İki değişkenli bir fonksiyonun limiti.
Çözüm kavramı ve örnekleri

Üçüncü ilgili derse hoş geldiniz FNP, tüm korkularınızın nihayet gerçekleşmeye başladığı yer =) Pek çok kişinin şüphelendiği gibi, limit kavramı keyfi sayıda argümanın bir fonksiyonuna kadar uzanır, bugün çözmemiz gereken şey budur. Ancak, iyimser haberler var. Sınırda bir dereceye kadar soyut olduğu ve pratikte karşılık gelen görevlerin son derece nadir olduğu gerçeğinden oluşur. Bu bağlamda, dikkatimiz iki değişkenin fonksiyonunun sınırlarına veya sıklıkla yazdığımız gibi:.

Fikirlerin, ilkelerin ve yöntemlerin çoğu, "normal" sınırlar teorisi ve pratiğine benzer, bu da şu anlama gelir: limitleri bulabilmek ve en önemlisi, ne olduğunu ANLAYIN tek değişkenli fonksiyon limiti... Ve kader sizi bu sayfaya getirir getirmez, büyük olasılıkla zaten çok şey biliyorsunuzdur. Ve değilse - sorun değil, tüm boşluklar gerçekten birkaç saat hatta dakikalar içinde doldurulabilir.

Bu dersin olayları bizim üç boyutlu dünyamızda ortaya çıkıyor ve bu nedenle onların içinde aktif bir rol almamak büyük bir ihmal olacaktır. İlk önce, iyi bilinenleri oluşturalım uzayda kartezyen koordinat sistemi... Kalkıp odanın içinde biraz dolaşalım... ... üzerinde yürüdüğünüz zemin bir uçak. Bir yere bir eksen koyalım ... peki, örneğin herhangi bir köşeye, böylece yoluna girmez. İyi. Şimdi lütfen yukarı bakın ve orada asılı duran bir battaniye olduğunu hayal edin. o yüzey fonksiyon tarafından verilir. Yerdeki hareketimiz, anlaşılması kolay olduğu gibi, bağımsız değişkenlerdeki değişimi simüle eder ve sadece battaniyenin altında hareket edebiliriz, yani. v iki değişkenli bir fonksiyonun tanım alanları... Ama eğlence yeni başlıyor. Burnunuzun ucunun hemen üzerinde, battaniyenin üzerinde küçük bir hamamböceği sürünür, nereye giderseniz gidin oraya gider. Ona Freddie diyelim. Hareket ettirmek, karşılık gelen fonksiyon değerlerini değiştirmeyi simüle eder. (yüzeyin veya parçalarının düzleme paralel olduğu ve yüksekliğin değişmediği durumlar hariç)... Freddie isimli sevgili okuyucu, gücenmeyin, bu bilim için gereklidir.

Elimize bir bız alın ve battaniyeyi, yüksekliği ile belirttiğimiz keyfi bir noktada delin, ardından aleti kesinlikle deliğin altına zemine yapıştırıyoruz - bu bir nokta olacak. şimdi başlıyoruz sonsuz yakın belirli bir noktaya yaklaşmak ve HERHANGİ bir yörüngeye yaklaşma hakkımız var (her noktası elbette tanım alanına dahildir)... TÜM durumlarda Freddie sonsuz yakın deliğe kadar sürün ve TAM OLARAK BU YÜKSEKLİKTE, o zaman fonksiyonun şu noktada bir limiti vardır. :

Bu koşullar altında, delinmiş nokta battaniyenin kenarında bulunuyorsa, sınır hala var olacaktır - bu önemlidir. keyfi olarak küçük bir mahalle bızın uçları, fonksiyon tanımı alanından en azından bazı noktalardı. Ayrıca, durumda olduğu gibi tek değişkenli bir fonksiyonun limiti, önemli değil fonksiyonun bir noktada tanımlı olup olmadığı. Yani deliğimiz sakızla kapatılabilir. (bunu düşün iki değişkenli fonksiyon süreklidir) ve bu durumu etkilemeyecek - sınırın özünün ima ettiğini unutmayın sonsuz yakınlık, ve konuya "kesin yaklaşım" değil.

Bununla birlikte, bulutsuz yaşam, küçük kardeşinin aksine, sınırın çok daha fazla olmaması gerçeğiyle gölgelenir. Bunun nedeni, genellikle uçakta bir noktaya veya başka bir noktaya giden birçok yol olması ve her birinin Freddie'yi bir delinmeye götürmesi gerektiğidir. (isteğe bağlı olarak "sakızla kapatılmış") ve kesinlikle yüksekliğe. Ve eşit derecede tuhaf kırılmalara sahip fazlasıyla tuhaf yüzeyler var, bu da bazı noktalarda bu katı koşulun ihlaline yol açıyor.

En basit örneği düzenleyelim - elimize bir bıçak alın ve battaniyeyi delinmiş nokta kesim hattında olacak şekilde kesin. unutmayın ki sınır hala var, tek şey, bu alan "düştüğü" için kesim çizgisinin altındaki noktalara adım atma hakkımızı kaybettik. fonksiyon alanı... Şimdi, battaniyenin sol tarafını eksen boyunca dikkatlice kaldırın ve sağ tarafı tam tersine aşağı doğru hareket ettirin ve hatta yerinde bırakın. Ne değişti? Ve aşağıdakiler temelden değişti: Şimdi noktaya soldan yaklaşırsak, o zaman Freddie, bu noktaya sağdan yaklaştığımızdan daha yüksek bir yükseklikte olacaktır. Yani sınır yok.

Ve tabi ki harika sınırlar, onlarsız nerede. Her anlamda öğretici olan bir örnek düşünün:

Örnek 11

Organize ettiğimiz, acı verici bir şekilde tanıdık bir trigonometrik formül kullanıyoruz. ilk harika limitler :

Şimdi kutupsal koordinatlara geçelim:
eğer, o zaman

Görünüşe göre karar mantıklı bir sonuca varıyor ve hiçbir şey sorun yaratmıyor, ancak en sonunda, niteliğini Örnek 3'te biraz ima ettiğim ve daha sonra ayrıntılı olarak açıkladığım ciddi bir hata yapma riski var. Örnek 6. Önce bitiş, sonra yorum:

Basitçe “sonsuz” veya “artı sonsuz” yazmanın neden kötü olacağını görelim. Paydaya bakalım: çünkü o zaman kutup yarıçapı sonsuz küçük pozitif değer:. Dışında, . Bu nedenle, paydanın işareti ve tüm limit sadece kosinüs'e bağlıdır:
kutup açısı ise (2. ve 3. koordinat çeyrekleri:);
kutup açısı ise (1. ve 4. koordinat çeyrekleri :).

Geometrik olarak bu, orijine soldan yaklaşırsanız, fonksiyon tarafından tanımlanan yüzey anlamına gelir. , aşağıya doğru sonsuza uzanır:

Birkaç değişkenli bir fonksiyonun limiti kavramını vermek için kendimizi iki değişkenli bir durumla sınırlandırıyoruz. NS ve NS... Tanım olarak, fonksiyon f (x, y) noktasında bir limiti vardır ( NS 0 , NS 0) sayıya eşit A, şu şekilde gösterilir:

(daha çok yaz f (x, y)>A NS (x, y)> (NS 0 , NS 0)) noktanın bir komşuluğunda tanımlanmışsa ( NS 0 , NS 0), bu noktanın kendisinin olası istisnası ve bir sınır varsa

eğilimi ne olursa olsun ( NS 0 , NS 0) bir dizi nokta ( x k , y k).

Tek değişkenli bir fonksiyon durumunda olduğu gibi, iki değişkenli bir fonksiyonun limitinin başka bir eşdeğer tanımını sunabilirsiniz: fonksiyon F noktasında var ( NS 0 , NS 0) eşit sınır A noktanın bir komşuluğunda tanımlanmışsa ( NS 0 , NS 0) bu noktanın kendisinin olası istisnası dışında ve herhangi bir e> 0 için q> 0 vardır, öyle ki

| f (x, y) - A | < е (3)

hepsi için (x, y)

0 < < д. (4)

Bu tanım sırayla aşağıdakine eşdeğerdir: herhangi bir ε> 0 için noktanın bir q komşuluğu vardır ( NS 0 , NS 0) öyle ki herkes için ( x, y) dışında, bu mahalleden ( NS 0 , NS 0), eşitsizlik (3) tutar.

Keyfi bir noktanın koordinatları ( x, y) noktanın komşuluğu ( NS 0 , NS 0) olarak yazılabilir x = x 0 + NS NS, y = y 0 + D NS, o zaman eşitlik (1) aşağıdaki eşitliğe eşdeğerdir:

Noktanın bir komşuluğunda tanımlanan bir işlevi düşünün ( NS 0 , NS 0), belki de bu noktanın kendisi hariç.

u = (u NS, SCH NS) uzunluğu bir olan keyfi bir vektördür (| u | 2 = u NS 2 + sen NS 2 = 1) ve T> 0 bir skalerdir. Formun noktaları ( NS 0 + T SCH NS , y 0 + T SCH NS) (0 < T)

( NS 0 , NS 0) vektör u yönünde. Her u için, işlevi düşünebiliriz

F (NS 0 + T SCH NS , y 0 + T SCH NS) (0 < T < д)

skaler değişkenden T, burada q yeterince küçük bir sayıdır.

Bu fonksiyonun limiti (bir değişken T)

F (NS 0 + T SCH NS , y 0 + T SCH NS),

F noktada ( NS 0 , NS 0) u yönünde.

Örnek 1. Fonksiyonlar

düzlemde tanımlanmış ( x, y) nokta hariç NS 0 = 0, NS 0 = 0. Elimizde (bunu dikkate alın ve):

(e> 0 için d = e / 2 koyarız ve ardından | f (x, y)| < е, если < д).

Buradan farklı yönlerde (0, 0) noktasındaki μ limitinin genellikle farklı olduğu görülebilir (ışın birim vektörü y = kx, NS> 0, forma sahiptir

Örnek 2. içinde düşünün r 2 fonksiyon

(NS 4 + NS 2 ? 0).

Bu fonksiyon herhangi bir düz çizgi üzerinde (0, 0) noktasında y = kx orijinden geçmek sıfıra eşit bir limite sahiptir:

NS NS > 0.

Ancak, bu fonksiyonun (0, 0) noktalarında limiti yoktur, çünkü y = x 2

fonksiyonu varsa yazacağız F noktanın bazı komşuluklarında tanımlanır ( NS 0 , NS 0), noktanın kendisinin olası istisnası ( NS 0 , NS 0) ve herhangi biri için n> 0 öyle ki q> 0 vardır

| f (x, y)| > n,

0'dan beri< < д.

Ayrıca limit hakkında da konuşabilirsiniz. F, ne zaman NS, NS > ?:

A(5) eşitliği, herhangi bir ε> 0 için böyle bir şey olduğu anlamında anlaşılmalıdır. n> 0, hepsi için NS, NS için | x| > n, |y| > n, işlev F tanımlanır ve eşitsizlik

| f (x, y) - A| < е.

eşitlikler doğrudur

nerede olabilir NS > ?, NS>?. Ayrıca, her zamanki gibi, limitler varsa, sol taraflarında limitler (sonlu) vardır. F ve C.

Örneğin (7)'yi ispatlayalım.

İzin vermek ( x k , y k) > (NS 0 , NS 0) ((x k , y k) ? (NS 0 , NS 0)); sonra

Böylece, (9)'un sol tarafındaki limit mevcuttur ve (9)'un sağ tarafındaki limite eşittir ve dizi () olduğundan beri ( x k , y k) eğilimi ( NS 0 , NS 0) herhangi bir yasaya göre, bu limit fonksiyonun limitine eşittir f (x, y) C (x, y) noktada ( NS 0 , NS 0).

Teorem. eğer fonksiyon f (x, y) noktasında sıfır olmayan bir limite sahiptir ( NS 0 , NS 0), yani

o zaman herkes için q> 0 vardır NS, NS eşitsizlikleri tatmin etmek

0 < < д, (10)

eşitsizliği tatmin eder

Bu nedenle, bunun için (x, y)

onlar. eşitsizliği (11) tutar. Belirtilenler için eşitsizlikten (12) (x, y) nereden geldiğini takip ediyor bir> 0 ve

A < 0 (сохранение знака).

Tanım olarak, fonksiyon f(x) = f(x 1 , …, x n ) = Bir noktada bir sınırı var

x 0 = sayıya eşittir A, şu şekilde gösterilir:

(daha çok yaz f(x) > A (x > x 0)) noktanın bir komşuluğunda tanımlanmışsa x 0, belki kendisi hariç ve bir limit varsa

her ne için çabalıyorsa x 0 nokta dizisi NS k belirtilen mahalleden ( k= 1, 2, ...) dışında x 0 .

Başka bir eşdeğer tanım aşağıdaki gibidir: fonksiyon F noktada var x 0 limit eşittir A noktanın bir komşuluğunda tanımlanmışsa x 0, belki kendisi hariç ve herhangi bir e> 0 için q> 0 vardır, öyle ki

hepsi için NS eşitsizlikleri tatmin etmek

0 < |x - x 0 | < д.

Bu tanım sırayla aşağıdakine eşdeğerdir: herhangi bir ε> 0 için bir komşuluk vardır. U (x 0 ) puan x 0 öyle ki herkes için xU (x 0 ) , NS ? x 0, eşitsizlik (13) tutar.

Açıkçası, eğer sayı A bir sınır var f(x) v x 0, o zaman A bir fonksiyon limiti var f (x 0 + H) itibaren H sıfır noktasında:

ve tersi.

Bazı işlevler düşünün F noktanın komşuluğunun tüm noktalarında verilen x 0, belki nokta hariç x 0; u = (u 1, ..., u olsun NS) uzunluğu bir (| u | = 1) olan keyfi bir vektördür ve T> 0 bir skalerdir. Noktaları görüntüle x 0 + T sen (0< T) form giden x u vektörünün yönünde 0 ışın. Her u için, işlevi düşünebiliriz

(0 < T < д щ)

skaler değişkenden T, burada d u, u'ya bağlı bir sayıdır. Bu fonksiyonun limiti (bir değişkenden T)

eğer varsa, buna sınır demek doğaldır. F noktada x 0 u vektörü yönünde.

fonksiyonu varsa yazacağız F bazı mahallede tanımlanmış x 0, belki hariç x 0 ve herkes için n> 0 öyle ki q> 0 vardır | f(x)| > n, 0'dan beri< |x - x 0 | < д.

Sınır hakkında konuşabilirsiniz F, ne zaman NS > ?:

Örneğin, sonlu bir sayı durumunda A eşitlik (14), herhangi bir ε> 0 için birinin böyle gösterebileceği anlamında anlaşılmalıdır. n> 0, hangi noktalar için NS için | x| > n, işlev F tanımlanır ve eşitsizlik gerçekleşir.

Yani fonksiyonun limiti f(x) = f (x 1 , ..., NS NS ) itibaren NS değişkenler, iki değişkenli bir fonksiyonla aynı şekilde analoji ile tanımlanır.

Böylece, birkaç değişkenli bir fonksiyonun limitinin tanımına dönüyoruz.

Sayı A fonksiyonun limiti denir f (M) NS m > m 0 herhangi bir e> 0 sayısı için her zaman öyle bir g> 0 sayısı varsa, herhangi bir nokta için m ondan başka m 0 ve koşulu sağlayan | AA 0 | < д, будет иметь место неравенство | f (M) - A | < е.

İki değişkenli bir fonksiyon durumunda limit belirtilir.

Sınır teoremleri. eğer fonksiyonlar F 1 (M) ve F 2 (M) NS m > m 0 her biri sonlu bir sınıra eğilimlidir, o zaman:

Örnek 1. Bir fonksiyonun limitini bulun:

Çözüm. Limiti şu şekilde dönüştürüyoruz:

İzin vermek y = kx, sonra

Örnek 2. Bir fonksiyonun limitini bulun:

Çözüm. İlk dikkate değer limiti kullanacağız.

Örnek 3. Bir fonksiyonun limitini bulun:

Çözüm. İkinci dikkate değer limiti kullanacağız.

Uçağı ve sistemi düşünün oksi Üzerinde kartezyen dikdörtgen koordinatlar (diğer koordinat sistemlerini de düşünebilirsiniz).

Analitik geometriden biliyoruz ki her sıralı sayı çifti (x, y) tek bir noktayı eşleştirebilirsin m düzlem ve tersi, her noktaya m düzlem tek bir sayı çiftine karşılık gelir.

Bu nedenle, aşağıda bir nokta hakkında konuşurken, genellikle karşılık gelen sayı çiftini kastedeceğiz. (x, y) ve tersi.

Tanım 1.2 Sayı çiftleri kümesi (x, y) eşitsizlikleri sağlamaya dikdörtgen (açık) denir.

Düzlemde, kenarları koordinat eksenlerine paralel ve noktada ortalanmış bir dikdörtgen (Şekil 1.2) olarak gösterilecektir. m 0 (x 0 y 0 ) .

Dikdörtgen genellikle aşağıdaki sembolle gösterilir:

Daha sonraki sunum için önemli olan bir kavramı tanıtalım: bir noktanın komşuluğu.

Tanım 1.3 Dikdörtgen δ -komşu ( delta mahallesi ) puan m 0 (x 0 y 0 ) dikdörtgen denir

noktada ortalanmış m 0 ve aynı uzunlukta kenarları olan 2δ .

Tanım 1.4 Dairesel δ - noktanın mahallesi m 0 (x 0 y 0 ) yarıçap çemberi denir δ noktada ortalanmış m 0 , yani, noktalar kümesi M (xy) koordinatları eşitsizliği sağlayan:

Komşuluk kavramını ve diğer türleri tanıtabilirsiniz, ancak teknik problemlerin matematiksel analizi amacıyla temel olarak sadece dikdörtgen ve dairesel komşuluklar kullanılır.

Aşağıdaki iki değişkenli bir fonksiyonun limit kavramını tanıtalım.

fonksiyon olsun z = f (x, y) belirli bir alanda tanımlanmış ζ ve m 0 (x 0 y 0 ) - bu alanın içinde veya sınırında uzanan bir nokta.

Tanım 1.5 Sonlu sayı A aranan f (x, y) fonksiyonunun limiti NS

herhangi bir pozitif sayı için ise ε böyle pozitif bir sayı bulabilirsin δ bu eşitsizlik

tüm noktalar için yapılır M (x, y) bölgeden ζ ondan başka m 0 (x 0 y 0 ) koordinatları eşitsizlikleri sağlayan:

Bu tanımın anlamı, fonksiyonun değerlerinin f (x, y) noktanın yeterince küçük bir komşuluğundaki noktalarda A sayısından keyfi olarak çok az farklılık gösterir. m 0 .

Burada tanım dikdörtgen mahallelere dayanmaktadır. m 0 ... Noktanın dairesel komşulukları düşünülebilir. m 0 ve sonra eşitsizliğin yerine getirilmesini talep etmek gerekli olacaktır.

her noktada M (x, y) alanlar ζ ondan başka m 0 ve koşulun sağlanması:

Noktalar arasındaki mesafe m ve m 0 .

Aşağıdaki limit gösterimleri kullanılır:

İki değişkenli bir fonksiyonun limitinin tanımını dikkate alarak, bir değişkenli fonksiyonlar için limitler hakkındaki temel teoremleri iki değişkenli fonksiyonlara aktarabiliriz.

Örneğin, iki fonksiyonun toplamının, çarpımının ve bölümünün limiti hakkında teoremler.

§3 İki değişkenli bir fonksiyonun sürekliliği

fonksiyon olsun z = f (x, y) noktada tanımlanmış m 0 (x 0 y 0 ) ve çevresi.

Tanım 1.6 Bir fonksiyona bir noktada sürekli denir m 0 (x 0 y 0 ) , Eğer

eğer fonksiyon f (x, y) noktada sürekli m 0 (x 0 y 0 ) , sonra

kadarıyla

Yani, eğer fonksiyon f (x, y) noktada sürekli m 0 (x 0 y 0 ) , sonra bu bölgedeki argümanların sonsuz küçük artışları sonsuz küçük artışlara karşılık gelir Δz fonksiyonlar z .

Bunun tersi de doğrudur: sonsuz küçük argüman artışları bir fonksiyonun sonsuz küçük artışlarına karşılık geliyorsa, fonksiyon süreklidir

Bölgenin her noktasında sürekli olan bir fonksiyona bölgede sürekli denir. İki değişkenli sürekli fonksiyonlar için ve aynı zamanda bir aralıkta sürekli olan bir değişkenli fonksiyon için, Weierstrass ve Bolzano - Cauchy'nin temel teoremleri geçerlidir.

Referans: Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815 - 1897) - Alman matematikçi. Bernard Bolzano (1781 - 1848) - Çek matematikçi ve filozof. Augustin Louis Cauchy (1789 - 1857) - Fransız matematikçi, Fransız Bilimler Akademisi başkanı (1844 - 1857).

Örnek 1.4. Bir fonksiyonun sürekliliğini araştırmak

Bu fonksiyon değişkenlerin tüm değerleri için tanımlanmıştır. x ve y paydanın kaybolduğu orijin hariç.

Polinom x 2 + y 2 her yerde süreklidir ve dolayısıyla sürekli bir fonksiyonun karekökü süreklidir.

Kesir, paydanın sıfır olduğu noktalar dışında her yerde sürekli olacaktır. Yani, söz konusu fonksiyon tüm koordinat düzleminde süreklidir. Ooh köken hariç.

Örnek 1.5. Bir fonksiyonun sürekliliğini araştırmak z = tg (x, y) ... Teğet, değerin tek sayısına eşit değerler dışında, argümanın tüm sonlu değerleri için tanımlanır ve süreklidir. π / 2 , yani noktalar hariç

Her sabit için "k" denklem (1.11) bir hiperbol tanımlar. Bu nedenle, incelenen fonksiyon sürekli bir fonksiyondur. x ve y , eğriler üzerinde bulunan noktalar hariç (1.11).

5.1. Vektör fonksiyonu ve koordinat fonksiyonları.

5.2. Bir vektör fonksiyonunun sürekliliği. Bir vektör fonksiyonunun limiti.

5. Bir vektör fonksiyonunun türevi ve diferansiyeli, geometrik yorumlama Uzayda bir eğriye teğet denklemleri. (5.3)

5.3. Bir vektör fonksiyonunun türevi ve diferansiyeli.

5.3.1. Bir vektör fonksiyonunun türevinin tanımı ve geometrik yorumu.

5.3.2. Bir vektör fonksiyonunun diferansiyeli.

5.3.3. Farklılaşma kuralları.

5.3.4. Üç boyutlu uzayda bir eğriye teğet doğrunun denklemleri.

6. F: Rnr - birkaç (birçok) gerçek değişkenin gerçek fonksiyonları.

6.1. Çok değişkenli bir fonksiyonun limiti ve sürekliliği.

6.1.1. Birkaç değişkenli bir fonksiyonun limiti. Tekrarlanan limitler

6.1.2. Birkaç değişkenli bir fonksiyonun sürekliliği.

6.1.3. Birkaç değişkenli bir fonksiyonun özelliklerini sınırlayın. Bir noktada sürekli fonksiyonların özellikleri.

8. İki değişkenli bir fonksiyonun limiti. Çift limiti tekrarlarla ilişkilendirme. (6.1.1)

6.1.1. Birkaç değişkenli bir fonksiyonun limiti. Tekrarlanan limitler

9. Kısmi türevin tanımı. Daha yüksek siparişlerin kısmi türevleri. Karışık türev teoremi. (6.2.3, 6.3.1)

6.2.3. Kısmi türevler.

10. İki değişkenli türevlenebilir bir fonksiyonun tanımı. Türevlenebilirlik ile süreklilik arasındaki ilişki ve kısmi türevlerin varlığı (6.2.4)

6.2.4. Türevlenebilirlik ile kısmi türevlerin varlığı arasındaki bağlantı. Diferansiyel benzersizlik.

11. İki değişkenli bir fonksiyonun diferansiyeli. Diferansiyel kullanarak yaklaşık hesaplamalar. Teğet düzlem. (6.2.1, 6.2.5, 6.2.6)

6.2.1. Farklılaştırılmış fonksiyon. Diferansiyel.

6.2.6. İki değişkenli bir fonksiyonun türevlenebilirliğinin geometrik yorumu. Fonksiyonun grafiğine teğet düzlem.

12. Diferansiyelin formunun değişmezliği. Kompleks Fonksiyonlar İçin Kısmi Diferansiyel Formüller (6.2.9)

13. Diferansiyelin formunun değişmezliği. Kapalı fonksiyonların kısmi türevleri için formüller. (6.2.10)

6.2.10. Bir örtük fonksiyon varlık teoremi. Bir örtük fonksiyonun türevi (kısmi türevleri).

14. Yönlü türev. Bunu hesaplamak için formül. (6.2.7)

15. Bir noktadaki fonksiyonun gradyanı. Gradyanın yönünün ve uzunluğunun geometrik anlamı. Seviyenin çizgisine veya yüzeyine göre gradyanın oryantasyonu. (6.2.8)

17. Daha yüksek derecelerin diferansiyelleri. f (X, y) için Taylor formülü. (6.4)

18. f (X, y) fonksiyonunun ekstremumu için gerekli ve yeterli koşullar. (6.5.1-6.5.3)

6.5.2. Birkaç değişkenli bir fonksiyonun yerel ekstremumu için gerekli bir koşul.

6.5.3. Birkaç değişkenli bir fonksiyonun yerel ekstremumu için yeterli bir koşul.

20. Kapalı bir sınırlı alanda iki değişkenli türevlenebilir bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerleri. Onları bulmak için algoritma. (6.7)

21. En küçük kareler yöntemi. (6.8)

6.1. Çok değişkenli bir fonksiyonun limiti ve sürekliliği.

r n - metrik uzay:

için m 0 (x, x,…, x) ve m(NS 1 , NS 2 , …, NS n) ( m 0 , m) = .

n= 2: için m 0 (x 0 , y 0), m (x, y) ( m 0 , m) =
.

nokta mahalle m 0 sen  (m 0) = merkezli bir yarıçaplı dairenin iç noktalarıdır m 0 .

6.1.1. Birkaç değişkenli bir fonksiyonun limiti. Tekrarlanan limitler

F: r n r noktanın bazı mahallelerinde verilen m 0, belki noktanın kendisi hariç m 0 .

Tanım. Sayı A aranan sınır fonksiyonlar

F(x 1 , x 2 , …, x n) noktada m 0 ise  >0  >0  m (0 <  (m 0 , m ) <   | F (m ) – A |<  ).

F Kayıt Formları:

n = 2:

o çift ​​limit.

Noktaların mahallelerinin dilinde:

>0  >0  m (x , y ) (m  sen  (m 0 )\ m 0  F (x , y )  sen  (A )).

(m yaklaşıyor olabilir m 0 herhangi bir yoldan).

Tekrarlanan limitler:
ve
.

(m yaklaşıyor m Sırasıyla yatay ve dikey olarak 0).

Çift ve tekrarlanan limitler arasındaki ilişki üzerine bir teorem.

 çift limit ise
ve  limitleri
,
,

sonra  tekrarlanan limitler
,
ve iki katına eşittir.

Açıklama 1. Bunun tersi doğru değil.

Örnek. F (x, y) =

,

.

Ancak çift limit

=

mevcut değil, çünkü (0, 0) noktasının herhangi bir komşuluğunda fonksiyon ayrıca sıfırdan "uzak" değerler alır, örneğin, eğer x = y, sonra F (x, y) = 0,5.

Açıklama 2. olsa bile Ar: F (x, y) A

Sürüş sırasında m NS m 0 herhangi bir düz çizgide çift limit mevcut olmayabilir.

Örnek.F (x, y) =
,m 0 (0, 0). m (x, y)  m 0 (0, 0)

Sonuç: (çift) limit mevcut değildir.

Limit bulma örneği.

F (x, y) =
, m 0 (0, 0).

0 sayısının fonksiyonun noktasındaki limiti olduğunu gösterelim. m 0 .

=
,

 - noktalar arasındaki mesafe m ve m 0. (Eşitsizliği kullandı
,

eşitsizliklerden çıkan
)

> 0 ve  = 2 olsun. <  

6.1.2. Birkaç değişkenli bir fonksiyonun sürekliliği.

Tanım. F (x, y) noktasında süreklidir. m 0 (x 0 , y 0) bazılarında tanımlanmışsa sen  (m 0) ve
,T. yani> 0 > 0  m (0 < (m 0 , m) <   | F (m) – F (m 0)|< ).

Yorum Yap. Fonksiyon, noktadan geçen bazı yönler boyunca sürekli olarak değişebilir. m 0 ve diğer yönler veya farklı bir şekle sahip yollar boyunca süreksizlikler var. Eğer öyleyse, bir noktada süreksizdir m 0 .

6.1.3. Birkaç değişkenli bir fonksiyonun özelliklerini sınırlayın. Bir noktada sürekli fonksiyonların özellikleri.

Meydana gelmek benzersizlik sınırı;

bir noktada sonlu limiti olan fonksiyon m 0 , bu noktanın bazı mahallelerinde sınırlı; gerçekleştirilir sıralı ve cebirsel özellikler sınır,

sınıra geçiş eşit ve katı olmayan eşitsizlik işaretlerini korur.

Eğer fonksiyon noktada sürekli ise m 0 ve F (m 0 )  0 , sonra değer işaretiF (m ) Korundu bazılarında sen  (m 0).

Toplam, ürün, bölüm(payda  0) sürekli fonksiyonlar da sürekli fonksiyonlar, sürekli karmaşık fonksiyon sürekliden oluşur.

6.1.4. Bağlı bir kapalı sınırlı kümede sürekli olan fonksiyonların özellikleri.n= 1, 2 ve 3.

Tanım 1. kümesi denir bağlı herhangi iki noktasıyla birlikte, onları birbirine bağlayan sürekli bir eğri de içeriyorsa.

Tanım 2. kümesi r n aranan sınırlı bazı "top" içinde bulunuyorsa
.

n = 1 

n = 2 

n = 3  .

Örnekleribağlı kapalı sınırlı kümeler.

r 1 = r: Bölüm [ a, B];

r 2: segment AB uç noktaları olan herhangi bir sürekli eğri A ve V;

kapalı sürekli eğri;

Daire
;

Tanım 3. F: r n  r bağlı bir kapalı kümede süreklidir   r n eğer  m 0 

.

Teorem.Bir çokdeğerler sürekli fonksiyon

F: r n  r kapalı sınırlı bağlı bir kümede bir segment [ m , m ] , Burada m - en az, a m - en iyisi setin noktalarındaki değerleri.

Böylece, herhangi bir kapalı sınırlı bağlı kümeder n sürekli fonksiyon sınırlıdır, en küçüğünü, en büyüğünü ve tüm ara değerleri alır.

"

Bölüm: Yüksek Matematik

Öz

"Yüksek Matematik" disiplininde

Konu: "Birkaç değişkenli fonksiyonların limiti ve sürekliliği"

Togliatti, 2008

Tanıtım

Tek değişkenli fonksiyon kavramı, doğada var olan tüm bağımlılıkları kapsamaz. En basit problemlerde bile, değerleri birkaç niceliğin değerlerinin birleşimiyle belirlenen nicelikler vardır.

Bu tür bağımlılıkları incelemek için, birkaç değişkenli bir fonksiyon kavramı tanıtılır.

Birkaç değişkenli bir fonksiyon kavramı

Tanım. Büyüklük sen birkaç bağımsız değişkenin bir fonksiyonu olarak adlandırılır ( x, y, z, …, T), bu değişkenlerin her bir değer kümesi, miktarın belirli bir değeriyle ilişkilendirilirse sen.

Bir değişken iki değişkenin bir fonksiyonu ise NS ve NS, daha sonra fonksiyonel bağımlılık ile gösterilir

z = F (x, y).

sembol F burada bir değer hesaplamak için bir dizi eylemi veya kuralı tanımlar z belirli bir değer çifti için NS ve NS.

Yani fonksiyon için z = x 2 + 3xy

NS NS= 1 ve NS= 1 elimizde z = 4,

NS NS= 2 ve NS= 3 bizde z = 22,

NS NS= 4 ve NS= 0 bizde z= 16, vb.

Miktar senüç değişkenli fonksiyon x, y, z, bir kural verilirse, verilen üçlü değerler için olduğu gibi x, y ve z karşılık gelen değeri hesapla sen:

sen = F (x, y, z).

burada sembol F bir değer hesaplamak için bir dizi eylem veya kural tanımlar sen bu değerlere karşılık gelen x, y ve z.

Yani fonksiyon için sen = xy + 2xz – 3yz

NS NS = 1, NS= 1 ve z= 1 elimizde sen = 0,

NS NS = 1, NS= -2 ve z= 3 bizde sen = 22,

NS NS = 2, NS= -1 ve z= -2 elimizde sen = -16, vb.

Böylece, eğer her kümenin bazı kanunları sayesinde NS sayılar ( x, y, z, …, T) bazı kümelerden E bir değişkene belirli bir değer atar sen, sonra sen fonksiyonu olarak adlandırılan NS değişkenler x, y, z, …, T sette tanımlanmış E, ve belirtilen

sen = F(x, y, z, …, T).

Değişkenler x, y, z, …, T fonksiyon argümanları denir, set E- işlevin kapsamı.

Bir fonksiyonun özel değeri, bir fonksiyonun bir noktadaki değeridir. m 0 (x 0 , y 0 , z 0 , …, T 0) ve gösterilir F (m 0) = F (x 0 , y 0 , z 0 , …, T 0).

Bir fonksiyonun etki alanı, fonksiyonun herhangi bir gerçek değerine karşılık gelen tüm argüman değerlerinin kümesidir.

İki değişkenli fonksiyon z = F (x, y) uzayda belirli bir yüzey ile temsil edilir. Yani, koordinatları olan nokta NS, NS düzlemde bulunan fonksiyonun tüm etki alanından geçer merhaba, karşılık gelen uzamsal nokta, genel olarak, yüzeyi tanımlar.

Üç değişkenli fonksiyon sen = F (x, y, z) üç boyutlu uzayda bazı noktalar kümesinin bir noktasının bir fonksiyonu olarak kabul edilir. Benzer şekilde, fonksiyon NS değişkenler sen = F(x, y, z, …, T) bazı noktaların bir fonksiyonu olarak kabul edilir. NS-boyutlu uzay.

Birkaç değişkenli bir fonksiyonun limiti

Birkaç değişkenli bir fonksiyonun limiti kavramını vermek için kendimizi iki değişkenli bir durumla sınırlandırıyoruz. NS ve NS... Tanım olarak, fonksiyon F (x, y) noktasında bir limiti vardır ( NS 0 , NS 0) sayıya eşit A, şu şekilde gösterilir:

(1)

(daha çok yaz F (x, y) →A NS (x, y) → (NS 0 , NS 0)) noktanın bir komşuluğunda tanımlanmışsa ( NS 0 , NS 0), bu noktanın kendisinin olası istisnası ve bir sınır varsa

(2)

eğilimi ne olursa olsun ( NS 0 , NS 0) bir dizi nokta ( x k, yk).

Tek değişkenli bir fonksiyon durumunda olduğu gibi, iki değişkenli bir fonksiyonun limitinin başka bir eşdeğer tanımını sunabilirsiniz: fonksiyon F noktasında var ( NS 0 , NS 0) eşit sınır A noktanın bir komşuluğunda tanımlanmışsa ( NS 0 , NS 0) hariç, belki de bu noktanın kendisi ve herhangi bir ε> 0 için δ> 0 vardır, öyle ki

| F (x, y) – A| < ε(3)

hepsi için (x, y) eşitsizlikleri tatmin etmek

< δ. (4)

Bu tanım sırayla aşağıdakine eşdeğerdir: herhangi bir ε> 0 için noktanın bir δ komşuluğu vardır ( NS 0 , NS 0) öyle ki herkes için ( x, y) dışında, bu mahalleden ( NS 0 , NS 0), eşitsizlik (3) tutar.

Keyfi bir noktanın koordinatları ( x, y) noktanın komşuluğu ( NS 0 , NS 0) olarak yazılabilir x = x 0 + Δ NS, y = y 0 + Δ NS, o zaman eşitlik (1) aşağıdaki eşitliğe eşdeğerdir:

Noktanın bir komşuluğunda tanımlanan bir işlevi düşünün ( NS 0 , NS 0), belki de bu noktanın kendisi hariç.

ω = (ω NS, ω NS) Uzunluğu bir olan keyfi bir vektördür (| ω | 2 = ω NS 2 + ω NS 2 = 1) ve T> 0 bir skalerdir. Noktaları görüntüle

(NS 0 + Tω NS, y 0 + Tω NS) (0 < T)

( NS 0 , NS 0) vektör ω yönünde. Her ω için fonksiyonu düşünebiliriz

F(NS 0 + Tω NS, y 0 + Tω NS) (0 < T< δ)

skaler değişkenden T, burada δ yeterince küçük bir sayıdır.

Bu fonksiyonun limiti (bir değişken T)

F(NS 0 + Tω NS, y 0 + Tω NS),

eğer varsa, buna sınır demek doğaldır. F noktada ( NS 0 , NS 0) ω yönünde.

Örnek 1. Fonksiyonlar

düzlemde tanımlanmış ( x, y) nokta hariç NS 0 = 0, NS 0 = 0.

ve ):

(ε> 0 için δ = ε / 2 ve ardından | F (x, y) | < ε, если

< δ).

Buradan farklı yönlerde (0, 0) noktasındaki φ limitinin genellikle farklı olduğu görülebilir (ışın birim vektörü y = kx, NS> 0, forma sahiptir

).

Örnek 2. içinde düşünün r 2 fonksiyon

(NS 4 + NS 2 ≠ 0).

Bu fonksiyon herhangi bir düz çizgi üzerinde (0, 0) noktasında y = kx orijinden geçmek sıfıra eşit bir limite sahiptir:

NS NS → 0.

Ancak, bu fonksiyonun (0, 0) noktalarında limiti yoktur, çünkü y = x 2

ve

yazacak

eğer fonksiyon F noktanın bazı komşuluklarında tanımlanır ( NS 0 , NS 0), noktanın kendisinin olası istisnası ( NS 0 , NS 0) ve herhangi biri için n> 0 öyle ki δ> 0 vardır

|F (x, y) | > n,

0'dan beri<

< δ.

Ayrıca limit hakkında da konuşabilirsiniz. F, ne zaman NS, NS → ∞:

(5)

Örneğin, sonlu bir sayı durumunda A(5) eşitliği, herhangi bir ε> 0 için böyle bir şey olduğu anlamında anlaşılmalıdır. n> 0, hepsi için NS, NS için | x| > n, |y| > n, işlev F tanımlanır ve eşitsizlik