Spektral güç. Sinyallerin spektral yoğunluğunu belirleme örnekleri

Rastgele bir süreçle zamanın bir dizi işlevi (topluluğu) anlamına geldiğinde, farklı şekillerdeki işlevlerin farklı spektral özelliklere karşılık geldiği akılda tutulmalıdır. (1.47) tarafından belirlenen karmaşık spektral yoğunluğun tüm fonksiyonlar üzerinden ortalamasının alınması işlemin sıfır spektrumuna yol açar. M [x(T)]=0 ) farklı uygulamalarda spektral bileşenlerin fazlarının rastgeleliği ve bağımsızlığı nedeniyle.

Bununla birlikte, ortalama kare değeri toplam harmoniklerin faz oranına bağlı olmadığından, rastgele bir fonksiyonun ortalama karesinin spektral yoğunluğu kavramını tanıtmak mümkündür. Rastgele işlevin altındaysa x (t) elektrik voltajı veya akımı kastedilirse, bu fonksiyonun ortalama karesi 1 ohm'luk bir dirençte salınan ortalama güç olarak kabul edilebilir. Bu güç, rastgele bir sürecin oluşum mekanizmasına bağlı olarak, belirli bir banttaki frekanslara dağıtılır.

Ortalama güç spektral yoğunluğu, belirli bir frekansta Hz başına ortalama güçtür. ω ... fonksiyon boyutu W(ω) gücün bant genişliğine oranı olan,

Rastgele bir sürecin oluşum mekanizması biliniyorsa, rastgele bir sürecin spektral yoğunluğu bulunabilir. Maddenin ve elektriğin atomik yapısıyla ilişkili gürültü ile ilgili olarak, bu sorun daha sonra ortaya çıkacaktır. Burada kendimizi birkaç genel tanımla sınırlıyoruz.

Topluluktan bazı uygulamalar seçtikten sonra xk(T) ve süresini sonlu bir aralıkla sınırlamak T, ona olağan Fourier dönüşümünü uygulayabilir ve spektral yoğunluğu bulabiliriz. x kT (ω). Ardından, dikkate alınan uygulama bölümünün enerjisi aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir:

(1.152)

Bu enerjiyi ikiye bölerek T, ortalama gücü elde ederiz k-th segmentte uygulama T

(1.153)

artarken T enerji NSkT artar, ancak oran belirli bir sınıra yönelir. Sınıra geçiş yaptıktan sonra şunu elde ederiz:

G
de

temsil etmek ortalama güç spektral yoğunluğu inceleniyor k-th uygulama.

Genel durumda, miktar W k (ω) birden fazla uygulama üzerinden ortalaması alınmalıdır. Bu durumda kendimizi durağan ve ergodik bir süreç düşünmekle sınırlayarak, fonksiyonun bir uygulamanın ortalaması alınarak bulunduğunu varsayabiliriz. W k (ω) tüm süreci bir bütün olarak karakterize eder. k indeksini çıkararak, rastgele bir sürecin ortalama gücü için son ifadeyi elde ederiz.

Sıfır ortalama bir süreç için

(1.156)

Spektral yoğunluğun (1.155) tanımından açıkça görülmektedir ki, W NS (ω) eşit ve negatif olmayan bir fonksiyondur ω.

1.5.3 Rastgele bir sürecin spektral yoğunluğu ve kovaryans fonksiyonu arasındaki ilişki

Bir yandan değişim hızı NS(T) zamanla spektrumun genişliğini belirler. Diğer tarafta, değişim oranı x (t) kovaryans fonksiyonunun seyrini belirler. arasında olduğu açıktır.W NS (ω) ve K NS(τ) yakın bir ilişki vardır.

Wiener - Khinchin teoremi şunu belirtir: İLE NS (τ) ve W x (ω) Fourier dönüşümleri ile ilişkilidir:

(1.157)

(1.158)

Sıfır ortalamalı rastgele süreçler için benzer ifadeler şunlardır:

Bu ifadelerden, deterministik sinyaller için Fourier dönüşümlerinin özelliklerine benzer bir özellik elde edilir: Rastgele bir sürecin spektrumu ne kadar genişse, korelasyon aralığı o kadar küçük ve buna bağlı olarak korelasyon aralığı ne kadar büyük olursa, sürecin spektrumu o kadar dar olur (bkz. Şekil 1.20).

Şekil 1.20. Rastgele bir sürecin geniş bant ve dar bant spektrumları; orta şeridin sınırları: ± F 1

Spektrum tüm frekanslarda tek tip olduğunda beyaz gürültü büyük ilgi görür.

1.158 ifadesi yerine yazılırsa Wx(ω) = W 0 = const, elde ederiz

burada δ (τ) delta işlevidir.

Sonsuz ve düzgün bir spektruma sahip beyaz gürültü için, korelasyon işlevi, hariç tüm τ değerleri için sıfırdır. τ = 0 hangi r x (0) sonsuzluğa gider. Sonsuz derecede ince rastgele aykırı değerlere sahip iğne benzeri bir yapıya sahip olan bu tür gürültüye bazen delta-ilişkili süreç denir. Beyaz gürültünün dağılımı sonsuz derecede büyüktür.

Kendi kendine test soruları

Rastgele bir sinyalin ana özellikleri nelerdir?

Rastgele bir sinyalin korelasyon fonksiyonu ve enerji spektrumu matematiksel olarak nasıl ilişkilidir.

Hangi rastgele sürece durağan denir.

Hangi rastgele sürece ergodik denir.

Dar bantlı bir sinyalin zarfı, fazı ve frekansı nasıl belirlenir?

Hangi sinyale analitik denir.

Karşılıklı Güç Spektral Yoğunluğu (Çapraz Güç Spektrumu) iki gerçekleştirme ve durağan ergodik rastgele süreçler ve karşılıklı kovaryans fonksiyonları üzerinde doğrudan Fourier dönüşümü olarak tanımlanır

veya dairesel ve döngüsel frekanslar arasındaki oranı dikkate alarak,

Ters Fourier dönüşümü, karşılıklı kovaryans fonksiyonu ve güç spektral yoğunluğu ile ilgilidir:

(1.32), (1.33)'e benzer şekilde, güç spektral yoğunluğu (güç spektrumu) rastgele süreç

İşlev, eşlik özelliğine sahiptir:

Karşılıklı spektral yoğunluk için aşağıdaki bağıntı geçerlidir:

fonksiyon kompleksi eşleniği nerede.

Spektral yoğunluklar için yukarıdaki formüller hem pozitif hem de negatif frekanslar için tanımlanmıştır ve şu şekilde adlandırılır: iki taraflı spektral yoğunluklar ... Sistem ve sinyallerin analitik çalışması için kullanışlıdırlar. Pratikte, sadece negatif olmayan frekanslar için belirlenen spektral yoğunlukları kullanırlar. tek taraflı (Şekil 1.14):

Şekil 1.14 - Tek taraflı ve iki taraflı

spektral yoğunluklar

Durağan bir LB'nin tek taraflı spektral yoğunluğunu kovaryans fonksiyonu ile birleştiren bir ifade türetelim:

Durağan SP'nin kovaryans fonksiyonu için parite özelliğini ve kosinüs fonksiyonunu, sinüs fonksiyonunun teklik özelliğini ve integrasyon limitlerinin simetrisini dikkate alalım. Sonuç olarak, yukarıda elde edilen ifadedeki ikinci integral kaybolur ve birinci integralde, katsayı ikiye katlanarak integralin sınırları yarıya indirilebilir:

Açıktır ki, rastgele bir sürecin güç spektral yoğunluğu gerçek bir fonksiyondur.

Benzer şekilde, ters oranı elde edebilirsiniz:

(1.42) ifadesinden şu şekildedir:

Bu, tek taraflı spektral yoğunluk grafiğinin altındaki toplam alanın, rastgele sürecin ortalama karesine eşit olduğu anlamına gelir. Başka bir deyişle, tek taraflı spektral yoğunluk, işlemin ortalama karesinin frekanslara dağılımı olarak yorumlanır.

Frekansın iki keyfi değeri arasına alınmış tek taraflı yoğunluk grafiğinin altındaki alan ve spektrumun bu frekans bandındaki işlemin ortalama karesine eşittir (Şekil 1.15):

Şekil 1.15 - Spektral yoğunluk özelliği

Karşılıklı spektral güç yoğunluğu karmaşık bir niceliktir, bu nedenle üstel gösterimde şu şekilde gösterilebilir: modül ve faz açısı :

modül nerede;

- faz açısı;

, fonksiyonun sırasıyla reel ve imajiner kısımlarıdır.

Karşılıklı spektral yoğunluk modülü, önemli eşitsizliğe dahil edilmiştir.

Bu eşitsizlik belirlememizi sağlar tutarlılık fonksiyonu (tutarlılık karesi), normalleştirilmiş korelasyon fonksiyonunun karesine benzer:

Spektral yoğunlukları tanıtmanın ikinci yolu, rastgele süreçlerin doğrudan Fourier dönüşümüdür.

için iki durağan ergodik rastgele süreç olsun ve olsun sonlu Fourier dönüşümleri -x uzunluk uygulamaları şu şekilde tanımlanır

Bu rastgele süreçlerin iki taraflı karşılıklı spektral yoğunluğu, bağıntı yoluyla ürün kullanılarak tanıtılır.

burada beklenti operatörü, dizin ortalama alma işlemi anlamına gelir.

Rastgele bir işlemin iki taraflı spektral yoğunluğunun hesaplanması, orana göre yapılır.

Tek taraflı spektral yoğunluklar benzer şekilde tanıtılır:

(1.49), (1.50) formülleri ile tanımlanan fonksiyonlar, Fourier kovaryans fonksiyonları üzerinde dönüşümler olarak, (1.32), (1.33) ilişkileri ile tanımlanan karşılık gelen fonksiyonlarla aynıdır. Bu ifadeye denir Wiener-Khinchin teoremi.

Kontrol soruları

1. Deterministik süreçlerin sınıflandırılmasını veriniz.

2. Poliharmonik ve neredeyse periyodik süreçler arasındaki fark nedir?

3. Durağan bir stokastik sürecin tanımını formüle edin.

4. Ergodik bir rastgele sürecin özelliklerinin ortalamasını almak için hangi yöntem tercih edilir - bir grup örnek fonksiyon üzerinden ortalama alma veya bir gerçekleştirmenin gözlem süresi üzerinden ortalama alma?

5. Rastgele bir sürecin olasılık yoğunluğunun tanımını formüle edin.

6. Durağan rastgele bir sürecin korelasyon ve kovaryans fonksiyonlarını birbirine bağlayan ifadeyi yazın.

7. Hangi durumda iki rastgele süreç ilişkisiz olarak kabul edilir?

8. Durağan rastgele bir sürecin ortalama karesini hesaplama yöntemlerini belirtin.

9. Rastgele bir sürecin spektral yoğunluğu ve kovaryans fonksiyonları ile ilgili hangi dönüşüm?

10. İki rastgele sürecin tutarlılık fonksiyonunun değerleri ne ölçüde değişiyor?

Edebiyat

1. Sergienko, A.B. Dijital sinyal işleme / A.B. Sergienko. - E: Peter, 2002. - 604 s.

2. Sadovsky, G.A. Bilgi ve ölçüm teknolojisinin teorik temelleri / G.A. Sadovski. - E.: Yüksekokul, 2008 .-- 480 s.

3. Bendat, D. Korelasyon ve spektral analiz uygulaması / D. Bendat, A. Pirsol. - M.: Mir, 1983 .-- 312 s.

4. Bendat, D. Rastgele süreçlerin ölçümü ve analizi / D. Bendat, A. Pirsol. - M.: Mir, 1974 .-- 464 s.

Uluslararası eğitim şirketi

Uygulamalı Bilimler Fakültesi

Öz

konuyla ilgili"Güç yoğunluğu spektrumu ve korelasyon fonksiyonu ile ilişkisi"

disipline göre"Elektriksel iletişim teorisi »

Gerçekleştirilen: grup öğrencisi

FPN-REiT (ler) -4S *

Dzumageldin D

Kontrol: Glukhova N.V.

Almatı, 2015

I.Giriş

II Ana kısım

1. Güç spektral yoğunluğu

1.1 Rastgele değişkenler

1.2 Rastgele değişkenli bir fonksiyonun olasılık yoğunluğu

2. Rastgele süreç

3. Korelasyon fonksiyonu ile spektral güç yoğunluğunu belirleme yöntemi

III Sonuç

IV Kullanılan literatür listesi

Tanıtım

Olasılık teorisi, rastgele değişkenleri ve özelliklerini "statik" olarak ele alır. Rastgele sinyalleri "dinamikte", zaman içinde veya başka herhangi bir değişkende gelişen rastgele fenomenlerin gösterimleri olarak tanımlama ve inceleme sorunları, rastgele süreçler teorisi ile çözülür.

Rastgele değişkenlerin bağımsız değişken üzerindeki dağılımı için evrensel bir koordinat olarak, kural olarak "t" değişkenini kullanacağız ve bunu yalnızca kolaylık sağlamak için bir zaman koordinatı olarak ele alacağız. Rastgele değişkenlerin zaman içindeki dağılımına ve bunları herhangi bir matematiksel biçimde gösteren sinyallere genellikle rastgele süreçler denir. Teknik literatürde "rastgele sinyal" ve "rastgele süreç" terimleri eş anlamlı olarak kullanılmaktadır.

Fiziksel ve teknik verilerin işlenmesi ve analiz edilmesi sürecinde, genellikle istatistiksel yöntemlerle tanımlanan üç tür sinyalle uğraşmak gerekir. Birincisi, bunlar, örneğin radyonüklidlerin bozunması sırasında iyonlaştırıcı radyasyon parçacıklarının kayıt eylemleri gibi, doğası gereği olasılıklı olan fiziksel süreçleri yansıtan bilgi sinyalleridir. İkincisi, değerleri önceden bilinmeyen ve genellikle bu bilgi sinyallerinden belirlenmeye tabi olan fiziksel süreçlerin veya nesnelerin belirli parametrelerine bağlı bilgi sinyalleri. Üçüncüsü, bunlar zaman içinde kaotik olarak değişen, bilgi sinyallerine eşlik eden, ancak kural olarak, hem değerleri hem de zaman içindeki değişiklikler açısından istatistiksel olarak bağımsız olan gürültü ve parazittir.

Güç spektral yoğunluğu

Güç spektral yoğunluğu, rastgele bir sürecin frekans özelliklerini yargılamayı mümkün kılar. Yoğunluğunu farklı frekanslarda veya başka bir deyişle frekans bandı birimi başına ortalama gücü karakterize eder.

Ortalama gücün frekanslar üzerindeki dağılımının modeline güç spektrumu denir. Güç spektrumunu ölçen alete spektrum analizörü denir. Ölçümler sonucunda bulunan spektruma enstrümantal spektrum denir.

Spektrum analizörü aşağıdaki ölçüm yöntemlerine dayanmaktadır:

· Filtrasyon yöntemi;

· Wiener-Hinchen teoremine göre dönüşüm yöntemi;

· Fourier dönüşümü yöntemi;

· İşaret işlevlerini kullanma yöntemi;

· Ortogonal fonksiyonların donanımsal uygulama yöntemi.

Güç spektrumunu ölçmenin özelliği, deneyin kayda değer süresidir. Çoğu zaman, gerçekleştirmenin varlığının süresini veya incelenen sürecin durağanlığının korunduğu süreyi aşar. Durağan bir ergodik işlemin bir gerçekleştirilmesinden elde edilen güç spektrumu tahminleri her zaman kabul edilebilir değildir. Hem zaman içinde hem de topluluk üzerinden gerçekleşmelerin ortalamasını almak gerektiğinden, çoğu zaman çok sayıda ölçüm yapmak gerekir. Birçok durumda, araştırılan rastgele süreçlerin uygulanması önceden hafızaya alınır, bu da çeşitli işleme algoritmaları ve ekipmanı kullanılarak analiz süresinde bir değişiklikle deneyin birçok kez tekrarlanmasına izin verir.

Rastgele bir işlemin gerçekleşmelerinin ön kaydı durumunda, donanım hataları, uygulamanın sonlu süresi ve durağan olmama ile belirlenen değerlere düşürülebilir.

Analiz edilen uygulamaları ezberlemek, enstrümantal analizin hızlandırılmasını ve otomatikleştirilmesini mümkün kılar.

Rastgele değişkenler

Rastgele bir değişken, olasılık yasalarıyla tanımlanır. Sürekli bir niceliğin olma olasılığı NSölçüldüğünde herhangi bir aralığa düşecek x 1<х <х 2 , şu ifadeyle tanımlanır:

, nerede p (x) olasılık yoğunluğudur ve. Ayrık bir rastgele değişken için x ben P (x = x ben) = P ben, nerede ben miktarın i-inci düzeyine karşılık gelen olasılıktır NS.

Durağan rastgele süreçlerin en önemli özelliği, gürültü gücünün frekans spektrumu üzerindeki dağılımını tanımlayan güç spektral yoğunluğudur. Rastgele aralıklarla birbirini izleyen rasgele bir voltaj veya akım darbeleri dizisi ile temsil edilebilen durağan bir rastgele süreç düşünün. Rastgele bir darbe dizisine sahip süreç periyodik değildir. Yine de, bu durumda spektrumu frekanslar üzerindeki güç dağılımı olarak anlayarak, böyle bir sürecin spektrumu hakkında konuşabiliriz.

Gürültüyü tanımlamak için, genel durumda gürültü spektral yoğunluğu (SP) olarak da adlandırılan ve aşağıdaki bağıntı ile belirlenen gürültü gücü spektral yoğunluğu (PSD) kavramı tanıtılır:

nerede  P(F) frekans bandındaki zaman ortalamalı gürültü gücüdür Fölçüm frekansında F.

(2.10) bağıntısından aşağıdaki gibi, gürültünün SD'si W / Hz boyutundadır. Genel olarak, SP frekansın bir fonksiyonudur. Gürültünün SD'sinin frekansa bağımlılığı denir enerji spektrumu, sistemin dinamik özellikleri hakkında bilgi taşır.

Rastgele bir süreç ergodik ise, pratikte yaygın olarak kullanılan tek uygulamasıyla böyle bir sürecin enerji spektrumunu bulabilirsiniz.

Durağan rastgele bir sürecin spektral özellikleri göz önüne alındığında, genellikle gürültü spektrumunun genişliği kavramının kullanılması gerektiği ortaya çıkar. Belirli bir karakteristik frekansta gürültünün SD'sine atıfta bulunulan rastgele bir sürecin enerji spektrumunun eğrisinin altındaki alan F 0 denir etkin spektrum genişliği, aşağıdaki formülle belirlenir:

(2.11)

Bu değer, bir şeritteki rastgele bir sürecin düzgün enerji spektrumunun genişliği olarak yorumlanabilir.
, ele alınan sürece ortalama güç olarak eşdeğerdir.

Gürültü gücü P frekans bandında kapalı F 1 …F 2 eşittir

(2.12)

Frekans bandındaki gürültünün SP'si ise F 1 ...F 2 sabit ve eşittir S 0, belirli bir frekans bandındaki gürültü gücü için:
nerede F=F 2 -F 1 - bir devre veya ölçüm cihazı tarafından geçirilen frekans bandı.

Durağan rastgele bir sürecin önemli bir durumu, spektral yoğunluğun geniş bir frekans aralığında (teorik olarak sonsuz bir frekans aralığında) frekansa bağlı olmadığı beyaz gürültüdür. Frekans aralığında beyaz gürültünün enerji spektrumu -∞< F < + ∞ şu şekilde verilir:

= 2S 0 = sabit, (2.13)

Beyaz gürültü modeli, belleksiz (sonradan etkisi olmayan) rastgele bir süreci tanımlar. Beyaz gürültü, çok sayıda basit homojen elemana sahip sistemlerde ortaya çıkar ve dalgalanmaların genliğinin normal yasaya göre dağılımı ile karakterize edilir. Beyaz gürültünün özellikleri, bağımsız tekil olayların istatistikleriyle belirlenir (örneğin, bir iletken veya yarı iletkendeki yük taşıyıcıların termal hareketi). Ancak sonsuz güce sahip olduğu için sonsuz bant genişliğine sahip gerçek beyaz gürültü mevcut değildir.

İncirde. 2.3. tipik bir beyaz gürültü osilogramını (anlık voltaj değerlerinin zamana bağlılığı) (Şekil 2.3a) ve anlık voltaj değerlerinin olasılık dağılım fonksiyonunu gösterir e, normal bir dağılımdır (Şekil 2.3b). Eğrinin altındaki gölgeli alan, anlık voltaj değerlerinin oluşma olasılığına karşılık gelir. e değeri aşmak e 1 .

Pirinç. 2.3. Beyaz gürültünün tipik bir osilogramı (a) ve gürültü voltajının (b) genliğinin anlık değerlerinin olasılık yoğunluk fonksiyonu.

Pratikte, bir elemanın veya yarı iletken cihazın gürültünün büyüklüğünü değerlendirirken, genellikle rms gürültü voltajı ölçülür. V 2 birimlerinde veya rms akımı A 2 birimlerinde. Bu durumda, gürültünün SD'si V 2 / Hz veya A 2 / Hz birimlerinde ifade edilir ve voltaj dalgalanmalarının spektral yoğunlukları S sen (F) veya mevcut S ben (F) aşağıdaki formüllerle hesaplanır:

(2.14)

nerede
ve frekans bandındaki zaman ortalamalı gürültü voltajı ve akımıdır F sırasıyla. Yukarıdaki çubuk, zaman içindeki ortalamayı gösterir.

Pratik problemlerde, çeşitli fiziksel niceliklerdeki dalgalanmalar göz önüne alındığında, genelleştirilmiş bir spektral dalgalanma yoğunluğu kavramı ortaya çıkar. Bu durumda, örneğin direnç için dalgalanmaların SD'si r Ohm 2 / Hz birimlerinde ifade edilir; manyetik indüksiyondaki dalgalanmalar T 2 / Hz birimlerinde ve osilatörün frekansındaki dalgalanmalar - Hz 2 / Hz = Hz birimlerinde ölçülür.

Aynı türden doğrusal iki kapılı ağlardaki gürültü seviyelerini karşılaştırırken, şu şekilde tanımlanan bağıl spektral gürültü yoğunluğunu kullanmak uygundur.

=
, (2.15)

nerede sen- Doğrusal iki bağlantı noktalı bir ağda DC voltaj düşüşü.

(2.15) ifadesinden görülebileceği gibi, bağıl spektral gürültü yoğunluğu S(F) Hz -1 birimleriyle ifade edilir.

Güç spektral yoğunluğunu tahmin etmek, rastgele süreçler için bilinen bir problemdir. Rastgele süreçlerin örnekleri, gürültü ve bilgi taşıyan sinyallerdir. Genellikle istatistiksel olarak sağlam bir tahmin bulmak istersiniz. Dijital Sinyal İşleme dersinde sinyal analizi detaylı olarak anlatılmaktadır. İlk bilgiler şurada verilmiştir.

Bilinen istatistiksel özelliklere sahip sinyaller için, spektral içerik bu sinyalin sonlu bir aralığından belirlenebilir. Sinyalin bir bölümü için sinyalin istatistiksel özellikleri bilinmiyorsa, yalnızca spektrumunun bir tahmini elde edilebilir. Farklı yöntemler farklı varsayımlar kullanır ve bu nedenle farklı tahminler verir.

Bir tahmin seçerken, genel durumda analiz edilen sinyalin rastgele bir süreç olduğu varsayılır. Ve sinyal spektrumunun ortalamasının alınmasını sağlayan düşük varyanslı tarafsız bir tahminin seçilmesi gerekir. Sapma, tahminin ortalaması ile miktarın gerçek değeri arasındaki farktır. Tarafsız bir tahmin, sıfır ötelemeli bir tahmindir. Düşük varyanslı bir tahmin, aranan değerleri iyi lokalize eder, yani. olasılık yoğunluğu ortalama etrafında yoğunlaşmıştır. Tutarlı bir derecelendirmeye sahip olmak arzu edilir, yani. örneklem büyüklüğündeki bir artışla gerçek değere yönelen bir tahmin (önyargı ve varyans sıfıra eğilim gösterir). Yalnızca sinyalin kendisi hakkındaki bilgileri kullanarak parametrik tahminler ile rastgele bir sinyalin istatistiksel modelini kullanarak ve bu modelin parametrelerini seçerek parametrik olmayan tahminleri ayırt edin.

Rastgele süreçleri değerlendirirken korelasyon fonksiyonlarının kullanımı yaygındır.

Ergodik bir süreç için, bir uygulamanın ortalaması alınarak sürecin istatistiksel parametrelerini belirlemek mümkündür.

İçin durağan rastgele süreç korelasyon fonksiyonu Rx(t), belirlendiği zaman aralığına bağlıdır. Bu değer, t aralığı ile ayrılan x (t) değerleri arasındaki ilişkiyi karakterize eder. R (t) ne kadar yavaş azalırsa, rastgele sürecin değerleri arasında istatistiksel bir ilişkinin olduğu aralık o kadar uzun olur.

matematiksel beklenti nerede x (t).

Rastgele bir süreç için korelasyon fonksiyonu R (t) ile spektral güç yoğunluğu W (w) arasındaki ilişki Wiener-Khinchin teoremi ile belirlenir.

Ayrık süreçler için, Wiener-Khinchin teoremi ayrık rastgele bir sürecin spektrumu W (w) ile onun korelasyon fonksiyonu Rx (n) arasında bir bağlantı kurar.

W (w) = R x (n) exp (-j w n T)

Zaman ve frekans alanlarındaki sinyal enerjisini tahmin etmek için Parseval eşitliği kullanılır.

Spektral yoğunluk tahmini elde etmenin en yaygın yollarından biri, periodogram yöntemini kullanmaktır.

periodogram Bu yöntemde, N uzunluğundaki numunelerin ayrık örnekleme noktalarında belirtilen x (n) sinyali ve bunun istatistiksel ortalaması için ayrık bir Fourier dönüşümü gerçekleştirilir. Spektrumun gerçek hesaplaması, X (k), yalnızca sonlu sayıda N frekans noktasında gerçekleştirilir. Hızlı Fourier Dönüşümü (FFT) uygulanır. Numune numunesi başına spektral güç yoğunluğu hesaplanır:

P xx (X k) = |X (k) | 2 / N, X (k) =, k = 0,1, ..., N-1.

İstatistiksel olarak sağlam bir tahmin elde etmek için, mevcut veriler örtüşen numunelere bölünür ve ardından her numune için elde edilen spektrumların ortalaması alınır. N numune başına numune sayısı ve sonraki her numunenin başlangıcının önceki Nt başlangıcına göre kayması ayarlanır. Örneklemdeki örnek sayısı ne kadar az olursa, örnek sayısı o kadar fazla olur ve tahminlerin varyansı o kadar düşük olur. Ancak numune uzunluğu N, frekans çözünürlüğü (2.4) ile ilgili olduğu için, numune uzunluğundaki bir azalma frekans çözünürlüğünde bir azalmaya yol açar.

Böylece sinyal pencereden izlenir ve pencereye düşmeyen veri sıfıra eşit alınır. N örnekten oluşan son sinyal x (n), genellikle zaman içinde sonsuz bir sinyalin çarpılmasının sonucu olarak temsil edilir. (n) sonlu uzunluğu w R (n) olan dikdörtgen bir pencerede:

x (n) = (n)∙ w R (n),

ve gözlemlenen sinyallerin x(n) sürekli spektrumu XN(f), sonsuz zaman sinyalinin X(f), WR(f) Fourier görüntülerinin konvolüsyonu olarak tanımlanır. (n)∙ ve pencereler w R (n)

X N (f) = X (f) * W R (f) =

Sürekli bir dikdörtgen pencerenin (rekt) spektrumu, integral sinüs sinc (x) = sin (x) / x şeklindedir. Bir ana “lob” ve en büyüğü ana tepe noktasının yaklaşık 13 dB altında olan birkaç yan lob içerir (bkz. Şekil 15).

Sürekli bir dikdörtgen pencerenin N-nokta örneklemesi ile elde edilen ayrı bir dizinin Fourier dönüşümü (spektrum) Şekil 32'de gösterilmektedir. Dirichlet çekirdeği ile sonuçlanan kaydırılmış integral sinüslerin (2.9) toplanmasıyla hesaplanabilir.

Pirinç. 32. Ayrık bir dikdörtgen pencerenin spektrumu

Sonsuz bir sinyal gücünü tam olarak f k ayrık frekansında yoğunlaştırırken, sinyalin dikdörtgen bir örneğinin dağıtılmış bir güç spektrumu vardır. Örnek ne kadar kısa olursa, spektrum o kadar dağılır.

Spektral analizde, veriler pencere fonksiyonları kullanılarak ağırlıklandırılır, böylece yan "lobların" spektral tahminler üzerindeki etkisi azaltılır.

İki harmonik f 1 ve f 2'yi yakın frekanslarla tespit etmek için, T zaman penceresi için ana "lob" genişliğinin Df -3 ≈ Df L = 0 = 1 / T olması gerekir, -3 değerinde belirlenir dB, aranan frekanslar arasındaki farktan daha azdı

Df = f 1 -f 2> Df -3

T zaman penceresinin genişliği, formül (2.4) ile örnekleme frekansı f s ve örnekleme örneklerinin sayısı ile ilgilidir.

Harmonik Analiz Araçları... Sinyalleri incelemek için MATLAB paketini, özellikle Signal Processing uygulamasını (Toolbox) kullanmak çok uygundur.

Değiştirilmiş periodogramlar Gibbs etkisini azaltan dikdörtgen olmayan pencereleme işlevleri kullanın. Bir örnek, Hamming penceresinin kullanımıdır. Ancak aynı zamanda, spektrogramın ana lobunun genişliği yaklaşık olarak iki katına çıkar. Kaiser penceresi biraz daha optimize edildi. Alçak geçiren filtreler oluşturulurken ana lobların genişliğinin arttırılması, geçiş bandında (geçiş ve durdurma bantları arasında) bir artışa neden olur.

Welch'in Tahmini İşlevi... Yöntem, sıralı zaman verilerini bölümlere ayırmaktan (muhtemelen üst üste binerek), ardından her bir bölümü işlemekten ve ardından bölümlerin işlenmesinin ortalamasını alarak spektrumu tahmin etmekten oluşur. Puanı iyileştirmek için Hamming penceresi gibi dikdörtgen olmayan pencereleme işlevleri kullanılabilir. Segment sayısının arttırılması varyansı azaltır, ancak aynı zamanda yöntemin frekans çözünürlüğünü de azaltır. Yöntem, gürültü üzerinde küçük bir yararlı sinyal fazlalığı ile iyi sonuçlar verir ve genellikle pratikte kullanılır.

Şekil 33, farklı örneklerde (N = 100, N = 67) ve farklı yöntemler kullanılarak dar bant istenen sinyalleri ve beyaz gürültü içeren veriler için harmonik kompozisyon tahminlerini göstermektedir.

Pirinç. 33. 1024 noktalı FFT dönüşümü için sinyal harmoniklerinin tahmini

parametrik yöntemler otoregresif (AR) modelleri kullanın. Yöntemler filtre modelleri oluşturur ve bunları sinyal spektrumlarını tahmin etmek için kullanır. Tüm yöntemler, sinyalde gürültü varlığında yanlı tahminler verir. Bir gürültü arka planına karşı harmonik bileşenlere sahip sinyallerin işlenmesi için yöntemler amaçlanmaktadır. Yöntemin (filtre) sırası, sinyalde bulunan harmonik sayısının iki katına ayarlanır. Birkaç parametrik yöntem önerilmiştir.

Burg yöntemi, kısa örnekler için yüksek frekans çözünürlüğü sağlar. Büyük bir filtre sırası ile spektral tepeler bölünür. Spektral tepe noktalarının konumu, ilk harmonik fazlara bağlıdır.

Kovaryans yöntemi, harmonik bileşenlerin toplamını içeren bir sinyalin spektrumunu tahmin etmenizi sağlar.

Yule-Walker yöntemi uzun numunelerde iyi sonuçlar verir ve kısa numuneler için önerilmez.

korelasyon yöntemleri... MISIC (Çoklu Sinyal Sınıflandırması) ve EV (özvektörler) yöntemleri, bir psödospektrum biçiminde sonuçlar üretir. Yöntemler, sinyal korelasyon matrisinin vektörlerinin analizine dayanmaktadır. Bu yöntemler, otokorelasyon yöntemlerinden biraz daha iyi frekans çözünürlüğü sağlar.