Yuvarlama sırasında nicemleme gürültüsünün varyansı. niceleme gürültüsü

ders numarası 9

"Dijital Filtrelerde Niceleme Etkileri ve Gürültü"

Sayısal sinyal işleme algoritmalarını uygulayan gerçek cihazlarda, giriş sinyallerinin nicemlenmesinden kaynaklanan etkilerin ve tüm kayıtların sonlu bit genişliğinin hesaba katılması gerekir. Sinyal işlemedeki hataların kaynakları, aritmetik işlemlerin sonuçlarının yuvarlanması (veya kesilmesi), giriş analog sinyallerinin analogdan dijitale dönüştürülmesiyle ilişkili nicemleme gürültüsü, dijital filtrelerin özelliklerinin uygulanmasında, yuvarlanmalarından kaynaklanan yanlışlıklardır. katsayılar.

Veri temsilinin sonlu bit derinliği ile ilişkili etkileri analiz etmek için, sayısal filtrede ortaya çıkan çeşitli gürültü kaynaklarının istatistiksel bağımsızlığına ilişkin bazı varsayımlar yapmak gereklidir. Aşağıdaki varsayımlara dayalı olarak bir istatistiksel model benimsenmiştir:

1. Aynı kaynaktan gelen herhangi iki gürültü örneği birbiriyle ilişkili değildir.

2. Herhangi iki gürültü kaynağı birbiriyle ilişkisiz gürültü oluşturur.

3. Her kaynağın gürültüsü, giriş sinyali ile ilişkili değildir.

Bu varsayımlar, bireysel gürültü kaynaklarını istatistiksel olarak birbirinden bağımsız kıldığından ve her biri için ayrı ayrı analiz yapmayı mümkün kıldığından, sayısal filtrelerde nicemleme gürültüsü ile ilişkili süreçlerin analizini büyük ölçüde basitleştirir. Ancak, kabul edilen varsayımlar her zaman doğru değildir. Bu varsayımların doğru olmadığı birçok örnek var. Örneğin, giriş sinyali, örnekleme hızının katlarında sabit veya sinüsoidal ise. İlk durumda, niceleme hatasının tüm örnekleri aynı olacak ve ikincisinde periyodik bir dizi oluşturuyorlar. Dolayısıyla her iki durumda da öne sürülen varsayımlar yanlıştır.

Kuantizasyon etkileri nihayetinde dijital filtrelerin çıkış sinyallerinde hatalara ve bazı durumlarda kararsız çalışma modlarına yol açar. Yapılan varsayımlar sayesinde dijital filtrenin çıkış hatası, her bir bağımsız kaynaktan kaynaklanan hataların üst üste binmesi olarak hesaplanır.

Darbe yanıtlı bir dijital filtrenin girişi ise h (t ) sinyal geldiğinde x (t ), daha sonra filtrenin çıkış sinyali ifade ile belirlenir.

(9.1).

Giriş sinyalinin nicemlenmesi nicemleme gürültüsüne neden olur e içinde (n ), giriş sinyali üzerine bindirilir ve filtreyi etkiler. Filtrenin doğrusallığı nedeniyle filtre yanıtı hesaplanabilir e out (n) giriş gürültüsü için

(9.2).

Bu, tüm bilgi işlem cihazlarının ve filtre belleklerinin sonsuz bit derinliğinde olduğunu varsayar.

Benzer şekilde, giriş sinyalinin nicemleme gürültüsünden kaynaklanan, filtre blok şemasındaki herhangi bir noktada sinyal hatasını bulabilirsiniz. e içinde (n).

(9.3),

nerede ben (n ) Filtrenin bir bölümünün girişinden hatanın tahmin edildiği noktaya kadar olan dürtü yanıtıdır.

Filtre giriş sinyali bir bit genişliği ile nicelenirseçöp Kutusu , daha sonra yuvarlama kullanılırken giriş sinyalinin niceleme hatası değerle sınırlıdır

(9.4),

ve giriş sinyalinin nicelenmesinden kaynaklanan filtre çıkış sinyalindeki hata şu şekilde tahmin edilebilir:

(9.5).

Bu nedenle, giriş sinyalinin nicelenmesinden kaynaklanan hatanın üst sınırı niceleme bitine ve filtre darbe yanıtının örnek birimlerinin toplamına bağlıdır.

Giriş yuvarlama gürültüsünün varyansı

(9.6),

bu nedenle, (9.3)'e göre filtre çıkışındaki niceleme gürültüsünün varyansı

(9.7).

Parseval eşitliğine göre

(9.8)

(9.7) şeklinde yazılabilir

(9.9),

nerede - dijital filtrenin genlik-frekans özelliği.

Böylece izin verilen değere göre 2 çıktı ve filtrenin bilinen frekans yanıtı veya darbe yanıtı, giriş sinyalinin hatasının varyansının kabul edilebilir değerini belirleyebilirsiniz. 2'de , bu da gerekli bit derinliğini belirlerçöp Kutusu giriş sinyalini kuantize edin.

Sinyal gürültü oranı Logaritmik ölçekte sinyal gücünün gürültü gücüne oranı olarak tanımlanan filtre çıkışında şu şekilde tanımlanır:

(9.10),

nerede 2 Kullanışlı giriş sinyalinin varyansı veçöp Kutusu - giriş sinyalinin bit nicemlemesi. Bu nedenle, niceleme bit derinliğinde bir bitlik bir artışla, sinyal-gürültü oranı yaklaşık 6 dB artar.

Örnek olarak, denklem tarafından açıklanan birinci dereceden bir dijital filtreyi düşünün.

(9.11).

Yapısal diyagramı Şekil 9.1'de gösterilmiştir.

Giriş sinyali niceleme gürültüsünün varyansa sahip olmasına izin verin 2'de ... Böyle bir filtrenin dürtü yanıtı şu şekildedir:

(9.12).

(9.7)'ye göre, giriş sinyalinin nicemlenmesinden dolayı böyle bir filtrenin çıkış sinyalinin gürültüsünün varyansı,

(9.13).

Filtrenin kararlı olması için koşulun karşılanması gerekir.ve bu nedenle, yani çıkış gürültü gücü, giriş gürültü gücünden daha büyüktür. daha yakınbire, filtre tarafından giriş gürültüsünün kazancı o kadar büyük olur.

Parseval teoremini kullanarak, filtrenin çıkış gürültüsünün frekans tepkisinden varyansını belirlemek mümkündür. Frekans yanıtı Şekil 9.2'de gösterilen bir filtre verilsin.

Daha sonra (9.9)'a göre, giriş sinyalinin nicelenmesinden kaynaklanan filtre çıkış gürültüsünün varyansı şuna eşit olacaktır:

(9.14).

Giriş sinyali nicelemesinin optimal bit derinliğinin seçimi, giriş sinyalinde bulunan bilgi gösteriminin gerekli doğruluğu, içinde giriş öncesi gürültünün varlığı ve sinyali işlemek için kullanılan prosedür ile belirlenir.

Sinyaldeki gürültü üst seviyeyi belirler.nicemleme seviyelerinin sayısının sınırı.Açıkça, sinyal çok fazla gürültü içerdiğinde çok sayıda bit kullanmanın bir anlamı yoktur, çünkü bu durumda sinyal değil gürültü büyük bir doğrulukla nicemlenecektir. Nicemleme gürültüsünün katkısı sinyalde bulunan gürültüye kıyasla küçük olacak kadar çok niceleme seviyesi seçmek yeterlidir.

Öte yandan, izin verilen minimum niceleme seviyesi sayısı, istenen çıkış sinyali kalitesini sağlamalıdır. Giriş sinyalinin kalitesindeki bozulma, sinyal ön işleme aşamasındaki kusurlardan kaynaklanabilir (ön ölçek yükselticilerinin ve analog filtrelerin gürültü ve sınırlı frekans özellikleri).

Şimdiye kadar, filtre fark denkleminin katsayılarının sonsuz kesinlikle verildiği varsayılmıştır. Filtrenin fiziksel uygulamasında bu katsayılar sınırlı kapasiteye sahip elektronik bellek elemanlarında (depolama hücreleri) saklanır. Bu, filtre katsayılarının giriş sinyalinin yanı sıra nicelleştirildiği anlamına gelir.

Filtre katsayılarının nicelenmesi, giriş sinyalinin nicelenmesiyle aynı yasalara uyar. Filtre katsayılarının nicelenmesinin bir sonucu olarak, filtre transfer fonksiyonunun kutuplarının ve sıfırlarının değerleri daha büyük veya daha az ölçüde değişir ve bu da filtrenin frekans özelliklerinde karşılık gelen bir değişikliğe yol açar. Böylece, filtre katsayılarının eğilmesi bir hatanın ortaya çıkmasına neden olur.

(9.15),

nerede A (w ) - nicelleştirilmemiş katsayılara sahip filtrenin frekans yanıtı, bir d (w ) - nicelenmiş katsayılarla filtrenin frekans yanıtı. Değer, genellikle gerçek frekans yanıtının idealden sapmalarının kabul edilebilir sınırlar içinde olması koşuluyla belirlenen izin verilen değeri aşmamalıdır.

Farklı filtre yapıları, bireysel katsayılardaki değişikliklere karşı farklı hassasiyete sahiptir. Bu nedenle, tüm filtre türleri için gerekli katsayı niceleme biti sayısını belirlemek için evrensel bir yöntem önermek imkansızdır. Kuantize filtre katsayılarındaki gerekli bit sayısı, koşula kadar katsayı kodlarında ardışık olarak artan bit sayısı için hesaplanarak belirlenebilir. .

Diğer yöntemler mümkündür ve pratik olarak uygulanır, özellikle, belirli bir filtre türünün özelliklerinin katsayılarındaki değişikliklere duyarlılığının ön çalışmasına dayanan yöntemler.

Örnek olarak, transfer fonksiyonu tarafından tanımlanan iki kareli bir bloğu ele alalım.

(9.16),

yapısal şeması Şekil 9.3'te gösterilmiştir.

Transfer fonksiyonunun (9.16) kutuplarını ile gösterirsek, bunu görmek kolaydır.

(9.17).

Sonra küçük değişikliklerle 1 ve 2 kutupların koordinatları değerlerle değiştirilir

(9.18),

benzer şekilde (9.19).

Görebilirsin D r r birine yakınken, D q değerlerde keskin bir şekilde değişir q sıfıra yakın.

Filtrelerin frekans özelliklerinin katsayı değerlerindeki değişikliklere duyarlılığı, filtrenin uygulanması için seçilen yapıya büyük ölçüde bağlıdır.

Sayısal filtre algoritması uygulanırken katsayılarla toplama ve çarpma işlemleri yapılır. Toplayıcının bit genişliği terimlerin temsilinin bit genişliğinden az olmadığında sabit noktalı sayıların eklenmesi, toplamın sunumunda yuvarlama hatalarına yol açmaz.

Çarpma işlemi yuvarlama hatalarıyla ilişkilidir. İki sabit noktalı sayının çarpımı b1 ve b2 rakamlar sırasıyla en fazla içerebilir b1 + b2 deşarjlar. Sıralı çarpma işlemleri yapılırken ürünlerin bit genişliğini sınırlamak gerekir. Aksi takdirde, sonraki çalışmaların bit derinliği süresiz olarak artacaktır. Bu nedenle, depolama işleri için, depolama hücreleri genellikle en fazla kapasiteye sahip olarak tahsis edilir. b1 + b2 ... Böylece çarpma sonucu yuvarlama işlemine tabi tutulur. Ürün yuvarlama sonucunda filtre algoritması doğru uygulanmamakta ve çıkış sinyali hatalı olarak hesaplanmaktadır.

Sonlu sayıda basamaklı bir çarpan modeli, ideal bir çarpanın (sınırsız sayıda basamaklı) ve girişe, ürünün tam değeriyle birlikte nicemleme gürültüsü olan bir toplayıcının seri bağlantısı olarak temsil edilir. girer. Toplayıcının çıkışında, ürünün nicelenmiş değeri,çok deşarjlar (Şekil 9.4).

Bir ürünün yuvarlama hatası, üst sınırı ile tahmin edilebilir.

(9.20),

nerede Q mul - işin nicelleştirilmesi adımı. Bu hata, sıfır ortalama ve varyansa eşit, tek tip olasılık dağılım yoğunluğuna sahip ayrık durağan rastgele bir süreç olarak düşünülebilir.

(9.21).

Filtre blok diyagramındaki her çarpma düğümü için böyle bir doğrusal model benimseyerek, filtre çıkışındaki hata, tüm yuvarlama gürültüsü kaynaklarından kaynaklanan hataların bir süperpozisyonu olarak hesaplanabilir. Bunun için sadece dürtü özelliklerinin belirlenmesi gereklidir. cin ) her birinden filtre yapısının parçaları ben gürültü kaynağı (yani çıkış ben th çarpanı) filtre çıkışına bağlayın ve filtre çıkış gürültüsündeki bileşeni hesaplayın. ben -m gürültü kaynağı olarak

(9.22).

Ardından, tüm nedenlerden dolayı çıkıştaki yuvarlama gürültüsü L gürültü kaynakları şu şekilde hesaplanabilir:

(9.23).

Böylece, filtre çıkış gürültüsü nedeniyle ben -m yuvarlama kaynağı değeri aşmıyor

(9.24).

Daha sonra, hepsinin neden olduğu çıkış gürültüsünün maksimum değeri L yuvarlama kaynakları (tüm çarpanların bit genişliğinin aynı olmasına rağmen) eşittir

(9.25).

(9.7)'ye dayanarak, tüm kaynaklardan elde edilen yuvarlama gürültüsünün varyansını şu şekilde tahmin edebiliriz:

(9.26).

Ürünlerin nicelenmesine bağlı olarak filtrenin çıkış gürültü seviyesi, filtreyi uygulamak için seçilen yapının özelliklerine büyük ölçüde bağlıdır. Bunun nedeni, filtre bölümünün belirli bir çarpanın çıkışından filtrenin çıkışına olan darbe tepkisinin kullanılan yapıya bağlı olmasıdır. Bir filtre yapısı seçerken, katsayı niceleme hataları ile birlikte çarpım niceleme hatalarının etkisini de hesaba katmak gerekir.

Ürünlerin tüm nicemleme gürültü kaynakları, ortaya çıkan çıkış gürültüsüne farklı bir katkı sağlar.

Örnek olarak, bir dürtü yanıtına sahip iki kareli bir bloktaki ürünlerin çıktı niceleme gürültüsünün tahminini düşünün. h (n ). Söz konusu yapının gürültü modeli Şekil 9.5'te gösterilmektedir.

Sunulan modelden, filtre yapısının beş ürün niceleme gürültüsü kaynağına sahip olduğu görülebilir. Kaynakları e çarpı .4 ve e çarpı .5 giriş sinyali ile aynı devreden geçer. Bu, dürtü yanıtlarının g 4 (n) ve g 5 (n ) filtrenin genel dürtü yanıtı ile çakışır h (n). Kaynaklar e mul .1, e mul .2, e mul .3 doğrudan filtre çıkışına bir hata ekleyin, bunun sonucunda filtre tarafından büyütülemezler. Dürtü özellikleri eşittir d (n ). (9.7) ve (9.26) uyarınca, bireysel gürültü kaynaklarının katkısı şu şekilde tahmin edilebilir:

(9.27).

(9.26)'ya göre filtre çıkışındaki toplam nicemleme gürültüsünün varyansı şuna eşit olacaktır:

(9.28).

Giriş sinyalinin nicelenmesinden ve ürünlerin nicelenmesinden kaynaklanan toplam nicemleme hatası, karşılık gelen hataların tahminlerinin toplamı ile belirlenir.

Sabit noktalı sayıları toplarken, yuvarlama hatası oluşmaz (toplayıcı, eklerin kelime uzunluğundan daha az olmayan bir kapasiteye sahip değilse). Bununla birlikte, sabit bir bit derinliğine sahip sayıları toplarken, elde edilen sonuç, eklerin bit genişliğine karşılık gelen basamak sayısına uymadığında taşma meydana gelebilir. Taşma durumunda, filtrenin çalışma algoritmasının ihlalini önlemek için, sonucun belirtilen basamak sayısına uyan maksimum değer seviyesindeki işaret dikkate alınarak toplam sınırlandırılmalıdır. Filtrenin yazılım uygulamasında, bu, işleyen algoritmanın uygun dallanmasıyla gerçekleştirilir ve donanım uygulamasında, taşmayı analiz etmek ve işareti dikkate alarak toplamı sınırlamak için özel cihazların dahil edilmesini gerektirir. filtre devresi. Bununla birlikte, bu araçların uygulanması bile, taşmaların mevcudiyetinde filtre, takip eden tüm sonuçlarla birlikte esas olarak doğrusal olmayan bir cihaza dönüştüğünden, taşmalarla ilgili tüm sorunları çözmez. Bu nedenle, filtrenin normal çalışması için, bir taşma durumunun tamamen oluşmasını önlemek için özel önlemler uygulamak gerekir.

Taşmayı önlemenin yollarından biri, toplayıcıların tüm girişlerindeki toplamların ikili kodlarının sağa (bölmeye eşdeğer olan) kaymasına indirgenen ölçeklendirmeyi tanıtmaktır. İlk terimler 1.0 düzeyinde normalize edilmişse, iki sayı toplanırken taşma olasılığını ortadan kaldırmak için terimlerin her biri bir bit sağa kaydırılmalıdır, bu da her terimi 2'ye bölmeye eşdeğerdir. , modüldeki terimlerin her biri 0,5'i ve bu da toplamlarının 1,0'ı geçmeyeceği anlamına gelir. Toplayıcının ikiden fazla girişi varsa, terimler daha fazla basamak kaydırılmalıdır. Bu yöntem denir otomatik ölçekleme.

Bu tür bir ölçeklemenin bir sonucu olarak, kaydırılan terimlerin en az anlamlı bitinin (veya birden fazla bit kayması olan bitlerin) kaybolması ve bunların temsilinde ortaya çıkan hatanın artması nedeniyle bir ölçekleme hatası meydana gelir. Dolayısıyla terimler bir bit kaydırıldığında, ölçekleme hatasının maksimum değeri

(9.29),

nerede - terimin temsilindeki basamak sayısı. Kaydırılan terim doğrudan kodlanmış işaretli bir sayı ise, bu hatanın olası değerleri 2 - b, -2 - b, 0.

(9.30),

o zaman bu hata, ortalama değeri 0'a ve varyansa eşit olan rastgele gürültü olarak temsil edilebilir.

(9.31).

Toplam, ikiye tümleyen bir sayıysa, ölçekleme hatası -2 değerlerini alabilir - B veya 0, 0,5 olasılıkla eşittir. Bu durumda, ölçekleme gürültüsü ortalama -2 değerine sahiptir - b / 2 ve varyans

(9.32).

Bu şekilde, ölçekleme hataları, nicemleme hatalarına benzer şekilde filtre modelinde hesaba katılabilir.

Taşma olasılığını önlemenin bir başka yolu, filtrenin veya onu oluşturan parçaların giriş sinyallerini ölçeklemektir. Filtrenin veya bir kısmının dürtü yanıtı ise h ben (n ), ardından filtrenin çıkış sinyali (veya bir kısmı) y ben (n ) değeri ile sınırlıdır

(9.33),

filtre giriş sinyalinin üst sınırı nerede. Eğer, o zaman taşmanın olmaması için gerekli koşul

(9.34).

Filtre katsayıları belirtilmişse (yani, belirtilmişse) h ben (n )), o zaman, böylece taşma olmaz, yani. herhangi bir toplayıcının çıkış sinyalinin birini aşmaması için, giriş sinyalinin ve çarpanların çıkış sinyallerinin büyüklüklerini uygun şekilde sınırlamak gerekir. Bu amaçla, bu tür ölçeklendirme, sinyallerin

(9.35),

neredeyim - ölçeklendirme faktörleri.

Ölçekleme çarpanları, filtre girişlerinde veya çarpan çıkışlarında bulunur. Eğer, (9.35)'e göre taşma olmaması için yeterli bir koşul ise, koşula dayalı olarak ölçekleme katsayılarının seçimi

(9.36).

katsayılar g i otomatik ölçekleme durumunda olduğu gibi, genellikle ikinin kuvvetlerine eşit seçilir ve ölçekleme çarpımı vardiyalara indirgenir. Bu durumda, otomatik ölçekleme durumuna benzer şekilde, filtre çıkışındaki sinyal-gürültü oranını azaltan ölçekleme gürültüsü oluşur.

Filtreden geçen sinyallerin genliklerinde önemli bir azalma ile filtre çıkışındaki sinyal-gürültü oranı azalır. Ölçeklendirme faktörlerinin formül (9.36)'ya göre hesaplanması, genellikle fazla tahmin edilen sonuçlara ve sonuç olarak filtrenin verimliliğinde bir azalmaya yol açar. Ek olarak, karmaşık filtre yapıları ile, filtre darbe yanıtının sonsuz sayıda örneğinin toplamını hesaplamak zor olabilir. Bu nedenle, ölçek faktörlerinin hesaplanması genellikle giriş sinyalinin spektrumunun analizine ve filtrenin frekans özelliklerine dayanan farklı bir tekniğe göre gerçekleştirilir.

Filtre yapısı şunları içeriyorsa m toplayıcılar, çıkış sinyali i -inci toplayıcı vi (n ) olarak temsil edilebilir

(9.37),

nerede x (n ) Filtrenin giriş sinyalidir, h ben (n ) - filtre parçasının girişten çıkışa darbe yanıtı ben -th toplayıcı.

Z -sinyal dönüştürme v ben (n ) şeklinde yazılabilir.

(9.38),

nerede H i (z ) Filtre kısmının girişten çıkışa transfer fonksiyonudur. ben -th toplayıcı.

Sinyal frekans yanıtı v ben (n ) (kararlı bir filtre için) ifadedeki değişkenleri değiştirerek elde edilebilir (9.38)

(9.40).

Daha sonra toplayıcının kendisinin çıkış sinyali v ben (n ) ters Fourier dönüşümü olarak tanımlanabilir V ben (e j w T)

(9.41).

Giriş sinyalinin spektrum modülünün x (n C , o zaman toplayıcının çıkış sinyalinin modülünün maksimum değerini tahmin edebilirsiniz.

(9.42).

Filtre girişi ise x (n ) bir faktör tarafından önceden ölçeklendirilir ben ben , sonra son ifade biçimi alır

(9.43).

Toplayıcı çıkışında taşmaları önlemek için, yani. koşulu yerine getirmek için normalleştirme faktörünün değerini seçmek yeterlidir. ben öyleyim

(9.44).

Frekans cevabının modülünün varsayımını yaparsak Merhaba (e j w T ) bir değerle sınırlıdır NS , o zaman toplayıcının çıkış sinyali modülünün maksimum değerini başka bir şekilde tahmin edebilirsiniz, yani

(9.45).

Bu durumda normalleştirme faktörü ben ben toplayıcının çıkışındaki taşmayı ortadan kaldırmak için şu şekilde seçilebilir:

(9.46).

Son olarak, (9.41) ifadesine Cauchy-Bunyakovsky eşitsizliğinin uygulanması ( ) aşağıdaki eşitsizlik elde edilebilir

(9.47).

Giriş sinyalinin spektrumunun enerjisinin (eşitsizliğin (9.47) ikinci radikal ifadesi) bir değerle sınırlı olduğunu varsayarsak E , daha sonra normalleştirme faktörü ben ben aşağıdaki ifadeye göre seçilebilir

(9.48).

Ölçekleme faktörünü seçmek için üç seçeneğin tümü, filtre giriş sinyalinin spektral özellikleri hakkında güvenilir bilgilerin mevcudiyetine dayanır. Bu bilgi kesinlikle güvenilir değilse, toplayıcının çıkışında bir taşma olasılığı sıfır değildir.

Filtre blok şemasında yer alan tüm toplayıcıların çıkışlarında taşmayı hariç tutmak için katsayıları değerlendirmek gerekir. ben ben toplayıcıların her biri için ve filtre girişindeki normalleştirme faktörünün son değerini şu şekilde seçin:

(9.49).

Otomatik ölçekleme durumunda olduğu gibi, katsayılar ben genellikle 2'nin kuvvetlerine eşit seçilir, bu da ölçekleme çarpma işlemini giriş sinyali kodunun ilgili basamak sayısı kadar sağa kaydırmasına dönüştürür.

Ölçeklendirme çarpanı, filtre yapısındaki diğer herhangi bir çarpan gibi, bir niceleme hatası gürültüsü kaynağıdır ve bunun çıkış sinyali üzerindeki etkisi, diğer çarpanların gürültüsüne benzer şekilde hesaba katılabilir.

Filtrenin yapısal şemasındaki belirli bir toplayıcının ikiden fazla terim eklediği durumlarda, nihai toplamda taşma olmasa bile, ara kısmi toplamlarda yer alabileceği açıktır. Bu gerçek önceki akıl yürütmede dikkate alınmamıştır. Bununla birlikte, filtrenin giriş ve ara dijital sinyalleri bir tamamlayıcı kodda sunulursa, yukarıdaki tüm normalleştirme yöntemleri geçerli kalır, çünkü bir tamamlayıcı koddaki sayıları toplarken, nihai sonuç doğru kalır (eğer taşma yoksa). o) kısmi toplamlarda taşma varlığında bile.

Önceki analiz, gürültü sinyallerinin numuneden numuneye ve kaynaktan kaynağa istatistiksel olarak bağımsız olduğu varsayımına dayanıyordu. Giriş sinyalinin iki bitişik örneği arasındaki fark, niceleme adımından çok daha büyükse bu doğrudur. Birçok durumda (özellikle giriş sinyali sabit veya sıfıra eşit olduğunda) bu varsayımın geçerli olmadığı açıktır. Bu koşullar altında, nicemleme hataları yüksek oranda ilişkilendirilebilir. Bu, filtrenin arızalanmasına neden olabilir, bunun sonucunda filtre kararsız hale gelir ve çıkışında sabit periyodik salınımlar oluşur. Bu fenomene denir ölü bölge etkisi, ve çıkıştaki periyodik salınımlara denir limit döngüsündeki dalgalanmalar. Bu doğrusal olmayan etkinin genel analizi oldukça karmaşıktır. Bu nedenle, en basit dijital filtreler için bu fenomeni inceleyeceğiz.

Fark denklemi ile tanımlanan birinci dereceden bir filtre düşünün

(9.50).

Böyle bir filtrenin transfer fonksiyonu şu şekildedir:

(9.51).

Filtrenin blok şeması Şekil 9.6'da gösterilmiştir.

Böyle bir filtrenin dürtü yanıtı,

(9.52).

katsayı ise 1 1 veya -1'e eşitse, filtre kararsız hale gelir ve bir dürtü yanıtına sahiptir

(9.53).

Tablo 9.1, darbe yanıt örneklerinin (9.52) tam değerlerini gösterir. b 0 = 10, a 1 = 0.9.

	h (n)	H S (n)



	7.29
	6.561
	5.9049
	5.31441

	2.65614*10 -4

Şimdi, filtrenin her bir ürünün içinde bulunduğu sabit noktalı bir ondalık çarpanı olduğunu varsayalım. 1 * y (n -1) duruma göre en yakın tam sayıya yuvarlanır

(9.54).

Tablo 9.1'in üçüncü sütunu, böyle bir filtrenin dürtü yanıtının örneklerini gösterir. Gördüğünüz gibi, filtre yanıtı sabit olduğunda ve niceleme filtreyi kararsız hale getirdiğinde.

Fark denkleminin (9.50) kararsız bir filtre için geçerli olduğunu varsayarsak, etkin değer... Eğer, o zaman filtre yanıtı, çıkış sinyali [- k, k bölgesine ulaşana kadar bir giriş sinyalinin yokluğunda azalacaktır. ] aranan ölü bölge... Bu olduğunda, filtre modu kararsız hale gelecektir. Modülün çıkışı aşmasına neden olan herhangi bir neden k , istikrarın restorasyonuna yol açar. Bununla birlikte, bir giriş sinyalinin yokluğunda, yanıt ölü bölgeye karşılık gelen bir değere yeniden düşer.

Böylece filtre, çıkış sinyali genliği şuna eşit olacak şekilde limit çevrim modunda olacaktır. k ... Efektif değer olduğundan a 1, 1 için 1'e veya 1 için -1'e eşittir <0, то частота такого предельного цикла равна 0 или w s / 2.

(9.60).

Bu ifade, belirli bir seviyede limit döngüsünün salınım genliğini sınırlama koşulundan hesaplama cihazının minimum bit sayısını seçmek için kullanılabilir.

Fark denklemi ile tanımlanan ikinci dereceden bir filtre için ölü bölgenin etkisini analiz edelim. 1'e eşit olacaktır. Bu durumda

(9.66).

Bu nedenle, daha önce olduğu gibi, kararsız filtre çalışması koşulu şu şekilde tanımlanabilir:

(9.67).

eğer k Bir tamsayıdır, sonra miktarlar 2 aralık

(9.68)

ölü bölgelerin ortaya çıkmasına neden olur [-1,1], [-2,2], ..., [- k, k ] sırasıyla.

Filtre, sonucun nicelleştirme adımına eşit olan bir ikili çarpan kullanıyorsa Q , daha sonra limit döngü salınımlarının ortaya çıkması için koşul şu şekildedir:

Mayorov V.P.
Semin M.S.

Bu makalenin amacı, görüntülerin farklı sinyal-gürültü oranlarında nasıl göründüğünü göstermektir. Bu oran, görüntü kalitesini ve kamera hassasiyetini değerlendirmek için çok önemlidir.

Kuantum gürültüsü olduğu gibi

Aşağıda, görüntülerin farklı aydınlatma koşullarında nasıl göründüğünü gösteren örnekler verilmiştir. Bir nesnenin parlaklığı, ışığa maruz kalmanın bir sonucu olarak bir CCD hücresinde üretilen elektron sayısı cinsinden ifade edilir. Görüntü kalitesi, görüntünün aydınlık kısmında ölçülen sinyal-gürültü oranı (S/N) ile değerlendirilir.

Bir televizyon giriş sistemi olarak bir SONY ICX085AL CCD matrisine dayalı bir VS-CTT-085-60 sistemi kullanıldı. Hesaplamalarda 25 elektronluk okuma gürültüsü değeri alınmıştır (okuma gürültüsü için aşağıya bakınız).

Orijinal görüntü, TV test tablosunun merkezinde yer alır. Sinyal-gürültü oranı yaklaşık 80'dir. Bu görüntünün boyutu 256*256 pikseldir.

Şekil 1. Orijinal görüntü

Soldaki görüntüler matris okuma gürültüsünü (25 elektron) hesaba katan görüntülerdir, sağdakiler aynı aydınlatma seviyesindeki ancak okuma gürültüsünün olmadığı görüntülerdir. Sağdaki görüntü sütununun, sonsuz uzun bir süre boyunca yaklaşabileceğiniz ideal bir durum olduğunu söyleyebiliriz, ancak prensipte aşmak imkansızdır, çünkü o zaman her şey "kuantum gürültülerine" dayanır.

Sinyal gücü	Gürültülü görüntüler 25 elektron okuma	Resimler hariç okuma gürültüsü
sinyal 25 elektron	S / N = 1
sinyal 52 elektron	S / N = 2
sinyal 108 elektron	S / N = 4
sinyal 234 elektron	S / N = 8
sinyal 547 elektron	S / N = 16
sinyal 1400 elektron	S / N = 32

Bütün bunları açıklamaya çalışalım.

CCD matrisinden elde edilen görüntüdeki gürültü, 2 ana bileşene basitleştirilebilir (aslında, bu bileşenlerden daha fazlası vardır, ancak bu durumda geri kalanı ihmal edilebilir):

matris okuma gürültüsü;
fotonların kuantum gürültüsü.

Matris okuma gürültüsü bir sabittir ve yalnızca CCD devresi tarafından belirlenir. Ne yazık ki, CCD'lerinde tüm deneylerimizi gerçekleştirdiğimiz SONY firması bu parametreyi bildirmiyor. Sadece özel VS-CTT-085-60 kameramızda ölçtük ve 20-25 elektrona eşit olduğu ortaya çıktı. Bu matriste yabancı kamera üreticilerinin web sitelerinde de benzer rakamlar gördük.

Kuantum gürültüsü her şeyin ve özellikle ışığın temel özelliklerinden gelir. Işık kuantumları uzayda ve zamanda rastgele dağılır. Bu durumda bir hücrede biriken elektronların sayısı, sayılarının kareköküne kadar belirlenebilir (Poisson istatistiği).

Nesnenin düşük parlaklık seviyesinde, gürültüye en büyük katkı matris okuma gürültüsü tarafından yapılır. Bu gürültü, görülebilen olası en düşük sinyal seviyesini belirler.

400-625 elektrondan oluşan bir görüntüde, kuantum gürültüsü okuma gürültüsüyle karşılaştırılır. Sinyal bu değerden büyük olduğunda, toplam gürültüye en büyük katkı "fotonların kuantum gürültüsü" tarafından yapılır. Son satırdaki görüntüler çok yakın, ancak bu, ICX085 matrisinin (20.000 e-1) maksimum piksel kapasitesinin yalnızca %7'si (!!!) kadardır.

Çözüm

Satıcı size süper-duper kamerasının 0.0ххх1 lux hassasiyete sahip olduğunu söylerse - sormayı unutmayın - tüm bunlar hangi sinyal-gürültü oranında ölçülür?

Resimlere bakın ve kendi sonuçlarınızı çıkarın! Bir kez daha tekrarlayabiliriz - televizyon kameralarının hassasiyetini arttırmada mucizeler beklenmemelidir.

Matrisin doygunluğuna yakın aydınlatmada "gürültülü" bir görüntünüz varsa, kamerada bu seslerin nedenini aramanın bir anlamı yoktur.

Mühendislik projelerinin hesaplanması ve geliştirilmesinin ana yönü, sistemlerin işleyişinin kalitesinin analitik özelliklerini kullanma ihtiyacıdır. Sadece bu tür özelliklerin varlığında sistem objektif olarak değerlendirilebilir ve alternatif geliştirmelerin maliyetiyle karşılaştırıldığında maliyet etkin olabilir. Telefon mühendislerinin ihtiyaç duyduğu özelliklerden biri de dinleyiciye iletilen konuşmanın kalitesidir. Konuşma kalitesi ölçümleri, tipik dinleyici tarafından algılanan konuşmanın öznel özellikleri nedeniyle karmaşıktır. Bir konuşma sinyalindeki gürültünün veya bozulmanın öznel algısının özelliklerinden biri, frekans bileşimi veya güç seviyeleri ile birlikte müdahale eden etkilerin spektrumu ile ilişkilidir. Gürültünün frekansın bir fonksiyonu olarak bu etkileri, Bölüm 1'de C-döngüsü tartımı ve psofometrik tartım kavramları tanıtılırken ele alındı.

Bir PCM kodlayıcıdaki ardışık nicemleme hatalarının genellikle rastgele dağıtıldığı ve birbiriyle ilişkili olmadığı varsayılır. Bu nedenle, PCM sistemlerinde nicemleme hatalarının kümülatif etkisi, bant sınırlı beyaz gürültüye benzer öznel bir etkiye sahip ek gürültü olarak görülebilir. İncirde. 3.9, tek tip niceleme adımlarına sahip bir kodlayıcı için niceleme hatalarının sinyal genliğine bağımlılığını gösterir. Sinyalin genliğini birkaç niceleme adımıyla değiştirme zamanı varsa, nicemleme hatalarının bağımsız hale geldiğine dikkat edin. Sinyal f s'den çok daha yüksek bir frekansta örneklenirse, ardışık örnekler genellikle aynı adımlara düşer ve bu da nicemleme hatalarının bağımsızlığının kaybolmasına neden olur.

Bir analog sinyali dijital forma dönüştürürken meydana gelen niceleme hataları veya nicemleme gürültüsü, genellikle ortalama sinyal gücüne karşı ortalama gürültü gücü cinsinden ifade edilir. Buna göre, niceleme sinyali-gürültü oranı şu şekilde tanımlanabilir:

OSHK = E (x 2 (t)) / E (2), (3.1)

burada E (.) - matematiksel beklenti veya ortalama değer, x (t) - analog giriş sinyali, y (t) - kodu çözülmüş çıkış sinyali.

Ortalama nicemleme gürültüsünün belirlenmesinde yapılması gereken üç nokta vardır.

y (t) –x (t) hatası, genlik olarak q / 2 değeriyle sınırlıdır, burada q niceleme adımıdır. (Kodu çözülen çıktı örnekleri, nicemleme adımının tam ortasında bulunur.)

Eşit olasılığa sahip numune değerlerinin nicemleme adımı içinde herhangi bir noktaya düşebileceği varsayılabilir (1 / q'ya eşit tekdüze bir olasılık yoğunluğu varsayılır).

Sinyal genliklerinin, kodlayıcının çalışma aralığı ile sınırlı olduğu varsayılmaktadır. Ayrık değer, en yüksek niceleme adımının sınırını aşarsa, aşırı yüklenmeden kaynaklanan bozulmalar meydana gelir.

Kolaylık olması açısından, pull-up direncinin 1 Ohm'luk bir dirence sahip olduğunu varsayarsak, ortalama nicemleme gürültü gücü (Ek A'da hesaplanmıştır) şu şekilde verilir:

Niceleme gürültü gücü = q 2/12. (3.2)

Tüm niceleme adımları eşit değerlere sahipse (düzgün nicemleme) ve nicemleme gürültüsü örnek değerlerine bağlı değilse, nicemleme sinyal-gürültü oranı (desibel cinsinden) şu şekilde tanımlanır:

SNR = 10lg = 10.8 + 20lg (h / q), (3.3)

burada v, giriş sinyali genliğinin kare-ortalama kök değeridir. Özellikle, sinüzoidal bir giriş sinyali için, tek tip nicemleme ile nicemleme sinyali-gürültü oranı (desibel cinsinden) şu şekildedir:

SNR = 10lg [(A 2/2) / (q 2/12)] = 7,78 + 20lg (A / q), (3.4)

burada A sinüzoidin genliğidir.

Örnek 3.1 1 V'luk bir genliğe sahip sinüzoidal bir sinyal, en az 30 dB'lik bir niceleme sinyali-gürültü oranı elde edilecek şekilde sayısallaştırılmalıdır. Her bir numuneyi kodlamak için kaç tane özdeş niceleme adımı gereklidir ve kaç bit gereklidir?

Çözüm. (3.4) formülünü kullanarak, maksimum niceleme adımı boyutunu q = 10 - (30 - 7.78) / 20 = 0.078B belirleriz.

Bu nedenle, her sinyal polaritesi için 13 niceleme adımı gereklidir (toplam 26 nicemleme adımı). Her numuneyi kodlamak için gereken bit sayısı, numune başına n = log 2 26 = 4,7~5 bit olarak tanımlanır.

Kuantizasyon gürültü gücü ölçümlerinde, spektral bileşenler genellikle analog kanallardaki gürültü ile aynı şekilde ağırlıklandırılır. Ne yazık ki, ağırlıklı gürültü ölçümleri her zaman kodlayıcı (kod çözücü) tarafından iletilen konuşma algısının gerçek kalitesini yansıtmaz. Kuantizasyon gürültüsünün spektral dağılımı, konuşma sinyalinin spektral dağılımını aşağı yukarı tekrarlıyorsa, bu gürültüler konuşma ile ilişkisiz gürültülerden çok daha az fark edilir. Öte yandan, nicemleme işlemi, belirli seslerde bulunanlar dışındaki ton frekanslarında enerji yaratırsa, bu bozulmalar daha belirgin hale gelir.

Yüksek kaliteli PCM kodlayıcılar, PM aralığı boyunca eşit olarak dağıtılan ve kodlanan sinyale bağlı olmayan nicemleme gürültüsü üretir. Bu durumda nicemleme sinyal-gürültü oranı (3.4), PCM dönüşümünün kalitesinin iyi bir ölçüsüdür. Aşağıda tartışılan bazı kodlayıcı türlerinde (özellikle ses kodlayıcılarda), nicemleme gürültü gücü bilgisi çok kullanışlı değildir. Dinleyici tarafından konuşmanın algılanmasını daha iyi belirleyen, kodlayıcıdan geçen konuşma kalitesinin diğer özelliklerini açıklar.

Hemen hemen tüm DSP'ler, sabit bir Td periyoduna sahip sinyallerin ayrıklaştırılmasını kullanır ve bu periyottan sapmalar?Ti rastgeledir. Bu sapmalar, alınan sinyalin şeklinde, öznel olarak örnekleme gürültüsü adı verilen karakteristik bir girişim olarak algılanan bir değişikliğe yol açar.

T i değerleri, esas olarak, iletim istasyonunun lineer rejeneratörlerinin çalışmasındaki yanlışlıklar nedeniyle darbelerin düşük frekanslı faz dalgalanmaları ile belirlenir.

Örnekleme gürültüsünden sinyal bağışıklığı:

Örnekleme anları ofsetlerinin izin verilen göreli değerleri;

ana osilatörlerin kararsızlığından kaynaklanan sapmanın büyüklüğü nerede;

faz dalgalanmalarının neden olduğu sapmanın büyüklüğü nerede.

Örnekleme periyodu

63 dB Gerekli Örnekleme Gürültü Bağışıklığı

Çünkü , sonra:

Sonuç: Örnekleme gürültüsünden kabul edilebilir bağışıklığı sağlamak için örnekleme süresi 20 ns'den fazla sapmamalıdır.

niceleme gürültüsü

Düzgün Niceleme Gürültüsü

Seviyeye göre sinyal niceleme, analogdan dijitale sinyal dönüşümünün ana işlemidir ve anlık değerlerinin izin verilen en yakın değere yuvarlanmasından oluşur. Tek tip niceleme ile nicemleme seviyeleri arasındaki mesafe aynıdır. Bir sinyali nicelerken, büyüklüğü rasgele olan ve nicemleme adımının yarısının değerini aşmayan tek tip bir dağılıma sahip hatalar meydana gelir. Kuantize sinyal, orijinal sinyal ile dalgalanma gürültüsü olarak algılanan hata sinyalinin toplamıdır.

Tek tip niceleme ile en zayıf sinyaller için nicemleme gürültüsü bağışıklığı:

PM kanalı için 0.75'e eşit psofometrik katsayı;

Sinyal dinamik aralığı, eşit, dB;

m, ikili koddaki bit sayısıdır.

Tablo 5.2. İlk veri

Sinyal seviyeleri:

Sinyal dinamik aralığı:

Gerekli basamak sayısı:

Tek tip niceleme için kodun bitliği.

Tek tip niceleme için adım sayısı şöyle olacaktır:

Sonuç: Belirli bir güvenlikle tek tip bir kodla kodlamak için bit derinliğine sahip bir koda ihtiyacınız vardır.

Düzgün olmayan nicemleme gürültüsü

Gerçek PCM sistemleri, tek tip olmayan niceleme kullanır. Düzensiz niceleme - büyük değerler için adımları artırarak sinyalin küçük anlık değerleri için nicemleme adımlarının boyutunu azaltarak özelliğin eğimini azaltmak.

Tek tip olmayan kodlama 8 bitlik kodlar kullanır, yani. niceleme seviyelerinin sayısı 256'dır.

Dinamik aralık, A - veya - sıkıştırma özellikleri kullanılarak sıkıştırılır. Bizim durumumuzda, aşağıdaki ifadeyle açıklanan sıkıştırma özelliği kullanılır:

Pirinç. 5.2.2. Sıkıştırma özelliği

DSP, segment tek tip olmayan niceleme özelliklerini kullanır, çünkü dijital olarak uygulamak oldukça kolaydır. Karakteristik 0'a göre simetriktir, pozitif ve negatif dalları 8 bölümden oluşur, her bölüm 16 özdeş adıma bölünmüştür (her bölüm içinde, niceleme tekdüzedir).

Segmentler, sıfırda ve ilk segmentte A tipi sıkıştırma özelliğinin düzgün bir eğrisine yaklaşır, adım minimumdur ve sonraki her segmentte adım boyutu bir öncekine göre iki katına çıkar.

İlk iki bölümde nicemleme gürültüsüne karşı koruma ifadesi şöyle olacaktır:

2-7 segment için:

nerede ben bölüm numarasıdır.

Grafiğin başlangıcı - eğimli bir düz çizgi - sıfır ve ilk segmentlere karşılık gelir. Bu, tek tip niceleme bölgesidir, bu nedenle güvenlik, sinyal seviyesindeki artışla orantılı olarak artar. İkinci segmente geçerken koruma aniden 6 dB azalır. 7. segmentin üst sınırına ulaşıldığında aşırı yük bölgesi devreye girer.

enstrümantal sesler

Bir analog sinyali dijitale dönüştürme sürecinde, dönüştürücünün özelliklerinin idealden sapması ile belirlenen terminal ekipmanında gürültü ortaya çıkar. Bu sapmalara, bireysel birimlerin çalışmasının sınırlı hızı ve nihai doğruluğu, sıcaklık dalgalanmaları olan dönüştürücülerin parametrelerindeki değişiklikler, cihazların eskimesi vb. neden olur. Enstrümantal gürültü seviyesi, kodun iletim hızı ve bit genişliğindeki artışla artar.

Nicemleme gürültüsü ve enstrümantal gürültü arasındaki ilişki:

azaltılmış enstrümantal dönüştürme hatasının RMS değeri;

Kodun bitliği.

Düzgün olmayan nicemleme için:

Üniform nicemleme için:

Çıktı : üniform olmayan nicemlemede, enstrümantal gürültünün gücü, üniform nicemlemeden çok daha azdır, bu nedenle üniform olmayan nicemlemeyi kullanmak daha iyidir.

Boş kanal gürültüsü

Kodlayıcının girişinde giriş sinyallerinin yokluğunda, içsel gürültüler ve karışma, dengesiz darbe kalıntıları vb. içeren zayıf parazitler etki eder. Kodlayıcı özelliğinin, sıfır giriş sinyalinin düzeyi kodlayıcının karar düzeyiyle çakışacak şekilde kaydırıldığı ortaya çıkarsa, herhangi bir keyfi olarak küçük genliğe müdahale, kod kombinasyonunda bir değişikliğe yol açar. Bu durumda, kod çözücünün çıkış sinyali, aralıklı (minimum niceleme adımının değeridir) ve rasgele sıfır geçiş sürelerine sahip dikdörtgen bir darbedir. Ortaya çıkan gürültüye boş kanal gürültüsü denir. Küçük değerine rağmen, bu sesler, aboneler için farkedilen sinyal tarafından olduğu gibi “maskelenmez”.

Boş bir kanalın gürültü bağışıklığı en az şu şekilde olmalıdır:

burada, a sinyalin tepe faktörüdür, tek biçimli ve tek biçimli olmayan niceleme için minimum niceleme adımıdır.

Tek tip niceleme:

Düzensiz Niceleme:

Sonuç: tek biçimli olmayan nicemleme ile, boş bir kanalın girişimden bağışıklığı, tek biçimli olandan 12.1 dB daha yüksektir.

Seviyeye göre sinyal niceleme, analogdan dijitale sinyal dönüşümünün ana işlemidir ve anlık değerlerinin izin verilen en yakın değere yuvarlanmasından oluşur. Tek tip niceleme ile nicemleme seviyeleri arasındaki mesafe aynıdır. Bir sinyali nicelerken, büyüklüğü rasgele olan ve nicemleme adımının yarısının değerini aşmayan düzgün bir dağılıma sahip hatalar meydana gelir. Kuantize sinyal, orijinal sinyal ile dalgalanma gürültüsü olarak algılanan hata sinyalinin toplamıdır.

Tek tip niceleme ile en zayıf sinyaller için nicemleme gürültüsü bağışıklığı:

–PM kanalı için 0,75'e eşit psofometrik katsayı;

- sinyalin dinamik aralığı eşittir , dB;