Diğer sözlüklerde "Fonksiyonların süperpozisyonu" nun ne olduğunu görün. Fonksiyon süperpozisyonu teriminin geçtiği sayfalara bakın Çizgilerin grafiksel süperpozisyonunu bulun

Belirli bir fonksiyonun argümanı yerine, başka bir argümandan bir fonksiyonun ikame edilmesinden oluşan fonksiyonların süperpozisyonu (veya bindirme) kavramını tanıyalım. Örneğin, fonksiyonların üst üste binmesi bir fonksiyon verir, benzer şekilde fonksiyonlar elde edilir.

Genel olarak, fonksiyonun bir bölgede tanımlandığını ve fonksiyonun bölgede tanımlandığını ve değerlerinin hepsinin bölgede bulunduğunu varsayalım. fonksiyonu

Verilen bir başlangıç için, önce ona karşılık gelen değeri bulun (y'den y değerinin işareti ile karakterize edilen kurala göre ve ardından karşılık gelen y değerini belirleyin (kurallara göre,

değeri bir işaret ile karakterize edilir ve seçilen x'e karşılık geldiği kabul edilir. Bir fonksiyondan veya karmaşık bir fonksiyondan elde edilen fonksiyon, fonksiyonların üst üste binmesinin sonucudur.

Fonksiyonun değerlerinin, fonksiyonun tanımlandığı Y bölgesinin ötesine geçmediği varsayımı çok önemlidir: ihmal edilirse saçma olabilir. Örneğin, yalnızca, aksi takdirde ifadenin bir anlam ifade etmeyeceği x değerlerini dikkate alabileceğimizi varsayarsak.

Burada, bir fonksiyonun karmaşık olarak nitelendirilmesinin, z'nin x'e fonksiyonel bağımlılığının doğası ile değil, sadece bu bağımlılığı belirleme yolu ile bağlantılı olduğunu vurgulamanın faydalı olduğunu düşünüyoruz. Örneğin, O zaman için y'yi girelim

Burada fonksiyonun karmaşık bir fonksiyon şeklinde verildiği ortaya çıktı.

Fonksiyonların süperpozisyonu kavramı tamamen açıklığa kavuştuğuna göre, analizde incelenen bu fonksiyon sınıflarının en basitini doğru bir şekilde tanımlayabiliriz: bunlar, her şeyden önce, yukarıda listelenen temel fonksiyonlar ve daha sonra bunlardan elde edilenlerin tümü. dört aritmetik işlem ve süperpozisyon kullanarak, art arda sonlu sayıda uygulandı. Sonlu bir biçimde elementer terimlerle ifade edildikleri söylenir; bazen hepsine de temel denir.

Daha sonra, daha karmaşık bir analitik aygıta (sonsuz seriler, integraller) hakim olduktan sonra, analizde de önemli bir rol oynayan, ancak zaten temel işlevler sınıfının ötesine geçen diğer işlevlerle tanışacağız.

yapı işlevi

Tüm hakları şirkete ait olan, çevrimiçi fonksiyon çizelgeleri çizme hizmetini dikkatinize sunuyoruz. Desmos... İşlevleri girmek için sol sütunu kullanın. Bunu manuel olarak veya pencerenin altındaki sanal klavyeyi kullanarak girebilirsiniz. Pencereyi grafikle büyütmek için hem sol sütunu hem de sanal klavyeyi gizleyebilirsiniz.

Çevrimiçi grafik çizmenin faydaları

Girilen fonksiyonların görsel gösterimi
Çok karmaşık grafikler oluşturma
Örtülü olarak verilen grafiklerin oluşturulması (örneğin, elips x ^ 2/9 + y ^ 2/16 = 1)
İnternetteki herkesin kullanımına açık hale gelen çizelgeleri kaydetme ve bunlara bir bağlantı alma yeteneği
Ölçek kontrolü, çizgi rengi
Sabitleri kullanarak, noktalara göre grafik çizme imkanı
Birkaç fonksiyon grafiğinin aynı anda oluşturulması
Kutupsal koordinatlarda çizim (r ve θ (\ teta) kullanın)

Bizimle çevrimiçi olarak değişen karmaşıklıkta çizelgeler oluşturmak kolaydır. İnşaat anında yapılır. Servis, fonksiyonların kesişme noktalarını bulmak, problem çözerken bir Word belgesinde daha sonraki hareketleri için grafikleri göstermek, fonksiyon grafiklerinin davranışsal özelliklerini analiz etmek için talep edilmektedir. Sitenin bu sayfasındaki grafiklerle çalışmak için en uygun tarayıcı Google Chrome'dur. Diğer tarayıcılarda çalışması garanti edilmez.

Bilimsel toplulukta, bu konuda yaygın olarak bilinen bir şaka var, "doğrusal olmama", "fil olmayan" ile karşılaştırılır - "filler" hariç tüm canlılar "fil olmayanlardır". Benzerlik, çevremizdeki dünyadaki sistem ve fenomenlerin çoğunun birkaç istisna dışında doğrusal olmaması gerçeğinde yatmaktadır. Buna rağmen, okulda bize, Evrenin fiziksel, biyolojik, psikolojik veya sosyal yönleri olsun, her yere yayılan doğrusal olmayanlığını algılamaya hazır olmamız açısından çok kötü olan "doğrusal" düşünme öğretiliyor. Doğrusal olmama, kendi içinde çevreleyen dünyanın bilişinin ana zorluklarından birini yoğunlaştırır, çünkü toplam kütlelerindeki sonuçlar nedenlerle orantılı değildir, etkileşime girdiğinde iki neden toplam değildir, yani sonuçlar daha fazladır. basit bir süperpozisyondan daha karmaşık, nedenlerin işlevleri. Yani aynı anda hareket eden iki nedenin varlığı ve etkisinden çıkan sonuç, başka bir nedenin yokluğunda, her bir nedenin ayrı ayrı varlığında elde edilen sonuçların toplamı değildir.

Tanım 9.Bir X aralığında bir fonksiyon rf (x) ile Z değerleri kümesi tanımlanır ve y = f (z) fonksiyonu Z kümesinde tanımlanır, daha sonra y fonksiyonu karmaşık bir fonksiyondur. x (veya bir fonksiyonun süperpozisyonu) ve z değişkeni - karmaşık bir fonksiyonun ara değişkeni.

Kontrol, üç klasik yönetim fonksiyonunun bir üst üste binmesi olarak görülebilir - muhasebe, kontrol ve analiz (geriye dönük). Entegre bir yönetim işlevi olarak kontrol, yalnızca bir çözüm hazırlamayı değil, aynı zamanda uygun yönetim araçlarını kullanarak uygulanmasının kontrolünü de sağlamayı mümkün kılar.

Bildiğiniz gibi / 50 /, herhangi bir zamansal fonksiyon, farklı periyotlar, genlikler ve fazlar ile basit harmonik fonksiyonların bir süperpozisyonu (kümesi) olarak temsil edilebilir. Genel olarak, P(t) = f(t),

Geçici veya dürtü yanıtı deneysel olarak belirlenir. Süperpozisyon yöntemiyle kullanıldığında, seçilen girdi eylemi modeli önce temel "zaman fonksiyonlarına genişletilir ve daha sonra bunlara verilen yanıtlar toplanır. Son işleme bazen evrişim denir ve ifadelerdeki integraller ( 24).. (29) evrişim integralleridir.İntegral fonksiyonu daha basit olandan seçilir.

Bu teorem, koşullu ekstremum problemini koşulsuz ekstremum probleminin bir süperpozisyonuna indirger. Gerçekten de, R (g) fonksiyonunu tanımlarız.

Üst üste binme ((> (f (x))), burada y (y) tek değişkenli azalmayan dışbükey bir işlevdir, f (x) dışbükey bir işlevdir, dışbükey bir işlevdir.

Örnek 3.28. Örnek 3.27'ye geri dönelim. İncirde. 3.24, bu örnekte mevcut olan niceleyicilere karşılık gelen iki üyelik fonksiyonunun üst üste bindirilmesinin sonucunu noktalı bir eğri olarak gösterir. Apsis üzerindeki bulanık aralıklar, 0,7'lik bir kesme değeri kullanılarak elde edilir. Artık göndericinin plan değişikliğini beklemesi gerektiğini söyleyebiliriz.

Süperpozisyon yönteminden farklı olarak F fonksiyonunu tanımlamanın başka bir yolu, bir niceleyici başka bir niceleyiciye uygulandığında, orijinal üyelik fonksiyonunun belirli bir monotonik dönüşümünün meydana gelmesidir, bu da fonksiyonun maksimumunu bir yönde gerdirmeyi ve kaydırmayı azaltır. veya başkası.

Örnek 3.29. İncirde. Şekil 3.25, XA ve X'in sıklıkla niceleyiciye karşılık geldiği durum için süperpozisyon ve esnetme-kaydırma ile elde edilen iki sonucu gösterir. Fark, görünüşe göre, süperpozisyonun üyelik fonksiyonunda sıklıkla karşılaşılan değerleri izole etmesidir. Kesme ve esnetme durumunda, sonucu, sık sık-sık sık değerine sahip yeni bir niceleyicinin görünümü olarak yorumlayabiliriz; bu, istenirse, örneğin çok sık bir değerle yaklaşık olarak tahmin edilebilir.

Kesin olarak artan bir fonksiyonun ve bir tercih ilişkisini temsil eden bir fayda fonksiyonunun üst üste bindirilmesinin de bu tercih ilişkisini temsil eden bir fayda fonksiyonu olduğunu gösterin. Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi böyle bir dönüşüm olarak hareket edebilir?

(2) bağıntılarından ilki, monoton olarak azalmayan mutlak sürekli fonksiyonlar ailesine ait her bir F(x) fonksiyonunun bir ve sadece bir sürekli w(j) fonksiyonu ile ilişkilendirildiği kuralın bir kaydından başka bir şey değildir. . Bu kural doğrusaldır, yani. süperpozisyon ilkesi onun için doğrudur

Kanıt. F eşleme sürekli ise, М0 fonksiyonu sürekli fonksiyonların bir süperpozisyonu olarak süreklidir. İfadenin ikinci bölümünü kanıtlamak için işlevi göz önünde bulundurun.

Karmaşık e fonksiyonları (süperpozisyon)

İşlevsel dönüşümler yöntemi aynı zamanda buluşsal bir yaklaşımın kullanımını da içerir. Örneğin, B ve C operatörleri olarak logaritmik dönüşümlerin kullanılması, tanımlanabilir modeller oluşturmak için bilgi kriterlerine ve bilgi teorisinde güçlü bir aracın kullanılmasına yol açar. Operatör В bir fonksiyonla çarpma operatörlerinin bir süperpozisyonu olsun, (.) Ve bir fonksiyon К0 () ile bir kaydırma, operatör С bir operatördür

Burada, genel anlamda, bir dizi varyasyon problemini (1) - (3) çözmenin sonuçları sunulacaktır. Bunlar, yöntemin teknolojisinin yeni şekillenmeye başladığı ve test edildiği 1962-1963 yıllarında sıralı doğrusallaştırma yöntemiyle (19-21) çözüldü. Bu nedenle, sadece bazı ayrıntılar üzerinde duracağız. Her şeyden önce, C ve C2 işlevlerinin, tabloda belirtilenler de dahil olmak üzere yardımcı işlevlerin bir süperpozisyonu olan oldukça karmaşık ifadelerle belirtildiğini not ediyoruz. Bu nedenle, birleşik sistemi çözerken φ = -fx tabloda belirtilen işlevleri kullanarak. Genellikle, bu tür tablolar, bağımsız bir argüman aralığındaki bir dizi düğüm için az sayıda değer içerir ve bunlar arasında, yanlışlık nedeniyle daha doğru enterpolasyon yöntemlerinin kullanılması doğrulanmadığından, işlev doğrusal olarak enterpole edilir. tablo değerlerinin kendisi (kural olarak, tablolar deneysel nitelikteki işlevsel bağımlılıkları belirtir). Bununla birlikte, amaçlarımız için f (x, u) türevlenebilir fonksiyonlara ihtiyacımız var, bu yüzden tablo tarafından verilen bir fonksiyonu tamamlamak için pürüzsüz yöntemleri tercih etmeliyiz (örneğin, spline kullanarak).

Şimdi (EVET ve (q, frekans niceleyicilerinin bazı değerlerine karşılık gelen keyfi fonksiyonlar olsun. Şekil 3.23, bu fonksiyonlara karşılık gelen iki tek kamburlu eğriyi gösterir. Bunların üst üste bindirilmesinin sonucu, kesikli bir çizgi ile gösterilen iki kamburlu bir eğridir. Anlamı nedir? Örneğin, (EVET nadirse ve (q - sık sık,

F'yi belirlemek için bu yöntemin avantajı, monotonik dönüşümlerle üyelik fonksiyonunun biçiminin önemli ölçüde değişmemesidir. Tek modluluğu veya monotonluğu korunur ve yeni fonksiyon formundan (2.16) geçiş yamuk bir şekle sahiptir, daha sonra doğrusal süperpozisyon (2.15) ayrıca yamuk bulanık bir sayıdır (segment hesaplama kuralı kullanılarak kolayca kanıtlanır). Ve üyelik fonksiyonlarına sahip işlemleri köşeleri olan işlemlere indirgemek mümkündür. Yamuk sayısını (2.16) (ab a2, az, a4) olarak belirtirsek, burada a, yamuğun köşelerinin apsislerine karşılık gelir, o zaman

Fonksiyon, kapsam ve değer kümesinin tanımı. Fonksiyon ataması ile ilgili tanımlar. Karmaşık, sayısal, gerçek, monoton ve çok değerli bir işlevin tanımları. Sınırlı fonksiyonlar için maksimum, minimum, üst ve alt sınırların tanımları.

İçerik

İşlev y = f (x) yasaya (kural, eşleme) denir, buna göre, X kümesinin her bir x öğesi, Y kümesinin bir ve yalnızca bir y öğesiyle ilişkilidir.

X kümesi denir fonksiyon kapsamı.
y öğeleri kümesi ∈ Y X kümesinde ön görüntüleri olana denir fonksiyon değerleri seti(veya Aralık).

İhtisas fonksiyonlar bazen denir birçok tanım veya birçok görev fonksiyonlar.

eleman x ∈ X arandı fonksiyon argümanı veya bağımsız değişken.
y öğesi ∈ Y arandı fonksiyon değeri veya bağımlı değişken.

f eşlemesinin kendisine denir fonksiyon karakteristiği.

f karakteristiği, iki öğe ve tanım kümesinden eşit değerlere sahipse:, o zaman özelliğine sahiptir.

Karakteristik sembolü, fonksiyon değeri elemanı sembolü ile aynı olabilir. Yani, şöyle yazabilirsiniz:. Unutulmamalıdır ki y, fonksiyonun değer kümesinden bir elemandır ve bu, y elemanının x elemanı ile ilişkilendirildiği kuraldır.

Bir fonksiyonun kendisini hesaplama süreci üç adımdan oluşur. İlk adımda X kümesinden bir x elemanı seçiyoruz. Ayrıca, kural kullanılarak, Y kümesinin bir elemanı x elemanına atanır. Üçüncü adımda, bu eleman y değişkenine atanır.

Fonksiyonun özel değeri bağımsız değişkeninin seçilen (özel) değerindeki işlevin değerini çağırın.

f fonksiyonunun grafiğiçiftler kümesi denir.

karmaşık fonksiyonlar

Tanım
Fonksiyonlar ve verilmiş olsun. Ayrıca, f fonksiyonunun tanım alanı, g fonksiyonunun bir dizi değerini içerir. O halde g fonksiyonunun tanım kümesindeki her t elemanı bir x elemanına ve bu x y'ye karşılık gelir. Bu yazışma denir karmaşık fonksiyon: .

Karmaşık bir fonksiyon da denir fonksiyonların bileşimi veya süperpozisyonu ve bazen şöyle gösterilir:.

Matematiksel analizde, bir fonksiyonun karakteristiği bir harf veya sembol ile gösteriliyorsa, aynı yazışmayı oluşturduğu genel olarak kabul edilir. Bununla birlikte, diğer disiplinlerde, bir özelliği olan, ancak farklı argümanları olan eşlemelerin farklı kabul edildiğine göre başka bir gösterim yolu vardır. Yani, eşlemeler ve farklı olarak kabul edilir. Fizikten bir örnek verelim. Momentumun koordinata bağımlılığını düşündüğümüzü varsayalım. Ve koordinatın zamana bağımlılığını alalım. O halde momentumun zamana bağımlılığı karmaşık bir fonksiyondur. Ancak kısa olması için aşağıdaki gibi belirlenmiştir: Bu yaklaşımla ve farklı işlevler vardır. Aynı argüman değerleri verildiğinde, farklı değerler verebilirler. Matematikte bu atama kabul edilmez. İndirgeme gerekiyorsa, yeni bir karakteristik girilmelidir. Örneğin . Sonra açıkça görülüyor ki ve farklı işlevler.

Geçerli işlevler

Fonksiyonun alanı ve değerlerinin kümesi herhangi bir küme olabilir.
Örneğin, sayısal diziler, tanım alanı doğal sayılar kümesi olan ve değerler kümesi gerçek veya karmaşık sayılar olan fonksiyonlardır.
Çapraz çarpım da bir fonksiyondur, çünkü iki vektör için ve sadece bir vektör değeri vardır. Burada tanım alanı, tüm olası vektör çiftlerinin kümesidir. Bir değerler kümesi, tüm vektörlerin kümesidir.
Boole ifadesi bir fonksiyondur. Kapsamı, gerçek sayılar kümesidir (veya "0" öğesiyle karşılaştırma işleminin tanımlandığı herhangi bir küme). Değer kümesi iki öğeden oluşur - "doğru" ve "yanlış".

Sayısal fonksiyonlar matematiksel analizde önemli bir rol oynar.

sayısal işlev değerleri gerçek veya karmaşık sayılar olan bir fonksiyondur.

Gerçek veya gerçek işlev değerleri reel sayı olan bir fonksiyondur.

maksimum ve minimum

Gerçek sayıların bir karşılaştırma operatörü vardır. Bu nedenle, gerçek fonksiyonun değer kümesi sınırlandırılabilir ve en büyük ve en küçük değerlere sahip olabilir.

Gerçek fonksiyon denir yukarıda sınırlı (aşağıda) aşağıdaki eşitsizliğin tümü için geçerli olacak şekilde bir M sayısı varsa:
.

Sayısal işlev denir sınırlı herkes için öyle bir M sayısı varsa:
.

Maksimum M (minimum m) f fonksiyonu, bazı kümelerde X'e, argümanının bir değeri için fonksiyonun değeri denir;
.

Üst kenar veya kesin üst sınır Gerçek, üst sınırlanmış bir işlev, değerlerinin aralığını yukarıdan sınırlayan sayıların en küçüğüdür. Yani, böyle bir sayıdır s, herkes için ve herkes için böyle bir argüman vardır, işlevin değeri s ′:'yi aşar.
Bir fonksiyonun üst sınırı aşağıdaki gibi gösterilebilir:
.

Yukarıdan sınırsız fonksiyonun üst sınırı

Alt kenar veya tam alt sınır Gerçek, alt sınırlı bir işleve, değerlerinin aralığını aşağıdan sınırlayan sayıların en büyüğü denir. Yani, böyle bir i sayısıdır, bunun için, herkes için ve herkes için, işlev değeri i'den küçük olan böyle bir argüman vardır ′:.
Bir fonksiyonun alt sınırı aşağıdaki gibi gösterilebilir:
.

Aşağıdan sınırsız bir fonksiyonun alt sınırı sonsuzdaki noktadır.

Bu nedenle, boş olmayan bir X kümesindeki herhangi bir gerçek fonksiyonun üst ve alt sınırları vardır. Ancak her fonksiyonun bir maksimumu ve bir minimumu yoktur.

Örnek olarak, açık bir aralıkta ayarlanmış bir işlevi düşünün.
Bu aralıkta yukarıdan değerle sınırlıdır. 1 ve altında - değer 0 :
hepsi için .
Bu işlevin üst ve alt kenarları vardır:
.
Ama maksimumu ve minimumu yoktur.

Aynı fonksiyonu bir doğru parçası üzerinde düşünürsek, o zaman bu kümede alt ve üst sınırlanır, üst ve alt kenarları vardır ve maksimum ve minimum değerleri vardır:
hepsi için ;
;
.

monoton fonksiyonlar

Artan ve azalan fonksiyonların tanımları
Fonksiyonun bir X reel sayı kümesinde tanımlanmasına izin verin. fonksiyon denir kesinlikle artıyor (kesinlikle azalıyor)
.
fonksiyon denir azalmayan (artmayan) herkes için eşitsizlik geçerliyse:
.

Monoton bir fonksiyonun tanımı
fonksiyon denir monoton azalan veya artmayan ise.

çok değerli fonksiyonlar

Çok değerli bir fonksiyon örneği. Dalları farklı renklerle işaretlenmiştir. Her dal bir fonksiyondur.

Fonksiyonun tanımından aşağıdaki gibi, tanım alanından her bir x elemanı, değerler kümesinden yalnızca bir elemana atanır. Ancak, x öğesinin birkaç veya sonsuz sayıda görüntüye sahip olduğu böyle eşlemeler vardır.

Örnek olarak, işlevi düşünün ark sinüs:. fonksiyonun tersidir sinüs ve denklemden belirlenir:
(1) .
Aralığa ait bağımsız değişken x'in belirli bir değeri için, sonsuz sayıda y değeri bu denklemi sağlar (şekle bakın).

Denklem (1)'in çözümlerine bir kısıtlama getirelim. İzin vermek
(2) .
Bu koşul altında, denklem (1)'in yalnızca bir çözümü verilen bir değere karşılık gelir. Yani, (2) koşuluna bağlı olarak (1) denklemi ile tanımlanan yazışma bir fonksiyondur.

Koşul (2) yerine, formun başka herhangi bir koşulunu uygulayabilirsiniz:
(2.n) ,
burada n bir tamsayıdır. Sonuç olarak, n'nin her değeri için diğerlerinden farklı olan kendi fonksiyonumuzu elde ederiz. Birçok benzer işlev çok değerli fonksiyon... Ve (2.n) koşulunda (1)'den belirlenen fonksiyon şudur: çok değerli fonksiyonun dalı.

Bu, belirli bir kümede tanımlanmış bir işlevler topluluğudur.

Çok değerli işlev dalıçok değerli işleve dahil edilen işlevlerden biridir.

benzersiz işlev bir fonksiyondur.

Referanslar:
O.I. iblisler. Matematiksel analiz üzerine dersler. Bölüm 1. Moskova, 2004.
L.D. Kudryavtsev. Matematiksel analiz kursu. Cilt 1.Moskova, 2003.
SANTİMETRE. Nikolski. Matematiksel analiz kursu. Cilt 1.Moskova, 1983.

Bir f (x 1, x 2, ..., x n) fonksiyonu ve fonksiyonlar olsun

o zaman fonksiyon çağrılacak süperpozisyon işlevi f (x 1, x 2, ..., x n) ve fonksiyonlar .

Başka bir deyişle: F = (f j) olsun - mantık cebirinin fonksiyonları kümesi, mutlaka sonlu değil. Bir f fonksiyonuna, F kümesindeki fonksiyonların üst üste binmesi veya bir fonksiyondan bir veya daha fazla değişkeninin F kümesindeki fonksiyonlarla değiştirilmesiyle elde ediliyorsa, F üzerindeki bir fonksiyon denir.

Örnek.

Bir dizi fonksiyon verilsin

F = (f 1 (x 1), f 2 (x 1, x 2, x 3), f 3 (x 1, x 2)).

O zaman F'den gelen fonksiyonların süperpozisyonları, örneğin fonksiyonlar olacaktır:

j 1 (x 2, x 3) = f 3 (f 1 (x 2), f 1 (x 3));

j 2 (x 1, x 2) = f 2 (x 1, f 1 (x 1), f 3 (x 1, x 2)).

Mükemmel bir DNF, kümedeki fonksiyonların bir üst üste binmesidir.

. ð

Tanım.

Fonksiyonlar sistemi denir tamamlayınız eğer süperpozisyon ve değişkenlerin değişimi işlemleri kullanılarak, bu sistemin fonksiyonlarından mantık cebirinin herhangi bir fonksiyonu elde edilebilir. ð

Halihazırda bir dizi eksiksiz sistemimiz var:

;

Çünkü ;

(x + y, xy, 1). ð

Sistemin tamamlandığı koşullar nasıl belirlenir. Bütünlük kavramıyla yakından ilgili olan, kapalı sınıf kavramıdır.

Kapalı sınıflar.

Boole fonksiyonlarının (sınıf) K kümesine denir. kapalı sınıf süperpozisyon ve değişken değiştirme işlemleriyle K'den elde edilen tüm fonksiyonları içeriyorsa ve başka bir fonksiyon içermiyorsa.

K, P 2'den gelen fonksiyonların bir alt kümesi olsun. K'nin kapanışı, K kümesinden fonksiyonların değişkenlerinin üst üste bindirilmesi ve değiştirilmesi işlemleriyle temsil edilebilen tüm Boole fonksiyonlarının kümesidir. K kümesinin kapanışı [K] ile gösterilir.

Kapanış açısından, başka kapalılık ve tamlık tanımları verilebilir (orijinallerine eşdeğer):

K = [K] ise K kapalı bir sınıftır;

[K] = Р 2 ise K tam bir sistemdir.

Örnekler

* (0), (1) - kapalı sınıflar.

* Bir değişkenin birçok işlevi - kapalı bir sınıf.

* - kapalı sınıf.

* (1, x + y) sınıfı kapalı bir sınıf değildir.

En önemli kapalı sınıflardan bazılarını ele alalım.

1.T 0- 0'ı koruyan bir işlev sınıfı.

0 sabitini koruyan tüm Boole fonksiyonları f (x 1, x 2, ..., x n) sınıfını T 0 ile gösteririz, yani f (0, ..., 0) = 0 olan fonksiyonlar.

T 0'a ait fonksiyonlar ve bu sınıfa ait olmayan fonksiyonlar olduğunu görmek kolaydır:

0, x, xy, xÚy, x + y Î T 0;

Ï T 0 gerçeğinden, örneğin, ayrılma ve bağlaç terimleriyle ifade edilemeyeceği sonucu çıkar.

İlk satırdaki T 0 sınıfından bir f fonksiyonu için tablo 0 değerini içerdiğinden, o zaman T 0'dan gelen fonksiyonlar için isteğe bağlı değerler yalnızca 2 n - 1 değişken değer kümesinde belirtilebilir, yani

0'ı koruyan ve n değişkene bağlı işlevler kümesi nerede.

T 0'ın kapalı bir sınıf olduğunu gösterelim. xÎT 0 olduğundan, kapalılığı kanıtlamak için süperpozisyon işlemine göre kapalı olduğunu göstermek yeterlidir, çünkü değişkenlerin değiştirilmesi işlemi x fonksiyonu ile süperpozisyonun özel bir durumudur.

İzin vermek . O zaman bunu göstermen yeterli. İkincisi eşitlikler zincirinden gelir

2.T 1- 1'i koruyan bir işlev sınıfı.

T 1, 1 sabitini koruyan f (x 1, x 2, ..., x n) tüm Boole fonksiyonlarının sınıfını, yani f (1, ..., 1) = 1 olan fonksiyonları göstersin.

T 1'e ait fonksiyonlar ve bu sınıfa ait olmayan fonksiyonlar olduğunu görmek kolaydır:

1, x, xy, xÚy, xºy Î T 1;

0,, x + y Ï T 1.

x + y Ï T 0 olduğu gerçeğinden, örneğin, x + y'nin ayrılma ve bağlaç terimleriyle ifade edilemeyeceği sonucu çıkar.

T 0 sınıfıyla ilgili sonuçlar önemsiz bir şekilde T 1 sınıfına aktarılır. Böylece, elimizde:

T 1 - kapalı sınıf;

3. L- bir doğrusal fonksiyon sınıfı.

L, Boole cebri f'nin (x 1, x 2, ..., x n) doğrusal olan tüm fonksiyonlarının sınıfını göstersin:

L'ye ait fonksiyonlar ve bu sınıfa ait olmayan fonksiyonlar olduğunu görmek kolaydır:

0, 1, x, x + y, x 1 º x 2 = x 1 + x 2 + 1, = x + 1 Î L;

Örneğin, xÚy Ï L olduğunu ispatlayalım.

Tam tersini varsayalım. xÚy için tanımsız katsayılı doğrusal bir fonksiyon şeklinde bir ifade arayacağız:

x = y = 0 için a = 0'a sahibiz,

x = 1, y = 0 için b = 1'imiz var,

x = 0, y = 1 için g = 1'imiz var,

ama sonra x = 1, y = 1 için 1Ú 1 ¹ 1 + 1 elde ederiz, bu da xÚy fonksiyonunun doğrusal olmadığını kanıtlar.

Doğrusal fonksiyonlar sınıfının kapalılığının kanıtı oldukça açıktır.

Doğrusal bir fonksiyon, a 0, ..., an katsayısının n + 1 değerleri belirtilerek benzersiz bir şekilde belirlendiğinden, n değişkene bağlı olarak fonksiyonların L (n) sınıfındaki doğrusal fonksiyonların sayısı eşittir 2 n + 1.

4.S- bir öz-dual fonksiyonlar sınıfı.

Kendinden ikili işlevler sınıfının tanımı, sözde ikilik ilkesinin ve ikili işlevlerin kullanımına dayanmaktadır.

Eşitlik ile tanımlanan fonksiyona denir. işlev için ikili .

Açıkçası, ikili fonksiyon tablosu (değişken değer kümelerinin standart sıralaması ile), fonksiyon değerlerinin sütununu ters çevirerek (yani, 0'ı 1 ile ve 1'i 0 ile değiştirerek) orijinal fonksiyon tablosundan elde edilir. ve tersine çevirerek.

bunu görmek kolay

(x 1 Ú x 2) * = x 1 Ù x 2,

(x 1 Ù x 2) * = x 1 Ú x 2.

Tanımdan (f *) * = f, yani f fonksiyonunun f *'ye dual olduğu çıkar.

Fonksiyonun diğer fonksiyonlar cinsinden süperpozisyon kullanılarak ifade edilmesine izin verin. Soru şu ki, uygulayan bir formül nasıl oluşturulur? Kümelerde meydana gelen tüm farklı değişken sembollerini = (x 1, ..., x n) ile gösteririz.

Teorem 2.6. j fonksiyonu f, f 1, f 2, ..., f m fonksiyonlarının bir süperpozisyonu olarak elde edilirse, yani

bir süperpozisyona ikili bir fonksiyon, ikili fonksiyonların bir süperpozisyonudur.

Kanıt.

j * (x 1, ..., x n) = `f (` x 1, ..., `x n) =

Teorem ispatlandı. ð

Dualite ilkesi teoremden çıkar: eğer bir formül A bir f (x 1, ..., xn) fonksiyonunu gerçekleştirirse, o zaman A'dan elde edilen formül, içerdiği fonksiyonların dual fonksiyonlarıyla değiştirilmesiyle dual fonksiyonu gerçekleştirir f * (x 1, ... ,xn).

P 2'den tüm self-dual fonksiyonların sınıfını S ile gösteriyoruz:

S = (f | f * = f)

S'ye ait fonksiyonlar ve bu sınıfa ait olmayan fonksiyonlar olduğunu görmek kolaydır:

0, 1, xy, xÚy Ï S.

Kendinden ikili işlevin daha az önemsiz bir örneği, işlevdir.

h (x, y, z) = xy Ú xz Ú yz;

süperpozisyona ikili fonksiyon üzerindeki teoremi kullanarak,

h * (x, y, z) = (x Ú y) Ù (x Ú z) Ù (y Ù z) = x y Ú x z Ú y z; h = h *; onun.

Kendinden ikili bir işlev için, kimlik

setlerde öyle ve zıt diyeceğimiz self-dual fonksiyonu zıt anlamlar alır. Self-dual fonksiyonun, standart tablonun satırlarının ilk yarısındaki değerleri tarafından tamamen belirlendiğini takip eder. Bu nedenle, n değişkene bağlı fonksiyonların S (n) sınıfındaki self-dual fonksiyonların sayısı:

Şimdi S sınıfının kapalı olduğunu ispatlayalım. xÎS olduğundan, kapalılığı kanıtlamak için, değişkenlerin değiştirilmesi işlemi, x fonksiyonu ile süperpozisyonun özel bir durumu olduğundan, süperpozisyon işlemine göre kapalı olduğunu göstermek yeterlidir. İzin vermek . O zaman bunu göstermen yeterli. İkincisi doğrudan kurulur:

5.M- bir monoton fonksiyon sınıfı.

Mantık cebirinin monoton fonksiyonu kavramını tanımlamadan önce, değişken kümeleri üzerinde bir sıralama ilişkisini tanıtmak gerekir.

Kümenin kümeden önce geldiği söylenir (veya "daha fazla değil" veya "daha az veya eşittir") ve tüm i = 1, ..., n için a i £ b i ise gösterimini kullanın. Eğer ve ise, o zaman kümenin kümeden kesinlikle önce geldiğini söyleriz (veya kümeden "kesinlikle daha az" veya "daha az") ve gösterimi kullanırız. Kümeler ve kümeleri karşılaştırılabilir olarak adlandırılır. Örneğin (0, 1, 0, 1) £ (1, 1, 0, 1), ancak (0, 1, 1, 0) ve (1, 0, 1, 0) kümeleri karşılaştırılamaz. Bu nedenle, £ ilişkisi (genellikle öncelik ilişkisi olarak adlandırılır) В n kümesinde kısmi bir düzendir. Aşağıda, kısmen sıralı B 2, B 3 ve B 4 kümelerinin diyagramları verilmiştir.

Tanıtılan kısmi mertebe bağıntısı, dersimizin kapsamını aşan son derece önemli bir kavramdır.

Artık monoton fonksiyon kavramını tanımlayabilecek bir konumdayız.

Mantık cebir işlevi denir monoton eğer herhangi iki küme için ve eşitsizlik ... Boole cebrinin tüm monoton fonksiyonlarının seti M ile gösterilir ve n değişkene bağlı tüm monoton fonksiyonların seti M (n) ile gösterilir.

M'ye ait fonksiyonlar ve bu sınıfa ait olmayan fonksiyonlar olduğunu görmek kolaydır:

0, 1, x, xy, xÚy Î M;

x + y, x®y, xºy Ï M.

M monoton fonksiyonların sınıfının kapalı bir sınıf olduğunu gösterelim. xÎМ olduğundan, kapalılığı doğrulamak için, değişkenlerin değiştirilmesi işlemi x fonksiyonu ile süperpozisyonun özel bir durumu olduğundan, süperpozisyon işlemine göre kapalı olduğunu göstermek yeterlidir.

İzin vermek . O zaman bunu göstermen yeterli.

Sırasıyla değişken kümeleri olsun, j, f 1, ..., f m işlevleri ve j işlevinin değişkenler kümesi bunlardan oluşur ve yalnızca f 1, ..., f m işlevlerinde meydana gelen değişkenlerden oluşur. İki değişken değer kümesi olsun ve olsun. Bu kümeler kümeleri tanımlar değişken değerler öyle ki ... f 1, ..., f m fonksiyonlarından beri

ve f fonksiyonunun monotonluğu nedeniyle

Bundan alıyoruz

n değişkene bağlı monoton fonksiyonların sayısı tam olarak bilinmemektedir. Alt sınır kolayca elde edilebilir:

nerede - n / 2'nin tamsayı kısmıdır.

Yukarıdan çok yüksek bir tahmin almak da aynı derecede kolaydır:

Bu tahminlerin iyileştirilmesi, modern araştırmanın önemli ve ilginç bir görevidir.

tamlık kriteri

Şimdi, bir fonksiyonlar sisteminin eksiksizliği için gerekli ve yeterli koşulları belirleyen bir tamlık kriteri (Post teoremi) formüle etme ve kanıtlama konumundayız. Bütünlük kriterinin formülasyonunu ve kanıtını, bağımsız çıkarların birkaç gerekli lemması ile önceliyoruz.

Önem 2.7. Kendinden-dual olmayan fonksiyonda Lemma.

f (x 1, ..., x n) Ï S ise, x ve `x fonksiyonlarının yerine konarak ondan bir sabit elde edilebilir.

Kanıt... fÏS'den beri, değişkenlerin bir dizi değeri vardır.
= (a 1, ..., bir n) öyle ki

f (`a 1, ...,` bir n) = f (a 1, ..., bir n)

f fonksiyonundaki argümanları değiştirelim:

x i ile değiştirilir ,

yani, işlevi koyar ve düşünürüz

Böylece bir sabit elde etmiş olduk (ancak hangi sabit olduğu bilinmiyor: 0 veya 1). ð

Önlem 2.8. Monotonik olmayan bir fonksiyon üzerinde lemma.

f (x 1, ..., xn) işlevi monoton değilse, f (x 1, ..., xn) Ï M ise, değişkenleri değiştirerek ve 0 sabitlerini değiştirerek ondan olumsuzlama elde etmek mümkündür. ve 1.

Kanıt... f (x 1, ..., x n) Ï M olduğundan, değişkenlerinin kümeleri ve değerleri vardır, , ayrıca, i'nin en az bir değeri için, a i< b i . Выполним следующую замену переменных функции f:

x i ile değiştirilir

Böyle bir ikameden sonra, sahip olduğumuz bir j(x) değişkeninin fonksiyonunu elde ederiz:

Bu, j (x) = `x olduğu anlamına gelir. Lemma kanıtlanmıştır. ð

Önlem 2.9. Doğrusal olmayan bir fonksiyon üzerinde lemma.

Eğer f (x 1, ..., x n) Ï L ise, o zaman 0, 1 sabitlerini değiştirerek ve `x fonksiyonunu kullanarak x 1 & x 2 fonksiyonunu elde edebiliriz.

Kanıt... f'yi bir DNF (örneğin, mükemmel bir DNF) biçiminde temsil ediyoruz ve ilişkileri kullanıyoruz:

Örnek... Bu dönüşümlerin uygulanmasına iki örnek verelim.

Böylece, ayrılan normal formda yazılan bir fonksiyon, belirtilen bağıntıları uyguladıktan, parantezleri açtıktan ve basit cebirsel dönüşümlerden sonra, bir polinom mod 2'ye (Zhegalkin polinomu) dönüşür:

burada A 0 bir sabittir ve A i, x 1, ..., x n, i = 1, 2, ..., r sayısından bazı değişkenlerin birleşimidir.

Her bir A i bağlacı yalnızca bir değişkenden oluşuyorsa, o zaman f, lemmanın koşuluyla çelişen doğrusal bir fonksiyondur.

Sonuç olarak, f fonksiyonu için Zhegalkin polinomu, en az iki faktör içeren bir terim içerir. Genelliği kaybetmeden, bu faktörler arasında x 1 ve x 2 değişkenlerinin olduğunu varsayabiliriz. Daha sonra polinom aşağıdaki gibi dönüştürülebilir:

f = x 1 x 2 f 1 (x 3, ..., xn) + x 1 f 2 (x 3, ..., xn) + x 2 f 3 (x 3, ..., xn) + f 4 (x 3, ..., xn),

burada f 1 (x 3, ..., x n) ¹ 0 (aksi halde polinom, x 1 x 2 bağlacını içeren bağlacı içermez).

(a 3, ..., a n) f 1 (a 3, ..., a n) = 1 olacak şekilde olsun.

j (x 1, x 2) = f (x 1, x 2, a 3, ..., bir n) = x 1 x 2 + ax 1 + bx 2 + g,

a, b, g, 0 veya 1'e eşit sabitlerdir.

Elimizdeki olumsuzlama işlemini kullanalım ve j (x 1, x 2)'den elde edilen y (x 1, x 2) fonksiyonunu aşağıdaki gibi düşünelim:

y (x 1, x 2) = j (x 1 + b, x 2 + a) + ab + g.

bariz ki

y (x 1, x 2) = (x 1 + b) (x 2 + a) + a (x 1 + b) + b (x 2 + a) + g + ab + g = x 1 x 2.

Buradan,

y (x 1, x 2) = x 1 x 2.

Lemma tamamen kanıtlanmıştır. ð

Önerme 2.10. Bütünlük kriterinin ana lemması.

Boole işlevlerinin F = (f) sınıfı, birliği korumayan, 0'ı korumayan, kendinden çift olmayan ve monoton olmayan işlevler içeriyorsa:

daha sonra bu sistemin işlevlerinden, süperpozisyon ve değişkenlerin değişimi işlemleriyle 0, 1 sabitlerini ve işlevi elde edebiliriz.

Kanıt... Bir fonksiyon düşünelim. Sonra

Bundan sonra 1) ve 2) olarak anılacak olan müteakip değerlendirmelerin iki olası durumu vardır.

1). Birim setindeki fonksiyon 0 değerini alır:

Fonksiyonun tüm değişkenlerini x değişkeniyle değiştirin. Daha sonra fonksiyon

Çünkü

ve .

Kendinden ikili olmayan bir işlev alın. Fonksiyonu zaten elde ettiğimiz için, öz-dual olmayan bir fonksiyon üzerindeki lemma ile (Lemma 2.7. ) sizden bir sabit alabilirsiniz. İkinci sabit, fonksiyon kullanılarak birinciden elde edilebilir. Böylece, ilk düşünülen durumda, sabitler ve olumsuzlama elde edilir. ... İkinci durum ve onunla birlikte bütünlük kriterinin ana lemması tamamen kanıtlanmıştır. ð

Teorem 2.11. Mantık cebirinin fonksiyon sistemlerinin eksiksizliği için bir kriter (Post teoremi).

F = (fi) fonksiyonları sisteminin eksiksiz olması için, T 0, T 1, L, S, M beş kapalı sınıfından herhangi birinde, yani her biri için tamamen içermemesi gerekli ve yeterlidir. F'de T 0 , T 1, L, S, M sınıfları bu sınıfa ait olmayan en az bir fonksiyon var.

İhtiyaç... F tam bir sistem olsun. F'nin belirtilen sınıflardan birinde yer aldığını varsayalım; onu K ile gösteriyoruz, yani, F Í K. K, tam bir sistem olmayan kapalı bir sınıf olduğundan, son dahil etme imkansızdır.

yeterlilik... F = (f i) fonksiyonlarının sistemi, T 0, T 1, L, S, M beş kapalı sınıfının hiçbirinde tamamen yer almasın. F fonksiyonlarını alın:

Daha sonra ana lemmaya dayalı olarak (Lemma 2.10 ) 0'ı korumayan bir fonksiyondan, 1'i korumayan bir fonksiyondan, kendi kendine çift olmayan ve monoton olmayan bir fonksiyondan, 0, 1 sabitlerini ve olumsuzlama fonksiyonunu elde edebiliriz:

Doğrusal olmayan fonksiyon lemmasına dayalı olarak (lemma 2.9 ) sabitlerden, olumsuzlamadan ve doğrusal olmayan işlevden bağlacı alabilirsiniz:

fonksiyon sistemi - mantığın cebirinin herhangi bir işlevini mükemmel bir ayırıcı normal form biçiminde temsil etme olasılığına ilişkin teoreme göre eksiksiz bir sistem (bir ayrılmanın formda bağlaç ve olumsuzlama yoluyla ifade edilebileceğine dikkat edin) ).

Teorem tamamen kanıtlanmıştır. ð

Örnekler

1. f (x, y) = x | y fonksiyonunun tam bir sistem oluşturduğunu gösterelim. x½y fonksiyonunun bir değerler tablosu oluşturalım:

x	y	x \| y

f (0,0) = 1, dolayısıyla x | yÏT 0.

f (1,1) = 0, dolayısıyla x | yÏT 1.

f (0,0) = 1, f (1,1) = 0, dolayısıyla x | yÏM.

f (0,1) = f (1,0) = 1, - zıt kümelerde x | y aynı değerleri alır, dolayısıyla x | yÏS.

Son olarak, fonksiyonun doğrusal olmaması ne anlama geliyor?
x | y.

Tamlık kriterine göre f (x, y) = x | y tam bir sistem oluşturur. ð

2. Fonksiyonlar sisteminin olduğunu gösterelim. tam bir sistem oluşturur.

Yok canım, .

Böylece, sistemimizin işlevleri arasında şunları bulduk: 0'ı korumayan bir işlev, 1'i korumayan bir işlev, kendi kendine çift olmayan, monoton olmayan ve doğrusal olmayan işlevler. Bütünlük kriterine dayanarak, işlevler sisteminin tam bir sistem oluşturur. ð

Böylece, tamlık kriterinin, mantık cebirinin fonksiyon sistemlerinin eksiksizliğini açıklığa kavuşturmak için yapıcı ve etkili bir yol sağladığından emin olduk.

Şimdi tamlık kriterinin üç sonucunu formüle edelim.

sonuç 1... Tüm Boolean işlevleri (K¹P 2) kümesiyle çakışmayan herhangi bir kapalı K sınıfı Boolean işlevleri, yapılandırılmış kapalı sınıflardan en az birinde bulunur.

Tanım. Kapalı sınıf K denir önceden dolu K eksikse ve herhangi bir fÏ K fonksiyonu için K È (f) sınıfı tamdır.

Tanımdan, ön tamamlama sınıfının kapalı olduğu anlaşılmaktadır.

Sonuç 2. Mantık cebirinde, yalnızca beş önceden tamamlanmış sınıf vardır, yani: T 0, T 1, L, M, S.

Doğal sonucu kanıtlamak için, yalnızca bu sınıflardan hiçbirinin diğerinde yer almadığını kontrol etmek gerekir; bu, örneğin, işlevlerin farklı sınıflara ait olduğuna ilişkin aşağıdaki tabloyla onaylanır:

0	1	L	S	m
+	-	+	-	+
-	+	+	-	+
-	-	+	+	-

Sonuç 3. Herhangi bir tam işlev sisteminden, en fazla dört işlev içeren eksiksiz bir alt sistem ayırt edilebilir.

Tamlık kriterinin kanıtından, beşten fazla fonksiyonun ayırt edilemeyeceği sonucu çıkar. Ana lemmanın ispatından (lemma 2.10 ) bunu takip eder ya kendinden çift değildir ya da birim koruyucu değildir ve monoton değildir. Bu nedenle, dörtten fazla fonksiyona ihtiyaç yoktur.