Ikkita signalning korrelyatsiya tahlili si keskin misol. Deterministik signallarning korrelyatsiya funksiyalari

Korrelyatsiya - konvolyutsiyaga o'xshash matematik operatsiya ikkita signaldan uchinchisini olish imkonini beradi. Bu sodir bo'ladi: avtokorrelyatsiya (avtokorrelyatsiya funktsiyasi), o'zaro bog'liqlik (o'zaro bog'liqlik funktsiyasi, o'zaro bog'liqlik funktsiyasi). Misol:

[Oʻzaro korrelyatsiya funksiyasi]

[Avtokorrelyatsiya funktsiyasi]

Korrelyatsiya shovqin fonida ilgari ma'lum bo'lgan signallarni aniqlash usuli bo'lib, uni optimal filtrlash deb ham ataladi. Korrelyatsiya konvolyutsiyaga juda o'xshash bo'lsa-da, ular turli yo'llar bilan hisoblanadi. Ularni qo'llash sohalari ham har xil (c (t) = a (t) * b (t) - ikkita funktsiyaning konvolyutsiyasi, d (t) = a (t) * b (-t) - o'zaro bog'liqlik).

Korrelyatsiya bir xil konvolyutsiyadir, signallardan faqat bittasi chapdan o'ngga teskari bo'ladi. Avtokorrelyatsiya (avtokorrelyatsiya funktsiyasi) signal va uning nusxasi o'rtasidagi bog'liqlik darajasini t ga siljiganligini tavsiflaydi. O'zaro korrelyatsiya funktsiyasi 2 xil signal o'rtasidagi bog'lanish darajasini tavsiflaydi.

Avtokorrelyatsiya funksiyasi xususiyatlari:

1) R (t) = R (-t). R (t) funksiyasi juft.
2) Agar x (t) vaqtning sinusoidal funktsiyasi bo'lsa, uning avtokorrelyatsiya funktsiyasi bir xil chastotali kosinusdir. Dastlabki bosqich ma'lumotlari yo'qoladi. Agar x (t) = A * sin (ōt + ph), u holda R (t) = A 2/2 * cos (ōt).
3) Avtokorrelyatsiya funktsiyasi va quvvat spektri Furye konvertatsiyasi bilan bog'langan.
4) Agar x (t) har qanday davriy funktsiya bo'lsa, u uchun R (t) doimiy komponentdan va sinusoidal o'zgaruvchan komponentdan avtokorrelyatsiya funktsiyalari yig'indisi sifatida ifodalanishi mumkin.
5) R (t) funktsiyasi signalning garmonik komponentlarining boshlang'ich fazalari haqida hech qanday ma'lumotga ega emas.
6) Vaqtning tasodifiy funksiyasi uchun R (t) t ortishi bilan tez kamayadi. R (t) 0 ga teng bo'lgan vaqt oralig'i avtokorrelyatsiya oralig'i deyiladi.
7) Berilgan x (t) aniq belgilangan R (t) ga mos keladi, lekin bir xil R (t) uchun turli xil x (t) funksiyalar mos kelishi mumkin.

Shovqinli asl signal:

Asl signalning avtokorrelyatsiya funktsiyasi:

O'zaro korrelyatsiya funktsiyasi (CCF) xususiyatlari:

1) CCF na juft, na toq funktsiya, ya'ni. R xy (t) R xy (-t) ga teng emas.
2) CCF funktsiyalarning almashinishini o'zgartirganda va argument belgisini o'zgartirganda o'zgarishsiz qoladi, ya'ni. R xy (t) = R xy (-t).
3) Agar tasodifiy funksiyalar x (t) va y (t) o'zgarmas komponentlarni o'z ichiga olmaydi va mustaqil manbalar tomonidan yaratilgan bo'lsa, u holda ular uchun R xy (t) 0 ga moyil bo'ladi. Bunday funktsiyalar korrelyatsiyasiz deyiladi.

Shovqinli asl signal:

Xuddi shu chastotali meander:

Asl signal va meanderning korrelyatsiyasi:

Diqqat! Har bir elektron ma'ruza matni muallifning intellektual mulki bo'lib, faqat ma'lumot olish uchun saytda e'lon qilinadi.

3 Signallarning korrelyatsion tahlili

Signallarning spektral tahlilining ma'nosi signalni oddiy garmonik tebranishlarning yig'indisi (yoki integral) sifatida qanday tasvirlash mumkinligini va to'lqin shakli ushbu tebranishlarning amplitudalari va fazalarining chastota taqsimoti tuzilishini qanday aniqlashini o'rganishdir. Bundan farqli o'laroq, signallarni korrelyatsion tahlil qilish vazifasi signallar yoki bitta signalning vaqt bo'yicha o'zgaruvchan nusxalari o'rtasidagi o'xshashlik va farq darajasining o'lchovini aniqlashdir. O'lchovni kiritish signallarning o'xshashlik darajasini miqdoriy o'lchashga yo'l ochadi. Signallarning spektral va korrelyatsion xarakteristikalari o'rtasida ma'lum bir bog'liqlik mavjudligi ko'rsatiladi.

3.1 Avtokorrelyatsiya funktsiyasi (ACF)

Cheklangan energiyaga ega signalning avtokorrelyatsiya funktsiyasi bu signalning ikki nusxasi ko'paytmasining integralining qiymati bo'lib, bir-biriga nisbatan t vaqtga siljigan, bu vaqt siljishi t funktsiyasi sifatida qaraladi:

Agar signal cheklangan vaqt oralig'ida aniqlansa, uning ACF qiymati quyidagicha topiladi:

o'zgartirilgan signal nusxalarining bir-biriga yopishish oralig'i qayerda.

Ma'lum bir qiymatda avtokorrelyatsiya funktsiyasining qiymati qanchalik katta bo'lsa, signalning vaqt oralig'ida siljigan ikkita nusxasi bir-biriga o'xshash bo'ladi, deb ishoniladi. Shuning uchun korrelyatsiya funksiyasi signalning siljitilgan nusxalari uchun o'xshashlik o'lchovidir.

Nol atrofida tasodifiy tebranishlar shakliga ega bo'lgan signallar uchun shu tarzda kiritilgan o'xshashlik o'lchovi quyidagi xarakterli xususiyatlarga ega.

Agar signalning o'zgartirilgan nusxalari taxminan vaqt o'tishi bilan bir-biriga tebransa, bu ularning o'xshashligining belgisidir va ACF katta ijobiy qiymatlarni oladi (katta ijobiy korrelyatsiya). Agar nusxalar deyarli antifazada tebransa, ACF katta salbiy qiymatlarni oladi (signal nusxalarining anti-o'xshashligi, katta salbiy korrelyatsiya).

Maksimal ACFga nusxalar mos kelganda, ya'ni siljish bo'lmaganda erishiladi. Nolinchi ACF qiymatlari siljishlarda erishiladi, bunda signal nusxalarining o'xshashligi ham, o'xshashligi ham sezilmaydi (nol korrelyatsiya,

korrelyatsiya yo'q).

3.1-rasmda 0 dan 1 s gacha bo'lgan vaqt oralig'ida ma'lum bir signalni amalga oshirish fragmenti ko'rsatilgan. Signal tasodifiy nol atrofida o'zgarib turadi. Signalning mavjudligi oralig'i chekli bo'lgani uchun uning energiyasi ham cheklangan. Uning ACF ni tenglama bo'yicha hisoblash mumkin:

Ushbu tenglamaga muvofiq MathCad-da hisoblangan signalning avtokorrelyatsiya funktsiyasi rasmda ko'rsatilgan. 3.2. Korrelyatsiya funktsiyasi nafaqat signalning o'ziga o'xshashligini ko'rsatadi (shift t = 0), balki signalning bir-biriga nisbatan taxminan 0,063 s ga siljigan nusxalari (avtokorrelyatsiya funktsiyasining lateral maksimal) ham ba'zi xususiyatlarga ega ekanligini ko'rsatadi. o'xshashlik. Bundan farqli o'laroq, signalning 0,032 s ga siljigan nusxalari bir-biriga o'xshash bo'lishi kerak, ya'ni ma'lum ma'noda ular bir-biriga qarama-qarshi bo'lishi kerak.

33-rasmda ushbu ikki nusxaning juftliklari ko'rsatilgan. Rasmda signal nusxalarining o'xshashligi va anti-o'xshashligi nimani anglatishini ko'rsatadi.

Korrelyatsiya funktsiyasi quyidagi xususiyatlarga ega:

1. t = 0 da avtokorrelyatsiya funksiyasi signal energiyasiga teng eng katta qiymatni oladi.

2. Avtokorrelyatsiya funksiyasi vaqtni teng siljish funksiyasi .

3. t ortishi bilan avtokorrelyatsiya funksiyasi nolga kamayadi

4. Agar signalda d - funksiyalar tipidagi uzilishlar bo'lmasa, u uzluksiz funksiya hisoblanadi.

5. Agar signal elektr kuchlanish bo'lsa, u holda korrelyatsiya funktsiyasi o'lchovlarga ega.

Avtokorrelyatsiya funktsiyasini aniqlashda davriy signallar uchun bir xil integral signalning takrorlanish davriga bo'linadi:

Kiritilgan korrelyatsiya funksiyasi quyidagi xususiyatlarga ega:

Korrelyatsiya funksiyasining noldagi qiymati signal kuchiga teng,

Korrelyatsiya funktsiyasining o'lchami, masalan, signal o'lchamining kvadratiga teng.

Masalan, garmonik tebranishning korrelyatsiya funksiyasini hisoblaymiz:

Bir qator trigonometrik o'zgarishlardan foydalanib, biz nihoyat quyidagilarni olamiz:

Shunday qilib, garmonik tebranishning avtokorrelyatsiya funktsiyasi signalning o'zi kabi bir xil o'zgarish davriga ega bo'lgan kosinusdir. Tebranish davrining ko'paytmalari bo'lgan siljishlar bilan harmonika o'ziga aylanadi va ACF amplitudaning yarmi kvadratiga teng bo'lgan eng katta qiymatlarni oladi. Vaqt siljishlari, tebranish davrining yarmining ko'paytmalari burchak bilan faza siljishiga teng bo'lib, tebranishlar belgisi o'zgaradi va ACF minimal qiymatni oladi, salbiy va amplitudaning yarmi kvadratiga teng. Davrning to'rtdan biriga ko'paytmalari bo'lgan siljishlar, masalan, sinusoidal tebranish kosinusga aylanadi va aksincha. Bunday holda, ACF yo'qoladi. Avtokorrelyatsiya funksiyasi nuqtai nazaridan bir-biriga nisbatan kvadraturada joylashgan bunday signallar bir-biridan butunlay farq qiladi.

Signal korrelyatsiyasi funksiyasining ifodasi uning dastlabki bosqichini o'z ichiga olmagani muhim. Faza ma'lumotlari yo'qolgan. Bu shuni anglatadiki, signalning o'zini signal korrelyatsiyasi funktsiyasidan qayta tiklab bo'lmaydi. Xaritalash, xaritalashdan farqli o'laroq, birma-bir emas.

Agar signalni ishlab chiqarish mexanizmini o'zi tanlagan korrelyatsiya funktsiyasiga muvofiq signal yaratuvchi ma'lum bir demiurj deb tushunadigan bo'lsak, u aslida bir xil korrelyatsiya funktsiyasiga ega bo'lgan, lekin har biridan farq qiladigan signallarning butun to'plamini (signallar ansambli) yaratishi mumkin. fazaviy munosabatlardagi boshqa.

Yaratuvchining irodasiga bog'liq bo'lmagan holda, o'z iroda erkinligi signali bilan namoyon bo'lish harakati (ba'zi tasodifiy jarayonning alohida amalga oshirilishining paydo bo'lishi),

Signalga nisbatan tashqi zo'ravonlik natijasi (har qanday jismoniy miqdorni o'lchash paytida olingan o'lchash ma'lumotlarining signaliga kirish).

Vaziyat har qanday davriy signal bilan o'xshash. Agar asosiy davri T bo'lgan davriy signal amplituda spektriga va faza spektriga ega bo'lsa, u holda signalning korrelyatsiya funktsiyasi quyidagi shaklni oladi:

Ushbu misollarda allaqachon korrelyatsiya funktsiyasi va signalning spektral xususiyatlari o'rtasida ma'lum bir bog'liqlik namoyon bo'ladi. Ushbu nisbatlar keyinroq batafsilroq muhokama qilinadi.

3.2 O'zaro korrelyatsiya funktsiyasi (CCF).

Avtokorrelyatsiya funktsiyasidan farqli o'laroq, o'zaro bog'liqlik funktsiyasi ikki xil x (t) va y (t) signallarining bir-biriga nisbatan t vaqt bo'yicha siljigan nusxalarining o'xshashlik darajasini aniqlaydi:

O'zaro bog'liqlik funktsiyasi quyidagi xususiyatlarga ega:

1. t = 0 da o‘zaro korrelyatsiya funksiyasi ga teng qiymatni oladi o'zaro energiya signallari, ya'ni ularning o'zaro ta'sirining energiyasi

2. Har qanday t uchun quyidagi munosabat bajariladi:

signal energiyalari qayerda.

3. Vaqt siljishi belgisini o'zgartirish signallarni o'zaro almashtirishga teng:

4. t ning ortishi bilan o‘zaro bog‘liqlik funksiyasi monoton bo‘lmasa ham, nolga kamayadi.

5. O'zaro korrelyatsiya funksiyasining nolga teng qiymati boshqa qiymatlardan ajralib turmaydi.

Davriy signallar uchun o'zaro bog'liqlik funktsiyasi tushunchasi, qoida tariqasida, umuman ishlatilmaydi.

Avtokorrelyatsiya va o'zaro bog'liqlik funktsiyalari qiymatlarini o'lchash asboblari korrelyator yoki korrelyator deb ataladi. Korrelometrlar, masalan, quyidagi ma'lumot va o'lchov vazifalarini hal qilish uchun ishlatiladi:

Elektroansefalogrammalarning statistik tahlili va biopotentsiallarni ro'yxatga olishning boshqa natijalari;

Signal manbasining fazoviy koordinatalarini maksimal CCF ga erishilgan vaqt siljishining kattaligi bo'yicha aniqlash;

Kuchli statik bog'liq bo'lmagan shovqin fonida zaif signalni izolyatsiya qilish,

bino ichida va tashqarisida radio signallari o'rtasidagi bog'liqlikni aniqlash orqali ma'lumotlarning sizib chiqishi kanallarini aniqlash va lokalizatsiya qilish;

Ishlayotgan radio tinglash qurilmalarini, shu jumladan tinglash moslamalari sifatida foydalaniladigan mobil telefonlarni avtomatik aniqlash, aniqlash va qidirish;

Datchiklar quvurda joylashgan ikkita o'lchash nuqtasida qochqin natijasida yuzaga kelgan ikkita akustik shovqin signalining CCF ni aniqlash asosida quvur liniyalaridagi qochqinlarni lokalizatsiya qilish.

3.3 Korrelyatsiya va spektral funksiyalar o'rtasidagi bog'liqliklar.

Ham korrelyatsiya, ham spektral funktsiyalar signallarning ichki tuzilishini, ularning ichki tuzilishini tavsiflaydi. Shu sababli, signallarni tavsiflashning ushbu ikki usuli o'rtasida qandaydir o'zaro bog'liqlik mavjudligini kutish mumkin. Siz allaqachon davriy signallar misolida bunday aloqaning mavjudligini ko'rgansiz.

O'zaro bog'liqlik funktsiyasi, vaqtning boshqa funktsiyalari kabi, Furye konvertatsiyasiga duchor bo'lishi mumkin:

Keling, integratsiya tartibini o'zgartiramiz:

Kvadrat qavs ichidagi ifodani y (t) signali uchun Furye konvertatsiyasi deb hisoblash mumkin, lekin eksponentda minus belgisi yo'q. Bu shuni ko'rsatadiki, ichki integral bizga spektral funktsiyaga murakkab konjugat bo'lgan ifodani beradi.

Lekin ifoda vaqtga bog'liq emas, shuning uchun uni tashqi integral belgisidan tashqarida olish mumkin. Keyin tashqi integral bizga x (t) signalining spektral funktsiyasining ta'rifini beradi. Nihoyat, bizda:

Bu shuni anglatadiki, ikkita signalning o'zaro bog'liqlik funktsiyasi uchun Furye transformatsiyasi ularning spektral funktsiyalarining mahsulotiga teng bo'lib, ulardan biri murakkab konjugatsiyaga duchor bo'ladi. Ushbu mahsulot signallarning o'zaro spektri deb ataladi:

Olingan ifodadan muhim xulosa kelib chiqadi: agar x (t) va y (t) signallarning spektrlari bir-birining ustiga tushmasa, ya'ni ular turli chastota diapazonlarida joylashgan bo'lsa, unda bunday signallar bir-biridan bog'liq emas. .

Agar yuqoridagi formulalarni qo'ysak: x (t) = y (t), u holda avtokorrelyatsiya funktsiyasining Furye o'zgarishi uchun ifodani olamiz.

Bu shuni anglatadiki, signalning avtokorrelyatsiya funktsiyasi va uning spektral funktsiyasi modulining kvadrati Furye transformatsiyasi orqali bir-biri bilan bog'liq.

Funktsiya chaqiriladi energiya spektri signal. Energiya spektri signalning umumiy energiyasi uning individual harmonik komponentlarining chastotalari bo'yicha qanday taqsimlanganligini ko'rsatadi.

3.4 Chastota domenidan signallarning energiya xarakteristikalari

Ikki signalning o'zaro korrelyatsiya funktsiyasi Furye transformatsiyasi bilan signallarning o'zaro spektri bilan bog'liq, shuning uchun uni o'zaro faoliyat spektrning teskari Furye konvertatsiyasi sifatida ifodalash mumkin:

Endi bu tenglik zanjiriga vaqt almashish qiymatini almashtiramiz. Natijada, biz ma'noni aniqlaydigan nisbatni olamiz Rayleigh tengliklari:

ya'ni ikkita signal ko'paytmasining integrali bu signallarning spektrlari mahsulotining integraliga teng bo'lib, ulardan biri kompleks konjugatsiyaga duchor bo'ladi.

Bu nisbat deyiladi Parseval tengligi.

Davriy signallar cheksiz energiyaga ega, lekin cheklangan kuchga ega. Ularni ko'rib chiqayotganda, biz davriy signalning kuchini uning kompleks spektri koeffitsientlari modullarining kvadratlari yig'indisi orqali hisoblash imkoniyatiga allaqachon duch keldik:

Bu munosabat Parseval tengligi bilan to'liq o'xshashlikka ega.

3.1 Avtokorrelyatsiya funktsiyasi (ACF)

Cheklangan energiyaga ega signalning avtokorrelyatsiya funktsiyasi bu signalning ikki nusxasi mahsulotining integralining qiymati bo'lib, bir-biriga nisbatan t vaqtga siljigan, bu vaqt siljishi t funktsiyasi sifatida qaraladi:

Agar signal cheklangan vaqt oralig'ida aniqlansa , keyin uning ACF quyidagicha topiladi:

qayerda
- siljitilgan signal nusxalarining bir-birining ustiga chiqishi oralig'i.

Avtokorrelyatsiya funktsiyasining qiymati qanchalik katta bo'lsa, deb ishoniladi
bu qiymatda , signalning ikki nusxasi vaqt oralig'ida qanchalik ko'p siljiydi bir-biriga o'xshashdir. Shuning uchun korrelyatsiya funktsiyasi
va signalning ko'chirilgan nusxalari uchun o'xshashlik o'lchovidir.

Nol atrofida tasodifiy tebranishlar shakliga ega bo'lgan signallar uchun shu tarzda kiritilgan o'xshashlik o'lchovi quyidagi xarakterli xususiyatlarga ega.

Agar signalning o'zgartirilgan nusxalari bir-biriga taxminan vaqt o'tishi bilan o'zgarib tursa, bu ularning o'xshashligining belgisidir va ACF katta ijobiy qiymatlarni oladi (katta ijobiy korrelyatsiya). Agar nusxalar deyarli antifazada tebransa, ACF katta salbiy qiymatlarni oladi (signal nusxalarining anti-o'xshashligi, katta salbiy korrelyatsiya).

33-rasmda ushbu ikki nusxaning juftliklari ko'rsatilgan. Rasmda signal nusxalarining o'xshashligi va anti-o'xshashligi nimani anglatishini ko'rsatadi.

Korrelyatsiya funktsiyasi quyidagi xususiyatlarga ega:

1. t = 0 da avtokorrelyatsiya funksiyasi signal energiyasiga teng eng katta qiymatni oladi.

2. Avtokorrelyatsiya funksiyasi vaqtni teng siljish funksiyasi
.

3. t ortishi bilan avtokorrelyatsiya funksiyasi nolga kamayadi

4. Agar signalda d - funksiyalar tipidagi uzilishlar bo'lmasa, u holda
- uzluksiz funksiya.

5... Agar signal elektr kuchlanishi bo'lsa, u holda korrelyatsiya funktsiyasi o'lchamga ega
.

Avtokorrelyatsiya funktsiyasini aniqlashda davriy signallar uchun bir xil integral signalning takrorlanish davriga bo'linadi:

Kiritilgan korrelyatsiya funksiyasi quyidagi xususiyatlarga ega:

Masalan, garmonik tebranishning korrelyatsiya funksiyasini hisoblaymiz:

Bir qator trigonometrik o'zgarishlardan foydalanib, biz nihoyat quyidagilarni olamiz:

Shunday qilib, garmonik tebranishning avtokorrelyatsiya funktsiyasi signalning o'zi kabi bir xil o'zgarish davriga ega bo'lgan kosinusdir. Tebranish davrining ko'paytmalari bo'lgan siljishlar bilan harmonika o'ziga aylanadi va ACF amplitudaning yarmi kvadratiga teng bo'lgan eng katta qiymatlarni oladi. Vaqt siljishi, tebranish davrining yarmiga ko'paytmalari burchak bo'yicha faza siljishiga teng
, bu holda tebranishlarning belgisi o'zgaradi va ACF minimal qiymatni oladi, salbiy va amplitudaning yarmi kvadratiga teng. Davrning chorak qismining ko'paytmalari bo'lgan siljishlar, masalan, sinusoidal tebranish kosinusga aylanadi va aksincha. Bunday holda, ACF yo'qoladi. Avtokorrelyatsiya funksiyasi nuqtai nazaridan bir-biriga nisbatan to'rtburchakda joylashgan bunday signallar bir-biridan butunlay boshqacha bo'lib chiqadi.

Signal korrelyatsiyasi funksiyasining ifodasi uning dastlabki bosqichini o'z ichiga olmagani muhim. Faza ma'lumotlari yo'qolgan. Bu shuni anglatadiki, signalning o'zini signal korrelyatsiyasi funktsiyasidan qayta tiklab bo'lmaydi. Displey
ko'rsatishdan farqli o'laroq
birma-bir emas.

yaratuvchining irodasiga bog'liq bo'lmagan holda, o'z ixtiyori erkinligi signali bilan namoyon bo'lish harakati (ba'zi tasodifiy jarayonning alohida amalga oshirilishining paydo bo'lishi),

signalga nisbatan begona zo'ravonlik natijasi (har qanday jismoniy miqdorni o'lchash paytida olingan o'lchash ma'lumotlarining signaliga kirish).

Vaziyat har qanday davriy signal bilan o'xshash. Asosiy davri T bo'lgan davriy signal amplitudali spektrga ega bo'lsa
va faza spektri
, keyin signal korrelyatsiya funktsiyasi quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi:

Ushbu misollarda allaqachon korrelyatsiya funktsiyasi va signalning spektral xususiyatlari o'rtasida ma'lum bir bog'liqlik namoyon bo'ladi. Ushbu nisbatlar keyinroq batafsilroq muhokama qilinadi.

Aloqa nazariyasida korrelyatsiya nazariyasi tasodifiy jarayonlarni o'rganishda qo'llaniladi, bu tasodifiy signallarning korrelyatsiyasi va spektral xususiyatlari o'rtasidagi munosabatni o'rnatish imkonini beradi. Muammo ko'pincha bir uzatilgan signalni boshqasida yoki shovqinda aniqlashda paydo bo'ladi. Ishonchli signalni aniqlash uchun usul qo'llaniladi. korrelyatsiyalar korrelyatsiya nazariyasiga asoslanadi. Amalda, vaqt o'zgarishi tezligi, shuningdek signalni garmonik tarkibiy qismlarga ajratmasdan davomiyligi haqida tasavvurga ega bo'lgan xususiyatlarni tahlil qilish foydali bo'ladi.

Signal nusxa ko'chirishga ruxsat bering u (t - m) asl nusxasidan o'zgartirilgan u (t) vaqt oralig'i uchun t.Signalning farq (ulanish) darajasini miqdoriy aniqlash uchun u (t) va uning ofset nusxasi u (t - t) foydalanish avtokorrelyatsiya funktsiyasi(ACF). ACF signal va uning ko'chirilgan nusxasi o'rtasidagi o'xshashlik darajasini ko'rsatadi - ACF qiymati qanchalik katta bo'lsa, bu o'xshashlik shunchalik kuchli bo'ladi.

Cheklangan davomiylikning deterministik signali (cheklangan signal) uchun ACF ning analitik yozuvi shaklning integrali hisoblanadi.

Formula (2.56) signalga (m = 0) nisbatan nusxa ko'chishi bo'lmasa, ACF musbat, maksimal va signal energiyasiga teng ekanligini ko'rsatadi:

Bunday energiya [J] qarshilik 1 Ohm bo'lgan rezistorda chiqariladi, agar uning terminallariga qandaydir kuchlanish ulangan bo'lsa. u (t)[V].

ACF ning eng muhim xususiyatlaridan biri uning paritetidir: V( t) = V(- T). Haqiqatan ham, agar (2.56) ifodada biz o'zgaruvchini o'zgartiramiz x = t - t keyin

Shuning uchun (2.56) integral boshqa ko'rinishda ifodalanishi mumkin:

Energiyasi cheksiz katta bo'lgan (signal cheksiz vaqt mavjud bo'lganligi sababli) davri G davri bo'lgan davriy signal uchun (2.56) formula bo'yicha ACFni hisoblash qabul qilinishi mumkin emas. Bunday holda, ACF quyidagi davr uchun aniqlanadi:

2.3-misol

Amplitudaga ega bo'lgan to'rtburchak pulsning ACF ni aniqlaymiz E va davomiyligi t va (2.24-rasm).

Yechim

Impuls uchun ACF ni grafik tarzda hisoblash qulay. Ushbu tartib rasmda ko'rsatilgan. 2.24, a - d, navbati bilan dastlabki impuls berilgan joyda u (t)= u t uning nusxasi m t (?) = u (t- t) = m t va ularning hosilasi u (f) u (t- t) = uu v Integralning grafik hisobini ko'rib chiqaylik (2.56). Ishlash u (t) u (t- t) signalning va uning nusxasining har qanday qismlarining bir-biriga o'xshashligi mavjud bo'lgan vaqt oralig'ida nolga teng emas. Shakldan quyidagicha. 2.24, bu oraliq x - t m ga teng, agar nusxaning vaqt o'zgarishi impuls davomiyligidan kamroq bo'lsa. Bunday hollarda, zarba uchun ACF sifatida aniqlanadi V( t) = E 2 ( t va - | t |) nusxaning joriy vaqtga | t | vaqt o'zgarishi bilan B (0) = = E 2 m u = E (2.24-rasmga qarang, G).

Guruch. 2.24.

a - puls; 6 - nusxa; v - signal va nusxa mahsuloti; G - ACF

Signallarni tahlil qilish va taqqoslash uchun qulay bo'lgan raqamli parametr ko'pincha kiritiladi - korrelyatsiya oralig'i t k, analitik va grafik jihatdan ACF asosining kengligiga teng. Bu misol uchun korrelyatsiya oralig'i m k = 2m va.

2.4-misol

Garmonik (kosinus) signalning ACF ni aniqlang u (t) == t / m cos (co? + a).

Guruch. 2.25.

a - garmonik signal; b - Garmonik signalning ACF

Yechim

(2.57) formuladan foydalanish va belgilash p ichida ( t) = V( m), topamiz

Bu formuladan kelib chiqadiki, garmonik signalning ACF ham garmonik funktsiyadir (2.25-rasm, b) va quvvat o'lchamiga ega (V 2). Yana bir muhim faktga e'tibor bering, hisoblangan ACF garmonik signalning dastlabki bosqichiga bog'liq emas (parametr).

Tahlildan muhim xulosa kelib chiqadi: deyarli har qanday signalning ACF uning faza spektriga bog'liq emas. Binobarin, amplituda spektrlari to'liq mos keladigan va faza spektrlari farq qiladigan signallar bir xil ACFga ega bo'ladi. Yana bir eslatma shundaki, asl signalni ACF dan tiklash mumkin emas (yana faza ma'lumotlarining yo'qolishi sababli).

ACF va signal energiya spektri o'rtasidagi bog'liqlik. Puls signaliga ruxsat bering u (t) spektral zichligi 5 (ō) ga ega. ACF ni yozish orqali (2.56) formuladan foydalanib aniqlaymiz va (C) teskari Furye konvertatsiyasi shaklida (2.30):

Yangi o'zgaruvchini kiritish orqali x = t - m, oxirgi formuladan biz bu erda integralni olamiz

signalning spektral zichligining kompleks konjugat funktsiyasidir

(2.59) munosabatni hisobga olgan holda (2.58) formula shaklni oladi Funktsiya

deyiladi energiya spektri signalning (spektral energiya zichligi), energiyaning chastota taqsimotini ko'rsatadi. Signal energiya spektrining o'lchami IP / s) - [(V 2 -s) / Hz] qiymatiga mos keladi.

(2.60) munosabatni hisobga olib, nihoyat ACF uchun ifodani olamiz:

Demak, signalning ACF energiya spektrining teskari Furye konvertatsiyasidir. ACF ning to'g'ridan-to'g'ri Furye transformatsiyasi

Shunday qilib, to'g'ridan-to'g'ri Furye konvertatsiyasi (2.62) ACF energiya spektrini aniqlaydi, a energiya spektrining teskari Furye konvertatsiyasi(2.61) - Deterministik signalning ACF. Ushbu natijalar ikki sababga ko'ra muhimdir. Birinchidan, energiyaning spektrda taqsimlanishiga asoslanib, signallarning korrelyatsiya xususiyatlarini baholash mumkin bo'ladi - signalning energiya spektri qanchalik keng bo'lsa, korrelyatsiya oralig'i shunchalik kichik bo'ladi. Shunga ko'ra, signalning korrelyatsiya oralig'i qanchalik katta bo'lsa, uning energiya spektri shunchalik qisqa bo'ladi. Ikkinchidan, (2.61) va (2.62) munosabatlari funksiyalardan birini ikkinchisining qiymatidan eksperimental ravishda aniqlash imkonini beradi. Ko'pincha birinchi navbatda ACFni olish va keyin to'g'ridan-to'g'ri Furye konvertatsiyasi yordamida energiya spektrini hisoblash qulayroqdir. Ushbu uslub real vaqtda signal xususiyatlarini tahlil qilishda keng qo'llaniladi, ya'ni. uni qayta ishlashda vaqtni kechiktirmasdan.

Ikki signalning o'zaro bog'liqlik funktsiyasi. Signallar orasidagi aloqa darajasini baholash kerak bo'lsa u x (t) va u 2 (t), keyin foydalaning o'zaro korrelyatsiya funktsiyasi(VKF)

m = 0 uchun CCF deb atalmishga teng ikkita signalning o'zaro energiyasi

Ikkinchi signalni kechiktirish o'rniga CCF qiymati o'zgarmaydi u 2 (t) uning birinchi signali m, (?), shuning uchun oldinga siljishini ko'rib chiqing

ACF - CCF ning maxsus holati, agar signallar bir xil bo'lsa, ya'ni. u y (t) = u 2 (t) = u (t). ACF dan farqli o'laroq, ikkita signalning CCF B 12 (t) teng emas va t = 0 da maksimal bo'lishi shart emas, ya'ni. signallarning vaqt almashinuvi yo'qligida.

Radiotexnika rivojlanishining dastlabki bosqichlarida ma'lum maxsus ilovalar uchun eng yaxshi signallarni tanlash masalasi juda keskin emas edi. Bu, bir tomondan, uzatiladigan xabarlarning nisbatan sodda tuzilishi bilan bog'liq edi (telegraf xabarlari, radioeshittirish); boshqa tomondan, murakkab shakldagi signallarni ularni kodlash, modulyatsiya qilish va xabarga teskari aylantirish uchun uskunalar bilan birgalikda amaliy amalga oshirish qiyin bo'lib chiqdi.

Hozirda vaziyat tubdan o'zgardi. Zamonaviy radioelektron majmualarda signallarni tanlash, birinchi navbatda, ularni yaratish, o'zgartirish va qabul qilishning texnik qulayligi bilan emas, balki tizimni loyihalashda ko'zda tutilgan muammolarni optimal hal qilish imkoniyati bilan belgilanadi. Maxsus tanlangan xususiyatlarga ega signallarga ehtiyoj qanday paydo bo'lishini tushunish uchun quyidagi misolni ko'rib chiqing.

Vaqt o'zgaruvchan signallarni taqqoslash.

Keling, qo'shiq diapazonini o'lchash uchun mo'ljallangan impulsli radarning ishlashining soddalashtirilgan g'oyasiga murojaat qilaylik. Bu erda o'lchov ob'ekti haqidagi ma'lumot qiymatga kiritiladi - probatsiya va qabul qilingan signallar o'rtasidagi vaqt kechikishi. Zondlash va qabul qilingan va signallarning shakllari har qanday kechikishlarda bir xil bo'ladi.

O'lchash diapazoni uchun mo'ljallangan radar signalini qayta ishlash qurilmasining blok diagrammasi rasmda ko'rsatilgandek ko'rinishi mumkin. 3.3.

Tizim ba'zi belgilangan vaqt oraliqlari uchun uzatiladigan "mos yozuvlar" signalini kechiktiradigan elementlar to'plamidan iborat.

Guruch. 3.3. Signalning kechikish vaqtini o'lchash moslamasi

Kechiktirilgan signallar qabul qilingan signal bilan birgalikda printsipga muvofiq ishlaydigan taqqoslash moslamalariga beriladi: chiqish signali faqat ikkala kirish tebranishlari bir-birining "nusxasi" bo'lsa paydo bo'ladi. Belgilangan hodisa sodir bo'lgan kanalning sonini bilib, kechikishni va shuning uchun maqsad oralig'ini o'lchash mumkin.

Bunday qurilma qanchalik aniq ishlaydi, signal va uning "nusxasi", vaqt o'tishi bilan bir-biridan farq qiladi.

Bu bizga ma'lum bir dastur uchun qanday signallar yaxshi ekanligi haqida yaxshi fikr beradi.

Keling, qo'yilgan masalaning aniq matematik formulasiga o'tamiz va bu masalalar doirasi signallarning energiya spektrlari nazariyasi bilan bevosita bog'liqligini ko'rsatamiz.

Signalning avtokorrelyatsiya funksiyasi.

Signal va uning vaqt bo'yicha o'zgartirilgan nusxasi o'rtasidagi farq darajasini miqdoriy aniqlash uchun signal va nusxaning skalyar mahsulotiga teng bo'lgan signalning avtokorrelyatsiya funktsiyasini (ACF) kiritish odatiy holdir:

Keyinchalik, biz o'rganilayotgan signal vaqt bo'yicha lokalizatsiya qilingan impulsiv xususiyatga ega ekanligini taxmin qilamiz, shuning uchun (3.15) shakldagi integrali albatta mavjud.

To'g'ridan-to'g'ri ko'rinib turibdiki, at, avtokorrelyatsiya funktsiyasi signal energiyasiga teng bo'ladi:

ACF ning eng oddiy xususiyatlaridan biri uning paritetidir:

Haqiqatan ham, agar (3.15) integralda o'zgaruvchilarni o'zgartirsak, u holda

Va nihoyat, avtokorrelyatsiya funktsiyasining muhim xususiyati quyidagilardan iborat: vaqt almashinuvining har qanday qiymati uchun ACF moduli signal energiyasidan oshmaydi:

Bu fakt bevosita Koshi - Bunyakovskiy tengsizligidan kelib chiqadi (1-bobga qarang):

Shunday qilib, ACF har doim ijobiy bo'lgan markaziy maksimalga ega simmetrik egri chiziq bo'lib ko'rinadi. Bunday holda, signalning turiga qarab, avtokorrelyatsiya funktsiyasi monoton kamayuvchi va tebranuvchi xarakterga ega bo'lishi mumkin.

3.3-misol. To'rtburchak video impulsning ACF ni toping.

Shaklda. 3.4, a amplitudasi U va davomiyligi bo'lgan to'rtburchak video impulsni ko'rsatadi.Bu erda ham uning "nusxasi", vaqt bo'yicha kechikish yo'nalishi bo'yicha siljiydi. Integral (3.15) bu holda elementar ravishda grafik konstruktsiya asosida hisoblanadi. Haqiqatan ham, va ning mahsuloti faqat signallarning bir-biriga mos kelishi kuzatilgan vaqt oralig'ida nolga teng. Anjirdan. 3.4, agar siljish puls davomiyligidan oshmasa, bu vaqt oralig'i teng ekanligini ko'rish mumkin. Shunday qilib, ko'rib chiqilgan signal uchun

Bunday funktsiyaning grafigi shaklda ko'rsatilgan uchburchakdir. 3.4, b. Uchburchak poydevorining kengligi impuls kengligidan ikki baravar ko'p.

Guruch. 3.4. To'rtburchak video impulsning ACF ni topish

3.4-misol. To‘g‘ri burchakli radio impulsning ACF ni toping.

Shaklning radio signalini ko'rib chiqamiz

ACF juft ekanligini oldindan bilib, (3.15) integralni belgilash orqali hisoblaymiz. Qayerda

qayerdan biz osonlik bilan olamiz

Tabiiyki, at, qiymat bu pulsning energiyasiga teng bo'ladi (1.9-misolga qarang). Formula (3.21) chegaralar ichida joylashgan barcha siljishlar uchun to'g'ri burchakli radio impulsning ACF ni tavsiflaydi.

3.5-misol. To'rtburchak video impulslar ketma-ketligining ACF ni aniqlang.

Radarda signallar keng qo'llaniladi, ular bir xil shakldagi impulslar paketlari bo'lib, bir xil vaqt oralig'ida bir-birini kuzatib boradi. Bunday portlashni aniqlash, shuningdek, uning parametrlarini o'lchash uchun, masalan, vaqt bo'yicha pozitsiyasi, ACFni hisoblash algoritmlarini amalga oshiradigan apparatlar yaratiladi.

Guruch. 3.5. Uchta bir xil video impulslar portlashining ACF: a - impulslar portlashi; b - ACF grafigi

Shaklda. 3.5, c uchta bir xil to'rtburchak video impulslardan tashkil topgan paketni ko'rsatadi. Bundan tashqari, (3.15) formula bo'yicha hisoblangan avtokorrelyatsiya funktsiyasini ko'rsatadi (3.5-rasm, b).

Aniq ko'rinib turibdiki, ACF maksimal darajasiga erishiladi, ammo agar kechikish ketma-ketlik davrining ko'paytmasi bo'lsa (bizning holatlarimizda), balandligi bo'yicha asosiy bilan taqqoslanadigan ACF yon bo'laklari kuzatiladi. lob. Shuning uchun biz ushbu signalning korrelyatsiya strukturasining ma'lum nomukammalligi haqida gapirishimiz mumkin.

Cheksiz kengaytirilgan signalning avtokorrelyatsiya funksiyasi.

Vaqti-vaqti bilan cheksiz ravishda cho'zilgan davriy ketma-ketlikni hisobga olish kerak bo'lsa, signallarning korrelyatsiya xususiyatlarini o'rganishga yondashuv biroz o'zgartirilishi kerak.

Biz taxmin qilamizki, bunday ketma-ketlik ba'zi bir mahalliylashtirilgan vaqtdan, ya'ni impulsdan, signaldan, ikkinchisining davomiyligi cheksizlikka intilganda olinadi. Olingan ifodalarning farqlanishiga yo'l qo'ymaslik uchun biz yangi ACFni signalning skaler mahsuloti va uning nusxasining o'rtacha qiymati sifatida aniqlaymiz:

Ushbu yondashuv bilan avtokorrelyatsiya funktsiyasi bu ikki signalning o'rtacha o'zaro kuchiga teng bo'ladi.

Masalan, cheksiz kosinus to'lqini uchun ACF ni topishni istab, davomiyligi bo'lgan radio impuls uchun olingan (3.21) formuladan foydalanish va keyin berilgan chegaraga (3.22) o'tish mumkin. Natijada, biz olamiz

Bu ACFning o'zi davriy funktsiyadir; uning qiymati teng

Signalning energiya spektri va uning avtokorrelyatsiya funktsiyasi o'rtasidagi bog'liqlik.

Ushbu bobning materialini o'rganayotganda, o'quvchi korrelyatsiya tahlili usullari spektral parchalanish tamoyillari bilan hech qanday aloqasi bo'lmagan ba'zi bir maxsus texnikalar sifatida ishlaydi, deb o'ylashi mumkin. Biroq, unday emas. ACF va signalning energiya spektri o'rtasida yaqin aloqalar mavjudligini ko'rsatish oson.

Haqiqatan ham, (3.15) formulaga muvofiq, ACF nuqta mahsulotidir: bu erda belgi signalning vaqtga o'tgan nusxasini bildiradi va,

Umumlashtirilgan Rayleigh formulasiga (2.42) murojaat qilib, biz tenglikni yozishimiz mumkin

Vaqt o'zgaruvchan spektral zichlik

Shunday qilib, biz natijaga kelamiz:

Ma'lumki, spektral zichlik modulining kvadrati signalning energiya spektrini ifodalaydi. Shunday qilib, energiya spektri va avtokorrelyatsiya funktsiyasi Furye transformatsiyasi bilan bog'langan:

Bundan tashqari, teskari munosabat mavjudligi aniq:

Ushbu natijalar ikkita sababga ko'ra muhim ahamiyatga ega. Birinchidan, signallarning korrelyatsiya xususiyatlarini ularning energiyasini spektr bo'yicha taqsimlash asosida baholash mumkin bo'ladi. Signalning o'tkazish qobiliyati qanchalik keng bo'lsa, avtokorrelyatsiya funktsiyasining asosiy bo'lagi shunchalik torayadi va signal boshlanishi momentini aniq o'lchash imkoniyati nuqtai nazaridan qanchalik mukammal bo'ladi.

Ikkinchidan, (3.24) va (3.26) formulalar energiya spektrini eksperimental ravishda aniqlash usulini ko'rsatadi. Avval avtokorrelyatsiya funksiyasini olish, so'ngra Furye transformatsiyasidan foydalanib, signalning energiya spektrini topish ko'pincha qulayroqdir. Ushbu uslub real vaqt rejimida yuqori tezlikda ishlaydigan kompyuterlar yordamida signallarning xususiyatlarini o'rganishda keng tarqaldi.

Nisbatan sovtk Bundan kelib chiqadiki, korrelyatsiya oralig'i

qanchalik kam bo'lsa, signal spektrining yuqori kesish chastotasi shunchalik yuqori bo'ladi.

Signalning avtokorrelyatsiyasi funksiyasi turiga qo'yilgan cheklovlar.

Avtokorrelyatsiya funktsiyasi va energiya spektri o'rtasidagi aniqlangan bog'liqlik berilgan korrelyatsiya xususiyatlariga ega signal mavjudligi uchun qiziqarli va birinchi qarashda noaniq mezonni o'rnatishga imkon beradi. Gap shundaki, har qanday signalning energiya spektri, ta'rifiga ko'ra, ijobiy bo'lishi kerak [qarang. formula (3.25)]. Bu shart ACFni tanlashda bajarilmaydi. Misol uchun, agar siz olsangiz

va mos keladigan Furye konvertatsiyasini hisoblang

Bu o'zgaruvchan funksiya hech qanday signalning energiya spektrini ifodalay olmaydi.