Spektral quvvat. Signallarning spektral zichligini aniqlashga misollar

Tasodifiy jarayon bo'yicha vaqt funktsiyalari to'plami (ansambli) deganda, har xil shakldagi funktsiyalar turli xil spektral xususiyatlarga mos kelishini yodda tutish kerak. (1.47) bilan aniqlangan kompleks spektral zichlikni barcha funktsiyalar bo'yicha o'rtacha hisoblash jarayonning nol spektriga olib keladi (da M [x(t)]=0 ) turli xil amalga oshirishda spektral komponentlarning fazalarining tasodifiyligi va mustaqilligi tufayli.

Biroq, tasodifiy funktsiyaning o'rtacha kvadratining spektral zichligi tushunchasini kiritish mumkin, chunki o'rtacha kvadrat qiymati yig'ilgan harmonikalarning faza nisbatiga bog'liq emas. Agar tasodifiy funksiya ostida bo'lsa x (t) elektr kuchlanish yoki oqim nazarda tutilgan bo'lsa, bu funktsiyaning o'rtacha kvadratini 1 ohm qarshilikda chiqarilgan o'rtacha quvvat deb hisoblash mumkin. Bu quvvat tasodifiy jarayonning shakllanish mexanizmiga qarab ma'lum bir diapazondagi chastotalar bo'yicha taqsimlanadi.

O'rtacha quvvat spektral zichligi - ma'lum chastotada Gts uchun o'rtacha quvvat. ω ... Funktsiya o'lchami V(ω) , ya'ni quvvatning tarmoqli kengligiga nisbati

Tasodifiy jarayonning paydo bo'lish mexanizmi ma'lum bo'lsa, tasodifiy jarayonning spektral zichligini topish mumkin. Moddaning va elektrning atom tuzilishi bilan bog'liq shovqinga kelsak, bu muammo keyinroq paydo bo'ladi. Bu erda biz bir nechta umumiy ta'riflar bilan cheklanamiz.

Ansambldan ba'zi ilovalarni tanlagandan so'ng xk(t) va uning davomiyligini chekli intervalgacha cheklash T, biz unga odatiy Furye konvertatsiyasini qo'llashimiz va spektral zichlikni topishimiz mumkin X kT (ω). Keyin ko'rib chiqilayotgan amalga oshirish segmentining energiyasini quyidagi formula yordamida hisoblash mumkin:

(1.152)

Bu energiyani taqsimlash T, biz o'rtacha quvvatni olamiz k-chi segmentida amalga oshirish T

(1.153)

Ko'payganda T energiya NSkT ortadi, lekin nisbati ma'lum chegaraga intiladi. Cheklovga o'tib, biz quyidagilarni olamiz:

G
de

o'zida aks ettiradi o'rtacha quvvat spektral zichligi ko'rib chiqilmoqda k-chi amalga oshirish.

Umumiy holda, miqdor V k (ω) bir nechta ilovalar bo'yicha o'rtacha hisoblanishi kerak. Bu holatda o'zimizni statsionar va ergodik jarayonni ko'rib chiqish bilan cheklab qo'ysak, biz bitta dasturni o'rtacha hisoblash orqali topilgan funktsiyani taxmin qilishimiz mumkin. V k (ω) butun jarayonni bir butun sifatida tavsiflaydi. k indeksini qoldirib, biz tasodifiy jarayonning o'rtacha kuchi uchun yakuniy ifodani olamiz

Nol o'rtacha jarayon uchun

(1.156)

Spektral zichlikning ta'rifidan (1,155) ko'rinib turibdi V NS (ω) juft va manfiy bo'lmagan funksiyadir ω.

1.5.3 Tasodifiy jarayonning spektral zichligi va kovarians funksiyasi o'rtasidagi bog'liqlik

Bir tomondan, o'zgarish tezligi NS(t) vaqt ichida spektrning kengligini aniqlaydi. Boshqa tomondan, o'zgarish darajasi x (t) kovariatsiya funksiyasining borishini aniqlaydi. O'rtada ekanligi aniqV NS (ō) va K NS(t) yaqin munosabatlar mavjud.

Viner-Xinchin teoremasi shuni ko'rsatadi TO NS (τ) va V x (ω) Furye o'zgarishlari bilan bog'liq:

(1.157)

(1.158)

O'rtacha nolga teng bo'lgan tasodifiy jarayonlar uchun o'xshash iboralar:

Deterministik signallar uchun Furye transformatsiyasining xususiyatlariga o'xshash xususiyat ushbu ifodalardan kelib chiqadi: tasodifiy jarayonning spektri qanchalik keng bo'lsa, korrelyatsiya oralig'i shunchalik kichik bo'ladi va shunga mos ravishda korrelyatsiya oralig'i qanchalik katta bo'lsa, jarayonning spektri shunchalik tor bo'ladi (1.20-rasmga qarang).

1.20-rasm. Tasodifiy jarayonning keng polosali va tor polosali spektrlari; markaziy chiziq chegaralari: ± F 1

Spektr barcha chastotalarda bir xil bo'lganda oq shovqin katta qiziqish uyg'otadi.

Agar 1.158 ifodasi almashtirilsa Vx(ω) = V 0 = const, biz olamiz

bu yerda d (t) delta funksiyasi.

Cheksiz va bir xil spektrli oq shovqin uchun korrelyatsiya funktsiyasi t ning barcha qiymatlari uchun nolga teng. τ = 0 qaysi vaqtda R x (0) cheksizlikka boradi. Cheksiz yupqa tasodifiy chegaralar bilan ignasimon tuzilishga ega bo'lgan bunday shovqin ba'zan delta-korrelyatsiya jarayoni deb ataladi. Oq shovqinning tarqalishi cheksiz katta.

O'z-o'zini tekshirish uchun savollar

Tasodifiy signalning asosiy xususiyatlari qanday?

Tasodifiy signalning korrelyatsiya funktsiyasi va energiya spektri qanday matematik bog'liqdir.

Qaysi tasodifiy jarayon statsionar deb ataladi.

Qaysi tasodifiy jarayon ergodik deb ataladi.

Tor polosali signalning konverti, fazasi va chastotasi qanday aniqlanadi

Qanday signal analitik deb ataladi.

O'zaro quvvat spektral zichligi (o'zaro quvvat spektri) ikkita realizatsiya va statsionar ergodik tasodifiy jarayonlar va ularning o'zaro kovariatsiya funktsiyasi bo'yicha to'g'ridan-to'g'ri Furye konvertatsiyasi sifatida aniqlanadi.

yoki dumaloq va tsiklik chastotalar o'rtasidagi nisbatni hisobga olgan holda,

Teskari Furye konvertatsiyasi o'zaro kovariatsiya funktsiyasi va quvvat spektral zichligi bilan bog'liq:

Xuddi shunday (1.32), (1.33) ga kiritamiz quvvat spektral zichligi (kuch spektri) tasodifiy jarayon

Funktsiya paritet xususiyatiga ega:

O'zaro spektral zichlik uchun quyidagi bog'liqlik to'g'ri keladi:

funktsiya kompleksi qayerga konjugat.

Spektral zichlik uchun yuqoridagi formulalar ham musbat, ham manfiy chastotalar uchun aniqlanadi va deyiladi ikki tomonlama spektral zichliklar ... Ular tizimlar va signallarni analitik o'rganish uchun foydalidir. Amalda ular faqat manfiy bo'lmagan chastotalar uchun aniqlangan va chaqirilgan spektral zichlikdan foydalanadilar bir tomonlama (1.14-rasm):

1.14-rasm - bir tomonlama va ikki tomonlama

spektral zichliklar

Statsionar LB ning bir tomonlama spektral zichligini uning kovariatsiya funksiyasi bilan bog‘lovchi ifodani chiqaramiz:

Statsionar SP va kosinus funksiyasining kovariatsiya funksiyasi uchun paritet xossasini, sinus funksiyasi uchun toqlik xossasini, shuningdek, integrasiya chegaralarining simmetriyasini hisobga olamiz. Natijada, yuqorida olingan ifodadagi ikkinchi integral yo'qoladi va birinchi integralda integrallash chegaralari ikki baravar kamayishi va koeffitsientni ikki barobarga oshirish mumkin:

Shubhasiz, tasodifiy jarayonning quvvat spektral zichligi haqiqiy funktsiyadir.

Xuddi shunday, siz teskari nisbatni olishingiz mumkin:

(1.42) ifodadan shunday xulosa kelib chiqadi

Bu shuni anglatadiki, bir tomonlama spektral zichlik chizmasi ostidagi umumiy maydon tasodifiy jarayonning o'rtacha kvadratiga teng. Boshqacha qilib aytganda, bir tomonlama spektral zichlik jarayonning o'rtacha kvadratining chastotalar bo'yicha taqsimlanishi sifatida talqin qilinadi.

Chastotaning ikkita ixtiyoriy qiymati orasiga o'ralgan bir tomonlama zichlik chizig'i ostidagi maydon spektrning ushbu chastota diapazonidagi jarayonning o'rtacha kvadratiga teng (1.15-rasm):

1.15-rasm - Spektral zichlik xossasi

O'zaro spektral quvvat zichligi murakkab miqdordir, shuning uchun uni eksponensial belgilar orqali ifodalash mumkin. modul va faza burchagi :

modul qayerda;

- faza burchagi;

, mos ravishda funksiyaning haqiqiy va xayoliy qismlari.

O'zaro spektral zichlik moduli muhim tengsizlikka kiritilgan

Bu tengsizlik bizga aniqlash imkonini beradi kogerentlik funktsiyasi (kogerentlik kvadrati), bu normalangan korrelyatsiya funktsiyasining kvadratiga o'xshaydi:

Spektral zichliklarni kiritishning ikkinchi usuli tasodifiy jarayonlarning to'g'ridan-to'g'ri Furye transformatsiyasidir.

Ikki statsionar ergodik tasodifiy jarayon bo'lsin va bo'lsin cheklangan Furye o'zgarishlari -x uzunlikdagi ilovalar sifatida aniqlanadi

Ushbu tasodifiy jarayonlarning ikki tomonlama o'zaro spektral zichligi mahsulotdan foydalanib, munosabatlar orqali kiritiladi.

bu erda kutish operatori indeksning o'rtacha ishini anglatadi.

Tasodifiy jarayonning ikki tomonlama spektral zichligini hisoblash nisbati bo'yicha amalga oshiriladi.

Bir tomonlama spektral zichliklar xuddi shunday kiritiladi:

(1.49), (1.50) formulalar bilan aniqlangan funksiyalar (1.32), (1.33) munosabatlari bilan aniqlangan mos funksiyalar bilan bir xil boʻladi, chunki Furye kovariatsiya funksiyalari ustidan oʻzgartiradi. Ushbu bayonot deyiladi Viner-Xinchin teoremasi.

Nazorat savollari

1. Determinatsion jarayonlarning tasnifini keltiring.

2. Poligarmonik va deyarli davriy jarayonlarning farqi nimada?

3. Statsionar stoxastik jarayonning ta’rifini tuzing.

4. Ergodik tasodifiy jarayon xarakteristikalarini o'rtacha baholashning qaysi usuli afzalroq - namunaviy funktsiyalar ansambli bo'yicha o'rtacha yoki bitta realizatsiyani kuzatish vaqti bo'yicha o'rtacha?

5. Tasodifiy jarayonning ehtimollik taqsimot zichligi ta’rifini tuzing.

6. Statsionar tasodifiy jarayonning korrelyatsiya va kovariatsiya funksiyalarini bog‘lovchi ifodani yozing.

7. Qaysi holatda ikkita tasodifiy jarayon korrelyatsiyasiz hisoblanadi?

8. Statsionar tasodifiy jarayonning o'rtacha kvadratini hisoblash usullarini ko'rsating.

9. Tasodifiy jarayonning spektral zichlik va kovariatsiya funksiyalari qanday transformatsiya bilan bog'liq?

10. Ikki tasodifiy jarayonning kogerentlik funktsiyasi qiymatlari qay darajada o'zgaradi?

Adabiyot

1. Sergienko, A.B. Raqamli signalni qayta ishlash / A.B. Sergienko. - M: Piter, 2002. - 604 p.

2. Sadovskiy, G.A. Axborot va o'lchash texnologiyasining nazariy asoslari / G.A. Sadovskiy. - M .: Oliy maktab, 2008 .-- 480 b.

3. Bendat, D. Korrelyatsiya va spektral tahlilni qo'llash / D. Bendat, A. Pirsol. - M .: Mir, 1983 .-- 312 b.

4. Bendat, D. Tasodifiy jarayonlarni o'lchash va tahlil qilish / D. Bendat, A. Pirsol. - M .: Mir, 1974 .-- 464 b.

Xalqaro ta'lim korporatsiyasi

Amaliy fanlar fakulteti

mavhum

mavzu bo'yicha"Quvvat zichligi spektri va uning korrelyatsiya funktsiyasi bilan aloqasi"

Intizom bo'yicha"Elektr aloqasi nazariyasi »

Amalga oshirilgan: guruh talabasi

FPN-REiT (lar) -4S *

Jumageldin D

Tekshirildi: Gluxova N.V.

Olmaota, 2015 yil

I Kirish

II Asosiy qism

1. Quvvat spektral zichligi

1.1 Tasodifiy o'zgaruvchilar

1.2 Tasodifiy kattalik funksiyasining ehtimollik zichligi

2. Tasodifiy jarayon

3. Spektral quvvat zichligini korrelyatsiya funksiyasi orqali aniqlash usuli

III Xulosa

IV Foydalanilgan adabiyotlar ro'yxati

Kirish

Ehtimollar nazariyasi tasodifiy o'zgaruvchilar va ularning xususiyatlarini "statika" da ko'rib chiqadi. Tasodifiy signallarni "dinamikada" ta'riflash va o'rganish muammolari tasodifiy jarayonlar nazariyasi tomonidan hal qilinadi.

Tasodifiy o'zgaruvchilarni mustaqil o'zgaruvchiga taqsimlash uchun universal koordinata sifatida biz, qoida tariqasida, "t" o'zgaruvchisidan foydalanamiz va uni faqat qulaylik uchun vaqt koordinatasi sifatida ko'rib chiqamiz. Tasodifiy o'zgaruvchilarning vaqt bo'yicha taqsimlanishi, shuningdek ularni har qanday matematik shaklda aks ettiruvchi signallar odatda tasodifiy jarayonlar deb ataladi. Texnik adabiyotlarda "tasodifiy signal" va "tasodifiy jarayon" atamalari sinonim sifatida ishlatiladi.

Jismoniy va texnik ma'lumotlarni qayta ishlash va tahlil qilish jarayonida odatda statistik usullar bilan tavsiflangan uchta signal turi bilan shug'ullanish kerak. Birinchidan, bular, masalan, radionuklidlarning parchalanishi paytida ionlashtiruvchi nurlanish zarralarini ro'yxatga olish aktlari kabi tabiatda ehtimollik bo'lgan jismoniy jarayonlarni aks ettiruvchi axborot signallari. Ikkinchidan, fizik jarayonlar yoki ob'ektlarning ma'lum parametrlariga bog'liq bo'lgan axborot signallari, ularning qiymatlari oldindan ma'lum bo'lmagan va odatda ushbu axborot signallari asosida aniqlanadi. Uchinchidan, bu shovqin va shovqin bo'lib, vaqt o'tishi bilan xaotik ravishda o'zgarib turadi, ular axborot signallari bilan birga keladi, lekin, qoida tariqasida, ularning qiymatlari va vaqt o'zgarishi bo'yicha statistik jihatdan mustaqildir.

Quvvat spektral zichligi

Quvvat spektrining zichligi tasodifiy jarayonning chastota xususiyatlarini baholashga imkon beradi. Turli chastotalarda uning intensivligini yoki boshqacha aytganda, chastota diapazoni birligiga o'rtacha quvvatni tavsiflaydi.

O'rtacha quvvatni chastotalar bo'yicha taqsimlash sxemasi quvvat spektri deb ataladi. Quvvat spektrini o'lchaydigan asbob spektr analizatori deb ataladi. O'lchovlar natijasida topilgan spektr instrumental spektr deb ataladi.

Spektr analizatori quyidagi o'lchash usullariga asoslanadi:

· Filtrlash usuli;

· Viner-Hinxen teoremasi bo'yicha o'zgartirish usuli;

· Furye o'zgartirish usuli;

· Belgi funksiyalaridan foydalanish usuli;

· Ortogonal funksiyalarni apparatda qo'llash usuli.

Quvvat spektrini o'lchashning o'ziga xos xususiyati tajribaning sezilarli davomiyligidir. Ko'pincha u amalga oshirishning mavjudligi yoki o'rganilayotgan jarayonning statsionarligi saqlanadigan vaqtdan oshib ketadi. Statsionar ergodik jarayonni bir marta amalga oshirish natijasida olingan quvvat spektrini baholash har doim ham qabul qilinishi mumkin emas. Ko'pincha ko'plab o'lchovlarni amalga oshirish kerak bo'ladi, chunki vaqt o'tishi bilan ham, ansambl bo'yicha ham amalga oshirishni o'rtacha hisoblash kerak. Ko'pgina hollarda tekshirilayotgan tasodifiy jarayonlarni amalga oshirish oldindan eslab qolinadi, bu esa turli xil ishlov berish algoritmlari va jihozlaridan foydalangan holda tahlil davomiyligini o'zgartirish bilan tajribani ko'p marta takrorlash imkonini beradi.

Tasodifiy jarayonni amalga oshirishning dastlabki qayd etilgan taqdirda, apparat xatolarini amalga oshirishning cheklangan muddati va statsionarlik bilan belgilanadigan qiymatlarga kamaytirish mumkin.

Tahlil qilingan ilovalarni yodlash instrumental tahlilni tezlashtirish va uni avtomatlashtirish imkonini beradi.

Tasodifiy o'zgaruvchilar

Tasodifiy o'zgaruvchi ehtimollik qonunlari bilan tavsiflanadi. Uzluksiz miqdor bo'lish ehtimoli NS o'lchanganda istalgan intervalga tushadi x 1<х <х 2 , ifoda bilan aniqlanadi:

, qayerda p (x)- ehtimollik zichligi, va. Diskret tasodifiy o'zgaruvchi uchun x i P (x = x i) = P i, qayerda P i miqdorning i-darajasiga mos keladigan ehtimollikdir NS.

Statsionar tasodifiy jarayonlarning eng muhim xarakteristikasi - chastota spektri bo'yicha shovqin quvvatining taqsimlanishini tavsiflovchi quvvat spektral zichligi. Tasodifiy oraliqlarda bir-birini ta'qib qiluvchi kuchlanish yoki oqim impulslarining tasodifiy ketma-ketligi bilan ifodalanishi mumkin bo'lgan statsionar tasodifiy jarayonni ko'rib chiqing. Impulslarning tasodifiy ketma-ketligi bilan jarayon davriy emas. Shunga qaramay, biz bunday jarayonning spektri haqida gapirishimiz mumkin, bu holda spektrni chastotalar bo'yicha quvvat taqsimoti sifatida tushunish mumkin.

Shovqinni tavsiflash uchun shovqin kuchi spektral zichligi (PSD) tushunchasi kiritiladi, u umumiy holatda shovqin spektral zichligi (SP) deb ham ataladi, bu munosabat bilan belgilanadi:

qayerda  P(f) chastota diapazonidagi vaqt bo'yicha o'rtacha shovqin kuchi f o'lchov chastotasida f.

(2.10) munosabatdan kelib chiqqan holda, shovqinning SD si Vt / Gts o'lchamiga ega. Umuman olganda, SP chastotaning funktsiyasidir. Shovqin SD ning chastotaga bog'liqligi deyiladi energiya spektri, bu tizimning dinamik xususiyatlari haqida ma'lumotni olib yuradi.

Agar tasodifiy jarayon ergodik bo'lsa, unda siz bunday jarayonning energiya spektrini amalda keng qo'llaniladigan yagona amalga oshirish orqali topishingiz mumkin.

Statsionar tasodifiy jarayonning spektral xususiyatlarini ko'rib chiqishda ko'pincha shovqin spektrining kengligi tushunchasidan foydalanish kerak bo'ladi. Tasodifiy jarayonning energiya spektrining egri chizig'i ostidagi maydon ma'lum bir xarakterli chastotadagi shovqinning SD ga tegishli. f 0 deyiladi samarali spektr kengligi, bu formula bilan aniqlanadi:

(2.11)

Bu qiymat chiziqdagi tasodifiy jarayonning yagona energiya spektrining kengligi sifatida talqin qilinishi mumkin
, ko'rib chiqilayotgan jarayonga o'rtacha quvvatga teng.

Shovqin kuchi P chastota diapazoniga kiritilgan f 1 …f 2 ga teng

(2.12)

Agar chastota diapazonidagi shovqinning SP bo'lsa f 1 ...f 2 doimiy va teng S 0 bo'lsa, ma'lum chastota diapazonidagi shovqin kuchi uchun bizda:
qayerda f=f 2 -f 1 - kontaktlarning zanglashiga olib yoki o'lchash moslamasidan o'tgan chastota diapazoni.

Statsionar tasodifiy jarayonning muhim holati oq shovqin bo'lib, uning uchun spektral zichlik keng chastota diapazonida (nazariy jihatdan cheksiz chastota diapazonida) chastotaga bog'liq emas. Chastota diapazonidagi oq shovqinning energiya spektri -∞< f < + ∞ quyidagicha ifodalanadi:

= 2S 0 = const, (2.13)

Oq shovqin modeli xotirasiz (keyin effektsiz) tasodifiy jarayonni tasvirlaydi. Oq shovqin ko'p sonli oddiy bir hil elementlarga ega tizimlarda paydo bo'ladi va tebranishlar amplitudasining normal qonunga muvofiq taqsimlanishi bilan tavsiflanadi. Oq shovqinning xossalari mustaqil yagona hodisalarning statistikasi bilan aniqlanadi (masalan, o'tkazgich yoki yarimo'tkazgichdagi zaryad tashuvchilarning issiqlik harakati). Biroq, cheksiz tarmoqli kengligi bilan haqiqiy oq shovqin mavjud emas, chunki u cheksiz kuchga ega.

Shaklda. 2.3. oq shovqinning odatiy oscillogrammasini (lahzali kuchlanish qiymatlarining vaqtga bog'liqligini) ko'rsatadi (2.3a-rasm) va lahzali kuchlanish qiymatlarining ehtimollik taqsimoti funksiyasi e, bu normal taqsimotdir (2.3b-rasm). Egri chiziq ostidagi soyali maydon lahzali kuchlanish qiymatlarining paydo bo'lish ehtimoliga mos keladi e qiymatdan oshib ketadi e 1 .

Guruch. 2.3. Oq shovqinning odatiy oscillogrammasi (a) va shovqin kuchlanishining amplitudasining oniy qiymatlarining ehtimollik zichligi funktsiyasi (b).

Amalda, element yoki yarimo'tkazgichli qurilma shovqinining kattaligini baholashda, odatda, rms shovqin kuchlanishi o'lchanadi. V 2 birliklarida yoki A 2 birliklarida rms tok. Bunday holda, shovqinning SD si V 2 / Hz yoki A 2 / Gts birliklarida va kuchlanish tebranishlarining spektral zichliklarida ifodalanadi. S u (f) yoki joriy S I (f) quyidagi formulalar bilan hisoblanadi:

(2.14)

qayerda
va chastota diapazonidagi vaqt bo'yicha o'rtacha shovqin kuchlanishi va oqimdir f mos ravishda. Yuqoridagi satr vaqt bo'yicha o'rtachani bildiradi.

Amaliy masalalarda turli fizik kattaliklarning tebranishlarini ko'rib chiqishda tebranishlarning umumlashtirilgan spektral zichligi tushunchasi kiritiladi. Bunday holda, tebranishlarning SD, masalan, qarshilik uchun R Ohm 2 / Hz birliklarida ifodalangan; magnit induksiyadagi tebranishlar T 2 / Hz birliklarida o'lchanadi va osilator chastotasidagi o'zgarishlar - Hz 2 / Hz = Hz birliklarida.

Bir xil turdagi chiziqli ikki portli tarmoqlarda shovqin darajasini taqqoslashda nisbiy spektral shovqin zichligidan foydalanish qulay bo'lib, u quyidagicha aniqlanadi.

=
, (2.15)

qayerda u- chiziqli ikki portli tarmoqda doimiy kuchlanishning pasayishi.

(2.15) ifodadan ko'rinib turibdiki, nisbiy spektral shovqin zichligi S(f) Hz -1 birliklarida ifodalanadi.

Quvvat spektral zichligini baholash tasodifiy jarayonlar uchun ma'lum muammodir. Tasodifiy jarayonlarga shovqin va axborot tashuvchi signallar misol bo'la oladi. Siz odatda statistik jihatdan ishonchli taxminni topmoqchisiz. Signal tahlili Raqamli signalni qayta ishlash kursida batafsil muhokama qilinadi. Dastlabki ma'lumotlar maqolada keltirilgan.

Statistik xarakteristikalari ma'lum bo'lgan signallar uchun spektral tarkibni ushbu signalning cheklangan oralig'idan aniqlash mumkin. Signalning statistik xarakteristikalari signalning segmenti uchun noma'lum bo'lsa, faqat uning spektrining taxminini olish mumkin. Turli xil usullar turli xil taxminlardan foydalanadi va shuning uchun har xil baho beradi.

Baholashni tanlashda, umumiy holatda, tahlil qilingan signal tasodifiy jarayon ekanligi taxmin qilinadi. Va past dispersiyaga ega xolis bahoni tanlash talab qilinadi, bu signal spektrini o'rtacha hisoblash imkonini beradi. Bias - bu taxmin qilingan o'rtacha qiymat va miqdorning haqiqiy qiymati o'rtasidagi farq. Xolis baholash nolga tenglashtirilgan bahodir. Kam tafovutga ega bo'lgan taxminlar qidirilayotgan qiymatlarni yaxshi mahalliylashtiradi, ya'ni. ehtimollik zichligi o'rtacha atrofida to'plangan. Barqaror reytingga ega bo'lish ma'qul, ya'ni. tanlanma hajmining ortishi bilan haqiqiy qiymatga intiluvchi taxmin (tarafsizlik va dispersiya nolga moyil). Tasodifiy signalning statistik modelidan foydalangan holda va ushbu modelning parametrlarini tanlashda faqat signalning o'zi haqidagi ma'lumotlardan foydalangan holda parametrik baholarni va parametrik bo'lmaganlarni ajratib ko'rsatish.

Tasodifiy jarayonlarni baholashda korrelyatsiya funksiyalaridan foydalanish keng tarqalgan.

Ergodik jarayon uchun jarayonning statistik parametrlarini bitta amalga oshirish bo'yicha o'rtacha hisoblash orqali aniqlash mumkin.

Uchun statsionar tasodifiy jarayon korrelyatsiya funksiyasi R x (t) u aniqlanadigan vaqt oralig'iga bog'liq. Bu qiymat t oralig'i bilan ajratilgan x (t) qiymatlari orasidagi munosabatni tavsiflaydi. R (t) qanchalik sekin pasayadi, tasodifiy jarayonning qiymatlari o'rtasida statistik bog'liqlik mavjud bo'lgan vaqt oralig'i shunchalik uzoq bo'ladi.

Bu erda matematik kutish x (t).

Tasodifiy jarayon uchun korrelyatsiya funktsiyasi R (t) va spektral quvvat zichligi W (w) o'rtasidagi bog'liqlik Wiener-Xinchin teoremasi bilan aniqlanadi.

Diskret jarayonlar uchun Wiener-Xinchin teoremasi diskret tasodifiy jarayonning spektri W (w) va uning korrelyatsiya funktsiyasi R x (n) o'rtasidagi bog'liqlikni o'rnatadi.

W (w) = R x (n) exp (-j w n T)

Vaqt va chastota sohalarida signal energiyasini baholash uchun Parseval tengligi qo'llaniladi

Spektral zichlikni baholashning eng keng tarqalgan usullaridan biri bu periodogramma usulidan foydalanishdir.

Periodogramma Bu usulda uzunligi N namunali diskret tanlab olish nuqtalarida ko'rsatilgan x (n) signali va uning statistik o'rtacha qiymati uchun diskret Furye konvertatsiyasi amalga oshiriladi. Spektrning haqiqiy hisob-kitobi, X (k) faqat N chastota nuqtalarining cheklangan sonida amalga oshiriladi. Tez Furye Transformatsiyasi (FFT) qo'llaniladi. Namuna uchun spektral quvvat zichligi hisoblanadi:

P xx (X k) = |X (k) | 2 / N, X (k) =, k = 0,1, ..., N-1.

Statistik jihatdan ishonchli taxminni olish uchun mavjud ma'lumotlar bir-birining ustiga chiqadigan namunalarga bo'linadi, so'ngra har bir namuna uchun olingan spektrlarning o'rtacha qiymati olinadi. N namunadagi namunalar soni va har bir keyingi namunaning boshlanishining oldingi N t boshiga nisbatan siljishi o'rnatiladi. Namunadagi namunalar soni qanchalik kichik bo'lsa, namunalar shunchalik ko'p bo'ladi va taxminlarning farqi shunchalik past bo'ladi. Lekin namuna uzunligi N chastota o'lchamlari (2.4) bilan bog'liq bo'lganligi sababli, namuna uzunligining pasayishi chastota aniqligining pasayishiga olib keladi.

Shunday qilib, signal oyna orqali ko'riladi va oynaga tushmagan ma'lumotlar nolga teng bo'ladi. N ta namunadan iborat yakuniy signal x (n) odatda cheksiz signalni vaqt ichida ko'paytirish natijasi sifatida ifodalanadi. (n) chekli uzunligi w R (n) bo'lgan to'rtburchaklar oynada:

x (n) = (n)∙ w R (n),

va kuzatilgan signallarning x (n) uzluksiz spektri X N (f) vaqt cheksiz signalining Furye tasvirlari X (f), W R (f) konvolyutsiyasi sifatida aniqlanadi. (n)∙ va Windows w R (n)

X N (f) = X (f) * W R (f) =

Uzluksiz to'rtburchak oynaning spektri (to'g'ri) integral sinc sinc (x) = sin (x) / x shaklida bo'ladi. U asosiy "lob" va bir nechta yon bo'laklarni o'z ichiga oladi, ulardan eng kattasi asosiy tepalikdan taxminan 13 dB pastda (15-rasmga qarang).

Uzluksiz to‘rtburchak oynadan N nuqtali tanlab olish natijasida olingan diskret ketma-ketlikning Furye konvertatsiyasi (spektri) 32-rasmda ko‘rsatilgan. Uni siljitilgan integral sinuslarni (2.9) yig'ish yo'li bilan hisoblash mumkin, natijada Dirixlet yadrosi hosil bo'ladi.

Guruch. 32. Diskret to'rtburchak oynaning spektri

Cheksiz signal o'z kuchini f k diskret chastotasida to'plagan bo'lsa, signalning to'rtburchaklar namunasi taqsimlangan quvvat spektriga ega. Namuna qanchalik qisqa bo'lsa, spektr shunchalik ko'p taqsimlanadi.

Spektral tahlilda ma'lumotlar oyna funktsiyalari yordamida tortiladi va shu bilan yon "loblar" ning spektral baholarga ta'sirini kamaytiradi.

Yaqin chastotali ikkita f 1 va f 2 harmonikalarini aniqlash uchun T vaqt oynasi uchun asosiy "lob" kengligi Df -3 ≈ Df L = 0 = 1 / T, -3 qiymatida aniqlanishi kerak. dB, izlangan chastotalar orasidagi farqdan kamroq edi

Df = f 1 -f 2> Df -3

Vaqt oynasining kengligi T namuna olish chastotasi f s va (2.4) formula bo'yicha namuna olish namunalari soniga bog'liq.

Garmonik tahlil vositalari... Signallarni o'rganish uchun MATLAB paketidan, xususan, uning Signal Processing ilovasidan (Toolbox) foydalanish juda qulay.

O'zgartirilgan periodogramlar Gibbs effektini kamaytiradigan to'rtburchaklar bo'lmagan oynalash funktsiyalaridan foydalaning. Misol sifatida Hamming oynasidan foydalanish mumkin. Ammo shu bilan birga, spektrogrammaning asosiy lobining kengligi taxminan ikki barobar ortadi. Kaiser oynasi biroz optimallashtirilgan. Past o'tkazgichli filtrlarni yaratishda asosiy loblarning kengligini oshirish o'tish bandining oshishiga olib keladi (o'tish va to'xtash bantlari o'rtasida).

Welchning taxminiy funktsiyasi... Usul ketma-ket vaqt ma'lumotlarini segmentlarga bo'lish (ehtimol, bir-birining ustiga chiqishi bilan), so'ngra har bir segmentni qayta ishlash va keyin segmentlarni qayta ishlashni o'rtacha hisoblash orqali spektrni baholashdan iborat. Xemming oynasi kabi to'rtburchaklar bo'lmagan oynalash funktsiyalari ballni yaxshilash uchun ishlatilishi mumkin. Segmentlar sonini ko'paytirish dispersiyani kamaytiradi, lekin shu bilan birga, usulning chastota o'lchamlari pasayadi. Usul shovqin ustidan foydali signalning kichik ortig'i bilan yaxshi natijalar beradi va ko'pincha amalda qo'llaniladi.

33-rasmda turli xil namunalarda (N = 100, N = 67) va turli usullardan foydalangan holda tor diapazonli qidiruv signallari va oq shovqinni o'z ichiga olgan ma'lumotlarning harmonik tarkibining taxminlari ko'rsatilgan.

Guruch. 33. 1024 nuqtali FFT-transformatsiyasi uchun signal harmonikasini baholash

Parametrik usullar avtoregressiv (AR) modellardan foydalaning. Usullar filtr modellarini yaratadi va ulardan signal spektrlarini baholash uchun foydalanadi. Barcha usullar signalda shovqin mavjudligida noxolis baho beradi. Shovqin fonida garmonik komponentlar bilan signallarni qayta ishlash usullari mo'ljallangan. Usulning (filtrning) tartibi signalda mavjud bo'lgan harmonikalar sonining ikki barobariga o'rnatiladi. Bir qancha parametrik usullar taklif qilingan.

Burg usuli qisqa namunalar uchun yuqori chastotali ruxsat beradi. Katta filtr tartibi bilan spektral tepaliklar bo'linadi. Spektral cho'qqilarning holati dastlabki garmonik fazalarga bog'liq.

Kovariatsiya usuli garmonik komponentlar yig'indisini o'z ichiga olgan signal spektrini baholashga imkon beradi.

Yule-Walker usuli uzoq namunalarda yaxshi natijalar beradi va qisqa namunalar uchun tavsiya etilmaydi.

Korrelyatsiya usullari... MISIC (Multiple Signal Classification) va EV (eigenvektorlar) usullari psevdospektr ko'rinishidagi natijalarni beradi. Usullar signal korrelyatsiya matritsasi vektorlarini tahlil qilishga asoslangan. Ushbu usullar avtokorrelyatsiya usullariga qaraganda bir oz yaxshiroq chastota aniqligini beradi.