Limita unei funcții a două variabile.
Concept și exemple de soluții

Bun venit la a treia lecție conexă FNP, unde toate temerile tale au început în sfârșit să devină realitate =) După cum mulți bănuiau, conceptul de limită se extinde la o funcție a unui număr arbitrar de argumente, ceea ce trebuie să ne dăm seama astăzi. Cu toate acestea, există știri optimiste. Constă în faptul că la limită este într-o anumită măsură abstractă iar sarcinile corespunzătoare sunt extrem de rare în practică. În acest sens, atenția noastră se va concentra asupra limitelor funcției a două variabile sau, așa cum o scriem adesea:.

Multe dintre idei, principii și metode sunt similare cu teoria și practica limitelor „normale”, ceea ce înseamnă că în acest moment ar trebui să să poată găsi limiteși cel mai important, ÎNȚELEGE ce este limită de funcție variabilă unică... Și, de îndată ce soarta te-a adus pe această pagină, atunci, cel mai probabil, știi deja multe. Și dacă nu - este în regulă, toate golurile pot fi cu adevărat umplute în câteva ore și chiar minute.

Evenimentele acestei lecții se desfășoară în lumea noastră tridimensională și, prin urmare, ar fi pur și simplu o mare omisiune să nu luăm parte activ la ele. În primul rând, să construim binecunoscutul Sistemul de coordonate carteziene în spațiu... Să ne ridicăm și să ne plimbăm puțin prin cameră... ... podeaua pe care mergi este un avion. Să punem o axă undeva... bine, de exemplu, în orice colț ca să nu stea în cale. Amenda. Acum, vă rugăm să priviți în sus și imaginați-vă că există o pătură întinsă atârnând acolo. aceasta suprafaţă dat de functie. Mișcarea noastră pe podea, așa cum este ușor de înțeles, simulează schimbarea variabilelor independente și ne putem deplasa doar sub pătură, adică. v domenii ale unei funcţii a două variabile... Dar distracția abia începe. Chiar peste vârful nasului tău, un gândac mic se târăște de-a lungul păturii, oriunde te duci, iată-l. Să-i spunem Freddie. Mutarea acestuia simulează modificarea valorilor funcției corespunzătoare. (cu excepția cazurilor în care suprafața sau fragmentele sale sunt paralele cu planul și înălțimea nu se modifică)... Dragă cititor pe nume Freddie, nu fi jignit, acest lucru este necesar pentru știință.

Luați o punte în mâini și străpungeți pătura într-un punct arbitrar, a cărui înălțime o notăm, după care lipim unealta în podea strict sub gaură - acesta va fi un punct. Acum începem infinit de aproape aborda un punct dat , și avem dreptul să ne apropiem pe ORICE traiectorie (fiecare punct din care, desigur, este inclus în domeniul definiției)... Dacă ÎN TOATE cazurile Freddie va infinit de aproape se târăsc până la înțepătură la o înălțime și EXACT LA ACEASTĂ ÎNĂLȚIE, atunci funcția are o limită în punctul de la :

Dacă, în aceste condiții, punctul perforat este situat pe marginea păturii, atunci limita va exista în continuare - este important ca în un cartier arbitrar de mic vârfurile awl erau cel puțin câteva puncte din domeniul definiției funcției. Mai mult, ca și în cazul cu limita unei funcții a unei variabile, nu conteaza indiferent dacă funcția este definită într-un punct sau nu. Adică, puncția noastră poate fi închisă cu gumă de mestecat. (cred că funcția a două variabile este continuă) iar acest lucru nu va afecta situația - amintiți-vă că însăși esența limitei implică aproximare infinit de apropiată, și nu „abordare exactă” la obiect.

Cu toate acestea, viața fără nori este umbrită de faptul că, spre deosebire de fratele ei mai mic, limita este mult mai adesea inexistentă. Acest lucru se datorează faptului că, de obicei, există o mulțime de căi către un punct sau altul din avion și fiecare dintre ele trebuie să-l conducă pe Freddie la o înțepătură. (opțional „sigilat cu gumă”) si strict la inaltime. Și există mai mult decât suficiente suprafețe bizare cu pauze la fel de bizare, ceea ce duce la încălcarea acestei condiții stricte în anumite puncte.

Să organizăm cel mai simplu exemplu - luați un cuțit în mâini și tăiați pătura astfel încât punctul perforat să se afle pe linia de tăiere. Rețineți că limita încă există, singurul lucru este că ne-am pierdut dreptul de a păși în puncte sub linia de tăiere, deoarece această zonă a „căzut” domeniul functional... Acum, ridicați cu grijă partea stângă a păturii de-a lungul axei, iar partea dreaptă, dimpotrivă, mutați-o în jos sau chiar lăsați-o pe loc. Ce sa schimbat? Și următoarele s-au schimbat fundamental: dacă acum ne apropiem de punctul din stânga, atunci Freddie va fi la o înălțime mai mare decât dacă ne-am apropia de acest punct din dreapta. Deci nu există limită.

Și, desigur limite minunate, unde fără ele. Luați în considerare un exemplu care este instructiv în toate sensurile:

Exemplul 11

Folosim o formulă trigonometrică dureros de familiară, în care ne organizăm primele limite minunate :

Să trecem la coordonatele polare:
Daca atunci

S-ar părea că decizia duce la un rezultat logic și nimic nu prevestește probleme, dar la sfârșit există un mare risc de a face o greșeală gravă, a cărei natură am făcut-o deja un pic aluzie în exemplul 3 și am descris-o în detaliu după Exemplul 6. Mai întâi, finalul, apoi comentariul:

Să vedem de ce ar fi rău să scrieți pur și simplu „infinit” sau „plus infinit”. Să ne uităm la numitor: deoarece, atunci raza polară tinde să infinitezimal valoare pozitivă:. In afara de asta, . Astfel, semnul numitorului și întreaga limită depind doar de cosinus:
dacă unghiul polar (sferturi de coordonate 2 si 3:);
dacă unghiul polar (sferturile 1 și 4 de coordonate :).

Geometric, asta înseamnă că dacă te apropii de origine din stânga, atunci suprafața definită de funcție , se extinde în jos până la infinit:

Pentru a da conceptul de limita a unei functii a mai multor variabile, ne restrângem la cazul a doua variabile NSși la... Prin definiție, funcția f (x, y) are o limită la punctul ( NS 0 , la 0) egal cu numărul A, notat astfel:

(scrie mai mult f (x, y)>A la (X y)> (NS 0 , la 0)) dacă este definit într-o vecinătate a punctului ( NS 0 , la 0), cu posibila excepție a acestui punct în sine și dacă există o limită

indiferent de tendința către ( NS 0 , la 0) o succesiune de puncte ( X k , y k).

La fel ca și în cazul unei funcții a unei variabile, puteți introduce o altă definiție echivalentă a limitei unei funcții a două variabile: funcția f are la punctul ( NS 0 , la 0) limită egală cu A dacă este definit într-o apropiere a punctului ( NS 0 , la 0) cu posibila excepție a acestui punct însuși și pentru orice e> 0 există q> 0 astfel încât

| f (x, y) - A | < е (3)

pentru toți (X y)

0 < < д. (4)

Această definiție, la rândul său, este echivalentă cu următoarea: pentru orice ε> 0 există o vecinătate q a punctului ( NS 0 , la 0) astfel încât pentru toți ( X y) din acest cartier, altul decât ( NS 0 , la 0), inegalitatea (3) este valabilă.

Deoarece coordonatele unui punct arbitrar ( X y) vecinătatea punctului ( NS 0 , la 0) poate fi scris ca x = x 0 + D NS, y = y 0 + D la, atunci egalitatea (1) este echivalentă cu următoarea egalitate:

Luați în considerare o funcție definită într-o vecinătate a punctului ( NS 0 , la 0), cu excepția, probabil, a acestui punct în sine.

Fie u = (u NS, SCH la) este un vector arbitrar de lungime unu (| u | 2 = u NS 2 + u la 2 = 1) și t> 0 este un scalar. Punctele formularului ( NS 0 + t SCH NS , y 0 + t SCH la) (0 < t)

formează o rază care iese din ( NS 0 , la 0) în direcția vectorului u. Pentru fiecare u, putem lua în considerare funcția

f (NS 0 + t SCH NS , y 0 + t SCH la) (0 < t < д)

din variabila scalara t, unde q este un număr suficient de mic.

Limita acestei funcții (o variabilă t)

f (NS 0 + t SCH NS , y 0 + t SCH la),

f la un moment dat ( NS 0 , la 0) în direcția u.

Exemplul 1. Funcții

definit pe plan ( X y) cu excepția punctului NS 0 = 0, la 0 = 0. Avem (țin cont de faptul că și):

(pentru e> 0 punem d = e / 2 și apoi | f (x, y)| < е, если < д).

din care se poate observa că limita μ în punctul (0, 0) în direcții diferite este în general diferită (vectorul unitar al razei y = kx, NS> 0, are forma

Exemplul 2. Luați în considerare R 2 functie

(NS 4 + la 2 ? 0).

Această funcție în punctul (0, 0) pe orice linie dreaptă y = kx trecerea prin origine are o limită egală cu zero:

la NS > 0.

Totuși, această funcție nu are limită la punctele (0, 0), deoarece pentru y = x 2

Vom scrie dacă funcția f este definit într-o apropiere a punctului ( NS 0 , la 0), cu posibila excepție a punctului însuși ( NS 0 , la 0) și pentru orice N> 0 există q> 0 astfel încât

| f (x, y)| > N,

de la 0< < д.

Puteți vorbi și despre limită f, cand NS, la > ?:

A egalitatea (5) trebuie înțeleasă în sensul că pentru orice ε> 0 există astfel N> 0, care pentru toți NS, la pentru care | X| > N, |y| > N, funcție f este definită şi inegalitatea

| f (x, y) - A| < е.

Egalitățile sunt adevărate

unde ar putea fi NS > ?, la>?. Mai mult decât atât, ca de obicei, limite (finite) în părțile lor din stânga există dacă există limite fși c.

Să demonstrăm (7) de exemplu.

Lasa ( X k , y k) > (NS 0 , la 0) ((X k , y k) ? (NS 0 , la 0)); atunci

Astfel, limita din partea stângă a lui (9) există și este egală cu partea dreaptă a lui (9), și deoarece succesiunea ( X k , y k) tinde să ( NS 0 , la 0) conform oricărei legi, atunci această limită este egală cu limita funcției f (x, y) c (X y) la un moment dat ( NS 0 , la 0).

Teorema. dacă funcția f (x, y) are o limită diferită de zero în punctul ( NS 0 , la 0), adică

atunci există q> 0 astfel încât pentru toate NS, la satisfacerea inegalităţilor

0 < < д, (10)

satisface inegalitatea

Prin urmare, pentru așa ceva (X y)

acestea. inegalitatea (11) este valabilă. Din inegalitatea (12) pentru cele indicate (X y) rezultă de unde pentru A> 0 și la

A < 0 (сохранение знака).

Prin definiție, funcția f (x) = f (x 1 , …, X n ) = A are o limită la punct

X 0 = egal cu numărul A, notat astfel:

(scrie mai mult f (x) > A (X > X 0)) dacă este definită pe o vecinătate a punctului X 0, cu excepția poate pentru ea însăși și dacă există o limită

oricare ar fi efortul pentru care X 0 succesiune de puncte NS k din cartierul specificat ( k= 1, 2, ...) altele decât X 0 .

O altă definiție echivalentă este următoarea: funcție f are la un moment dat X 0 limită egală cu A dacă este definit într-o vecinătate a punctului X 0, cu excepția, poate, pentru sine, și pentru orice e> 0 există q> 0 astfel încât

pentru toți NS satisfacerea inegalităţilor

0 < |x - x 0 | < д.

Această definiție, la rândul ei, este echivalentă cu următoarea: pentru orice ε> 0 există o vecinătate U (x 0 ) puncte X 0 astfel încât pentru toți xU (x 0 ) , NS ? X 0, inegalitatea (13) este valabilă.

Evident, dacă numărul A există o limită f (x) v X 0, atunci A există o limită de funcție f (x 0 + h) din h la punctul zero:

si invers.

Luați în considerare o anumită funcție f dat în toate punctele din vecinătatea punctului X 0, cu excepția poate punctului X 0; fie u = (u 1, ..., u NS) este un vector arbitrar de lungime unu (| u | = 1) și t> 0 este un scalar. Puncte de vedere X 0 + t u (0< t) formă de ieșire din X 0 rază în direcția vectorului u. Pentru fiecare u, putem lua în considerare funcția

(0 < t < д щ)

din variabila scalara t, unde d u este un număr care depinde de u. Limita acestei funcții (de la o variabilă t)

dacă există, este firesc să o numim limită f la punct X 0 în direcția vectorului u.

Vom scrie dacă funcția f definite într-un cartier X 0, cu excepția poate X 0 și pentru toată lumea N> 0 există q> 0 astfel încât | f (x)| > N, de la 0< |x - x 0 | < д.

Puteți vorbi despre limită f, cand NS > ?:

De exemplu, în cazul unui număr finit A egalitatea (14) trebuie înțeleasă în sensul că pentru orice ε> 0 se poate indica astfel N> 0, care pentru puncte NS pentru care | X| > N, funcție f este definită și are loc inegalitatea.

Deci limita funcției f (x) = f (x 1 , ..., NS NS ) din NS variabile este definită prin analogie în același mod ca și pentru o funcție a două variabile.

Astfel, ne întoarcem la definirea limitei unei funcții a mai multor variabile.

Număr A numită limita funcției f (M) la M > M 0 dacă pentru orice număr e> 0 există întotdeauna un astfel de număr g> 0 încât pentru orice punct Mîn afară de M 0 și satisfacerea condiției | MM 0 | < д, будет иметь место неравенство | f (M) - A | < е.

Limita se notează în cazul unei funcții a două variabile

Teoreme limită. Dacă funcţiile f 1 (M)și f 2 (M) la M > M 0 fiecare tind spre o limită finită, atunci:

Exemplul 1. Găsiți limita unei funcții:

Soluţie. Transformăm limita după cum urmează:

Lasa y = kx, atunci

Exemplul 2. Găsiți limita unei funcții:

Soluţie. Vom folosi prima limită remarcabilă Atunci

Exemplul 3. Găsiți limita unei funcții:

Soluţie. Vom folosi a doua limită remarcabilă Atunci

Luați în considerare avionul și sistemul Oxy Coordonatele dreptunghiulare carteziene pe el (puteți lua în considerare și alte sisteme de coordonate).

Din geometria analitică știm că fiecare pereche de numere ordonată (X y) poți potrivi un singur punct M plan și invers, la fiecare punct M planul corespunde unei singure perechi de numere.

Prin urmare, în cele ce urmează, vorbind despre un punct, ne vom referi adesea la perechea corespunzătoare de numere (X y) si invers.

Definiție 1.2 Mulțimea perechilor de numere (X y) satisfacerea inegalităților se numește dreptunghi (deschis).

Pe un plan, va fi reprezentat ca un dreptunghi (Fig. 1.2) cu laturile paralele cu axele de coordonate și centrate în punctul M 0 (X 0 y 0 ) .

Dreptunghiul este de obicei notat cu următorul simbol:

Să introducem un concept, care este important pentru prezentarea ulterioară: o vecinătate a unui punct.

Definiția 1.3 Dreptunghiulară δ -Cartier ( cartierul deltei ) puncte M 0 (X 0 y 0 ) numit dreptunghi

centrat în punct M 0 si cu laturile de aceeasi lungime 25 .

Definiția 1.4 Circulară δ - vecinătatea punctului M 0 (X 0 y 0 ) numit cerc cu raza δ centrat în punct M 0 , adică setul de puncte M (xy) ale căror coordonate satisfac inegalitatea:

Puteți introduce conceptul de vecinătăți și alte tipuri, dar în scopul analizei matematice a problemelor tehnice, practic, se folosesc doar cartierele dreptunghiulare și circulare.

Să introducem următorul concept al limitei unei funcții a două variabile.

Lasă funcția z = f (x, y) definite într-o anumită zonă ζ și M 0 (X 0 y 0 ) - un punct situat în interiorul sau la limita acestei zone.

Definiția 1.5 Număr finit A numit limita funcției f (x, y) la

dacă pentru orice număr pozitiv ε puteți găsi un număr atât de pozitiv δ acea inegalitate

se efectuează pentru toate punctele M (x, y) din zona ζ în afară de M 0 (X 0 y 0 ) ale căror coordonate satisfac inegalitățile:

Sensul acestei definiții este că valorile funcției f (x, y) diferă în mod arbitrar puțin de numărul A în puncte dintr-o vecinătate suficient de mică a punctului M 0 .

Aici, definiția se bazează pe cartierele dreptunghiulare M 0 ... S-ar putea lua în considerare vecinătățile circulare ale punctului M 0 si atunci ar fi necesar sa se ceara indeplinirea inegalitatii

în toate punctele M (x, y) zone ζ în afară de M 0 și îndeplinind condiția:

Distanța dintre puncte M și M 0 .

Se folosesc următoarele notații limită:

Ținând cont de definiția limitei unei funcții a două variabile, se pot transfera teoremele de bază privind limitele pentru funcțiile unei variabile la funcțiile a două variabile.

De exemplu, teoreme despre limita sumei, produsului și coeficientului a două funcții.

§3 Continuitatea unei funcţii a două variabile

Lasă funcția z = f (x, y) definit la punct M 0 (X 0 y 0 ) și împrejurimile sale.

Definiția 1.6 O funcție se numește continuă într-un punct M 0 (X 0 y 0 ) , dacă

Dacă funcţia f (x, y) continuu la punct M 0 (X 0 y 0 ) , atunci

În măsura în care

Adică dacă funcția f (x, y) continuu la punct M 0 (X 0 y 0 ) , apoi incremente infinitezimale ale argumentelor din această regiune corespund incrementelor infinitezimale Δz funcții z .

Reversul este de asemenea adevărat: dacă incremente infinitezimale ale argumentelor corespund incrementelor infinitezimale ale unei funcții, atunci funcția este continuă

O funcție care este continuă în fiecare punct al regiunii se numește continuă în regiune. Pentru funcțiile continue a două variabile, precum și pentru o funcție a unei variabile, continuă pe un interval, sunt valabile teoremele fundamentale ale lui Weierstrass și Bolzano - Cauchy.

Referință: Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815 - 1897) - matematician german. Bernard Bolzano (1781 - 1848) - matematician și filozof ceh. Augustin Louis Cauchy (1789 - 1857) - matematician francez, președinte al Academiei Franceze de Științe (1844 - 1857).

Exemplul 1.4. Investigați continuitatea unei funcții

Această funcție este definită pentru toate valorile variabilelor X și y cu excepția originii, unde numitorul dispare.

Polinom X 2 + y 2 este continuă peste tot și, prin urmare, rădăcina pătrată a unei funcții continue este continuă.

Fracția va fi continuă peste tot, cu excepția punctelor în care numitorul este zero. Adică, funcția luată în considerare este continuă pe întregul plan de coordonate Ooh excluzând originea.

Exemplul 1.5. Investigați continuitatea unei funcții z = tg (x, y) ... Tangenta este definită și continuă pentru toate valorile finite ale argumentului, cu excepția valorilor egale cu un număr impar al valorii π / 2 , adică excluzând punctele în care

Pentru fiecare fix "k" ecuația (1.11) definește o hiperbolă. Prin urmare, funcția luată în considerare este o funcție continuă x și y , excluzând punctele situate pe curbe (1.11).

5.1. Funcția vectorială și funcțiile de coordonate.

5.2. Continuitatea unei funcții vectoriale. Limita unei funcții vectoriale.

5. Derivata si diferentiala unei functii vectoriale, interpretare geometrica Ecuatiile unei tangente la o curba in spatiu. (5,3)

5.3. Derivată și diferențială a unei funcții vectoriale.

5.3.1. Definirea și interpretarea geometrică a derivatei unei funcții vectoriale.

5.3.2. Diferenţialul unei funcţii vectoriale.

5.3.3. Reguli de diferențiere.

5.3.4. Ecuații ale dreptei tangente la o curbă în spațiul tridimensional.

6. F: Rnr - funcții reale ale mai multor (multe) variabile reale.

6.1. Limita și continuitatea unei funcții a mai multor variabile.

6.1.1. Limita unei funcții a mai multor variabile. Limite repetate.

6.1.2. Continuitatea unei funcții a mai multor variabile.

6.1.3. Proprietăți limită ale unei funcții a mai multor variabile. Proprietățile funcțiilor continue într-un punct.

8. Limita unei funcţii a două variabile. Legarea limitei duble cu repetări. (6.1.1)

6.1.1. Limita unei funcții a mai multor variabile. Limite repetate.

9.Definiția unei derivate parțiale. Derivate parțiale de ordin superior. Teorema derivatelor mixte. (6.2.3, 6.3.1)

6.2.3. Derivate parțiale.

10. Definirea unei funcţii diferenţiabile a două variabile. Relația dintre diferențiabilitate și continuitate și existența derivatelor parțiale (6.2.4).

6.2.4. Legătura dintre diferențiabilitate și existența derivatelor parțiale. Unicitate diferențială.

11. Diferenţialul unei funcţii a două variabile. Calcule aproximative folosind diferenţialul. Plan tangent. (6.2.1, 6.2.5, 6.2.6)

6.2.1. Funcție diferențiată. Diferenţial.

6.2.6. Interpretarea geometrică a diferențiabilității unei funcții a două variabile. Planul tangent la graficul funcției.

12. Invarianţa formei diferenţialului. Formule diferențiale parțiale pentru funcții complexe (6.2.9)

13. Invarianţa formei diferenţialului. Formule pentru derivate parțiale ale funcțiilor implicite. (6.2.10)

6.2.10. O teoremă implicită a existenței unei funcții. Derivată (derivate parțiale) a unei funcții implicite.

14. Derivată direcțională. Formula de calcul. (6.2.7)

15. Gradientul funcției într-un punct. Sensul geometric al direcției și lungimii gradientului. Orientarea gradientului în raport cu linia sau suprafața nivelului. (6.2.8)

17. Diferențiale de ordine superioare. Formula lui Taylor pentru f (X, y). (6,4)

18. Condiții necesare și suficiente pentru extremul funcției f (X, y). (6.5.1-6.5.3)

6.5.2. O condiție necesară pentru un extremum local al unei funcții a mai multor variabile.

6.5.3. O condiție suficientă pentru un extremum local al unei funcții a mai multor variabile.

20. Cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții diferențiabile a două variabile într-o zonă mărginită închisă. Algoritm pentru găsirea lor. (6,7)

21. Metoda celor mai mici pătrate. (6,8)

6.1. Limita și continuitatea unei funcții a mai multor variabile.

R n - spațiu metric:

pentru M 0 (X, X,…, X) și M(NS 1 , NS 2 , …, NS n) ( M 0 , M) = .

n= 2: pentru M 0 (X 0 , y 0), M (X, y) ( M 0 , M) =
.

Cartierul Point M 0 U  (M 0) = sunt punctele interioare ale unui cerc cu raza centrat pe M 0 .

6.1.1. Limita unei funcții a mai multor variabile. Limite repetate.

f: R n R dat într-o vecinătate a punctului M 0, cu excepția poate punctul în sine M 0 .

Definiție. Număr A numit limită funcții

f(X 1 , X 2 , …, X n) la punct M 0 dacă  >0  >0  M (0 <  (M 0 , M ) <   | f (M ) – A |<  ).

F Formulare de înregistrare:

n = 2:

aceasta limită dublă.

În limba cartierelor punctelor:

>0  >0  M (X , y ) (M  U  (M 0 )\ M 0  f (X , y )  U  (A )).

(M se poate apropia M 0 pe orice cale).

Limite repetate:
și
.

(M apropiindu-se M 0 orizontal și respectiv vertical).

O teoremă privind relația dintre limitele duble și repetate.

Dacă  limită dublă
şi limite
,
,

apoi  limite repetate
,
și sunt egale cu dublu.

Observație 1. Reversul nu este adevărat.

Exemplu. f (X, y) =

,

.

Cu toate acestea, dubla limită

=

nu există, deoarece în orice vecinătate a punctului (0, 0) funcția ia și valori „departe” de zero, de exemplu, dacă X = y, atunci f (X, y) = 0,5.

Observația 2. Chiar dacă  AR: f (X, y) A

la conducere M La M 0 în orice linie dreaptă, limita dublă poate să nu existe.

Exemplu.f (X, y) =
,M 0 (0, 0). M (X, y)  M 0 (0, 0)

Concluzie: limita (dublă) nu există.

Un exemplu de găsire a limitei.

f (X, y) =
, M 0 (0, 0).

Să arătăm că numărul 0 este limita funcției în punct M 0 .

=
,

 - distanta dintre puncte Mși M 0. (S-a folosit inegalitatea
,

care rezultă din inegalităţi
)

Fie > 0 și fie  = 2. <  

6.1.2. Continuitatea unei funcții a mai multor variabile.

Definiție. f (X, y) este continuă la punct M 0 (X 0 , y 0) dacă este definit în unele U  (M 0) și
,T. adică> 0 > 0  M (0 < (M 0 , M) <   | f (M) – f (M 0)|< ).

Cometariu. Funcția se poate schimba continuu de-a lungul unor direcții care trec prin punct M 0 și au discontinuități de-a lungul altor direcții sau căi de formă diferită. Dacă da, este discontinuă la un punct M 0 .

6.1.3. Proprietăți limită ale unei funcții a mai multor variabile. Proprietățile funcțiilor continue într-un punct.

Apare limita de unicitate;

funcţie având o limită finită într-un punct M 0 , delimitat într-o vecinătate a acestui punct; sunt efectuate proprietăți ordinale și algebrice limită,

trecere la limită păstrează semnele de inegalitate egală și nestrictă.

Dacă funcţia este continuă în punct M 0 și f (M 0 )  0 , atunci semn de valoaref (M ) se păstreazăîn unele U  (M 0).

Sumă, produs, coeficient(numitorul  0) funcţiile continue sunt de asemenea funcții continue, funcție complexă continuă compus din continuu.

6.1.4. Proprietăți ale funcțiilor care sunt continue pe o mulțime închisă și mărginită conexă.n= 1, 2 și 3.

Definiția 1. Se numește mulțimea  conectat dacă, împreună cu oricare două dintre punctele sale, conține și o curbă continuă care le conectează.

Definiția 2. Setul  în R n numit limitat dacă este conținut într-o „minge”
.

n = 1 

n = 2 

n = 3  .

Exemple demulţimi mărginite închise conectate.

R 1 = R: secțiune [ A, b];

R 2: segment AB orice curbă continuă cu puncte finale Ași V;

curbă continuă închisă;

cerc
;

Definiția 3. f: R n  R este continuă pe o mulțime închisă conectată   R n dacă  M 0 

.

Teorema.Multevalorile funcție continuă

f: R n  R pe o mulțime conexă mărginită închisă este un segment [ m , M ] , Aici m - cel putin, A M - cel mai bun valorile sale în puncte ale setului.

Prin urmare, pe orice set de conexiuni delimitate închise înR n funcția continuă este limitată, își ia cea mai mică, cea mai mare, precum și toate valorile intermediare.

"

Departamentul: Matematică superioară

abstract

la disciplina „Matematică superioară”

Subiect: „Limita și continuitatea funcțiilor mai multor variabile”

Togliatti, 2008

Introducere

Conceptul de funcție a unei variabile nu acoperă toate dependențele care există în natură. Chiar și în cele mai simple probleme, există cantități ale căror valori sunt determinate de combinarea valorilor mai multor cantități.

Pentru a studia astfel de dependențe se introduce conceptul de funcție a mai multor variabile.

Conceptul de funcție a mai multor variabile

Definiție. Magnitudinea u se numește funcție a mai multor variabile independente ( X, y, z, …, t), dacă fiecare set de valori ale acestor variabile este asociat cu o anumită valoare a cantității u.

Dacă o variabilă este o funcție a două variabile NSși la, atunci dependența funcțională se notează cu

z = f (X, y).

Simbol f definește aici un set de acțiuni sau o regulă pentru calcularea unei valori z pentru o pereche de valori dată NSși la.

Deci, pentru funcție z = X 2 + 3X y

la NS= 1 și la= 1 avem z = 4,

la NS= 2 și la= 3 avem z = 22,

la NS= 4 și la= 0 avem z= 16 etc.

Cantitatea u funcţia a trei variabile X, y, z, dacă este dată o regulă, ca pentru un triplu dat de valori X, yși z calculați valoarea corespunzătoare u:

u = F (X, y, z).

Aici simbolul F definește un set de acțiuni sau o regulă pentru calcularea unei valori u corespunzătoare acestor valori X, yși z.

Deci, pentru funcție u = X y + 2xz – 3yz

la NS = 1, la= 1 și z= 1 avem u = 0,

la NS = 1, la= -2 și z= 3 avem u = 22,

la NS = 2, la= -1 și z= -2 avem u = -16 etc.

Astfel, dacă în virtutea unei legi a fiecărui set NS numere ( X, y, z, …, t) dintr-un set E atribuie o anumită valoare unei variabile u, atunci u numită funcţie de NS variabile X, y, z, …, t definite pe platou E, și notat

u = f(X, y, z, …, t).

Variabile X, y, z, …, t sunt numite argumente de funcție, mulțimea E- domeniul de aplicare al funcției.

Valoarea particulară a unei funcții este valoarea unei funcții la un moment dat M 0 (X 0 , y 0 , z 0 , …, t 0) și se notează f (M 0) = f (X 0 , y 0 , z 0 , …, t 0).

Domeniul unei funcții este mulțimea tuturor valorilor argumentelor care corespund oricăror valori reale ale funcției.

Funcția a două variabile z = f (X, y) în spațiu este reprezentată de o anumită suprafață. Adică atunci când punctul cu coordonate NS, la parcurge întregul domeniu al funcției situate în plan hoy, punctul spațial corespunzător, în general vorbind, descrie suprafața.

Funcția a trei variabile u = F (X, y, z) considerată în funcție de un punct al unui set de puncte din spațiul tridimensional. În mod similar, funcția NS variabile u = f(X, y, z, …, t) este considerată în funcție de un punct al unora NS-spațiul dimensional.

Limita unei funcții a mai multor variabile

Pentru a da conceptul de limita a unei functii a mai multor variabile, ne restrângem la cazul a doua variabile NSși la... Prin definiție, funcția f (X, y) are o limită la punctul ( NS 0 , la 0) egal cu numărul A, notat astfel:

(1)

(scrie mai mult f (X, y) →A la (X, y) → (NS 0 , la 0)) dacă este definit într-o vecinătate a punctului ( NS 0 , la 0), cu posibila excepție a acestui punct în sine și dacă există o limită

(2)

indiferent de tendința către ( NS 0 , la 0) o succesiune de puncte ( x k, y k).

La fel ca și în cazul unei funcții a unei variabile, puteți introduce o altă definiție echivalentă a limitei unei funcții a două variabile: funcția f are la punctul ( NS 0 , la 0) limită egală cu A dacă este definit într-o apropiere a punctului ( NS 0 , la 0) cu excepția, poate, a acestui punct însuși și pentru orice ε> 0 există δ> 0 astfel încât

| f (X, y) – A| < ε(3)

pentru toți (X, y) satisfacerea inegalităţilor

< δ. (4)

Această definiție, la rândul său, este echivalentă cu următoarea: pentru orice ε> 0 există o vecinătate δ a punctului ( NS 0 , la 0) astfel încât pentru toți ( X, y) din acest cartier, altul decât ( NS 0 , la 0), inegalitatea (3) este valabilă.

Deoarece coordonatele unui punct arbitrar ( X, y) vecinătatea punctului ( NS 0 , la 0) poate fi scris ca x = x 0 + Δ NS, y = y 0 + Δ la, atunci egalitatea (1) este echivalentă cu următoarea egalitate:

Luați în considerare o funcție definită într-o vecinătate a punctului ( NS 0 , la 0), cu excepția, probabil, a acestui punct în sine.

Fie ω = (ω NS, ω la) Este un vector arbitrar de lungime unu (| ω | 2 = ω NS 2 + ω la 2 = 1) și t> 0 este un scalar. Puncte de vedere

(NS 0 + tω NS, y 0 + tω la) (0 < t)

formează o rază care iese din ( NS 0 , la 0) în direcția vectorului ω. Pentru fiecare ω, putem considera funcția

f(NS 0 + tω NS, y 0 + tω la) (0 < t< δ)

din variabila scalara t, unde δ este un număr suficient de mic.

Limita acestei funcții (o variabilă t)

f(NS 0 + tω NS, y 0 + tω la),

dacă există, este firesc să o numim limită f la un moment dat ( NS 0 , la 0) în direcția ω.

Exemplul 1. Funcții

definit pe plan ( X, y) cu excepția punctului NS 0 = 0, la 0 = 0. Avem (luați în considerare că

și ):

(pentru ε> 0 punem δ = ε / 2 și apoi | f (X, y) | < ε, если

< δ).

din care se poate observa că limita φ în punctul (0, 0) în direcții diferite este în general diferită (vectorul unitar al razei y = kx, NS> 0, are forma

).

Exemplul 2. Luați în considerare R 2 functie

(NS 4 + la 2 ≠ 0).

Această funcție în punctul (0, 0) pe orice linie dreaptă y = kx trecerea prin origine are o limită egală cu zero:

la NS → 0.

Totuși, această funcție nu are limită la punctele (0, 0), deoarece pentru y = x 2

și

Va scrie

dacă funcţia f este definit într-o apropiere a punctului ( NS 0 , la 0), cu posibila excepție a punctului însuși ( NS 0 , la 0) și pentru orice N> 0 există δ> 0 astfel încât

|f (X, y) | > N,

de la 0<

< δ.

Puteți vorbi și despre limită f, cand NS, la → ∞:

(5)

De exemplu, în cazul unui număr finit A egalitatea (5) trebuie înțeleasă în sensul că pentru orice ε> 0 există astfel N> 0, care pentru toți NS, la pentru care | X| > N, |y| > N, funcție f este definită şi inegalitatea