Ikki o'zgaruvchili funktsiya chegarasi.
Tushuncha va yechimlar misollari

Uchinchi bog'liq darsga xush kelibsiz FNP, bu erda sizning barcha qo'rquvlaringiz nihoyat ro'yobga chiqa boshladi =) Ko'pchilik gumon qilganidek, chegara tushunchasi ixtiyoriy sonli argumentlar funktsiyasini qamrab oladi, biz bugun buni aniqlashimiz kerak. Biroq, optimistik yangiliklar bor. Bu shundan iboratki, chegarada ma'lum darajada mavhum va tegishli vazifalar amalda juda kam uchraydi. Shu munosabat bilan, bizning e'tiborimiz ikkita o'zgaruvchining funktsiyasi chegaralariga qaratiladi yoki biz buni tez-tez yozamiz:.

Ko'pgina g'oyalar, tamoyillar va usullar "normal" chegaralar nazariyasi va amaliyotiga o'xshaydi, ya'ni bu nuqtada siz buni qilishingiz kerak. chegaralarni topa olish va eng muhimi, nima ekanligini TUSHUNING yagona o'zgaruvchan funktsiya chegarasi... Va taqdir sizni ushbu sahifaga olib kirishi bilan, ehtimol siz ko'p narsani bilasiz. Va agar bo'lmasa - bu yaxshi, barcha bo'shliqlar haqiqatan ham bir necha soat va hatto daqiqalarda to'ldirilishi mumkin.

Ushbu dars voqealari bizning uch o'lchovli dunyomizda sodir bo'ladi va shuning uchun ularda faol ishtirok etmaslik juda katta e'tiborsizlik bo'lar edi. Birinchidan, taniqli quramiz fazodagi kartezyen koordinatalar tizimi... Keling, turamiz va xonani bir oz aylanib chiqamiz ... ... siz yurgan pol - samolyot. Keling, biror joyga o'q qo'yaylik ... yaxshi, masalan, har qanday burchakka to'sqinlik qilmasligi uchun. Yaxshi. Endi yuqoriga qarang va u yerda yoyilgan adyol osilganligini tasavvur qiling. bu sirt funksiya tomonidan berilgan. Bizning poldagi harakatimiz, tushunish oson, mustaqil o'zgaruvchilarning o'zgarishini simulyatsiya qiladi va biz faqat adyol ostida harakat qilishimiz mumkin, ya'ni. v ikki oʻzgaruvchili funksiyaning sohalari... Ammo zavq endi boshlanmoqda. Buruningizning uchida kichkina hamamböceği adyol bo'ylab sudralib yuradi, qaerga borsangiz, u erga boradi. Keling, uni Freddi deb ataylik. Uni ko'chirish mos keladigan funksiya qiymatlarini o'zgartirishga taqlid qiladi. (sirt yoki uning qismlari tekislikka parallel bo'lgan va balandligi o'zgarmaydigan hollar bundan mustasno)... Hurmatli Freddi ismli o'quvchi, xafa bo'lmang, bu fan uchun kerak.

Qo'llarimizga ovni olib, adyolni o'zboshimchalik bilan teshib qo'ying, uning balandligini biz belgilaymiz, shundan so'ng biz asbobni aniq teshik ostida polga yopishtiramiz - bu nuqta bo'ladi. Endi boshlaymiz cheksiz yaqin berilgan nuqtaga yaqinlashish , va biz har qanday traektoriya bo'yicha yaqinlashish huquqiga egamiz (har bir nuqta, albatta, ta'rif sohasiga kiritilgan)... Agar BARCHA hollarda Freddi qiladi cheksiz yaqin ponksiyongacha balandlikka va AYNAN SHU BO'YLIKGA emaklab o'ting, keyin funksiya nuqtada chegaraga ega bo'ladi. :

Agar bu sharoitda teshilgan nuqta adyolning chetida joylashgan bo'lsa, unda chegara hali ham mavjud bo'ladi - bu juda muhim o'zboshimchalik bilan kichik mahalla awlning uchlari funksiya ta'rifi domenidan kamida bir nechta nuqtalar edi. Bundan tashqari, vaziyatda bo'lgani kabi bir o'zgaruvchining funksiya chegarasi, ahamiyati yo'q funksiya nuqtada aniqlangan yoki aniqlanmagan. Ya'ni, bizning ponksiyonimizni saqich bilan yopish mumkin. (o'ylab ko'ring ikkita o'zgaruvchining funktsiyasi uzluksiz) va bu vaziyatga ta'sir qilmaydi - esda tutingki, chegaraning mohiyati shuni anglatadi cheksiz yaqinlik, va nuqtaga "aniq yondashuv" emas.

Biroq, bulutsiz hayot, uning ukasidan farqli o'laroq, chegara ko'pincha yo'qligi bilan soyalanadi. Buning sababi shundaki, odatda samolyotda u yoki bu nuqtaga yo'llar juda ko'p va ularning har biri Freddini ponksiyonga olib borishi kerak. (ixtiyoriy ravishda "saqich bilan muhrlangan") va qat'iy ravishda balandlikka. Va bir xil darajada g'alati tanaffuslarga ega bo'lgan juda ko'p g'alati sirtlar mavjud, bu esa ba'zi nuqtalarda ushbu qat'iy shartning buzilishiga olib keladi.

Keling, eng oddiy misolni tashkil qilaylik - qo'llarimizga pichoqni olib, adyolni kesib oling, shunda teshilgan nuqta kesilgan chiziqda yotadi. E'tibor bering, chegara hali ham mavjud, yagona narsa shundaki, biz kesilgan chiziq ostidagi nuqtalarga kirish huquqini yo'qotdik, chunki bu maydon "tushib ketgan" funktsiya domeni... Endi adyolning chap tomonini eksa bo'ylab ehtiyotkorlik bilan ko'taring va o'ng tomoni, aksincha, uni pastga siljiting yoki hatto joyida qoldiring. Nima o'zgardi? Va quyidagilar tubdan o'zgardi: agar biz nuqtaga chap tomondan yaqinlashsak, Freddi biz bu nuqtaga o'ngdan yaqinlashganimizdan ko'ra kattaroq balandlikda bo'ladi. Shunday qilib, chegara yo'q.

Va albatta ajoyib chegaralar, ularsiz qaerda. Har tomonlama ibratli misolni ko'rib chiqing:

11-misol

Biz og'riqli tanish trigonometrik formuladan foydalanamiz, bu erda biz tartibga solamiz birinchi ajoyib chegaralar :

Keling, qutb koordinatalariga o'tamiz:
Agar, keyin

Ko'rinishidan, qaror mantiqiy natijaga olib keladi va hech narsa muammo tug'dirmaydi, lekin oxirida jiddiy xatoga yo'l qo'yish xavfi katta, uning tabiati men 3-misolda biroz ishora qilgan va keyin batafsil tavsiflangan. Misol 6. Avval oxiri, keyin izoh:

Keling, nima uchun oddiygina "cheksizlik" yoki "ortiqcha cheksizlik" ni yozish yomon ekanligini bilib olaylik. Keling, maxrajni ko'rib chiqaylik: beri, keyin qutb radiusi moyil bo'ladi cheksiz kichik ijobiy qiymat:. Bundan tashqari, . Shunday qilib, maxrajning belgisi va butun chegara faqat kosinusga bog'liq:
qutb burchagi bo'lsa (2 va 3-koordinatalar choraklari:);
qutb burchagi bo'lsa (1 va 4-koordinatalar choraklari :).

Geometrik jihatdan, bu shuni anglatadiki, agar siz boshlang'ichga chapdan yaqinlashsangiz, u holda funktsiya tomonidan aniqlangan sirt , pastga qarab cheksizgacha cho'ziladi:

Bir nechta o'zgaruvchilar funksiyasining chegarasi tushunchasini berish uchun biz ikkita o'zgaruvchining holati bilan cheklanamiz. NS va da... Ta'rifga ko'ra, funktsiya f (x, y) nuqtada chegarasi bor ( NS 0 , da 0) raqamga teng A, quyidagicha ifodalangan:

(ko'proq yozing f (x, y)>A da (x, y)> (NS 0 , da 0)) agar u nuqtaning ba'zi qo'shnilarida aniqlangan bo'lsa ( NS 0 , da 0), bu nuqtaning o'zi va agar chegara mavjud bo'lsa, bundan mustasno

nimaga intilmasin ( NS 0 , da 0) nuqtalar ketma-ketligi ( x k , y k).

Xuddi bitta o'zgaruvchining funktsiyasida bo'lgani kabi, siz ikkita o'zgaruvchining funktsiyasi chegarasining boshqa ekvivalent ta'rifini kiritishingiz mumkin: funktsiya f nuqtada bor ( NS 0 , da 0) chegaraga teng A agar u nuqtaning biron bir qo'shnisida aniqlangan bo'lsa ( NS 0 , da 0) bu nuqtaning o'zi bundan mustasno va har qanday e> 0 uchun q> 0 bo'ladi, shundayki

| f (x, y) - A | < е (3)

Barcha uchun (x, y)

0 < < д. (4)

Bu ta'rif, o'z navbatida, quyidagiga ekvivalentdir: har qanday e> 0 uchun nuqtaning q-qo'shnisi mavjud ( NS 0 , da 0) hamma uchun ( x, y) shu mahalladan, boshqa (( NS 0 , da 0), tengsizlik (3) bajariladi.

Ixtiyoriy nuqtaning koordinatalari ( x, y) nuqta qo'shnisi ( NS 0 , da 0) kabi yozilishi mumkin x = x 0 + D NS, y = y 0 + D da, u holda (1) tenglik quyidagi tenglikka ekvivalent bo'ladi:

Nuqtaning qo'shnisida aniqlangan ba'zi funksiyalarni ko'rib chiqing ( NS 0 , da 0), ehtimol bu nuqtaning o'zi bundan mustasno.

U = (u NS, SCH da) - uzunligi bir bo'lgan ixtiyoriy vektor (| u | 2 = u NS 2 + u da 2 = 1) va t> 0 skalardir. Shakl nuqtalari ( NS 0 + t SCH NS , y 0 + t SCH da) (0 < t)

dan chiqadigan nur hosil qiladi ( NS 0 , da 0) u vektor yo'nalishi bo'yicha. Har bir u uchun biz funktsiyani ko'rib chiqishimiz mumkin

f (NS 0 + t SCH NS , y 0 + t SCH da) (0 < t < д)

skalyar o'zgaruvchidan t, bu yerda q yetarlicha kichik son.

Ushbu funktsiyaning chegarasi (bitta o'zgaruvchi t)

f (NS 0 + t SCH NS , y 0 + t SCH da),

f nuqtada ( NS 0 , da 0) u yo'nalishi bo'yicha.

1-misol. Funksiyalar

tekislikda aniqlangan ( x, y) nuqtadan tashqari NS 0 = 0, da 0 = 0. Bizda (buni hisobga oling va):

(e> 0 uchun biz d = e / 2 va keyin | ni qo'yamiz f (x, y)| < е, если < д).

undan ko'rinib turibdiki, turli yo'nalishdagi (0, 0) nuqtadagi m chegarasi umuman boshqacha (nurning birlik vektori) y = kx, NS> 0, shaklga ega

2-misol. O'ylab ko'ring R 2 funksiya

(NS 4 + da 2 ? 0).

Bu funktsiya har qanday to'g'ri chiziqdagi (0, 0) nuqtada y = kx boshlang'ich nuqtadan o'tish nolga teng chegaraga ega:

da NS > 0.

Biroq, bu funksiya (0, 0) nuqtalarida chegaraga ega emas, chunki for y = x 2

Funktsiyani yozamiz f nuqtaning ba'zi qo'shnilarida aniqlanadi ( NS 0 , da 0), nuqtaning o'zi bundan mustasno ( NS 0 , da 0) va har qanday uchun N> 0 bo'lsa, q> 0 shunday bo'ladi

| f (x, y)| > N,

0 dan beri< < д.

Siz chegara haqida ham gapirishingiz mumkin f, qachon NS, da > ?:

A(5) tenglikni har qanday e> 0 uchun shunday bo'lishi ma'nosida tushunish kerak N> 0, bu hamma uchun NS, da buning uchun | x| > N, |y| > N, funktsiyasi f aniqlanadi va tengsizlik

| f (x, y) - A| < е.

Tengliklar haqiqatdir

qayerda bo'lishi mumkin NS > ?, da>?. Bundan tashqari, odatdagidek, chegaralar mavjud bo'lsa, ularning chap tomonida chegaralar (cheklangan) mavjud f va c.

Misol uchun (7) ni isbotlaymiz.

Bo'lsin ( x k , y k) > (NS 0 , da 0) ((x k , y k) ? (NS 0 , da 0)); keyin

Shunday qilib, (9) ning chap tomonidagi chegara mavjud va (9) ning o'ng tomoniga teng va ketma-ketlik ( x k , y k) moyil bo'ladi ( NS 0 , da 0) har qanday qonunga ko'ra, u holda bu chegara funktsiya chegarasiga teng bo'ladi f (x, y) c (x, y) nuqtada ( NS 0 , da 0).

Teorema. agar funktsiya f (x, y) nuqtada nolga teng chegaraga ega ( NS 0 , da 0), ya'ni.

u holda hamma uchun shunday q> 0 mavjud NS, da tengsizliklarni qondirish

0 < < д, (10)

tengsizlikni qanoatlantiradi

Shuning uchun, bunday uchun (x, y)

bular. tengsizlik (11) bajariladi. Ko'rsatilganlar uchun (12) tengsizlikdan (x, y) u qayerdan kelib chiqadi A> 0 va da

A < 0 (сохранение знака).

Ta'rifga ko'ra, funktsiya f (x) = f (x 1 , …, x n ) = A nuqtada chegarasi bor

x 0 = raqamga teng A, quyidagicha ifodalangan:

(ko'proq yozing f (x) > A (x > x 0)) agar u nuqtaning ba'zi qo'shnilarida aniqlangan bo'lsa x 0, o'zi uchun bundan mustasno va agar chegara bo'lsa

nimaga intilish bo'lishidan qat'iy nazar x 0 nuqtalar ketma-ketligi NS k belgilangan mahalladan ( k= 1, 2, ...) tashqari x 0 .

Boshqa ekvivalent ta'rif quyidagicha: funktsiya f nuqtaga ega x 0 chegarasi ga teng A agar u nuqtaning ba'zi bir mahallasida aniqlangan bo'lsa x 0, bundan mustasno, ehtimol, o'zi uchun va har qanday e> 0 uchun q> 0 mavjud, shundayki

Barcha uchun NS tengsizliklarni qondirish

0 < |x - x 0 | < д.

Bu ta'rif, o'z navbatida, quyidagilarga ekvivalentdir: har qanday e> 0 uchun mahalla mavjud. U (x 0 ) ball x 0 hamma uchun shunday xU (x 0 ) , NS ? x 0, tengsizlik (13) bajariladi.

Shubhasiz, agar raqam bo'lsa A chegarasi bor f (x) v x 0, keyin A funktsiya chegarasi mavjud f (x 0 + h) dan h nol nuqtada:

va teskari.

Ba'zi funktsiyani ko'rib chiqing f punkt mahallasining barcha nuqtalarida berilgan x 0, ehtimol nuqtadan tashqari x 0; let u = (u 1, ..., u NS) - uzunligi bir bo'lgan ixtiyoriy vektor (| u | = 1) va t> 0 skalardir. Ko'rish nuqtalari x 0 + t u (0< t) dan chiquvchi shakl x u vektor yo'nalishi bo'yicha 0 nur. Har bir u uchun biz funktsiyani ko'rib chiqishimiz mumkin

(0 < t < д щ)

skalyar o'zgaruvchidan t, bu yerda d u u ga bog'liq son. Ushbu funktsiyaning chegarasi (bitta o'zgaruvchidan t)

agar mavjud bo'lsa, uni chegara deb atash tabiiy f nuqtada x 0 vektor u yo'nalishi bo'yicha.

Funktsiyani yozamiz f ba'zi bir mahallada aniqlangan x 0, ehtimol bundan mustasno x 0 va hamma uchun N> 0 bor q> 0 shundayki | f (x)| > N, 0 dan beri< |x - x 0 | < д.

Siz chegara haqida gapirishingiz mumkin f, qachon NS > ?:

Masalan, chekli sonda A Tenglik (14) har qanday e> 0 uchun buni ko'rsatishi mumkin degan ma'noda tushunilishi kerak. N> 0, bu ball uchun NS buning uchun | x| > N, funktsiyasi f aniqlanadi va tengsizlik yuzaga keladi.

Shunday qilib, funktsiyaning chegarasi f (x) = f (x 1 , ..., NS NS ) dan NS o'zgaruvchilar ikki o'zgaruvchining funksiyasi kabi analogiya bilan aniqlanadi.

Shunday qilib, biz bir nechta o'zgaruvchilar funksiyasining chegarasi ta'rifiga murojaat qilamiz.

Raqam A funksiyaning chegarasi deyiladi f (M) da M > M 0, agar biron bir raqam uchun e> 0 bo'lsa, har qanday nuqta uchun g> 0 har doim shunday raqam mavjud M dan boshqa M 0 va shartni qondirish | MM 0 | < д, будет иметь место неравенство | f (M) - A | < е.

Limit ikki o'zgaruvchining funksiyasi holatida belgilanadi

Limit teoremalari. Funktsiyalar bo'lsa f 1 (M) va f 2 (M) da M > M 0 har biri chekli chegaraga intiladi, keyin:

1-misol. Funksiya chegarasini toping:

Yechim. Biz chegarani quyidagicha o'zgartiramiz:

Bo'lsin y = kx, keyin

2-misol. Funksiya chegarasini toping:

Yechim. Keyin birinchi ajoyib chegaradan foydalanamiz

3-misol. Funksiya chegarasini toping:

Yechim. Keyin biz ikkinchi ajoyib chegaradan foydalanamiz

Samolyot va tizimni ko'rib chiqing Oksi Undagi kartezian to'rtburchaklar koordinatalari (boshqa koordinatalar tizimlarini ham ko'rib chiqishingiz mumkin).

Biz analitik geometriyadan bilamizki, har bir raqam juftligi tartiblangan (x, y) bitta nuqtaga mos kelishingiz mumkin M tekislik va aksincha, har bir nuqtaga M samolyot bitta juft songa mos keladi.

Shuning uchun, keyingi gaplarda, nuqta haqida gapirganda, biz ko'pincha mos keladigan raqamlar juftligini nazarda tutamiz (x, y) va teskari.

Ta'rif 1.2 raqamlar juftligi to'plami (x, y) tengsizliklarni qanoatlantiruvchi to'rtburchak (ochiq) deyiladi.

Tekislikda u tomonlari koordinata o'qlariga parallel va markazda joylashgan to'rtburchak shaklida tasvirlanadi (1.2-rasm). M 0 (x 0 y 0 ) .

To'rtburchak odatda quyidagi belgi bilan belgilanadi:

Keling, keyingi taqdimot uchun muhim kontseptsiyani kiritaylik: nuqta qo'shnisi.

Ta'rif 1.3 To'rtburchak δ -Turar joy dahasi ( delta mahallasi ) ball M 0 (x 0 y 0 ) to'rtburchaklar deb ataladi

nuqtada markazlashtirilgan M 0 va bir xil uzunlikdagi tomonlari bilan 2d .

Ta'rif 1.4 Circular δ - punktning qo'shnisi M 0 (x 0 y 0 ) radiusli doira deyiladi δ nuqtada markazlashtirilgan M 0 , ya'ni nuqtalar to'plami M (xy) koordinatalari tengsizlikni qanoatlantiruvchi:

Siz mahallalar va boshqa turlar tushunchasini kiritishingiz mumkin, lekin texnik masalalarni matematik tahlil qilish maqsadlarida, asosan, faqat to'rtburchaklar va aylanali mahallalar qo'llaniladi.

Ikki o‘zgaruvchili funksiya chegarasining quyidagi tushunchasini kiritamiz.

Funktsiyaga ruxsat bering z = f (x, y) ba'zi sohalarda aniqlanadi ζ va M 0 (x 0 y 0 ) - bu hududning ichida yoki chegarasida yotgan nuqta.

Ta'rif 1.5 Chekli son A chaqirdi f (x, y) funksiyaning chegarasi da

har qanday ijobiy raqam uchun ε bunday ijobiy raqamni topishingiz mumkin δ bu tengsizlik

barcha nuqtalar uchun bajariladi M (x, y) hududdan ζ dan boshqa M 0 (x 0 y 0 ) koordinatalari tengsizliklarni qanoatlantiruvchi:

Ushbu ta'rifning ma'nosi shundaki, funktsiya qiymatlari f (x, y) nuqtaning etarlicha kichik qo'shnisidagi nuqtalarda A sonidan o'zboshimchalik bilan kam farq qiladi M 0 .

Bu erda ta'rif to'rtburchaklar mahallalarga asoslangan M 0 ... Nuqtaning dumaloq mahallalarini ko'rib chiqish mumkin M 0 keyin esa tengsizlikning bajarilishini talab qilish kerak bo'ladi

barcha nuqtalarda M (x, y) hududlar ζ dan boshqa M 0 va shartni qondirish:

Nuqtalar orasidagi masofa M va M 0 .

Quyidagi chegara belgilaridan foydalaniladi:

Ikki o'zgaruvchili funktsiya chegarasining ta'rifini hisobga olgan holda, bitta o'zgaruvchining funktsiyalari chegaralari haqidagi asosiy teoremalarni ikkita o'zgaruvchili funktsiyalarga o'tkazish mumkin.

Masalan, ikkita funktsiya yig'indisi, ko'paytmasi va bo'limining chegarasi haqidagi teoremalar.

§3 Ikki o‘zgaruvchili funksiyaning uzluksizligi

Funktsiyaga ruxsat bering z = f (x, y) nuqtada aniqlanadi M 0 (x 0 y 0 ) va uning atrofi.

Ta'rif 1.6 Funktsiya nuqtada uzluksiz deyiladi M 0 (x 0 y 0 ) , agar

Agar funktsiya f (x, y) nuqtada uzluksiz M 0 (x 0 y 0 ) , keyin

Shu darajada

Ya'ni, agar funktsiya f (x, y) nuqtada uzluksiz M 0 (x 0 y 0 ) , keyin bu mintaqadagi argumentlarning cheksiz kichik o'sishi cheksiz kichik o'sishlarga to'g'ri keladi dz funktsiyalari z .

Buning aksi ham to‘g‘ri: agar argumentlarning cheksiz kichik o‘sishi funksiyaning cheksiz kichik o‘sishiga to‘g‘ri kelsa, u holda funksiya uzluksiz bo‘ladi.

Mintaqaning har bir nuqtasida uzluksiz bo'lgan funksiya mintaqada uzluksiz deyiladi. Ikki o'zgaruvchining uzluksiz funktsiyalari uchun, shuningdek, bir o'zgaruvchining intervalda uzluksiz bo'lgan funktsiyasi uchun Veyershtras va Bolzano - Koshining asosiy teoremalari o'rinlidir.

Ma’lumotnoma: Karl Teodor Vilgelm Veyershtras (1815 – 1897) – nemis matematigi. Bernard Bolzano (1781 - 1848) - chex matematiki va faylasufi. Avgustin Lui Koshi (1789 - 1857) - fransuz matematigi, Fransiya Fanlar akademiyasining prezidenti (1844 - 1857).

1.4-misol. Funksiyaning uzluksizligini tekshirish

Ushbu funktsiya o'zgaruvchilarning barcha qiymatlari uchun aniqlanadi x va y maxraj yo'qolib ketadigan kelib chiqishi bundan mustasno.

Polinom x 2 + y 2 hamma joyda uzluksiz va shuning uchun uzluksiz funktsiyaning kvadrat ildizi uzluksizdir.

Kasr hamma joyda uzluksiz bo'ladi, maxraj nolga teng bo'lgan nuqtalardan tashqari. Ya'ni, ko'rib chiqilayotgan funktsiya butun koordinata tekisligida uzluksizdir Ooh kelib chiqishi bundan mustasno.

1.5-misol. Funksiyaning uzluksizligini tekshirish z = tg (x, y) ... Tangens argumentning barcha cheklangan qiymatlari uchun aniqlangan va uzluksizdir, qiymatning toq soniga teng qiymatlardan tashqari p / 2 , ya'ni. bu erdagi nuqtalar bundan mustasno

Har bir sobit uchun "k" (1.11) tenglama giperbolani aniqlaydi. Shuning uchun ko'rib chiqilayotgan funktsiya uzluksiz funktsiyadir x va y , egri chiziqlarda yotgan nuqtalar bundan mustasno (1.11).

5.1. Vektor funksiya va koordinata funksiyalari.

5.2. Vektor funksiyaning uzluksizligi. Vektor funksiyaning chegarasi.

5. Vektor funksiyaning hosilasi va differensialligi, geometrik talqini.Fazodagi egri chiziqqa teginish tenglamalari. (5.3)

5.3. Vektor funksiyaning hosilasi va differensiali.

5.3.1. Vektor funksiya hosilasining ta’rifi va geometrik talqini.

5.3.2. Vektor funksiyaning differensiali.

5.3.3. Farqlash qoidalari.

5.3.4. Uch o'lchovli fazoda egri chiziqqa teginish chizig'ining tenglamalari.

6. F: Rnr – bir necha (ko‘p) real o‘zgaruvchilarning real funksiyalari.

6.1. Bir necha o‘zgaruvchili funksiyaning chegarasi va uzluksizligi.

6.1.1. Bir nechta o'zgaruvchilar funksiyasining chegarasi. Takroriy cheklovlar.

6.1.2. Bir necha o‘zgaruvchili funksiyaning uzluksizligi.

6.1.3. Bir necha o‘zgaruvchili funksiyaning chegaraviy xossalari. Bir nuqtada uzluksiz funksiyalarning xossalari.

8. Ikki o‘zgaruvchili funksiya chegarasi. Ikki martalik chegarani takrorlash bilan bog'lash. (6.1.1)

6.1.1. Bir nechta o'zgaruvchilar funksiyasining chegarasi. Takroriy cheklovlar.

9.Qisman hosila ta’rifi. Yuqori darajadagi qisman hosilalar. Aralash hosila teoremasi. (6.2.3, 6.3.1)

6.2.3. Qisman hosilalar.

10. Ikki o‘zgaruvchining differentsiallanuvchi funksiyasining ta’rifi. Differensiallik va uzluksizlik va qisman hosilalarning mavjudligi o'rtasidagi bog'liqlik (6.2.4)

6.2.4. Differensiallik va qisman hosilalarning mavjudligi o'rtasidagi bog'liqlik. Differentsial o'ziga xoslik.

11. Ikki o‘zgaruvchili funksiyaning differentsialligi. Differensial yordamida taxminiy hisob-kitoblar. Tangens tekisligi. (6.2.1, 6.2.5, 6.2.6)

6.2.1. Differentsial funksiya. Differensial.

6.2.6. Ikki o'zgaruvchili funktsiyaning differentsialligining geometrik talqini. Funksiya grafigiga teginish tekisligi.

12. Differensial shaklining o'zgarmasligi. Murakkab funksiyalar uchun qisman differentsial formulalar (6.2.9)

13. Differensial shaklining o'zgarmasligi. Yashirin funksiyalarning qisman hosilalari uchun formulalar. (6.2.10)

6.2.10. Yashirin funksiya mavjudligi teoremasi. Yashirin funktsiyaning hosilasi (qisman hosilalari).

14. Yo‘nalishli hosila. Uni hisoblash formulasi. (6.2.7)

15. Funksiyaning nuqtadagi gradienti. Gradientning yo'nalishi va uzunligining geometrik ma'nosi. Gradientning sathning chizig'iga yoki yuzasiga nisbatan yo'nalishi. (6.2.8)

17. Yuqori darajali differensiallar. f (X, y) uchun Teylor formulasi. (6.4)

18. f (X, y) funksiyaning ekstremumi uchun zarur va yetarli shartlar. (6.5.1-6.5.3)

6.5.2. Bir nechta o'zgaruvchilar funksiyasining mahalliy ekstremum uchun zaruriy sharti.

6.5.3. Bir nechta o'zgaruvchili funktsiyaning mahalliy ekstremumi uchun etarli shart.

20. Yopiq chegaralangan sohadagi ikkita o‘zgaruvchining differentsiallanuvchi funksiyasining eng katta va eng kichik qiymatlari. Ularni topish algoritmi. (6.7)

21. Eng kichik kvadratlar usuli. (6.8)

6.1. Bir necha o‘zgaruvchili funksiyaning chegarasi va uzluksizligi.

R n - metrik fazo:

uchun M 0 (x, x,…, x) va M(NS 1 , NS 2 , …, NS n) ( M 0 , M) = .

n= 2: uchun M 0 (x 0 , y 0), M (x, y) ( M 0 , M) =
.

Point mahallasi M 0 U  (M 0) = - radiusli aylananing ichki nuqtalari M 0 .

6.1.1. Bir nechta o'zgaruvchilar funksiyasining chegarasi. Takroriy cheklovlar.

f: R n R nuqtaning ayrim mahallasida berilgan M 0, ehtimol nuqtaning o'zi bundan mustasno M 0 .

Ta'rif. Raqam A chaqirdi chegara funktsiyalari

f(x 1 , x 2 , …, x n) nuqtada M 0 agar  >0  >0  M (0 <  (M 0 , M ) <   | f (M ) – A |<  ).

F Ro'yxatga olish shakllari:

n = 2:

bu ikki tomonlama chegara.

Nuqtalar mahallalari tilida:

>0  >0  M (x , y ) (M  U  (M 0 )\ M 0  f (x , y )  U  (A )).

(M yaqinlashayotgan bo‘lishi mumkin M 0 har qanday yo'l bilan).

Takroriy cheklovlar:
va
.

(M yaqinlashmoqda M 0 mos ravishda gorizontal va vertikal).

Ikki va takroriy chegaralar o'rtasidagi bog'liqlik haqidagi teorema.

Agar  ikki barobar chegara
va chegaralari
,
,

keyin  takroriy chegaralar
,
va ikki barobarga teng.

Izoh 1. Qarama-qarshilik to'g'ri emas.

Misol. f (x, y) =

,

.

Biroq, ikki tomonlama chegara

=

mavjud emas, chunki (0, 0) nuqtaning istalgan qo'shnisida funktsiya noldan "uzoq" qiymatlarni ham oladi, masalan, agar x = y, keyin f (x, y) = 0,5.

Izoh 2. bo'lsa ham AR: f (x, y) A

haydash paytida M Kimga M 0 har qanday to'g'ri chiziqda qo'sh chegara mavjud bo'lmasligi mumkin.

Misol.f (x, y) =
,M 0 (0, 0). M (x, y)  M 0 (0, 0)

Xulosa: (ikki marta) chegara mavjud emas.

Cheklovni topishga misol.

f (x, y) =
, M 0 (0, 0).

0 soni funksiyaning nuqtadagi chegarasi ekanligini ko'rsatamiz M 0 .

=
,

 - nuqtalar orasidagi masofa M va M 0. (Tengsizlikdan foydalanilgan
,

bu tengsizliklardan kelib chiqadi
)

> 0 va  = 2 bo'lsin. <  

6.1.2. Bir necha o‘zgaruvchili funksiyaning uzluksizligi.

Ta'rif. f (x, y) nuqtada uzluksizdir M 0 (x 0 , y 0) agar u ba'zilarida aniqlangan bo'lsa U  (M 0) va
, T. ya'ni> 0 > 0  M (0 < (M 0 , M) <   | f (M) – f (M 0)|< ).

Izoh. Funktsiya nuqtadan o'tadigan ba'zi yo'nalishlar bo'ylab doimiy ravishda o'zgarishi mumkin M 0 va boshqa yo'nalishlar yoki boshqa shakldagi yo'llar bo'ylab uzilishlar mavjud. Agar shunday bo'lsa, u bir nuqtada uzilib qoladi M 0 .

6.1.3. Bir necha o‘zgaruvchili funksiyaning chegaraviy xossalari. Bir nuqtada uzluksiz funksiyalarning xossalari.

Voqea sodir bo'ladi o'ziga xoslik chegarasi;

nuqtada chekli chegaraga ega funksiya M 0 , bu nuqtaning ba'zi bir mahallasida chegaralangan; amalga oshiriladi tartib va ​​algebraik xossalari chegara,

chegaraga o'tish teng va qat'iy bo'lmagan tengsizlik belgilarini saqlaydi.

Agar funktsiya nuqtada uzluksiz bo'lsa M 0 va f (M 0 )  0 , keyin qiymat belgisif (M ) saqlanib qolgan ba'zilarida U  (M 0).

Yig'indi, mahsulot, qism(maxraj  0) uzluksiz funksiyalar ham uzluksiz funktsiyalar, uzluksiz kompleks funksiya uzluksiz dan iborat.

6.1.4. Bog'langan yopiq chegaralangan to'plamda uzluksiz bo'lgan funktsiyalarning xossalari.n= 1, 2 va 3.

Ta'rif 1. to'plami deyiladi ulangan agar uning istalgan ikkita nuqtasi bilan birga ularni bog'laydigan uzluksiz egri chiziq ham mavjud bo'lsa.

Ta'rif 2. ichida o'rnatilgan R n chaqirdi cheklangan agar u qandaydir "to'p" tarkibida bo'lsa
.

n = 1 

n = 2 

n = 3  .

ga misollarbog'langan yopiq chegaralangan to'plamlar.

R 1 = R: Bo'lim [ a, b];

R 2: segment AB oxirgi nuqtalari bilan har qanday uzluksiz egri chiziq A va V;

yopiq uzluksiz egri chiziq;

doira
;

Ta'rif 3. f: R n  R ulangan yopiq to‘plamda uzluksiz   R n agar  M 0 

.

Teorema.Kopginaqiymatlar uzluksiz funksiya

f: R n  R yopiq chegaralangan bog`langan to`plamda segment joylashgan [ m , M ] , Bu yerga m - kamida, a M - eng buyuk uning to'plam nuqtalaridagi qiymatlari.

Shunday qilib, har qanday yopiq chegaralangan bog'langan to'plamdaR n uzluksiz funksiya cheklangan, eng kichik, eng katta, shuningdek, barcha oraliq qiymatlarni oladi.

"

Kafedra: Oliy matematika

mavhum

“Oliy matematika” fanidan

Mavzu: “Bir necha o‘zgaruvchili funksiyalarning chegarasi va uzluksizligi”

Togliatti, 2008 yil

Kirish

Bitta o‘zgaruvchining funksiyasi tushunchasi tabiatda mavjud bo‘lgan barcha bog‘liqliklarni qamrab olmaydi. Hatto eng oddiy masalalarda ham qiymatlari bir necha miqdor qiymatlarining kombinatsiyasi bilan belgilanadigan miqdorlar mavjud.

Bunday bog'liqliklarni o'rganish uchun bir nechta o'zgaruvchilar funksiyasi tushunchasi kiritiladi.

Bir necha o'zgaruvchili funksiya tushunchasi

Ta'rif. Kattaligi u bir nechta mustaqil o'zgaruvchilarning funktsiyasi deb ataladi ( x, y, z, …, t), agar ushbu o'zgaruvchilarning har bir qiymatlari to'plami miqdorning ma'lum bir qiymati bilan bog'liq bo'lsa u.

Agar o'zgaruvchi ikkita o'zgaruvchining funktsiyasi bo'lsa NS va da, u holda funksional bog'liqlik bilan belgilanadi

z = f (x, y).

Belgi f bu yerda amallar to‘plamini yoki qiymatni hisoblash qoidasini belgilaydi z berilgan qiymatlar juftligi uchun NS va da.

Demak, funktsiya uchun z = x 2 + 3xy

da NS= 1 va da= 1 bizda z = 4,

da NS= 2 va da= 3 bizda z = 22,

da NS= 4 va da= 0 bizda z= 16 va boshqalar.

Miqdori u uchta o'zgaruvchining funktsiyasi x, y, z, agar qoida berilgan bo'lsa, qiymatlarning berilgan uchligiga nisbatan x, y va z mos keladigan qiymatni hisoblang u:

u = F (x, y, z).

Bu erda belgi F qiymatni hisoblash uchun harakatlar to'plamini yoki qoidasini belgilaydi u bu qiymatlarga mos keladi x, y va z.

Demak, funktsiya uchun u = xy + 2xz – 3yz

da NS = 1, da= 1 va z= 1 bizda u = 0,

da NS = 1, da= -2 va z= 3 bizda u = 22,

da NS = 2, da= -1 va z= -2 bor u = -16 va boshqalar.

Shunday qilib, agar har bir to'plamning qandaydir qonuni tufayli NS raqamlar ( x, y, z, …, t) ba'zi to'plamdan E o'zgaruvchiga ma'lum qiymat beradi u, keyin u ning funksiyasi deb ataladi NS o'zgaruvchilar x, y, z, …, t to'plamda aniqlanadi E, va belgilangan

u = f(x, y, z, …, t).

O'zgaruvchilar x, y, z, …, t funksiya argumentlari, to'plam deyiladi E- funksiya doirasi.

Funktsiyaning o'ziga xos qiymati - bu funktsiyaning bir nuqtadagi qiymati M 0 (x 0 , y 0 , z 0 , …, t 0) va belgilanadi f (M 0) = f (x 0 , y 0 , z 0 , …, t 0).

Funktsiyaning sohasi - bu funktsiyaning har qanday haqiqiy qiymatlariga mos keladigan barcha argument qiymatlari to'plami.

Ikki o'zgaruvchining funktsiyasi z = f (x, y) kosmosda ma'lum bir sirt bilan ifodalanadi. Ya'ni, koordinatalar bilan nuqta qachon NS, da tekislikda joylashgan funksiyaning butun sohasi bo'ylab ishlaydi hoy, mos keladigan fazoviy nuqta, umuman olganda, sirtni tasvirlaydi.

Uch o'zgaruvchining funktsiyasi u = F (x, y, z) uch o'lchovli fazodagi ba'zi nuqtalar to'plamining nuqtasi funktsiyasi sifatida qaraladi. Xuddi shunday, funktsiya NS o'zgaruvchilar u = f(x, y, z, …, t) ba’zi nuqtaning funksiyasi sifatida qaraladi NS- o'lchovli fazo.

Bir nechta o'zgaruvchilar funksiyasining chegarasi

Bir nechta o'zgaruvchilar funksiyasining chegarasi tushunchasini berish uchun biz ikkita o'zgaruvchining holati bilan cheklanamiz. NS va da... Ta'rifga ko'ra, funktsiya f (x, y) nuqtada chegarasi bor ( NS 0 , da 0) raqamga teng A, quyidagicha ifodalangan:

(1)

(ko'proq yozing f (x, y) →A da (x, y) → (NS 0 , da 0)) agar u nuqtaning ba'zi qo'shnilarida aniqlangan bo'lsa ( NS 0 , da 0), bu nuqtaning o'zi va agar chegara mavjud bo'lsa, bundan mustasno

(2)

nimaga intilmasin ( NS 0 , da 0) nuqtalar ketma-ketligi ( x k, y k).

Xuddi bitta o'zgaruvchining funktsiyasida bo'lgani kabi, siz ikkita o'zgaruvchining funktsiyasi chegarasining boshqa ekvivalent ta'rifini kiritishingiz mumkin: funktsiya f nuqtada bor ( NS 0 , da 0) chegaraga teng A agar u nuqtaning biron bir qo'shnisida aniqlangan bo'lsa ( NS 0 , da 0) bundan mustasno, ehtimol, bu nuqtaning o'zi va har qanday e> 0 uchun d> 0 bo'ladi, shuning uchun

| f (x, y) – A| < ε(3)

Barcha uchun (x, y) tengsizliklarni qondirish

< δ. (4)

Bu ta'rif, o'z navbatida, quyidagilarga ekvivalentdir: har qanday e> 0 uchun nuqtaning d-qo'shnisi mavjud ( NS 0 , da 0) hamma uchun ( x, y) shu mahalladan, boshqa (( NS 0 , da 0), tengsizlik (3) bajariladi.

Ixtiyoriy nuqtaning koordinatalari ( x, y) nuqta qo'shnisi ( NS 0 , da 0) kabi yozilishi mumkin x = x 0 + Δ NS, y = y 0 + Δ da, u holda (1) tenglik quyidagi tenglikka ekvivalent bo'ladi:

Nuqtaning qo'shnisida aniqlangan ba'zi funksiyalarni ko'rib chiqing ( NS 0 , da 0), ehtimol bu nuqtaning o'zi bundan mustasno.

ō = (ō NS, ω da) Bir uzunlikdagi ixtiyoriy vektor (| ō | 2 = ō). NS 2 + ō da 2 = 1) va t> 0 skalardir. Ko'rish nuqtalari

(NS 0 + tω NS, y 0 + tω da) (0 < t)

dan chiqadigan nur hosil qiladi ( NS 0 , da 0) ō vektori yo'nalishi bo'yicha. Har bir ō uchun biz funktsiyani ko'rib chiqishimiz mumkin

f(NS 0 + tω NS, y 0 + tω da) (0 < t< δ)

skalyar o'zgaruvchidan t, bu yerda d yetarlicha kichik son.

Ushbu funktsiyaning chegarasi (bitta o'zgaruvchi t)

f(NS 0 + tω NS, y 0 + tω da),

agar mavjud bo'lsa, uni chegara deb atash tabiiy f nuqtada ( NS 0 , da 0) ō yo'nalishi bo'yicha.

1-misol. Funksiyalar

tekislikda aniqlangan ( x, y) nuqtadan tashqari NS 0 = 0, da 0 = 0. Bizda (buni hisobga oling

va):

(e> 0 uchun biz d = e / 2 ni qo'yamiz va keyin | f (x, y) | < ε, если

< δ).

undan ko'rinib turibdiki, turli yo'nalishdagi (0, 0) nuqtadagi ph chegarasi umuman boshqacha (nurning birlik vektori) y = kx, NS> 0, shaklga ega

).

2-misol. O'ylab ko'ring R 2 funksiya

(NS 4 + da 2 ≠ 0).

Bu funktsiya har qanday to'g'ri chiziqdagi (0, 0) nuqtada y = kx boshlang'ich nuqtadan o'tish nolga teng chegaraga ega:

da NS → 0.

Biroq, bu funksiya (0, 0) nuqtalarida chegaraga ega emas, chunki for y = x 2

va

Yozadi

funktsiya bo'lsa f nuqtaning ba'zi qo'shnilarida aniqlanadi ( NS 0 , da 0), nuqtaning o'zi bundan mustasno ( NS 0 , da 0) va har qanday uchun N> 0 bo'lsa, d> 0 shunday bo'ladi

|f (x, y) | > N,

0 dan beri<

< δ.

Siz chegara haqida ham gapirishingiz mumkin f, qachon NS, da → ∞:

(5)

Masalan, chekli sonda A(5) tenglikni har qanday e> 0 uchun shunday bo'lishi ma'nosida tushunish kerak N> 0, bu hamma uchun NS, da buning uchun | x| > N, |y| > N, funktsiyasi f aniqlanadi va tengsizlik