Чутливість систем автоматичного управління. Чутливість систем управління

С.В. Шмідт, студент, Д.Ю. Бєлова, студент
Науковий керівник: Б.З. Калиев, к. Т. Н., Професор
Інноваційний Євразійський університет
м Павлодар, Казахстан

Справжня робота виконувалася відповідно до науковою програмою підвищення ефективності використання ресурсів Казахстану шляхом розробки математичної моделі і алгоритмів оптимального управління електроенергетичних систем, певна як стратегічне завдання РК в Посланні Президента країни народу Казахстану «Казахстан 2030». Ця ж програма входить в основу розробки глобальної енергоекологічної довгострокової стратегії, що готується на базі досліджень вчених Росії і Казахстану зазначеної в фундаментальній праці Нурсултана Абишевича Назарбаєва «Стратегія радикального оновлення глобального співтовариства і партнерство цивілізації». Метою даної наукової статті є підвищення ефективності управління якістю вироблюваної електроенергії шляхом вдосконалення математичної моделі стаціонарних режимів. Аналіз схем заміщення дає можливість виявити закономірності, застосування яких дозволить підвищити якісні показники електроенергії, ефективність експлуатації та проектування самої системи на основі вдосконалення математичної моделі її стаціонарних режимів.
Оптимізація стану електричної системи є тонкою і трудомістким завданням, розв'язуваної на основі аналізу і синтезу т е. Робочих режимів. У промислових умовах через низку причин (зміна температури, знос обладнання, зниження активності каталізатора, зниження теплопровідності і т.п.) параметри системи управління поступово змінюються, і їх дійсні значення завжди відрізняються від розрахункових. Проблема управління якістю електроенергії з урахуванням впливу наявних регулюючих пристроїв в даний час вирішується на основі багаторазових розрахунків, методом проб і помилок. В ринкових умовах важко погодитися з подібним підходом до розрахунку і оптимізації системи електропостачання.
У даній роботі отримано рішення вище зазначених проблем шляхом вдосконалення математичних моделей із застосуванням функцій чутливості таким чином, щоб шукані параметри режиму визначалися безпосередньо по незалежними параметрами схеми заміщення системи передачі і розподілу електроенергії.
Практична цінність полягає в тому, що застосування функцій чутливості дозволяє змінити методологію ведення режиму, сенс якого полягає в забезпеченні, в першу чергу, споживачів якісною електроенергією з урахуванням надійних і економічних показників живильних мереж системи електропостачання, зменшення невиправданих трудовитрат.
Функція чутливості є одним з найбільш важливих показників якості частотно-виборчих ланцюгів. Інформація про чутливості використовується в різних цілях:
1. Функція чутливості є критерієм для порівняльної оцінки різних конфігурацій електронних ланцюгів.
2. Результати аналізу чутливості використовуються для визначення допусків на параметри елементів ланцюга.
3. Функція абсолютної чутливості використовуються при оптимізації характеристик електронних ланцюгів для розрахунку градієнта цільової функції. 4. Чутливість дозволяє зрозуміти, як впливають варіації будь-якого параметра на характеристики ланцюга.
При проектуванні систем управління і регулювання важливо знати, як впливає на характеристики ланцюга зміна параметрів елементів. Це вплив оцінюють за допомогою функцій чутливості. Функція відносної чутливості H (jw) до варіацій аi, визначається за формулою:
Нехай [Y] н [V] є функціями параметра а i, а вектор правої частини не залежить від цього параметра. Диференціюючи (1.2) по а i, отримаємо:
Формула (1.3) дозволяє визначити чутливість всіх елементів вектора [V] до варіацій параметра а i.
Але на практиці зазвичай потрібно визначити чутливість якої-небудь однієї функції ланцюга, тобто необхідно визначити чутливість однієї змінної V i до варіацій декількох параметрів а i. Щоб визначити чутливість V i, помножимо ліву і праву частини рівності (1.3) на одиничний вектор:
При розгляді функцій чутливості в тимчасовій області незалежні джерела можуть мати довільну форму струму і напруги. Вибір часу аналізу може бути довільним, в тому числі з самого початку перехідних процесів, що наступають в ланцюзі при включенні джерел. Отже, приватні похідні по параметрах елементів будуть визначатися від величин (струмів і напруг), представлених у вигляді функцій часу. Нехай відгуком на виході ланцюга є напруга u вих (t). Будемо шукати приватні похідні виду:
Струм через той же реактивний елемент в приєднаної схемою (рис. 1 б)
Результат, отриманий методом приєднаної схеми, можна підтвердити безпосереднім диференціюванням реакції ланцюга:
Замінимо елемент dC еквівалентним йому джерелом струму dic (рис. 2 б).
На виході ланцюга можна буде спостерігати відгук на вплив джерела обурення di c. Якщо поділити величину впливу на константу dC, то відгук зміниться на ту ж величину. Таким чином відгук на виході ланцюга буде чисельно дорівнює похідною duвих / dC (рис 2. б).
висновок:
Дійсні значення параметрів управління електроенергетичними системами практично завжди відрізняються від розрахункових. Дані зміни параметрів можуть привести до зміни статичних і динамічних властивостей системи. Ця обставина бажано врахувати заздалегідь в процесі проектування і налаштування системи, що може бути здійснено застосуванням функцій чутливості, безпосередньо методу приєднаних схем.
У даній роботі виявлено спосіб оптимізації стану електричної системи шляхом вдосконалення математичних моделей із застосуванням функцій чутливості таким чином, щоб шукані параметри режиму визначалися безпосередньо по незалежними параметрами схеми заміщення системи передачі і розподілу електроенергії, що має важливе перспективне теоретичне і практичне значення. При вирішенні задачі оптимізації, електричних мереж енергосистеми з урахуванням імовірнісного характеру вихідних даних, виникає необхідність виділення найбільш значущих чинників. При підході до граничних по пропускним здібностям режимам найбільший вплив на точність розрахунку надає точність завдання параметрів схеми заміщення.
Ця стаття має велике значення для схемотехнічного проектування електричних схем і їх оптимізації, для визначення ступеня впливу параметрів компонентів схеми на її вихідні параметри, а також для прогнозування розкиду вихідних параметрів.
Список літератури:
1. Ахметбаев Д.С. Моделювання стаціонарних режимів системи передачі і розподілу електроенергії. - Алмати. 2010. - С. 28-30.
2. Калиев Б.З. Матеріали міжнародної науково-практичної конференції «Індустріально-інноваційний розвиток на сучасному етапі: стан і перспективи». - Павлодар. 2009. - С. 18-20.

Бібліографічна посилання на цю статтю:
С.В. Шмідт, Д.Ю. Бєлова, Б.З. Калиев Застосування функцій чутливості до енергетичних завданням // Онлайн Електрик: Електроенергетика. Нові технології, 2012..php? Id \u003d 30 (Дата звернення: 20.12.2019)

Аналітичний розрахунок НІ являє собою досить складну завдання і в повній мірі може проводитися за допомогою ЕОМ.

Для каскадів на БТ можлива аналітична оцінка НІ для випадку малих нелінійностей ( U вх одного порядку з φ T\u003d 25.6 мВ).

Зазвичай рівень НИ характеризується коефіцієнтом гармонік K г. Сумарний коефіцієнт гармонік дорівнює

де K г2 і K г3 відповідно коефіцієнти гармонік по другій і третій гармонійним складовим (складовими більш високого порядку можна знехтувати через їх відносної малості).

коефіцієнти гармонік K г2 і K г3, незалежно від способу включення БТ, визначаються з наступних співвідношень:

де B - фактор зв'язку (петлеве посилення).

Дані вирази враховують тільки нелінійність емітерного переходу і отримані на основі розкладання в ряд Тейлора функції струму емітера I е=I е 0 exp ( U вх/φ T).

Фактор зв'язку залежить від способу включення транзистора і види зворотного зв'язку. Для каскаду з ОЕ і охолонувши маємо:

де R г - опір джерела сигналу (або R вих попереднього каскаду); R ос R ос=0).

Для каскаду з ОЕ і ∥ООСН

де R екв=R до∥R н, R ос

Для каскаду з ОК

де R екв=R е∥R н(Див. Підрозділ 2.8).

Для каскаду з ПРО

коефіцієнти гармонік K г2 і K г3, незалежно від способу включення ПТ, визначаються з наступних співвідношень:

де A - коефіцієнт, що дорівнює другому члену розкладання виразу для нелінійної крутизни в ряд Тейлора, рівний

A=I сі/U² отс,

де I сі і U відступ див. малюнок 2.33.

Фактор зв'язку B залежить від способу включення транзистора і виду ООС. Для каскаду з ОІ та охолонувши маємо:

B = S 0 (R ос + r і),

де R ос - опір охолонувши (див. Підрозділ 3.2, в разі відсутності охолонувши R ос=0).

Для каскаду з ОІ та ∥ООСН маємо:

B = S 0 R г R екв/R ос,

де R екв=R з∥R н, R ос - опір ∥ООСН (див. Підрозділ 3.4).

Для каскаду з ОС

B = S 0 (R екв + r і),

де R екв=R з∥R н (Див. Підрозділ 2.11).

Для каскаду з ОЗ

B = S 0 ((R г∥R і) + r і).

У наведених вище виразах r і - опір тіла напівпровідника в ланцюзі витоку, r і≈1/S сі, де S сі - див. Підрозділ 2.10, для малопотужних ПТ r і\u003d (10 ... 200) Ом; R і - див. Малюнок 2.38.

Наведені співвідношення для оцінки K г дають хороший результат в разі малих нелінійностей, в режимі великих нелинейностей слід скористатися відомими машинними методами, або звернутися до графічним методам оцінки НІ.

8.2. Розрахунок стійкості УУ

Оцінку стійкості УУ, представленого еквівалентним чотириполюсником, описуваних Y-параметрами, зручно проводити за допомогою визначення інваріантного коефіцієнта стійкості :

При k\u003e<1 - потенциально неустойчив, т.е. существуют такие сочетания полных проводимостей нагрузки и источника сигнала, при которых возможно возникновение генерации.

Стійкість підсилювача з урахуванням провідності навантаження та джерела сигналу визначається наступним співвідношенням:

При k\u003e 1 допомога безумовно стійкий, при k<1 - неустойчив, k=1 соответствует границе устойчивости.

Еквівалентні Y-параметри підсилювача визначаються, відповідно до методики підрозділу 2.3, в заданих точках діапазону робочих частот. Використання інваріантного коефіцієнта стійкості особливо зручно при машинному аналізі УУ. Інші методи оцінки стійкості описані в.

8.3. Розрахунок шумових характеристик УУ

Шуми в УУ в основному визначаються шумами активних опорів і підсилюючих елементів, розташованих у вхідних каскадах. Найбільший внесок в потужність шуму, створюваного підсилювальним каскадом, вносить підсилювальний елемент. Наявність власних джерел шумів обмежує можливість посилення слабких сигналів.

Залежно від природи виникнення, власні шуми транзистора поділяються на теплові, дробові, шуми токораспределения, надлишкові і т.д.

Теплові шуми обумовлені безладними рухами вільних носіїв заряду в провідниках і напівпровідниках, дробові - дискретністю заряду носіїв (електронів і «дірок») і випадковим характером інжекції і екстракції їх через p-n-переходи. Шум токораспределения викликається флуктуаціями розподілу струму емітера на струми колектора і бази. Всі перераховані вище види шумів мають рівномірний спектр.

Природа надлишкових шумів до кінця ще не з'ясована. Зазвичай їх пов'язують з флуктуаціями стану поверхні напівпровідників. Спектральна щільність цих шумів обернено пропорційна частоті, що послужило приводом для назви їх шумами типу 1 / f. Ще їх називають мерехтіння шумами, шумами мерехтіння і контактними шумами. Шуми типу 1 / f сильно зростають при дефектах в кристалічній решітці напівпровідника.

Найбільш вагомий внесок в потужність шумів підсилюючих елементів вносять теплові шуми.

Шуми активних елементів можна представити у вигляді джерела напруги (рисунок 8.1а) або джерела струму (рисунок 8.1б).

Малюнок 8.1. Еквівалентні схеми активного шумового опору

Відповідні значення ЕРС і струму цих джерел наступні (див. Підрозділ 2.2):

де Δ f - смуга робочих частот; k\u003d 1,38 · 10 -23 - постійна Больцмана; T - температура в градусах Кельвіна; R ш - шумове опір, G ш - шумова провідність, G ш=R ш -1 .

Для стандартної температури Т \u003d 290 ° K ці формули можна спростити:

Спектральні щільності шумів по напрузі і струму складають:

де, - диференціали від середньоквадратичних напруг і струмів шумів як випадкових функцій часу t, що діють в смузі пропускання df.

Будь активний елемент можна уявити шумливим чотириполюсником (рисунок 8.2) і за даними формулами розрахувати його шумові характеристики.

Малюнок 8.2. шумлячий чотириполюсник

У наведені вирази для шумових параметрів БТ і ПТ нормованих спектральних густин шумів по напрузі R ш=F RU/4kT, По току G ш=F RI/4kT і взаємної спектральної щільності F ш, Що представляють собою відповідно шумове опір, шумову провідність і взаємну спектральну щільність шумів.

Для БТ, включеного за схемою з ОЕ:

R ш = r б + 0,2I б r б 2 + 0,02I до S 0 -2 ,

G ш = 0,2I б + 0,02I до g 2 S 0 -2,

F ш = 1 + 0,02I б r б + 0,02I до gS 0 -2 ,

де I б і I до в міліампер, g і S 0 в міллісіменсах. При обліку мерехтіння шумів для частот f≥10Гц в даних виразах слід прийняти:

I "б = (1 + 500/f)I б,

I "до = (1 + 500/f)I до.

Для ПТ, включеного з ОІ:

R ш = 0,75/S 0 ,

G ш = R ш ω² C² зи = 40R ш f² C² зи,

F ш = 1 + ωC зи R ш \u003d 1 + 6,28 · C зи R ш.

Дані формули застосовні і для інших схем включення транзисторів.

Вважаючи рівномірним спектральні щільності шумів, згідно можна отримати вираз для коефіцієнта шуму каскаду:

F = (R г + R ш + G ш R г + 2F ш R г)/R г.

Досліджуючи цей вислів на екстремум, визначаємо оптимальний опір джерела сигналу R г opt, При якому коефіцієнт шуму каскаду F мінімальний:

При цьому в більшості випадків виявляється, що R г opt не збігається з R г, Оптимальним з точки зору отримання необхідної f в каскаду ( R г opt>R г). Виходом з даної ситуації є включення між першим і другим каскадами ланцюга протишумовими корекції (рисунок 8.3).

Малюнок 8.3. Проста Протишумові корекція

Введенням протишумовими корекції домагаються підвищення коефіцієнта передачі каскадів в області ВЧ (шляхом внесення коректує ланцюгом загасання на НЧ і СЧ), компенсуючи тим самим спад посилення на ВЧ за рахунок високоомного R г opt.

Наближено параметри протишумовими корекції можна визначити з рівності її постійної часу RC постійної часу τ в некорректірованного каскаду.

Розрахунок шумів каскадно з'єднаних чотириполюсників (многокаскадного підсилювача) зазвичай зводиться до розрахунку коефіцієнта шуму вхідного ланцюга і вхідного каскаду. Перший каскад в такому підсилювачі працює в малошумні режимі, а другий і інші каскади в звичайному режимі.

Розрахунок шумів в загальному випадку являє собою складну задачу, що вирішується за допомогою ЕОМ. Для ряду окремих випадків шумові параметри можуть бити розраховані за співвідношеннями, наведеними в.

8.4. аналіз чутливості

чутливістю називається реакція різних пристроїв на зміну параметрів її компонент.

коефіцієнт чутливості (функція чутливості або просто чутливість ) Являє собою кількісну оцінку зміни параметрів пристрою (в т.ч. і АЕУ) при заданій зміні параметрів його компонент.

Необхідність розрахунку функції чутливості виникає при необхідності врахування впливу на характеристики АЕУ факторів навколишнього середовища (температури, радіації і т.д.), при розрахунку необхідних допусків на параметри компонент, при визначенні відсотка виходу ІМС, в задачах оптимізації, моделювання і т.д.

функція чутливості S i параметра пристрою y до зміни параметра компонента x i визначається як приватна похідна

Цей вираз отримано на основі розкладання в ряд Тейлора функції декількох змінних, де

Нехтуючи приватними похідними другого і більш порядку, отримуємо зв'язок функції чутливості і відхилення параметра:

Існують різновиди функції чутливості:

◆ абсолютна чутливість, абсолютне відхилення при цьому одно ;

◆ відносна чутливість , Відносне відхилення дорівнює ;

◆ полуотносітельние чутливості , .

Вибір виду функції чутливості визначається видом розв'язуваної задачі, наприклад, для комплексного коефіцієнта передачі відносна чутливість дорівнює відносній чутливості модуля (дійсна частина) і полуотносітельной чутливості фази (уявна частина):

для простих схем обчислення функції чутливості може здійснюватися прямим дифференцированием схемної функції, представленої в аналітичному вигляді. Для складних схем, отримання аналітичного виразу схемної функції являє собою складну задачу, можливе застосування прямого розрахунку функції чутливості через збільшення. В цьому випадку необхідно проводити n аналізів схеми, що для складних схем дуже нераціонально.

Існує непрямий метод розрахунку чутливості по передавальним функціям, запропонований Биховським. Відповідно до цього методу, функція чутливості, наприклад, прямого коефіцієнта передачі дорівнює добутку функцій передачі з входу схеми до елемента, щодо якого шукається чутливість, і передавальної функції "елемент - вихід схеми" (рисунок 8.4а).

Малюнок 8.4. Непрямий метод розрахунку функцій чутливості

Так як розрахунок функції чутливості зводиться до розрахунку передавальних функцій, то для їх знаходження можливе застосування, наприклад, узагальненого методу вузлових потенціалів. Непрямий метод розрахунку по передавальним функціям дозволяє знаходити функції чутливості більш високих порядків. На малюнку 8.4б проілюстровано знаходження функції чутливості другого порядку. Загалом же існує n! шляхів передачі сигналу, кожен з яких містить n + 1 сомножителей.

Нижче описується метод розрахунку функції чутливості, що поєднує прямий метод диференціювання і непрямий по передавальним функціям, що дозволяє за один аналіз знаходити чутливість до n елементів схеми. Розглянемо даний спосіб на прикладах отримання виразів для абсолютної чутливості першого порядку S-параметрів електронних схем, описаних матрицею провідності [Y].

У матричному поданні характеристики електронних схем, в тому числі і параметри розсіювання [S], визначаються у вигляді відносин алгебраїчних доповнень матриці [Y] (див. Підрозділ 7.2). Змінний параметр входить при цьому в деякі елементи алгебраїчних доповнень. Визначення функції чутливості зводиться в цьому випадку до знаходження похідних від відносин алгебраїчних доповнень (чи алгебраїчних доповнень і визначника) за елементами, в яких міститься змінюваний параметр. У разі, коли змінний параметр входить в елементи доповнень визначника функціонально, чутливість визначається як складна похідна.

Для визначення похідних алгебраїчних доповнень по змінним параметрами входять до них елементів скористаємося теоремою, яка стверджує, що похідна визначника по якому-небудь елементу дорівнює алгебраическому доповнення цього елемента. Доказ теореми грунтується на розкладанні визначника по Лапласа

Загальна вираз для S-параметрів через алгебраїчні доповнення має вигляд (див. Підрозділ 7.2)

S ij = k ijΔ ji/Δ – δ ij.

Визначимо функції чутливості параметрів розсіювання до пасивного двухполюсника y o включеному між довільними вузлами k та l (див. рисунок 8.5а)

Малюнок 8.5. Розрахунок чутливості S-параметрів

S S ij y0 = dS ij/dy 0 = k ij(Δ ji(k+l)(k+l) Δ – Δ ( k+l)(k+l) Δ ji)/Δ² = – k ijΔ j(k+l) Δ ( k+l)i /Δ² = – k ij[(Δ jk – Δ jl)(Δ ki – Δ li)]/Δ²

При отриманні даного та наступних виразів використовуються такі матричні співвідношення:

Δ ( i + j)(k + l) = Δ i(k + l) + Δ j(k + l) = (Δ ik – Δ il) + (Δ jk – Δ jl),

Δ ijΔ kl – Δ ilΔ kl = ΔΔ ij, kl.

Для електронних схем, що містять БТ, що моделюються Итут (див. Підрозділ 2.4.1), визначимо чутливість S-параметрів до провідності керуючої гілки g е=1/r е і параметру керованого джерела a включених відповідно між вузлами k, l, і p, q (рисунок 8.5б):

S S ij gе = dS ij/dg е = k ij[(Δ ji(k+l)(k+l) Δ + αΔ ij(k+l)(p+q))Δ – (Δ ( k+l)(k+l) Δ+αΔ ( k+l)(p+q) Δ ij])/Δ² = – k ijΔ ( k+l)i (Δ j(k+l) + αΔ j(p+q))/Δ² = – k ij(Δ ki -Δ li)[(Δ jk -Δ jl)+ α(Δ jp - Δ jq)/Δ²,

S S ij α = dS ij/dα = k ij(Δ ji(k+l)(p+q) Δ – Δ ( k+l)(p+q) Δ ji)/Δ² = – k ijΔ j(p+q) Δ ( k+l)i /Δ² = – k ij[(Δ jp -Δ jq)(Δ ki -Δ li)]/Δ².

якщо електронна схема містить ПТ, що моделюються Ітун (див. підрозділ 2.4.1), то чутливість параметрів розсіювання до крутизни S, включеної між вузлами p, q при вузлах управління k, l (рисунок 8.5в), дорівнює

S S ij S \u003d dS ij/ DS \u003d k ij(Δ ji(k+l)(p+q) Δ – Δ ( k+l)(p+q) Δ ji)/Δ² = – k ijΔ j(k+l) Δ ( p+q)i /Δ² = – k ij[(Δ jk -Δ jl)(Δ pi -Δ qi)]/Δ².

Чутливість параметрів розсіювання до будь-якого Y-параметру підсхеми (рисунок 8.5г), наприклад, y kl, Буде дорівнює

S S ij ykl = dS ij/dy kl = k ij(Δ ji, kl Δ – Δ kl Δ ij)/Δ² = – k ijΔ jl Δ ki /Δ².

При відомої чутливості y kl до параметру елемента підсхеми x (див. малюнок 8.5г) чутливість S-параметрів повної схеми до цього параметру, відповідно до поняттям складної похідною, виразиться як

S S ij x \u003d ( dS ij/dy kl)(dy kl/dx) = S S ij ykl· S y kl x.

Останній вираз вказує на можливість застосування методу подсхем при аналізі чутливості складних електронних схем.

Знаючи зв'язок параметрів розсіювання з вторинними параметрами електронних схем ( K U, Z вх, Z вих і ін.) і чутливість параметрів розсіювання до зміни елементів схеми, можливо знаходження функцій чутливості вторинних параметрів до зміни цих елементів. Наприклад, для коефіцієнта передачі по напрузі з i-го на j-й вузол K ij=S ji/(1+S 11) чутливість до зміни параметра x (вважаючи, що S ij=f(x) і S ii=φ( x)) Отримуємо

S K ij x = dK ij/dx = [S S ij x(1 + S ii) – S S ii x S ij] / (1 + S ii)².

аналогічно для Z вх(вих) (Z ii (jj)) Маємо

Z ii (jj) = Z г (н) · (1 + S ii (jj)) / (1 - S ii (jj));

S Z i i(jj) x = dZ ii(jj) /dx = –2Z г (н) · S S i i(jj) x · S ii (jj) / (1 - S ii (jj))².

Даний спосіб настільки ж ефективно може бути використаний при визначенні чутливості більш високих порядків для всіляких характеристик електронних схем. Реалізація отриманих таким чином алгоритмів розрахунку чутливості зводиться до обчислення і перебору відповідних алгебраїчних доповнень, що добре поєднується з перебуванням інших малосигнальних характеристик електронних схем.

8.5. Машинні методи аналізу АЕУ

У підрозділі 2.3 наведена основна ідея узагальненого методу вузлових потенціалів, на основі якого були отримані більшість співвідношень для ескізного розрахунку підсилюючих каскадів. Однак поряд з незаперечними перевагами даного методу (Простота програмування, мала розмірність одержуваної матриці провідності Y, N * n, де n- кількість вузлів схеми без опорного), даний метод має ряд істотних недоліків. В першу чергу слід відзначити неможливість подання у вигляді провідності деяких ідеальних моделей електронних схем (короткозамкнутих гілок, джерел напруги, залежних джерел, керованих струмом і т.д.). Крім того, уявлення індуктивності провідністю незручно при тимчасовому аналізі схем, що пов'язано з перетворенням Лапласа (оператор Лапласа p повинен бути в чисельнику для того, щоб система алгебраїчних рівнянь і отримана в результаті перетворення система диференціальних рівнянь мала однакові коефіцієнти).

В даний час найбільшого поширення набули топологічні методи формування системи рівнянь електричного кола, Найбільш загальним з яких є табличний .

У цьому методі всі рівняння, що описують ланцюг, включаються в загальну систему рівнянь, що містить рівняння Кірхгофа для струмів, напруг і компонентні рівняння.

Рівняння Кірхгофа для струмів можна представити у вигляді

AI в = 0,

де A- матриця інценденціі, що описує топологію ланцюга, I в - вектор струму гілок.

Рівняння Кірхгофа для напруг мають вигляд

V в – A t V п = 0,

де V в і V п - відповідно, вектора напружень гілок і вузлових потенціалів, A t - транспонована матриця інценденціі A.

У загальному випадку рівняння, що описують елементи ланцюга, можна уявити в такій формі:

Y в B в + Z в I в = W в,

де Y в і Z в - відповідно, квазідіагональние матриці провідності і опору гілок, W в - вектор, куди входять незалежні джерела напруги і струму, а також початкові напруги і струми на конденсаторах і індуктивностях.

Запишемо наведені рівняння в наступній послідовності:

V в – A t V п = 0;

Y в B в + Z в I в = W в;

AI в = 0;

і представимо в матричної формі

або в загальному вигляді

Табличний метод має головним чином теоретичне значення, оскільки поряд з основною перевагою, зреалізований в тому, що можливе знаходження всіх струмів і напруг гілок і вузлових потенціалів, має ряд істотних недоліків. В першу чергу слід відзначити надмірність методу, що приводить до великої розмірності матриці T. Далі слід зазначити, що багато ідеальні керовані джерела призводять до появи зайвих змінних. Наприклад, вхідний струм керованих напругою джерел струму і напруги, а також вхідна напруга керованих струмом джерел струму і напруги дорівнюють нулю, але в даному методі вони розглядаються як змінні.

У практичному плані найчастіше використовується модифікація табличного методу - модифікований вузловий метод з перевіркою .

Ідея даного методу полягає в поділі елементів на групи; одна група сформована з елементів, які описуються допомогою проводимостей, для елементів другої групи такий опис неможливо. Оскільки через струми гілок першої групи можна виразити напруги гілок, а напруги гілок через вузлові потенціали, то можна виключити з табличних рівнянь все напруги гілок, а для елементів першої групи ще й струми гілок. При введенні додаткових рівнянь для струмів в гілках з елементами другої групи проводиться перевірка на наявність заздалегідь відомих (нульових) змінних. В результаті такого перетворення отримаємо рівняння модифікованого вузлового методу з перевіркою

або в загальному вигляді

T m X \u003d W,

де n - розмірність матриці провідності Y n 1 елементів першої групи (n - число вузлів схеми без нульового); m - число додаткових рівнянь для елементів другої групи; J n - вектор незалежних джерел струму; I 2 - вектор струмів гілок елементів другої групи; W 2 - вектор, куди входять незалежні джерела напруги, а також початкові напруги і струми на конденсаторах і індуктивностях, представлених елементами другої групи.

Для спрощення програмування зазвичай представляють матрицю коефіцієнтів системи рівнянь модифікованого вузлового методу T m у вигляді суми двох матриць розмірністю (n + m) * (n + m)

T m \u003d G + pC.

У матрицю G вносять всі активні провідності і коефіцієнти, відповідні частотно-незалежним елементам, а в матрицю C - все частотнозавісімой елементи, причому індуктивності зазвичай представляють елементом другої групи, тобто опором. Далі знаходять рішення даної системи рівнянь, використовуючи алгоритми Гаусса-Жордана або L / U-розкладання.

При частотному аналізі електронних схем оператор p замінюється на jω, Організовується цикл по частоті, всередині якого для кожної частотної точки формується система рівнянь, яка вирішується щодо цікавлять напруг і струмів.

При тимчасовому аналізі лінійних електронних схем можливо безпосередньо використовувати модифіковану вузлову форму рівнянь

(G + pC)X \u003d W.

Після переходу в тимчасову область отримаємо

Gx + Cx "\u003d W,

Cx "\u003d W - Gx.

Рішення отриманої системи диференціальних рівнянь знаходиться шляхом чисельного інтегрування. одними з ефективних методів чисельного інтегрування є методи, що спираються на лінійні багатокрокові формули , До найпростіших з яких відносяться формули Ейлера (пряма і зворотна) і формула трапецій.

Розбивши часовий інтервал на кінцеве число відрізків h і поклавши t n+1 \u003d T n + h, Для кожного моменту часу t n можна знайти наближення x n до справжнього розв'язання x(t n) Шляхом застосування лінійних багатокрокових формул:

x n+1 \u003d X n + hx "n (Пряма формула Ейлера);

x n+1 \u003d X n + hx " n+1 (зворотна формула Ейлера);

x n+1 \u003d X n + (h/2)(x "n + x "n +1) (формула трапецій).

знаходження x "n +1 для (n + 1) -го кроку обчислень можливо шляхом застосування прямої формули Ейлера.

Оскільки напруга на конденсаторі і струм, що протікає через нього пов'язані співвідношенням i \u003d CdV / dt, а для індуктивності маємо V \u003d Ldi / dt, то застосування зворотного формули Ейлера рівноцінно переходу від ємностей і індуктивностей до їх еквівалентним схемами, показаним на малюнку 8.6, в внаслідок чого ланцюг стає резистивной. Такі моделі індуктивності і ємності звуться сіткових (супроводжуючих, дискретних) моделей .

Малюнок 8.6. Сіткові моделі для зворотного формули Ейлера

Відшукання робочої точки або розрахунок по постійному струму є першим кроком при нелінійному аналізі УУ. Аналіз характеристик по постійному струму схем, що містять нелінійні опори, зводиться до вирішення системи нелінійних рівнянь виду f (x) \u003d 0.

Оскільки закони Кирхгофа застосовні не тільки до лінійних, а й до нелінійним елементам, Для формування системи рівнянь f (x) можливе використання вже розглянутих табличних методів. Структура одержуваних табличних рівнянь буде розглянута нижче.

Для вирішення системи нелінійних рівнянь f (x)застосовується метод Ньютона-Рафсона . Метод передбачає використання початкового наближення x 0, проведення итерационной процедури і, якщо величина | ( x n +1 –x n)/x n +1 | досить мала, констатацію факту збіжності (n- кількість ітерацій):

x n +1 = x n – J -1 f(x n),

де J - якобіан (матриця Якобі) розмірністю (m * m)

В процесі ітераційної обробки даної системи рівнянь на кожному етапі ітерації можуть бути отримані значення f(x n) і J; це еквівалентно рішенням лінійного рівняння в формі

J(x n +1) – x n) = –f(x n).

Іншими словами, рішення нелінійних рівнянь можна інтерпретувати як повторне рішення лінійних рівнянь на кожному етапі ітераційного процесу.

Структура якобіана зовні збігається з табличними рівняннями лінійних ланцюгів, які перетворені з урахуванням розрахунку по постійному струму - прибрані конденсатори і закорочені котушки індуктивності.

Нехай табличні рівняння задані в такій формі:

V в – A t V п = 0;

p(V в,i в) = W;

AI в = 0;

Система рівнянь p(V в,i в) = W визначає зв'язок між струмами і напругами гілок в неявній формі, деякі з цих залежностей можуть бути лінійними.

Матриця Якобі на n-й ітерації матиме вигляд

де ; де.

Для формування якобіана можливе використання різних модифікацій табличного методу, в тому числі і модифікованого вузлового з перевіркою. Результат аналізу схеми по постійному струмі (режим по постійному струму) може бути використаний в якості початкового наближення при тимчасовому аналізі нелінійних електронних схем.

Нелінійні рівняння легко включаються в рівняння ланцюга, складені табличним або модифікованим вузловим методом. Лінійні елементи, як і раніше, лінійними компонентними рівняннями. Для нелінійних рівнянь характерні рівняння в неявній формі, хоча іноді нелінійності можна описати і в явній формі. Нелінійні ємності і індуктивності найкраще описувати за допомогою додаткових змінних - електричних зарядів і магнітних потоків відповідно, які повинні бути введені в вектор невідомих. Якщо це зробити, то рівняння, записані як табличним, так і модифікованим вузловим методами можна представити в наступному вигляді:

f(x ", x, W, t) ≣ Ex " + Gx +p(x) = 0,

де E і G- постійні матриці, а всі нелінійності зведені в вектор p (x).

Отримана система диференціальних рівнянь вирішується шляхом інтегрування з використанням формули диференціювання назад і алгоритму Ньютона-Рафсона, для чого формується якобіан. В цілому структура якобіана для лінійної і нелінійної ланцюга ідентична, різниця між ними в тому, що нелінійна ємність (індуктивність) буде представлена \u200b\u200bдвома рівняннями, а заряд q (потік f) стане ще одним невідомим. Однак і для лінійних ємностей і індуктивностей можна ввести заряди і магнітні потоки в якості змінних, що призведе до збігу якобіана і матриці системи рівнянь. Будь-яка нелінійна провідність з'явиться в якобіане аналогічно лінійної провідності в матриці C модифікованого вузлового методу. Таким чином стає можливим єдиний підхід до формування і вирішення рівнянь лінійних і нелінійних ланцюгів з метою отримання їх тимчасових і частотних характеристик, що і успішно реалізується в сучасних пакетах схемотехнічного проектування.

Більш детально перераховані методи, а також інші питання аналізу електронних кіл наведені в. В описаний один з пакетів схемотехнічного проектування Electronics Workbench.

чутливістю називається реакція різних пристроїв на зміну параметрів її компонент.

Функція чутливості параметра пристрою y до зміни параметра компонента визначається як приватна похідна

Цей вираз отримано на основі розкладання в ряд Тейлора функції декількох змінних, де

Існують різновиди функції чутливості:

¨ абсолютна чутливість, абсолютне відхилення при цьому одно ;

¨ відносна чутливість , Відносне відхилення дорівнює ;

¨ полуотносітельние чутливості , .

Для простих схем обчислення функції чутливості може здійснюватися прямим дифференцированием схемної функції, представленої в аналітичному вигляді. Для складних схем, отримання аналітичного виразу схемної функції являє собою складну задачу, можливе застосування прямого розрахунку функції чутливості через збільшення. В цьому випадку необхідно проводити n аналізів схеми, що для складних схем дуже нераціонально.

Нижче описується метод розрахунку функції чутливості, що поєднує прямий метод диференціювання і непрямий по передавальним функціям, що дозволяє за один аналіз знаходити чутливість до n елементів схеми. Погляньмо на цей спосіб на прикладах отримання виразів для абсолютної чутливості першого порядку S-параметрів електронних схем, описаних матрицею провідності [Y].

Загальна вираз для S-параметрів через алгебраїчні доповнення має вигляд (див. Підрозділ 7.2)

Визначимо функції чутливості параметрів розсіювання до пасивного двухполюсника включеному між довільними вузлами k та l (див. Рисунок 8.5а)

При отриманні даного та наступних виразів використовуються такі матричні співвідношення:

Для електронних схем, що містять БТ, що моделюються Итут (див. Підрозділ 2.4.1), визначимо чутливість S-параметрів до провідності керуючої гілки і параметру керованого джерела a включених відповідно між вузлами k, l, і p, q (рисунок 8.5б):

Якщо електронна схема містить ПТ, що моделюються Ітун (див. Підрозділ 2.4.1), то чутливість параметрів розсіювання до крутизни S, включеної між вузлами p, q при вузлах управління k, l (рисунок 8.5в), дорівнює

У розд. 2.4 були вказані основні положення цього обчислювального методу, що дозволяє отримати приватні похідні (коефіцієнти впливу параметрів) за відповідними параметрами системи. Ці похідні можна визначити одночасно з рішенням вихідного диференціального рівняння.

Діапазон застосування методу, заснованого на вивченні чутливості (впливу) параметрів, ширше, ніж методів оцінювання параметрів. Мейссінгер подає такий список можливих застосувань:

а) Передбачення рішень в околиці відомого рішення шляхом лінійної екстраполяції.

б) Визначення допусків для параметрів за допомогою лінійного прогнозування, виділення критичних параметрів.

в) Додатки до статистичних досліджень: оцінювання впливу випадкових параметрів системи або початкових умов, екстраполяція результатів, отриманих при випадкових вхідних сигналах.

г) Оптимізація параметрів системи градієнтними методами відповідно до визначеного критерієм якості.

д) Аналіз чутливості рішення до помилок ЕОМ.

е) Визначення меж області стійкості системи.

ж) Зміна постійних часу різних процесів; зміна часу наростання, часу осідання.

з) Рішення крайової задачі для звичайних диференціальних рівнянь.

Ми обмежимося обговоренням застосування цього методу до оцінювання параметрів об'єкта.

Методи, засновані на вивченні впливу (чутливості) параметрів

Виділимо тепер основні положення методу, що використовує функції впливу параметрів. Розглянемо наступне неоднорідне лінійне диференціальне рівняння щодо

з початковими умовами

Потрібно забрати рішення при конкретних значеннях параметрів Розглянемо поки для наочності тільки один параметр; тоді буде функцією двох змінних, наприклад згідно з кривою рішення, отриманої при значенні параметра шляхом екстраполяції по можна знайти близьку криву, відповідну

Необхідна для задовільною апроксимації число членів в цьому розкладанні залежить від величини і поведінки рішення і його приватних похідних по в цікавій для нас області. Тут буде розглядатися тільки апроксимація з точністю до членів першого порядку.

Приватна похідна є функцією називається коефіцієнтом впливу або функцією чутливості параметра першого порядку. Іншими коефіцієнтами впливу, що відносяться до рівняння (9.67), є

Два останніх члена характеризують чутливість до змін початкових умов. Диференціюючи (9.67) по і з огляду на, що і залежать від отримуємо

Змінюючи порядок диференціювання і використовуючи позначення приходимо до диференціальних рівнянь для

з початковими умовами

випливають із того, що початкові значення постійні і не залежать від Рівняння (9.70) відоме як рівняння чутливості системи щодо параметра При невеликих змінах з цього рівняння можна отримати інформацію про наближеному значенні градієнта Це рівняння неважко промоделювати, замінюючи приватні похідні повними:

(Наближене рівняння чутливості). Причина того, що це рівняння є всього лише наближені

ем полягає в тому, що співвідношення між приватною і повної виробляє має вигляд

Отже, рівняння (9.71) є хорошим наближенням, якщо зміни параметрів у часі досить малі.

Аналогічним чином можна вивести наближені рівняння чутливості щодо Для чотирьох розглянутих параметрів отримуємо

Кожне з цих рівнянь можна промоделювати за допомогою окремої моделі чутливості (див. Блок-схему на фіг. 9.8). В даному лінійному випадку все наближені рівняння чутливості виявляються однаковими, якщо не брати до уваги відмінностей в правих частинах. Це означає, що функції чутливості параметрів можна послідовно визначати на одній і тій же моделі, використовуючи відповідний «зв'язує член» або й. Подальші спрощення виходять, якщо врахувати, що, відповідно до формул (9.73а), (9.736),

відповідно до формул (9.73в), (9,73г),

а порівняння формули (9.67) з (9.73в) і (9.73г) дає

Таким чином, досить промоделювати рівняння (9.736) і скористатися співвідношеннями (9.74) - (9.76) для одночасного одержання функцій чутливості всіх чотирьох параметрів (фіг. 9.9, б). Така схема практичної реалізації вимагає значно менших витрат, ніж схема, відповідна фіг. 9.8.

Якщо початкові умови і також є параметрами, що представляють інтерес, то легко бачити, що у відповідних рівняннях чутливості «зв'язує член» взагалі відсутній. При отримуємо однорідне диференціальне рівняння

з початковими умовами

Це рівняння вирішується просто шляхом повторного використання основний моделі при тотожне рівний нулю керуючої функції і і відповідно змінених початкових умовах.

Застосування методу впливу параметрів не обмежені лінійними сіртемамі. Як приклад нелінійної системи розглянемо рівняння

Рівняння чутливості мають вигляд

Знову рівняння розрізняються тільки «зв'язують членами». Отже, можна послідовно використовувати одну і ту ж модель з керуючими функціями Розглянуту задачу можна узагальнити на систему диференціальних рівнянь з параметрами

Рівняння чутливості щодо у тому числі визначаються похідні записуються у вигляді

Початкові умови нульові, якщо тільки початкові умови вихідного диференціального рівняння не розглядаються як параметри. Наведена формулювання справедлива як для лінійних, так і для нелінійних систем. Для вивчення впливу окремого параметра доводиться моделювати (або програмувати) всю систему рівнянь чутливості (9.81), навіть якщо цей параметр явно входить лише в одне рівняння вихідної системи (9.80). Якщо, наприклад, входить тільки в член то в рівнянні чутливості з'являється «зв'язує член» тоді як при Проте всі інші рівняння чутливості містять в неявній формі у вигляді членів і виявляються пов'язаними з рівнянням.

Ще одна область застосувань виявляється при дослідженні ефекту виключення похідних більш

високого порядку з диференціального рівняння. Припустимо, що вивчається рівняння

Потрібно з'ясувати вплив члена третього порядку

Рівняння чутливості щодо і мають вигляд

Отже, і з моделі чутливості можна отримати значення коефіцієнта впливу цього параметра в околиці

До сих пір в цьому розділі розглядалися абсолютні функції чутливості параметрів, наприклад Іноді вдається використовувати відносні функції чутливості, наприклад

Метод з використанням точок чутливості

У попередньому розділі було встановлено, що для одночасного визначення декількох функцій чутливості, крім моделі об'єкта, необхідний ще ряд додаткових моделей чутливості. Це пов'язано з ускладненням аналогової обчислювальної схеми або зі збільшенням машинного часу, необхідного для вирішення Подібних завдань.

З іншого боку, в розд. 9.1 було показано, що при використанні узагальненої моделі додаткових моделей чутливості не потрібно - функції чутливості можуть бути виміряні безпосередньо. Це пояснюється лінійністю узагальненої моделі щодо параметрів.

З огляду на бажаність максимально можливого спрощення схеми моделювання та скорочення машинного

часу, має сенс вивчити типи моделей, що дозволяють знаходити наіболипее число функцій чутливості (з числа підлягають визначенню). Для цієї мети використовується так званий метод точок чутливості.

Основну його ідею можна пояснити наступним чином. Розглянемо лінійний об'єкт з функцією передачі залежить від параметрів Перетворення Лапласа від вхідного сигналу є тоді вихідний сигнал визначається формулою

Вихід відповідної моделі має вигляд

З огляду на дифференцируемость -перетворення за параметрами, отримаємо

(Абсолютні) функції чутливості параметра

відносні функції чутливості параметра

Наступний приклад допомагає проілюструвати цю ідею (фіг. 9.10, а, б). Для моделі справедливі співвідношення

Звідси для відносних функцій чутливості отримуємо

В результаті приходимо до схеми фіг. 9.10, б. називаються точками чутливості. при аналоговому

Фіг. 9.10. (Див. Скан)

моделюванні обидві функції чутливості можна вимірювати одночасно, при цифрових обчисленнях обидві функції визначаються по одній і тій же програмі.

Цю ідею можна поширити на багатоконтурні системи з зворотним зв'язком (Фіг. 9.11). Тут передбачається, що в кожному з елементарних блоків є лише один параметр, для якого потрібно обчислити функцію чутливості. Так само як і раніше, неважко показати, що є точкою чутливості для параметра з блоку Залишається розглянути питання

(Клікніть для перегляду ськана)

про те, яким чином параметр входить в передавальну функцію Він вирішується введенням додаткової передавальної функції

Це логарифмічна передавальна функція чутливості, введена раніше Боде. Входом служить сигнал, що знімається з точки чутливості виходом -

Деякі окремі випадки:

У цьому випадку сигнал з є функція чутливості і немає необхідності в додаванні будь-яких елементів в модель чутливості (фіг. 9.9, б і 9.10, б).

б) Якщо т. е. передавальна функція, є твором двох передавальних функцій, з яких лише одна містить представляє для нас інтерес параметр, то

т. е. збігається з функцією передачі тієї частини моделі, яка містить

Ці ідеї можпо також поширити на функції чутливості вищих порядків, наприклад

які виходять очевидним чином з функцій чутливості першого порядку. Виявляється, що в цьому випадку необхідна ще одна модель чутливості.

Зрозуміло, аналіз чутливості використовувався також і для опису об'єктів в тимчасовій області. Огляд відповідної літератури можна знайти в роботі. Багато цікавих статей містять дві збірки Доповідей симпозіумів ІФАК по чутливості.

Безперервні настроюються моделі

Вже згадана тут схема приведена на фіг. 9.12. Помилка визначається як

де деякий функціонал. Необхідно мінімізувати критерій який можна записати як функціонал від парної функції

Налаштування моделі здійснюється зміною параметрів відповідно до значення градієнта

Компоненти вектора градієнта визначаються диференціюванням:

причому є коефіцієнт впливу параметра. Тепер можна визначити наступний

оператор:

звідки отримуємо

Як вказувалося в попередньому розділі, безліч операторів залежних від параметра а і діючих на сигнал і, дозволяє отримати всі функції чутливості параметрів.

Приклад. Скористаємося результатами роботи. Об'єкт і модель описуються відповідно рівняннями

Рівняння чутливості виходить в результаті диференціювання рівняння моделі:

де а а вважається постійною. Застосуємо як критерій умова мінімуму

і будемо використовувати для настройки метод найшвидшого спуску

оскільки від а залежить тільки

Поведінка схеми настройки моделі описується формулами (9.98) - (9.102). Через обмеження, що вимагає сталості а в (9.102), ці формули дозволяють лити наближено описати зміни а, коли ці зміни відбуваються досить повільно. В роботі досліджені питання збіжності для випадків, коли вхід і є ступінчастим або синусоїдальним сигналом. У першому випадку можна довести стійкість точки рівноваги

Другий випадок призводить до рівнянь Матьє, які можуть мати як (асимптотично) стійкі, так і періодичні і нестійкі рішення.

При вивченні стійкості застосовувався другий метод Ляпунова: см., А також роботи, цитовані в попередньому розділі.

Відзначимо, що функції чутливості параметрів грають роль допоміжних змінних за аналогією з викладеним в гл. 6 і 7 для випадку дискретних сигналів.

Приклади моделювання, практичної реалізації та застосувань

Хоча робота і не має прямого відношення до оцінки параметрів, її можна згадати як ще один приклад використання коефіцієнтів впливу параметрів. Досліджувана система зображена на фіг. 9.13. Параметри об'єкта (наприклад, зміна кутової швидкості літака по осі тангажа від відхилення керуючих поверхонь) змінюються. Ці зміни компенсуються

налаштуванням параметрів і в контурі зворотного зв'язку. Бажані показники системи «об'єкт + ланцюг зворотного зв'язку» встановлюються еталонною моделлю, яка представляє собою фіксовану аналогову схему. Метою налаштування є мінімізація деякого парного функціоналу від помилки Це означає, що.

Такий результат виходить генеруванням коефіцієнтів впливу параметрів еталонної моделі замість відповідних коефіцієнтів охопленого зворотним зв'язком об'єкта. Якщо фіксовані, такий підхід має ту перевагу, що генеруються коефіцієнти впливу параметрів представляють собою необхідні приватні похідні. (Це не вірно для розглядалася вище схеми настройки моделі.)

Переривчаста настройка моделей

Як зазначалося в розд. 9.2, для безперервних схем настройки важко виявити властивості збіжності. Це пояснюється перш за все складністю визначення градієнта при зміні (налаштування) параметрів моделі. Розглянемо тепер схеми, в яких параметри моделі залишаються постійними при визначенні градієнта. Після інтервалу вимірювань проводиться настройка параметрів моделі, потім знову починається період вимірювань і т. Д.