Bir matrisin elemanlarının cebirsel tamamlayıcıları nasıl hesaplanır. Cebirsel Tamamlayıcılar ve Küçükler

matrisin küçükleri

bir kare verildi matris A, n - inci sıra. Küçükаij bazı elemanlarının, n'inci dereceden matrisin determinantı denir belirleyici(n - 1) - seçilen öğenin аij bulunduğu kesişim noktasında satır ve sütunu silerek orijinalden elde edilen inci sıra. Мij olarak adlandırılır.

Bir örnek düşünelim matrisin determinantı 3 - sırası:
Küçükler ve cebirsel tamamlayıcılar, matris 3'ün belirleyicisi - sırası, sonra tanıma göre küçük, küçük a12 elemanına karşılık gelen M12, belirleyici:Ayrıca, kullanarak küçükler hesaplama görevini kolaylaştırmak mümkündür matrisin determinantı... parçalanmalı bir matrisin determinantı bir satırda ve sonra belirleyici bu satırın tüm öğelerinin küçükleri tarafından toplamına eşit olacaktır. Ayrışma matrisin determinantı 3 - sırası şöyle görünecek:

, çarpımdan önceki işaret (-1) n'dir, burada n = i + j.

Cebirsel eklemeler:

cebirsel tamamlayıcı eleman аij denir küçük toplamı (i + j) çift sayı ise "+" işaretiyle ve bu toplam tek sayıysa "-" işaretiyle alınır. Aij belirlenir.
Аij = (-1) ben + j × Мij.

O zaman yukarıdaki özelliği yeniden formüle edebiliriz. Bir matrisin determinantı bazı satırların (satır veya sütun) öğelerinin çarpımının toplamına eşittir matrisler ilgililerine cebirsel tamamlayıcılar... Örnek.

Matris dönüşümü olmadan, determinantın sadece 2 × 2 ve 3 × 3 matrisler için hesaplanması kolaydır. Bu, formüller kullanılarak yapılır:

matris için

belirleyici:

matris için

belirleyici:

a11 * (a22 * a33-a23 * a32) -a12 * (a21 * a33-a23 * a31) + a13 * (a21 * a32-a22 * a31)

4 × 4 ve daha büyük matrisler için hesaplamalar zordur, bu nedenle determinantın özelliklerine göre dönüştürülmeleri gerekir. Herhangi bir sütun veya herhangi bir satır dışındaki tüm değerlerin sıfıra eşit olduğu bir matris elde etmeye çalışmak gerekir. Böyle bir matrisin bir örneği:

Bunun için belirleyici:

A12 * (a21 * (a33 * a44-a34 * a43) -a23 * (a31 * a44-a34 * a41) + a24 * (a31 * a43-a33 * a41))

Bunu not et

a21 * (a33 * a44-a34 * a43) -a23 * (a31 * a44-a34 * a41) + a24 * (a31 * a43-a33 * a41)

bu, matrisi ayrıştırdığımız, sıfır olmayan tek bir satır / sütun numarası olan kesişme noktasında satır ve sütunun çıkarılmasıyla elde edilen matrisin determinantının hesaplanmasıdır:

Ve ortaya çıkan değeri "sıfır" sütun / satırdaki aynı sayı ile çarpıyoruz, sayı -1 ile çarpılabilir (tüm detaylar aşağıda).

Matris üçgen bir forma indirgenirse, determinantı köşegen boyunca rakamların ürünü olarak hesaplanır. Örneğin, matris için

Belirleyici:

Aynısı 5 × 5, 6 × 6 matrisleri ve diğer büyük boyutlar için de yapılmalıdır.

Matris dönüşümleri determinantın özelliklerine göre yapılmalıdır. Ancak 4×4 matrisler için determinant hesaplama uygulamasına geçmeden önce, 3×3 matrislere geri dönelim ve determinantın onlar için nasıl hesaplandığına daha yakından bakalım.

Küçük

Bir matrisin determinantını anlamak çok kolay değildir, çünkü kavramında özyineleme vardır: Bir matrisin determinantı, (diğer) matrislerin determinantı da dahil olmak üzere birkaç unsurdan oluşur.

Buna takılıp kalmamak için hemen (geçici olarak) matrisin determinantı olduğunu varsayalım.

şu şekilde hesaplanır:

Ayrıca aşağıdaki gibi kuralları ve kavramları anlayalım: küçük ve cebirsel tamamlayıcı.

I harfiyle, tahliyenin sıra numarasını, j harfiyle - sütunun sıra numarasını belirtiriz.

a ij, i satırı ve j sütununun kesişimindeki matrisin (rakam) öğesi anlamına gelir.

Satır i ve j sütunu silinerek orijinalden elde edilen bir matris hayal edin. Orijinalden i satırı ve j sütunu silinerek elde edilen yeni matrisin determinantına a ij elemanının M ij minör değeri denir.

Söylenenleri örneklendirelim. matris verildiğini varsayalım

Ardından, a 11 öğesinin minör M 11'ini belirlemek için, ilk satırı ve ilk sütunu kaldırarak orijinalden elde edilen yeni bir matris oluşturmamız gerekir:

Ve bunun determinantını hesaplayın: 2 * 1 - (-4) * 0 = 2

a 22 öğesinin minör M 22'sini belirlemek için, ikinci satırı ve ikinci sütunu kaldırarak orijinalden elde edilen yeni bir matris oluşturmamız gerekir:

Ve bunun determinantını hesaplayın: 1 * 1 -3 * 3 = -8

cebirsel tamamlayıcı

Bir a ij elemanı için A ij cebirsel tamamlayıcısı, bu elemanın kesişim noktasında olduğu satır ve sütun indekslerinin (i + j) toplamı ise "+" işaretiyle alınan bu elemanın küçük Mi ij'sidir. bulunur, çifttir ve indekslerin toplamı tek ise "-" işareti ile.

Böylece,

Önceki örnekteki matris için

A 11 = (-1) (1 + 1) * (2 * 1 - (-4) * 0) = 2

A 22 = (-1) (2 + 2) * (1 * 1 -3 * 3) = -8

Matrisler için determinantın hesaplanması

A matrisine karşılık gelen n mertebesinin determinantı, det A ile gösterilen ve aşağıdaki formülle hesaplanan bir sayıdır:

Bu formüldeki her şey bize zaten tanıdık geliyor, şimdi matrisin determinantını hesaplayalım.

i = 1,2, ..., n satırının veya j = 1, 2, ..., n sütununun numarası ne olursa olsun, n. mertebenin determinantı bu elemanın ürünlerinin çarpımlarının toplamına eşittir. satır veya bu sütun cebirsel tümleyenlere göre, yani

Onlar. determinant herhangi bir sütun veya herhangi bir satır için hesaplanabilir.

Bunu doğrulamak için, ikinci sütun için son örnekten matrisin determinantını hesaplıyoruz.

Gördüğünüz gibi, sonuç aynıdır ve bu matris için hangi satırı veya hangi sütunu sayacağımızdan bağımsız olarak determinant her zaman -52 olacaktır.

Matris belirleyici özellikleri

Determinantın satırları ve sütunları eşittir, yani sıralarını koruyarak satırlarını ve sütunlarını değiştirirseniz determinantın değeri değişmez. Bu işleme niteleyici aktarımı denir. Formüle edilmiş özelliğe göre det A = det AT.
İki satırı (veya iki sütunu) değiştirirken, determinant mutlak değerini korur, ancak işaretini tersine değiştirir.
İki özdeş satıra (veya sütuna) sahip bir determinant sıfırdır.
Determinantın bir satırının (veya bir sütununun) tüm elemanlarının λ sayısı ile çarpılması, determinantın λ sayısı ile çarpılmasına eşdeğerdir.
Determinantın herhangi bir satırının (veya herhangi bir sütununun) tüm elemanları sıfıra eşitse, determinantın kendisi sıfıra eşittir.
Determinantın iki satırının (veya iki sütununun) öğeleri orantılıysa, determinant sıfırdır.
Determinantın bir satırının (veya bir sütununun) öğelerine, başka bir satırın (diğer sütunun) karşılık gelen öğelerini rastgele bir λ faktörü ile çarparak eklersek, determinantın değeri değişmez.
Determinantın herhangi bir satırının (herhangi bir sütun) öğelerinin, diğer herhangi bir satırın (başka herhangi bir sütun) öğelerinin karşılık gelen cebirsel tümleyenleri tarafından ürünlerinin toplamı sıfıra eşittir.
Determinantın i-inci satırının tüm elemanları, a ij = bj + cj olmak üzere iki terimin toplamı olarak sunulursa, determinant, i-th hariç tüm satırların olduğu iki determinantın toplamına eşittir. , verilen determinanttaki ile aynıdır, terimlerden birinde i-inci satır bj öğelerinden, diğerinde cj öğelerinden oluşur. Benzer bir özellik determinant sütunları için de geçerlidir.
İki kare matrisin çarpımının determinantı, determinantlarının çarpımına eşittir: det (A * B) = det A * det B.

Herhangi bir mertebenin determinantını hesaplamak için determinantın mertebesini art arda azaltma yöntemi kullanılabilir. Bunu yapmak için, determinantın bir satır veya sütunun öğeleri tarafından ayrıştırılması kuralını kullanın. Determinantları hesaplamanın başka bir yolu, determinantların 4 ve 7 özelliklerine göre satırlar (veya sütunlar) ile elemanter dönüşümler kullanmak, determinantı determinantın ana köşegeni altındayken (aynı şekilde tanımlanır) forma getirmektir. kare matrislere gelince) tüm elemanlar sıfıra eşittir. Daha sonra determinant, ana köşegen üzerinde bulunan elemanların çarpımına eşittir.

Hesaplamalı işin miktarını azaltmak için sırayı art arda azaltarak determinantı hesaplarken, determinantın herhangi bir satırının veya herhangi bir sütununun bazı öğelerini sıfırlamak için determinantların 7 özelliğinin kullanılması tavsiye edilir; bu, determinantın sayısını azaltacaktır. hesaplanmış cebirsel tamamlayıcılar.

Bir matrisin üçgen şekle indirgenmesi, determinantın hesaplanmasını kolaylaştıran bir matrisin dönüştürülmesi

Aşağıda gösterilen yöntemleri 3 × 3 matrisler için kullanmak pratik değildir, ancak yöntemlerin özünü basit bir örnekle ele almayı öneriyorum. Belirleyicisini önceden hesapladığımız matrisi kullanalım - hesaplamaların doğruluğunu kontrol etmemiz daha kolay olacaktır:

Determinantın 7. özelliğini kullanarak, ikinci satırdan üçüncüyü 2 ile çarparak çıkarın:

üçüncü satırdan, determinantın ilk satırının karşılık gelen öğelerini 3 ile çarparak çıkarırız:

Belirleyicinin ana köşegeninin altında bulunan elemanları 0'a eşit olduğundan, bu nedenle, belirleme ana köşegen üzerinde bulunan elemanların çarpımına eşittir:

1*2*(-26) = -52.

Gördüğünüz gibi, cevap daha önce alınanlarla çakıştı.

Bir matrisin determinantının formülünü hatırlayalım:

Belirleyici, satırlardan birinin veya sütunlardan birinin üyeleri ile çarpılan cebirsel tümleyenlerin toplamıdır.

Dönüşümlerin bir sonucu olarak, satırlardan (veya sütunlardan) birinin bir konum dışında tamamen sıfırdan oluşması için yaparsak, o zaman kesinlikle eşit olacakları için tüm cebirsel tümleyenleri saymamız gerekmeyecektir. sıfıra. Önceki yöntem gibi, büyük matrisler için bu yöntemin kullanılması tavsiye edilir.

Aynı matris üzerinde bir örnek gösterelim:

Determinantın ikinci sütununun zaten bir sıfır elemanı içerdiğine dikkat edin. İkinci satırın elemanlarına, ilk satırın elemanlarını -1 ile çarparak ekleyin. Alırız:

İkinci sütun için determinantı hesaplayalım. Geri kalanı kesinlikle sıfıra indirgendiğinden, yalnızca bir cebirsel tümleyeni hesaplamamız gerekiyor:

4 × 4, 5 × 5 matrisler ve büyük boyutlar için determinantın hesaplanması

Büyük matrisler için çok büyük hesaplamalardan kaçınmak için yukarıda açıklanan dönüşümleri yapmalısınız. Burada bir çift örnek var.

Tanımlama Matrisini Hesapla

Çözüm Determinantın 7. özelliğini kullanarak, üçüncüyü ikinci satırdan ve dördüncü sıradan determinantın ilk satırının karşılık gelen elemanlarını sırasıyla 3, 4, 5 ile çarparak çıkarırız.Bu eylemler kısaltılacaktır. aşağıdaki gibidir: (2) - (13; (3) - (1) * 4; (4) - (1) * 5. Aldığımız:

İşlemleri gerçekleştirelim

matrisin küçükleri

bir kare verildi matris A, n - inci sıra. Küçük bir ij elementinin, matrisin determinantı n - inci sıra denir belirleyici(n - 1) - seçilen öğenin a ij'nin bulunduğu kesişim noktasında satır ve sütun silinerek orijinalden elde edilen inci sıra. М ij ile gösterilir.

Bir örnek düşünelim matrisin determinantı 3 - sırası:

Daha sonra tanıma göre küçük, küçük a 12 elemanına karşılık gelen M 12, belirleyici:

Ayrıca, kullanarak küçükler hesaplama görevini kolaylaştırmak mümkündür matrisin determinantı... parçalanmalı bir matrisin determinantı bir satırda ve sonra belirleyici bu satırın tüm öğelerinin küçükleri tarafından toplamına eşit olacaktır. Ayrışma matrisin determinantı 3 - sırası şöyle görünecek:

Çarpımın önündeki işaret (-1) n'dir, burada n = i + j.

Cebirsel eklemeler:

cebirsel tamamlayıcı a ij elemanına onun adı verilir küçük toplamı (i + j) çift sayı ise "+" işaretiyle ve bu toplam tek sayıysa "-" işaretiyle alınır. А ij ile gösterilir. Ve ij = (-1) ben + j × M ij.

O zaman yukarıdaki özelliği yeniden formüle edebiliriz. Bir matrisin determinantı belirli bir satırın (satır veya sütun) öğelerinin çarpımının toplamına eşittir matrisler ilgililerine cebirsel tamamlayıcılar... Örnek:

4. Ters matris ve hesaplanması.

A bir kare olsun matris n - inci sıra.

Meydan matris A'ya dejenere olmayan denir bir matrisin determinantı(Δ = det A) sıfıra eşit değil (Δ = det A ≠ 0). Aksi halde (Δ = 0) matris A'ya dejenere denir.

Matris, müttefik matris Ah, aradı matris

nerede bir ij - cebirsel tamamlayıcı bunun a ij elemanı matrisler(aynı şekilde tanımlanır cebirsel tamamlayıcı eleman matrisin determinantı).

Matris-1 denir ters matris A, eğer koşul karşılanırsa: A × A -1 = A -1 × A = E, burada E bir birimdir matris ile aynı düzende matris A. Matris A -1 ile aynı boyutlara sahiptir matris A.

ters matris

kare varsa matrisler X ve A, şu koşulu sağlıyor: X × A = A × X = E, burada E birimdir matris aynı düzende, daha sonra matris X denir ters matris A matrisine bağlanır ve A -1 ile gösterilir. Herhangi bir dejenere olmayan matris sahip ters matris ve ayrıca, sadece bir tane, yani bir kare için matris bir vardı ters matris olması gerekli ve yeterlidir. belirleyici sıfır değildi.

Almak ters matris formülü kullanın:

M ji isteğe bağlı olduğunda küçük eleman bir ji matrisler A.

5. Matrisin sırası. Temel dönüşümleri kullanarak sıralama hesaplaması.

Dikdörtgen bir mxn matrisi düşünün. Bu matriste bazı k satır ve k sütun seçelim, 1 £ k £ dak (m, n). Seçilen satır ve sütunların kesişim noktalarındaki elemanlardan k. mertebenin determinantını oluşturacağız. Tüm bu belirleyicilere matrisin küçükleri denir. Örneğin, bir matris için ikinci dereceden küçükleri oluşturabilirsiniz. ve birinci dereceden küçükler 1, 0, -1, 2, 4, 3.

Tanım. Bir matrisin rankı, bu matrisin sıfırdan farklı bir minörünün en yüksek mertebesidir. r (A) matrisinin sırasını belirtin.

Yukarıdaki örnekte, örneğin küçük olduğundan, matrisin sırası ikidir.

Temel dönüşümler yöntemiyle bir matrisin sırasını hesaplamak uygundur. Temel dönüşümler şunları içerir:

1) satırların (sütunların) permütasyonları;

2) bir satırı (sütun) sıfırdan farklı bir sayı ile çarpmak;

3) bir satırın (sütun) öğelerine, daha önce bir sayı ile çarpılarak başka bir satırın (sütun) karşılık gelen öğelerinin eklenmesi.

Bu dönüşümler matrisin rankını değiştirmez, çünkü 1) satırlar yeniden düzenlendiğinde determinantın işaret değiştirdiği ve sıfıra eşit değilse, olmayacağı; 2) determinantın dizesini sıfıra eşit olmayan bir sayı ile çarparken, determinant bu sayı ile çarpılır; 3) üçüncü temel dönüşüm determinantı hiç değiştirmez. Böylece, matris üzerinde temel dönüşümler gerçekleştirerek, sıralamasını ve dolayısıyla orijinal matrisi hesaplamanın kolay olduğu bir matris elde edilebilir.

Tanım. Temel dönüşümler kullanılarak matristen elde edilen matrise eşdeğer denir ve gösterilir. A V.

Teorem. Matrisin rankı, temel matris dönüşümleri altında değişmez.

Temel dönüşümlerin yardımıyla, matris, sıralamasının hesaplanması zor olmadığında, sözde kademeli forma indirgenebilir.

Matris şu şekle sahipse adımlı olarak adlandırılır:

Açıkçası, basamaklı matrisin sırası, sıfır olmayan satırların sayısına eşittir. dan beri sıfıra eşit olmayan inci dereceden bir minör var:

Örnek. Temel dönüşümleri kullanarak matrisin sırasını belirleyin.

Matrisin sırası, sıfır olmayan satırların sayısına eşittir, yani. ...

Bu konumuzda cebirsel tümleyen ve minör kavramlarını ele alacağız. Materyalin sunumu, "Matrisler. Matris türleri. Temel terimler" konusunda açıklanan terimlere dayanmaktadır. Determinantları hesaplamak için bazı formüllere de ihtiyacımız var. Bu konuda küçükler ve cebirsel eklemelerle ilgili çok fazla terim olduğu için, materyalde gezinmeyi kolaylaştırmak için kısa bir özet ekleyeceğim.

Minör $ M_ (ij) $ öğesinin $ a_ (ij) $

$ M_ (ij) $ eleman$ a_ (ij) $ matrisleri $ A_ (n \ çarpı n) $ $ A $ matrisinden i. satır ve j. sütunu (yani, satır ve sütunu) silerek elde edilen matrisin determinantını adlandırın $ a_ (ij) $) öğesinin bulunduğu kesişim.

Örneğin, dördüncü dereceden bir kare matris düşünün: $ A = \ left (\ startup (dizi) (cccc) 1 & 0 & -3 & 9 \\ 2 & -7 & 11 & 5 \\ -9 & 4 & 25 & 84 \\ 3 & 12 & -5 & 58 \ end (dizi) \ sağ) $. $ a_ (32) $ alt öğesini bulun, yani. $ M_ (32) $ bulun. Önce minör $ M_ (32) $ 'ı yazıyoruz ve sonra değerini hesaplıyoruz. $ M_ (32) $ oluşturmak için, $ A $ matrisinden üçüncü satır ve ikinci sütunu silin ($ a_ (32) $ öğesinin bulunduğu üçüncü satır ve ikinci sütunun kesişimindedir) ). Belirleyicisi gerekli minör $ M_ (32) $ olan yeni bir matris alacağız:

Bu minör, hesaplama konusundaki formül # 2'yi kullanarak hesaplamak kolaydır:

$$ M_ (32) = \ sol | \ başlangıç (dizi) (ccc) 1 & -3 & 9 \\ 2 & 11 & 5 \\ 3 & -5 & 58 \ end (dizi) \ sağ | = 1 \ cdot 11 \ cdot 58 + (- 3) \ cdot 5 \ cdot 3 + 2 \ cdot (-5) \ cdot 9-9 \ cdot 11 \ cdot 3 - (- 3) \ cdot 2 \ cdot 58-5 \ cdot (-5) \ cdot 1 = 579. $$

Yani, $ a_ (32) $'ın minörü 579'dur, yani. $ M_ (32) = 579 $.

Çoğu zaman, literatürde "matriks elemanının minörü" ifadesi yerine "determinantın elemanının minörü" ifadesi vardır. Öz değişmeden kalır: $ a_ (ij) $ öğesinin minörünü elde etmek için, orijinal determinanttan i. satır ve j. sütunun üzerini çıkarmanız gerekir. Kalan öğeler, $ a_ (ij) $ öğesinin küçük olan yeni determinantına yazılır. Örneğin, $ \ left | determinantının $ a_ (12) $ alt öğesini bulalım. \ start (dizi) (ccc) -1 & 3 & 2 \\ 9 & 0 & -5 \\ 4 & -3 & 7 \ end (dizi) \ sağ | $. Gerekli minör $ M_ (12) $ 'ı yazmak için, verilen determinanttan ilk satırı ve ikinci sütunu çıkarmamız gerekir:

Bu minörün değerini bulmak için, ikinci ve üçüncü derecelerin belirleyicilerini hesaplama konusundan 1 numaralı formülü kullanıyoruz:

$$ M_ (12) = \ sol | \ start (dizi) (cc) 9 & -5 \\ 4 & 7 \ end (dizi) \ sağ | = 9 \ cdot 7 - (- 5) \ cdot 4 = 83. $$

Yani, $ a_ (12) $'ın minörü 83'tür, yani. $ M_ (12) = 83 $.

Cebirsel tamamlayıcı $ A_ (ij) $ of $ a_ (ij) $

Bir kare matris $ A_ (n \ çarpı n) $ (yani n'inci dereceden bir kare matris) verilsin.

cebirsel tamamlayıcı$ A_ (ij) $ eleman$ A_ (n \ çarpı n) $ matrisinin $ a_ (ij) $'ı aşağıdaki formülle bulunur: $$ A_ (ij) = (- 1) ^ (i + j) \ cdot M_ (ij), $ $

burada $ M_ (ij) $, $ a_ (ij) $ öğesinin küçüğüdür.

$ A = \ left (\ startup (dizi) (cccc) 1 & 0 & -3 & 9 \\ 2 & -7 & 11 & 5 \\ matrisinin $ a_ (32) $ öğesinin cebirsel tümleyenini bulun -9 & 4 & 25 & 84 \\ 3 & 12 & -5 & 58 \ end (dizi) \ sağ) $, yani. $ A_ (32) $ bulun. Daha önce minör $ M_ (32) = 579 $'ı bulduk, bu yüzden elde edilen sonucu kullanıyoruz:

Genellikle, cebirsel tamamlayıcıları bulurken, minör ayrı olarak hesaplanmaz ve ancak o zaman tamamlayıcının kendisi hesaplanır. Küçük giriş atlanmıştır. Örneğin, $ A = \ left (\ startup (dizi) (ccc) -5 & 10 & 2 \\ 6 & 9 & -4 \\ 4 & -3 & 1 \ end ( ise $ A_ (12) $ öğesini bulun dizi) \ sağ) $. $ A_ (12) = (- 1) ^ (1 + 2) \ cdot M_ (12) = - M_ (12) $ formülüne göre. Ancak $ M_ (12) $ elde etmek için $ A $ matrisinin ilk satırını ve ikinci sütununu silmek yeterlidir, öyleyse neden minör için gereksiz bir notasyon getirelim? $ A_ (12) $ cebirsel tamamlayıcısının ifadesini hemen yazalım:

$ A_ (m \ çarpı n) $ matrisinin k. mertebesinden küçük

Önceki iki paragrafta sadece kare matrislerden bahsettiysek, o zaman burada satır sayısının mutlaka sütun sayısına eşit olmadığı dikdörtgen matrislerden de bahsedeceğiz. Öyleyse, $ A_ (m \ çarpı n) $ matrisi verilsin, yani. m satır ve n sütun içeren bir matris.

k. dereceden küçük$ A_ (m \ çarpı n) $ matrisinin öğeleri, $ A $ matrisinin k satır ve k sütununun kesişiminde bulunan determinant olarak adlandırılır ($ k≤ m $ ve $ olduğu varsayılır) k≤ n $).

Örneğin, şöyle bir matris düşünün:

$$ A = \ sol (\ başla (dizi) (cccc) -1 & 0 & -3 & 9 \\ 2 & 7 & 14 & 6 \\ 15 & -27 & 18 & 31 \\ 0 & 1 & 19 & 8 \\ 0 & -12 & 20 & 14 \\ 5 & 3 & -21 & 9 \\ 23 & -10 & -5 & 58 \ end (dizi) \ sağ) $$

Bunun için üçüncü dereceden bir minör yazalım. Üçüncü dereceden bir minör yazmak için, bu matrisin herhangi üç satırını ve üç sütununu seçmemiz gerekiyor. Örneğin, # 2, # 4, # 6 satırlarını ve # 1, # 2, # 4 sütunlarını alalım. Gerekli minör öğeleri bu satır ve sütunların kesişim noktasında yer alacaktır. Şekilde, küçük elemanlar mavi renkle gösterilmiştir:

$$ \ left (\ start (dizi) (cccc) -1 & 0 & -3 & 9 \\ \ boldblue (2) & \ boldblue (7) & 14 & \ boldblue (6) \\ 15 & -27 & 18 & 31 \\ \ boldblue (0) & \ boldblue (1) & 19 & \ boldblue (8) \\ 0 & -12 & 20 & 14 \\ \ boldmavi (5) & \ koyu mavi (3) & -21 & \ boldblue (9) \\ 23 & -10 & -5 & 58 \ end (dizi) \ sağ); \; M = \ sol | \ başlangıç (dizi) (ccc) 2 & 7 & 6 \\ 0 & 1 & 8 \\ 5 & 3 & 9 \ end (dizi) \ sağ |. $$

Birinci dereceden küçükler, bir satır ve bir sütunun kesişiminde bulunur, yani. birinci dereceden küçükler verilen matrisin elemanlarına eşittir.

$ A_ (m \ çarpı n) = (a_ (ij)) $ matrisinin k. mertebeden küçük mertebesine $ denir ana bu minörün ana köşegeni $ A $ matrisinin yalnızca ana köşegen öğelerini içeriyorsa.

Ana köşegen elemanlarının matrisin indeksleri eşit olan elemanları olduğunu hatırlatmama izin verin: $ a_ (11) $, $ a_ (22) $, $ a_ (33) $ vb. Örneğin, yukarıda ele alınan $ A $ matrisi için, bu tür elemanlar $ a_ (11) = - 1 $, $ a_ (22) = 7 $, $ a_ (33) = 18 $, $ a_ (44) = olacaktır. 8 dolar. Şekilde yeşil renkle vurgulanmıştır:

$$ \ sol (\ başla (dizi) (cccc) \ koyu yeşil (-1) & 0 & -3 & 9 \\ 2 & \ koyu yeşil (7) & 14 & 6 \\ 15 & -27 & \ koyu yeşil (18 ) & 31 \\ 0 & 1 & 19 & \ boldgreen (8) \\ 0 & -12 & 20 & 14 \\ 5 & 3 & -21 & 9 \\ 23 & -10 & -5 & 58 \ end ( dizi) \ sağ) $$

Örneğin, $ A $ matrisinde 1 ve 3 numaralı satırları ve sütunları çizersek, kesişimlerinde ana köşegen üzerinde yalnızca köşegen öğelerinin olacağı ikinci dereceden küçük öğeler olacaktır. $ A $ matrisi ($ a_ (11) = -1 $ öğeleri ve $ a_ (33) = 18 $ $ A $ matrisinin öğeleri). Bu nedenle, ikinci mertebenin ana minörünü elde ederiz:

$$ M = \ sol | \ başlangıç (dizi) (cc) \ kalın yeşil (-1) & -3 \\ 15 & \ kalın yeşil (18) \ bitiş (dizi) \ sağ | $$

Doğal olarak, örneğin 2 ve 4 numaralı diğer satırları ve sütunları alabiliriz, böylece ikinci mertebeden farklı bir majör minör elde edebiliriz.

$ A_ (m \ çarpı n) $ matrisinin k. mertebesinin bazı küçük $ M $'larının sıfıra eşit olmadığını varsayalım, yani. $ M \ neq 0 $. Bu durumda, sırası k'den büyük olan tüm küçükler sıfıra eşittir. Sonra minör $ M $ denir temel, ve temel minör öğelerinin bulunduğu satır ve sütunlara denir. temel çizgiler ve temel sütunlar.

Örneğin, aşağıdaki matrisi düşünün:

$$ A = \ sol (\ başla (dizi) (ccc) -1 & 0 & 3 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 4 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -2 & -1 & 0 \ \ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ bitiş (dizi) \ sağ) $$

Öğeleri No. 1, No. 2, No. 3 ve 1, No. 3, No. 4 sütunlarının kesişiminde bulunan bu matrisin minörünü yazalım. Üçüncü dereceden bir minör elde edeceğiz (öğeleri $ A $ matrisinde mor renkte vurgulanmıştır):

$$ \ left (\ start (dizi) (cc) \ boldpurple (-1) & 0 & \ boldpurple (3) & \ boldpurple (0) & 0 \\ \ boldpurple (2) & 0 & \ boldpurple (4) & \ boldpurple (1) & 0 \\ \ boldpurple (1) & 0 & \ boldpurple (-2) & \ boldpurple (-1) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ end (dizi) \ sağ); \; M = \ sol | \ başlangıç (dizi) (ccc) -1 & 3 & 0 \\ 2 & 4 & 1 \\ 1 & -2 & -1 \ end (dizi) \ sağ |. $$

İkinci ve üçüncü derecelerin belirleyicilerini hesaplama konusundan 2 numaralı formülü kullanarak bu minörün değerini bulalım:

$$ M = \ sol | \ start (dizi) (ccc) -1 & 3 & 0 \\ 2 & 4 & 1 \\ 1 & -2 & -1 \ end (dizi) \ sağ | = 4 + 3 + 6-2 = 11. $$

Yani, $ M = 11 \ neq 0 $. Şimdi, sırası üçten büyük olan herhangi bir minör oluşturmaya çalışalım. Dördüncü dereceden bir minör yapmak için dördüncü satırı kullanmalıyız, ancak bu satırın tüm elemanları sıfıra eşittir. Bu nedenle, herhangi bir dördüncü dereceden küçüklerin sıfır çizgisi olacaktır, bu da tüm dördüncü dereceden küçüklerin sıfıra eşit olduğu anlamına gelir. $ A $ matrisinin sadece 4 satırı olduğu için beşinci ve daha yüksek derecelerin küçüklerini oluşturamayız.

Sıfır olmayan üçüncü dereceden bir minör bulduk. Bu durumda, daha yüksek dereceli tüm küçükler sıfıra eşittir, bu nedenle bizim tarafımızdan değerlendirilen küçük temeldir. Bu minörün (birinci, ikinci ve üçüncü) elemanlarının bulunduğu $A $ matrisinin satırları temel satırlar ve $ A $ matrisinin birinci, üçüncü ve dördüncü sütunları temel sütunlardır. .

Bu örnek elbette önemsizdir, çünkü amacı temel minörün özünü açıkça göstermektir. Genel olarak, birkaç temel reşit olmayan kişi olabilir ve genellikle böyle bir reşit olmayanı bulma süreci çok daha karmaşık ve hacimlidir.

Bir kavram daha tanıtalım - sınırdaki minör.

$ A_ (m \ çarpı n) $ matrisinin k. mertebesinden $ M $ 'ın bir minörünün k satır ve k sütunun kesişiminde bulunmasına izin verin. Bu satır ve sütunların kümesine bir satır ve sütun daha ekleyelim. (k+1) mertebesinden elde edilen minör denir küçük sınırda küçük $ M $ için.

Örneğin, aşağıdaki matrisi düşünün:

$$ A = \ sol (\ başla (dizi) (cccc) -1 & 2 & 0 & -2 & -14 \\ 3 & -17 & -3 & 19 & 29 \\ 5 & -6 & 8 & - 9 & 41 \\ -5 & 11 & 19 & -20 & -98 \\ 6 & 12 & 20 & 21 & 54 \\ -7 & 10 & 14 & -36 & 79 \ end (dizi) \ sağ) $ $

Öğeleri №2 ve №5 satırlarının yanı sıra №2 ve №4 sütunlarının kesişiminde bulunan ikinci dereceden küçük olanı yazalım. Bu öğeler matriste kırmızıyla vurgulanmıştır:

$$ \ left (\ start (dizi) (cccc) -1 & 2 & 0 & -2 & -14 \\ 3 & \ boldred (-17) & -3 & \ boldred (19) & 29 \\ 5 & -6 & 8 & -9 & 41 \\ -5 & 11 & 19 & -20 & -98 \\ 6 & \ kalın (12) & 20 & \ kalın (21) & 54 \\ -7 & 10 & 14 & -36 & 79 \ end (dizi) \ sağ); \; M = \ sol | \ başlangıç (dizi) (ccc) -17 ve 19 \\ 12 ve 21 \ bitiş (dizi) \ sağ |. $$

Alt öğelerin $ M $ olduğu satır kümesine, başka bir satır # 1 ve sütun kümesine - sütun # 5'i ekleyelim. Öğeleri No. 1, No. 2, No. 5 ve 2, No. 4 sütunlarının kesişiminde bulunan yeni bir küçük $ M "$ (zaten üçüncü dereceden) alacağız, 5. Şekildeki $ M $ minörünün elemanları kırmızı ile vurgulanır ve $ M $ minöre eklediğimiz elementler mavidir:

$$ \ sol (\ başla (dizi) (cccc) -1 & \ boldblue (2) & 0 & \ boldblue (-2) & \ boldblue (-14) \\ 3 & \ boldred (-17) & -3) & \ cesur (19) & \ koyu mavi (29) \\ 5 & -6 & 8 & -9 & 41 \\ -5 & 11 & 19 & -20 & -98 \\ 6 & \ cesur (12) & 20 & \ boldred (21) & \ boldblue (54) \\ -7 & 10 & 14 & -36 & 79 \ end (dizi) \ sağ); \; M "= \ sol | \ başlangıç (dizi) (ccc) 2 & -2 & -14 \\ -17 & 19 & 29 \\ 12 & 21 & 54 \ end (dizi) \ sağ |. $$

Minör $ M "$, minör $ M $ için bir sınırlayıcı minördür. Benzer şekilde, minör $ M $ öğelerinin üzerinde bulunduğu satır kümesine, satır # 4 ve sütun kümesine - sütun # 3'e ekleyerek, minör $ M" "$ alıyoruz (üçüncü dereceden minör):

$$ \ left (\ start (dizi) (cccc) -1 & 2 & 0 & -2 & -14 \\ 3 & \ boldred (-17) & \ boldblue (-3) & \ boldred (19) & 29 \\ 5 & -6 & 8 & -9 & 41 \\ -5 & \ koyu mavi (11) & \ koyu mavi (19) & \ koyu mavi (-20) & -98 \\ 6 & \ koyu mavi (12) & \ boldblue (20) & \ boldred (21) & 54 \\ -7 & 10 & 14 & -36 & 79 \ end (dizi) \ sağ); \; M "" = \ sol | \ başlangıç (dizi) (ccc) -17 & -3 & 19 \\ 11 & 19 & -20 \\ 12 & 20 & 21 \ bitiş (dizi) \ sağ |. $$

Minör $ M "" $ ayrıca minör $ M $ için sınırlayıcı bir minördür.

$ A_ (n \ çarpı n) $ matrisinin k. mertebeden minörü. Ek küçük. Bir kare matrisin minörünün cebirsel tümleyeni.

Tekrar kare matrislere dönelim. Ek bir minör kavramını tanıtalım.

$ A_ (n \ çarpı n) $ matrisinin k. mertebesinden bir miktar minör $ M $ verilsin. $ M $ minörünü içeren satır ve sütunlar silindikten sonra elemanları $ A $ matrisinden elde edilen (n-k) -th sırasının determinantına minör denir, minör tamamlayıcı$ Milyon $.

Örneğin, beşinci dereceden bir kare matris düşünün:

$$ A = \ sol (\ başla (dizi) (cccc) -1 & 2 & 0 & -2 & -14 \\ 3 & -17 & -3 & 19 & 29 \\ 5 & -6 & 8 & - 9 & 41 \\ -5 & 11 & 16 & -20 & -98 \\ -7 & 10 & 14 & -36 & 79 \ end (dizi) \ sağ) $$

İçinde 1 ve 3 numaralı satırların yanı sıra 2 ve 5 numaralı sütunları seçelim. Bu satırların ve sütunların kesişiminde ikinci dereceden küçük elemanlar $ M $ olacaktır. Bu öğeler $ A $ matrisinde yeşil renkle vurgulanmıştır:

$$ \ left (\ start (dizi) (cccc) -1 & \ boldgreen (2) & 0 & -2 & \ boldgreen (-14) \\ 3 & -17 & -3 & 19 & 29 \\ 5 & \ boldgreen (-6) & 8 & -9 & \ boldgreen (41) \\ -5 & 11 & 16 & -20 & -98 \\ -7 & 10 & 14 & -36 & 79 \ end (dizi) \ sağ); \; M = \ sol | \ başlangıç (dizi) (cc) 2 & -14 \\ -6 & 41 \ bitiş (dizi) \ sağ |. $$

Şimdi $ A $ matrisinden # 1 ve # 3 satırları ve kesişme noktalarında küçük $ M $ öğeleri olan # 2 ve # 5 sütunlarını kaldırıyoruz (kaldırılacak satır ve sütunların öğeleri gösterilir) aşağıdaki şekilde kırmızı). Kalan öğeler küçük bir $ M "$ oluşturur:

$$ \ sol (\ başla (dizi) (cccc) \ kalın (-1) & \ kalın (2) & \ kalın (0) & \ kalın (-2) & \ kalın (-14) \\ 3 & \ kalın (-17) & -3 & 19 & \ kalın (29) \\ \ kalın (5) & \ kalın (-6) & \ kalın (8) & \ kalın (-9) & \ kalın (41) \ \ -5 & \ kalın (11) & 16 & -20 & \ kalın (-98) \\ -7 & \ kalın (10) & 14 & -36 & \ kalın (79) \ uç (dizi) \ sağ) ; \; M "= \ sol | \ başlangıç (dizi) (ccc) 3 & -3 & 19 \\ -5 & 16 & -20 \\ -7 & 14 & -36 \ end (dizi) \ sağ |. $$

Siparişi 5-2 $ = 3 $ olan $ M "$ minör, $ M $ minör için bir minör tamamlayıcıdır.

Bir minör için cebirsel tamamlayıcı$ M $ kare matris $ A_ (n \ çarpı n) $, $ (- 1) ^ (\ alpha) \ cdot M "$ ifadesidir, burada $ \ alpha $ satır ve sütun sayılarının toplamıdır $ A $ matrisinin, üzerinde minör $ M $ öğelerinin bulunduğu ve $ M "$, minör $ M $'ın minör tamamlayıcısıdır.

"$ M $ minörünün cebirsel tamamlayıcısı" ifadesi genellikle "$ M $ minörünün cebirsel tamamlayıcısı" ifadesi ile değiştirilir.

Örneğin, ikinci dereceden minör $ M = \ left | \ start (dizi) (ccc) 2 & -14 \\ -6 & 41 \ end (dizi) \ sağ | $ ve üçüncü dereceden ek bir minör: $ M "= \ left | \ startup (dizi) (ccc) 3 & -3 & 19 \\ -5 & 16 & -20 \\ -7 & 14 & -36 \ end (dizi) \ right | $. Küçük $ M $'ın cebirsel tümleyenini $ M ^ * $ olarak belirtin. Ardından tanım gereği:

$$ M ^ * = (- 1) ^ \ alpha \ cdot M ". $$

$ \ alpha $ parametresi, $ M $ minörünün bulunduğu satır ve sütun numaralarının toplamıdır. Bu küçük, # 1, # 3 satırlarının ve # 2, # 5 sütunlarının kesişiminde bulunur. Dolayısıyla $\alfa = 1 + 3 + 2 + 5 = 11 $. Yani:

$$ M ^ * = (- 1) ^ (11) \ cdot M "= - \ sol | \ başla (dizi) (cc) 3 & -3 & 19 \\ -5 & 16 & -20 \\ -7 & 14 & -36 \ end (dizi) \ sağ |. $$

Prensip olarak, ikinci ve üçüncü siparişlerin belirleyicilerini hesaplama konusundaki formül # 2'yi kullanarak, hesaplamaları sona erdirerek $ M ^ * $ değerini alabilirsiniz:

$$ M ^ * = - \ sol | \ start (dizi) (ccc) 3 & -3 & 19 \\ -5 & 16 & -20 \\ -7 & 14 & -36 \ end (dizi) \ sağ | = -30. $$