Vezi ce este „Suprapunerea funcțiilor” în alte dicționare. Vezi paginile în care este menționat termenul de suprapunere a funcției Găsiți suprapunerea grafică a liniilor

Să facem cunoștință cu conceptul de suprapunere (sau suprapunere) de funcții, care constă în faptul că în locul argumentului unei funcții date se substituie o funcție dintr-un alt argument. De exemplu, suprapunerea funcțiilor dă o funcție, în mod similar se obțin funcții

În general, presupunem că funcția este definită într-o regiune, iar funcția este definită în regiune, iar valorile sale sunt toate conținute în regiune. Apoi variabila z, după cum se spune, prin y și este ea însăși o funcție a

Pentru o dată de la, găsiți mai întâi valoarea corespunzătoare acesteia (conform regulii caracterizată prin semnul valorii y din Y, apoi stabiliți valoarea corespunzătoare y (conform regulii,

valoarea sa este caracterizată printr-un semn și se consideră că corespunde x-ului selectat. Funcția rezultată dintr-o funcție sau dintr-o funcție complexă este rezultatul suprapunerii funcțiilor

Presupunerea că valorile funcției nu depășesc regiunea Y în care este definită funcția este foarte importantă: dacă este omisă, atunci se poate dovedi a fi absurdă. De exemplu, presupunând că putem lua în considerare numai acele valori ale lui x pentru care, altfel, expresia nu ar avea sens.

Considerăm util să subliniem aici că caracterizarea unei funcții ca complexă nu este asociată cu natura dependenței funcționale a lui z de x, ci doar cu modul de precizare a acestei dependențe. De exemplu, lăsați pentru y pentru Then

Aici funcția s-a dovedit a fi dată sub forma unei funcții complexe.

Acum că conceptul de suprapunere a funcțiilor a fost pe deplin clarificat, putem caracteriza cu exactitate cea mai simplă dintre acele clase de funcții care sunt studiate în analiză: acestea sunt, în primul rând, funcțiile elementare enumerate mai sus și apoi toate cele care se obțin din acestea folosind patru operații aritmetice și suprapoziții, aplicate succesiv de un număr finit de ori. Se spune că ele sunt exprimate în termeni de elemente elementare într-o formă finită; uneori toate sunt numite şi elementare.

Ulterior, stăpânind un aparat analitic mai complex (serie infinită, integrale), ne vom familiariza cu alte funcții care joacă și ele un rol important în analiză, dar depășesc deja clasa funcțiilor elementare.

Funcția de construire

Vă aducem la cunoștință un serviciu de desenare online a graficelor funcționale, toate drepturile cărora le aparțin companiei Desmos... Utilizați coloana din stânga pentru a introduce funcții. Îl puteți introduce manual sau folosind tastatura virtuală din partea de jos a ferestrei. Pentru a mări fereastra cu graficul, puteți ascunde atât coloana din stânga, cât și tastatura virtuală.

Beneficiile cartografierii online

Afișarea vizuală a funcțiilor introduse
Construirea de grafice foarte complexe
Crearea de grafice, date implicit (de exemplu, elipsa x ^ 2/9 + y ^ 2/16 = 1)
Posibilitatea de a salva diagrame și de a primi un link către ele, care devine disponibil pentru toată lumea de pe Internet
Controlul scării, culoarea liniei
Posibilitatea de a trasa grafice pe puncte, folosind constante
Construirea simultană a mai multor grafice de funcții
Trasarea în coordonate polare (utilizați r și θ (\ theta))

Este ușor să construiți grafice de complexitate variată online cu noi. Construcția se face instantaneu. Serviciul este solicitat pentru găsirea punctelor de intersecție ale funcțiilor, pentru afișarea graficelor pentru deplasarea lor ulterioară într-un document Word ca ilustrații la rezolvarea problemelor, pentru analizarea caracteristicilor comportamentale ale graficelor de funcții. Browserul optim pentru lucrul cu diagrame pe această pagină a site-ului este Google Chrome. Funcționarea nu este garantată cu alte browsere.

În comunitatea științifică, există o glumă larg cunoscută pe această temă, „neliniaritatea” este comparată cu „non-elefantul” - toate creaturile, cu excepția „elefanților”, sunt „non-elefanți”. Asemănarea constă în faptul că majoritatea sistemelor și fenomenelor din lumea din jurul nostru sunt neliniare, cu câteva excepții. Spre deosebire de aceasta, în școală ni se învață gândirea „liniară”, ceea ce este foarte rău, în ceea ce privește disponibilitatea noastră de a percepe neliniaritatea atot-penetrantă a Universului, fie că este vorba de aspectele sale fizice, biologice, psihologice sau sociale. Neliniaritatea concentrează în sine una dintre principalele dificultăți de cunoaștere a lumii înconjurătoare, întrucât consecințele, în masa lor totală, nu sunt proporționale cu cauzele, cele două cauze, atunci când interacționează, nu sunt aditive, adică consecințele sunt mai mult. complexe decât o simplă suprapunere, funcții de cauze. Adică rezultatul rezultat din prezența și impactul a două cauze care acționează simultan nu este suma rezultatelor obținute în prezența fiecăruia dintre motive separat, în absența altei cauze.

Definiția 9. Într-un interval X este definită o funcție rf (x) cu un set de valori Z și o funcție y = f (z) este definită pe mulțimea Z, atunci funcția y este o funcție complexă a x (sau o suprapunere a unei funcții), iar variabila z - o variabilă intermediară a unei funcții complexe.

Controlul poate fi privit ca o suprapunere a trei funcții clasice de management - contabilitate, control și analiză (retrospectivă). Controlul ca funcție de management integrată face posibilă nu numai pregătirea unei soluții, ci și asigurarea controlului implementării acesteia folosind instrumente de management adecvate.

După cum știți / 50 /, orice funcție temporală poate fi reprezentată ca o suprapunere (mulțime) de funcții armonice simple cu perioade, amplitudini și faze diferite. În general, P (t) = f (t),

Răspunsul tranzitoriu sau la impuls este determinat experimental. Când sunt utilizate prin metoda suprapunerii, modelul selectat al acțiunii de intrare este extins mai întâi în „funcții de timp” elementare, iar apoi răspunsurile la acestea sunt însumate. Ultima operație se numește uneori convoluție, iar integralele din expresiile (24) .. (29) sunt integrale de convolutie.Din aceea pentru care functia integrand este mai simpla se alege.

Această teoremă reduce problema extremului condiționat la o suprapunere a problemei extremului necondiționat. Într-adevăr, definim funcția R (g)

Suprapunerea ((> (f (x)), unde y (y) este o funcție convexă nedescrescătoare a unei variabile, f (x) este o funcție convexă, este o funcție convexă.

Exemplul 3.28. Să revenim la Exemplul 3.27. În fig. 3.24 arată ca o curbă liniuță punctată rezultatul suprapunerii a două funcții de membru corespunzătoare acelor cuantificatori care sunt disponibili în acest exemplu. Intervalele fuzzy pe abscisă sunt obținute folosind o valoare limită de 0,7. Acum putem spune că dispeceratul ar trebui să aștepte schimbarea planului

O altă modalitate de definire a funcției F, diferită de metoda suprapunerii, este aceea că atunci când un cuantificator este aplicat altui cuantificator, are loc o anumită transformare monotonă a funcției de membru original, care se reduce la întinderea și deplasarea maximului funcției într-o direcție. sau alt.

Exemplul 3.29. În fig. Figura 3.25 prezintă două rezultate obținute cu suprapunere și stretch-shift pentru cazul în care XA și X corespund unui cuantificator frecvent. Diferența constă, aparent, în faptul că suprapunerea izolează în funcția de membru acele valori care sunt adesea întâlnite. În cazul forfecării și întinderii, putem interpreta rezultatul ca apariția unui nou cuantificator cu o valoare de multe ori-deseori, care, dacă se dorește, poate fi aproximată, de exemplu, cu o valoare foarte des.

Să se arate că suprapunerea unei funcții strict crescătoare și a unei funcții de utilitate care reprezintă o relație de preferință> este, de asemenea, o funcție de utilitate care reprezintă această relație de preferință. Care dintre următoarele funcții poate acționa ca o astfel de transformare

Prima dintre relațiile (2) nu este altceva decât o înregistrare a regulii conform căreia fiecare funcție F (x) aparținând familiei de funcții absolut continue monoton nedescrescătoare este asociată cu una și o singură funcție continuă w (j) . Această regulă este liniară, adică principiul suprapunerii este valabil pentru el

Dovada. Dacă maparea F este continuă, funcția М0 este continuă ca o suprapunere de funcții continue. Pentru a demonstra a doua parte a enunțului, luați în considerare funcția

Funcții e complexe (suprapoziție)

Metoda transformărilor funcționale implică și utilizarea unei abordări euristice. De exemplu, utilizarea transformărilor logaritmice ca operatori B și C conduce la criterii de informare pentru construirea de modele identificabile și utilizarea unui instrument puternic în teoria informației. Fie operatorul В o suprapunere a operatorilor de înmulțire cu o funcție, (.) Și deplasarea cu o funcție К0 (), operatorul С este un operator

Aici, în termeni generali, vor fi prezentate rezultatele rezolvării unui număr de probleme variaționale (1) - (3). Ele au fost rezolvate prin metoda liniarizării secvențiale (19-21) încă din 1962-1963, când tehnologia metodei abia începea să prindă contur și era testată. Prin urmare, ne vom opri doar asupra unor detalii. În primul rând, observăm că funcțiile C și C2 au fost specificate prin expresii destul de complexe, care sunt o suprapunere a funcțiilor auxiliare, inclusiv a celor specificate în tabel. Prin urmare, la rezolvarea sistemului adjunct φ = -fx folosind funcțiile specificate în tabel. De obicei, astfel de tabele conțin un număr mic de valori pentru un set de noduri în intervalul unui argument independent, iar între ele funcția este interpolată liniar, deoarece utilizarea unor metode de interpolare mai precise nu este justificată din cauza inexactității tabelul se evaluează pe ei înșiși (de regulă, tabelele specifică dependențe funcționale de natură experimentală). Cu toate acestea, pentru scopurile noastre avem nevoie de funcții diferențiabile f (x, u), așa că ar trebui să preferăm metode netede pentru a completa o funcție dată de tabel (de exemplu, folosind spline).

Acum să fie (DA și (q) funcții arbitrare corespunzătoare unor valori ale cuantificatorilor de frecvență. Figura 3.23 prezintă două curbe cu o singură cocoașă corespunzătoare acestor funcții. Rezultatul suprapunerii lor este o curbă cu două cocoașe prezentată de o linie întreruptă. Care este semnificația lui Dacă, de exemplu, (DA este rar și (q - adesea,

Avantajul acestei metode pentru determinarea lui F este că, în cazul transformărilor monotone, forma funcției de membru nu se schimbă dramatic. Se păstrează unimodalitatea sau monotonitatea sa, iar trecerea de la noua formă a funcției (2.16) are formă trapezoidală, atunci suprapunerea liniară (2.15) este și un număr fuzzy trapezoidal (ceea ce se demonstrează cu ușurință folosind regula de calcul a segmentului). Și este posibil să se reducă operațiunile cu funcții de membru la operațiuni cu vârfurile lor. Dacă notăm numărul trapezoidal (2.16) ca (ab a2, az, a4), unde a corespunde absciselor vârfurilor trapezului, atunci

Definirea funcției, domeniului și setului de valori. Definiții legate de desemnarea funcției. Definiții ale unei funcții complexe, numerice, reale, monotone și cu mai multe valori. Definiții ale limitelor maxime, minime, superioare și inferioare pentru funcții limitate.

Conţinut

Funcţie y = f (X) se numeste legea (regula, maparea), conform careia, fiecare element x al multimii X este asociat cu unul si numai un element y al multimii Y.

Se numește mulțimea X domeniul de aplicare al funcției.
Set de elemente y ∈ Y care au preimagini în setul X sunt numite set de valori ale funcției(sau gamă).

Domeniu funcțiile sunt uneori numite multe definiții sau multe sarcini funcții.

Elementul x ∈ X sunt numite argumentul funcției sau variabila independenta.
Elementul y ∈ Y sunt numite valoarea functiei sau variabilă dependentă.

Maparea f însăși este numită caracteristica functiei.

Caracteristica f are proprietatea ca daca doua elemente si din multimea definitiei au valori egale:, atunci.

Simbolul caracteristic poate fi același cu simbolul elementului valoare funcției. Adică îl poți scrie așa:. Trebuie amintit că y este un element din setul de valori al funcției, iar aceasta este regula conform căreia elementul y este asociat cu elementul x.

Procesul de calcul al unei funcții în sine constă din trei pași. La primul pas, alegem un element x din mulțimea X. În plus, folosind regula, un element din mulțimea Y este atribuit elementului x. În a treia etapă, acest element este atribuit variabilei y.

Valoarea particulară a funcției apelați valoarea funcției la valoarea selectată (privată) a argumentului său.

Graficul funcției f numit un set de perechi.

Funcții complexe

Definiție
Lăsați funcțiile și sunt date. Mai mult, domeniul de definire al funcției f conține un set de valori ale funcției g. Atunci fiecărui element t din domeniul funcției g îi corespunde un element x, iar acest x îi corespunde y. Această corespondență se numește functie complexa: .

Se mai numește și o funcție complexă alcătuirea sau suprapunerea funcţiilorși uneori notat astfel:.

În analiza matematică, se acceptă în general că, dacă caracteristica unei funcții este indicată printr-o literă sau simbol, atunci stabilește aceeași corespondență. Cu toate acestea, în alte discipline, există o altă modalitate de notare, conform căreia mapările cu o caracteristică, dar argumente diferite, sunt considerate diferite. Adică, mapările și sunt considerate a fi diferite. Să luăm un exemplu din fizică. Să presupunem că luăm în considerare dependența impulsului de coordonată. Și să avem o dependență a coordonatei de timp. Atunci dependența impulsului de timp este o funcție complexă. Dar pentru concizie, este desemnat după cum urmează:. Cu această abordare, și sunt funcții diferite. Având aceleași valori de argument, acestea pot da valori diferite. În matematică, această desemnare nu este acceptată. Dacă este necesară o reducere, trebuie introdusă o nouă caracteristică. De exemplu . Apoi se vede clar că și sunt funcții diferite.

Funcții valide

Domeniul funcției și setul de valori ale acesteia pot fi orice mulțimi.
De exemplu, secvențele numerice sunt funcții al căror domeniu de definiție este mulțimea numerelor naturale, iar setul de valori este numerele reale sau complexe.
Produsul încrucișat este, de asemenea, o funcție, deoarece pentru doi vectori și există o singură valoare vectorială. Aici domeniul definiției este mulțimea tuturor perechilor posibile de vectori. Un set de valori este mulțimea tuturor vectorilor.
O expresie booleană este o funcție. Scopul său este setul de numere reale (sau orice mulțime în care este definită operația de comparare cu elementul „0”). Setul de valori este format din două elemente - „adevărat” și „fals”.

Funcțiile numerice joacă un rol important în analiza matematică.

Funcția numerică este o funcție ale cărei valori sunt numere reale sau complexe.

Funcție reală sau reală este o funcție ale cărei valori sunt numere reale.

Maxim și minim

Numerele reale au un operator de comparație. Prin urmare, setul de valori ale funcției reale poate fi limitat și are cele mai mari și cele mai mici valori.

Funcția reală este numită delimitat deasupra (dedesubt) dacă există un număr M astfel încât pentru toate următoarele inegalități să fie valabile:
.

Funcția numerică este numită limitat dacă există un număr M astfel încât pentru toate:
.

Maxim M (minimum m) funcția f, pe o mulțime X se numește valoarea funcției pentru o anumită valoare a argumentului său, pentru care pentru toate,
.

Marginea superioară sau limita superioară exactă O funcție reală, cu limite superioare, este cea mai mică dintre numerele care delimitează intervalul valorilor sale de sus. Adică este un astfel de număr s pentru care pentru toți și pentru oricare, există un astfel de argument, valoarea funcției de la care depășește s′:.
Limita superioară a unei funcții poate fi notată după cum urmează:
.

Limita superioară a funcției nemărginită de sus

Marginea de jos sau limita inferioară exactă O funcție reală, mărginită inferioară, se numește cea mai mare dintre numere, ceea ce limitează intervalul valorilor sale de jos. Adică este un astfel de număr i, pentru care, pentru toți și pentru orice, există un astfel de argument, a cărui valoare a funcției este mai mică decât i ′:.
Limita inferioară a unei funcții poate fi notată după cum urmează:
.

Limita inferioară a unei funcții nemărginită de jos este punctul de la infinit.

Astfel, orice funcție reală dintr-o mulțime nevidă X are limite superioare și inferioare. Dar nu orice funcție are un maxim și un minim.

Ca exemplu, luați în considerare o funcție setată pe un interval deschis.
Este limitat, pe acest interval, de sus de valoare 1 iar mai jos - valoarea 0 :
pentru toți .
Această funcție are margini de sus și de jos:
.
Dar nu are maxim și minim.

Dacă luăm în considerare aceeași funcție pe un segment, atunci pe această mulțime este mărginită deasupra și dedesubt, are limite superioare și inferioare și are un maxim și un minim:
pentru toți ;
;
.

Funcții monotone

Definiții ale funcțiilor crescătoare și descrescătoare
Fie ca funcția să fie definită pe o mulțime de numere reale X. Funcția este numită strict în creștere (strict în scădere)
.
Funcția este numită nedescrescător (necrescător) dacă pentru toate astfel încât inegalitatea este valabilă:
.

Definiția unei funcții monotone
Funcția este numită monoton dacă nu este în scădere sau în creştere.

Funcții cu mai multe valori

Un exemplu de funcție cu mai multe valori. Ramurile sale sunt marcate cu culori diferite. Fiecare ramură este o funcție.

După cum rezultă din definiția funcției, fiecărui element x din domeniul definiției i se atribuie un singur element din setul de valori. Dar există astfel de mapări în care elementul x are mai multe sau un număr infinit de imagini.

Ca exemplu, luați în considerare funcția arcsinus:. Este inversul funcției sinusuluiși se determină din ecuația:
(1) .
Pentru o valoare dată a variabilei independente x aparținând intervalului, infinite de valori ale lui y satisfac această ecuație (vezi figura).

Să impunem o restricție soluțiilor ecuației (1). Lasa
(2) .
În această condiție, o singură soluție a ecuației (1) corespunde unei valori date. Adică, corespondența definită de ecuația (1) supusă condiției (2) este o funcție.

În loc de condiția (2), puteți impune orice altă condiție de forma:
(2.n) ,
unde n este un număr întreg. Ca rezultat, pentru fiecare valoare a lui n, obținem propria noastră funcție care este diferită de celelalte. Multe funcții similare sunt funcţie multivalorică... Și funcția determinată din (1) în condiția (2.n) este ramură a funcției multivalorice.

Aceasta este o colecție de funcții definite pe un anumit set.

Ramura cu funcții cu mai multe valori este una dintre funcțiile incluse în funcția multivalorică.

Funcție unică este o funcție.

Referinte:
O.I. demoni. Prelegeri de analiză matematică. Partea 1. Moscova, 2004.
L. D. Kudryavtsev. Cursul analizei matematice. Volumul 1. Moscova, 2003.
CM. Nikolsky. Cursul analizei matematice. Volumul 1. Moscova, 1983.

Fie o funcție f (x 1, x 2, ..., x n) și funcții

atunci funcția va fi apelată funcția de suprapunere f (x 1, x 2, ..., x n) si functii .

Cu alte cuvinte: fie F = (f j) - multimea de functii ale algebrei logicii, nu neaparat finite. O funcție f se numește suprapunere de funcții din mulțimea F sau o funcție peste F dacă se obține dintr-o funcție prin înlocuirea uneia sau mai multor variabile ale acesteia cu funcții din mulțimea F.

Exemplu.

Să fie dat un set de funcții

F = (f 1 (x 1), f 2 (x 1, x 2, x 3), f 3 (x 1, x 2)).

Atunci suprapozițiile de funcții din F vor fi, de exemplu, funcții:

j 1 (x 2, x 3) = f 3 (f 1 (x 2), f 1 (x 3));

j 2 (x 1, x 2) = f 2 (x 1, f 1 (x 1), f 3 (x 1, x 2)).

Un DNF perfect este o suprapunere de funcții din mulțime

. ð

Definiție.

Sistemul de funcții este numit complet dacă, folosind operaţiile de suprapunere şi schimbare a variabilelor, din funcţiile acestui sistem se poate obţine orice funcţie a algebrei logicii. ð

Avem deja un set de sisteme complete:

;

pentru că ;

(x + y, xy, 1). ð

Cum să determinați condițiile în care sistemul este complet. Strâns legat de conceptul de completitudine este conceptul de clasă închisă.

Cursuri închise.

Se numește mulțimea (clasa) K de funcții booleene clasă închisă dacă conține toate funcțiile obținute din K prin operații de suprapunere și schimbare a variabilelor și nu conține alte funcții.

Fie K un subset de funcții din P 2. Închiderea lui K este mulțimea tuturor funcțiilor booleene reprezentabile prin operațiile de suprapunere și schimbare a variabilelor funcțiilor din mulțimea K. Închiderea mulțimii K se notează cu [K].

În ceea ce privește închiderea, se pot da și alte definiții ale închiderii și completității (echivalente cu cele originale):

K este o clasă închisă dacă K = [K];

K este un sistem complet dacă [K] = Р 2.

Exemple.

* (0), (1) - clase închise.

* Multe funcții ale unei variabile - o clasă închisă.

* - clasă închisă.

* Clasa (1, x + y) nu este o clasă închisă.

Să luăm în considerare câteva dintre cele mai importante clase închise.

1.T 0- o clasă de funcții care păstrează 0.

Notăm cu T 0 clasa tuturor funcțiilor booleene f (x 1, x 2, ..., x n) care păstrează constanta 0, adică funcțiile pentru care f (0, ..., 0) = 0.

Este ușor de observat că există funcții care aparțin lui T 0 și funcții care nu aparțin acestei clase:

0, x, xy, xÚy, x + y Î T 0;

Din faptul că Ï T 0 rezultă, de exemplu, că nu poate fi exprimat în termeni de disjuncţie şi conjuncţie.

Deoarece tabelul pentru o funcție f din clasa T 0 din primul rând conține valoarea 0, atunci pentru funcțiile din T 0 valori arbitrare pot fi specificate numai pe 2 n - 1 set de valori ale variabilelor, adică

unde este mulțimea de funcții care păstrează 0 și depind de n variabile.

Să arătăm că T 0 este o clasă închisă. Deoarece xÎT 0, pentru a fundamenta închiderea este suficient să arătăm că este închisă față de operația de suprapunere, întrucât operația de schimbare a variabilelor este un caz special de suprapunere cu funcția x.

Lasa . Atunci este suficient să arătăm asta. Acesta din urmă decurge din lanțul egalităților

2.T 1- o clasă de funcții care păstrează 1.

Notăm cu T 1 clasa tuturor funcțiilor booleene f (x 1, x 2, ..., x n) care păstrează constanta 1, adică funcțiile pentru care f (1, ..., 1) = 1.

Este ușor de observat că există funcții care aparțin lui T 1 și funcții care nu aparțin acestei clase:

1, x, xy, xÚy, xºy Î T 1;

0,, x + y Ï T 1.

Din faptul că x + y Ï T 0 rezultă, de exemplu, că x + y nu poate fi exprimat în termeni de disjuncție și conjuncție.

Rezultatele despre clasa T 0 se transferă trivial la clasa T 1. Astfel, avem:

T 1 - clasa inchisa;

3. L- o clasă de funcții liniare.

Fie L să desemnăm clasa tuturor funcțiilor algebrei booleene f (x 1, x 2, ..., x n) care sunt liniare:

Este ușor de observat că există funcții care aparțin lui L și funcții care nu aparțin acestei clase:

0, 1, x, x + y, x 1 º x 2 = x 1 + x 2 + 1, = x + 1 Î L;

Să demonstrăm, de exemplu, că xÚy Ï L.

Să presupunem contrariul. Vom căuta o expresie pentru xÚy sub forma unei funcții liniare cu coeficienți nedefiniti:

Pentru x = y = 0, avem a = 0,

pentru x = 1, y = 0 avem b = 1,

pentru x = 0, y = 1, avem g = 1,

dar atunci pentru x = 1, y = 1 avem 1Ú 1 ¹ 1 + 1, ceea ce demonstrează neliniaritatea funcției xÚy.

Dovada închiderii clasei de funcții liniare este destul de evidentă.

Deoarece o funcție liniară este determinată în mod unic prin specificarea valorilor lui n + 1 ale coeficientului a 0, ..., an, numărul de funcții liniare din clasa L (n) de funcții în funcție de n variabile este egal cu 2 n + 1.

4.S- o clasă de funcții auto-duale.

Definirea unei clase de funcții auto-duale se bazează pe utilizarea așa-numitului principiu al dualității și al funcțiilor duale.

Funcția definită de egalitate este numită dublă la funcționare .

Evident, tabelul pentru funcția duală (cu ordonarea standard a seturilor de valori ale variabilelor) se obține din tabelul pentru funcția originală prin inversarea (adică înlocuirea 0 cu 1 și 1 cu 0) coloanei de valorile funcției și întoarcerea acesteia.

Este ușor să vezi asta

(x 1 Ú x 2) * = x 1 Ù x 2,

(x 1 Ù x 2) * = x 1 Ú x 2.

Din definiție rezultă că (f *) * = f, adică funcția f este duală cu f *.

Fie ca funcția să fie exprimată folosind suprapunerea în termenii altor funcții. Întrebarea este cum să construiți o formulă care să fie implementată? Notăm cu = (x 1, ..., x n) toate simbolurile diferite ale variabilelor care apar în mulțimi.

Teorema 2.6. Dacă funcția j se obține ca o suprapunere a funcțiilor f, f 1, f 2, ..., f m, adică

o funcție duală la o suprapunere este o suprapunere de funcții duale.

Dovada.

j * (x 1, ..., x n) = `f (` x 1, ..., `x n) =

Teorema este demonstrată. ð

Din teoremă decurge principiul dualității: dacă o formulă A realizează o funcție f (x 1, ..., xn), atunci formula obținută din A prin înlocuirea funcțiilor incluse în aceasta cu funcțiile lor duale realizează funcția duală f * (x 1, ... , xn).

Notăm cu S clasa tuturor funcțiilor auto-duale din P 2:

S = (f | f * = f)

Este ușor de observat că există funcții care aparțin lui S și funcții care nu aparțin acestei clase:

0, 1, xy, xÚy Ï S.

Un exemplu mai puțin trivial de funcție auto-duală este funcția

h (x, y, z) = xy Ú xz Ú yz;

folosind teorema funcției duale la suprapunere, avem

h * (x, y, z) = (x Ú y) Ù (x Ú z) Ù (y Ù z) = x y Ú x z Ú y z; h = h *; a lui.

Pentru o funcție auto-duală, identitatea

deci pe seturi și, pe care o vom numi opusă, funcția auto-duală capătă sensuri opuse. Rezultă că funcția auto-duală este complet determinată de valorile sale din prima jumătate a rândurilor tabelului standard. Prin urmare, numărul de funcții auto-duale din clasa S (n) de funcții în funcție de n variabile este:

Să demonstrăm acum că clasa S este închisă. Întrucât xÎS, pentru a fundamenta închiderea, este suficient să arătăm că acesta este închis față de operația de suprapunere, întrucât operația de schimbare a variabilelor este un caz special de suprapunere cu funcția x. Lasa . Atunci este suficient să arătăm asta. Acesta din urmă este instalat direct:

5.M- o clasă de funcții monotone.

Înainte de a defini conceptul de funcție monotonă a algebrei logicii, este necesar să se introducă o relație de ordonare asupra mulțimii de mulțimi ale variabilelor sale.

Se spune că setul precede setul (sau „nu mai mult”, sau „mai mic sau egal cu”) și utilizați notația dacă a i £ b i pentru tot i = 1, ..., n. Dacă și, atunci vom spune că mulțimea precede cu strictețe mulțimea (sau „strict mai puțin” sau „mai puțin” decât mulțimea) și vom folosi notația. Mulțimile și sunt numite comparabile dacă oricare dintre ele sau. În cazul în care nici una dintre aceste relații nu este valabilă, mulțimile și sunt numite incomparabile. De exemplu, (0, 1, 0, 1) £ (1, 1, 0, 1), dar mulțimile (0, 1, 1, 0) și (1, 0, 1, 0) sunt incomparabile. Astfel, relația £ (este adesea numită relație de precedență) este o ordine parțială pe mulțimea В n. Mai jos sunt diagrame ale mulțimilor parțial ordonate B 2, B 3 și B 4.

Relația de ordine parțială introdusă este un concept extrem de important care depășește cu mult domeniul de aplicare al cursului nostru.

Acum suntem în poziția de a defini conceptul de funcție monotonă.

Funcția algebră logică este numită monoton dacă pentru oricare două mulțimi și, astfel încât, inegalitatea ... Mulțimea tuturor funcțiilor monotone ale algebrei booleene se notează cu M, iar mulțimea tuturor funcțiilor monotone care depind de n variabile este notă cu M (n).

Este ușor de observat că există funcții care aparțin lui M și funcții care nu aparțin acestei clase:

0, 1, x, xy, xÚy Î M;

x + y, x®y, xºy Ï M.

Să arătăm că clasa funcțiilor monotone M este o clasă închisă. Deoarece xÎМ, pentru a justifica închiderea este suficient să arătăm că este închisă față de operația de suprapunere, întrucât operația de schimbare a variabilelor este un caz special de suprapunere cu funcția x.

Lasa . Atunci este suficient să arătăm asta.

Fie mulțimi de variabile, respectiv, funcții j, f 1, ..., f m, iar mulțimea de variabile ale funcției j este formată din acele și numai acele variabile care apar în funcțiile f 1, ..., f m. Fie și două seturi de valori variabile și. Aceste seturi definesc seturi valori variabile astfel încât ... Deoarece funcțiile f 1, ..., f m

iar datorită monotonității funcției f

Din asta obținem

Numărul de funcții monotone în funcție de n variabile nu este cunoscut cu exactitate. Limita inferioară poate fi obținută cu ușurință:

unde - este partea întreagă a lui n / 2.

Este la fel de ușor să obțineți o estimare prea mare de sus:

Rafinarea acestor estimări este o sarcină importantă și interesantă a cercetării moderne.

Criteriul de completitudine

Suntem acum în măsură să formulăm și să dovedim un criteriu de completitudine (teorema lui Post), care determină condițiile necesare și suficiente pentru completitudinea unui sistem de funcții. Precedăm formularea și demonstrarea criteriului de completitudine cu câteva leme necesare de interes independent.

Lema 2.7. Lema privind funcția non-duală.

Dacă f (x 1, ..., x n) Ï S, atunci se poate obține o constantă din acesta prin înlocuirea funcțiilor x și `x.

Dovada... Din moment ce fÏS, atunci există un set de valori ale variabilelor
= (a 1, ..., a n) astfel încât

f (`a 1, ...,` a n) = f (a 1, ..., a n)

Să înlocuim argumentele din funcția f:

x i este înlocuit cu ,

adică punem și luăm în considerare funcția

Astfel, am obținut o constantă (totuși, nu se știe ce constantă este: 0 sau 1). ð

Lema 2.8. Lema pentru o funcție nemonotonă.

Dacă funcția f (x 1, ..., xn) este nemonotonă, f (x 1, ..., xn) Ï M, atunci este posibil să se obțină negație din ea prin schimbarea variabilelor și înlocuirea constantelor 0 și 1.

Dovada... Deoarece f (x 1, ..., x n) Ï M, atunci există mulțimi și valori ale variabilelor sale, , astfel încât, în plus, pentru cel puțin o valoare a lui i, a i< b i . Выполним следующую замену переменных функции f:

x i este înlocuit cu

După o astfel de înlocuire, obținem o funcție a unei variabile j (x), pentru care avem:

Aceasta înseamnă că j (x) = `x. Lema este demonstrată. ð

Lema 2.9. Lema asupra unei funcții neliniare.

Dacă f (x 1, ..., x n) Ï L, atunci din acesta, prin înlocuirea constantelor 0, 1 și folosind funcția `x, putem obține funcția x 1 & x 2.

Dovada... Reprezentăm f sub forma unui DNF (de exemplu, un DNF perfect) și folosim relațiile:

Exemplu... Să dăm două exemple de aplicare a acestor transformări.

Astfel, o funcție scrisă în formă normală disjunctivă, după aplicarea relațiilor indicate, a parantezelor de deschidere și a transformărilor algebrice simple, se transformă într-un polinom mod 2 (polinomul Zhegalkin):

unde A 0 este o constantă, iar A i este conjuncția unor variabile din numărul x 1, ..., x n, i = 1, 2, ..., r.

Dacă fiecare conjuncție A i constă dintr-o singură variabilă, atunci f este o funcție liniară, care contrazice condiția lemei.

În consecință, polinomul Zhegalkin pentru funcția f conține un termen care conține cel puțin doi factori. Fără pierderea generalității, putem presupune că printre acești factori există variabile x 1 și x 2. Atunci polinomul poate fi transformat astfel:

f = x 1 x 2 f 1 (x 3, ..., xn) + x 1 f 2 (x 3, ..., xn) + x 2 f 3 (x 3, ..., xn) + f 4 (x 3, ..., xn),

unde f 1 (x 3, ..., x n) ¹ 0 (altfel polinomul nu include conjuncția care conține conjuncția x 1 x 2).

Fie (a 3, ..., a n) astfel încât f 1 (a 3, ..., a n) = 1. Atunci

j (x 1, x 2) = f (x 1, x 2, a 3, ..., a n) = x 1 x 2 + ax 1 + bx 2 + g,

unde a, b, g sunt constante egale cu 0 sau 1.

Să folosim operația de negație pe care o avem și să considerăm funcția y (x 1, x 2), obținută din j (x 1, x 2) după cum urmează:

y (x 1, x 2) = j (x 1 + b, x 2 + a) + ab + g.

Este evident că

y (x 1, x 2) = (x 1 + b) (x 2 + a) + a (x 1 + b) + b (x 2 + a) + g + ab + g = x 1 x 2.

Prin urmare,

y (x 1, x 2) = x 1 x 2.

Lema este complet dovedită. ð

Lema 2.10. Lema principală a criteriului de completitudine.

Dacă clasa F = (f) de funcții booleene conține funcții care nu păstrează unitatea, nu păstrează 0, sunt non-auto-duale și nemonotone:

apoi din functiile acestui sistem, prin operatiile de suprapunere si schimbare a variabilelor, putem obtine constantele 0, 1 si functia.

Dovada... Să luăm în considerare o funcție. Atunci

Există două cazuri posibile de considerații ulterioare, denumite în continuare 1) și 2).

1). Funcția dintr-un set de unități ia valoarea 0:

Înlocuiți toate variabilele funcției cu variabila x. Apoi funcția

este deoarece

și .

Luați o funcție non-duală. Deoarece am obținut deja funcția, prin lema pe o funcție non-duală (Lema 2.7. ) de la tine se poate obtine o constanta. A doua constantă poate fi obținută de la prima folosind funcția. Deci, în primul caz considerat, se obțin constante și negație. ... Al doilea caz, și odată cu el lema principală a criteriului de completitudine, sunt complet dovedite. ð

Teorema 2.11. Un criteriu pentru completitudinea sistemelor de funcții ale algebrei logicii (teorema lui Post).

Pentru ca sistemul de funcții F = (fi) să fie complet, este necesar și suficient ca acesta să nu fie cuprins în întregime în nici una dintre cele cinci clase închise T 0, T 1, L, S, M, adică pentru fiecare dintre clasele T 0 , T 1, L, S, M în F există cel puţin o funcţie care nu aparţine acestei clase.

Nevoie... Fie F un sistem complet. Să presupunem că F este conținut într-una din clasele indicate; îl notăm cu K, adică F Í K. Ultima includere este imposibilă, deoarece K este o clasă închisă care nu este un sistem complet.

Adecvarea... Fie sistemul de funcții F = (f i) să nu fie cuprins în întregime în niciuna dintre cele cinci clase închise T 0, T 1, L, S, M. Luați în F funcțiile:

Apoi, pe baza lemei principale (lema 2.10 ) dintr-o funcție care nu păstrează 0, o funcție care nu păstrează 1, o funcție non-duală și nemonotonă, putem obține constantele 0, 1 și funcția de negație:

Bazat pe lema funcției neliniare (lema 2.9 ) din constante, negație și funcție neliniară, puteți obține conjuncția:

Sistem de funcții - un sistem complet conform teoremei privind posibilitatea de a reprezenta orice funcție a algebrei logicii sub forma unei forme normale disjunctive perfecte (de remarcat că o disjuncție poate fi exprimată prin conjuncție și negație sub forma ).

Teorema este complet demonstrată. ð

Exemple.

1. Să arătăm că funcția f (x, y) = x | y formează un sistem complet. Să construim un tabel de valori ale funcției x½y:

X	y	x \| y

f (0,0) = 1, prin urmare, x | tu 0.

f (1,1) = 0, prin urmare, x | tu 1.

f (0,0) = 1, f (1,1) = 0, prin urmare, x | mie.

f (0,1) = f (1,0) = 1, - pe multimi opuse x | y ia aceleasi valori, prin urmare x | da.

În sfârșit, ce înseamnă neliniaritatea funcției
x | y.

Pe baza criteriului de completitudine, se poate argumenta că f (x, y) = x | y formează un sistem complet. ð

2. Să arătăm că sistemul de funcții formează un sistem complet.

Într-adevăr, .

Astfel, printre funcțiile sistemului nostru, am găsit: o funcție care nu păstrează 0, o funcție care nu păstrează 1, funcții non-autoduale, nemonotone și neliniare. Pe baza criteriului de completitudine, se poate susține că sistemul de funcții formează un sistem complet. ð

Astfel, ne-am asigurat că criteriul de completitudine oferă o modalitate constructivă și eficientă de a clarifica completitudinea sistemelor de funcții ale algebrei logicii.

Să formulăm acum trei consecințe ale criteriului de completitudine.

Corolarul 1... Orice clasă închisă K de funcții booleene care nu coincide cu întregul set de funcții booleene (K¹P 2) este conținută în cel puțin una dintre clasele închise construite.

Definiție. Se numește clasa închisă K pre-plin dacă K este incomplet și pentru orice funcție fÏ K clasa K È (f) este completă.

Din definiție rezultă că clasa precompletă este închisă.

Corolarul 2.În algebra logicii, există doar cinci clase precomplete și anume: T 0, T 1, L, M, S.

Pentru a demonstra corolarul, este necesar doar să verificăm că nici una dintre aceste clase nu este cuprinsă în cealaltă, ceea ce este confirmat, de exemplu, de următorul tabel al apartenenței funcțiilor la diferite clase:

T 0	T 1	L	S	M
+	-	+	-	+
-	+	+	-	+
-	-	+	+	-

Corolarul 3. Din orice sistem complet de funcții se poate distinge un subsistem complet, care conține nu mai mult de patru funcții.

Din demonstrarea criteriului de completitudine rezultă că nu se pot distinge mai mult de cinci funcții. Din demonstrarea lemei principale (lema 2.10 ) urmează că este fie non-auto-dual, fie nu păstrează unitatea și nu este monoton. Prin urmare, nu sunt necesare mai mult de patru funcții.