A Walsh-függvény frekvenciaspektruma. Frekvencia spektrum

1. Egy szinusz spektruma (14.14. ábra, a) a Walsh-függvények alapján.

Ebben az esetben a dekompozíció intervallumát célszerű egyenlővé tenni T értékével.

A dimenzió nélküli időre áttérve az oszcillációt 16 függvényre korlátozzuk, és először a Walsh-rendezést választjuk. Mivel az adott függvény a ponthoz képest páratlan, a (14.27) sorozatban szereplő páros Walsh-függvények összes együtthatója, azaz for egyenlő nullával.

A maradék nyolc függvény közül azok, amelyek egybeesnek a Rademacher-függvényekkel, és az intervallumon belül periodicitásuk van, nulla együtthatóhoz vezetnek a jelzett intervallumok paritása miatt.

Tehát a 16 együttható közül csak négy nem egyenlő nullával: A (1), A (5), A (9) és A (13). Határozzuk meg ezeket az együtthatókat a (14.28) képlettel. A jelek szorzatait képező integrandusokat (lásd 14.14. ábra, a) és a megfelelő függvényt a ábra mutatja. 14.14, b - e. Ezen termékek darabonkénti integrációja ad

A vizsgált jel spektruma a Walsh-függvények alapján (Walsh szerint rendezve) az ábrán látható. 14.15, a.

Rizs. 14.14. Szinuszos szakasz kapuzása Walsh-függvényekkel

Rizs. 14.15. Egy szinuszos spektruma a Walsh-függvények alapján (a) Walsh, (b) Paley és (c) Hadamard szerint rendezve. Alapméret

Ha Paley és Hadamard szerint rendezik, ugyanazon jel spektruma az ábrán látható formát ölti. 14.15, b és c. Ezeket a spektrumokat a 2. ábrán látható spektrumból kaptuk. 14.15, hanem az együtthatók átrendezésével a táblázatnak megfelelően (lásd 14.13. ábra), bemutatva a Walsh-függvények (for) rendezési módjai közötti kapcsolatot.

A torzítások csökkentése érdekében egy korlátozott számú Walsh-függvénnyel végzett oszcilláció helyreállításakor előnyben kell részesíteni a rendezést, amely biztosítja a spektrum monoton csökkenését. Más szóval, a legjobb sorrend az, hogy minden következő spektrális komponens nem nagyobb (abszolút értékben), mint az előző, azaz. Ebben az értelemben a legjobb rendezés egy szinuszos szegmens ábrázolásakor, amint az az 1. ábrából következik. 14.15, Paley parancsa, a legrosszabb pedig Hadamardé.

Az eredeti jel visszaállítása (lásd 14.14. ábra, a) tizenhat Walsh-függvénnyel az ábrán látható. 14,16 (tizenkét spektrális együttható eltűnik) Ez a konstrukció természetesen nem függ a függvények sorrendjétől. Nyilvánvaló, hogy a Walsh-bázis szinuszos oszcillációjának kielégítőbb közelítéséhez a spektrális komponensek számának jelentős növelésére van szükség.

A (0,1) intervallumon kívül a (14.27) sorozat, amint azt a 14. 4. pontban megjegyeztük, periodikus folytatást ír le, ebben a példában egy harmonikus függvényt.

2. A harmonikus rezgések spektruma (14.17. ábra) a Walsh-függvények alapján. Az előző példához hasonlóan egy harmonikus ciklust veszünk figyelembe egy periódussal. A dimenzió nélküli időre áttérve az oszcillációt a formába írjuk

A függvény Walsh-spektrumát az 1. példa határozza meg. Egy függvény spektrumának meghatározása az intervallumon)