A Butterworth-szűrő frekvenciaválaszát az egyenlet írja le

A Butterworth szűrő jellemzői: nemlineáris fázisválasz; a pólusok számától független vágási frekvencia; a tranziens válasz oszcilláló jellege lépcsős bemeneti jellel. A szűrők sorrendjének növekedésével az oszcillációs karakter fokozódik.

Chebisev szűrő

A Csebisev-szűrő frekvenciaválaszát az egyenlet írja le

,

ahol T n 2 (ω/ω n ) - Csebisev-polinom n- A parancs.

A Csebisev-polinomot a rekurzív képlet segítségével számítjuk ki

A Chebyshev szűrő jellemzői: a fázisválasz fokozott egyenetlensége; hullámzó jellemző az áteresztősávban. Minél nagyobb a szűrő frekvencia-válaszának egyenetlenségi együtthatója az áteresztősávban, annál élesebb a csökkenés az átmeneti tartományban azonos sorrendben. A lépcsőzetes bemeneti jelű tranziens hullámzás erősebb, mint egy Butterworth-szűrőé. A Csebisev-szűrő pólusainak Q-tényezője magasabb, mint a Butterworth-szűrőé.

Bessel szűrő

A Bessel-szűrő frekvenciaválaszát az egyenlet írja le

,

ahol
;B n 2 (ω/ω cp s ) - Bessel-polinom n sorrendben.

A Bessel-polinom kiszámítása az ismétlődő képlet segítségével történik

A Bessel-szűrő jellemzői: meglehetősen egyenletes frekvencia- és fázisválasz, közelítve a Gauss-függvénnyel; a szűrő fáziseltolása arányos a frekvenciával, azaz. a szűrőnek frekvenciafüggetlen csoportkésleltetési ideje van. A vágási frekvencia a szűrőpólusok számának változásával változik. A szűrőgördülés általában sekélyebb, mint Butterworthé és Csebisevé. Ez a szűrő különösen alkalmas impulzusáramkörökhöz és fázisérzékeny jelfeldolgozáshoz.

Cauer szűrő (elliptikus szűrő)

A Cauer-szűrő átviteli funkciójának általános képe

.

Cauer szűrő jellemzői: egyenetlen frekvenciaátvitel az áteresztő sávban és a leállító sávban; az összes felsorolt ​​szűrő közül a legélesebb frekvencia-visszaesés; kisebb szűrősorrenddel valósítja meg a szükséges átviteli függvényeket, mint más típusú szűrők használatakor.

Szűrési sorrend meghatározása

A szükséges szűrési sorrendet az alábbi képletekkel határozzuk meg, és a legközelebbi egész értékre kerekítjük. Butterworth szűrőrendelés

.

Csebisev szűrőrendelés

.

A Bessel-szűrő esetében nincs képlet a sorrend kiszámítására, ehelyett táblázatokat adnak meg a szűrő sorrendjének a késleltetési idő egységnyi értéktől való minimális eltérésének és a veszteség szintjének dB-ben való megfeleltetéséről adott frekvencián.

A Bessel-szűrő sorrendjének kiszámításakor a következő paraméterek kerülnek beállításra:

A csoport késleltetési idejének százalékos toleranciája adott frekvencián ω ω cp s ;

A szűrőerősítés csillapítási szintje dB-ben állítható be a frekvencián ω tekintetében normalizálva ω cp s .

Ezen adatok alapján kerül meghatározásra a Bessel-szűrő szükséges sorrendje.

Az 1. és 2. rendű nagynyomású szűrők kaszkádvázlatai

ábrán. A 12.4, 12.5 az LPF szakaszok tipikus sémáit mutatják.

a) b)

Rizs. 12.4. Butterworth, Chebisev és Bessel LPF szakaszai: a - 1. rend; b - 2. rend

a) b)

Rizs. 12.5. Cauer LPF kaszkádok: a - 1. rend; b - 2. rend

Az LPF Butterworth, Chebyshev és Bessel 1. és 2. rendű átviteli funkcióinak általános képe

,
.

Az 1. és 2. rendű Cauer LPF átviteli funkcióinak általános képe

,
.

A legfontosabb különbség a 2. rendű Cauer-szűrő és a bemetszett szűrő között az, hogy a Cauer-szűrő átviteli függvényében a frekvencia arány Ω s ≠ 1.

Butterworth, Chebyshev és Bessel LPF-ek kiszámításának módszertana

Ez a technika a táblázatokban megadott együtthatókon alapul, és Butterworth, Chebyshev és Bessel szűrőkre érvényes. A Cauer-szűrők számítási módszerét külön adjuk meg. Az LPF-ek kiszámítása Butterworth, Chebyshev és Bessel esetében a sorrend meghatározásával kezdődik. Minden szűrőnél be van állítva a minimális és maximális csillapítás, valamint a vágási frekvencia paraméterei. Csebisev-szűrők esetén az áteresztősáv frekvencia-válasz együtthatója, a Bessel-szűrők esetében pedig a csoportkésleltetési idő is meghatározásra kerül. Ezt követően meghatározzuk a szűrő átviteli függvényét, amely a táblázatokból kivehető, és kiszámítjuk az I. és 2. rendű kaszkádokat, a következő számítási eljárást követjük:

A szűrő sorrendjétől és típusától függően a kaszkádok sémái kerülnek kiválasztásra, míg a páros sorrendű szűrő n/ 2 2. rendű kaszkád, és páratlan sorrendű szűrő - egy elsőrendű kaszkádból és ( n– 1) / 2 2. rendű kaszkád;

Az 1. sorrendi kaszkád kiszámításához:

A kiválasztott szűrőtípus és sorrend határozza meg az értéket b 1 1. rendű kaszkád;

Az alapterület csökkentésével a kapacitás-besorolás kerül kiválasztásra C és kiszámította R képlet alapján (választhat és R, de ajánlatos választani C, a pontosság érdekében)

;

A nyereség kiszámítása megtörténik NAK NEK nál nél U 1 relációból meghatározott I. rendű kaszkád

,

ahol NAK NEK nál nél U- a szűrő egészének nyeresége; NAK NEK nál nél U 2 , …, NAK NEK nál nél ENSZ- a 2. rendű fokozatok erősítési tényezői;

Az erősítés megvalósításához NAK NEK nál nél U 1 az ellenállásokat a következő arány alapján kell beállítani

R B = R A ּ (NAK NEK nál nél U1 –1) .

A 2. sorrendű kaszkád kiszámításához:

Az elfoglalt terület csökkentésével a kapacitások névleges értékei kerülnek kiválasztásra C 1 = C 2 = C;

Az együtthatók a táblázatok szerint kerülnek kiválasztásra b 1 énés K pi 2. rendű kaszkádokhoz;

Adott névleges kondenzátor mellett C ellenállásokat számítanak ki R képlet szerint

;

A kiválasztott szűrőtípushoz be kell állítani a megfelelő erősítést NAK NEK nál nél Ui = 3 – (1/K pi) az ellenállások beállításával, az alábbi arány alapján

R B = R A ּ (NAK NEK nál nél Ui –1) ;

Bessel-szűrők esetén az összes kondenzátor névleges értékét meg kell szorozni a szükséges csoportkésleltetési idővel.

A digitális IIR szűrők (azaz a végtelen impulzusválasz szűrők) mögött meghúzódó elméletek nagy része megköveteli a folyamatos idejű szűrők kiszámításának megértését. Ezért ez a rész számos szabványos analóg szűrőhöz nyújt tervezési képleteket, beleértve a Butterworth, Bessel és Chebyshev I. és II. típusú szűrőket. Az ezeknek a szűrőknek megfelelő adott jellemzők közelítésére szolgáló módszerek előnyeinek és hátrányainak részletes elemzése számos, az analóg szűrők számítási módszereivel foglalkozó munkában található, ezért az alábbiakban csak röviden felsoroljuk az egyes szűrők főbb tulajdonságait. írja be, és adja meg az analóg szűrők együtthatóinak kiszámításához szükséges számított arányokat.

Legyen szükség egy normalizált aluláteresztő szűrő kiszámítására, amelynek vágási frekvenciája Ω = 1 rad / s. Általában az amplitúdó karakterisztika négyzetét használják közelítő függvényként (a Bessel-szűrő kivétel). Feltételezzük, hogy az analóg szűrő átviteli függvénye a következő formájú S változó racionális függvénye:

Az aluláteresztő Butterworth szűrőkre jellemző, hogy a lehető legsimább amplitúdóválaszt adják az s-sík origójában. Ez azt jelenti, hogy az origó amplitúdójellemzőjének minden létező deriváltja nulla. A normalizált (azaz 1 rad/s vágási frekvenciájú) Butterworth-szűrő négyzetes amplitúdója:

ahol n - szűrőrendelés. A (14.2) függvényt a teljes S-síkra analitikusan kiterjesztve megkapjuk

Az összes pólus (14.3) az egységkörön azonos távolságra helyezkedik el egymástól S-sík ... Fejezzük ki az átviteli függvényt H (s) a bal oldali félsíkban elhelyezkedő pólusokon keresztül S :

Hol (14,4)

ahol k = 1,2 ... ..n (14,5)

a k 0 a normalizálás állandója. A (14.2) és (14.5) képletekkel az aluláteresztő Butterworth szűrők számos tulajdonsága megfogalmazható.

Az aluláteresztő Butterworth szűrők tulajdonságai:

1. A Butterworth szűrőknek csak pólusai vannak (e szűrők átviteli függvényeinek minden nullája a végtelenben van).

2. Ω = 1 rad / s frekvenciánál a Butterworth szűrők átviteli együtthatója (azaz a vágási frekvencián az amplitúdó karakterisztika 3 dB-lel csökken).

3. Szűrési sorrend n teljesen meghatározza a teljes szűrőt. A gyakorlatban a Butterworth-szűrő sorrendjét általában abból a feltételből számítják ki, hogy adott frekvencián Ω t> 1 bizonyos csillapítást biztosítanak. A szűrő sorrendje, Ω = Ω t frekvencián biztosítva< уровень амплитудной характеристики, равный 1/А, можно найти из соотношения

Rizs. 14.1. Pólushelyek az analóg aluláteresztő Butterworth-szűrőhöz.

Rizs. 14.2- Amplitúdó- és fáziskarakterisztika, valamint az analóg aluláteresztő Butterworth-szűrő csoportkésleltetési jellemzői.

Legyen például, frekvencián szükséges Ω t = 2 rad/s A = 100-nak megfelelő csillapítást biztosítson. Ekkor

Lekerekített n egész számig azt találjuk, hogy a megadott csillapítás biztosítja a 7. rendű Butterworth-szűrőt.

Megoldás... Tervezési jellemzőként 1 / A == 0,0005 (ami 66 dB-es csillapításnak felel meg) és Ω t = 2, kapunk n== 10,97. A kerekítés ad n = 11... ábrán. A 14.1 a számított Butterworth szűrő pólusainak elhelyezkedését mutatja be s-sík... Ennek a szűrőnek az amplitúdója (logaritmikus skálán) és fázisjellemzői, valamint a csoportkésleltetés karakterisztikája az ábrán látható. 14.2.

Butterworth szűrő

Butterworth aluláteresztő szűrő átviteli funkció n-a sorrendet a következő kifejezés jellemzi:

A Butterworth szűrő frekvenciaválasza a következő tulajdonságokkal rendelkezik:

1) Bármilyen sorrendben n frekvencia válasz értéke

2) az u = u s vágási frekvencián

Az LPF frekvenciaválasza a frekvencia növekedésével monoton módon csökken. Emiatt a Butterworth szűrőket lapos válaszú szűrőknek nevezik. A 3. ábra a Butterworth LPF 1-5 rendű amplitúdó-frekvencia karakterisztikáját mutatja be. Nyilvánvaló, hogy minél nagyobb a szűrők sorrendje, annál pontosabban közelítjük meg egy ideális aluláteresztő szűrő frekvenciamenetét.

3. ábra - Frekvenciaválasz az aluláteresztő Butterworth-szűrőhöz 1-től 5-ig

A 4. ábra a Butterworth HPF áramköri megvalósítását mutatja.

4. ábra – Butterworth HPF-II

A Butterworth szűrő előnye, hogy az áteresztő sáv frekvenciáin a legsimább frekvenciamenet, az elnyomási sáv frekvenciáin pedig csaknem nullára csökken. A Butterworth szűrő az egyetlen szűrő, amely megőrzi a frekvenciamenetet magasabb rendűeknél (kivéve az elnyomási sáv meredekebb lefutását), míg sok más típusú szűrő (Bessel-szűrő, Csebisev-szűrő, elliptikus szűrő) eltérő frekvenciával rendelkezik. válaszformák különböző sorrendben.

Az I. és II. típusú Chebyshev szűrőkkel vagy egy elliptikus szűrővel összehasonlítva azonban a Butterworth szűrő sekélyebb gördüléssel rendelkezik, ezért magasabb rendűnek kell lennie (amit nehezebb megvalósítani), hogy a kívánt jellemzőket biztosítsa a leállító sáv frekvenciáin. .

Chebisev szűrő

A Csebisev-szűrő átviteli függvényének négyzetét a következő kifejezés határozza meg:

hol van a Csebisev-polinom. A Csebisev-szűrő átviteli függvényének modulusa eggyel egyenlő azokon a frekvenciákon, ahol eltűnik.

A Csebisev szűrőket általában ott használják, ahol kis sorrendű szűrővel kell biztosítani a szükséges frekvencia-jellemzőket, különösen a frekvenciák jó elnyomását az elnyomási sávból, és a frekvencia átvitel simasága az áteresztősávon és az elnyomási frekvenciákon nem megfelelő. fontos.

Léteznek I és II típusú Chebisev szűrők.

1. típusú Chebisev szűrő. Ez a Chebisev-szűrők gyakoribb módosítása. Egy ilyen szűrő áteresztősávjában hullámzások láthatók, amelyek amplitúdóját a hullámossági index határozza meg e. Analóg elektronikus Csebisev szűrő esetén a sorrendje megegyezik a megvalósítás során felhasznált reaktív komponensek számával. A karakterisztika meredekebb gördülése érhető el, ha nem csak az áteresztősávban, hanem az elnyomási sávban is engedélyezünk hullámzást, ha a szűrő átviteli függvényéhez nullákat adunk a jsh képzeletbeli tengelyen a komplex síkban. Ez azonban kevésbé hatékony elnyomást eredményez a bevágási sávban. A kapott szűrő egy elliptikus szűrő, más néven Cauer-szűrő.

Az első típusú, negyedrendű Chebisev aluláteresztő szűrő frekvenciamenetét az 5. ábra mutatja.

5. ábra - Frekvenciaválasz az első típusú, negyedrendű Chebisev aluláteresztő szűrőhöz

A Csebisev II típusú szűrőt (inverz Csebisev szűrő) ritkábban használják, mint az I. típusú Csebisev szűrőt, az amplitúdókarakterisztika kevésbé meredek elgurulása miatt, ami az alkatrészek számának növekedéséhez vezet. Nincs hullámossága az áteresztősávban, de jelen van az elnyomási sávban.

A második típusú, negyedrendű Chebisev aluláteresztő szűrő frekvenciamenetét a 6. ábra mutatja.

6. ábra – AFC a Csebisev II típusú aluláteresztő szűrőhöz

A 7. ábra az I. és II. rendű Chebyshev HPF-ek sematikus megvalósítását mutatja.

7. ábra - HPF Chebisev: a) Megrendelem; b) II rend

A Chebisev szűrők frekvenciaválasz tulajdonságai:

1) Az áteresztősávban a frekvenciamenet egyenlő hullámú. Az intervallumon (-1? U? 1) van n pontok, ahol a függvény eléri az 1-gyel egyenlő maximális értéket vagy a minimális értéket. Ha n páratlan, ha n páros;

2) a Csebisev-szűrő frekvenciaválaszának értéke a vágási frekvencián

3) At, a függvény monoton csökken, és nullára hajlik.

4) Az e paraméter határozza meg a Chebisev-szűrő frekvenciaválaszának egyenetlenségét az áteresztősávban:

A Butterworth és Chebyshev szűrők frekvenciamenetének összehasonlítása azt mutatja, hogy a Chebisev szűrő nagyobb csillapítást biztosít az áteresztősávban, mint az azonos sorrendű Butterworth szűrő. A Chebyshev szűrők hátránya, hogy az áteresztősávban lévő fázis-frekvencia karakterisztikája jelentősen eltér a lineárisokétól.

A Butterworth és Chebyshev szűrőkhöz részletes táblázatok találhatók, amelyek a pólusok koordinátáit és a különböző sorrendű átviteli függvények együtthatóit mutatják be.

A szűrők elemzésekor és paramétereik kiszámításakor mindig használunk néhány szabványos kifejezést, és érdemes ezeket a kezdetektől ragaszkodni.

Tegyük fel, hogy egy aluláteresztő szűrőt szeretne lapos áteresztősávval és éles átmenettel a bevágási sávra. Az ütközősáv végső meredeksége mindig 6n dB / oktáv, ahol n a pólusok száma. Pólusonként egy kondenzátor (vagy induktor) szükséges, így a szűrő frekvenciamenetének végső gördülési sebességére vonatkozó követelmények durván szólva meghatározzák annak összetettségét.

Most tegyük fel, hogy úgy dönt, hogy egy 6 pólusú aluláteresztő szűrőt használ. Magas frekvenciákon garantált a 36 dB / oktáv végső rolloff. Most viszont lehetőség van a szűrőáramkör optimalizálására abban az értelemben, hogy az áteresztősávban a leglaposabb választ adjuk azáltal, hogy csökkentjük az áteresztősávról a leállító sávra való átmenet meredekségét. Másrészt az áteresztősáv némi hullámzásának lehetővé tételével meredekebb átmenet érhető el az áteresztősávról a leállítósávra. A harmadik kritérium, amely fontos lehet, azt írja le, hogy a szűrő képes-e az áteresztősávban elhelyezkedő spektrumú jeleket átengedni anélkül, hogy a fáziseltolódások miatt torzítaná azok alakját. Érdekelheti a felfutási idő, a túllövés és a beállási idő is.

Ismertek olyan szűrőtervezési technikák, amelyek alkalmasak ezen jellemzők bármelyikének vagy ezek kombinációjának optimalizálására. Az igazán intelligens szűrőválasztások nem a fent leírtak szerint működnek; Általános szabály, hogy először beállítják az áteresztősáv jellemzőinek szükséges egységességét és a szükséges csillapítást egy bizonyos frekvencián az áteresztősávon kívül, és más paramétereket. Ezt követően kiválasztják a legmegfelelőbb áramkört, amelynek pólusai száma elegendő ahhoz, hogy mindezen követelményeket kielégítse. A következő néhány rész a három legnépszerűbb szűrőtípust vizsgálja meg, nevezetesen a Butterworth-t (a lehető leglaposabb áteresztősáv-válasz), a Csebisev-szűrőt (a legmeredekebb átmenet-átmenet) és a Bessel-szűrőt (a leglaposabb késleltetési válasz). Az ilyen típusú szűrők bármelyike ​​megvalósítható különféle szűrősémák segítségével; Néhányat a későbbiekben tárgyalunk, mindegyik egyformán alkalmas aluláteresztő, felüláteresztő és sávszűrők készítésére.

Butterworth és Chebyshev szűrők. A Butterworth szűrő biztosítja a leglaposabb választ az áteresztősávban, ami az átmeneti tartomány sima válaszadása árán érhető el, pl. sávszélesség és késleltetés között. Amint azt később látni fogjuk, ennek is gyenge a fázisfrekvencia-válasza. Frekvenciaválaszát a következő képlet adja meg:
U ki / U be = 1 / 1/2,
ahol n a szűrő sorrendje (pólusok száma). A pólusok számának növelése lehetővé teszi az áteresztősáv válaszának simítását és az áteresztősávtól az elnyomási sávszélességig terjedő meredekség növelését, amint az az ábrán látható. 5.10.

Rizs. 5.10 Az aluláteresztő Butterworth-szűrők normalizált jellemzői. Figyelje meg a gördülés növekedését a szűrősorrend növekedésével.

A Butterworth szűrőt választva minden mást kompromisszumot kötünk a lehető leglaposabb válasz érdekében. Karakterisztikája vízszintesen megy, nulla frekvenciától kezdve, inflexiója ƒ s vágási frekvenciánál kezdődik - ez a frekvencia általában a -3 dB pontnak felel meg.

A legtöbb alkalmazásban a legjelentősebb tényező az, hogy az áteresztősáv hullámossága ne haladja meg a meghatározott értéket, mondjuk az 1 dB-t. A Csebisev szűrő megfelel ennek a követelménynek, miközben a karakterisztika bizonyos egyenetlenségei megengedettek a teljes átviteli sávban, ugyanakkor a csavarodás élessége jelentősen megnő. A Csebisev szűrőnél be van állítva a pólusok száma és az áteresztősáv egyenetlensége. Az áteresztősáv fokozott hullámzása élesebb törést eredményez. Ennek a szűrőnek a frekvenciaválaszát a következő összefüggés adja meg
U ki / U be = 1 / 1/2,
ahol C n egy első típusú n fokú Csebisev-polinom, és ε egy állandó, amely meghatározza a karakterisztika egyenetlenségét az áteresztősávban. A Chebyshev szűrő, akárcsak a Butterworth szűrő, olyan fázisfrekvenciás jellemzőkkel rendelkezik, amelyek messze nem ideálisak. ábrán. Az 5.11 összehasonlításképpen bemutatja a 6 pólusú aluláteresztő Chebisev és Butterworth szűrők jellemzőit. Amint könnyen látható, mindkettő sokkal jobb, mint egy 6 pólusú RC szűrő.

Rizs. 5.11. Néhány általánosan használt 6 pólusú aluláteresztő szűrő jellemzőinek összehasonlítása. Ugyanazon szűrők jellemzői logaritmikus (felső) és lineáris (alsó) skálán is megjelennek. 1 - Bessel-szűrő; 2 - Butterworth szűrő; 3 - Csebisev szűrő (0,5 dB hullámzás).

Valójában az áteresztősávban maximálisan lapos válaszjelű Butterworth szűrő nem olyan vonzó, mint amilyennek tűnhet, hiszen minden esetben el kell viselni az áteresztősáv egyenetlenségét (Butterworth szűrő esetén ez fokozatos csökkenést jelent a karakterisztikában az ƒ s frekvenciához közeledve, és a Csebisev-szűrő esetében a teljes áteresztősávon elosztott hullámzás). Ezen túlmenően, a meghatározott tűréshatárral rendelkező elemekből épített aktív szűrők a számítotttól eltérő karakterisztikával rendelkeznek, ami azt jelenti, hogy a Butterworth-szűrő karakterisztikáján a valóságban mindig lesz némi egyenetlenség az áteresztősávban. ábrán. Az 5.12 szemlélteti a kondenzátorkapacitás és az ellenállás ellenállás értékeinek legnemkívánatosabb eltéréseinek hatását a szűrő karakterisztikájára.

Rizs. 5.12. Az elemek paramétereinek változásának hatása az aktív szűrő jellemzőire.

A fentiek fényében nagyon racionális felépítés a Csebisev-szűrő. Néha egyenlő hullámú szűrőnek nevezik, mivel az átmeneti tartományban jellemzője nagy meredekséggel rendelkezik, mivel több egyenlő méretű hullám oszlik el az áteresztősávon, amelyek száma a szűrő sorrendjével nő. Még viszonylag alacsony hullámosság mellett is (körülbelül 0,1 dB) a Csebisev-szűrő sokkal nagyobb meredekséget biztosít az átmeneti tartományban, mint a Butterworth-szűrő. Ennek a különbségnek a számszerűsítéséhez tegyük fel, hogy olyan szűrőre van szüksége, amely legfeljebb 0,1 dB áteresztő sáv hullámzással és 20 dB csillapítással rendelkezik az áteresztősáv vágási frekvenciától 25%-kal eltérő frekvencián. A számítások azt mutatják, hogy ebben az esetben egy 19 pólusú Butterworth szűrőre vagy csak egy 8 pólusú Chebisev szűrőre van szükség.

Az a gondolat, hogy az átmeneti szakasz meredekségének növelése érdekében bele lehet tűrni a karakterisztika hullámzását az átmeneti sávban, az ún. elliptikus szűrő (vagy Cauer) ötletében jut el logikus következtetésre. szűrő), amelyben a karakterisztika hullámzása mind az áteresztősávban, mind a sávban az átmeneti szakasz meredekségének biztosítása érdekében még nagyobb késleltetést tesz lehetővé, mint a Csebisev-szűrő karakterikáé. Számítógép segítségével ellipszis alakú szűrőket olyan egyszerűen lehet megépíteni, mint a klasszikus Chebisev és Butterworth szűrőket. ábrán. Az 5.13 a szűrő frekvenciamenetének grafikus beállítását mutatja. Ebben az esetben (aluláteresztő szűrő) az áteresztősávban megengedett szűrőerősítés (azaz síkság) tartománya, az a minimális frekvencia, amelyen a karakterisztika elhagyja az áteresztősávot, a maximális frekvencia, ahol a karakterisztika átmegy a stopsávba, és a az áteresztősáv minimális csillapítását határozzák meg.

Rizs. 5.13. A szűrő frekvenciamenet paramétereinek beállítása.

Bessel szűrők. Mint korábban említettük, a szűrő frekvenciaválasza nem ad teljes információt róla. Egy lapos frekvenciamenetű szűrő nagy fáziseltolódásokkal rendelkezhet. Ennek eredményeként a hullámforma, amelynek spektruma az áteresztősávban található, a szűrőn való áthaladáskor torzul. Olyan helyzetben, amikor a hullámforma kiemelkedően fontos, kívánatos, hogy rendelkezésre álljon egy lineáris fázisszűrő (konstans késleltetésű szűrő). Ha megkövetelik a szűrőtől, hogy lineáris fáziseltolást biztosítson a frekvencia függvényében, az egyenértékű az állandó késleltetés megkövetelésével egy olyan jel esetében, amelynek spektruma az áteresztősávban van, azaz a hullámforma nem torzul. A Bessel-szűrőnek (más néven Thomson-szűrőnek) van a leglaposabb a késleltetési ideje az áteresztősávban, ahogy a Butterworth-szűrőé is a leglaposabb frekvencia. Annak megértéséhez, hogy a Bessel-szűrő milyen javulást ad az időtartományban, tekintse meg az 1. ábrát. 5.14, amely a 6 pólusú Bessel és Butterworth aluláteresztő szűrők frekvenciára normalizált késleltetési idejét mutatja. A Butterworth-szűrő gyenge késleltetési jellemzői túllövési hatásokat okoznak, amikor impulzusjelek haladnak át a szűrőn. Másrészt a Bessel-szűrő késleltetési idejének állandóságáért kifizetődő az a tény, hogy amplitúdó-frekvencia karakterisztikája még a Butterworth-szűrő karakterisztikájánál is laposabb átmenettel rendelkezik az áteresztő sáv és a leállító sáv között. .

Rizs. 5.14. A 6 sávos aluláteresztő Bessel (1) és Butterworth (2) szűrők időkéslelésének összehasonlítása. A Bessel-szűrő kiváló időtartománybeli tulajdonságainak köszönhetően ad a legkevesebb torzítást a hullámformában.

Számos különféle szűrőtervezési technika létezik, amelyek megpróbálják javítani a Bessel-szűrő teljesítményét az időtartományban, feláldozva a késleltetési idő konzisztenciáját részben a felfutási idő csökkentése és a frekvenciaválasz javítása érdekében. A Gauss-szűrőnek majdnem olyan jó a fázisválasza, mint a Bessel-szűrőnek, de javított tranziens válaszjellel. Egy másik érdekes osztály a szűrők, amelyek lehetővé teszik az áteresztősávban a késleltetési időgörbe azonos hullámzását (hasonlóan a Csebisev-szűrő frekvenciaválaszának hullámzásához), és megközelítőleg azonos késleltetést biztosítanak a legfeljebb stopszalag. Az állandó késleltetésű szűrők létrehozásának másik módja a teljes áteresztő szűrők, más néven időtartomány-kiegyenlítők használata. Ezek a szűrők állandó frekvenciamenettel rendelkeznek, és a fáziseltolás az egyedi igényeknek megfelelően változtatható. Így bármely szűrő, különösen a Butterworth és Chebyshev szűrők késleltetési idejének kiegyenlítésére használhatók.

A szűrők összehasonlítása. A Bessel-szűrők tranziens válaszára vonatkozó korábbi megjegyzések ellenére még mindig nagyon jó tulajdonságokkal rendelkezik az időtartományban a Butterworth és Chebyshev szűrőkhöz képest. Maga a Csebisev-szűrő a maga nagyon megfelelő frekvencia-átvitelével rendelkezik a legrosszabb időtartomány-paraméterekkel mindhárom szűrőtípus közül. A Butterworth szűrő kompromisszumot kínál a frekvencia és az időzítés között. ábrán. Az 5.15 információ a három szűrőtípus teljesítményjellemzőiről nyújt információt az időtartományban, a korábban bemutatott frekvencia-válasz diagramokon kívül. Ezen adatok alapján megállapítható, hogy azokban az esetekben, amikor az időtartománybeli szűrőparaméterek fontosak, kívánatos a Bessel-szűrő alkalmazása.

Rizs. 5.15. 6 pólusú aluláteresztő szűrők tranzienseinek összehasonlítása. A görbék normalizálása a 3 dB-es csillapítás 1 Hz-es frekvenciára való konvertálásával történik. 1 - Bessel-szűrő; 2 - Butterworth szűrő; 3 - Csebisev szűrő (0,5 dB hullámzás).

A Butterworth-szűrő frekvenciaválaszát az egyenlet írja le

A Butterworth szűrő jellemzői: nemlineáris fázisválasz; a pólusok számától független vágási frekvencia; a tranziens válasz oszcilláló jellege lépcsős bemeneti jellel. A szűrők sorrendjének növekedésével az oszcillációs karakter fokozódik.

Chebisev szűrő

A Csebisev-szűrő frekvenciaválaszát az egyenlet írja le

,

ahol T n 2 (ω/ω n ) - Csebisev-polinom n- A parancs.

A Csebisev-polinomot a rekurzív képlet segítségével számítjuk ki

A Chebyshev szűrő jellemzői: a fázisválasz fokozott egyenetlensége; hullámzó jellemző az áteresztősávban. Minél nagyobb a szűrő frekvencia-válaszának egyenetlenségi együtthatója az áteresztősávban, annál élesebb a csökkenés az átmeneti tartományban azonos sorrendben. A lépcsőzetes bemeneti jelű tranziens hullámzás erősebb, mint egy Butterworth-szűrőé. A Csebisev-szűrő pólusainak Q-tényezője magasabb, mint a Butterworth-szűrőé.

Bessel szűrő

A Bessel-szűrő frekvenciaválaszát az egyenlet írja le

,

ahol
;B n 2 (ω/ω cp s ) - Bessel-polinom n sorrendben.

A Bessel-polinom kiszámítása az ismétlődő képlet segítségével történik

A Bessel-szűrő jellemzői: meglehetősen egyenletes frekvencia- és fázisválasz, közelítve a Gauss-függvénnyel; a szűrő fáziseltolása arányos a frekvenciával, azaz. a szűrőnek frekvenciafüggetlen csoportkésleltetési ideje van. A vágási frekvencia a szűrőpólusok számának változásával változik. A szűrőgördülés általában sekélyebb, mint Butterworthé és Csebisevé. Ez a szűrő különösen alkalmas impulzusáramkörökhöz és fázisérzékeny jelfeldolgozáshoz.

Cauer szűrő (elliptikus szűrő)

A Cauer-szűrő átviteli funkciójának általános képe

.

Cauer szűrő jellemzői: egyenetlen frekvenciaátvitel az áteresztő sávban és a leállító sávban; az összes felsorolt ​​szűrő közül a legélesebb frekvencia-visszaesés; kisebb szűrősorrenddel valósítja meg a szükséges átviteli függvényeket, mint más típusú szűrők használatakor.

Szűrési sorrend meghatározása

A szükséges szűrési sorrendet az alábbi képletekkel határozzuk meg, és a legközelebbi egész értékre kerekítjük. Butterworth szűrőrendelés

.

Csebisev szűrőrendelés

.

A Bessel-szűrő esetében nincs képlet a sorrend kiszámítására, ehelyett táblázatokat adnak meg a szűrő sorrendjének a késleltetési idő egységnyi értéktől való minimális eltérésének és a veszteség szintjének dB-ben való megfeleltetéséről adott frekvencián.

A Bessel-szűrő sorrendjének kiszámításakor a következő paraméterek kerülnek beállításra:

A csoport késleltetési idejének százalékos toleranciája adott frekvencián ω ω cp s ;

A szűrőerősítés csillapítási szintje dB-ben állítható be a frekvencián ω tekintetében normalizálva ω cp s .

Ezen adatok alapján kerül meghatározásra a Bessel-szűrő szükséges sorrendje.

Az 1. és 2. rendű nagynyomású szűrők kaszkádvázlatai

ábrán. A 12.4, 12.5 az LPF szakaszok tipikus sémáit mutatják.

a) b)

Rizs. 12.4. Butterworth, Chebisev és Bessel LPF szakaszai: a - 1. rend; b - 2. rend

a) b)

Rizs. 12.5. Cauer LPF kaszkádok: a - 1. rend; b - 2. rend

Az LPF Butterworth, Chebyshev és Bessel 1. és 2. rendű átviteli funkcióinak általános képe

,
.

Az 1. és 2. rendű Cauer LPF átviteli funkcióinak általános képe

,
.

A legfontosabb különbség a 2. rendű Cauer-szűrő és a bemetszett szűrő között az, hogy a Cauer-szűrő átviteli függvényében a frekvencia arány Ω s ≠ 1.

Butterworth, Chebyshev és Bessel LPF-ek kiszámításának módszertana

Ez a technika a táblázatokban megadott együtthatókon alapul, és Butterworth, Chebyshev és Bessel szűrőkre érvényes. A Cauer-szűrők számítási módszerét külön adjuk meg. Az LPF-ek kiszámítása Butterworth, Chebyshev és Bessel esetében a sorrend meghatározásával kezdődik. Minden szűrőnél be van állítva a minimális és maximális csillapítás, valamint a vágási frekvencia paraméterei. Csebisev-szűrők esetén az áteresztősáv frekvencia-válasz együtthatója, a Bessel-szűrők esetében pedig a csoportkésleltetési idő is meghatározásra kerül. Ezt követően meghatározzuk a szűrő átviteli függvényét, amely a táblázatokból kivehető, és kiszámítjuk az I. és 2. rendű kaszkádokat, a következő számítási eljárást követjük:

A szűrő sorrendjétől és típusától függően a kaszkádok sémái kerülnek kiválasztásra, míg a páros sorrendű szűrő n/ 2 2. rendű kaszkád, és páratlan sorrendű szűrő - egy elsőrendű kaszkádból és ( n– 1) / 2 2. rendű kaszkád;

Az 1. sorrendi kaszkád kiszámításához:

A kiválasztott szűrőtípus és sorrend határozza meg az értéket b 1 1. rendű kaszkád;

Az alapterület csökkentésével a kapacitás-besorolás kerül kiválasztásra C és kiszámította R képlet alapján (választhat és R, de ajánlatos választani C, a pontosság érdekében)

;

A nyereség kiszámítása megtörténik NAK NEK nál nél U 1 relációból meghatározott I. rendű kaszkád

,

ahol NAK NEK nál nél U- a szűrő egészének nyeresége; NAK NEK nál nél U 2 , …, NAK NEK nál nél ENSZ- a 2. rendű fokozatok erősítési tényezői;

Az erősítés megvalósításához NAK NEK nál nél U 1 az ellenállásokat a következő arány alapján kell beállítani

R B = R A ּ (NAK NEK nál nél U1 –1) .

A 2. sorrendű kaszkád kiszámításához:

Az elfoglalt terület csökkentésével a kapacitások névleges értékei kerülnek kiválasztásra C 1 = C 2 = C;

Az együtthatók a táblázatok szerint kerülnek kiválasztásra b 1 énés K pi 2. rendű kaszkádokhoz;

Adott névleges kondenzátor mellett C ellenállásokat számítanak ki R képlet szerint

;

A kiválasztott szűrőtípushoz be kell állítani a megfelelő erősítést NAK NEK nál nél Ui = 3 – (1/K pi) az ellenállások beállításával, az alábbi arány alapján

R B = R A ּ (NAK NEK nál nél Ui –1) ;

Bessel-szűrők esetén az összes kondenzátor névleges értékét meg kell szorozni a szükséges csoportkésleltetési idővel.