İki sinyalin korelasyon analizi ve keskin bir örnek. Deterministik sinyallerin korelasyon fonksiyonları

Korelasyon - evrişime benzer bir matematiksel işlem, iki sinyalden üçte birini almanızı sağlar. Olur: otokorelasyon (otokorelasyon fonksiyonu), çapraz korelasyon (çapraz korelasyon fonksiyonu, çapraz korelasyon fonksiyonu). Örnek:

[Çapraz korelasyon işlevi]

[Otokorelasyon işlevi]

Korelasyon, optimal filtreleme olarak da adlandırılan bir gürültü arka planına karşı önceden bilinen sinyalleri algılamak için bir tekniktir. Korelasyon, evrişime çok benzese de, farklı şekillerde hesaplanır. Uygulama alanları da farklıdır (c (t) = a (t) * b (t) - iki fonksiyonun evrişimi, d (t) = a (t) * b (-t) - çapraz korelasyon).

Korelasyon aynı evrişimdir, sinyallerden sadece biri soldan sağa ters çevrilir. Otokorelasyon (otokorelasyon fonksiyonu), sinyal ile τ ile kaydırılan kopyası arasındaki bağlantının derecesini karakterize eder. Çapraz korelasyon işlevi, 2 farklı sinyal arasındaki bağlantı derecesini karakterize eder.

Otokorelasyon fonksiyonu özellikleri:

1) R (τ) = R (-τ). R (τ) fonksiyonu çifttir.
2) x (t) zamanın sinüsoidal bir fonksiyonu ise, otokorelasyon fonksiyonu aynı frekansın kosinüsüdür. İlk aşama bilgisi kaybolur. Eğer x (t) = A * sin (ωt + φ), o zaman R (τ) = A 2/2 * cos (ωτ).
3) Otokorelasyon fonksiyonu ve güç spektrumu Fourier dönüşümü ile ilişkilidir.
4) Eğer х (t) herhangi bir periyodik fonksiyon ise, bunun için R (τ), sabit bir bileşenden ve sinüsoidal olarak değişen bir bileşenden gelen otokorelasyon fonksiyonlarının bir toplamı olarak temsil edilebilir.
5) R(τ) fonksiyonu, sinyalin harmonik bileşenlerinin başlangıç fazları hakkında herhangi bir bilgi taşımamaktadır.
6) Zamanın rastgele bir fonksiyonu için, R (τ), artan τ ile hızla azalır. R (τ)'nin 0'a eşit olduğu zaman aralığına otokorelasyon aralığı denir.
7) Verilen bir x (t), iyi tanımlanmış bir R'ye (τ) karşılık gelir, ancak aynı R (τ) için, farklı x (t) fonksiyonlarına karşılık gelebilir

Gürültülü orijinal sinyal:

Orijinal sinyalin otokorelasyon fonksiyonu:

Çapraz korelasyon işlevi (CCF) özellikleri:

1) CCF ne çift ne de tek fonksiyondur, yani. R xy (τ), R xy (-τ)'ye eşit değildir.
2) Fonksiyonların değişimini değiştirirken ve argümanın işaretini değiştirirken CCF değişmeden kalır, yani. R xy (τ) = R xy (-τ).
3) Rastgele fonksiyonlar x (t) ve y (t) sabit bileşenler içermiyorsa ve bağımsız kaynaklar tarafından yaratılıyorsa, onlar için R xy (τ) 0'a eğilimlidir. Bu tür fonksiyonlara korelasyonsuz denir.

Gürültülü orijinal sinyal:

Aynı frekansta bir menderes:

Orijinal sinyal ve menderes korelasyonu:

Dikkat! Her elektronik ders notu yazarının fikri mülkiyetindedir ve sitede yalnızca bilgilendirme amacıyla yayınlanır.

3 Sinyallerin korelasyon analizi

Sinyallerin spektral analizinin anlamı, bir sinyalin basit harmonik salınımların toplamı (veya integrali) olarak nasıl temsil edilebileceğini ve dalga biçiminin bu salınımların genliklerinin ve fazlarının frekans dağılımının yapısını nasıl belirlediğini incelemektir. Buna karşılık, sinyallerin korelasyon analizinin görevi, sinyaller veya bir sinyalin zaman kaydırmalı kopyaları arasındaki benzerlik ve fark derecesinin bir ölçüsünü belirlemektir. Bir ölçünün tanıtılması, sinyallerin benzerlik derecesinin nicel ölçümlerine giden yolu açar. Sinyallerin spektral ve korelasyon özellikleri arasında belirli bir ilişki olduğu gösterilecektir.

3.1 Otokorelasyon işlevi (ACF)

Sonlu bir enerjiye sahip bir sinyalin otokorelasyon fonksiyonu, bu sinyalin iki kopyasının çarpımının integralinin değeridir, bu zaman kaymasının τ bir fonksiyonu olarak kabul edilen, τ zamanına göre birbirine göre kaydırılır:

Sinyal sonlu bir zaman aralığında belirlenirse, ACF'si şu şekilde bulunur:

kaydırılan sinyal kopyalarının örtüşme aralığı nerede.

Belirli bir değerde otokorelasyon fonksiyonunun değeri ne kadar büyük olursa, zaman aralığı ile kaydırılan sinyalin iki kopyasının birbirine o kadar benzer olduğuna inanılmaktadır. Bu nedenle, korelasyon işlevi, sinyalin kaydırılmış kopyaları için bir benzerlik ölçüsüdür.

Sıfır civarında rastgele salınımlar formuna sahip sinyaller için bu şekilde tanıtılan benzerlik ölçüsü aşağıdaki karakteristik özelliklere sahiptir.

Sinyalin kaydırılan kopyaları yaklaşık olarak zamanla birbirine salınıyorsa, bu onların benzerliklerinin bir işaretidir ve ACF büyük pozitif değerler alır (büyük pozitif korelasyon). Kopyalar neredeyse antifazda salınırsa, ACF büyük negatif değerler alır (sinyal kopyalarının benzerliği, büyük negatif korelasyon).

Maksimum ACF, kopyalar çakıştığında, yani kayma olmadığında elde edilir. Sıfır ACF değerleri, sinyal kopyalarının ne benzerliğinin ne de benzerliğinin fark edilmediği vardiyalarda elde edilir (sıfır korelasyon,

korelasyon yok).

Şekil 3.1, 0 ila 1 s zaman aralığında belirli bir sinyalin uygulanmasının bir parçasını göstermektedir. Sinyal rastgele sıfır civarında dalgalanıyor. Sinyal varlık aralığı sonlu olduğu için enerjisi de sonludur. ACF'si denkleme göre hesaplanabilir:

Bu denkleme göre MathCad'de hesaplanan sinyalin otokorelasyon fonksiyonu Şekil 1'de gösterilmektedir. 3.2. Korelasyon fonksiyonu sadece sinyalin kendisine benzer olduğunu (kaydırma τ = 0) değil, aynı zamanda birbirine göre yaklaşık 0.063 s kaydırılan sinyalin kopyalarının da (otokorelasyon fonksiyonunun yanal maksimumu) bazı işaretlere sahip olduğunu gösterir. benzerlik. Bunun aksine, sinyalin 0.032 s kaydırılan kopyaları birbirine anti-benzer, yani bir anlamda birbirine zıt olmalıdır.

Şekil 33, bu iki kopyanın çiftlerini göstermektedir. Şekil, sinyal kopyalarının benzerliği ve anti-benzerliği ile ne kastedildiğini göstermektedir.

Korelasyon işlevi aşağıdaki özelliklere sahiptir:

1. τ = 0'da, otokorelasyon fonksiyonu, sinyal enerjisine eşit en büyük değeri alır.

2. Otokorelasyon işlevi, eşit bir zaman kaydırma işlevidir. .

3. τ arttıkça, otokorelasyon fonksiyonu sıfıra düşer

4. Sinyal, δ - fonksiyonlarının türünde süreksizlikler içermiyorsa, o zaman sürekli bir fonksiyondur.

5. Sinyal bir elektrik voltajı ise, korelasyon fonksiyonunun boyutları vardır.

Otokorelasyon fonksiyonunun tanımındaki periyodik sinyaller için aynı integral, sinyal tekrarlama periyoduna bölünür:

Tanıtılan korelasyon işlevi aşağıdaki özelliklere sahiptir:

Sıfırdaki korelasyon fonksiyonunun değeri, sinyal gücüne eşittir,

Korelasyon fonksiyonunun boyutu, örneğin, sinyal boyutunun karesine eşittir.

Örneğin, harmonik salınımın korelasyon fonksiyonunu hesaplayalım:

Bir dizi trigonometrik dönüşüm kullanarak sonunda şunu elde ederiz:

Böylece, bir harmonik salınımın otokorelasyon fonksiyonu, sinyalin kendisi ile aynı değişim periyoduna sahip bir kosinüsdür. Salınım periyodunun katları olan kaymalarla harmonik kendine çevrilir ve ACF genliğin karesinin yarısına eşit en büyük değerleri alır. Salınım periyodunun yarısının katları olan zaman kaymaları, salınımların işareti değişirken ve ACF, negatif ve genliğin karesinin yarısına eşit bir minimum değer alırken, bir açıyla faz kaymasına eşdeğerdir. Bir periyodun çeyreğinin katları olan kaymalar, örneğin sinüzoidal salınımı kosinüs salınımına çevirir ve bunun tersi de geçerlidir. Bu durumda, ACF kaybolur. Otokorelasyon fonksiyonu açısından birbirine göre dörtlü olan bu tür sinyaller birbirinden tamamen farklı çıkıyor.

Sinyal korelasyon fonksiyonu için ifadenin başlangıç fazını içermemesi önemlidir. Faz bilgisi kayboldu. Bu, sinyalin kendisinin sinyal korelasyon fonksiyonundan yeniden yapılandırılamayacağı anlamına gelir. Eşleme, eşlemenin aksine, bire bir değildir.

Sinyal üretme mekanizmasını, seçtiği korelasyon fonksiyonuna göre bir sinyal yaratan belirli bir demiurge olarak anlarsak, aslında aynı korelasyon fonksiyonuna sahip, ancak her birinden farklı olan bir sinyal seti (bir sinyaller topluluğu) oluşturabilir. diğer faz ilişkilerinde.

Yaratıcının iradesinden bağımsız olarak özgür iradesinin bir işaretiyle tezahür etme eylemi (bazı rastgele süreçlerin ayrı gerçekleşmelerinin ortaya çıkması),

Sinyale karşı yabancı şiddetin sonucu (herhangi bir fiziksel miktarın ölçümü sırasında elde edilen ölçüm bilgisinin sinyaline giriş).

Durum, herhangi bir periyodik sinyal ile benzerdir. Ana periyodu T olan bir periyodik sinyalin bir genlik spektrumu ve bir faz spektrumu varsa, sinyal korelasyon fonksiyonu aşağıdaki formu alır:

Zaten bu örneklerde, korelasyon fonksiyonu ile sinyalin spektral özellikleri arasında belirli bir bağlantı kendini gösterir. Bu oranlar daha sonra ayrıntılı olarak tartışılacaktır.

3.2 Çapraz korelasyon işlevi (CCF).

Otokorelasyon fonksiyonunun aksine, çapraz korelasyon fonksiyonu, birbirine göre τ zamanına göre kaydırılan iki farklı x (t) ve y (t) sinyalinin kopyalarının benzerlik derecesini belirler:

Çapraz korelasyon işlevi aşağıdaki özelliklere sahiptir:

1. τ = 0'da çapraz korelasyon fonksiyonu şuna eşit bir değer alır: karşılıklı enerji sinyaller, yani etkileşimlerinin enerjisi

2. Herhangi bir τ için aşağıdaki bağıntı geçerlidir:

sinyal enerjileri nerede?

3. Zaman kaymasının işaretini değiştirmek, sinyallerin karşılıklı permütasyonuna eşdeğerdir:

4. Artan τ ile çapraz korelasyon fonksiyonu monoton olmasa da sıfıra düşer.

5. Çapraz korelasyon fonksiyonunun sıfırdaki değeri diğer değerlerden farklı değildir.

Periyodik sinyaller için, kural olarak çapraz korelasyon fonksiyonu kavramı hiç kullanılmaz.

Otokorelasyon ve çapraz korelasyon fonksiyonlarının değerlerini ölçmek için kullanılan araçlara korelatör veya korelatör denir. Korelometreler, örneğin aşağıdaki bilgileri ve ölçüm görevlerini çözmek için kullanılır:

Elektroensefalogramların istatistiksel analizi ve biyopotansiyellerin kaydının diğer sonuçları,

Maksimum CCF'nin elde edildiği zaman kaymasının büyüklüğü ile sinyal kaynağının uzamsal koordinatlarının belirlenmesi,

Güçlü statik ilgisiz parazitin arka planına karşı zayıf bir sinyalin izolasyonu,

Dahili ve harici radyo sinyalleri arasındaki korelasyonu belirleyerek bilgi sızıntı kanallarının tespiti ve lokalizasyonu,

Otomatik dinleme cihazı olarak kullanılan cep telefonları dahil, çalışan radyo yayan gizli dinleme cihazları için otomatik yakın alan algılama, tanıma ve arama,

Sensörlerin boru üzerinde bulunduğu iki ölçüm noktasında bir sızıntının neden olduğu iki akustik gürültü sinyalinin CCF'sinin belirlenmesine dayalı olarak boru hatlarındaki sızıntıların lokalizasyonu.

3.3 Korelasyon ve spektral fonksiyonlar arasındaki ilişkiler.

Hem korelasyon hem de spektral fonksiyonlar, sinyallerin iç yapısını, iç yapılarını tanımlar. Bu nedenle, sinyalleri tanımlamanın bu iki yolu arasında bir miktar karşılıklı bağımlılık olması beklenebilir. Periyodik sinyaller örneğinde böyle bir bağlantının varlığını zaten gördünüz.

Çapraz korelasyon işlevi, zamanın herhangi bir işlevi gibi, Fourier dönüşümüne tabi tutulabilir:

Entegrasyon sırasını değiştirelim:

Köşeli parantez içindeki ifade, y (t) sinyali için Fourier dönüşümü olarak düşünülebilir, ancak üste eksi işareti yoktur. Bu, iç integralin bize spektral fonksiyona karmaşık eşlenik olan bir ifade verdiğini gösterir.

Ancak ifade zamana bağlı değildir, bu nedenle dış integralin işaretinin dışına alınabilir. O zaman dış integral bize x(t) sinyalinin spektral fonksiyonunun tanımını verecektir. Son olarak, elimizde:

Bu, iki sinyalin çapraz korelasyon fonksiyonu için Fourier dönüşümünün, biri karmaşık konjugasyona tabi olan spektral fonksiyonlarının ürününe eşit olduğu anlamına gelir. Bu ürün, sinyallerin çapraz spektrumu olarak adlandırılır:

Elde edilen ifadeden önemli bir sonuç çıkar: x (t) ve y (t) sinyallerinin spektrumları birbiriyle örtüşmüyorsa, yani farklı frekans aralıklarında bulunuyorlarsa, bu tür sinyaller birbirinden bağımsız, ilişkisizdir. .

Yukarıdaki formülleri koyarsak: x (t) = y (t), o zaman otokorelasyon fonksiyonunun Fourier dönüşümü için bir ifade elde ederiz.

Bu, sinyalin otokorelasyon fonksiyonunun ve spektral fonksiyonunun modülünün karesinin Fourier dönüşümü yoluyla birbiriyle ilişkili olduğu anlamına gelir.

fonksiyon denir enerji spektrumu sinyal. Enerji spektrumu, bir sinyalin toplam enerjisinin, bireysel harmonik bileşenlerinin frekanslarına nasıl dağıldığını gösterir.

3.4 Frekans alanından gelen sinyallerin enerji özellikleri

İki sinyalin karşılıklı korelasyon işlevi, Fourier dönüşümü ile sinyallerin karşılıklı spektrumuyla ilişkilidir, bu nedenle çapraz spektrumun ters Fourier dönüşümü olarak ifade edilebilir:

Şimdi zaman kaydırma değerini bu eşitlikler zincirine yerleştirelim. Sonuç olarak, anlamı belirleyen bir oran elde ederiz. Rayleigh eşitlikleri:

yani, iki sinyalin çarpımının integrali, biri karmaşık konjugasyona maruz kalan bu sinyallerin spektrumlarının çarpımının integraline eşittir.

Bu oran denir Parseval eşitliği.

Periyodik sinyaller sonsuz enerjiye, ancak sonlu güce sahiptir. Bunları göz önünde bulundurduğumuzda, karmaşık spektrumunun katsayılarının modüllerinin karelerinin toplamı aracılığıyla periyodik bir sinyalin gücünü hesaplama olasılığıyla zaten karşılaştık:

Bu bağıntı, Parseval'in eşitliği ile tam bir analojiye sahiptir.

3.1 Otokorelasyon işlevi (ACF)

Sonlu bir enerjiye sahip bir sinyalin otokorelasyon işlevi, bu sinyalin iki kopyasının çarpımının integralinin değeridir, bu zaman kaymasının τ bir fonksiyonu olarak kabul edilen, τ zamanına göre birbirine göre kaydırılır:

Sinyal sonlu bir zaman aralığında algılanırsa , ardından ACF'si şu şekilde bulunur:

nerede
- kaydırılan sinyal kopyalarının örtüşen aralığı.

Otokorelasyon fonksiyonunun değerinin ne kadar büyük olduğuna inanılmaktadır.
bu değerde , sinyalin iki kopyası daha fazla zaman aralığı tarafından kaydırılır birbirine benzer. Bu nedenle, korelasyon fonksiyonu
ve sinyalin kaydırılmış kopyaları için bir benzerlik ölçüsüdür.

Sıfır civarında rastgele salınımlar formuna sahip sinyaller için bu şekilde tanıtılan benzerlik ölçüsü aşağıdaki karakteristik özelliklere sahiptir.

Sinyalin kaydırılan kopyaları birbirine göre yaklaşık olarak dalgalanıyorsa, bu onların benzerliklerinin bir işaretidir ve ACF büyük pozitif değerler alır (büyük pozitif korelasyon). Kopyalar neredeyse antifazda salınırsa, ACF büyük negatif değerler alır (sinyal kopyalarının benzerliği, büyük negatif korelasyon).

Şekil 33, bu iki kopyanın çiftlerini göstermektedir. Şekil, sinyal kopyalarının benzerliği ve anti-benzerliği ile ne kastedildiğini göstermektedir.

Korelasyon işlevi aşağıdaki özelliklere sahiptir:

1. τ = 0'da, otokorelasyon fonksiyonu, sinyal enerjisine eşit en büyük değeri alır.

2. Otokorelasyon işlevi, eşit bir zaman kaydırma işlevidir.
.

3. τ arttıkça, otokorelasyon fonksiyonu sıfıra düşer

4. Sinyal, δ - fonksiyonları türünde süreksizlikler içermiyorsa, o zaman
- sürekli fonksiyon.

5... Sinyal bir elektrik voltajı ise, o zaman korelasyon fonksiyonu boyuta sahiptir.
.

Otokorelasyon fonksiyonunun tanımındaki periyodik sinyaller için aynı integral, sinyal tekrarlama periyoduna bölünür:

Tanıtılan korelasyon işlevi aşağıdaki özelliklere sahiptir:

Örneğin, harmonik salınımın korelasyon fonksiyonunu hesaplayalım:

Bir dizi trigonometrik dönüşüm kullanarak sonunda şunu elde ederiz:

Böylece, bir harmonik salınımın otokorelasyon fonksiyonu, sinyalin kendisi ile aynı değişim periyoduna sahip bir kosinüsdür. Salınım periyodunun katları olan kaymalarla harmonik kendine çevrilir ve ACF genliğin karesinin yarısına eşit en büyük değerleri alır. Salınım periyodunun yarısının katları olan zaman kaymaları, bir açıyla faz kaymasına eşdeğerdir.
, bu durumda salınımların işareti değişir ve ACF, negatif ve genliğin karesinin yarısına eşit bir minimum değer alır. Bir periyodun çeyreğinin katları olan kaymalar, örneğin sinüzoidal salınımı kosinüs salınımlarına ve bunun tersini de çevirir. Bu durumda, ACF kaybolur. Otokorelasyon fonksiyonu açısından birbirine göre dörtlü olan bu tür sinyaller birbirinden tamamen farklı çıkıyor.

Sinyal üretme mekanizmasını, seçtiği korelasyon fonksiyonuna göre bir sinyal yaratan belirli bir demiurge olarak anlarsak, aslında aynı korelasyon fonksiyonuna sahip olan ancak her birinden farklı olan bir sinyal seti (bir sinyaller topluluğu) oluşturabilir. diğer faz ilişkilerinde.

yaratıcının iradesinden bağımsız olarak özgür iradesinin bir işaretiyle tezahür etme eylemi (bazı rastgele süreçlerin ayrı gerçekleşmelerinin ortaya çıkması),

sinyale karşı yabancı şiddetin sonucu (herhangi bir fiziksel miktarın ölçümü sırasında elde edilen ölçüm bilgisinin sinyaline giriş).

Durum, herhangi bir periyodik sinyal ile benzerdir. Temel periyodu T olan bir periyodik sinyalin bir genlik spektrumu varsa
ve faz spektrumu
, ardından sinyal korelasyon işlevi aşağıdaki formu alır:

Zaten bu örneklerde, korelasyon fonksiyonu ile sinyalin spektral özellikleri arasında belirli bir bağlantı kendini gösterir. Bu oranlar daha sonra ayrıntılı olarak tartışılacaktır.

İletişim teorisinde, korelasyon teorisi rastgele süreçlerin incelenmesinde kullanılır ve rastgele sinyallerin korelasyon ve spektral özellikleri arasında bir ilişki kurmayı mümkün kılar. Sorun genellikle, iletilen bir sinyalin diğerinde veya parazitte tespit edilmesinden kaynaklanır. Güvenilir sinyal tespiti için yöntem uygulanır. korelasyonlar korelasyon teorisine dayanmaktadır. Pratikte, zaman içindeki değişim oranı ve sinyalin süresi hakkında fikir veren özellikleri harmonik bileşenlere ayırmadan analiz etmenin faydalı olduğu ortaya çıkıyor.

Sinyalin kopyalanmasına izin ver u (t - m) orijinalinden uzaktır sen (t) t zaman aralığı için Sinyalin fark (bağlantı) derecesini ölçmek için sen (t) ve ofset kopyası u (t - t) kullanmak otokorelasyon fonksiyonu(ACF). ACF, bir sinyal ile kaydırılmış kopyası arasındaki benzerlik derecesini gösterir - ACF değeri ne kadar büyükse, bu benzerlik o kadar güçlüdür.

Sonlu süreli deterministik bir sinyal (sonlu sinyal) için, ACF'nin analitik kaydı, formun bir integralidir.

Formül (2.56), sinyale (m = 0) göre bir kopya kayması olmadığında, ACF'nin pozitif, maksimum ve sinyal enerjisine eşit olduğunu gösterir:

Bu enerji [J], terminallerine bir miktar voltaj bağlanırsa, 1 Ohm dirençli bir direnç üzerinde serbest bırakılır. sen (t)[V].

ACF'nin en önemli özelliklerinden biri paritesidir: V( t) = V(- T). Gerçekten de, (2.56) ifadesinde değişkeni değiştirirsek x = t - o zaman

Bu nedenle, integral (2.56) başka bir biçimde temsil edilebilir:

Enerjisi sonsuz büyük olan (sinyal sonsuz bir süre için var olduğundan) periyodu Г olan bir periyodik sinyal için, ACF'nin formül (2.56) ile hesaplanması kabul edilemez. Bu durumda, ACF dönem için belirlenir:

Örnek 2.3

Genliği olan dikdörtgen bir darbenin ACF'sini tanımlayalım. E ve süre t ve (Şekil 2.24).

Çözüm

Dürtü için ACF'yi grafiksel olarak hesaplamak uygundur. Bu düzenleme Şekil 2'de gösterilmektedir. 2.24, a - d, sırasıyla ilk iticinin verildiği yerde sen (t)= sen kopyası m t (?) = sen (t- t) = m t ve bunların çarpımı u (f) u (t-t) = uu v(2.56) integralinin grafiksel hesaplamasını düşünün. Çalışmak u (t) u (t- t) sinyalin herhangi bir parçasının ve kopyasının çakışması olduğunda zaman aralığında sıfıra eşit değildir. Şekilden aşağıdaki gibi. 2.24'te, kopyanın zaman kayması darbe süresinden küçükse bu aralık x - t m'ye eşittir. Bu gibi durumlarda, nabız için ACF şu şekilde tanımlanır: V( t) = E2 ( t ve - | t |) kopyanın geçerli zamana bir zaman kayması ile | t | B (0) = = E2 m u = E (bkz. Şekil 2.24, G).

Pirinç. 2.24.

a - nabız; 6 - kopyala; v - sinyal ve kopya ürünü; G - ACF

Sinyalleri analiz etmek ve karşılaştırmak için uygun sayısal bir parametre genellikle tanıtılır - korelasyon aralığı t k, analitik ve grafiksel olarak ACF tabanının genişliğine eşittir. Bu örnek için korelasyon aralığı m k = 2m ve.

Örnek 2.4

Bir harmonik (kosinüs) sinyalin ACF'sini belirleyin u(t) == t / m cos (co? + a).

Pirinç. 2.25.

a - harmonik sinyal; B - Harmonik sinyalin ACF'si

Çözüm

(2.57) formülünü kullanma ve belirtme p'de ( t) = V( m) buluruz

Bu formülden, bir harmonik sinyalin ACF'sinin de harmonik bir fonksiyon olduğu sonucu çıkar (Şekil 2.25, B) ve güç boyutuna sahiptir (V 2). Hesaplanan ACF'nin harmonik sinyalin başlangıç aşamasına bağlı olmadığına dair çok önemli bir gerçeğe daha dikkat edin (parametre

Analizden önemli bir sonuç çıkar: Hemen hemen her sinyalin ACF'si faz spektrumuna bağlı değildir. Sonuç olarak, genlik spektrumları tamamen çakışan ve faz spektrumları farklı olan sinyaller aynı ACF'ye sahip olacaktır. Başka bir açıklama, orijinal sinyalin ACF'den geri yüklenememesidir (yine, faz bilgisinin kaybı nedeniyle).

ACF ve sinyal enerji spektrumu arasındaki ilişki. Darbe sinyaline izin ver sen (t) spektral yoğunluğu 5 (ω) vardır. ACF'yi formül (2.56) kullanarak yazarak tanımlarız. ve C) ters Fourier dönüşümü (2.30) biçiminde:

Yeni bir değişken tanıtarak x = t - m, elde ettiğimiz son formülden Burada integrali alıyoruz

sinyalin spektral yoğunluğunun karmaşık eşlenik işlevidir

(2.59) bağıntısı dikkate alındığında, formül (2.58) şu şekli alır: İşlev

arandı enerji spektrumu sinyalin (spektral enerji yoğunluğu), enerjinin frekans dağılımını gösterir. Sinyal enerji spektrumunun boyutu, IP / s) - [(V 2 -s) / Hz] değerine karşılık gelir.

(2.60) ilişkisini hesaba katarak, sonunda ACF için şu ifadeyi elde ederiz:

Dolayısıyla, bir sinyalin ACF'si, enerji spektrumunun ters Fourier dönüşümüdür. ACF'nin Doğrudan Fourier Dönüşümü

Yani, doğrudan Fourier dönüşümü (2.62) ACF enerji spektrumunu belirler, a enerji spektrumunun ters Fourier dönüşümü(2.61) - Deterministik bir sinyalin ACF'si. Bu sonuçlar iki nedenden dolayı önemlidir. İlk olarak, spektrumdaki enerji dağılımına bağlı olarak, sinyallerin korelasyon özelliklerini tahmin etmek mümkün hale gelir - sinyalin enerji spektrumu ne kadar geniş olursa, korelasyon aralığı o kadar küçük olur. Buna göre, sinyal korelasyon aralığı ne kadar büyük olursa, enerji spektrumu o kadar kısa olur. İkincisi, (2.61) ve (2.62) bağıntıları, fonksiyonlardan birinin diğerinin değerinden deneysel olarak belirlenmesini mümkün kılar. Önce ACF'yi elde etmek ve daha sonra doğrudan Fourier dönüşümünü kullanarak enerji spektrumunu hesaplamak genellikle daha uygundur. Bu teknik, sinyal özelliklerinin gerçek zamanlı olarak analizinde yaygın olarak kullanılmaktadır, yani. işlenmesinde zaman gecikmesi olmadan.

İki sinyalin çapraz korelasyon fonksiyonu. Sinyaller arasındaki bağlantının derecesini değerlendirmeniz gerekiyorsa u x (t) ve u 2 (t), sonra kullan çapraz korelasyon fonksiyonu(VKF)

m = 0 için, CCF sözde eşittir iki sinyalin karşılıklı enerjisi

İkinci sinyali geciktirmek yerine CCF değeri değişmez u 2 (t) ilk sinyal m, (?) ile ilerlemesini düşünün, bu nedenle

ACF, sinyaller aynıysa, ör. u y (t) = u 2 (t) = u (t). ACF'nin aksine, iki sinyal B12(t)'nin CCF'si eşit değildir ve t = 0'da mutlaka maksimum olmak zorunda değildir, yani. sinyallerin zaman kayması olmadığında.

Radyo mühendisliğinin gelişiminin ilk aşamalarında, belirli özel uygulamalar için en iyi sinyalleri seçme sorunu çok keskin değildi. Bu, bir yandan iletilen mesajların (telgraf mesajları, radyo yayıncılığı) nispeten basit yapısından kaynaklanıyordu; diğer yandan, karmaşık şekilli sinyallerin, kodlama, modülasyon ve bir mesaja ters dönüşüm için ekipmanla birlikte pratik uygulamasının uygulanmasının zor olduğu ortaya çıktı.

Şu anda, durum kökten değişti. Modern radyo-elektronik komplekslerinde, sinyallerin seçimi, öncelikle bunların üretilmesi, dönüştürülmesi ve alınmasının teknik uygunluğu ile değil, sistemin tasarımında öngörülen problemlerin optimal çözümünün olasılığı ile belirlenir. Özel olarak seçilmiş özelliklere sahip sinyallere olan ihtiyacın nasıl ortaya çıktığını anlamak için aşağıdaki örneği inceleyin.

Zaman kaydırmalı sinyallerin karşılaştırılması.

Şarkı aralığını ölçmek için tasarlanmış darbeli bir radarın çalışmasının basitleştirilmiş fikrine dönelim. Burada, ölçüm nesnesi hakkındaki bilgiler değere dahildir - yoklama ve alınan sinyaller arasındaki zaman gecikmesi. Sondalamanın ve alınan ve sinyallerin şekilleri herhangi bir gecikmede aynıdır.

Mesafeyi ölçmek için tasarlanmış bir radar sinyal işleme cihazının blok şeması, Şekil 2'de gösterildiği gibi görünebilir. 3.3.

Sistem, bazı sabit zaman aralıkları için iletilen "referans" sinyali geciktiren bir dizi öğeden oluşur.

Pirinç. 3.3. Sinyal gecikme süresi ölçüm cihazı

Gecikmeli sinyaller, alınan sinyalle birlikte, ilkeye göre çalışan karşılaştırma cihazlarına beslenir: çıkış sinyali, yalnızca her iki giriş salınımı birbirinin "kopyası"ysa görünür. Belirtilen olayın meydana geldiği kanal numarasını bilerek, gecikmeyi ve dolayısıyla hedefe olan menzili ölçmek mümkündür.

Böyle bir cihaz daha doğru çalışacaktır, sinyal ve zaman içinde kaydırılan "kopyası" birbirinden ne kadar farklı olursa.

Bu bize belirli bir uygulama için "hangi sinyallerin iyi olduğuna dair iyi bir fikir" verir.

Şimdi, ortaya konan problemin tam matematiksel formülasyonuna geçelim ve bu konu dizisinin, sinyallerin enerji spektrumları teorisi ile doğrudan ilişkili olduğunu gösterelim.

Sinyalin otokorelasyon fonksiyonu.

Sinyal ile onun zaman kaydırmalı kopyası arasındaki farkın derecesini ölçmek için, sinyalin ve kopyanın skaler ürününe eşit olan sinyalin otokorelasyon fonksiyonunu (ACF) tanıtmak gelenekseldir:

Aşağıda, incelenen sinyalin, zaman içinde lokalize edilmiş bir dürtüsel karaktere sahip olduğunu, böylece (3.15) formunun bir integralinin kesinlikle var olduğunu varsayacağız.

Doğrudan, otokorelasyon fonksiyonunun sinyal enerjisine eşit olduğu görülmektedir:

Bir ACF'nin en basit özelliklerinden biri paritesidir:

Gerçekten de, (3.15) integralindeki değişkenleri değiştirirsek, o zaman

Son olarak, otokorelasyon fonksiyonunun önemli bir özelliği şudur: zaman kaymasının herhangi bir değeri için, ACF modülü sinyal enerjisini aşmaz:

Bu gerçek doğrudan Cauchy - Bunyakovsky eşitsizliğinden kaynaklanmaktadır (bkz. Bölüm 1):

Bu nedenle, ACF, her zaman pozitif olan merkezi bir maksimuma sahip simetrik bir eğri gibi görünmektedir. Bu durumda sinyal tipine bağlı olarak otokorelasyon fonksiyonu hem monoton azalan hem de salınımlı karaktere sahip olabilir.

Örnek 3.3. Dikdörtgen bir video darbesinin ACF'sini bulun.

İncirde. 3.4, a, genliği U ve süresi olan bir dikdörtgen video darbesini gösterir, burada ayrıca, zaman içinde gecikme yönünde kaydırılan "kopyası" da gösterilmektedir. İntegral (3.15) bu durumda temel olarak bir grafik yapı temelinde hesaplanır. Gerçekten de, ve ve'nin çarpımı, yalnızca sinyallerin çakışması gözlemlendiğinde zaman aralığı içinde sıfır değildir. Şek. 3.4'te, vardiya darbe süresini geçmiyorsa bu zaman aralığının eşit olduğu görülebilir. Böylece, dikkate alınan sinyal için

Böyle bir fonksiyonun grafiği, Şekil 2'de gösterilen bir üçgendir. 3.4, b. Üçgenin tabanının genişliği, darbe genişliğinin iki katıdır.

Pirinç. 3.4. Dikdörtgen bir video darbesinin ACF'sini bulma

Örnek 3.4. Dikdörtgen bir radyo darbesinin ACF'sini bulun.

Formun bir radyo sinyalini ele alacağız

ACF'nin çift olduğunu önceden bilerek, integrali (3.15) ayarlayarak hesaplıyoruz. nerede

nereden kolayca alırız

Doğal olarak, at değeri bu darbenin enerjisine eşit olur (bkz. Örnek 1.9). Formül (3.21) sınırlar içinde kalan tüm kaymalar için dikdörtgen bir radyo darbesinin ACF'sini tanımlar Kaymanın mutlak değeri darbe süresini aşarsa, otokorelasyon işlevi aynı şekilde ortadan kalkar.

Örnek 3.5. Bir dizi dikdörtgen video darbesinin ACF'sini belirleyin.

Radarda, aynı zaman aralığında birbirini takip eden aynı şekle sahip darbe paketleri olan sinyaller yaygın olarak kullanılmaktadır. Böyle bir patlamayı tespit etmek ve parametrelerini ölçmek için, örneğin zamandaki konum, donanımın ACF'yi hesaplamak için algoritmalar uygulayan cihazlar oluşturulur.

Pirinç. 3.5. Üç özdeş video darbesinden oluşan bir patlamanın ACF'si: a - bir darbe patlaması; b - ACF grafiği

İncirde. 3.5, c, üç özdeş dikdörtgen video darbesinden oluşan bir paketi göstermektedir. Ayrıca (3.15) formülüyle hesaplanan otokorelasyon fonksiyonunu da gösterir (Şekil 3.5, b).

ACF'nin maksimum değerine şu anda ulaşıldığı açıkça görülmektedir, ancak gecikme dizi periyodunun bir katı olduğu ortaya çıkarsa (bizim durumumuzda), ACF'nin yan lobları gözlemlenir, yükseklik olarak ana ile karşılaştırılabilir. lob. Dolayısıyla bu sinyalin korelasyon yapısının bilinen kusurundan bahsedebiliriz.

Sonsuz genişletilmiş bir sinyalin otokorelasyon işlevi.

Zaman içinde sonsuzca uzayan periyodik dizileri dikkate almak gerekirse, sinyallerin korelasyon özelliklerini inceleme yaklaşımı biraz değiştirilmelidir.

Böyle bir dizinin, zaman içinde yerelleştirilmiş bazılarından, yani dürtü, sinyalden, ikincisinin süresi sonsuz olma eğilimindeyken elde edildiğini varsayacağız. Elde edilen ifadelerin sapmasını önlemek için, yeni ACF'yi sinyalin skaler ürününün ortalama değeri ve kopyası olarak tanımlarız:

Bu yaklaşımla, otokorelasyon fonksiyonu, bu iki sinyalin ortalama karşılıklı gücüne eşit olur.

Örneğin, sonsuz bir kosinüs dalgası için ACF'yi bulmak isteyen kişi, bir süre ile bir radyo darbesi için elde edilen formülü (3.21) kullanabilir ve sonra verilen tanım (3.22) limitine gidebilir. Sonuç olarak, alıyoruz

Bu ACF'nin kendisi periyodik bir fonksiyondur; değeri eşittir

Bir sinyalin enerji spektrumu ile otokorelasyon fonksiyonu arasındaki ilişki.

Bu bölümün materyalini incelerken okuyucu, korelasyon analizi yöntemlerinin spektral ayrıştırma ilkeleriyle hiçbir bağlantısı olmayan bazı özel teknikler olarak hareket ettiğini düşünebilir. Ancak öyle değil. ACF ile sinyalin enerji spektrumu arasında yakın bir ilişki olduğunu göstermek kolaydır.

Gerçekten de, formül (3.15) uyarınca, ACF bir nokta çarpımdır: Burada sembol, sinyalin zaman kaydırmalı bir kopyasını gösterir ve,

Genelleştirilmiş Rayleigh formülüne (2.42) dönersek, eşitliği yazabiliriz.

Zaman kaydırmalı spektral yoğunluk

Böylece şu sonuca varıyoruz:

Spektral yoğunluk modülünün karesinin, sinyalin enerji spektrumunu temsil ettiği bilinmektedir. Böylece, enerji spektrumu ve otokorelasyon fonksiyonu Fourier dönüşümü ile ilişkilidir:

Ters bir ilişki olduğu da açıktır:

Bu sonuçlar temelde iki nedenden dolayı önemlidir. İlk olarak, enerjilerinin spektrum üzerindeki dağılımına dayalı olarak sinyallerin korelasyon özelliklerini tahmin etmenin mümkün olduğu ortaya çıktı. Sinyal bant genişliği ne kadar genişse, otokorelasyon fonksiyonunun ana lobu o kadar dardır ve başlangıç anını doğru bir şekilde ölçme olasılığı açısından sinyal o kadar mükemmel olur.

İkinci olarak, formüller (3.24) ve (3.26) enerji spektrumunu deneysel olarak belirlemenin yolunu gösterir. İlk önce otokorelasyon fonksiyonunu elde etmek ve ardından Fourier dönüşümünü kullanarak sinyalin enerji spektrumunu bulmak genellikle daha uygundur. Bu teknik, gerçek zamanlı olarak yüksek hızlı bilgisayarlar kullanılarak sinyallerin özelliklerinin incelenmesinde yaygınlaşmıştır.

Oran sovtk ile Korelasyon aralığını takip eder

ne kadar az olursa, sinyal spektrumunun üst kesim frekansı o kadar yüksek olur.

Sinyal otokorelasyon fonksiyonunun tipine getirilen kısıtlamalar.

Otokorelasyon fonksiyonu ve enerji spektrumu arasında bulunan bağlantı, verilen korelasyon özelliklerine sahip bir sinyalin varlığı için ilginç ve ilk bakışta açık olmayan bir kriter oluşturmayı mümkün kılar. Gerçek şu ki, herhangi bir sinyalin enerji spektrumu tanım gereği pozitif olmalıdır [bkz. formül (3.25)]. Bu koşul, ACF'nin herhangi bir seçimi için yerine getirilmeyecektir. Örneğin, alırsanız

ve karşılık gelen Fourier dönüşümünü hesaplayın, ardından

Bu alternatif fonksiyon, herhangi bir sinyalin enerji spektrumunu temsil edemez.