. Megmutatjuk, hogy van bizonyos kapcsolat a jelek spektrális és korrelációs jellemzői között.

3.1 Autokorrelációs funkció (ACF)

Ha a jelet véges időintervallumban észleljük , akkor az ACF a következőképpen található:

ahol
- az eltolt jelmásolatok átfedő intervalluma.

Úgy gondolják, hogy minél nagyobb az autokorrelációs függvény értéke
ezen az értéken , annál jobban eltolódik a jel két másolata az időintervallum szerint hasonlóak egymáshoz. Ezért a korrelációs függvény
és a hasonlóság mértéke a jel eltolt másolataira.

Az így bevezetett hasonlósági mérték nulla körüli véletlenszerű oszcillációt mutató jelekre a következő jellemző tulajdonságokkal rendelkezik.

Ha a jel eltolt másolatai időben megközelítőleg ingadoznak egymáshoz képest, akkor ez a hasonlóság jele, és az ACF nagy pozitív értékeket vesz fel (nagy pozitív korreláció). Ha a másolatok szinte ellenfázisban oszcillálnak, az ACF nagy negatív értékeket vesz fel (a jelmásolatok antihasonlósága, nagy negatív korreláció).

A 33. ábra e két másolat párjait mutatja. Az ábrán látható, hogy mit kell érteni a jelmásolatok hasonlósága és antihasonlósága alatt.

A korrelációs függvény a következő tulajdonságokkal rendelkezik:

1. τ = 0 esetén az autokorrelációs függvény a jelenergiával megegyező legnagyobb értéket veszi fel

2. Az autokorrelációs függvény egy egyenletes időeltolási függvény
.

3. τ növelésével az autokorrelációs függvény nullára csökken

4. Ha a jel nem tartalmaz δ - függvények típusú szakadásokat, akkor
- folyamatos funkció.

5... Ha a jel elektromos feszültség, akkor a korrelációs függvénynek van mérete
.

Az autokorrelációs függvény definíciójában periodikus jelek esetén ugyanazt az integrált osztjuk el a jelismétlési periódussal:

A bevezetett korrelációs függvény a következő tulajdonságokkal rendelkezik:

Például számítsuk ki egy harmonikus rezgés korrelációs függvényét:

Egy sor trigonometrikus transzformáció segítségével végül megkapjuk:

Így a harmonikus oszcilláció autokorrelációs függvénye egy koszinusz, amelynek variációs periódusa megegyezik a jelével. Az oszcillációs periódus többszöröseinek megfelelő eltolódásokkal a harmonikus önmagává alakul, és az ACF veszi fel a legnagyobb értékeket, ami az amplitúdó négyzetének felével egyenlő. Az időeltolások, az oszcillációs periódus felének többszörösei, egyenértékűek egy szögnyi fáziseltolással
, ebben az esetben az oszcillációk előjele megváltozik, és az ACF minimális értéket vesz fel, negatív és egyenlő az amplitúdó négyzetének felével. A periódus negyedének többszörösei eltolódások például a szinuszos rezgést koszinuszos oszcillációvá alakítják, és fordítva. Ebben az esetben az ACF eltűnik. Az ilyen jelek, amelyek egymáshoz képest négyzetesek, az autokorrelációs függvény szempontjából teljesen eltérőnek bizonyulnak egymástól.

Fontos, hogy a szignál korrelációs függvény kifejezése ne tartalmazza a kezdeti fázist. A fázis információi elvesztek. Ez azt jelenti, hogy maga a jel nem rekonstruálható a jelkorrelációs függvényből. Kijelző
a megjelenítéssel szemben
nem egy az egyhez.

a megnyilvánulás aktusa szabad akaratának jele által, függetlenül az alkotó akaratától (valamilyen véletlenszerű folyamat különálló megvalósulásának megjelenése),

a jellel szembeni idegen erőszak eredménye (bármilyen fizikai mennyiség mérése során kapott mérési információ bevezetése a jelbe).

Hasonló a helyzet bármely periodikus jelnél. Ha egy T alapperiódusú periodikus jelnek van amplitúdóspektruma
és fázisspektrum
, akkor a jelkorrelációs függvény a következő alakot ölti:

A kommunikációelméletben a korrelációs elméletet a véletlenszerű folyamatok tanulmányozására alkalmazzák, lehetővé téve a véletlen jelek korrelációja és spektrális tulajdonságai közötti kapcsolat megállapítását. A probléma gyakran abból adódik, hogy egy átvitt jelet egy másikban vagy interferenciában észlel. A megbízható jelérzékelés érdekében a módszert alkalmazzák. összefüggések korrelációelmélet alapján. A gyakorlatban hasznosnak bizonyul azoknak a jellemzőknek a elemzése, amelyek képet adnak az időbeli változás sebességéről, valamint a jel időtartamáról anélkül, hogy harmonikus komponensekre bontják.

Hagyja, hogy a jel másoljon u (t - m) el van tolva az eredetitől u (t) a t időintervallumra A jel különbségének (összekapcsolásának) mértékének számszerűsítésére u (t)és annak ofszet másolata u (t - t) felhasználás autokorrelációs függvény(ACF). Az ACF a jel és annak eltolt másolata közötti hasonlóság mértékét mutatja – minél nagyobb az ACF érték, annál erősebb ez a hasonlóság.

Egy véges időtartamú determinisztikus jel (véges jel) esetén az ACF analitikai rekordja a következő alakú integrálja

A (2.56) képlet azt mutatja, hogy a jelhez viszonyított másoláseltolás hiányában (m = 0) az ACF pozitív, maximális és egyenlő a jel energiájával:

Ekkora energia [J] szabadul fel egy 1 Ohm ellenállású ellenálláson, ha a kapcsaira valamilyen feszültséget kapcsolunk. u (t)[V].

Az ACF egyik legfontosabb tulajdonsága a paritása: V( t) = V(- T). Valóban, ha a (2.56) kifejezésben megváltoztatjuk a változót x = t - t akkor

Ezért a (2.56) integrál más formában is ábrázolható:

Egy Г periódusú periodikus jelnél, amelynek energiája végtelenül nagy (mivel a jel végtelen ideig létezik), az ACF (2.56) képlettel való kiszámítása elfogadhatatlan. Ebben az esetben az ACF-et a következő időszakra határozzák meg:

2.3. példa

Határozzuk meg egy téglalap alakú impulzus ACF-jét, amelynek van amplitúdója E valamint a t és időtartamot (2.24. ábra).

Megoldás

Az impulzushoz kényelmes az ACF grafikus kiszámítása. Ez az elrendezés az ábrán látható. 2,24, a-d, ahol a kezdeti impulzus adott, ill u (t)= u t másolata m t (?) = u (t- t) = m t és szorzatuk u (f) u (t- t) = uu v Tekintsük a (2.56) integrál grafikus kiszámítását. Munka u (t) u (t- t) nem egyenlő nullával abban az időintervallumban, amikor a jel és a másolat bármely része átfedésben van. ábrából következik. 2,24, ez az intervallum egyenlő x - t m-rel, ha a másolat időeltolása kisebb, mint az impulzus időtartama. Ilyen esetekben az impulzus esetében az ACF-et a következőképpen határozzák meg V( t) = E 2 ( t és - | t |) a másolat időbeli eltolásával az aktuális időpontra | t | B (0) = = E 2 m u = E (lásd 2.24. ábra, G).

Rizs. 2.24.

a - impulzus; 6 - másolat; v - a jel és a másolat terméke; G - ACF

Gyakran bevezetnek egy numerikus paramétert, amely kényelmes a jelek elemzéséhez és összehasonlításához - korrelációs intervallum t k, analitikailag és grafikusan megegyezik az ACF alap szélességével. Ebben a példában a korrelációs intervallum m k = 2m és.

Példa 2.4

Határozza meg egy harmonikus (koszinusz) jel ACF-jét! u (t) == t / m cos (co? + a).

Rizs. 2.25.

a - harmonikus jel; b - A harmonikus jel ACF-je

Megoldás

A (2.57) képlet felhasználásával és jelölésével p-ben ( t) = V( m), találjuk

Ebből a képletből következik, hogy egy harmonikus jel ACF-je is harmonikus függvény (2.25. ábra, b)és a hatalom dimenziója (V 2). Megjegyzendő még egy nagyon fontos tény, hogy a számított ACF nem függ a harmonikus jel kezdeti fázisától (paraméter

Az elemzésből egy fontos következtetés következik: szinte bármilyen jel ACF-je nem függ a fázisspektrumától. Következésképpen azoknak a jeleknek, amelyeknek az amplitúdóspektruma teljesen egybeesik, és a fázisspektrumuk különbözik, ugyanaz az ACF lesz. További megjegyzés, hogy az eredeti jel nem állítható vissza az ACF-ből (ismét a fázisinformáció elvesztése miatt).

Az ACF és a jelenergia-spektrum kapcsolata. Hagyja, hogy az impulzus jelezzen u (t) spektrális sűrűsége 5 (ω). Az ACF-et a (2.56) képlet segítségével definiáljuk írással és (C) az inverz Fourier-transzformáció (2.30) formájában:

Egy új változó bevezetésével x = t - m, az utolsó képletből itt kapjuk meg az integrált

a jel spektrális sűrűségének komplex konjugált függvénye

A (2.59) relációt figyelembe véve a (2.58) képlet alakot ölt Funkció

hívják energia spektrum a jel (spektrális energiasűrűsége), az energia frekvenciaeloszlását mutatja. A jel energiaspektrumának mérete megfelel az IP / s) - [(V 2 -s) / Hz] értékének.

A (2.60) összefüggést figyelembe véve végül megkapjuk az ACF kifejezését:

Tehát egy jel ACF-je energiaspektrumának inverz Fourier-transzformációja. Az ACF közvetlen Fourier-transzformációja

Így, közvetlen Fourier transzformáció (2.62) Az ACF meghatározza az energiaspektrumot, a az energiaspektrum inverz Fourier transzformációja(2.61) - Egy determinisztikus jel ACF-je. Ezek az eredmények két okból is fontosak. Először is, az energia spektrumbeli eloszlása alapján lehetővé válik a jelek korrelációs tulajdonságainak becslése - minél szélesebb a jel energiaspektruma, annál kisebb a korrelációs intervallum. Ennek megfelelően minél nagyobb a jel korrelációs intervalluma, annál rövidebb az energiaspektruma. Másodszor, a (2.61) és (2.62) relációk lehetővé teszik az egyik függvény kísérleti meghatározását a másik értékéből. Gyakran kényelmesebb először megkapni az ACF-et, majd a közvetlen Fourier-transzformáció segítségével kiszámítani az energiaspektrumot. Ezt a technikát széles körben alkalmazzák a jel tulajdonságainak valós idejű elemzésében, pl. feldolgozása késedelme nélkül.

Két jel keresztkorrelációs függvénye. Ha fel kell mérnie a jelek közötti kapcsolat mértékét u x (t)és u 2 (t), majd használd keresztkorrelációs függvény(VKF)

m = 0 esetén a CCF egyenlő az ún két jel kölcsönös energiája

A CCF érték nem változik, ha a második jel késleltetése helyett u 2 (t) tekintsük előrehaladását az első m jellel, (?), ezért

Az ACF a CCF speciális esete, ha a jelek azonosak, pl. u y (t) = u 2 (t) = u (t). Az ACF-el ellentétben két B 12 (t) jel CCF-je nem páros, és nem feltétlenül maximális t = 0-nál, azaz. a jelek időeltolása hiányában.

A rádiótechnika fejlődésének korai szakaszában az a kérdés, hogy bizonyos speciális alkalmazásokhoz a legjobb jeleket kell kiválasztani, nem volt túl akut. Ennek oka egyrészt a továbbított üzenetek viszonylag egyszerű szerkezete (távirati üzenetek, rádióadás); másrészt bonyolult alakú jelek gyakorlati megvalósítása kódolásukkal, modulációjukkal és üzenetté való fordított átalakításukkal kombinálva nehezen kivitelezhetőnek bizonyult.

Jelenleg a helyzet gyökeresen megváltozott. A modern rádióelektronikai komplexumokban a jelek kiválasztását elsősorban nem előállításuk, átalakításuk és vételük technikai kényelme, hanem a rendszer tervezésében előirányzott problémák optimális megoldásának lehetősége szabja meg. Annak megértéséhez, hogyan merül fel a speciálisan kiválasztott tulajdonságokkal rendelkező jelek iránti igény, tekintse meg a következő példát.

Időeltolásos jelek összehasonlítása.

Térjünk rá egy impulzusradar működésének leegyszerűsített ötletére, amely az éneklési távolság mérésére szolgál. Itt a mérés tárgyára vonatkozó információ szerepel az értékben - a szondázás és a vett jelek közötti késleltetés. A szondázás és a vett és a jelek alakja minden késleltetésnél azonos.

A hatótávolság mérésére szolgáló radarjel-feldolgozó eszköz blokkvázlata az ábrán látható módon nézhet ki. 3.3.

A rendszer olyan elemek halmazából áll, amelyek késleltetik a „referencia” kibocsátott jelet néhány rögzített időintervallumra

Rizs. 3.3. Jelkésleltetési idő mérő készülék

A késleltetett jelek a vett jellel együtt az összehasonlító eszközökbe kerülnek, amelyek az alapelv szerint működnek: a kimeneti jel csak akkor jelenik meg, ha mindkét bemeneti rezgés egymás „másolata”. Annak a csatornának a számának ismeretében, amelyben a megadott esemény bekövetkezik, mérhető a késleltetés, és ezáltal a cél távolsága.

Egy ilyen eszköz annál pontosabban működik, annál jobban különbözik egymástól a jel és annak időben eltolt "másolata".

Ez jó „ötletet ad arról, hogy milyen jelek jók” egy adott alkalmazáshoz.

Térjünk át a feltett probléma pontos matematikai megfogalmazására, és mutassuk meg, hogy ez a kérdéskör közvetlenül kapcsolódik a jelek energiaspektrumának elméletéhez.

A jel autokorrelációs funkciója.

A jel és az időeltolásos másolat közötti különbség mértékének számszerűsítésére a jel autokorrelációs függvényét (ACF) szokás bevezetni, amely egyenlő a jel és a másolat skaláris szorzatával:

A következőkben feltételezzük, hogy a vizsgált jel impulzív jelleggel rendelkezik időben lokalizálva, így biztosan létezik a (3.15) alakú integrál.

Közvetlenül látható, hogy az autokorrelációs függvény egyenlővé válik a jel energiájával:

Az ACF egyik legegyszerűbb tulajdonsága a paritása:

Valóban, ha megváltoztatjuk a változókat a (3.15) integrálban, akkor

Végül az autokorrelációs függvény egyik fontos tulajdonsága a következő: az időeltolódás bármely értékénél az ACF modulja nem lépi túl a jelenergiát:

Ez a tény közvetlenül következik a Cauchy-Bunyakovsky egyenlőtlenségből (lásd 1. fejezet):

Tehát az ACF szimmetrikus görbének tűnik központi maximummal, amely mindig pozitív. Ebben az esetben a jel típusától függően az autokorrelációs függvény monoton csökkenő és oszcilláló jellegű is lehet.

Példa 3.3. Keresse meg egy téglalap alakú videoimpulzus ACF értékét.

ábrán. A 3.4, a egy téglalap alakú videoimpulzust mutat U amplitúdóval és időtartammal, itt van a "másolata is", a késleltetés irányába időben eltolva. Az integrált (3.15) ebben az esetben alapvetően egy grafikus konstrukció alapján számítjuk ki. Valójában a és és a szorzata csak abban az időintervallumban nem nulla, amikor a jelek átfedése figyelhető meg. ábrából 3.4, látható, hogy ez az időintervallum egyenlő, ha az eltolás nem haladja meg az impulzus időtartamát. Így a figyelembe vett jelre

Egy ilyen függvény grafikonja az ábrán látható háromszög. 3.4, b. A háromszög alapjának szélessége kétszerese az impulzusszélességnek.

Rizs. 3.4. Négyszögletes videoimpulzus ACF-jének megkeresése

Példa 3.4. Keresse meg egy négyszögletes rádióimpulzus ACF értékét.

Ilyen alakú rádiójelet fogunk figyelembe venni

Tudva előre, hogy az ACF páros, beállítással kiszámítjuk a (3.15) integrált. Ahol

ahonnan könnyen eljutunk

Természetesen az érték egyenlő lesz ennek az impulzusnak az energiájával (lásd az 1.9. példát). A (3.21) képlet leírja egy téglalap alakú rádióimpulzus ACF-jét minden határon belüli eltolásra. Ha az eltolás abszolút értéke meghaladja az impulzus időtartamát, akkor az autokorrelációs függvény ugyanúgy eltűnik.

Példa 3.5. Határozza meg a négyszögletes videoimpulzusok sorozatának ACF értékét.

A radarban széles körben használják a jeleket, amelyek azonos alakú impulzuscsomagok, amelyek azonos időintervallumban követik egymást. Az ilyen burst észlelésére, valamint paramétereinek, például az időbeni pozíciójának mérésére olyan eszközöket hoznak létre, amelyek hardveres algoritmusokat valósítanak meg az ACF kiszámításához.

Rizs. 3.5. Három azonos videoimpulzusból álló sorozat ACF-je: a - impulzusok sorozata; b - ACF grafikon

ábrán. A 3.5, c egy három azonos téglalap alakú videoimpulzusból álló csomagot mutat be. Megmutatja a (3.15) képlettel számított autokorrelációs függvényét is (3.5. ábra, b).

Jól látható, hogy az ACF maximumát a következő időpontban érjük el, azonban ha a késleltetés a szekvenciaperiódus többszörösének bizonyul (esetünkben at), akkor az ACF oldallebenyeit figyeljük meg, amelyek magassága összehasonlítható a fővel. lebeny. Ezért ennek a jelnek a korrelációs szerkezetének ismert tökéletlenségéről beszélhetünk.

Egy végtelenül kiterjesztett jel autokorrelációs függvénye.

Ha a periodikus sorozatokat időben végtelenül meghosszabbítottnak kell tekinteni, akkor a jelek korrelációs tulajdonságainak vizsgálatának megközelítését némileg módosítani kell.

Feltételezzük, hogy egy ilyen sorozatot valamilyen időben lokalizált, azaz impulzusból, jelből kapunk, amikor az utóbbi időtartama a végtelenbe hajlik. A kapott kifejezések divergenciájának elkerülése érdekében az új ACF-et a jel és annak másolata skaláris szorzatának átlagértékeként definiáljuk:

Ezzel a megközelítéssel az autokorrelációs függvény egyenlő lesz e két jel átlagos kölcsönös teljesítményével.

Például, ha egy végtelen koszinuszhullámhoz akarjuk megtalálni az ACF-et, használhatjuk a (3.21) képletet, amelyet egy időtartamú rádióimpulzusra kapunk, majd a megadott határértékre (3.22) léphetünk. Ennek eredményeként azt kapjuk

Ez az ACF maga is periodikus függvény; értéke egyenlő

Egy jel energiaspektruma és autokorrelációs függvénye közötti kapcsolat.

A fejezet anyagát tanulmányozva az olvasó arra gondolhat, hogy a korrelációelemzés módszerei olyan speciális technikákként működnek, amelyeknek nincs összefüggésük a spektrális felbontás elveivel. Azonban nem. Könnyen kimutatható, hogy szoros kapcsolat van az ACF és a jel energiaspektruma között.

Valójában a (3.15) képlet szerint az ACF egy pontszorzat: Itt a szimbólum a jel időeltolásos másolatát jelöli, és

Áttérve az általánosított Rayleigh-képletre (2.42), felírhatjuk az egyenlőséget

Időeltolásos spektrális sűrűség

Így jutunk el az eredményhez:

A spektrális sűrűség modulusának négyzete köztudottan a jel energiaspektrumát jelenti. Tehát az energiaspektrumot és az autokorrelációs függvényt a Fourier-transzformáció kapcsolja össze:

Nyilvánvaló, hogy van fordított összefüggés is:

Ezek az eredmények alapvetően két okból is fontosak. Először is kiderül, hogy a jelek korrelációs tulajdonságait meg lehet becsülni energiájuk spektrumbeli eloszlása alapján. Minél szélesebb a jel sávszélessége, annál szűkebb az autokorrelációs függvény fő lebenyje, és annál tökéletesebb a jel a kezdeti pillanat pontos mérésének lehetősége szempontjából.

Másodszor, a (3.24) és (3.26) képletek jelzik az energiaspektrum kísérleti meghatározásának módját. Gyakran célszerűbb először megszerezni az autokorrelációs függvényt, majd a Fourier-transzformáció segítségével megkeresni a jel energiaspektrumát. Ez a technika széles körben elterjedt a jelek tulajdonságainak tanulmányozásában, nagy sebességű számítógépek segítségével valós időben.

A sovtk arány alapján Ebből következik, hogy a korrelációs intervallum

kiderül, hogy minél kevesebb, annál magasabb a jelspektrum felső határfrekvenciája.

A jel autokorrelációs függvény típusára vonatkozó korlátozások.

Az autokorrelációs függvény és az energiaspektrum között talált kapcsolat lehetővé teszi egy érdekes és első pillantásra nem nyilvánvaló kritérium felállítását egy adott korrelációs tulajdonságú jel létezésére. A tény az, hogy bármely jel energiaspektrumának definíció szerint pozitívnak kell lennie [lásd. (3.25) képlet]. Ez a feltétel nem teljesül az ACF egyetlen választása esetén sem. Például ha veszed

és számítsa ki a megfelelő Fourier-transzformációt

Ez a váltakozó függvény egyetlen jel energiaspektrumát sem reprezentálja.