Belirsiz integralde değişken ikame yöntemi. Belirsiz integralde değişken değişim

2. Değişken ikame (ikame yöntemi)

Yerine koyma yönteminin özü, yeni bir değişkenin tanıtılması sonucunda verilen karmaşık integral, hesaplama yöntemi bilinen bir tabloya veya benzerine indirgenir.

İntegrali hesaplamak için gerekli olsun. İki ikame kuralı vardır:

Fonksiyon seçimi için genel kural
mevcut değil, ancak bir fonksiyon seçmek için tavsiyelerin bulunduğu birkaç tür integral var.
.

Sonuç elde edilene kadar değişken ikame birden çok kez uygulanabilir.

Örnek 1. İntegralleri bulun:

a)
; B)
; v)
;

G)
; e)
; e)
.

Çözüm.

a) Tabular integraller arasında çeşitli derecelerde radikaller yoktur, bu nedenle her şeyden önce "kurtulmak istiyorum"
ve
... Bu, değiştirilmesini gerektirecektir NS her iki kökün de kolayca çıkarılabileceği böyle bir ifade:

b) Üstel fonksiyondan "kurtulma" arzusu olduğunda tipik bir örnek
... Ancak bu durumda, kesrin paydasındaki ifadenin tamamını yeni bir değişken olarak almak daha uygundur:

;

c) Payın ürünü içerdiğinin fark edilmesi
radikal ifadenin diferansiyelinin bir parçası olan , tüm ifadeyi yeni bir değişkenle değiştirin:

;

d) Burada a) durumunda olduğu gibi kişi radikalden kurtulmak ister. Ancak a) noktasından farklı olarak yalnızca bir kök olduğundan, onu yeni bir değişkenle değiştireceğiz:

e) Burada, değiştirme seçimi iki koşulla kolaylaştırılır: bir yandan logaritmalardan kurtulmak için sezgisel bir arzu, diğer yandan ifadenin varlığı fonksiyonun diferansiyeli olan
... Ancak önceki örneklerde olduğu gibi, logaritmaya eşlik eden sabitleri değiştirmeye dahil etmek daha iyidir:

f) Burada, önceki örnekte olduğu gibi, integranddaki hantal üstelden kurtulmaya yönelik sezgisel arzu, iyi bilinen gerçekle tutarlıdır:
(tablo 3'teki formül 8). Bu nedenle, elimizde:

Bazı fonksiyon sınıfları için değişkenlerin değiştirilmesi

Belirli ikamelerin önerilebileceği bazı işlev sınıflarını ele alalım.

Tablo 4.rasyonel fonksiyonlar

integral formu	Entegrasyon yöntemi
1.1.
1.2.
1.3.	Tam bir kare seçme:
1.4.	tekrarlayan formül

Transandantal fonksiyonlar:

1.5.
- ikame T = e x ;

1.6.
- ikame T= günlük a x.

Örnek 2. Rasyonel fonksiyonların integrallerini bulun:

a)
; B)
;

v)
; e)
.

Çözüm.

a) Bu integrali bir değişken değişikliği kullanarak hesaplamaya gerek yoktur; burada diferansiyel işareti altındaki toplamayı kullanmak daha kolaydır:

b) Benzer şekilde, diferansiyel işareti altındaki toplamı kullanırız:

;

c) Önümüzde, Tablo 4'ün 1.3 tipinin bir integrali var, uygun önerileri kullanıyoruz:

e) Önceki örneğe benzer şekilde:

Örnek 3.İntegralleri bulun

a)
; B)
.

Çözüm.

b) İntegrant logaritmayı içerdiğinden tavsiye 1.6'yı kullanacağız. Sadece bu durumda, sadece bir işlevi değil, değiştirmek daha uygundur.
, ve kökün altındaki ifadenin tamamı şudur:

Tablo 6. Trigonometrik fonksiyonlar (r

integral formu	Entegrasyon yöntemi
3.1.	evrensel ikame , , ,
3.1.1. , Eğer	ikame
3.1.2. , Eğer	ikame .
3.1.3. . , Eğer (yani, işlevlerin yalnızca güçleri bile vardır )	ikame
3.2.	Eğer - tek, o zaman 3.1.1'e bakın; Eğer - tek, o zaman 3.1.2'ye bakın; Eğer - hatta, o zaman bkz. 3.1.3; Eğer - hatta, sonra derece azaltma formüllerini kullanın ,
3.3. , ,	formülleri kullanın

Örnek 4.İntegralleri bulun:

a)
; B)
; v)
; e)
.

Çözüm.

a) Burada trigonometrik fonksiyonu entegre ediyoruz. Evrensel ikameyi uygulayalım (tablo 6, 3.1):

b) Burada ayrıca genel ikame de uyguluyoruz:

Dikkate alınan integraldeki değişkenlerin değişiminin iki kez uygulanması gerektiğine dikkat edin.

c) Aynı şekilde hesaplayın:

e) Bu integrali hesaplamak için iki yöntem düşünün.

Gördüğünüz gibi, farklı ters türev fonksiyonlarımız var. Bu, kullanılan tekniklerden birinin yanlış sonuç verdiği anlamına gelmez. Gerçek şu ki, yarım açının tanjantını toplam açının trigonometrik fonksiyonlarıyla birleştiren iyi bilinen trigonometrik özdeşlikleri kullanarak,

Böylece bulunan ters türevler birbiriyle örtüşür.

Örnek 5.İntegralleri bulun:

a)
; B)
; v)
; G)
.

Çözüm.

a) Bu integralde evrensel ikame de uygulanabilir.
, ancak integralde yer alan kosinüs eşit derecede olduğundan, Tablo 6'nın 3.1.3 paragrafındaki tavsiyeleri kullanmak daha mantıklıdır:

b) İlk olarak, integralde bulunan tüm trigonometrik fonksiyonları tek bir argümana getiriyoruz:

Ortaya çıkan integralde evrensel bir ikame uygulanabilir, ancak sinüs ve kosinüsün işareti değiştiğinde integralin işaretini değiştirmediğini not edelim:

Sonuç olarak, fonksiyon Tablo 6'nın 3.1.3 maddesinde belirtilen özelliklere sahiptir, bu nedenle en uygun ikame olacaktır.
... Sahibiz:

c) Verilen integralde kosinüsün işareti değiştirilirse, tüm fonksiyonun işareti değişir:

Bu nedenle, integral, Bölüm 3.1.2'de açıklanan özelliğe sahiptir. Bu nedenle, ikame kullanmak mantıklı
... Ama önce, önceki örnekte olduğu gibi, integrali dönüştürüyoruz:

d) Sinüsün işareti belirli bir integralde değiştirilirse, tüm fonksiyon işaret değiştirecektir, bu, Tablo 6'nın 3.1.1 maddesinde açıklanan duruma sahip olduğumuz anlamına gelir, bu nedenle yeni değişken fonksiyon olarak atanmalıdır.
... Ancak integralde fonksiyonun varlığı gözlemlenmediğinden
, ne de diferansiyel, önce dönüştürürüz:

Örnek 6.İntegralleri bulun:

a)
; B)
;

v)
G)
.

Çözüm.

a) Bu integral, Tablo 6'nın 3.2 formunun integrallerini ifade eder. Sinüs tek derecede olduğundan, önerilere göre, fonksiyonun değiştirilmesi uygundur.
... Ama önce integrali dönüştürüyoruz:

b) Bu integral öncekiyle aynı tiptedir, ancak burada fonksiyonlar
ve
eşit dereceler vardır, bu nedenle derece azaltma formüllerini uygulamanız gerekir:
,
... Alırız:

c) Fonksiyonu dönüştürüyoruz:

d) Tablo 6'nın 3.1.3 önerilerine göre, bu integralde ikame yapmak uygundur.
... Alırız:

Tablo 5.irrasyonel fonksiyonlar (r Argümanlarının rasyonel bir işlevidir)

integral formu	Entegrasyon yöntemi
	ikame , nerede k – kesirlerin ortak paydası …, .
	ikame , nerede k- kesirlerin ortak paydası …,
2.3.	İkame, , nerede k- üslü kesirlerin ortak paydası …,
2.4.	ikame .
2.5.	ikame ,
2.6.	ikame , .
2.7.	ikame , .
2.8. (diferansiyel kutusu), yalnızca üç durumda entegre edilir: a) r- tamsayı (değiştirme NS = T k, nerede k- kesirlerin ortak paydası T ve NS); B) - bütün (yedek = T k, nerede k- kesir paydası r); v) - bütün (yedek = T k, nerede k- kesir paydası r).

Örnek 7.İntegralleri bulun:

a)
; B)
; v)
.

Çözüm.

a) Bu integral, 2.1 biçimindeki integrallere atfedilebilir, bu nedenle uygun ikameyi yaparız. Bu durumda ikamenin anlamının mantıksızlıktan kurtulmak olduğunu hatırlayın. Ve bu, radikal ifadenin, integralin altındaki tüm köklerin çıkarılacağı yeni değişkenin böyle bir gücüyle değiştirilmesi gerektiği anlamına gelir. Bizim durumumuzda, açık :

İntegral yanlış bir rasyonel kesirdir. Bu tür kesirlerin entegrasyonu, her şeyden önce, bütün parçanın seçimini gerektirir. Öyleyse payı paydaya bölelim:

sonra alırız
, buradan

Genel durumun değerlendirilmesine dönüyoruz - belirsiz bir integralde değişkenleri değiştirme yöntemi.

Örnek 5

Örnek olarak, dersin en başında ele aldığımız integrali aldım. Daha önce de söylediğimiz gibi, integrali çözmek için tablo formülünü beğendik ve tüm meseleyi buna indirgemek istiyorum.

Değiştirme yönteminin arkasındaki fikir, karmaşık bir ifadeyi (veya bir işlevi) bir harfle değiştirin.
Bu durumda yalvarır:
İkinci en popüler yedek mektup mektuptur.
Prensip olarak, diğer harfler kullanılabilir, ancak yine de geleneğe bağlı kalacağız.

Yani:
Ama değiştirirken, hala elimizde! Muhtemelen birçoğu, yeni bir değişkene geçiş yapılırsa, yeni integralde her şeyin bir harfle ifade edilmesi gerektiğini ve diferansiyel için yer olmadığını tahmin etmiştir.
İhtiyacınız olan mantıklı bir sonucu takip eder sadece bağlı olan bir ifadeye dönüşmek.

Eylem aşağıdaki gibidir. Bir ikame bulduktan sonra, bu örnekte diferansiyeli bulmamız gerekiyor. Diferansiyellerle, herkesin zaten dostluk kurduğunu düşünüyorum.

O zamandan beri

Diferansiyelle yapılan hesaplaşmadan sonra, nihai sonucu olabildiğince kısa bir süre içinde yeniden yazmanızı öneririm:
Şimdi orantı kurallarına göre ihtiyacımız olanı ifade ediyoruz:

Sonuçta:
Böylece:

Ve bu zaten en tablosal integraldir ( integral tablo, elbette bir değişken için de geçerlidir).

Sonuç olarak, ters değiştirmeyi gerçekleştirmek için kalır. Bunu hatırla.

Hazır.

Ele alınan örneğin son düzeni şöyle görünmelidir:

“

Değiştirelim:

“

Simge herhangi bir matematiksel anlam taşımamaktadır, ara açıklamalar için çözümü yarıda kestik demektir.

Bir not defterine bir örnek yazarken, basit bir kalemle ters değiştirmeyi üst üste koymak daha iyidir.

Dikkat! Aşağıdaki örneklerde, diferansiyelin bulunması ayrıntılı olarak açıklanmayacaktır.

Şimdi ilk çözümü hatırlama zamanı:

Fark ne? Temel bir fark yoktur. Onlar aslında aynı şeydir. Ancak görevin tasarımı açısından, işlevi diferansiyel işaretin altına getirme yöntemi çok daha kısadır..

Soru ortaya çıkar. İlk yol daha kısaysa, neden değiştirme yöntemini kullanıyorsunuz? Mesele şu ki, bir dizi integral için fonksiyona diferansiyelin işareti altına "uydurmak" o kadar kolay değil.

Örnek 6

Belirsiz integrali bulun.

Bir değiştirme yapalım: (burada başka bir ikame düşünmek zor)

Gördüğünüz gibi, değiştirmenin bir sonucu olarak, orijinal integral çok daha basit hale geldi - sıradan bir güç fonksiyonuna indirgendi. Değiştirmenin amacı budur - integrali basitleştirmek.

Tembel ileri düzey insanlar, diferansiyel işaretinin altına bir fonksiyon koyarak bu integrali kolayca çözebilir:

Başka bir şey de, böyle bir çözümün tüm öğrenciler için açık olmadığıdır. Ayrıca, zaten bu örnekte, diferansiyel işaretin altına bir fonksiyon getirme yönteminin kullanımı çözümde karışıklık riskini önemli ölçüde artırır.

Örnek 7

Belirsiz integrali bulun. Bunu kontrol et.

Örnek 8

Belirsiz integrali bulun.

Yenisiyle değiştirme:
Ne olacağını bulmak için kalır

Tamam, ifade ettik ama payda kalan “x” ile ne yapmalı?!
İntegralleri çözerken zaman zaman şu hile ortaya çıkar: aynı ikameden ifade ediyoruz!

Örnek 9

Belirsiz integrali bulun.

Bu, kendin yap çözümüne bir örnektir. Cevap dersin sonunda.

Örnek 10

Belirsiz integrali bulun.

Elbette bazıları, arama tablomda değişken değiştirme kuralı olmadığını fark etmiştir. Bu kasıtlı olarak yapıldı. Kural, yukarıdaki örneklerde açıkça görünmediği için açıklama ile anlamayı birbirine karıştıracaktır.

Şimdi değişken değiştirme yöntemini kullanmanın temel öncülü hakkında konuşma zamanı: integral bazı işlevler içermelidir ve türevi : (işlevler işte olmayabilir)

Bu bağlamda, integralleri bulurken, genellikle türev tablosuna bakmak gerekir.

Bu örnekte, payın derecesinin paydanın derecesinden bir eksik olduğuna dikkat edin. Türev tablosunda, dereceyi birer birer azaltan formülü buluyoruz. Ve bu nedenle, paydayı belirlerseniz, payın iyi bir şeye dönüşme olasılığı yüksektir.

Yenisiyle değiştirme:

Bu arada, işlevi diferansiyel işaretin altına getirmek o kadar zor değil:

Gibi kesirler için böyle bir hilenin artık işe yaramayacağına dikkat edilmelidir (daha doğrusu, sadece değiştirme tekniğini uygulamak gerekli olmayacaktır). Derste bazı kesirleri nasıl entegre edeceğinizi öğrenebilirsiniz. Bazı kesirlerin integrali.

Aynı operadan bağımsız bir çözüm için birkaç tipik örnek daha:

Örnek 11

Belirsiz integrali bulun.

Örnek 12

Belirsiz integrali bulun.

Dersin sonunda çözümler.

Örnek 13

Belirsiz integrali bulun.

Türev tablosuna bakarız ve arkozinimizi buluruz: ... İntegranda ters kosinüs ve onun türevine benzer bir şey var.

Genel kural:
Başına işlevin kendisini belirtmek(ve türevi değil).

Bu durumda: . İntegrand'ın geri kalanının neye dönüşeceğini bulmak için kalır.

Bu örnekte, karmaşık bir fonksiyon olduğu için bulguyu detaylı olarak anlatacağım.

Veya daha kısa:
Orantı kuralına göre, ihtiyacımız olan kalanı ifade ederiz:

Böylece:

Burada fonksiyonu diferansiyel işaretin altına getirmek artık o kadar kolay değil.

Örnek 14

Belirsiz integrali bulun.

Bağımsız bir çözüm için bir örnek. Cevap çok yakın.

Zeki okuyucular, trigonometrik fonksiyonlarla ilgili birkaç örneğe baktığımı fark edeceklerdir. Ve bu tesadüf değil, çünkü altında trigonometrik fonksiyonların integralleri ayrı bir ders verilir. Ayrıca, bu ders, belirli bir integralde ne tür bir değiştirme yapılması gerektiğini her zaman ve hemen anlamayan kuklalar için özellikle önemli olan bir değişkeni değiştirmek için bazı yararlı yönergeler sağlar. Ayrıca, makalede bazı değiştirme türleri bulunabilir. Kesin integral. Çözüm örnekleri.

Daha deneyimli öğrenciler, tipik bir değiştirme ile kendilerini tanıyabilir irrasyonel fonksiyonlara sahip integrallerde... Kökleri entegre ederken değiştirme özeldir ve uygulama tekniği bu derste tartıştığımızdan farklıdır.

Başarılar dilerim!

Örnek 3:Çözüm :

Örnek 4:Çözüm :

Örnek 7:Çözüm :

Örnek 9:Çözüm :

Yenisiyle değiştirme:

Örnek 11:Çözüm :

Değiştirelim:

Örnek 12:Çözüm :

Değiştirelim:

Örnek 14:Çözüm :

Değiştirelim:

Parçalara göre entegrasyon. Çözüm örnekleri

Tekrar merhaba. Bugün derste parça parça birleştirmeyi öğreneceğiz. Parçalarla entegrasyon, integral hesabın temel taşlarından biridir. Testte, sınavda, öğrenciden neredeyse her zaman aşağıdaki türlerin integrallerini çözmesi istenir: en basit integral (makaleye bakınBelirsiz integral. Çözüm örnekleri ) veya değişken değişimi için integral (makaleye bakınBelirsiz integralde değişken değişim yöntemi ) veya integral açık parçalara göre entegrasyon yöntemi.

Her zaman olduğu gibi, elinizde olmalıdır: İntegral tablo ve türev tablosu... Hala sahip değilseniz, lütfen web sitemin deposunu ziyaret edin: Matematiksel formüller ve tablolar... Tekrar etmekten yorulmayacağım - her şeyi yazdırmak daha iyidir. Tüm materyalleri tutarlı, basit ve kolay bir şekilde sunmaya çalışacağım, parçalara göre entegrasyonda özel bir zorluk yok.

Parçalara göre entegrasyon yöntemi hangi sorunu çözüyor? Parçalarla entegrasyon yöntemi çok önemli bir sorunu çözer, tabloda bulunmayan bazı işlevleri entegre etmenize olanak tanır, İş fonksiyonlar ve bazı durumlarda - ve bölüm. Hatırladığımız gibi, uygun bir formül yok: ... Ama şu var: - bizzat parçalar tarafından entegrasyon formülü. Biliyorum, biliyorum, tek kişi sensin - tüm ders boyunca onunla çalışacağız (zaten daha kolay).

4), - ters trigonometrik fonksiyonlar ("kemerler"), "kemerler", bazı polinomlarla çarpılır.

Ayrıca, bazı kesirler parçalar halinde alınır, ilgili örnekleri de ayrıntılı olarak ele alacağız.

logaritma integralleri

örnek 1

Belirsiz integrali bulun.

Klasik. Zaman zaman, bu integral tablolarda bulunabilir, ancak öğretmenin bahar vitamini eksikliği olduğu ve şiddetle yemin edeceği için hazır bir cevap kullanmak istenmez. İncelenen integral tablo şeklinde olmadığı için parça parça alınır. Karar veriyoruz:

Ara açıklamalar için çözümü kesiyoruz.

Parçalara göre entegrasyon için formülü kullanıyoruz:

A integralleri tablo haline getirmenin yolları sizin için listeledik:

değişken değiştirme yöntemi;

parçalara göre entegrasyon yöntemi;

Doğrudan entegrasyon yöntemi

rasyonel kesirlerin integralleri için belirsiz integralleri tablo integralleri cinsinden gösterme yolları;

irrasyonel ifadelerin integralleri için çizelgesel integraller cinsinden belirsiz integralleri temsil etme yöntemleri;

trigonometrik fonksiyonlar için belirsiz integralleri tablo integralleri cinsinden ifade etme yolları.

Bir güç fonksiyonunun belirsiz integrali

Üstel fonksiyonun belirsiz integrali

Ancak logaritmanın belirsiz integrali bir tablo integrali değildir, bunun yerine tablo şu formüldür:

Trigonometrik fonksiyonların belirsiz integralleri: Sinüs kosinüs ve tanjant integralleri

Ters trigonometrik fonksiyonlara sahip belirsiz integraller

Tablo görünümüne küçültme veya doğrudan entegrasyon yöntemi... İntegralin özdeş dönüşümleri yardımıyla, integral, temel entegrasyon kurallarının uygulanabileceği ve temel integral tablosunun kullanılabileceği bir integrale indirgenir.

Örnek

Egzersiz yapmak. integrali bul

Çözüm.İntegralin özelliklerini kullanacağız ve bu integrali tablo haline getireceğiz.

Cevap.

teknik olarak değişken değiştirme yöntemi belirsiz integral iki şekilde gerçekleştirilir:

– Diferansiyel işaretinin altına bir fonksiyon getirmek. - Değişkenin fiili değişimi.

Diferansiyel işareti altında bir fonksiyon atama

Örnek 2

Bunu kontrol et.

İntegrand fonksiyonunu analiz ediyoruz. Burada bir kesirimiz var ve payda lineer bir fonksiyondur (birinci derecede "x" ile). İntegral tablosuna bakarız ve en benzer şeyi buluruz:

Fonksiyonu diferansiyel işaretinin altına getiriyoruz:

Hangi kesirle çarpılacağını hemen bulmakta güçlük çekenler, bir taslakta diferansiyeli çabucak ortaya çıkarabilirler: Evet, öyle görünüyor ki, hiçbir şey değişmemesi için integrali ile çarpmam gerekiyor. Ardından, tablo formülünü kullanıyoruz:

muayene: Orijinal integral elde edilir, yani integral doğru bulunur.

Örnek 5

Belirsiz integrali bulun.

Örnek olarak, dersin en başında ele aldığımız integrali aldım. Daha önce de söylediğimiz gibi, integrali çözmek için tablo formülünü beğendik. , ve tüm meseleyi ona indirgemek istiyorum.

Değiştirme yönteminin arkasındaki fikir, karmaşık bir ifadeyi (veya bir işlevi) bir harfle değiştirin. Bu durumda kendini akla getirir: İkinci en popüler yedek harf mektuptur. Prensip olarak, diğer harfler kullanılabilir, ancak yine de geleneğe bağlı kalacağız.

Yani: Ama değiştirirken, hala elimizde! Muhtemelen birçoğu, yeni bir değişkene geçiş yapılırsa, yeni integralde her şeyin bir harfle ifade edilmesi gerektiğini ve diferansiyel için yer olmadığını tahmin etmiştir. İhtiyacınız olan mantıklı bir sonucu takip eder sadece bağlı olan bir ifadeye dönüşmek.

Eylem aşağıdaki gibidir. Bir ikame bulduktan sonra, bu örnekte diferansiyeli bulmamız gerekiyor. Diferansiyellerle, herkesin zaten dostluk kurduğunu düşünüyorum.

O zamandan beri

Diferansiyel ile hesaplaşmadan sonra, nihai sonucu olabildiğince kısa bir şekilde yeniden yazmanızı öneririm: Şimdi orantı kurallarına göre ihtiyacımız olanı ifade ediyoruz:

Sonuçta: Böylece: Ve bu zaten en tablolu integral (integral tablosu doğal olarak bir değişken için de geçerlidir).

Sonuç olarak, ters değiştirmeyi gerçekleştirmek için kalır. Bunu hatırla.

Hazır.

Ele alınan örneğin son düzeni şöyle görünmelidir:

“

Değiştirelim:

“

Simge herhangi bir matematiksel anlam taşımamaktadır, ara açıklamalar için çözümü yarıda kestik demektir.

Bir not defterine bir örnek yazarken, basit bir kalemle ters değiştirmeyi üst üste koymak daha iyidir.

Dikkat! Aşağıdaki örneklerde, diferansiyelin bulunması ayrıntılı olarak açıklanmayacaktır.

Şimdi ilk çözümü hatırlama zamanı:

Fark ne? Temel bir fark yoktur. Onlar aslında aynı şeydir. Ancak görevin tasarımı açısından, işlevi diferansiyel işaretin altına getirme yöntemi çok daha kısadır. Soru ortaya çıkar. İlk yol daha kısaysa, neden değiştirme yöntemini kullanıyorsunuz? Mesele şu ki, bir dizi integral için fonksiyona diferansiyelin işareti altına "uydurmak" o kadar kolay değil.

Parçalara göre entegrasyon. Çözüm örnekleri

logaritma integralleri

örnek 1

Belirsiz integrali bulun.

Ara açıklamalar için çözümü kesiyoruz.

Parçalara göre entegrasyon için formülü kullanıyoruz:

Formül soldan sağa uygulanır

Sol tarafa bakıyoruz: Açıktır ki, bizim örneğimizde (ve ele alacağımız diğer tüm örneklerde), bir şeyin ve bunun için bir şeyin belirtilmesi gerekir.

Söz konusu türün integrallerindeher zaman logaritma ile gösterilir.

Teknik olarak, çözümün tasarımı şu şekilde uygulanır, yazdığımız bir sütunda:

Yani, logaritmayı gösterdiğimiz için ve - kalan kısım integral ifadesi.

Sonraki adım: farkı bulun:

Diferansiyel, türev ile hemen hemen aynıdır, nasıl bulunur, önceki derslerde zaten analiz etmiştik.

Şimdi fonksiyonu buluyoruz. Fonksiyonu bulmak için integral almak gerekir. Sağ Taraf alt eşitlik:

Şimdi çözümümüzü açıyoruz ve formülün sağ tarafını oluşturuyoruz:. Bu arada, birkaç notla temiz bir çözüm örneği:

Çarpanı logaritmadan önce yazmak geleneksel olduğu için, çarpımdaki tek an, yerleri hemen yeniden düzenledim.

Gördüğünüz gibi, integral formülünün parçalara göre uygulanması aslında çözümümüzü iki basit integrale indirdi.

Bazı durumlarda lütfen unutmayın hemen sonra formülün uygulanması, kalan integral altında mutlaka bir basitleştirme yapılır - söz konusu örnekte, integrali "x" ile düşürdük.

Hadi kontrol edelim. Bunu yapmak için cevabın türevini almanız gerekir:

Orijinal integral elde edilir, bu da integralin doğru çözüldüğü anlamına gelir.

Kontrol sırasında ürün farklılaştırma kuralını kullandık: Ve bu tesadüf değil.

Parça formülü ile entegrasyon ve formülbirbirinin tersi olan iki kuraldır.

Bir polinomla çarpılan üstel integraller

Genel kural: başına

Örnek 5

Belirsiz integrali bulun.

Tanıdık bir algoritma kullanarak parçalara göre entegre ediyoruz:

İntegral ile ilgili herhangi bir sorununuz varsa, makaleye dönmelisiniz. Belirsiz integralde değişken değişim yöntemi.

Yapabileceğiniz diğer tek şey cevabı taramak:

Ancak hesaplama tekniğiniz çok iyi değilse, o zaman en karlı seçenek bir cevap bırakmak veya hatta

Yani son integral alındığında örnek çözülmüş kabul edilir. Bu bir hata olmayacak, cevabı basitleştirmek için öğretmenin isteyebileceği başka bir konu.

Bir polinomla çarpılan trigonometrik fonksiyonların integralleri

Genel kural: başınaher zaman bir polinom ile gösterilir

Örnek 7

Belirsiz integrali bulun.

Parça parça entegre ediyoruz:

Hmmm ... ve yorumlanacak bir şey yok.

polinom değişikliği veya. İşte derece polinomları, örneğin ifade derece polinomudur.

Diyelim ki bir örneğimiz var:

Değişken değiştirme yöntemini uygulayalım. Sizce ne için alınmalı? Doğru, .

Denklem şu şekli alır:

Değişkenlerin ters değişimini yapıyoruz:

İlk denklemi çözelim:

çözeceğiz ikinci denklem:

… Ne anlama geliyor? Doğru! Çözümlerin olmaması.

Böylece iki cevap aldık -; ...

Bir polinomla değişken değiştirme yöntemini nasıl kullanacağınızı anladınız mı? Bunu kendiniz yapmaya çalışın:

Karar verilmiş? Şimdi öne çıkanları sizinle birlikte kontrol edelim.

Çünkü almanız gerekiyor.

Şu ifadeyi alıyoruz:

İkinci dereceden denklemi çözerek, onun iki kökü olduğunu anlarız: ve.

Birinci ikinci dereceden denklemin çözümü sayılardır ve

İkinci ikinci dereceden denklemin çözümü sayılardır ve.

Cevap: ; ; ;

özetleyelim

Değişken değiştirme yöntemi, denklemlerde ve eşitsizliklerde temel değişken değişikliği türlerine sahiptir:

1. Güç ikamesi, bizim için bir güce yükseltilmiş bazı bilinmeyenleri aldığımızda.

2. Bilinmeyeni içeren bir tamsayı ifadesi olarak aldığımızda, bir polinomun değiştirilmesi.

3. Bilinmeyen bir değişken içeren herhangi bir ilişki olarak aldığımızda, kesirli rasyonel ikame.

Önemli tavsiye yeni bir değişken tanıtırken:

1. Değişkenlerin değişimi hemen, en kısa sürede yapılmalıdır.

2. Nispeten yeni bir değişkenin denklemi sonuna kadar çözülmeli ve ancak ondan sonra eski bilinmeyene dönülmelidir.

3. Orijinal bilinmeyene dönerken (ve aslında tüm çözüm boyunca), ODZ için kökleri kontrol etmeyi unutmayın.

Yeni değişken hem denklemlerde hem de eşitsizliklerde aynı şekilde tanıtılır.

3 görevi analiz edelim

3 sorunun cevabı

1. Let, o zaman ifade şeklini alır.

Çünkü hem olumlu hem de olumsuz olabilir.

Cevap:

2. Let, o zaman ifade şeklini alır.

beri çözüm yok.

Cevap:

3. Gruplandırarak şunları elde ederiz:

Hadi, o zaman ifade formu alır
.

Cevap:

DEĞİŞKENLERİN DEĞİŞTİRİLMESİ. ORTALAMA SEVİYE.

Değişkenlerin değişimi- bu, denklem veya eşitsizliğin daha basit bir forma sahip olduğu yeni bir bilinmeyenin tanıtımıdır.

Ana ikame türlerini listeleyeceğim.

Güç ikamesi

Güç ikamesi.

Örneğin, ikame kullanılarak, biquadratik denklem ikinci dereceden:'e indirgenir.

Eşitsizliklerde her şey benzerdir.

Örneğin, eşitsizlikte bir ikame yapıyoruz ve eşitsizliğin karesini alıyoruz:.

Örnek (kendi başınıza karar verin):

Çözüm:

Bu, kesirli bir rasyonel denklemdir (tekrar), ancak bir derece denklemi alacağımızdan, olağan yöntemle (ortak bir paydaya indirgeme) çözmek sakıncalıdır, bu nedenle bir değişken değişikliği uygulanır.

Değiştirdikten sonra her şey çok daha kolay hale gelecek:. Sonra:

şimdi yapıyoruz ters değiştirme:

Cevap: ; ...

polinom değişikliği

veya polinomunun değiştirilmesi.

İşte bir derece polinomu, yani. ifade gibi

(örneğin, bir ifade bir derece polinomudur, yani).

Çoğu zaman, kare üç terimlinin değiştirilmesi kullanılır: veya.

Örnek:

Denklemi çözün.

Çözüm:

Ve yine değişken ikame kullanılır.

O zaman denklem şu şekli alacaktır:

Bu ikinci dereceden denklemin kökleri: ve.

İki vakamız var. Her biri için bir ters değiştirme yapalım:

Bu, bu denklemin kökü olmadığı anlamına gelir.

Bu denklemin kökleri: ve.

Cevap. ...

kesirli rasyonel ikame

Kesirli rasyonel yer değiştirme.

ve sırasıyla derece ve polinomlarıdır.

Örneğin, tekrarlayan denklemleri, yani formun denklemlerini çözerken

genellikle bir yedek kullanılır.

Şimdi size nasıl çalıştığını göstereceğim.

Bu denklemin kökünün ne olmadığını kontrol etmek kolaydır: sonuçta, onu denklemde yerine koyarsak, koşulla çelişen elde ederiz.

Denklemi şuna bölün:

Yeniden gruplayalım:

Şimdi bir değiştirme yapıyoruz:.

Güzelliği, terimlerin çift çarpımında karesi alındığında x'in iptal edilmesidir:

Dolayısıyla bunu takip eder.

Denklemimize geri dönelim:

Şimdi ikinci dereceden denklemi çözmek ve ters değiştirmeyi yapmak yeterlidir.

Örnek:

Denklemi çözün:.

Çözüm:

Zira eşitlik bu nedenle sağlanmaz. Denklemi şuna bölün:

Denklem şu şekli alacaktır:

Kökleri:

Ters bir değiştirme yapalım:

Ortaya çıkan denklemleri çözelim:

Cevap: ; ...

Başka bir örnek:

Eşitsizliği çözün.

Çözüm:

Doğrudan ikame ile bu eşitsizliğin çözümüne dahil edilmediğini görüyoruz. Kesirlerin her birinin payını ve paydasını şuna bölün:

Değişken değiştirme artık açıktır:.

Sonra eşitsizlik şu şekli alır:

y'yi bulmak için aralık yöntemini kullanırız:

beri herkesin önünde

Bu nedenle, eşitsizlik aşağıdakine eşittir:

beri herkesin önünde.

Bu nedenle, eşitsizlik aşağıdakine eşdeğerdir:

Böylece, eşitsizliğin toplamın eşdeğer olduğu ortaya çıkıyor:

Cevap: .

Değişkenlerin değişimi- denklemleri ve eşitsizlikleri çözmek için en önemli yöntemlerden biri.

Son olarak, size birkaç önemli ipucu vereceğim:

DEĞİŞKENLERİN DEĞİŞTİRİLMESİ. ÖZET VE TEMEL FORMÜLLER.

Değişkenlerin değişimi- orijinal ifadeyi basitleştirmenize ve standart bir forma getirmenize izin veren karmaşık denklemleri ve eşitsizlikleri çözme yöntemi.

Değişken değiştirme türleri:

Güç ikamesi: bazı bilinmeyenler için, güce yükseltildi -.
Kesirli rasyonel değiştirme: bilinmeyen bir değişken içeren herhangi bir ilişki şu şekilde alınır - , burada ve sırasıyla n ve m derecelerinin polinomlarıdır.
Polinom değiştirme: bilinmeyen içeren bir tamsayı ifadesi olarak alınır veya, bir derece polinomu nerede.

Basitleştirilmiş denklemi/eşitsizliği çözdükten sonra tersini yapmak gerekir.

Genel durumun değerlendirilmesine dönüyoruz - belirsiz bir integralde değişkenleri değiştirme yöntemi.

Örnek 5

Örnek olarak, dersin en başında ele aldığımız integrali alalım. Daha önce de söylediğimiz gibi, integrali çözmek için tablo formülünü beğendik. ,

ve bütün meseleyi ona indirgemek istiyorum.

Değiştirme yönteminin arkasındaki fikir, karmaşık bir ifadeyi (veya bir işlevi) bir harfle değiştirin.

Bu durumda yalvarır:

İkinci en popüler yedek mektup mektuptur. z... Prensip olarak, diğer harfler kullanılabilir, ancak yine de geleneğe bağlı kalacağız.

Ama değiştirirken, hala elimizde dx! Muhtemelen birçok kişi, yeni bir değişkene geçiş yapıldığında T, o zaman yeni integralde her şey harfle ifade edilmelidir. T ve diferansiyel dx hiç yer yok. Mantıklı bir sonuca varıyor dx gerekli sadece bağlı olan bir ifadeye dönüşmekT.

Eylem aşağıdaki gibidir. Bir ikame bulduktan sonra, bu örnekte - bu, diferansiyeli bulmamız gerekiyor dt.

Şimdi orantı kurallarına göre ifade ediyoruz. dx:

Böylece:

Ve bu zaten en tablolu integral

(integral tablosu doğal olarak değişken için de geçerlidir T).

Sonuç olarak, ters değiştirmeyi gerçekleştirmek için kalır. Bunu hatırla.

Ele alınan örneğin son düzeni şöyle görünmelidir:

değiştirelim:, o zaman

Simge herhangi bir matematiksel anlam taşımamaktadır, ara açıklamalar için çözümü yarıda kestik demektir.

Bir not defterine bir örnek yazarken, basit bir kalemle ters değiştirmeyi üst üste koymak daha iyidir.

Dikkat! Aşağıdaki örneklerde, yeni bir değişkenin diferansiyelinin bulunması ayrıntılı olarak açıklanmayacaktır.

İlk çözümü hatırla:

Fark ne? Temel bir fark yoktur. Onlar aslında aynı şeydir.

Ancak, görevin tasarımı açısından, işlevi diferansiyel işaretin altına getirme yöntemi çok daha kısadır.

Örnek 6

Belirsiz integrali bulun.

Değiştirelim:

;

Tembel ileri düzey insanlar, diferansiyel işaretinin altına bir fonksiyon koyarak bu integrali kolayca çözebilir:

Örnek 7

belirsiz integrali bulun

Bunu kontrol et.

Örnek 8

Belirsiz integrali bulun.

Çözüm: Bir değiştirme yapıyoruz:.

Ne olacağını bulmak için kalır xdx? İntegralleri çözerken zaman zaman aşağıdaki numara gerçekleşir: x aynı değiştirmeden ifade ediyoruz:

Örnek 9

Belirsiz integrali bulun.

Bu, kendin yap çözümüne bir örnektir. Cevap dersin sonunda.

Örnek 10

Belirsiz integrali bulun.

Elbette bazıları, arama tablosunda değişken değiştirme kuralı olmadığını fark etmiştir. Bu kasıtlı olarak yapıldı. Kural, yukarıdaki örneklerde açıkça görünmediği için açıklama ile anlamayı birbirine karıştıracaktır.

Şimdi değişken değiştirme yöntemini kullanmanın temel öncülü hakkında konuşma zamanı: integral bazı işlevler içermelidir ve türevi... örneğin nasıl : .

F işlevler işte olmayabilir, ancak farklı bir kombinasyonda olabilir.

Bu bağlamda, integralleri bulurken, genellikle türev tablosuna bakmak gerekir.

Bu Örnek 10'da, payın derecesinin paydanın derecesinden bir eksik olduğuna dikkat edin. Türev tablosunda, dereceyi birer birer azaltan formülü buluyoruz. Yani, ile belirtirsek T payda, o zaman payın olma olasılığı iyidir xdx iyi bir şeye dönüşür:

Yenisiyle değiştirme: .

Bu arada, işlevi diferansiyel işaretin altına getirmek o kadar zor değil:

Gibi kesirler için böyle bir hilenin artık işe yaramayacağına dikkat edilmelidir (daha doğrusu, sadece değiştirme tekniğini uygulamak gerekli olmayacaktır).

Derste bazı kesirleri nasıl entegre edeceğinizi öğrenebilirsiniz. Bileşik kesirlerin entegrasyonu... Aynı yönteme bağımsız bir çözüm için birkaç tipik örnek.

Örnek 11

belirsiz integrali bulun

Örnek 12

belirsiz integrali bulun

Dersin sonunda çözümler.

Örnek 13

belirsiz integrali bulun

Türev tablosuna bakarız ve arkozinimizi buluruz: , çünkü ters kosinüs ve integralde onun türevine benzer bir şeye sahibiz.

Genel kural:

Başına T işlevin kendisini belirtmek(ve türevi değil).

Bu durumda: . İntegrand'ın geri kalanının neye dönüşeceğini bulmak için kalır.

Bu örnekte, bulma NS T karmaşık bir fonksiyon olduğu için ayrıntılı olarak yazacağız:

Veya kısaca:

Orantı kuralına göre, ihtiyacımız olan kalanı ifade ederiz: .

Böylece:

Örnek 14

Belirsiz integrali bulun.

Bağımsız bir çözüm için bir örnek. Cevap çok yakın.

Zeki okuyucular, trigonometrik fonksiyonlarla ilgili birkaç örneğe baktığımızı fark edeceklerdir. Ve bu tesadüfi değildir, çünkü altında ve trigonometrik fonksiyonların integralleri 7.1.5, 7.1.6, 7.1.7. Ayrıca, bir değişkeni değiştirmek için bazı yararlı yönergeler aşağıda verilmiştir; bu, belirli bir integralde ne tür bir değiştirme yapılması gerektiğini her zaman ve hemen anlamayan kuklalar için özellikle önemlidir. Ayrıca, bazı ikame türleri madde 7.2'de bulunabilir.

Daha deneyimli öğrenciler, tipik bir değiştirme ile kendilerini tanıyabilir irrasyonel fonksiyonlara sahip integrallerde

Örnek 12: Çözüm:

Değiştirelim:

Örnek 14: Çözüm:

Değiştirelim: