Matritsa elementlariga algebraik to'ldiruvchilarni qanday hisoblash mumkin. Algebraik to‘ldiruvchilar va minorlar

Matritsaning kichiklari

Kvadrat berilgan matritsa A, n - tartib. Kichik aij elementining n-tartibli matritsaning determinanti deyiladi aniqlovchi(n - 1) - tanlangan aij elementi kesishmasida joylashgan satr va ustunni o'chirish orqali asl nusxadan olingan tartib. U Mij deb nomlanadi.

Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik matritsaning determinanti 3 - uning tartibi:
Minorlar va algebraik to'ldiruvchilar, 3-matritsaning determinanti - uning tartibi, keyin ta'rifga ko'ra kichik, kichik a12 elementiga mos keladigan M12 bo'ladi aniqlovchi:Bundan tashqari, foydalanish voyaga etmaganlar hisoblash vazifasini engillashtirish mumkin matritsaning determinanti... Parchalanish kerak matritsaning determinanti bir qatorda va keyin aniqlovchi ularning kichiklari bo'yicha ushbu chiziqning barcha elementlari yig'indisiga teng bo'ladi. Parchalanish matritsaning determinanti 3 - uning tartibi quyidagicha ko'rinadi:

, mahsulot oldidagi belgi (-1) n, bu erda n = i + j.

Algebraik qo'shimchalar:

Algebraik to‘ldiruvchi aij elementi uning deyiladi kichik, agar yig'indisi (i + j) juft son bo'lsa, "+" belgisi bilan va bu yig'indi toq son bo'lsa, "-" belgisi bilan olinadi. Aij tayinlangan.
Aij = (-1) i + j × Mij.

Keyin yuqoridagi xususiyatni qayta shakllantirishimiz mumkin. Matritsaning aniqlovchisi bir qator (satr yoki ustun) elementlarining ko'paytmasi yig'indisiga teng matritsalar o'zlariga algebraik to‘ldiruvchilar... Misol.

Matritsani o'zgartirmasdan, determinantni faqat 2 × 2 va 3 × 3 matritsalar uchun hisoblash oson. Bu quyidagi formulalar yordamida amalga oshiriladi:

Matritsa uchun

aniqlovchi:

Matritsa uchun

aniqlovchi:

a11 * (a22 * a33-a23 * a32) -a12 * (a21 * a33-a23 * a31) + a13 * (a21 * a32-a22 * a31)

4 × 4 va undan katta matritsalar uchun hisob-kitoblar qiyin, shuning uchun ularni determinantning xususiyatlariga mos ravishda o'zgartirish kerak. Bitta ustun yoki har qanday satrdan tashqari barcha qiymatlar nolga teng bo'lgan matritsani olishga harakat qilish kerak. Bunday matritsaga misol:

Buning uchun determinant:

A12 * (a21 * (a33 * a44-a34 * a43) -a23 * (a31 * a44-a34 * a41) + a24 * (a31 * a43-a33 * a41))

Eslab qoling

a21 * (a33 * a44-a34 * a43) -a23 * (a31 * a44-a34 * a41) + a24 * (a31 * a43-a33 * a41)

bu satr va ustunni ayirish orqali olingan matritsaning determinantini hisoblash, ularning kesishmasida bitta nolga teng bo'lmagan satr / ustun raqami mavjud, unga ko'ra biz matritsani ajratamiz:

Va natijada olingan qiymatni "nol" ustun / qatordan bir xil raqamga ko'paytiramiz, bunda raqam -1 ga ko'paytirilishi mumkin (quyida barcha tafsilotlar).

Agar matritsa uchburchak shaklga tushirilsa, uning determinanti diagonal bo'ylab raqamlarning mahsuloti sifatida hisoblanadi. Masalan, matritsa uchun

Aniqlovchi bu:

Xuddi shu narsani 5 × 5, 6 × 6 matritsalar va boshqa katta o'lchamlar bilan qilish kerak.

Matritsalarni o'zgartirishlar determinantning xususiyatlariga muvofiq amalga oshirilishi kerak. Ammo 4 × 4 matritsalar uchun determinantni hisoblash amaliyotiga o'tishdan oldin, keling, 3 × 3 matritsalarga qaytaylik va ular uchun determinant qanday hisoblanganligini batafsil ko'rib chiqaylik.

Kichik

Matritsaning determinantini tushunish unchalik oson emas, chunki uning kontseptsiyasida rekursiya mavjud: matritsa determinanti bir nechta elementlardan, jumladan (boshqa) matritsalarning determinantidan iborat.

Bunga yopishib qolmaslik uchun, keling, hozir (vaqtinchalik) matritsaning determinanti deb faraz qilaylik.

quyidagicha hisoblanadi:

kabi konventsiya va tushunchalarni ham tushunamiz kichik va algebraik to‘ldiruvchi.

I harfi bilan biz drenajning tartib raqamini, j harfi bilan - ustunning tartib raqamini belgilaymiz.

a ij matritsaning (raqamli) i qator va j ustuni kesishmasidagi elementini bildiradi.

i qator va j ustunini o‘chirish orqali asl nusxadan olingan matritsani tasavvur qiling. Yangi matritsaning i satr va j ustunini o‘chirish orqali asl nusxadan olingan determinant a ij elementining kichik M ij deyiladi.

Keling, aytilgan narsalarni tasvirlab beraylik. Matritsa berilgan deylik

Keyin, a 11 elementining kichik M 11 ni aniqlash uchun biz birinchi qatorni va birinchi ustunni olib tashlash orqali asl nusxadan olingan yangi matritsani tuzishimiz kerak:

Va buning uchun determinantni hisoblang: 2 * 1 - (-4) * 0 = 2

A 22 elementining kichik M 22 ni aniqlash uchun biz asl nusxadan ikkinchi qator va ikkinchi ustunni olib tashlash orqali olingan yangi matritsani tuzishimiz kerak:

Va buning uchun determinantni hisoblang: 1 * 1 -3 * 3 = -8

Algebraik to‘ldiruvchi

a ij elementi uchun A ij algebraik to‘ldiruvchisi bu elementning “+” belgisi bilan olingan kichik M ij bo‘lib, agar satr va ustun indekslari yig‘indisi (i + j) bo‘lsa, bu element kesishmasida joylashgan bo‘lsa. joylashgan, juft bo'lib, indekslar yig'indisi toq bo'lsa, "-" belgisi bilan.

Shunday qilib,

Oldingi misoldagi matritsa uchun

A 11 = (-1) (1 + 1) * (2 * 1 - (-4) * 0) = 2

A 22 = (-1) (2 + 2) * (1 * 1 -3 * 3) = -8

Matritsalar uchun determinantni hisoblash

A matritsaga mos keladigan n tartibli determinant det A bilan belgilangan va quyidagi formula bilan hisoblangan sondir:

Ushbu formuladagi hamma narsa bizga allaqachon tanish, endi matritsaning determinantini hisoblaymiz.

i = 1,2, ..., n qator yoki ustun j = 1, 2, ..., n soni qancha bo'lishidan qat'i nazar, n-tartibning aniqlovchisi shu elementlarning ko'paytmalari yig'indisiga teng. qator yoki bu ustunni algebraik to'ldiruvchilari bo'yicha, ya'ni

Bular. determinant har qanday ustun yoki har qanday satr uchun hisoblanishi mumkin.

Buni tekshirish uchun biz ikkinchi ustun uchun oxirgi misoldan matritsa uchun determinantni hisoblaymiz

Ko'rib turganingizdek, natija bir xil va bu matritsa uchun determinant har doim -52 bo'ladi, biz uni qaysi satr yoki qaysi ustun bilan hisoblashimizdan qat'iy nazar.

Matritsaning determinant xususiyatlari

Determinantning satr va ustunlari teng, ya'ni satr va ustunlarini tartibini saqlagan holda almashtirib tursangiz, determinantning qiymati o'zgarmaydi. Ushbu operatsiya kvalifikator transpozitsiyasi deb ataladi. Formulyatsiyalangan xususiyatga muvofiq det A = det AT.
Ikki qatorni (yoki ikkita ustunni) almashtirishda determinant o'zining mutlaq qiymatini saqlab qoladi, lekin belgisini aksincha o'zgartiradi.
Ikkita bir xil satrlar (yoki ustunlar) bo'lgan determinant nolga teng.
Aniqlovchining qaysidir qatori (yoki qandaydir ustuni) barcha elementlarini l soniga ko'paytirish determinantni l soniga ko'paytirishga teng.
Agar determinantning har qanday satrining (yoki ustunining) barcha elementlari nolga teng bo'lsa, determinantning o'zi nolga teng bo'ladi.
Agar determinantning ikki qatori (yoki ikkita ustuni) elementlari proportsional bo'lsa, determinant nolga teng.
Agar determinantning qaysidir satri (yoki qandaydir ustuni) elementlariga ixtiyoriy koeffitsient l ga ko'paytirilgan boshqa qatorning (boshqa ustun) mos elementlarini qo'shsak, u holda determinantning qiymati o'zgarmaydi.
Determinantning har qanday satri (har qanday ustuni) elementlarining boshqa har qanday satr (har qanday boshqa ustun) elementlarining tegishli algebraik to'ldiruvchilari bo'yicha ko'paytmalari yig'indisi nolga teng.
Agar aniqlovchining i-qatorining barcha elementlari a ij = bj + cj ikkita hadning yig'indisi sifatida taqdim etilsa, u holda determinant ikkita aniqlovchining yig'indisiga teng bo'lib, unda i-chi qatordan tashqari barcha qatorlar mavjud. , berilgan aniqlovchidagi bilan bir xil, i-qator hadlarning birida bj elementlaridan, ikkinchisida esa cj elementlaridan iborat. Xuddi shunday xususiyat determinant ustunlari uchun ham amal qiladi.
Ikki kvadrat matritsa ko‘paytmasining aniqlovchisi ularning aniqlovchilarining ko‘paytmasiga teng: det (A * B) = det A * det B.

Har qanday tartibli determinantni hisoblash uchun determinantning tartibini ketma-ket kamaytirish usulidan foydalanish mumkin. Buning uchun determinantni satr yoki ustun elementlari bo'yicha parchalash qoidasidan foydalaning. Determinantlarni hisoblashning yana bir usuli shundaki, satrlar (yoki ustunlar) bilan elementar o'zgartirishlardan foydalangan holda, birinchi navbatda, determinantlarning 4 va 7 xususiyatlariga muvofiq, determinantni determinantning asosiy diagonali ostida (xuddi shunday aniqlangan) shaklga keltirishdir. kvadrat matritsalarga kelsak) barcha elementlar nolga teng. Keyin determinant asosiy diagonalda joylashgan elementlarning mahsulotiga teng bo'ladi.

Hisoblash ishining hajmini kamaytirish tartibini ketma-ket kamaytirish yo'li bilan determinantni hisoblashda, determinantning har qanday satri yoki ustunining ba'zi elementlarini nolga tenglashtirish uchun determinantning 7 xususiyatidan foydalanish tavsiya etiladi, bu esa sonini kamaytiradi. hisoblangan algebraik to‘ldiruvchilar.

Matritsani uchburchak shaklga keltirish, determinantni hisoblashni osonlashtiradigan matritsani aylantirish.

Quyida ko'rsatilgan usullarni 3 × 3 matritsalar uchun ishlatish amaliy emas, ammo men usullarning mohiyatini oddiy misol bilan ko'rib chiqishni taklif qilaman. Keling, determinantni allaqachon hisoblab chiqqan matritsadan foydalanamiz - hisob-kitoblarning to'g'riligini tekshirish biz uchun osonroq bo'ladi:

Aniqlovchining 7-xususiyatidan foydalanib, ikkinchi qatordan uchinchisini ayirib, 2 ga ko'paytiring:

uchinchi qatordan determinantning birinchi qatorining mos elementlarini 3 ga ko'paytiramiz:

Determinantning asosiy diagonali ostida joylashgan elementlari 0 ga teng bo'lgani uchun, demak, aniqlash asosiy diagonalda joylashgan elementlarning mahsulotiga teng bo'ladi:

1*2*(-26) = -52.

Ko'rib turganingizdek, javob ilgari olinganlarga to'g'ri keldi.

Matritsa determinantining formulasini eslaylik:

Determinant algebraik to’ldiruvchilar yig’indisi qator yoki ustunlardan birining a’zolariga ko’paytiriladi.

Agar o'zgartirishlar natijasida biz satrlardan (yoki ustundan) bitta pozitsiyadan tashqari butunlay nollardan iborat bo'ladigan qilib yaratsak, biz barcha algebraik to'ldiruvchilarni sanashimiz shart emas, chunki ular albatta teng bo'ladi. nolga. Oldingi usul singari, bu usulni katta matritsalar uchun qo'llash maqsadga muvofiqdir.

Xuddi shu matritsaga misol keltiramiz:

E'tibor bering, determinantning ikkinchi ustunida allaqachon bitta nol element mavjud. Ikkinchi qatorning elementlariga birinchi qatorning elementlarini -1 ga ko'paytiring. Biz olamiz:

Ikkinchi ustun uchun determinantni hisoblaymiz. Biz faqat bitta algebraik to'ldiruvchini hisoblashimiz kerak, chunki qolganlari albatta nolga kamayadi:

4 × 4, 5 × 5 va katta o'lchamli matritsalar uchun determinantni hisoblash

Katta matritsalar uchun juda katta hisob-kitoblarga yo'l qo'ymaslik uchun yuqorida tavsiflangan o'zgarishlarni amalga oshirishingiz kerak. Mana bir nechta misol.

Matritsani aniqlang

Yechish.Aniqlovchining 7-xususiyatidan foydalanib, ikkinchi qatordan uchinchisini, to‘rtinchi qatordan esa aniqlovchining birinchi qatorining mos keladigan elementlarini mos ravishda 3, 4, 5 ga ko‘paytiramiz.Bu amallar qisqartiriladi. quyidagicha: (2) - (13; (3) - (1) * 4; (4) - (1) * 5. Biz quyidagilarni olamiz:

Keling, harakatlarni bajaramiz

Matritsaning kichiklari

Kvadrat berilgan matritsa A, n - tartib. Kichik ba'zi a ij elementi, matritsaning determinanti n - tartib deyiladi aniqlovchi(n - 1) - qator va ustunni o'chirish yo'li bilan asl nusxadan olingan, chorrahasida tanlangan a ij elementi joylashgan tartib. M ij bilan belgilanadi.

Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik matritsaning determinanti 3 - uning tartibi:

Keyin, ta'rifga ko'ra kichik, kichik a 12 elementiga mos keladigan M 12 bo'ladi aniqlovchi:

Bundan tashqari, foydalanish voyaga etmaganlar hisoblash vazifasini engillashtirish mumkin matritsaning determinanti... Parchalanish kerak matritsaning determinanti bir qatorda va keyin aniqlovchi ularning kichiklari bo'yicha ushbu chiziqning barcha elementlari yig'indisiga teng bo'ladi. Parchalanish matritsaning determinanti 3 - uning tartibi quyidagicha ko'rinadi:

Mahsulot oldidagi belgi (-1) n, bu erda n = i + j.

Algebraik qo'shimchalar:

Algebraik to‘ldiruvchi a ij elementi uning deyiladi kichik, agar yig'indisi (i + j) juft son bo'lsa, "+" belgisi bilan va bu yig'indi toq son bo'lsa, "-" belgisi bilan olinadi. U A ij bilan belgilanadi. Va ij = (-1) i + j × M ij.

Keyin yuqoridagi xususiyatni qayta shakllantirishimiz mumkin. Matritsaning aniqlovchisi ma'lum bir qator (satr yoki ustun) elementlarining mahsuloti yig'indisiga teng matritsalar o'zlariga algebraik to‘ldiruvchilar... Misol:

4. Teskari matritsa va uni hisoblash.

A kvadrat bo'lsin matritsa n - tartib.

Kvadrat matritsa A agar nodegenerativ deb ataladi matritsaning determinanti(D = det A) nolga teng emas (D = det A ≠ 0). Aks holda (D = 0) matritsa A degenerativ deb ataladi.

Matritsa, bilan ittifoqdosh matritsa Oh, chaqirdi matritsa

Qaerda A ij - algebraik to‘ldiruvchi Buning a ij elementi matritsalar(xuddi shunday aniqlanadi algebraik to‘ldiruvchi element matritsaning determinanti).

Matritsa A -1 deyiladi teskari matritsa A, agar shart bajarilsa: A × A -1 = A -1 × A = E, bu erda E - birlik matritsa bilan bir xil tartibda matritsa A. Matritsa A -1 bilan bir xil o'lchamlarga ega matritsa A.

teskari matritsa

Agar kvadrat bo'lsa matritsalar X va A, shartni qondiradigan: X × A = A × X = E, bu erda E - birlik matritsa bir xil tartibda, keyin matritsa X deb ataladi teskari matritsa A matritsaga va A -1 bilan belgilanadi. Har qanday degenerativ bo'lmagan matritsa Unda bor teskari matritsa va bundan tashqari, faqat bitta, ya'ni kvadrat uchun matritsa A bor edi teskari matritsa, bu zarur va yetarlidir aniqlovchi nolga teng edi.

Qabul qilmoq teskari matritsa formuladan foydalaning:

Bu erda M ji ixtiyoriy kichik ji elementi matritsalar A.

5. Matritsaning darajasi. Elementar transformatsiyalar yordamida darajani hisoblash.

To'rtburchak mxn matritsani ko'rib chiqaylik. Keling, ushbu matritsada bir nechta k qator va k ustun, 1 £ k £ min (m, n) tanlaymiz. Tanlangan satr va ustunlar kesishmasidagi elementlardan k-tartibning determinantini tuzamiz. Bunday determinantlarning barchasi matritsaning minorlari deb ataladi. Masalan, matritsa uchun siz ikkinchi darajali kichiklarni yaratishingiz mumkin va birinchi darajali voyaga etmaganlar 1, 0, -1, 2, 4, 3.

Ta'rif. Matritsaning darajasi bu matritsaning nolga teng bo'lmagan minorining eng yuqori tartibidir. r (A) matritsaning darajasini belgilang.

Yuqoridagi misolda matritsaning darajasi ikkitadir, chunki, masalan, kichik

Matritsaning darajasini elementar o'zgartirishlar usuli bilan hisoblash qulay. Elementar o'zgarishlarga quyidagilar kiradi:

1) satrlarni (ustunlarni) almashtirish;

2) qatorni (ustunni) noldan boshqa raqamga ko'paytirish;

3) qator (ustun) elementlariga boshqa qatorning (ustunning) mos keladigan elementlarini qo'shish, ilgari qandaydir songa ko'paytiriladi.

Bu o'zgartirishlar matritsaning darajasini o'zgartirmaydi, chunki ma'lumki, 1) qatorlar qayta joylashtirilganda determinant ishorani o'zgartiradi va agar u nolga teng bo'lmasa, u bo'lmaydi; 2) aniqlovchi qatorini nolga teng bo‘lmagan songa ko‘paytirishda aniqlovchi shu songa ko‘paytiriladi; 3) uchinchi elementar o‘zgartirish aniqlovchini umuman o‘zgartirmaydi. Shunday qilib, matritsada elementar o'zgarishlarni amalga oshirib, uning darajasini hisoblash oson bo'lgan matritsani va shuning uchun asl matritsani olish mumkin.

Ta'rif. Elementar o'zgartirishlar yordamida matritsadan olingan matritsa ekvivalent deb ataladi va belgilanadi A V.

Teorema. Elementar matritsa o'zgarishlarida matritsaning darajasi o'zgarmaydi.

Elementar o'zgartirishlar yordamida matritsani bosqichli deb ataladigan shaklga keltirish mumkin, agar uning darajasini hisoblash qiyin bo'lmasa.

Matritsa quyidagi shaklga ega bo'lsa, bosqichli deyiladi:

Shubhasiz, bosqichli matritsaning darajasi nolga teng bo'lmagan qatorlar soniga teng beri nolga teng bo'lmagan th tartibli minor mavjud:

Misol. Elementar transformatsiyalar yordamida matritsaning darajasini aniqlang.

Matritsaning darajasi nolga teng bo'lmagan qatorlar soniga teng, ya'ni. ...

Bu mavzuda algebraik to’ldiruvchi va minor tushunchalarini ko’rib chiqamiz. Materialning taqdimoti "Matritsalar. Matritsalar turlari. Tayanch atamalar" mavzusida tushuntirilgan atamalar asosida. Determinantlarni hisoblash uchun bizga ba'zi formulalar ham kerak. Ushbu mavzuda kichiklar va algebraik qo'shimchalar bilan bog'liq juda ko'p atamalar mavjud bo'lganligi sababli, materialni boshqarishni osonlashtirish uchun men qisqacha xulosa qo'shaman.

$ a_ (ij) $ elementining kichik $ M_ (ij) $

$ M_ (ij) $ element$ a_ (ij) $ matritsalari $ A_ (n \ marta n) $ i-qator va j-ustunni (yaʼni, satr va ustunni) oʻchirish orqali $ A $ matritsasidan olingan matritsaning determinantini nomlang. kesishmasida $ a_ (ij) $ elementi mavjud.

Misol uchun, to'rtinchi tartibli kvadrat matritsani ko'rib chiqing: $ A = \ left (\ begin (massiv) (cccc) 1 & 0 & -3 & 9 \\ 2 & -7 & 11 & 5 \\ -9 & 4 & 25 & 84 \\ 3 & 12 & -5 & 58 \ end (massiv) \ o'ng) $. Kichik elementni toping $ a_ (32) $, ya'ni. $ M_ (32) $ toping. Birinchidan, biz minor $ M_ (32) $ ni yozamiz va keyin uning qiymatini hisoblaymiz. $ M_ (32) $ ni yaratish uchun $ A $ matritsasidan uchinchi qator va ikkinchi ustunni o'chiring (u uchinchi qator va ikkinchi ustunning kesishmasida $ a_ (32) $ elementi joylashgan). ). Biz yangi matritsani olamiz, uning determinanti talab qilinadigan minor $ M_ (32) $:

Ushbu kichikni hisoblash mavzusidagi №2 formuladan foydalanib hisoblash oson:

$$ M_ (32) = \ chap | \ start (massiv) (ccc) 1 & -3 & 9 \\ 2 & 11 & 5 \\ 3 & -5 & 58 \ end (massiv) \ o'ng | = 1 \ cdot 11 \ cdot 58 + (- 3) \ cdot 5 \ cdot 3 + 2 \ cdot (-5) \ cdot 9-9 \ cdot 11 \ cdot 3 - (- 3) \ cdot 2 \ cdot 58-5 \ cdot (-5) \ cdot 1 = 579. $$

Shunday qilib, $ a_ (32) $ ning minori 579 ga teng, ya'ni. $ M_ (32) = 579 $.

Ko‘pincha adabiyotda “matritsa elementining minori” iborasi o‘rniga “aniqlovchi elementning minori” qo‘llaniladi. Mohiyat o'zgarishsiz qoladi: $ a_ (ij) $ elementining minorini olish uchun dastlabki determinantdan i-qator va j-ustunni kesib tashlash kerak. Qolgan elementlar yangi determinantga yoziladi, bu $ a_ (ij) $ elementining minoridir. Masalan, $ \ left | determinantining $ a_ (12) $ kichik elementini topamiz \ start (massiv) (ccc) -1 & 3 & 2 \\ 9 & 0 & -5 \\ 4 & -3 & 7 \ end (massiv) \ o'ng | $. Kerakli minor $ M_ (12) $ ni yozish uchun biz berilgan determinantdan birinchi qator va ikkinchi ustunni kesib tashlashimiz kerak:

Ushbu minorning qiymatini topish uchun biz ikkinchi va uchinchi darajali determinantlarni hisoblash mavzusidagi №1 formuladan foydalanamiz:

$$ M_ (12) = \ chap | \ start (massiv) (cc) 9 & -5 \\ 4 & 7 \ end (massiv) \ o'ng | = 9 \ cdot 7 - (- 5) \ cdot 4 = 83. $$

Demak, $ a_ (12) $ ning minori 83 ga teng, ya'ni. $ M_ (12) = 83 $.

Algebraik to'ldiruvchi $ A_ (ij) $ ning $ a_ (ij) $

$ A_ (n \ marta n) $ kvadrat matritsasi (ya'ni n-tartibli kvadrat matritsa) berilsin.

Algebraik to‘ldiruvchi$ A_ (ij) $ element$ a_ (ij) $ matritsasining $ A_ (n \ marta n) $ quyidagi formula bilan topiladi: $$ A_ (ij) = (- 1) ^ (i + j) \ cdot M_ (ij), $ $

bu yerda $ M_ (ij) $ $ a_ (ij) $ elementining minoridir.

$ A = \ chap (\ start (massiv) (cccc) 1 & 0 & -3 & 9 \\ 2 & -7 & 11 & 5 \\ matritsasining $ a_ (32) $ elementining algebraik toʻldiruvchisini toping. -9 & 4 & 25 & 84 \\ 3 & 12 & -5 & 58 \ end (massiv) \ o'ng) $, ya'ni. $ A_ (32) $ toping. Ilgari biz kichik $ M_ (32) = 579 $ ni topdik, shuning uchun olingan natijadan foydalanamiz:

Odatda, algebraik to`ldiruvchilarni topishda minor alohida hisoblanmaydi, shundan keyingina to`ldiruvchining o`zi. Kichik yozuv o'tkazib yuborilgan. Masalan, $ A_ (12) $ ni toping, agar $ A = \ chap (\ begin (massiv) (ccc) -5 & 10 & 2 \\ 6 & 9 & -4 \\ 4 & -3 & 1 \ end () massiv) \ o'ng) $. Formulaga ko'ra $ A_ (12) = (- 1) ^ (1 + 2) \ cdot M_ (12) = - M_ (12) $. Biroq, $ M_ (12) $ ni olish uchun $ A $ matritsasining birinchi qatori va ikkinchi ustunini o'chirish kifoya, shuning uchun nima uchun voyaga yetmaganlar uchun keraksiz yozuvni kiritish kerak? $ A_ (12) $ algebraik to'ldiruvchining ifodasini darhol yozamiz:

$ A_ (m \ marta n) $ matritsasining k-tartibining kichiki

Agar oldingi ikki paragrafda biz faqat kvadrat matritsalar haqida gapirgan bo'lsak, bu erda biz to'rtburchaklar matritsalar haqida ham gaplashamiz, ulardagi qatorlar soni ustunlar soniga teng bo'lishi shart emas. Shunday qilib, $ A_ (m \ marta n) $ matritsasi berilsin, ya'ni. m satr va n ta ustundan iborat matritsa.

K-tartibning kichiki matritsaning $ A_ (m \ marta n) $ determinant deb ataladi, uning elementlari $ A $ matritsasining k satri va k ustunlari kesishmasida joylashgan ($ k≤ m $ va $ deb taxmin qilinadi. k≤ n $).

Masalan, quyidagi matritsani ko'rib chiqing:

$$ A = \ chap (\ start (massiv) (cccc) -1 & 0 & -3 & 9 \\ 2 & 7 & 14 & 6 \\ 15 & -27 & 18 & 31 \\ 0 & 1 & 19 & 8 \\ 0 & -12 & 20 & 14 \\ 5 & 3 & -21 & 9 \\ 23 & -10 & -5 & 58 \ end (massiv) \ o'ng) $$

Buning uchun uchinchi darajali minorlarni yozamiz. Uchinchi darajali minorni yozish uchun biz ushbu matritsaning istalgan uchta satri va uchta ustunini tanlashimiz kerak. Masalan, # 2, # 4, # 6 qatorlarni va # 1, # 2, # 4 ustunlarini olaylik. Kerakli minorning elementlari ushbu qatorlar va ustunlar kesishmasida joylashgan bo'ladi. Rasmda kichik elementlar ko'k rangda ko'rsatilgan:

$$ \ chap (\ start (massiv) (cccc) -1 & 0 & -3 & 9 \\ \ boldblue (2) & \ boldblue (7) & 14 & \ boldblue (6) \\ 15 & -27 & 18 & 31 \\ \ qalin (0) & \ qalin ko'k (1) & 19 & \ qalin (8) \\ 0 & -12 & 20 & 14 \\ \ qalin (5) & \ qalin (3) va -21 & \ boldblue (9) \\ 23 & -10 & -5 & 58 \ end (massiv) \ o'ng); \; M = \ chap | \ start (massiv) (ccc) 2 & 7 & 6 \\ 0 & 1 & 8 \\ 5 & 3 & 9 \ end (massiv) \ o'ng |. $$

Birinchi tartibdagi voyaga etmaganlar bir qator va bitta ustunning kesishmasida joylashgan, ya'ni. birinchi tartibli kichiklar berilgan matritsaning elementlariga teng.

$ A_ (m \ marta n) = (a_ (ij)) $ matritsasining k-tartib minori deyiladi. Asosiy agar bu minorning asosiy diagonali faqat $ A $ matritsasining asosiy diagonal elementlarini o'z ichiga olgan bo'lsa.

Shuni eslatib o'tamanki, asosiy diagonal elementlar matritsaning indekslari teng bo'lgan elementlari hisoblanadi: $ a_ (11) $, $ a_ (22) $, $ a_ (33) $ va boshqalar. Masalan, yuqorida ko'rib chiqilgan $ A $ matritsasi uchun bunday elementlar $ a_ (11) = - 1 $, $ a_ (22) = 7 $, $ a_ (33) = 18 $, $ a_ (44) = bo'ladi. 8 $. Ular rasmda yashil rang bilan ta'kidlangan:

$$ \ chap (\ start (massiv) (cccc) \ qalin yashil (-1) & 0 & -3 & 9 \\ 2 & \ qalin yashil (7) & 14 & 6 \\ 15 & -27 & \ qalin yashil (18) ) & 31 \\ 0 & 1 & 19 & \ qalin yashil (8) \\ 0 & -12 & 20 & 14 \\ 5 & 3 & -21 & 9 \\ 23 & -10 & -5 & 58 \ oxiri ( massiv) \ o'ng) $$

Misol uchun, agar $ A $ matritsasida 1 va 3 raqamlari bo'lgan satr va ustunlarni kesib tashlasak, u holda ularning kesishmasida ikkinchi tartibli minor elementlari bo'ladi, ularning asosiy diagonalida faqat diagonal elementlari bo'ladi. $ A $ matritsasi ($ a_ (11) = -1 $ va $ A $ matritsasining $ a_ (33) = 18 $ elementlari). Shunday qilib, biz ikkinchi darajali asosiy kichikni olamiz:

$$ M = \ chap | \ start (massiv) (cc) \ qalin yashil (-1) & -3 \\ 15 & \ qalin yashil (18) \ end (massiv) \ o'ng | $$

Tabiiyki, biz boshqa satr va ustunlarni, masalan, 2 va 4 raqamlari bilan olishimiz mumkin, shu bilan ikkinchi darajali boshqa asosiy minorni olamiz.

Faraz qilaylik, $ A_ (m \ marta n) $ matritsasining k-tartibidagi ba'zi kichik $ M $ nolga teng emas, ya'ni. $ M \ neq 0 $. Bunday holda, tartibi k dan yuqori bo'lgan barcha voyaga etmaganlar nolga teng. Keyin kichik $ M $ chaqiriladi Asosiy, va asosiy minorning elementlari joylashgan qator va ustunlar deyiladi asosiy chiziqlar va asosiy ustunlar.

Masalan, quyidagi matritsani ko'rib chiqing:

$$ A = \ chap (\ start (massiv) (ccc) -1 & 0 & 3 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 4 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -2 & -1 & 0 \ \ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ end (massiv) \ o'ng) $$

Elementlari No1, No2, No3 qatorlar va No1, No3, No4 ustunlar kesishmasida joylashgan ushbu matritsaning minorini yozamiz. Biz uchinchi darajali minorni olamiz (uning elementlari $ A $ matritsasida binafsha rangda ajratilgan):

$$ \ chap (\ start (massiv) (ccc) \ boldpurple (-1) & 0 & \ boldpurple (3) & \ boldpurple (0) & 0 \\ \ boldpurple (2) & 0 & \ boldpurple (4) & \ qalin binafsha (1) & 0 \\ \ qalin binafsha (1) & 0 & \ qalin binafsha (-2) & \ qalin binafsharang (-1) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ end (massiv) \ o'ng); \; M = \ chap | \ start (massiv) (ccc) -1 & 3 & 0 \\ 2 & 4 & 1 \\ 1 & -2 & -1 \ end (massiv) \ o'ng |. $$

Ikkinchi va uchinchi darajali determinantlarni hisoblash mavzusidagi №2 formuladan foydalanib, ushbu minorning qiymatini topamiz:

$$ M = \ chap | \ start (massiv) (ccc) -1 & 3 & 0 \\ 2 & 4 & 1 \\ 1 & -2 & -1 \ end (massiv) \ o'ng | = 4 + 3 + 6-2 = 11. $$

Shunday qilib, $ M = 11 \ neq 0 $. Endi keling, tartibi uchtadan yuqori bo'lgan har qanday minorni tuzishga harakat qilaylik. To'rtinchi tartibni kichik qilish uchun biz to'rtinchi qatorni ishlatishimiz kerak, ammo bu chiziqning barcha elementlari nolga teng. Shuning uchun har qanday to'rtinchi darajali minor nol chizig'iga ega bo'ladi, ya'ni barcha to'rtinchi darajali minorlar nolga teng. Biz beshinchi va undan yuqori darajali voyaga etmaganlarni tuza olmaymiz, chunki $ A $ matritsasi faqat 4 qatorga ega.

Biz nolga teng bo'lmagan uchinchi darajali kichikni topdik. Bunday holda, yuqori darajadagi barcha voyaga etmaganlar nolga teng, shuning uchun biz ko'rib chiqayotgan kichiklar asosiy hisoblanadi. Ushbu minorning elementlari (birinchi, ikkinchi va uchinchi) joylashgan $ A $ matritsasining satrlari asosiy qatorlar, $ A $ matritsasining birinchi, uchinchi va toʻrtinchi ustunlari esa asosiy ustunlardir. .

Bu misol, albatta, ahamiyatsiz, chunki uning maqsadi asosiy kichikning mohiyatini aniq ko'rsatishdir. Umuman olganda, bir nechta asosiy voyaga etmaganlar bo'lishi mumkin va odatda bunday kichikni topish jarayoni ancha murakkab va hajmli.

Keling, yana bir kontseptsiyani kiritaylik - chegaradosh kichik.

$ A_ (m \ marta n) $ matritsasining $ M $ k-tartibdagi ba'zi minorlari k satr va k ustun kesishmasida joylashgan bo'lsin. Keling, ushbu satr va ustunlar to'plamiga yana bitta satr va ustun qo'shamiz. Olingan (k + 1) tartibli minor deyiladi chegaradosh kichik voyaga etmaganlar uchun $ M $.

Masalan, quyidagi matritsani ko'rib chiqing:

$$ A = \ chap (\ start (massiv) (cccc) -1 & 2 & 0 & -2 & -14 \\ 3 & -17 & -3 & 19 & 29 \\ 5 & -6 & 8 & - 9 & 41 \\ -5 & 11 & 19 & -20 & -98 \\ 6 & 12 & 20 & 21 & 54 \\ -7 & 10 & 14 & -36 & 79 \ end (massiv) \ o'ng) $ $

Elementlari №2 va №5 qatorlar, shuningdek, №2 va №4 ustunlar kesishmasida joylashgan ikkinchi tartibli minorni yozamiz. Ushbu elementlar matritsada qizil rang bilan ajratilgan:

$$ \ chap (\ start (massiv) (cccc) -1 & 2 & 0 & -2 & -14 \\ 3 & \ qalin (-17) & -3 & \ qalin (19) & 29 \\ 5 & -6 & 8 & -9 & 41 \\ -5 & 11 & 19 & -20 & -98 \\ 6 & \ qalin (12) & 20 & \ qalin (21) & 54 \\ -7 & 10 & 14 & -36 & 79 \ end (massiv) \ o'ng); \; M = \ chap | \ start (massiv) (ccc) -17 & 19 \\ 12 & 21 \ end (massiv) \ o'ng |. $$

Kichik elementlar $ M $ yotadigan qatorlar to'plamiga boshqa qator № 1 va ustunlar to'plamiga № 5 ustunni qo'shamiz. Biz yangi kichik $ M "$ olamiz (allaqachon uchinchi tartib), uning elementlari 1-sonli, 2-sonli, 5-sonli qatorlar va 2-sonli, 4-sonli ustunlar kesishmasida joylashgan. № 5. Rasmdagi minor $ M $ elementlari qizil rang bilan ajratilgan va $ M $ minorga biz qoʻshadigan elementlar koʻk rangda:

$$ \ chap (\ start (massiv) (cccc) -1 & \ qalin ko'k (2) & 0 & \ qalin ko'k (-2) & \ qalin (-14) \\ 3 & \ qalin (-17) & -3 & \ qalin (19) & \ qalin (29) \\ 5 & -6 & 8 & -9 & 41 \\ -5 & 11 & 19 & -20 & -98 \\ 6 & \ qalin (12) & 20 & \ qalin (21) & \ qalin (54) \\ -7 & 10 & 14 & -36 & 79 \ end (massiv) \ o'ng); \; M "= \ chap | \ start (massiv) (ccc) 2 & -2 & -14 \\ -17 & 19 & 29 \\ 12 & 21 & 54 \ end (massiv) \ o'ng |. $$

Minor $ M "$ - bu kichik $ M $ uchun chegaralangan minor. Xuddi shunday, kichik $ M $ elementlari joylashgan qatorlar toʻplamiga № 4 qator va ustunlar toʻplamiga - № 3 ustun, biz kichik $ M" "$ olamiz (uchinchi darajali minor):

$$ \ chap (\ start (massiv) (cccc) -1 & 2 & 0 & -2 & -14 \\ 3 & \ qalin (-17) & \ qalin ko'k (-3) & \ qalin (19) & 29 \\ 5 & -6 & 8 & -9 & 41 \\ -5 & \ qalin (11) & \ qalin (19) & \ qalin (-20) & -98 \\ 6 & \ qalin (12) & \ qalin ko'k (20) & \ qalin (21) & 54 \\ -7 & 10 & 14 & -36 & 79 \ end (massiv) \ o'ng); \; M "" = \ chap | \ start (massiv) (ccc) -17 & -3 & 19 \\ 11 & 19 & -20 \\ 12 & 20 & 21 \ end (massiv) \ o'ng |. $$

Minor $ M "" $ ham kichik $ M $ uchun chegaradosh kichik hisoblanadi.

$ A_ (n \ marta n) $ matritsasining k-tartib minori. Qo'shimcha kichik. Kvadrat matritsaning minoriga algebraik to'ldiruvchi.

Yana kvadrat matritsalarga qaytaylik. Keling, qo'shimcha voyaga etmaganlik tushunchasini kiritamiz.

$ A_ (n \ marta n) $ matritsasining k-tartibining bir necha minor $ M $ berilsin. Elementlari $ A $ matritsasidan minor $ M $ oʻz ichiga olgan satr va ustunlar oʻchirilgandan soʻng olinadigan (n-k) --tartibdagi determinant minor deb ataladi, voyaga etmaganga to'ldiruvchi$ M $.

Masalan, beshinchi tartibli kvadrat matritsani ko'rib chiqing:

$$ A = \ chap (\ start (massiv) (cccc) -1 & 2 & 0 & -2 & -14 \\ 3 & -17 & -3 & 19 & 29 \\ 5 & -6 & 8 & - 9 & 41 \\ -5 & 11 & 16 & -20 & -98 \\ -7 & 10 & 14 & -36 & 79 \ end (massiv) \ o'ng) $$

Undagi No1 va 3-qatorlarni, shuningdek, No2 va 5-ustunlarni tanlaymiz. Ushbu satr va ustunlar kesishmasida ikkinchi tartibli kichik elementlar $ M $ bo'ladi. Ushbu elementlar $ A $ matritsasida yashil rang bilan ajratilgan:

$$ \ chap (\ start (massiv) (cccc) -1 & \ qalin yashil (2) & 0 & -2 & \ qalin yashil (-14) \\ 3 & -17 & -3 & 19 & 29 \\ 5 & \ qalin yashil (-6) & 8 & -9 & \ qalin yashil (41) \\ -5 & 11 & 16 & -20 & -98 \\ -7 & 10 & 14 & -36 & 79 \ oxiri (massiv) \ o'ng); \; M = \ chap | \ start (massiv) (cc) 2 & -14 \\ -6 & 41 \ end (massiv) \ o'ng |. $$

Endi biz $ A $ matritsasidan № 1 va № 3 qatorlarni va № 2 va № 5 ustunlarni olib tashlaymiz, ularning kesishmasida kichik $ M $ elementlari joylashgan (olib tashlanadigan satr va ustunlar elementlari ko'rsatilgan). quyidagi rasmda qizil rangda). Qolgan elementlar kichik $ M "$ ni tashkil qiladi:

$$ \ chap (\ start (massiv) (cccc) \ qalin (-1) & \ qalin (2)) & \ qalin (0) & \ qalin (-2) & \ qalin (-14) \\ 3 & \ qalin (-17) & -3 & 19 & \ qalin (29) \\ \ qalin (5) & \ qalin (-6) & \ qalin (8) & \ qalin (-9) & \ qalin (41) \ \ -5 & \ qalin (11) & 16 & -20 & \ qalin (-98) \\ -7 & \ qalin (10) & 14 & -36 & \ qalin (79) \ oxiri (massiv) \ o'ng) ;\; M "= \ chap | \ start (massiv) (ccc) 3 & -3 & 19 \\ -5 & 16 & -20 \\ -7 & 14 & -36 \ end (massiv) \ o'ng |. $$

Buyurtmasi $ 5-2 = $ 3 bo'lgan $ M "$ minor $ M $ minorga kichik to'ldiruvchi hisoblanadi.

Minorga algebraik to‘ldiruvchi$ M $ kvadrat matritsaning $ A_ (n \ marta n) $ ifodasi $ (- 1) ^ (\ alfa) \ cdot M "$, bu erda $ \ alfa $ - satrlar va ustunlar raqamlari yig'indisi $ A $ matritsasining kichik $ M $ elementlari joylashgan va $ M "$ kichik $ M $ ning kichik toʻldiruvchisidir.

“$ M $ minorga algebraik toʻldiruvchi” iborasi koʻpincha “kichik $ M $ga algebraik toʻldiruvchi” iborasi bilan almashtiriladi.

Misol uchun, $ A $ matritsasini ko'rib chiqing, buning uchun biz ikkinchi tartibli kichik $ M = \ chap | ni topdik \ start (massiv) (ccc) 2 & -14 \\ -6 & 41 \ end (massiv) \ o'ng | $ va uchinchi tartibdagi qoʻshimcha minor: $ M "= \ left | \ start (massiv) (ccc) 3 & -3 & 19 \\ -5 & 16 & -20 \\ -7 & 14 & -36 \ end (massiv) \ o'ng | $. Kichik $ M $ ning algebraik to'ldiruvchisini $ M ^ * $ deb belgilang. Keyin ta'rifi bo'yicha:

$$ M ^ * = (- 1) ^ \ alfa \ cdot M ". $$

$ \ alpha $ parametri $ M $ minor joylashgan satr va ustun raqamlarining yig'indisidir. Bu minor # 1, # 3 qatorlar va # 2, # 5 ustunlar kesishmasida joylashgan. Shuning uchun $ \ alfa = 1 + 3 + 2 + 5 = 11 $. Shunday qilib:

$$ M ^ * = (- 1) ^ (11) \ cdot M "= - \ chap | \ start (massiv) (ccc) 3 & -3 & 19 \\ -5 & 16 & -20 \\ -7 & 14 & -36 \ end (massiv) \ o'ng |. $$

Asosan, ikkinchi va uchinchi tartiblarning determinantlarini hisoblash mavzusidagi №2 formuladan foydalanib, siz $ M ^ * $ qiymatini olgan holda hisob-kitoblarni oxirigacha etkazishingiz mumkin:

$$ M ^ * = - \ chap | \ start (massiv) (ccc) 3 & -3 & 19 \\ -5 & 16 & -20 \\ -7 & 14 & -36 \ end (massiv) \ o'ng | = -30. $$