Lineer bağımlı ve lineer bağımsız matris sütunlarının özellikleri. Doğrusal Satır Bağımlılığı Satırları Doğrusal Bağımlı

Matris satırlarının doğrusal bağımsızlığı

Bir boyut matrisi verildi

Matrisin satırlarını aşağıdaki gibi gösterelim:

iki satır denir eşit karşılık gelen elemanları eşitse. ...

Bir dizeyi bir sayı ile çarpma ve dizeleri ekleme işlemlerini, eleman eleman gerçekleştirilen işlemler olarak tanıtalım:

Tanım. Bir dize, bu satırların rastgele gerçek sayılarla (herhangi bir sayı) çarpımlarının toplamına eşitse, matris satırlarının doğrusal bir birleşimi olarak adlandırılır:

Tanım. Matrisin satırları denir lineer bağımlı , matrisin satırlarının doğrusal kombinasyonu sıfır satırına eşit olacak şekilde aynı anda sıfıra eşit olmayan sayılar varsa:

Nereye . (1.1)

Bir matrisin satırlarının doğrusal bağımlılığı, matrisin en az 1 satırının geri kalanın doğrusal bir birleşimi olduğu anlamına gelir.

Tanım. Satırların (1.1) lineer kombinasyonu sıfır ise ve ancak tüm katsayılar ise, o zaman satırlar denir. Doğrusal bağımsız .

Matris sıra teoremi. Bir matrisin sırası, diğer tüm satırların (sütunların) doğrusal olarak ifade edildiği doğrusal olarak bağımsız satırlarının veya sütunlarının maksimum sayısına eşittir.

Teorem, matris analizinde, özellikle doğrusal denklem sistemlerinin çalışmasında temel bir rol oynar.

6,13,14,15,16. Vektörler. Vektörlerle ilgili işlemler (toplama, çıkarma, sayı ile çarpma),n -boyutlu vektör. Vektör uzayı kavramı ve temeli.

Bir vektör, bir başlangıç ​​noktası olan yönlendirilmiş bir parçadır. A ve bitiş noktası V(kendisine paralel hareket ettirilebilir).

Vektörler 2 büyük harf veya bir satır veya ok ile bir küçük harf olarak belirlenebilir.

Uzunluk (veya modül) vektör, vektörü temsil eden AB doğru parçasının uzunluğuna eşit bir sayıdır.

Bir doğru veya paralel doğrular üzerinde bulunan vektörlere denir. doğrusal .

Vektörün başlangıcı ve sonu çakışırsa (), böyle bir vektöre denir sıfır ve = ile gösterilir. Sıfır vektörünün uzunluğu sıfırdır:

1) Bir vektörü bir sayı ile çarparak:

Yönü vektörün yönü ile çakışan uzunluğa sahip bir vektör olacaktır, eğer varsa ve bunun tersi ise.

2) zıt vektör - vektörün ürünü - (-1) sayısıyla, yani. - =.

3) iki vektörün toplamı ve başlangıcı vektörün başlangıcına denk gelen ve sonu vektörün bitişine denk gelen bir vektöre, başlangıcın sonla çakışması şartıyla denir. (üçgen kuralı). Birkaç vektörün toplamı benzer şekilde belirlenir.

4) İki vektör farkıyla ve vektörün ve vektörün toplamına - tersi denir.

skaler ürün

Tanım: İki vektörün skaler çarpımı, bu vektörlerin uzunluklarının aralarındaki açının kosinüsüne eşit olan sayıdır:

n-boyutlu vektör ve vektör uzayı

Tanım... n-boyutlu bir vektör, sıralı bir koleksiyondur n olarak yazılan gerçek sayılar x = (x 1, x 2, ..., xn), nerede x ben – ben -th vektör bileşeni NS.

N-boyutlu vektör kavramı ekonomide yaygın olarak kullanılmaktadır, örneğin belirli bir mal grubu vektör ile karakterize edilebilir. x = (x 1, x 2, ..., xn), ve ilgili fiyatlar y = (y 1, y 2,…, y n).

- İki n boyutlu vektör eşittir ancak ve ancak bunların karşılık gelen bileşenleri eşitse, yani. x = y eğer x ben= y ben, ben = 1,2,…,n.

- İki vektörün toplamı aynı boyut n vektör denir z = x + y bileşenleri vektör terimlerinin karşılık gelen bileşenlerinin toplamına eşit olan, yani. z ben= x ben+ y ben, ben = 1,2, ..., n.

- Bir x vektörünün gerçek bir sayı ile çarpımı bileşenleri vektörün karşılık gelen bileşenleri tarafından ürüne eşit olan bir vektöre, yani. , ben= 1,2,…,n.

Herhangi bir vektör üzerindeki doğrusal işlemler aşağıdaki özellikleri sağlar:

1) - toplamın değişmeli (yer değiştirebilir) özelliği;

2) - toplamın birleştirici (kombine) özelliği;

3) sayısal bir faktöre göre çağrışımsal bir özelliktir;

4) - vektörlerin toplamına göre dağılma (dağıtma) özelliği;

5) sayısal faktörlerin toplamına göre bir dağılım özelliğidir;

6) Herhangi bir vektör için (sıfır vektörünün özel rolü);

7) Herhangi bir vektör için öyle bir zıt vektör vardır ki;

8) herhangi bir vektör için (sayısal faktör 1'in özel bir rolü).

Tanım... Vektör toplama ve bir vektörü yukarıdaki sekiz özelliği sağlayan (aksiyom olarak kabul edilen) bir sayı ile çarpma işlemlerinin tanımlandığı, gerçek bileşenli vektörler kümesine denir. vektör durumu .

Vektör uzayının boyutu ve temeli

Tanım... Doğrusal uzay denir n-boyutlu içeriyorsa n lineer bağımsız vektörler ve vektörlerin herhangi biri zaten bağımlı. Diğer bir deyişle, uzayın boyutu İçerdiği maksimum lineer bağımsız vektör sayısıdır. n sayısı uzayın boyutu olarak adlandırılır ve ile gösterilir.

n-boyutlu bir uzayın n lineer bağımsız vektörünün toplanmasına denir. temel .

7. Matrisin özvektörleri ve özdeğerleri. Matrisin karakteristik denklemi.

Tanım... vektör denir kendi vektörü şöyle bir sayı varsa lineer operatör:

Numara uygun denir operatör değeri (matrisler A) vektöre karşılık gelir.

Matris biçiminde yazılabilir:

Vektörün koordinatlarından veya genişletilmiş biçimdeki sütun matrisi nerede:

Sağ tarafta sıfırlar olacak şekilde sistemi yeniden yazalım:

veya matris formunda:. Elde edilen homojen sistem her zaman sıfır çözüme sahiptir. Sıfırdan farklı bir çözümün varlığı için sistemin determinantının olması gerekli ve yeterlidir:

Determinant bir polinomdur n-inci derece nispeten. Bu polinom denir operatörün karakteristik polinomu veya matris A ve elde edilen denklem operatörün karakteristik denklemi veya matris A.

Örnek:

Matris tarafından verilen lineer operatörün özdeğerlerini ve özvektörlerini bulun.

Çözüm: Karakteristik denklemi oluşturma veya, lineer operatörün özdeğeri nereden gelir.

Özdeğere karşılık gelen özvektörü bulun. Bunu yapmak için matris denklemini çözüyoruz:

Veya , veya nereden buluruz: veya

Veya .

Herhangi biri için vektörlerin, özdeğeri olan bir lineer operatörün özvektörleri olduğunu varsayalım.

Benzer şekilde, bir vektör.

8. Sistem NS lineer denklemler NS değişkenler (genel görünüm). Böyle bir sistemin matris gösterimi. Sistem çözümü (tanım). Lineer denklemlerin ortak ve tutarsız, belirli ve belirsiz sistemleri.

Bilinmeyenlerle bir lineer denklem sistemini çözme

Doğrusal denklem sistemleri ekonomide yaygın olarak kullanılmaktadır.

Değişkenli lineer denklem sistemi şu şekildedir:

,

nerede () rasgele sayılar denir değişkenler için katsayılar ve serbest denklem terimleri , sırasıyla.

Kısa giriş: ().

Tanım. Bir sistemin çözümü, ikame edildiğinde sistemdeki her denklemin gerçek bir eşitliğe dönüşeceği bir değerler kümesidir.

1) Denklem sistemi denir eklem yeri en az bir çözümü varsa ve tutarsız eğer çözümleri yoksa.

2) Ortak denklem sistemine denir kesin benzersiz bir çözümü varsa ve Tanımsız birden fazla çözümü varsa.

3) İki denklem sistemi denir eşdeğer (eş değer) aynı çözüm kümesine sahiplerse (örneğin, bir çözüm).

Sistemi matris formunda yazalım:

Şunu belirtelim: , nerede

A- değişkenler için katsayı matrisi veya sistemin matrisi, NS - değişkenlerin matris sütunu, V - serbest üyelerin matris sütunu.

Çünkü matris sütunlarının sayısı, matris satırlarının sayısına, ardından bunların çarpımına eşittir:

Sütun matrisi var. Ortaya çıkan matrisin elemanları, ilk sistemin sol taraflarıdır. Matrislerin eşitliğinin tanımına dayanarak, ilk sistem şu şekilde yazılabilir:.

Cramer teoremi. Sistemin matrisinin determinantı olsun ve th sütunu serbest terimler sütunu ile değiştirilerek matristen elde edilen matrisin determinantı olsun. Daha sonra, eğer öyleyse, sistemin formüllerle belirlenen benzersiz bir çözümü vardır:

Cramer formülü.

Örnek. Cramer formüllerini kullanarak bir denklem sistemi çözün

Çözüm... Sistem matrisinin determinantı. Bu nedenle, sistemin benzersiz bir çözümü vardır. Sırasıyla birinci, ikinci, üçüncü sütunları bir serbest üye sütunu ile değiştirerek elde edilen hesaplarız:

Cramer formüllerine göre:

9. Sistemi çözmek için Gauss yöntemin lineer denklemler NS değişkenler. Jordan-Gauss yöntemi kavramı.

Gauss yöntemi - değişkenlerin art arda ortadan kaldırılması yöntemi.

Gauss yöntemi, satırların temel dönüşümlerini ve sütunların permütasyonlarını kullanarak, denklem sisteminin, diğer tüm değişkenlerin sırayla bulunduğu kademeli (veya üçgen) bir formun eşdeğer bir sistemine indirgenmesi gerçeğinden oluşur. son (sayıya göre) değişkenler.

Gauss dönüşümlerini denklemlerin kendileriyle değil, matrise bir serbest terimler sütunu atayarak elde edilen katsayılarının genişletilmiş bir matrisi ile yapmak uygundur:

.

Gauss yönteminin, formdaki herhangi bir denklem sistemini çözmek için kullanılabileceğine dikkat edilmelidir. .

Örnek. Gauss yöntemini kullanarak sistemi çözün:

Sistemin genişletilmiş matrisini yazalım.

Aşama 1 . Birinci ve ikinci satırları 1'e eşit olacak şekilde değiştirelim.

Adım 2. İlk satırın öğelerini (–2) ve (–1) ile çarpın ve bunları ikinci ve üçüncü satırın öğelerine ekleyin, böylece ilk sütundaki öğenin altında sıfırlar görünecek. ...

Aşağıdaki teoremler, uyumlu lineer denklem sistemleri için geçerlidir:

Teorem 1. Uyumlu sistemin matrisinin sırası, değişkenlerin sayısına eşitse, yani. , o zaman sistemin benzersiz bir çözümü vardır.

Teorem 2. Uyumlu sistemin matrisinin rankı değişken sayısından az ise, yani. , o zaman sistem belirsizdir ve sonsuz sayıda çözümü vardır.

Tanım. Bir matrisin temel minörü, sırası matrisin derecesine eşit olan sıfır olmayan herhangi bir minördür.

Tanım. Katsayıları temel minör notasyonuna dahil edilen bilinmeyenlere temel (veya temel), bilinmeyenlerin geri kalanına serbest (veya minör) denir.

Durumda denklem sistemini çözmek, ifade etmek anlamına gelir ve (katsayılarından oluşan determinant sıfıra eşit olmadığından), o zaman ve serbest bilinmeyenlerdir.

Temel değişkenleri serbest olanlar cinsinden ifade edelim.

Ortaya çıkan matrisin ikinci satırından değişkeni ifade ediyoruz:

İlk satırdan şunu ifade ediyoruz:,

Denklem sisteminin genel çözümü:,.

Boyutları (m; n) olan bir A matrisinde k satır ve k sütun (k ≤ min (m; n)) keyfi olarak seçilsin. Seçilen satırların ve sütunların kesişimindeki matrisin öğeleri, determinantı k mertebesinde küçük M kk veya matris A'nın k'inci mertebesinde minör olarak adlandırılan k mertebesinde bir kare matris oluşturur.

Bir matrisin rankı, A matrisinin sıfır olmayan minörlerin maksimum mertebesidir ve sıfırdan farklı r mertebesindeki herhangi bir minör, bir temel minördür. Tanım: çaldı A = r. A aralığı = B aralığı ise ve A ve B matrislerinin boyutları aynıysa, A ve B matrislerinin eşdeğer olduğu söylenir. Tanım: A ~ B.

Bir matrisin sırasını hesaplamanın ana yöntemleri, sınırlayıcı küçükler yöntemi ve yöntemdir.

Border Minors Yöntemi

Sınırlı küçükler yönteminin özü aşağıdaki gibidir. Diyelim ki matriste k düzeyinden sıfırdan farklı bir minör bulundu. Daha sonra, aşağıda, sıfırdan farklı olan k'inci dereceden bir minör içeren (yani, sınır) yalnızca k + 1 mertebesindeki minörler kabul edilir. Hepsi sıfıra eşitse, matrisin sırası k'dir, aksi takdirde (k + 1) inci sıranın sınırlayıcı küçükleri arasında sıfır olmayan bir tane vardır ve tüm prosedür tekrarlanır.

Bir matrisin satırlarının (sütunlarının) doğrusal bağımsızlığı

Bir matrisin derecesi kavramı, satırlarının (sütunlarının) doğrusal bağımsızlığı kavramıyla yakından ilgilidir.

Matris satırları:

eşitlik doğru olacak şekilde λ 1, λ 2, λ k sayıları varsa lineer bağımlı denir:

Yukarıdaki eşitlik ancak tüm sayılar λ 1 = λ 2 =… = λ k = 0 ise mümkünse, A matrisinin satırları lineer bağımsız olarak adlandırılır.

A matrisinin sütunlarının doğrusal bağımlılığı ve bağımsızlığı benzer şekilde belirlenir.

A matrisinin herhangi bir satırı (a l) (burada (a l) = (a l1, a l2, ..., a ln)) olarak gösterilebilirse

Sütunların doğrusal kombinasyonu kavramı da benzer şekilde tanımlanır. Aşağıdaki temel minör teorem doğrudur.

Temel çizgiler ve temel sütunlar lineer olarak bağımsızdır. A matrisinin herhangi bir satırı (veya sütunu), temel satırların (sütunların), yani temel minörle kesişen satırların (sütunların) doğrusal bir birleşimidir. Böylece, A matrisinin sırası: A sırası = k, A matrisinin maksimum doğrusal olarak bağımsız satır (sütun) sayısına eşittir.

Onlar. bir matrisin sırası, determinantı sıfır olmayan, sırasını belirlemeniz gereken matris içindeki en büyük kare matrisin boyutudur. Orijinal matris kare değilse veya kare ise, ancak determinantı sıfırsa, alt sıradaki kare matrisler için satırlar ve sütunlar keyfi olarak seçilir.

Belirleyicileri kullanmanın yanı sıra, bir matrisin rankı, matrisin lineer olarak bağımsız satır veya sütun sayısı ile hesaplanabilir. Hangisi daha azsa, doğrusal olarak bağımsız satır veya sütun sayısına eşittir. Örneğin, bir matrisin lineer olarak bağımsız 3 satırı ve lineer olarak bağımsız 5 sütunu varsa, rankı üçtür.

Bir matrisin sırasını bulma örnekleri

Sınırlı küçükler yöntemini kullanarak matrisin sırasını bulun

Karar İkinci dereceden küçük

sınırlayıcı minör M2 de sıfırdan farklıdır. Bununla birlikte, M 3 sınırındaki dördüncü düzenin her iki küçük çocuğu.

sıfıra eşittir. Bu nedenle, A matrisinin rankı 3'tür ve temel minör, örneğin yukarıdaki minör M3'tür.

Temel dönüşümler yöntemi, bir matrisin temel dönüşümlerinin sırasını değiştirmediği gerçeğine dayanır. Bu dönüşümleri kullanarak, a 11, a 22,…, a rr (r ≤min (m, n)) hariç tüm elemanları sıfıra eşit olduğunda matrisi forma getirebiliriz. Bu açıkça, A = r çaldığı anlamına gelir. n'inci dereceden matris, bir üst üçgen matris, yani ana köşegen altındaki tüm öğelerin sıfıra eşit olduğu bir matris şeklindeyse, tanımının, öğelerin çarpımına eşit olduğuna dikkat edin. ana köşegen. Bu özellik, temel dönüşümler yöntemiyle bir matrisin sıralamasını hesaplarken kullanılabilir: matrisi üçgen olana indirgemek için bunları kullanmak gerekir ve ardından karşılık gelen determinantı seçtikten sonra, matrisin sıralamasını buluruz. matris, ana köşegenin sıfır olmayan elemanlarının sayısına eşittir.

Temel dönüşümler yöntemini kullanarak matrisin sırasını bulun

Çözüm A matrisinin i-inci satırını α i sembolü ile gösterelim. İlk aşamada, temel dönüşümler yapıyoruz

İkinci aşamada dönüşümleri gerçekleştireceğiz.

Sonuç olarak, alıyoruz

Uygun bir lineer kombinasyon vasıtasıyla bu vektörlerden sıfır vektör elde edilebiliyorsa, aynı dereceden vektörler sistemine lineer bağımlı denir. (Bu durumda, önemsiz olacağından, lineer kombinasyonun tüm katsayılarının sıfıra eşit olmasına izin verilmez.) Aksi takdirde, vektörlere lineer bağımsız denir. Örneğin, aşağıdaki üç vektör:

kontrol edilmesi kolay olduğu için lineer bağımlıdır. Doğrusal bir bağımlılık durumunda, herhangi bir vektör her zaman kalan vektörlerin doğrusal bir kombinasyonu cinsinden ifade edilebilir. Örneğimizde: veya veya Uygun hesaplamalarla kontrol etmek kolaydır. Bu, aşağıdaki tanımı ima eder: bir vektör, bu vektörlerin doğrusal bir kombinasyonu olarak temsil edilemiyorsa, diğer vektörlerden doğrusal olarak bağımsızdır.

Lineer bağımlı mı yoksa lineer bağımsız mı olduğunu belirtmeden bir vektörler sistemi düşünün. Sütun vektörleri a'dan oluşan her sistem için, mümkün olan maksimum lineer bağımsız vektör sayısını belirlemek mümkündür. Bir harfle gösterilen bu sayı, verilen vektör sisteminin sıralamasıdır. Her matris bir sütun vektörleri sistemi olarak görülebildiğinden, bir matrisin rankı, içerdiği lineer bağımsız sütun vektörlerinin maksimum sayısı olarak tanımlanır. Satır vektörleri ayrıca bir matrisin sırasını belirlemek için kullanılır. Her iki yöntem de aynı matris için aynı sonucu verir ve en küçüğünü geçemez veya Bir kare matrisin sırası 0 ile 0 arasında değişir. Tüm vektörler sıfırsa, böyle bir matrisin sırası sıfırdır. Tüm vektörler birbirinden lineer olarak bağımsızsa, matrisin rankı şöyledir. Yukarıdaki vektörlerden bir matris oluşturursanız, bu matrisin rankı 2'dir. Her iki vektör lineer bir kombinasyonla üçüncüye indirgenebildiğinden rank 3'ten küçüktür.

Ancak bunlardan herhangi iki vektörünün lineer olarak bağımsız olduğundan emin olunabilir, dolayısıyla sıralama

Sütun vektörleri veya satır vektörleri doğrusal olarak bağımlıysa, bir kare matris dejenere olarak adlandırılır. Böyle bir matrisin determinantı sıfıra eşittir ve yukarıda belirtildiği gibi ters matrisi yoktur. Bu bulgular birbirine eşdeğerdir. Sonuç olarak, bir kare matris, sütun vektörleri veya satır vektörleri birbirinden bağımsız ise dejenere olmayan veya tekil olmayan olarak adlandırılır. Böyle bir matrisin determinantı sıfıra eşit değildir ve ters matrisi mevcuttur (s. 43 ile karşılaştırın)

Matrisin rankı bariz bir geometrik yoruma sahiptir. Matrisin rankı eşitse, o zaman -boyutlu uzayın vektörler tarafından kapsandığı söylenir. Eğer rank ise vektörler, hepsini içeren -boyutlu alt uzayda bulunur. Böylece, matrisin rankı "tüm vektörlerin bulunduğu" uzayın minimum gerekli boyutuna karşılık gelir, -boyutlu uzaydaki -boyutlu alt uzaya -boyutlu hiperdüzlem denir. Matrisin rankı, tüm vektörlerin hala içinde bulunduğu hiperdüzlemin en küçük boyutuna karşılık gelir.

Rastgele, kare olması gerekmeyen bir mxn matrisi A düşünün.

Matrisin sıralaması.

Bir matrisin rankı kavramı, bir matrisin satırlarının (sütunlarının) doğrusal bağımlılığı (bağımsızlığı) kavramı ile ilişkilidir. Bu kavramı dizeler için ele alalım. Sütunlar için - aynı.

A matrisinin havuzlarını gösterelim:

e 1 = (a 11, 12, ..., 1n); е 2 = (а 21, а 22, ..., а 2n); ..., е m = (а m1, а m2, ..., а mn)

e k = es eğer bir kj = bir sj, j = 1,2,…, n

Bir matrisin satırları üzerindeki aritmetik işlemler (toplama, bir sayı ile çarpma), eleman eleman gerçekleştirilen işlemler olarak tanıtılır: λе k = (λа k1, λа k2,…, λа kn);

e k + es = [(bir k1 + bir s1), (bir k2 + bir s2),…, (bir kn + bir sn)].

e satırı denir doğrusal kombinasyon e 1, e 2, ..., e k satırları, bu satırların çarpımlarının keyfi gerçek sayılarla toplamına eşitse:

е = λ 1 е 1 + λ 2 е 2 +… + λ k е k

e 1, e 2, ..., e m satırları denir lineer bağımlıλ 1, λ 2,…, λ m, hepsi sıfıra eşit olmayan reel sayılar varsa, bu satırların lineer kombinasyonu sıfır satırına eşittir: λ 1 е 1 + λ 2 е 2 +… + λ m e m = 0 ,nerede 0 =(0,0,…,0) (1)

Doğrusal kombinasyon sıfıra eşitse, ancak ve ancak tüm λ i katsayıları sıfıra eşitse (λ 1 = λ 2 =… = λ m = 0), o zaman e 1, e 2, ..., em satırları arandı Doğrusal bağımsız.

teorem 1... e 1, e 2, ..., e m doğrularının lineer bağımlı olması için, bu doğrulardan birinin diğer doğruların lineer bir kombinasyonu olması gerekli ve yeterlidir.

Kanıt. İhtiyaç... e 1, e 2,…, e m satırları lineer bağımlı olsun. Kesinlik için, izin verin (1) λ m ≠ 0, o zaman

O. string e m, diğer dizilerin doğrusal bir birleşimidir. Ch.t.d.

yeterlilik... Dizelerden biri, örneğin e m, dizelerin geri kalanının doğrusal bir birleşimi olsun. Sonra eşitliğin geçerli olduğu, yeniden yazılabilecek sayılar vardır:

burada (-1) katsayılarından en az 1'i sıfıra eşit değildir. Onlar. diziler lineer bağımlıdır. Ch.t.d.

Tanım. k. dereceden küçük mxn boyutundaki bir A matrisinin, A matrisinin herhangi bir k satırının ve herhangi bir k sütununun kesişiminde yer alan elemanlarla k. mertebeden bir determinant olarak adlandırılır. (k≤min (m, n)). ...

Örnek., 1. dereceden küçükler: =, =;

2. dereceden küçükler:, 3. dereceden

3. mertebenin matrisi 1. mertebeden 9 minör, 2. mertebeden 9 minör ve 3. mertebeden 1 minör (bu matrisin determinantı) içerir.

Tanım. A matrisinin sıralamasına göre bu matrisin sıfırdan farklı küçüklerin en yüksek mertebesidir. Tanım - rg A veya r (A).

Matris sıralaması özellikleri.

1) A nxm matrisinin rankı, boyutlarından küçüğünü geçmez, yani,

r (A) ≤min (m, n).

2) r (A) = 0, matrisin tüm elemanları 0'a eşit olduğunda, yani. bir = 0.

3) n'inci dereceden r (A) = n'lik bir kare matris А için, А dejenere olmadığında.

(Bir köşegen matrisin sırası, sıfır olmayan köşegen elemanlarının sayısına eşittir).

4) Matrisin rankı r ise, matrisin sıfıra eşit olmayan en az bir minör r mertebesi vardır ve daha yüksek mertebelerin tüm minörleri sıfıra eşittir.

Matrisin rankları için aşağıdaki ilişkiler geçerlidir:

2) r (A + B) ≤r (A) + r (B); 3) r (AB) ≤min (r (A), r (B));

3) r (A + B) ≥│r (A) -r (B) │; 4) r (A T A) = r (A);

5) r (AB) = r (A) eğer B kare dejenere olmayan bir matris ise.

6) r (AB) ≥r (A) + r (B) -n, burada n, A matrisinin sütun sayısı veya B matrisinin satır sayısıdır.

Tanım. r (A) mertebesinde sıfırdan farklı bir minör denir baz minör... (Matris A'nın birkaç temel minörü olabilir). Kesişmelerinde taban minör bulunan satırlar ve sütunlar buna göre adlandırılır. temel çizgiler ve temel sütunlar.

Teorem 2 (temel minör üzerinde). Temel satırlar (sütunlar) doğrusal olarak bağımsızdır. Herhangi bir satır (herhangi bir sütun) matrisi A, temel satırların (sütunların) doğrusal bir birleşimidir.

Kanıt... (Dizeler için). Temel diziler doğrusal olarak bağımlı olsaydı, o zaman teorem (1)'e göre bu dizilerden biri diğer temel dizilerin doğrusal bir kombinasyonu olurdu, o zaman temel minörün değerini değiştirmeden belirtilen doğrusal kombinasyonu bu diziden çıkarabilirsiniz. ve bir sıfır dizesi alın ve bu, taban minörünün sıfır olmadığı gerçeğiyle çelişir. O. taban çizgileri lineer bağımsızdır.

A matrisinin herhangi bir satırının, temel satırların doğrusal bir birleşimi olduğunu kanıtlayalım. Çünkü rastgele satır (sütun) değişiklikleriyle determinant sıfıra eşit olma özelliğini korur, o zaman genellik kaybı olmadan, temel minörün matrisin sol üst köşesinde olduğunu varsayabiliriz

bir =, onlar. ilk r satırında ve ilk r sütununda bulunur. 1 £ j £ n, 1 £ i £ m olsun. (r+1) mertebesinin determinantının

j £ r veya i £ r ise, bu determinant sıfıra eşittir, çünkü iki özdeş sütuna veya iki özdeş satıra sahip olacaktır.

j> r ve i> r ise, bu determinant A matrisinin (r + 1) -inci mertebesinin bir minörüdür. matrisin sırası r'dir, bu, daha yüksek dereceli herhangi bir minörün 0'a eşit olduğu anlamına gelir.

Son (eklenen) sütunun öğelerine göre genişleterek, şunu elde ederiz:

a 1j A 1j + a 2j A 2j +… + a rj A rj + a ij A ij = 0, burada son cebirsel tamamlayıcı A ij temel minör M r ile çakışır ve dolayısıyla A ij = M r ≠ 0.

Son eşitliği A ij'ye bölerek, a ij öğesini doğrusal bir kombinasyon olarak ifade edebiliriz:, burada.

i (i> r) değerini sabitleriz ve herhangi bir j (j = 1,2, ..., n) için i-inci sıranın ei öğelerinin e 1 satırlarının öğeleri aracılığıyla doğrusal olarak ifade edildiğini elde ederiz, e 2, ..., er, yani e. i-inci çizgi, temel çizgilerin doğrusal bir birleşimidir:. Ch.t.d.

Teorem 3. (determinantın yok olması için gerekli ve yeterli koşul). n-mertebesinden D determinantının sıfıra eşit olması için satırlarının (sütunlarının) lineer bağımlı olması gerekli ve yeterlidir.

Kanıt (s. 40). İhtiyaç... N'inci dereceden determinant D sıfıra eşitse, matrisinin taban minörü r derecesindedir.

Bu nedenle, bir satır diğerlerinin doğrusal bir birleşimidir. Daha sonra Teorem 1'e göre determinantın satırları lineer olarak bağımlıdır.

yeterlilik... D'nin satırları doğrusal olarak bağımlıysa, Teorem 1'e göre bir satır A i, kalan satırların doğrusal bir birleşimidir. Belirtilen lineer kombinasyonu A i satırından D değerini değiştirmeden çıkararak sıfır satırını elde ederiz. Bu nedenle, determinantların özelliklerine göre, D = 0. h.t.d.

Teorem 4. Temel dönüşümler matrisin sırasını değiştirmez.

Kanıt... Determinantların özellikleri göz önüne alındığında gösterildiği gibi, kare matrisleri dönüştürürken determinantları ya değişmez ya da sıfır olmayan bir sayı ile çarpılır ya da işaret değişir. Bu durumda, orijinal matrisin sıfır olmayan küçüklerin en yüksek sırası korunur, yani. matrisin rankı değişmez. Ch.t.d.

Eğer r (A) = r (B), o zaman A ve B - eşdeğer: A ~ B.

Teorem 5. Elementer dönüşümlerin yardımıyla, matris şuna indirgenebilir: kademeli görünüm matris denir adım, şu şekildeyse:

А =, burada a ii ≠ 0, i = 1,2,…, r; r≤k.

r≤k koşulu her zaman yer değiştirme ile elde edilebilir.

Teorem 6. Basamaklı bir matrisin sırası, sıfır olmayan satırlarının sayısına eşittir. .

Onlar. Basamaklı matrisin sırası r'dir, çünkü r mertebesinde sıfır olmayan bir minör var:

Matrisin satır ve sütunlarının boyutların aritmetik vektörleri olarak görüntülenebileceğini unutmayın. m ve n, sırasıyla. Böylece, boyut matrisi bir koleksiyon olarak yorumlanabilir. m n-boyutlu veya n m-boyutlu aritmetik vektörler. Geometrik vektörlere benzeterek, bir matrisin satır ve sütunlarının doğrusal bağımlılığı ve doğrusal bağımsızlığı kavramlarını tanıtıyoruz.

4.8.1. Tanım. Hat
aranan dizelerin doğrusal kombinasyonu katsayılarla
eşitlik bu satırın tüm öğeleri için doğruysa:

,
.

4.8.2. Tanım.

Teller
arandı lineer bağımlı sıfır satırına eşit bunların önemsiz olmayan bir doğrusal kombinasyonu varsa, yani. sıfıra eşit bu tür sayıların hepsi yoktur

,
.

4.8.3. Tanım.

Teller
arandı Doğrusal bağımsız yalnızca önemsiz doğrusal kombinasyonları sıfır dizeye eşitse, yani.

,

4.8.4. Teorem. (Matris satırlarının doğrusal bağımlılığı için kriter)

Satırların lineer bağımlı olması için en az birinin diğerlerinin lineer birleşimi olması gerekli ve yeterlidir.

Kanıt:

İhtiyaç.Çizgiler olsun
lineer olarak bağımlıysa, sıfır dizeye eşit, önemsiz olmayan bir lineer kombinasyonu vardır:

.

Genelliği kaybetmeden, lineer kombinasyonun katsayılarından birincisinin sıfırdan farklı olduğunu varsayacağız (aksi halde satırlar yeniden numaralandırılabilir). Bu oranı bölerek , alırız

,

yani, ilk satır, geri kalanının doğrusal bir birleşimidir.

yeterlilik.Örneğin, satırlardan birine izin verin, , diğerlerinin doğrusal bir birleşimidir, o zaman

yani, dizelerin önemsiz olmayan bir doğrusal kombinasyonu vardır.
boş dizeye eşit:

yani çizgiler
gerektiği gibi lineer bağımlıdır.

Yorum Yap.

Bir matrisin sütunları için benzer tanımlar ve ifadeler formüle edilebilir.

§4.9. Matrisin sıralaması.

4.9.1. Tanım. Küçük Emir matrisler boy
sıranın belirleyicisi denir bazılarının kesişme noktasında bulunan unsurlarla çizgiler ve sütunlar.

4.9.2. Tanım. Sıfır olmayan küçük sipariş matrisler boy
aranan temel küçük sıra matrisinin tüm küçükleri ise
sıfıra eşittir.

Yorum Yap. Bir matrisin birkaç temel minörü olabilir. Açıkçası, hepsi aynı sırada olacak. Durum, matris olduğunda da mümkündür boy
küçük sipariş sıfır olmayan ve düzenin küçükleri
yok, yani
.

4.9.3. Tanım. Baz minörünü oluşturan satırlara (sütunlara) denir. temel satırlar (sütunlar).

4.9.4. Tanım. Dereceye göre Bir matrisin temel minörünün mertebesi olarak adlandırılır. matris sıralaması belirtilen
veya
.

Yorum Yap.

Determinantın satır ve sütunlarının eşitliğinden dolayı, matrisin rankının transpoze edildiğinde değişmediğine dikkat edin.

4.9.5. Teorem. (Temel dönüşümler altında matrisin rankının değişmezliği)

Matrisin rankı, temel dönüşümleri altında değişmez.

Kanıt yok.

4.9.6. Teorem. (Temel minör hakkında).

Temel satırlar (sütunlar) doğrusal olarak bağımsızdır. Bir matrisin herhangi bir satırı (sütun), temel satırlarının (sütunlarının) doğrusal bir kombinasyonu olarak temsil edilebilir.

Kanıt:

Dizeler için ispatı yapalım. Sütunlar için ifadenin ispatı benzetme ile yapılabilir.

matrisin rankı olsun boyutlar
eşittir , a
- küçük baz. Genelliği kaybetmeden, temel minörün sol üst köşede bulunduğunu varsayın (aksi takdirde, matrisi temel dönüşümleri kullanarak bu forma getirebilirsiniz):

.

Önce temel satırların lineer bağımsızlığını ispatlayalım. Kanıtı çelişki ile gerçekleştiriyoruz. Taban çizgilerinin doğrusal olarak bağımlı olduğunu varsayalım. Daha sonra, Teorem 4.8.4'e göre, dizilerden biri, kalan temel dizilerin doğrusal bir kombinasyonu olarak temsil edilebilir. Bu nedenle, belirtilen doğrusal kombinasyonu bu dizeden çıkarırsak, sıfır dize elde ederiz, yani minör
sıfıra eşittir, bu da temel bir minör tanımıyla çelişir. Böylece bir çelişki elde etmiş olduk; bu nedenle, temel satırların doğrusal bağımsızlığı kanıtlanmıştır.

Şimdi bir matrisin herhangi bir satırının, temel satırların doğrusal bir kombinasyonu olarak temsil edilebileceğini kanıtlayalım. Söz konusu hattın numarası ise 1'den r, o zaman, açıkça, satır için 1'e eşit bir katsayıya sahip doğrusal bir kombinasyon olarak temsil edilebilir. ve satırların geri kalanı için sıfır katsayılar. Şimdi gösterelim, eğer satır numarası itibaren
önce
, temel çizgilerin doğrusal bir birleşimi olarak temsil edilebilir. Matrisin minörünü düşünün
temel minörden türetilmiş
satır ekleme ve keyfi bir sütun
:

Verilen minör olduğunu gösterelim
itibaren
önce
ve herhangi bir sütun numarası için 1'den .

Gerçekten de, eğer sütun numarası 1'den r, o zaman açıkça sıfıra eşit olan iki özdeş sütuna sahip bir determinantımız var. sütun numarası ise itibaren r+1'e ve satır numarası itibaren
önce
, sonra
temel minörden daha yüksek mertebeden orijinal matrisin minörüdür, bu da temel minörün tanımından sıfıra eşit olduğu anlamına gelir. Böylece, küçük olduğu kanıtlanmıştır.
herhangi bir satır numarası için sıfırdır itibaren
önce
ve herhangi bir sütun numarası için 1'den ... Son sütuna göre genişleterek şunu elde ederiz:

Buraya
- karşılık gelen cebirsel tamamlayıcılar. dikkat, ki
bu nedenle,
temel minördür. Dolayısıyla satırın elemanları k sütun numarasına bağlı olmayan katsayılarla temel satırların karşılık gelen öğelerinin doğrusal bir kombinasyonu olarak temsil edilebilir :

Böylece, bir matrisin rastgele bir satırının, temel satırlarının doğrusal bir kombinasyonu olarak temsil edilebileceğini kanıtladık. Teorem ispatlandı.

ders 13

4.9.7. Teorem. (Dejenere olmayan bir kare matrisin sıralamasında)

Bir kare matrisin dejenere olmaması için matrisin rankının bu matrisin boyutuna eşit olması gerekli ve yeterlidir.

Kanıt:

İhtiyaç. kare matris olsun boy n dejenere değil, o zaman
, bu nedenle, matrisin determinantı temel bir minördür, yani.

yeterlilik.İzin vermek
o zaman temel minörün mertebesi matrisin boyutuna eşittir, bu nedenle temel minör matrisin determinantıdır , yani
basit bir minör tanımına göre.

Sonuç.

Bir kare matrisin dejenere olmaması için satırlarının lineer bağımsız olması gerekli ve yeterlidir.

Kanıt:

İhtiyaç. Bir kare matris dejenere olmadığından, rankı matrisin boyutuna eşittir.
yani matrisin determinantı baz minördür. Sonuç olarak, temel minör üzerinde Teorem 4.9.6'ya göre, matrisin satırları lineer olarak bağımsızdır.

yeterlilik. Matrisin tüm satırları lineer olarak bağımsız olduğundan, rankı matrisin boyutundan küçük değildir ve bu nedenle,
bu nedenle, önceki Teorem 4.9.7'ye göre matris dejenere olmayandır.

4.9.8. Bir matrisin derecesini bulmak için küçükleri sınırlama yöntemi.

Bu yöntemin, temel minör teoreminin ispatında zaten kısmen örtük olarak tanımlandığına dikkat edin.

4.9.8.1. Tanım. Küçük
aranan sınır küçük ile ilgili olarak
küçükten türetilmişse
orijinal matrisin bir yeni satırı ve bir yeni sütununun eklenmesi.

4.9.8.2. Sınırlı küçükler yöntemiyle bir matrisin sırasını bulma prosedürü.

Sıfır dışında matrisin herhangi bir geçerli minörünü bulun.

Onu çevreleyen tüm küçükleri hesaplıyoruz.

Hepsi sıfıra eşitse, mevcut minör temeldir ve matrisin sırası, mevcut minörün sırasına eşittir.

Sınır komşusu olan çocuklar arasında sıfırdan farklı en az bir tane bulunursa, mevcut kabul edilir ve işleme devam edilir.

Küçükleri sınırlandırma yöntemini kullanarak matrisin sırasını bulalım.

.

Mevcut sıfırdan farklı ikinci dereceden küçük olanı belirtmek kolaydır, örneğin,

.

Onu çevreleyen küçükleri hesaplıyoruz:

Bu nedenle, üçüncü dereceden tüm sınırdaki küçükler sıfıra eşit olduğundan, o zaman küçük
temeldir, yani

Yorum Yap. Yöntemin oldukça zahmetli olduğu incelenen örnekten görülebilir. Bu nedenle, pratikte, aşağıda tartışılacak olan temel dönüşüm yöntemi çok daha sık kullanılır.

4.9.9. Temel dönüşümler yöntemiyle bir matrisin rankını bulma.

Teorem 4.9.5'e dayanarak, temel dönüşümler altında matrisin sırasının değişmediği (yani eşdeğer matrislerin sıralarının eşit olduğu) iddia edilebilir. Bu nedenle, matrisin sırası, orijinal olandan temel dönüşümlerle elde edilen kademeli matrisin sırasına eşittir. Basamaklı bir matrisin sırası, açıkça sıfır olmayan satırlarının sayısına eşittir.

Matrisin rankını tanımlıyoruz

temel dönüşümler yöntemiyle.

matrisi verelim kademeli görünüme:

Elde edilen basamaklı matrisin sıfır olmayan satır sayısı üçtür, bu nedenle,

4.9.10. Lineer bir uzayda bir vektör sisteminin rankı.

Bir vektör sistemi düşünün
bazı lineer uzay ... Doğrusal olarak bağımlıysa, içinde doğrusal olarak bağımsız bir alt sistem ayırt edilebilir.

4.9.10.1. Tanım. Vektörler sisteminin sıralaması
doğrusal uzay bu sistemin lineer bağımsız vektörlerinin maksimum sayısıdır. Vektörler sisteminin sıralaması
olarak belirtilir
.

Yorum Yap. Bir vektör sistemi lineer olarak bağımsızsa, rankı sistemdeki vektörlerin sayısına eşittir.

Doğrusal bir uzayda bir vektörler sisteminin rankı kavramları ile bir matrisin rankı arasındaki bağlantıyı gösteren bir teorem formüle edelim.

4.9.10.2. Teorem. (Doğrusal bir uzayda bir vektörler sisteminin sıralamasında)

Lineer uzayda bir vektörler sisteminin rankı, kolonları veya satırları lineer uzayın bazı temellerindeki vektörlerin koordinatları olan bir matrisin rankına eşittir.

Kanıt yok.

Sonuç.

Doğrusal bir uzayda bir vektörler sisteminin doğrusal olarak bağımsız olması için, belirli bir temelde vektörlerin koordinatları olan bir matrisin, sütunların veya satırların sırasının, vektörlerin sayısına eşit olması gerekli ve yeterlidir. sistem.

Kanıt açıktır.

4.9.10.3. Teorem (Doğrusal zarfın boyutu hakkında).

Vektörlerin doğrusal gövdesinin boyutu
doğrusal uzay bu vektör sisteminin rankına eşittir:

Kanıt yok.