Proprietăți ale coloanelor matrice liniar dependente și liniar independente. Dependență de rând liniară Rânduri dependentă liniară

Independența liniară a rândurilor matricei

Având în vedere o matrice de mărime

Să notăm rândurile matricei după cum urmează:

Cele două linii sunt numite egal dacă elementele lor corespunzătoare sunt egale. ...

Să introducem operațiile de înmulțire a unui șir cu un număr și de adăugare a șirurilor de caractere ca operații efectuate element cu element:

Definiție. Un șir se numește o combinație liniară de rânduri matrice dacă este egal cu suma produselor acestor rânduri prin numere reale arbitrare (orice numere):

Definiție. Se numesc rândurile matricei dependent liniar , dacă există numere care nu sunt egale cu zero în același timp, astfel încât combinația liniară a rândurilor matricei este egală cu rândul zero:

Unde . (1,1)

Dependența liniară a rândurilor unei matrice înseamnă că cel puțin 1 rând al matricei este o combinație liniară a restului.

Definiție. Dacă combinația liniară de rânduri (1.1) este zero dacă și numai dacă toți coeficienții, atunci rândurile se numesc liniar independent .

Teorema rangului matricei. Rangul unei matrice este egal cu numărul maxim al rândurilor sau coloanelor sale liniar independente prin care toate celelalte rânduri (coloane) sunt exprimate liniar.

Teorema joacă un rol fundamental în analiza matriceală, în special, în studiul sistemelor de ecuații liniare.

6,13,14,15,16. Vectori. Operații pe vectori (adunare, scădere, înmulțire cu un număr),n -vector dimensional. Conceptul de spațiu vectorial și baza acestuia.

Un vector este un segment direcționat cu un punct de plecare Ași punctul final V(care poate fi mutat paralel cu el însuși).

Vectorii pot fi desemnați ca 2 litere mari sau una minuscule cu o linie sau săgeată.

Lungime (sau modul) vector este un număr egal cu lungimea segmentului AB care reprezintă vectorul.

Se numesc vectorii situati pe o linie dreapta sau pe linii paralele coliniare .

Dacă începutul și sfârșitul vectorului coincid (), atunci se numește un astfel de vector zero și se notează cu =. Lungimea vectorului zero este zero:

1) Înmulțind un vector cu un număr:

Va exista un vector cu lungime, a cărui direcție coincide cu direcția vectorului, dacă și opus acestuia, dacă.

2) Vector opus - produsul vectorului se numește - cu numărul (-1), adică. - =.

3) Suma a doi vectori și se numește un vector, al cărui început coincide cu începutul vectorului, iar sfârșitul cu sfârșitul vectorului, cu condiția ca începutul să coincidă cu sfârșitul. (regula triunghiurilor). Suma mai multor vectori se determină în mod similar.

4) Prin diferența a doi vectori și numită suma vectorului și a vectorului -, opusul.

Produs scalar

Definiție: Produsul scalar a doi vectori este numărul egal cu produsul lungimilor acestor vectori prin cosinusul unghiului dintre ei:

vector n-dimensional și spațiu vectorial

Definiție... Un vector n-dimensional este o colecție ordonată n numere reale scrise ca x = (x 1, x 2, ..., x n), Unde x i – i -a componenta vectoriala NS.

Conceptul de vector n-dimensional este utilizat pe scară largă în economie, de exemplu, un anumit set de bunuri poate fi caracterizat prin vector x = (x 1, x 2, ..., x n), si preturile corespunzatoare y = (y 1, y 2,…, y n).

- Doi vectori n-dimensionali sunt egali dacă și numai dacă componentele lor corespunzătoare sunt egale, i.e. x = y dacă x i= y i, i = 1,2,…,n.

- Suma a doi vectori aceeași dimensiune n se numeste vector z = x + y ale căror componente sunt egale cu suma componentelor corespunzătoare ale termenilor vectoriali, i.e. z i= x i+ y i, i = 1,2, ..., n.

- Produsul unui vector x cu un număr real se numește un vector, ale cărui componente sunt egale cu produsul de componentele corespunzătoare ale vectorului, adică. , i= 1,2,…,n.

Operațiile liniare pe orice vector îndeplinesc următoarele proprietăți:

1) - proprietate comutativă (deplasabilă) a sumei;

2) - proprietate asociativă (combinație) a sumei;

3) este o proprietate asociativă în raport cu un factor numeric;

4) - proprietate distributivă (distributivă) în raport cu suma vectorilor;

5) este o proprietate distributivă în raport cu suma factorilor numerici;

6) Există un vector zero astfel încât pentru orice vector (rolul special al vectorului zero);

7) Pentru orice vector, există un vector opus astfel încât;

8) pentru orice vector (un rol special al factorului numeric 1).

Definiție... Mulțimea vectorilor cu componente reale, în care se definesc operațiile de adunare a vectorilor și de înmulțire a unui vector cu un număr care satisface cele opt proprietăți de mai sus (considerate ca axiome), se numește stare vectorială .

Dimensiunea și baza spațiului vectorial

Definiție... Se numește spațiu liniar n-dimensională dacă conţine n vectori liniar independenți și oricare dintre vectori sunt deja dependenți. Cu alte cuvinte, dimensiunea spatiului Este numărul maxim de vectori liniar independenți pe care îi conține. Numărul n se numește dimensiunea spațiului și se notează cu.

Se numește colecția de n vectori liniar independenți ai unui spațiu n-dimensional bază .

7. Vectorii proprii și valorile proprii ale matricei. Ecuația caracteristică a matricei.

Definiție... Vectorul este numit propriul vector operator liniar dacă există un număr astfel încât:

Numărul este numit propriu valoarea operatorului (matrici A) corespunzător vectorului.

Poate fi scris sub formă de matrice:

Unde este matricea coloanei din coordonatele vectorului sau în formă extinsă:

Să rescriem sistemul astfel încât să existe zerouri în partea dreaptă:

sau sub formă de matrice:. Sistemul omogen rezultat are întotdeauna o soluție zero. Pentru existența unei soluții nenule este necesar și suficient ca determinantul sistemului:.

Determinantul este un polinom n-gradul relativ. Acest polinom se numește polinomul caracteristic al operatorului sau matricea A, iar ecuația rezultată este ecuaţia caracteristică a operatorului sau matricea A.

Exemplu:

Găsiți valorile proprii și vectorii proprii ai operatorului liniar dat de matrice.

Rezolvare: Alcătuirea ecuației caracteristice sau, de unde valoarea proprie a operatorului liniar.

Găsiți vectorul propriu corespunzător valorii proprii. Pentru a face acest lucru, rezolvăm ecuația matriceală:

Sau , sau, de unde găsim:, or

Sau .

Să presupunem că, obținem că vectorii, pentru oricare, sunt vectori proprii ai unui operator liniar cu o valoare proprie.

În mod similar, un vector.

8. Sistem NS ecuații liniare cu NS variabile (vedere generală). Notarea matricială a unui astfel de sistem. Soluție de sistem (definiție). Sisteme de ecuații liniare comune și inconsistente, definite și nedefinite.

Rezolvarea unui sistem de ecuații liniare cu necunoscute

Sistemele de ecuații liniare sunt utilizate pe scară largă în economie.

Sistemul de ecuații liniare cu variabile are forma:

,

unde () sunt numere arbitrare numite coeficienți pentru variabile și termeni liberi ai ecuațiilor , respectiv.

Intrare scurtă: ().

Definiție. O soluție a unui sistem este un set de valori astfel încât, atunci când este înlocuită, fiecare ecuație din sistem se transformă într-o egalitate adevărată.

1) Sistemul de ecuații se numește comun dacă are cel puțin o soluție și inconsecventă daca nu are solutii.

2) Sistemul comun de ecuații se numește un anumit dacă are o soluție unică și nedefinit daca are mai multe solutii.

3) Se numesc două sisteme de ecuații echivalează cu (echivalent) dacă au același set de soluții (de exemplu, o soluție).

Să scriem sistemul sub formă de matrice:

Să notăm: , Unde

A- matricea coeficienților pentru variabile sau matricea sistemului, NS - matrice-coloană de variabile, V - matrice-coloană de membri liberi.

pentru că numărul de coloane de matrice este egal cu numărul de rânduri de matrice, apoi produsul lor:

Există o matrice de coloană. Elementele matricei rezultate sunt părțile din stânga sistemului inițial. Pe baza definiției egalității matricelor, sistemul inițial poate fi scris sub forma:.

teorema lui Cramer. Fie determinantul matricei sistemului și să fie determinantul matricei obținute din matrice prin înlocuirea coloanei-a cu coloana de termeni liberi. Atunci, dacă, atunci sistemul are o soluție unică determinată de formulele:

Formula lui Cramer.

Exemplu. Rezolvați un sistem de ecuații folosind formulele lui Cramer

Soluţie... Determinant al matricei sistemului. Prin urmare, sistemul are o soluție unică. Calculăm, obținut din înlocuirea, respectiv, a primei, a doua, a treia coloane cu o coloană de membri liberi:

Conform formulelor lui Cramer:

9. Metoda gaussiană de rezolvare a sistemuluin ecuații liniare cu NS variabile. Conceptul metodei Jordan-Gauss.

metoda Gauss - metoda eliminarii succesive a variabilelor.

Metoda Gauss constă în faptul că, folosind transformări elementare ale rândurilor și permutări ale coloanelor, sistemul de ecuații se reduce la un sistem echivalent de formă în trepte (sau triunghiulare), din care toate celelalte variabile se regăsesc secvenţial, începând de la ultimele (după număr) variabile.

Este convenabil să se efectueze transformări gaussiene nu cu ecuațiile în sine, ci cu o matrice extinsă a coeficienților acestora, obținute prin alocarea unei coloane de termeni liberi matricei:

.

Trebuie remarcat faptul că metoda Gauss poate fi folosită pentru a rezolva orice sistem de ecuații de formă .

Exemplu. Rezolvați sistemul folosind metoda Gauss:

Să scriem matricea extinsă a sistemului.

Pasul 1 . Să schimbăm prima și a doua linie astfel încât să devină egală cu 1.

Pasul 2. Să înmulțim elementele primului rând cu (–2) și (–1) și să le adăugăm elementelor din al doilea și al treilea rând, astfel încât să apară zerouri sub elementul din prima coloană. ...

Următoarele teoreme sunt adevărate pentru sistemele compatibile de ecuații liniare:

Teorema 1. Dacă rangul matricei sistemului compatibil este egal cu numărul de variabile, i.e. , atunci sistemul are o soluție unică.

Teorema 2. Dacă rangul matricei sistemului compatibil este mai mic decât numărul de variabile, i.e. , atunci sistemul este nedefinit și are un număr infinit de soluții.

Definiție. Un minor de bază al unei matrice este orice minor diferit de zero a cărui ordine este egală cu rangul matricei.

Definiție. Acele necunoscute ai căror coeficienți sunt incluși în notația minorului de bază se numesc de bază (sau de bază), restul necunoscutelor sunt numite libere (sau minore).

A rezolva sistemul de ecuații în caz înseamnă a exprima și (deoarece determinantul compus din coeficienții lor nu este egal cu zero), atunci și sunt necunoscute libere.

Să exprimăm variabilele de bază în termeni de cele libere.

Din al doilea rând al matricei rezultate, exprimăm variabila:

Din prima linie, exprimăm:,

Rezolvarea generală a sistemului de ecuații:,.

Fie k rânduri și k coloane (k ≤ min (m; n)) să fie alese arbitrar într-o matrice A de dimensiuni (m; n). Elementele matricei de la intersecția rândurilor și coloanelor selectate formează o matrice pătrată de ordinul k, al cărei determinant se numește minorul M kk de ordinul k y sau minorul de ordinul k al matricei A.

Rangul unei matrice este ordinul maxim r al minorilor non-zero ale matricei A, iar orice minor de ordinul r, altul decât zero, este un minor de bază. Denumire: rang A = r. Dacă rangul A = rangul B și dimensiunile matricelor A și B sunt aceleași, atunci se spune că matricele A și B sunt echivalente. Denumire: A ~ B.

Principalele metode de calcul al rangului unei matrice sunt metoda minorilor limită și metoda.

Metoda minorilor de frontieră

Esența metodei minorilor învecinați este următoarea. Să presupunem că un minor diferit de zero de ordinul k a fost deja găsit în matrice. Apoi, în cele ce urmează, sunt considerați doar acei minori de ordinul k + 1 care conțin (adică chenar) un minor de ordinul k, care este diferit de zero. Dacă toate sunt egale cu zero, atunci rangul matricei este k, în caz contrar, printre minorii învecinați de ordinul al-lea (k + 1), există unul diferit de zero și întreaga procedură se repetă.

Independența liniară a rândurilor (coloanelor) unei matrice

Conceptul de rang al unei matrice este strâns legat de conceptul de independență liniară a rândurilor (coloanelor) acesteia.

Rânduri de matrice:

se numesc dependente liniar dacă există numere λ 1, λ 2, λ k astfel încât egalitatea este adevărată:

Rândurile matricei A se numesc liniar independente dacă egalitatea de mai sus este posibilă numai dacă toate numerele λ 1 = λ 2 =… = λ k = 0

Dependența liniară și independența coloanelor matricei A sunt determinate în mod similar.

Dacă orice rând (a l) al matricei A (unde (a l) = (a l1, a l2, ..., a ln)) poate fi reprezentat ca

Conceptul de combinație liniară de coloane este definit într-un mod similar. Următoarea teoremă minoră de bază este adevărată.

Liniile de bază și coloanele de bază sunt liniar independente. Orice rând (sau coloană) a matricei A este o combinație liniară de rânduri de bază (coloane), adică rânduri (coloane) care intersectează minorul de bază. Astfel, rangul matricei A: rangul A = k este egal cu numărul maxim de rânduri (coloane) liniar independente ale matricei A.

Acestea. rangul unei matrice este dimensiunea celei mai mari matrice pătrate din cadrul matricei pentru care trebuie să determinați rangul, pentru care determinantul nu este zero. Dacă matricea originală nu este pătrată sau dacă este pătrată, dar determinantul său este zero, atunci pentru matricele pătrate de ordin inferior rândurile și coloanele sunt alese arbitrar.

În afară de utilizarea determinanților, rangul unei matrice poate fi calculat prin numărul de rânduri sau coloane liniar independente ale matricei. Este egal cu numărul de rânduri sau coloane liniar independente, oricare dintre acestea este mai mic. De exemplu, dacă o matrice are 3 rânduri liniar independente și 5 coloane liniar independente, atunci rangul ei este trei.

Exemple de găsire a rangului unei matrice

Folosind metoda minorilor învecinați, găsiți rangul matricei

Decizie.Minor de ordinul doi

minorul limitrof M 2 este, de asemenea, diferit de zero. Totuși, ambii minori de ordinul al patrulea, învecinați cu M 3.

sunt egale cu zero. Prin urmare, rangul matricei A este 3, iar minorul de bază este, de exemplu, minorul de mai sus M 3.

Metoda transformărilor elementare se bazează pe faptul că transformările elementare ale unei matrice nu își schimbă rangul. Folosind aceste transformări, putem aduce matricea la forma când toate elementele sale, cu excepția a 11, a 22,…, a rr (r ≤min (m, n)), sunt egale cu zero. Acest lucru înseamnă în mod evident că sonajul A = r. Rețineți că dacă matricea de ordinul n-a are forma unei matrice triunghiulare superioare, adică o matrice în care toate elementele de sub diagonala principală sunt egale cu zero, atunci definiția sa este egală cu produsul elementelor de pe diagonala principală. Această proprietate poate fi utilizată la calcularea rangului unei matrice prin metoda transformărilor elementare: este necesar să le folosim pentru a reduce matricea la una triunghiulară și apoi, după selectarea determinantului corespunzător, aflăm că rangul matricei matricea este egală cu numărul de elemente nenule ale diagonalei principale.

Folosind metoda transformărilor elementare, găsiți rangul matricei

Rezolvare.Să notăm al-lea rând al matricei A prin simbolul α i. În prima etapă, efectuăm transformări elementare

În a doua etapă, vom efectua transformările

Drept urmare, obținem

Un sistem de vectori de același ordin se numește dependent liniar dacă din acești vectori se poate obține un vector zero prin intermediul unei combinații liniare adecvate. (În acest caz, nu este permis ca toți coeficienții combinației liniare să fie egali cu zero, deoarece acest lucru ar fi banal.) În caz contrar, vectorii sunt numiți liniar independenți. De exemplu, următorii trei vectori:

sunt dependente liniar, deoarece este ușor de verificat. În cazul unei dependențe liniare, orice vector poate fi întotdeauna exprimat în termenii unei combinații liniare a vectorilor rămași. În exemplul nostru: fie sau Este ușor de verificat cu calcule adecvate. Aceasta implică următoarea definiție: un vector este independent liniar de alți vectori dacă nu poate fi reprezentat ca o combinație liniară a acestor vectori.

Luați în considerare un sistem de vectori fără a specifica dacă este liniar dependent sau liniar independent. Pentru fiecare sistem format din vectori coloană a, este posibil să se identifice numărul maxim posibil de vectori liniar independenți. Acest număr, notat cu o literă, este rangul sistemului vectorial dat. Deoarece fiecare matrice poate fi privită ca un sistem de vectori coloană, rangul unei matrice este definit ca numărul maxim de vectori coloană liniar independenți pe care îi conține. Vectorii rând sunt, de asemenea, utilizați pentru a determina rangul unei matrice. Ambele metode dau același rezultat pentru aceeași matrice și nu pot depăși cel mai mic dintre sau Rangul unei matrice pătrate de ordin variază de la 0 la. Dacă toți vectorii sunt zero, atunci rangul unei astfel de matrice este zero. Dacă toți vectorii sunt liniar independenți unul de celălalt, atunci rangul matricei este. Dacă formați o matrice din vectorii de mai sus, atunci rangul acestei matrice este 2. Deoarece fiecare doi vectori poate fi redus la al treilea printr-o combinație liniară, rangul este mai mic de 3.

Dar se poate asigura că oricare doi vectori ai acestora sunt independenți liniar, de unde și rangul

O matrice pătrată se numește degenerată dacă vectorii ei coloană sau vectorii rând sunt dependenți liniar. Determinantul unei astfel de matrice este egal cu zero și matricea sa inversă nu există, așa cum s-a menționat mai sus. Aceste constatări sunt echivalente între ele. În consecință, o matrice pătrată este numită nedegenerată sau nesingulară dacă vectorii ei coloană sau vectorii rând sunt independenți unul de celălalt. Determinantul unei astfel de matrice nu este egal cu zero și matricea sa inversă există (comparați cu p. 43)

Rangul matricei are o interpretare geometrică evidentă. Dacă rangul matricei este egal, atunci se spune că spațiul -dimensional este acoperit de vectori. Dacă rangul, atunci vectorii se află în subspațiul -dimensional, care îi include pe toți. Deci, rangul matricei corespunde dimensiunii minime cerute a spațiului „în care sunt cuprinși toți vectorii”, subspațiul -dimensional din spațiul -dimensional se numește hiperplanul -dimensional. Rangul matricei corespunde celei mai mici dimensiuni a hiperplanului în care se află încă toți vectorii.

Luați în considerare o matrice A arbitrară, nu neapărat pătrată, mxn.

Rangul matricei.

Conceptul de rang al unei matrice este asociat cu conceptul de dependență liniară (independență) a rândurilor (coloanelor) unei matrice. Să luăm în considerare acest concept pentru șiruri. Pentru coloane - la fel.

Să notăm chiuvetele matricei A:

e 1 = (a 11, a 12, ..., a 1n); е 2 = (а 21, а 22, ..., а 2n); ..., е m = (а m1, а m2, ..., а mn)

e k = e s dacă a kj = a sj, j = 1,2,…, n

Operaţiile aritmetice pe rândurile unei matrice (adunare, înmulţire cu un număr) sunt introduse ca operaţii efectuate element cu element: λе k = (λа k1, λа k2,…, λа kn);

e k + e s = [(a k1 + a s1), (a k2 + a s2),…, (a kn + a sn)].

Linia e este numită combinație liniară liniile e 1, e 2, ..., e k, dacă este egală cu suma produselor acestor drepte prin numere reale arbitrare:

е = λ 1 е 1 + λ 2 е 2 +… + λ k е k

Liniile e 1, e 2, ..., e m sunt numite dependent liniar dacă există numere reale λ 1, λ 2,…, λ m, nu toate egale cu zero, că combinația liniară a acestor rânduri este egală cu rândul zero: λ 1 е 1 + λ 2 е 2 +... + λ m е m = 0 ,Unde 0 =(0,0,…,0) (1)

Dacă combinația liniară este egală cu zero dacă și numai dacă toți coeficienții λ i sunt egali cu zero (λ 1 = λ 2 =… = λ m = 0), atunci rândurile e 1, e 2, ..., em sunt numite liniar independent.

Teorema 1... Pentru ca liniile e 1, e 2, ..., e m să fie liniar dependente, este necesar și suficient ca una dintre aceste linii să fie o combinație liniară a restului liniilor.

Dovada. Nevoie... Fie rândurile e 1, e 2,…, e m dependente liniar. Lăsați, pentru certitudine, să intre (1) λ m ≠ 0, atunci

Acea. șir e m este o combinație liniară a restului șirurilor. Ch.t.d.

Adecvarea... Fie unul dintre șiruri, de exemplu e m, să fie o combinație liniară a restului șirurilor. Apoi există numere astfel încât egalitatea este valabilă, care pot fi rescrise ca,

unde cel puțin 1 dintre coeficienți, (-1), nu este egal cu zero. Acestea. șirurile sunt dependente liniar. Ch.t.d.

Definiție. Minor de ordinul k al unei matrice A de dimensiunea mxn se numește determinant de ordinul k cu elemente situate la intersecția oricăror k rânduri și oricăror k coloane ale matricei A. (k≤min (m, n)). ...

Exemplu., minori de ordinul I: =, =;

Minori de ordinul 2:, ordinul 3

Matricea de ordinul 3 are 9 minore de ordinul 1, 9 minore de ordinul 2 și 1 minor de ordinul 3 (determinantul acestei matrice).

Definiție. După rangul matricei A este cel mai înalt ordin al minorilor diferit de zero din această matrice. Denumire - rg A sau r (A).

Proprietățile rangului matricei.

1) rangul matricei A nxm nu depășește dimensiunile sale mai mici, adică

r (A) ≤min (m, n).

2) r (A) = 0 când toate elementele matricei sunt egale cu 0, i.e. A = 0.

3) Pentru o matrice pătrată А de ordinul n --lea r (A) = n, când А este nedegenerată.

(Rangul unei matrici diagonale este egal cu numărul elementelor diagonale nenule ale acesteia).

4) Dacă rangul matricei este r, atunci matricea are cel puțin un minor de ordinul r, care nu este egal cu zero, iar toate minorele de ordine superioară sunt egale cu zero.

Pentru rangurile matricei sunt valabile următoarele relații:

2) r (A + B) ≤r (A) + r (B); 3) r (AB) ≤min (r (A), r (B));

3) r (A + B) ≥│r (A) -r (B)│; 4) r (A T A) = r (A);

5) r (AB) = r (A) dacă B este o matrice pătrată nedegenerată.

6) r (AB) ≥r (A) + r (B) -n, unde n este numărul de coloane ale matricei A sau rânduri ale matricei B.

Definiție. Se numește un minor diferit de zero de ordinul r (A). baza minora... (Matricea A poate avea mai mulți minori de bază). Rândurile și coloanele, la intersecția cărora există o bază minoră, sunt denumite corespunzător linii de bazăși coloane de bază.

Teorema 2 (pe minorul de bază). Rândurile de bază (coloanele) sunt liniar independente. Orice rând (orice coloană) matrice A este o combinație liniară de rânduri de bază (coloane).

Dovada... (Pentru coarde). Dacă șirurile de bază erau dependente liniar, atunci conform teoremei (1) unul dintre aceste șiruri ar fi o combinație liniară a altor șiruri de bază, atunci, fără a modifica valoarea minorului de bază, puteți scădea combinația liniară specificată din acest șir. și obțineți un șir zero, iar acest lucru contrazice faptul că baza minoră este diferită de zero. Acea. liniile de bază sunt liniar independente.

Să demonstrăm că orice rând al matricei A este o combinație liniară de rânduri de bază. pentru că cu modificări arbitrare ale rândurilor (coloanelor) determinantul păstrează proprietatea de a fi egal cu zero, apoi, fără pierderea generalității, putem presupune că minorul de bază se află în colțul din stânga sus al matricei.

A =, acestea. situate pe primele r rânduri și primele r coloane. Fie 1 £ j £ n, 1 £ i £ m. Să arătăm că determinantul ordinului (r + 1).

Dacă j £ r sau i £ r, atunci acest determinant este egal cu zero, deoarece va avea două coloane identice sau două rânduri identice.

Dacă j> r și i> r, atunci acest determinant este un minor din ordinul (r + 1) --lea al matricei A. rangul matricei este r, ceea ce înseamnă că orice minor de ordin superior este egal cu 0.

Expandându-l în funcție de elementele ultimei coloane (adăugate), obținem

a 1j A 1j + a 2j A 2j +… + a rj A rj + a ij A ij = 0, unde ultimul complement algebric A ij coincide cu minorul de bază M r și deci A ij = M r ≠ 0.

Împărțind ultima egalitate la A ij, putem exprima elementul a ij ca o combinație liniară:, unde.

Să fixăm valoarea i (i> r) și să obținem că pentru orice j (j = 1,2, ..., n) elementele i-lea rând ei sunt exprimate liniar prin elementele rândurilor e 1 , e 2, ..., er, adică e. Linia i-a este o combinație liniară de linii de bază:. Ch.t.d.

Teorema 3. (o condiție necesară și suficientă pentru dispariția determinantului). Pentru ca determinantul de ordinul N D să fie egal cu zero, este necesar și suficient ca rândurile (coloanele) ale acestuia să fie dependente liniar.

Dovada (pag. 40). Nevoie... Dacă determinantul de ordinul al n-lea D este egal cu zero, atunci baza minoră a matricei sale este de ordinul r

Astfel, o linie este o combinație liniară a celorlalte. Apoi, prin teorema 1, rândurile determinantului sunt dependente liniar.

Adecvarea... Dacă rândurile lui D sunt dependente liniar, atunci, după teorema 1, un rând A i este o combinație liniară a rândurilor rămase. Scăzând combinația liniară specificată din linia A i fără a modifica valoarea lui D, obținem linia zero. Prin urmare, după proprietățile determinanților, D = 0. h.t.d.

Teorema 4. Transformările elementare nu schimbă rangul matricei.

Dovada... După cum s-a arătat la luarea în considerare a proprietăților determinanților, la transformarea matricelor pătrate, determinanții lor fie nu se modifică, fie sunt înmulțiți cu un număr diferit de zero, fie își schimbă semnul. În acest caz, se păstrează cel mai înalt ordin al minorilor non-zero din matricea originală, adică. rangul matricei nu se modifică. Ch.t.d.

Dacă r (A) = r (B), atunci A și B - echivalent: A ~ B.

Teorema 5. Cu ajutorul transformărilor elementare, matricea poate fi redusă la vedere în trepte. Matricea se numește pas, dacă are forma:

А =, unde a ii ≠ 0, i = 1,2, ..., r; r≤k.

Condiția r≤k poate fi întotdeauna realizată prin transpunere.

Teorema 6. Rangul unei matrice în trepte este egal cu numărul rândurilor sale diferite de zero .

Acestea. Rangul matricei în trepte este r, deoarece există un minor diferit de zero de ordinul r:

Rețineți că rândurile și coloanele matricei pot fi văzute ca vectori aritmetici de dimensiuni mși n, respectiv. Astfel, matricea dimensiunilor poate fi interpretată ca o colecție m n-dimensional sau n m-vectori aritmetici dimensionali. Prin analogie cu vectorii geometrici, introducem conceptele de dependență liniară și independență liniară a rândurilor și coloanelor unei matrice.

4.8.1. Definiție. Linia
numit combinație liniară de șiruri cu coeficienți
dacă egalitatea este adevărată pentru toate elementele acestui rând:

,
.

4.8.2. Definiție.

Siruri de caractere
sunt numite dependent liniar dacă există o combinație liniară netrivială a acestora egală cu rândul zero, i.e. nu există toate astfel de numere egale cu zero

,
.

4.8.3. Definiție.

Siruri de caractere
sunt numite liniar independent dacă numai combinația lor liniară trivială este egală cu șirul zero, adică.

,

4.8.4. Teorema. (Criteriul pentru dependența liniară a rândurilor matricei)

Pentru ca rândurile să fie dependente liniar, este necesar și suficient ca cel puțin unul dintre ele să fie o combinație liniară a celorlalte.

Dovada:

Nevoie. Lasă liniile
sunt dependente liniar, atunci există o combinație liniară netrivială a acestora egală cu șirul zero:

.

Fără pierderea generalității, vom presupune că primul dintre coeficienții combinației liniare este diferit de zero (în caz contrar, rândurile pot fi renumerotate). Împărțind acest raport la , primim

,

adică prima linie este o combinație liniară a restului.

Adecvarea. Lasă una dintre linii, de exemplu, , este o combinație liniară a celorlalte, atunci

adică există o combinație liniară netrivială de șiruri
egal cu șirul nul:

ceea ce înseamnă liniile
sunt dependente liniar, după cum este necesar.

Cometariu.

Pot fi formulate definiții și declarații similare pentru coloanele unei matrice.

§4.9. Rangul matricei.

4.9.1. Definiție. Minor Ordin matrici mărimea
se numește determinantul ordinii cu elemente situate la intersecția unora dintre ei linii şi coloane.

4.9.2. Definiție. Ordin minor diferit de zero matrici mărimea
numit de bază minor dacă toţi minorii matricei ordinului
sunt egale cu zero.

Cometariu. O matrice poate avea mai multe minore de bază. Evident, toate vor fi de aceeași ordine. Cazul este posibil și atunci când matricea mărimea
comanda minora diferit de zero și minorii de ordine
nu există, adică
.

4.9.3. Definiție. Se numesc rândurile (coloanele) care formează baza minoră de bază rânduri (coloane).

4.9.4. Definiție. După rang a unei matrice se numește ordinea minorului său de bază. Rangul matricei notat
sau
.

Cometariu.

Rețineți că, datorită egalității rândurilor și coloanelor determinantului, rangul matricei nu se modifică atunci când este transpusă.

4.9.5. Teorema. (Invarianța rangului matricei sub transformări elementare)

Rangul matricei nu se schimbă sub transformările sale elementare.

Nicio dovadă.

4.9.6. Teorema. (Despre minorul de bază).

Rândurile de bază (coloanele) sunt liniar independente. Orice rând (coloană) a unei matrice poate fi reprezentată ca o combinație liniară a rândurilor (coloanelor) de bază.

Dovada:

Să facem dovada pentru șiruri. Dovada afirmației pentru coloane poate fi efectuată prin analogie.

Fie rangul matricei dimensiuni
este egal cu , A
- baza minora. Fără a pierde generalitatea, presupuneți că baza minoră este situată în colțul din stânga sus (în caz contrar, puteți aduce matricea în această formă folosind transformări elementare):

.

Să demonstrăm mai întâi independența liniară a rândurilor de bază. Facem dovada prin contradicție. Să presupunem că liniile de bază sunt dependente liniar. Apoi, conform teoremei 4.8.4, unul dintre șiruri poate fi reprezentat ca o combinație liniară a șirurilor de bază rămase. Prin urmare, dacă scădem combinația liniară specificată din acest șir, atunci obținem un șir zero, ceea ce înseamnă că minorul
este egal cu zero, ceea ce contrazice definiția unui minor de bază. Astfel, am obținut o contradicție; prin urmare, se dovedește independența liniară a rândurilor de bază.

Să demonstrăm acum că orice rând al unei matrice poate fi reprezentat ca o combinație liniară de rânduri de bază. Dacă numărul liniei în cauză de la 1 la r, atunci, evident, poate fi reprezentat ca o combinație liniară cu un coeficient egal cu 1 pentru rând și zero coeficienți pentru restul liniilor. Să arătăm acum că dacă numărul liniei din
inainte de
, poate fi reprezentat ca o combinație liniară de linii de bază. Luați în considerare minorul matricei
derivat din minorul de bază
adăugând linia și o coloană arbitrară
:

Să arătăm că minorul dat
din
inainte de
și pentru orice număr de coloană de la 1 la .

Într-adevăr, dacă numărul coloanei de la 1 la r, atunci avem un determinant cu două coloane identice, care este evident egal cu zero. Dacă numărul coloanei din r+1 la si numarul liniei din
inainte de
, atunci
este minorul matricei originale de ordin mai mare decât minorul de bază, ceea ce înseamnă că este egal cu zero din definiția minorului de bază. Astfel, se dovedește că minorul
este zero pentru orice număr de linie din
inainte de
și pentru orice număr de coloană de la 1 la ... Extindendu-l conform ultimei coloane, obținem:

Aici
- complementele algebrice corespunzătoare. observa asta
deoarece, prin urmare,
este baza minoră. De aici elementele rândului k poate fi reprezentat ca o combinație liniară a elementelor corespunzătoare ale rândurilor de bază cu coeficienți care nu depind de numărul coloanei :

Astfel, am demonstrat că un rând arbitrar al unei matrice poate fi reprezentat ca o combinație liniară a rândurilor sale de bază. Teorema este demonstrată.

Cursul 13

4.9.7. Teorema. (Pe rangul unei matrice pătrate nedegenerate)

Pentru ca o matrice pătrată să fie nedegenerată, este necesar și suficient ca rangul matricei să fie egal cu dimensiunea acestei matrice.

Dovada:

Nevoie. Fie matricea pătrată mărimea n este nedegenerat, atunci
, prin urmare, determinantul matricei este un minor de bază, i.e.

Adecvarea. Lasa
atunci ordinea minorului de bază este egală cu dimensiunea matricei, prin urmare, minorul de bază este determinantul matricei , adică
prin definiția minorului de bază.

Consecinţă.

Pentru ca o matrice pătrată să fie nedegenerată, este necesar și suficient ca rândurile sale să fie liniar independente.

Dovada:

Nevoie. Deoarece o matrice pătrată este nedegenerată, rangul ei este egal cu dimensiunea matricei
adică determinantul matricei este baza minoră. În consecință, prin Teorema 4.9.6 asupra minorului de bază, rândurile matricei sunt liniar independente.

Adecvarea. Deoarece toate rândurile matricei sunt liniar independente, rangul său nu este mai mic decât dimensiunea matricei și, prin urmare,
prin urmare, prin teorema anterioară 4.9.7, matricea este nedegenerată.

4.9.8. Metoda limitării minorilor pentru găsirea rangului unei matrice.

Rețineți că această metodă a fost deja parțial implicit descrisă în demonstrarea teoremei minore de bază.

4.9.8.1. Definiție. Minor
numit mărginindîn raport cu minorul
dacă este derivată de la un minor
adăugând un rând nou și o coloană nouă din matricea originală.

4.9.8.2. Procedura de aflare a rangului unei matrice prin metoda minorilor limitrofe.

Găsiți orice minor curent al matricei, altul decât zero.

Calculăm toți minorii care se învecinează cu el.

Dacă toate sunt egale cu zero, atunci minorul actual este de bază, iar rangul matricei este egal cu ordinea minorului actual.

Dacă se găsește cel puțin un număr diferit de zero printre minorii limitori, atunci acesta este considerat curent și procedura continuă.

Să găsim, folosind metoda limitării minorilor, rangul matricei

.

Este ușor să indicați minorul curent de ordinul doi, diferit de zero, de exemplu,

.

Calculăm minorii care se învecinează cu acesta:

Prin urmare, deoarece toți minorii învecinați de ordinul trei sunt egali cu zero, atunci minorul
este de bază, adică

Cometariu. Din exemplul considerat se poate observa că metoda este destul de laborioasă. Prin urmare, în practică, este mult mai des folosită metoda transformărilor elementare, care va fi discutată mai jos.

4.9.9. Aflarea rangului unei matrice prin metoda transformărilor elementare.

Pe baza teoremei 4.9.5, se poate argumenta că rangul matricei nu se modifică în cazul transformărilor elementare (adică rangurile matricelor echivalente sunt egale). Prin urmare, rangul matricei este egal cu rangul matricei în trepte obținut din cea originală prin transformări elementare. Rangul unei matrice în trepte este în mod evident egal cu numărul rândurilor sale diferite de zero.

Definim rangul matricei

prin metoda transformărilor elementare.

Să dăm matricea la vedere în trepte:

Numărul de rânduri diferite de zero ale matricei în trepte rezultată este de trei, prin urmare,

4.9.10. Rangul unui sistem de vectori într-un spațiu liniar.

Luați în considerare un sistem de vectori
ceva spațiu liniar ... Dacă este dependent liniar, atunci se poate distinge în el un subsistem liniar independent.

4.9.10.1. Definiție. Rangul sistemului de vectori
spațiu liniar este numărul maxim de vectori liniar independenți ai acestui sistem. Rangul sistemului de vectori
notat ca
.

Cometariu. Dacă un sistem de vectori este liniar independent, atunci rangul său este egal cu numărul de vectori din sistem.

Să formulăm o teoremă care să arate legătura dintre conceptele de rang al unui sistem de vectori într-un spațiu liniar și rangul unei matrice.

4.9.10.2. Teorema. (Despre rangul unui sistem de vectori într-un spațiu liniar)

Rangul unui sistem de vectori într-un spațiu liniar este egal cu rangul unei matrice ale cărei coloane sau rânduri sunt coordonatele vectorilor dintr-o anumită bază a spațiului liniar.

Nicio dovadă.

Consecinţă.

Pentru ca un sistem de vectori dintr-un spațiu liniar să fie liniar independent, este necesar și suficient ca rangul matricei, ale cărei coloane sau rânduri sunt coordonatele vectorilor într-o anumită bază, să fie egal cu numărul de vectori de sistemul.

Dovada este evidentă.

4.9.10.3. Teorema (Cu privire la dimensiunea anvelopei liniare).

Dimensiunea carcasei liniare a vectorilor
spațiu liniar este egal cu rangul acestui sistem de vectori:

Nicio dovadă.