Boshqa lug'atlarda "Funktsiyalarning superpozitsiyasi" nima ekanligini ko'ring. Funksiya superpozitsiyasi atamasi keltirilgan sahifalarga qarang. Chiziqlarning grafik superpozitsiyasini toping

Berilgan funksiyaning argumenti o‘rniga boshqa argumentning funksiyasi almashtirilishidan iborat bo‘lgan funksiyalarning superpozitsiyasi (yoki qoplanishi) tushunchasi bilan tanishamiz. Masalan, funksiyalarning superpozitsiyasi funksiya beradi, xuddi shunday funksiyalar olinadi

Umuman olganda, funktsiya ma'lum bir mintaqada aniqlangan deb faraz qilaylik va funktsiya mintaqada aniqlangan va uning barcha qiymatlari mintaqada joylashgan bo'lsa, z o'zgaruvchisi, ular aytganidek, y orqali va o'zi a bo'ladi. funktsiyasi

dan berilgan uchun avval unga mos keladiganini toping (y qiymatining Y dan belgisi bilan tavsiflangan qoida bo'yicha, so'ngra tegishli y qiymatini o'rnating (qoida bo'yicha,

uning qiymati belgi bilan tavsiflanadi va tanlangan x ga mos keladi deb hisoblanadi. Funksiya yoki kompleks funksiyadan kelib chiqadigan funksiya funksiyalarning superpozitsiyasi natijasidir

Funktsiya qiymatlari funktsiya aniqlangan Y mintaqasidan tashqariga chiqmaydi degan taxmin juda muhim: agar u o'tkazib yuborilsa, u bema'ni bo'lib chiqishi mumkin. Misol uchun, biz faqat x ning qiymatlarini hisobga olsak, aks holda ifoda mantiqiy bo'lmaydi.

Bu yerda funksiyani kompleks sifatida tavsiflash z ning x ga funksional bog’liqligi tabiati bilan emas, balki faqat shu bog’liqlikni ko’rsatish usuli bilan bog’liqligini ta’kidlashni foydali deb bilamiz. Masalan, Keyin uchun y uchun kiritilsin

Bu yerda funksiya kompleks funksiya shaklida berilgan bo‘lib chiqdi.

Funktsiyalarning superpozitsiyasi kontseptsiyasi to'liq aniqlangandan so'ng, biz tahlilda o'rganiladigan funktsiyalar sinflarining eng oddiylarini aniq tavsiflashimiz mumkin: bular, birinchi navbatda, yuqorida sanab o'tilgan elementar funktsiyalar, keyin esa ulardan olingan barcha funktsiyalardir. Ular to'rtta arifmetik amal va superpozitsiyadan foydalangan holda, ketma-ket chekli marta qo'llaniladi. Ular elementar bo'lganlar bilan chekli shaklda ifodalangan deyiladi; ba'zan ularning barchasi elementar deb ham ataladi.

Keyinchalik, murakkabroq analitik apparatni (cheksiz qatorlar, integrallar) o'zlashtirib, biz tahlilda muhim rol o'ynaydigan, ammo elementar funktsiyalar sinfidan tashqariga chiqqan boshqa funktsiyalar bilan tanishamiz.

Qurilish funktsiyasi

Sizning e'tiboringizga barcha huquqlar kompaniyaga tegishli bo'lgan onlayn funktsional diagrammalarni chizish bo'yicha xizmatni taqdim etamiz Desmos... Funktsiyalarni kiritish uchun chap ustundan foydalaning. Siz uni qo'lda yoki oynaning pastki qismidagi virtual klaviatura yordamida kiritishingiz mumkin. Grafik yordamida oynani kattalashtirish uchun siz chap ustunni ham, virtual klaviaturani ham yashirishingiz mumkin.

Onlayn diagrammaning afzalliklari

Kiritilgan funksiyalarni vizual ko'rsatish
Juda murakkab grafiklarni yaratish
Bevosita berilgan grafiklarni yaratish (masalan, ellips x ^ 2/9 + y ^ 2/16 = 1)
Diagrammalarni saqlash va ularga havolani olish imkoniyati, bu Internetda hamma uchun mavjud bo'ladi
Masshtabni boshqarish, chiziq rangi
Konstantalardan foydalanib, nuqtalar bo'yicha grafiklarni chizish imkoniyati
Bir vaqtning o'zida bir nechta funktsiyalar grafiklarini qurish
Qutbli koordinatalarda chizish (r va th (\ teta) dan foydalaning)

Biz bilan har xil murakkablikdagi jadvallarni onlayn tarzda qurish oson. Qurilish darhol amalga oshiriladi. Xizmat funktsiyalarning kesishish nuqtalarini topish, Word hujjatida ularning keyingi harakati uchun grafiklarni muammolarni hal qilishda illyustratsiya sifatida ko'rsatish, funktsiyalar grafiklarining xatti-harakatlarini tahlil qilish uchun talab qilinadi. Saytning ushbu sahifasida diagrammalar bilan ishlash uchun eng maqbul brauzer Google Chrome hisoblanadi. Boshqa brauzerlar bilan ishlash kafolatlanmaydi.

Ilmiy hamjamiyatda ushbu mavzu bo'yicha keng tarqalgan hazil bor, "nochiziqlilik" "fil bo'lmagan" bilan taqqoslanadi - "fillardan tashqari" barcha mavjudotlar "fil bo'lmaganlar". O'xshashlik shundan iboratki, bizni o'rab turgan dunyodagi tizim va hodisalarning aksariyati bir nechta istisnolardan tashqari, chiziqli emas. Bundan farqli o'laroq, maktabda bizga "chiziqli" fikrlash o'rgatiladi, bu bizning koinotning jismoniy, biologik, psixologik yoki ijtimoiy jihatlarini idrok etishga tayyorligimiz nuqtai nazaridan juda yomon. Nochiziqlilik atrofdagi dunyoni bilishning asosiy qiyinchiliklaridan birini o'zida jamlaydi, chunki oqibatlar ularning umumiy massasida sabablarga mutanosib emas, ikkita sabab o'zaro ta'sirlashganda qo'shimcha emas, ya'ni oqibatlar ko'proq. oddiy superpozitsiyadan ko'ra murakkab, sabablarning funktsiyalari. Ya'ni, bir vaqtning o'zida ta'sir qiluvchi ikkita sababning mavjudligi va ta'siridan kelib chiqadigan natija, sabablarning har biri alohida-alohida mavjud bo'lganda, boshqa sabab bo'lmasa, olingan natijalar yig'indisi emas.

Ta'rif 9.Uning qaysidir X oralig'ida Z qiymatlar to'plamiga ega rf (x) funksiya aniqlangan va Z to'plamda y = f (z) funksiya aniqlangan bo'lsa, u holda y funktsiyasi ning kompleks funktsiyasidir. x (yoki funktsiyaning superpozitsiyasi) va z o'zgaruvchisi - murakkab funktsiyaning oraliq o'zgaruvchisi.

Nazoratni uchta klassik boshqaruv funktsiyalarining superpozitsiyasi sifatida ko'rish mumkin - buxgalteriya hisobi, nazorat va tahlil (retrospektiv). Integratsiyalashgan boshqaruv funktsiyasi sifatida nazorat qilish nafaqat yechimni tayyorlash, balki tegishli boshqaruv vositalaridan foydalangan holda uni amalga oshirish ustidan nazoratni ta'minlash imkonini beradi.

Ma'lumki / 50 /, har qanday vaqtinchalik funktsiyani turli davrlar, amplitudalar va fazalarga ega bo'lgan oddiy garmonik funktsiyalarning superpozitsiyasi (to'plami) sifatida ko'rsatish mumkin. Umuman olganda, P (t) = f (t),

Vaqtinchalik yoki impulsli javob eksperimental tarzda aniqlanadi. Ular superpozitsiya usulida qo‘llanilganda kiritish harakatining tanlangan modeli dastlab elementar “vaqt funksiyalariga kengaytiriladi, so‘ngra ularga javoblar yig‘iladi. Oxirgi amal ba’zan konvolyutsiya, ifodalarda esa integrallar (24) deb ataladi. .. (29) konvolyutsiya integrallari.Qaysi integratsiya funksiyasi oddiyroq bo'lganidan tanlab olinadi.

Bu teorema shartli ekstremum muammosini shartsiz ekstremum muammosining superpozitsiyasiga qisqartiradi. Haqiqatan ham, biz R (g) funktsiyasini aniqlaymiz.

Superpozitsiya ((> (f (x))), bu erda y (y) bir o'zgaruvchining kamaymaydigan qavariq funksiyasi, f (x) qavariq funksiyadir.

3.28-misol. Keling, 3.27-misolga qaytaylik. Shaklda. 3.24 chiziqli nuqtali egri chiziq sifatida ushbu misolda mavjud bo'lgan kvantlarga mos keladigan ikkita a'zolik funksiyasining superpozitsiyasi natijasini ko'rsatadi. Abtsissadagi noaniq oraliqlar 0,7 chegara qiymati yordamida olinadi. Endi aytishimiz mumkinki, dispetcher reja o'zgarishini kutishi kerak

F funksiyani aniqlashning superpozitsiya usulidan farqli yana bir usuli shundan iboratki, kvant ko‘rsatgich boshqa kvantga qo‘llanilganda, boshlang‘ich a’zolik funksiyasining ma’lum bir monotonik o‘zgarishi sodir bo‘ladi, bu funktsiya maksimalini bir yo‘nalishda cho‘zish va siljitishga olib keladi. yoki boshqa.

3.29-misol. Shaklda. 3.25-rasmda XA va X tez-tez kvantga mos keladigan holat uchun superpozitsiya va stretch-shift bilan olingan ikkita natija ko'rsatilgan. Farqi shundaki, superpozitsiya a'zolik funktsiyasida tez-tez uchraydigan qiymatlarni ajratib turadi. Kesish va cho'zish holatlarida biz natijani tez-tez qiymatga ega bo'lgan yangi kvant ko'rsatkichining paydo bo'lishi sifatida talqin qilishimiz mumkin, agar xohlasangiz, masalan, juda tez-tez qiymatga yaqinlashishi mumkin.

Qattiq ortib borayotgan funktsiyaning superpozitsiyasi va ba'zi afzallik munosabatlarini ifodalovchi yordamchi funktsiya> ham ushbu afzallik munosabatini ifodalovchi yordamchi funksiya ekanligini ko'rsating. Quyidagi funksiyalardan qaysi biri bunday transformatsiya vazifasini bajarishi mumkin

Munosabatlarning birinchisi (2) qoidaning yozuvidan boshqa narsa emas, unga ko‘ra monoton kamaymaydigan mutlaq uzluksiz funksiyalar turkumiga kiruvchi har bir F (x) funksiya bir va faqat bitta uzluksiz funksiya w (j) bilan bog‘lanadi. . Bu qoida chiziqli, ya'ni. superpozitsiya printsipi unga to'g'ri keladi

Isbot. Agar F xaritalash uzluksiz bo'lsa, M0 funktsiyasi uzluksiz funktsiyalarning superpozitsiyasi sifatida uzluksizdir. Bayonotning ikkinchi qismini isbotlash uchun funktsiyani ko'rib chiqing

Kompleks e funksiyalar (superpozitsiya)

Funktsional transformatsiyalar usuli evristik yondashuvdan foydalanishni ham o'z ichiga oladi. Masalan, logarifmik transformatsiyalardan B va C operatorlari sifatida foydalanish identifikatsiya qilinadigan modellarni qurish uchun axborot mezonlariga va axborot nazariyasida kuchli vositadan foydalanishga olib keladi. V operatori funksiyaga ko‘paytirish operatorlarining superpozitsiyasi, (.) va K0 funksiyasi bo‘yicha siljish (), operatori S operator bo‘lsin.

Bu erda umumiy ma'noda bir qator variatsion masalalarni yechish natijalari (1) - (3) taqdim etiladi. Ular 1962-1963 yillarda, usul texnologiyasi endigina shakllana boshlagan va sinovdan o'tkazilayotgan paytda ketma-ket chiziqlilashtirish usuli bilan hal qilingan (19-21). Shuning uchun biz faqat ba'zi tafsilotlarga to'xtalamiz. Avvalo shuni ta'kidlaymizki, C va C2 funktsiyalari yordamchi funktsiyalarning, shu jumladan jadvalda ko'rsatilganlarning superpozitsiyasi bo'lgan juda murakkab ifodalar bilan aniqlangan. Shuning uchun, qo'shma tizimni echishda ph = -fx jadvalda ko'rsatilgan funktsiyalardan foydalanish. Odatda, bunday jadvallar mustaqil argument oralig'idagi tugunlar to'plami uchun oz sonli qiymatlarni o'z ichiga oladi va ular orasida funktsiya chiziqli interpolyatsiya qilinadi, chunki aniqroq interpolyatsiya usullaridan foydalanish noto'g'riligi sababli oqlanmaydi. jadval o'zini o'zi baholaydi (qoida tariqasida, jadvallar eksperimental xarakterdagi funktsional bog'liqlikni belgilaydi). Biroq, bizning maqsadlarimiz uchun bizga f (x, u) differensiallanuvchi funktsiyalar kerak bo'ladi, shuning uchun biz jadvalda berilgan funktsiyani bajarish uchun silliq usullarni afzal ko'rishimiz kerak (masalan, splinelar yordamida).

Endi (HA va (q) chastota kvantorlarining ayrim qiymatlariga mos keluvchi ixtiyoriy funksiyalar bo‘lsin. 3.23-rasmda bu funksiyalarga mos keladigan ikkita bir dumli egri chiziq ko‘rsatilgan. Ularning superpozitsiyasi natijasi chiziqli chiziq bilan ko‘rsatilgan ikki dumli egri chiziqdir. Uning ma'nosi nima bo'lsa, masalan, (HA kamdan-kam uchraydi va (q - ko'pincha,

F ni aniqlashning ushbu usulining afzalligi shundaki, monotonik o'zgarishlar bilan a'zolik funktsiyasining shakli keskin o'zgarmaydi. Uning birmodalligi yoki monotonligi saqlanib qoladi va funksiyaning yangi shaklidan (2.16) o'tish trapezoidal shaklga ega, keyin chiziqli superpozitsiya (2.15) ham trapezoidal loyqa sondir (hisoblashning segment qoidasi yordamida osonlik bilan isbotlanadi). Va a'zolik funktsiyalari bilan operatsiyalarni ularning uchlari bilan operatsiyalarga qisqartirish mumkin. Agar trapetsiya sonini (2.16) (ab a2, az, a4) deb belgilasak, bu yerda a trapetsiya uchlari abssissalariga to‘g‘ri keladi, u holda

Funktsiyaning ta'rifi, ko'lami va qiymatlar to'plami. Funktsiyani belgilash bilan bog'liq ta'riflar. Murakkab, sonli, haqiqiy, monoton va ko'p qiymatli funksiyalarning ta'riflari. Cheklangan funktsiyalar uchun maksimal, minimal, yuqori va pastki chegaralarning ta'riflari.

Tarkib

Funktsiya y = f (x) qonun (qoida, xaritalash) deyiladi, unga ko'ra X to'plamning har bir x elementi Y to'plamning bitta va faqat bitta y elementi bilan bog'lanadi.

X to'plami deyiladi funksiya doirasi.
Elementlar to'plami y ∈ Y X to'plamida oldingi tasvirlarga ega bo'lganlar deyiladi funktsiya qiymatlari to'plami(yoki diapazon).

Domen funksiyalar ba'zan chaqiriladi ko'plab ta'riflar yoki ko'p vazifalar funktsiyalari.

X element ∈ X deyiladi funktsiya argumenti yoki mustaqil o'zgaruvchi.
Y elementi ∈ Y deyiladi funktsiya qiymati yoki qaram o'zgaruvchi.

f xaritalashning o'zi deyiladi funktsiya xarakteristikasi.

f xarakteristikasi shunday xususiyatga ega, agar ikkita element va ta'riflar to'plamidan teng qiymatlarga ega bo'lsa:, keyin.

Xarakterli belgi funksiya qiymati elementi belgisi bilan bir xil bo'lishi mumkin. Ya'ni, siz buni shunday yozishingiz mumkin:. Shuni esda tutish kerakki, y funktsiya qiymatlari to'plamining elementidir va bu y elementi x elementi bilan bog'langan qoidadir.

Funktsiyani hisoblash jarayonining o'zi uch bosqichdan iborat. Birinchi bosqichda X to'plamidan x elementni tanlaymiz. Bundan tashqari, qoidadan foydalanib, Y to'plamning elementi x elementiga tayinlanadi. Uchinchi bosqichda bu element y o'zgaruvchisiga tayinlanadi.

Funktsiyaning maxsus qiymati funksiya qiymatini uning argumentining tanlangan (maxfiy) qiymatida chaqirish.

f funksiyaning grafigi juftliklar to'plami deb ataladi.

Murakkab funktsiyalar

Ta'rif
Va funksiyalari berilgan bo'lsin. Bundan tashqari, f funktsiyasini aniqlash sohasi g funktsiyasining qiymatlari to'plamini o'z ichiga oladi. U holda g funksiya sohasining har bir t elementi x elementga, bu x esa y ga mos keladi. Bu yozishmalar deyiladi murakkab funktsiya: .

Murakkab funktsiya ham deyiladi funksiyalarning tarkibi yoki superpozitsiyasi va ba'zan shunday ifodalanadi:.

Matematik tahlilda, odatda, agar funktsiyaning xarakteristikasi bitta harf yoki belgi bilan ko'rsatilgan bo'lsa, u bir xil yozishmalarni o'rnatadi. Biroq, boshqa fanlarda yozuvning yana bir usuli mavjud bo'lib, unga ko'ra bir xususiyatga ega, ammo turli dalillarga ega bo'lgan xaritalashlar boshqacha hisoblanadi. Ya'ni, xaritalashlar va har xil deb hisoblanadi. Keling, fizikadan bir misol keltiraylik. Faraz qilaylik, impulsning koordinataga bog'liqligini ko'rib chiqamiz. Keling, koordinataning vaqtga bog'liqligini olaylik. Keyin impulsning vaqtga bog'liqligi murakkab funktsiyadir. Ammo qisqalik uchun u quyidagicha belgilanadi: Ushbu yondashuv bilan va turli funktsiyalar mavjud. Bir xil argument qiymatlarini hisobga olgan holda, ular turli qiymatlarni berishi mumkin. Matematikada bu belgi qabul qilinmaydi. Agar qisqartirish talab etilsa, yangi xarakteristikani kiritish kerak. Masalan . Keyin u aniq ko'rinadi va turli funktsiyalar.

Yaroqli funksiyalar

Funktsiya sohasi va uning qiymatlari to'plami har qanday to'plam bo'lishi mumkin.
Masalan, raqamli ketma-ketliklar - bu aniqlanish sohasi natural sonlar to'plami va qiymatlar to'plami haqiqiy yoki murakkab raqamlar bo'lgan funktsiyalardir.
O'zaro mahsulot ham funktsiyadir, chunki ikkita vektor uchun faqat bitta vektor qiymati mavjud. Bu erda ta'rif sohasi barcha mumkin bo'lgan vektor juftlarining to'plamidir. Qiymatlar to'plami barcha vektorlar to'plamidir.
Mantiqiy ifoda - bu funksiya. Uning doirasi haqiqiy sonlar to'plamidir (yoki "0" elementi bilan taqqoslash operatsiyasi aniqlangan har qanday to'plam). Qiymatlar to'plami ikkita elementdan iborat - "to'g'ri" va "noto'g'ri".

Raqamli funktsiyalar matematik tahlilda muhim rol o'ynaydi.

Raqamli funktsiya qiymatlari haqiqiy yoki murakkab sonlar bo'lgan funksiyadir.

Haqiqiy yoki haqiqiy funktsiya qiymatlari haqiqiy sonlar bo'lgan funksiyadir.

Maksimal va minimal

Haqiqiy sonlarda taqqoslash operatori mavjud. Shuning uchun haqiqiy funktsiya qiymatlari to'plami cheklangan bo'lishi mumkin va eng katta va eng kichik qiymatlarga ega bo'lishi mumkin.

Haqiqiy funktsiya chaqiriladi yuqorida chegaralangan (pastda) agar quyidagi barcha tengsizliklar uchun M soni mavjud bo'lsa:
.

Raqamli funktsiya chaqiriladi cheklangan agar M raqami bo'lsa, hamma uchun:
.

Maksimal M (minimal m) f funktsiyasi, ba'zi X to'plamda uning argumentining ba'zi bir qiymati uchun funktsiyaning qiymati deb ataladi, bu uchun hamma uchun,
.

Yuqori chekka yoki aniq yuqori chegara Haqiqiy, yuqori chegaralangan funktsiya uning qiymatlari oralig'ini yuqoridan chegaralaydigan raqamlarning eng kichigidir. Ya'ni, bu shunday s soni bo'lib, u uchun hamma uchun va har qanday uchun bunday argument mavjud bo'lib, funktsiyaning qiymati s ': dan oshadi.
Funktsiyaning yuqori chegarasi quyidagicha belgilanishi mumkin:
.

Funktsiyaning yuqori chegarasi yuqoridan chegaralanmagan

Pastki cheti yoki aniq pastki chegara Haqiqiy, pastki chegaralangan funktsiya raqamlarning eng kattasi deb ataladi, bu uning qiymatlari oralig'ini pastdan cheklaydi. Ya'ni, bu shunday i son bo'lib, u uchun, hamma uchun va har qanday uchun, funktsiya qiymati i ' dan kichik bo'lgan bunday argument mavjud.
Funktsiyaning pastki chegarasini quyidagicha belgilash mumkin:
.

Pastdan chegaralanmagan funksiyaning pastki chegarasi cheksizlikdagi nuqtadir.

Shunday qilib, bo'sh bo'lmagan X to'plamidagi har qanday haqiqiy funktsiya yuqori va pastki chegaralarga ega. Ammo har bir funktsiyaning maksimal va minimal qiymati mavjud emas.

Misol tariqasida ochiq oraliqdagi funksiya to'plamini ko'rib chiqing.
Ushbu intervalda yuqoridan qiymat bilan cheklangan 1 va pastda - qiymat 0 :
Barcha uchun .
Bu funksiya yuqori va pastki qirralarga ega:
.
Ammo uning maksimal va minimal darajasi yo'q.

Agar segmentda bir xil funktsiyani ko'rib chiqsak, u ushbu to'plamda yuqoridan va pastdan chegaralangan, yuqori va pastki qirralarga ega va maksimal va minimalga ega:
Barcha uchun ;
;
.

Monoton funktsiyalari

O'suvchi va kamayuvchi funksiyalarning ta'riflari
Funktsiya X haqiqiy sonlar to'plamida aniqlansin. Funktsiya chaqiriladi qat'iy o'sish (qat'iy kamayish)
.
Funktsiya chaqiriladi kamaymaydigan (o'smaydigan) agar hamma uchun tengsizlik amal qilsa:
.

Monoton funksiyaning ta’rifi
Funktsiya chaqiriladi monoton agar u kamaymaydigan yoki o'smaydigan bo'lsa.

Ko'p qiymatli funktsiyalar

Ko'p qiymatli funktsiyaga misol. Uning shoxlari turli ranglar bilan belgilangan. Har bir filial funksiyadir.

Funktsiya ta'rifidan kelib chiqadigan bo'lsak, ta'rif sohasining har bir x elementiga qiymatlar to'plamidan faqat bitta element beriladi. Ammo shunday xaritalashlar mavjudki, ularda x elementi bir nechta yoki cheksiz ko'p tasvirlarga ega.

Misol sifatida, funktsiyani ko'rib chiqing arksin:. Bu funktsiyaning teskarisi sinus va tenglamadan aniqlanadi:
(1) .
Intervalga tegishli bo'lgan x mustaqil o'zgaruvchining berilgan qiymati uchun y ning cheksiz ko'p qiymatlari ushbu tenglamani qondiradi (rasmga qarang).

(1) tenglama yechimlariga cheklov qo'yamiz. Bo'lsin
(2) .
Bu shartda (1) tenglamaning faqat bitta yechimi berilgan qiymatga mos keladi. Ya'ni, (2) shartga muvofiq (1) tenglama bilan aniqlangan muvofiqlik funktsiyadir.

(2) shart o'rniga siz shaklning boshqa shartini qo'yishingiz mumkin:
(2.n) ,
bu yerda n butun son. Natijada, n ning har bir qiymati uchun biz boshqalardan farq qiladigan o'z funksiyamizni olamiz. Ko'pgina shunga o'xshash funktsiyalar mavjud ko'p qiymatli funktsiya... Va (2.n) shartda (1) dan aniqlangan funksiya ko'p qiymatli funktsiyaning bo'limi.

Bu ma'lum bir to'plamda aniqlangan funktsiyalar to'plami.

Ko'p qiymatli funksiya bo'limi ko‘p qiymatli funksiya tarkibiga kiruvchi funksiyalardan biridir.

Noyob funksiya funksiya hisoblanadi.

Adabiyotlar:
O.I. Jinlar. Matematik tahlil bo'yicha ma'ruzalar. 1-qism. Moskva, 2004 yil.
L. D. Kudryavtsev. Matematik tahlil kursi. 1-jild. Moskva, 2003 yil.
SM. Nikolskiy. Matematik tahlil kursi. 1-jild. Moskva, 1983 yil.

f (x 1, x 2, ..., x n) funksiya va funksiyalar bo‘lsin

keyin funksiya chaqiriladi superpozitsiya funktsiyasi f (x 1, x 2, ..., x n) va funktsiyalari .

Boshqacha qilib aytganda: F = (f j) bo'lsin. - mantiq algebrasining funktsiyalari to'plami, chekli bo'lishi shart emas. Agar f funktsiya F to'plamdagi funktsiyalarning superpozitsiyasi yoki funktsiyadan bir yoki bir nechta o'zgaruvchilarni F to'plamdagi funktsiyalar bilan almashtirish orqali olingan bo'lsa, F ustidagi funksiya deyiladi.

Misol.

Funktsiyalar to'plami berilgan bo'lsin

F = (f 1 (x 1), f 2 (x 1, x 2, x 3), f 3 (x 1, x 2)).

Keyin F dan funksiyalarning superpozitsiyalari, masalan, funktsiyalar bo'ladi:

j 1 (x 2, x 3) = f 3 (f 1 (x 2), f 1 (x 3));

j 2 (x 1, x 2) = f 2 (x 1, f 1 (x 1), f 3 (x 1, x 2)).

Mukammal DNF - bu to'plamdagi funktsiyalarning superpozitsiyasi

. ð

Ta'rif.

Funktsiyalar tizimi deyiladi to'liq agar superpozitsiya va o'zgaruvchilarni o'zgartirish amallaridan foydalanib, mantiq algebrasining istalgan funktsiyasini ushbu tizimning funktsiyalaridan olish mumkin bo'lsa. ð

Bizda allaqachon to'liq tizimlar to'plami mavjud:

;

Chunki ;

(x + y, xy, 1). ð

Tizim to'liq bo'lgan shartlarni qanday aniqlash mumkin. To'liqlik tushunchasi bilan chambarchas bog'liq bo'lgan yopiq sinf tushunchasi.

Yopiq darslar.

Mantiqiy funktsiyalarning K to'plami (sinfi) deyiladi yopiq sinf agar u o'zgaruvchilarni superpozitsiya qilish va o'zgartirish amallari bilan K dan olingan barcha funktsiyalarni o'z ichiga olsa va boshqa funktsiyalarni o'z ichiga olmasa.

K P 2 dan ba'zi funktsiyalar to'plami bo'lsin. K ning yopilishi K to‘plamidan funksiyalarning o‘zgaruvchilarini superpozitsiyalash va o‘zgartirish amallari bilan ifodalanadigan barcha mantiqiy funksiyalar to‘plamidir. K to‘plamining yopilishi [K] bilan belgilanadi.

Yopish nuqtai nazaridan, yopiqlik va to'liqlikning boshqa ta'riflarini berish mumkin (asl ta'riflarga teng):

K - yopiq sinf, agar K = [K];

Agar [K] = R 2 bo'lsa, K to'liq sistemadir.

Misollar.

* (0), (1) - yopiq sinflar.

* Bitta o'zgaruvchining ko'p funksiyalari - yopiq sinf.

* - yopiq sinf.

* Sinf (1, x + y) yopiq sinf emas.

Keling, eng muhim yopiq sinflarni ko'rib chiqaylik.

1.T 0- 0 ni saqlaydigan funksiyalar sinfi.

T 0 bilan doimiy 0 ni saqlaydigan f (x 1, x 2, ..., x n) barcha mantiqiy funksiyalar sinfini, ya’ni f (0, ..., 0) = 0 bo‘lgan funksiyalarni belgilaymiz.

T 0 ga tegishli funktsiyalar va bu sinfga kirmaydigan funksiyalar mavjudligini ko'rish oson:

0, x, xy, xÚy, x + y Î T 0;

Ï T 0 ekanligidan, masalan, uni dizyunksiya va qo`shma gaplarda ifodalab bo`lmasligi kelib chiqadi.

Birinchi qatorda T 0 sinfidagi f funktsiyasi uchun jadval 0 qiymatini o'z ichiga olganligi sababli, T 0 dan funktsiyalar uchun ixtiyoriy qiymatlar faqat 2 n - 1 o'zgaruvchilar qiymatlari to'plamida ko'rsatilishi mumkin, ya'ni

bu erda 0 ni saqlaydigan va n ta o'zgaruvchiga bog'liq bo'lgan funktsiyalar to'plami.

T 0 yopiq sinf ekanligini ko'rsatamiz. XÎT 0 bo'lgani uchun, yopiqlikni asoslash uchun uning superpozitsiya amaliga nisbatan yopiqligini ko'rsatish kifoya, chunki o'zgaruvchilarni o'zgartirish operatsiyasi x funksiyasi bilan superpozitsiyaning maxsus holatidir.

Bo'lsin. Keyin buni ko'rsatish kifoya. Ikkinchisi tenglik zanjiridan kelib chiqadi

2.T 1- 1 ni saqlaydigan funksiyalar sinfi.

T 1 bilan doimiy 1 ni saqlaydigan f (x 1, x 2, ..., x n) barcha mantiqiy funksiyalar sinfini, ya’ni f (1, ..., 1) = 1 bo‘lgan funksiyalarni belgilaymiz.

T 1 ga tegishli funktsiyalar va bu sinfga kirmaydigan funktsiyalar mavjudligini ko'rish oson:

1, x, xy, xÚy, xºy Î T 1;

0,, x + y Ï T 1.

X + y Ï T 0 ekanligidan, masalan, x + y ni diszyunksiya va konyunksiya yordamida ifodalab bo‘lmaydi.

T 0 sinfiga oid natijalar ahamiyatsiz holda T 1 sinfiga o'tadi. Shunday qilib, bizda:

T 1 - yopiq sinf;

3. L- chiziqli funksiyalar sinfi.

L bilan mantiqiy algebraning f (x 1, x 2, ..., x n) chiziqli bo‘lgan barcha funksiyalari sinfi belgilansin:

L ga tegishli bo'lgan va ushbu sinfga kirmaydigan funktsiyalar mavjudligini ko'rish oson:

0, 1, x, x + y, x 1 º x 2 = x 1 + x 2 + 1, = x + 1 Î L;

Masalan, xÚy Ï L ekanligini isbotlaylik.

Buning aksini deylik. XÚy uchun ifodani aniqlanmagan koeffitsientli chiziqli funktsiya shaklida qidiramiz:

x = y = 0 uchun bizda a = 0,

x = 1, y = 0 uchun bizda b = 1,

x = 0, y = 1 uchun, bizda g = 1,

lekin u holda x = 1, y = 1 uchun bizda 1Ú 1 ¹ 1 + 1 bo'ladi, bu esa xÚy funksiyaning chiziqli emasligini isbotlaydi.

Chiziqli funktsiyalar sinfining yopiqligining isboti juda aniq.

Chiziqli funktsiya a 0, ..., an koeffitsientining n + 1 qiymatlarini belgilash orqali yagona aniqlanganligi sababli, n o'zgaruvchiga bog'liq bo'lgan L (n) funktsiyalar sinfidagi chiziqli funktsiyalar soni ga teng. 2 n + 1.

4.S- o'z-o'zidan ikkilamchi funktsiyalar sinfi.

O'z-o'zidan ikki tomonlama funktsiyalar sinfining ta'rifi ikkilik va ikki tomonlama funktsiyalar deb ataladigan printsipdan foydalanishga asoslangan.

Tenglik bilan aniqlangan funksiya deyiladi ikki tomonlama ishlaydi .

Shubhasiz, ikkita funktsiya jadvali (o'zgaruvchilar qiymatlari to'plamining standart tartibi bilan) ustunni teskari (ya'ni 0 ni 1 ga va 1 ni 0 ga almashtirish) asl funktsiya jadvalidan olinadi. funktsiya qiymatlari va uni aylantirish.

Buni ko'rish oson

(x 1 Ú x 2) * = x 1 Ù x 2,

(x 1 Ù x 2) * = x 1 Ú x 2.

Ta'rifdan kelib chiqadiki, (f *) * = f, ya'ni f funksiya f * ga dualdir.

Funksiya superpozitsiya yordamida boshqa funksiyalar bilan ifodalansin. Savol shundaki, amalga oshiradigan formulani qanday qurish kerak? To'plamlarda uchraydigan o'zgaruvchilarning barcha turli belgilarini = (x 1, ..., x n) bilan belgilaymiz.

2.6 teorema. Agar j funksiya f, f 1, f 2, ..., f m funksiyalarning superpozitsiyasi sifatida olingan bo‘lsa, ya’ni.

superpozitsiyaga ikkilangan funksiya ikki tomonlama funksiyalarning superpozitsiyasidir.

Isbot.

j * (x 1, ..., x n) = `f (` x 1, ..., `x n) =

Teorema isbotlangan. ð

Ikkilik printsipi teoremadan kelib chiqadi: agar A formulasi f (x 1, ..., xn) funktsiyani amalga oshirsa, unda A dan olingan formulalar unga kiritilgan funktsiyalarni ikki tomonlama funktsiyalari bilan almashtirish orqali f * ikki tomonlama funktsiyani amalga oshiradi. (x 1, ... , xn).

P 2 dan barcha o'z-o'zidan ikkilangan funktsiyalar sinfini S bilan belgilaymiz:

S = (f | f * = f)

S ga tegishli funktsiyalar va bu sinfga kirmaydigan funksiyalar mavjudligini ko'rish oson:

0, 1, xy, xÚy Ï S.

O'z-o'zidan ikkilamchi funktsiyaning kamroq ahamiyatsiz misoli bu funktsiyadir

h (x, y, z) = xy Ú xz Ú yz;

superpozitsiyaga dual funksiya haqidagi teoremadan foydalanib, biz bor

h * (x, y, z) = (x Ú y) Ù (x Ú z) Ù (y Ù z) = x y Ú x z Ú y z; h = h *; h Î S.

O'z-o'zidan ikkilamchi funktsiya uchun identifikatsiya

to'plamlarda shunday va biz qarama-qarshi deb ataydigan o'z-o'zidan ikki tomonlama funktsiya qarama-qarshi ma'nolarni oladi. Bundan kelib chiqadiki, o'z-o'zidan ikkilamchi funktsiya standart jadval satrlarining birinchi yarmidagi qiymatlari bilan to'liq aniqlanadi. Demak, n ta o‘zgaruvchiga bog‘liq bo‘lgan S (n) funksiyalar sinfidagi o‘z-o‘zidan ikkilamchi funksiyalar soni:

Keling, S sinfining yopiqligini isbotlaylik. XÎS bo'lgani uchun, yopiqlikni asoslash uchun uning superpozitsiya amaliga nisbatan yopiqligini ko'rsatish kifoya, chunki o'zgaruvchilarni o'zgartirish operatsiyasi x funksiyasi bilan superpozitsiyaning maxsus holatidir. Bo'lsin. Keyin buni ko'rsatish kifoya. Ikkinchisi to'g'ridan-to'g'ri o'rnatiladi:

5.M- monoton funktsiyalar sinfi.

Mantiq algebrasining monoton funksiyasi tushunchasiga ta’rif berishdan oldin uning o‘zgaruvchilari to‘plamlari to‘plamiga tartib munosabatini kiritish zarur.

To'plam to'plamdan oldin aytiladi (yoki “ko‘p emas” yoki “kichik yoki teng”) va yozuvdan foydalaning, agar a i £ b i hammasi uchun i = 1, ..., n. Agar va bo'lsa, biz to'plam to'plamdan qat'iy oldin (yoki to'plamdan "qat'iy kamroq" yoki "kamroq") ekanligini aytamiz va yozuvdan foydalanamiz. va to'plamlari solishtiriladigan deyiladi, agar bo'lsa, yoki.Bu munosabatlarning hech biri bajarilmasa, va to'plamlari solishtirilmas deyiladi. Masalan, (0, 1, 0, 1) £ (1, 1, 0, 1), lekin (0, 1, 1, 0) va (1, 0, 1, 0) toʻplamlarni solishtirib boʻlmaydi. Shunday qilib, £ munosabati (u ko'pincha ustunlik munosabati deb ataladi) V n to'plamdagi qisman tartibdir. Quyida B 2, B 3 va B 4 qisman tartiblangan to'plamlarning diagrammalari keltirilgan.

Kiritilgan qisman tartib munosabati bizning kursimiz doirasidan tashqariga chiqadigan juda muhim tushunchadir.

Endi biz monoton funksiya tushunchasini aniqlay oladigan holatdamiz.

Mantiqiy algebra funksiyasi deyiladi monoton agar har qanday ikkita to'plam uchun va shunga o'xshash tengsizlik ... Mantiqiy algebraning barcha monoton funksiyalar to‘plami M bilan, n ta o‘zgaruvchiga bog‘liq bo‘lgan barcha monoton funksiyalar to‘plami M (n) bilan belgilanadi.

M ga tegishli funktsiyalar va bu sinfga kirmaydigan funksiyalar mavjudligini ko'rish oson:

0, 1, x, xy, xÚy Î M;

x + y, x®y, xºy Ï M.

M monoton funksiyalar sinfi yopiq sinf ekanligini ko'rsatamiz. XÎM bo'lgani uchun, yopiqlikni asoslash uchun uning superpozitsiya amaliga nisbatan yopiqligini ko'rsatish kifoya, chunki o'zgaruvchilarni o'zgartirish operatsiyasi x funktsiyasi bilan superpozitsiyaning maxsus holatidir.

Bo'lsin. Keyin buni ko'rsatish kifoya.

Tegishli ravishda j, f 1, ..., f m funksiyalar o‘zgaruvchilar to‘plami bo‘lsin va j funksiyaning o‘zgaruvchilar to‘plami f 1, ..., f m funksiyalarda uchraydigan o‘sha va faqat shu o‘zgaruvchilardan iborat bo‘lsin. O'zgaruvchan qiymatlarning ikkita to'plami bo'lsin va bo'lsin. Bu to'plamlar to'plamlarni belgilaydi o'zgaruvchan qiymatlar shu kabi ... Chunki f 1, ..., f m funksiyalari

va f funksiyaning monotonligi tufayli

Bundan biz olamiz

n ta o'zgaruvchiga bog'liq monoton funksiyalar soni aniq ma'lum emas. Pastki chegarani osongina olish mumkin:

bu erda - n / 2 ning butun qismi.

Yuqoridan juda yuqori baho olish juda oson:

Ushbu hisob-kitoblarni aniqlashtirish zamonaviy tadqiqotning muhim va qiziqarli vazifasidir.

To'liqlik mezoni

Endi biz funktsiyalar tizimining to'liqligi uchun zarur va etarli shartlarni aniqlaydigan to'liqlik mezonini (Post teoremasi) shakllantirish va isbotlash imkoniyatiga egamiz. Biz to'liqlik mezonini shakllantirish va isbotlashdan oldin bir nechta mustaqil manfaatdor lemmalar bilan murojaat qilamiz.

Lemma 2.7. O'z-o'zidan ikkilamchi bo'lmagan funksiya bo'yicha lemma.

Agar f (x 1, ..., x n) Ï S bo'lsa, undan x va `x funksiyalarni qo'yish orqali doimiyni olish mumkin.

Isbot... fÏS dan boshlab, o'zgaruvchilarning qiymatlari to'plami mavjud
= (a 1, ..., a n) shunday

f (`a 1, ...,` a n) = f (a 1, ..., a n)

f funksiyadagi argumentlarni almashtiramiz:

x i bilan almashtiriladi ,

ya'ni funktsiyani qo'yamiz va ko'rib chiqamiz

Shunday qilib, biz doimiyga ega bo'ldik (ammo uning qaysi doimiy ekanligi ma'lum emas: 0 yoki 1). ð

Lemma 2.8. Monotonik bo'lmagan funksiya haqida lemma.

Agar f (x 1, ..., xn) funksiya monoton bo'lmagan f (x 1, ..., xn) Ï M bo'lsa, u holda o'zgaruvchilarni o'zgartirish va 0 konstantalarini almashtirish orqali undan inkor olish mumkin. va 1.

Isbot... f (x 1, ..., x n) Ï M bo'lgani uchun uning o'zgaruvchilari to'plamlari va qiymatlari mavjud, , shundayki, bundan tashqari, i ning kamida bitta qiymati uchun a i< b i . Выполним следующую замену переменных функции f:

x i bilan almashtiriladi

Bunday almashtirishdan so'ng biz bitta j (x) o'zgaruvchining funktsiyasini olamiz, buning uchun bizda mavjud:

Bu j (x) = `x ekanligini bildiradi. Lemma isbotlangan. ð

Lemma 2.9. Chiziqli bo'lmagan funksiya bo'yicha lemma.

Agar f (x 1, ..., x n) Ï L bo‘lsa, undan 0, 1 konstantalarini o‘rniga qo‘yib, `x funksiyasidan foydalanib, x 1 & x 2 funksiyasini olishimiz mumkin.

Isbot... Biz f ni DNF (masalan, mukammal DNF) shaklida ifodalaymiz va quyidagi munosabatlardan foydalanamiz:

Misol... Keling, ushbu o'zgarishlarni qo'llashga ikkita misol keltiramiz.

Shunday qilib, disjunktiv normal shaklda yozilgan funktsiya, ko'rsatilgan munosabatlar, qavslarni ochish va oddiy algebraik o'zgartirishlar qo'llanilgandan so'ng, mod 2 polinomiga (Jegalkin polinomiga) aylanadi:

Bu erda A 0 doimiy, A i esa x 1, ..., x n, i = 1, 2, ..., r sonidan ba'zi o'zgaruvchilarning birikmasidir.

Har bir A i birikmasi faqat bitta o‘zgaruvchidan iborat bo‘lsa, f chiziqli funksiya bo‘lib, lemma shartiga zid keladi.

Binobarin, f funksiyasi uchun Jegalkin polinomi kamida ikkita omilni o'z ichiga olgan atamani o'z ichiga oladi. Umumiylikni yo'qotmasdan, biz ushbu omillar orasida x 1 va x 2 o'zgaruvchilari borligini taxmin qilishimiz mumkin. Keyin polinomni quyidagicha o'zgartirish mumkin:

f = x 1 x 2 f 1 (x 3, ..., xn) + x 1 f 2 (x 3, ..., xn) + x 2 f 3 (x 3, ..., xn) + f 4 (x 3, ..., xn),

Bu erda f 1 (x 3, ..., x n) ¹ 0 (aks holda ko'phadga x 1 x 2 bog'lovchisi bo'lgan birikma kirmaydi).

(a 3, ..., a n) f 1 (a 3, ..., a n) = 1 bo‘lsin.

j (x 1, x 2) = f (x 1, x 2, a 3, ..., a n) = x 1 x 2 + ax 1 + bx 2 + g,

bu yerda a, b, g doimiylar 0 yoki 1 ga teng.

Bizda mavjud bo'lgan inkor amalidan foydalanamiz va j (x 1, x 2) dan olingan y (x 1, x 2) funksiyani quyidagicha ko'rib chiqamiz:

y (x 1, x 2) = j (x 1 + b, x 2 + a) + ab + g.

Bu aniq

y (x 1, x 2) = (x 1 + b) (x 2 + a) + a (x 1 + b) + b (x 2 + a) + g + ab + g = x 1 x 2.

Demak,

y (x 1, x 2) = x 1 x 2.

Lemma to'liq isbotlangan. ð

Lemma 2.10. To'liqlik mezonining asosiy lemmasi.

Agar mantiqiy funktsiyalarning F = (f) sinfida birlikni saqlamaydigan, 0 ni saqlamaydigan, o'z-o'zidan ikkilamchi va monoton bo'lmagan funktsiyalar mavjud bo'lsa:

u holda bu sistemaning funksiyalaridan superpozitsiya va o'zgaruvchilarni o'zgartirish amallari orqali biz 0, 1 konstantalarni va funksiyani olishimiz mumkin.

Isbot... Funktsiyani ko'rib chiqaylik. Keyin

Keyingi mulohazalarning ikkita mumkin bo'lgan holatlari mavjud, bundan keyin 1) va 2) deb nomlanadi.

1). Birlik to'plamidagi funktsiya 0 qiymatini oladi:

Funksiyaning barcha oʻzgaruvchilarini x oʻzgaruvchisi bilan almashtiring. Keyin funksiya

bor, chunki

va .

O'z-o'zidan ikki tomonlama bo'lmagan funktsiyani oling. Biz funktsiyani allaqachon qo'lga kiritganimiz sababli, o'z-o'zidan ikkilamchi bo'lmagan funktsiya lemmasi bo'yicha (Lemma) 2.7. ) sizdan doimiyni olishingiz mumkin. Ikkinchi doimiyni birinchisidan funksiya yordamida olish mumkin. Demak, birinchi ko'rib chiqilayotgan holatda konstantalar va inkor olinadi. ... Ikkinchi holat va u bilan to'liqlik mezonining asosiy lemmasi to'liq isbotlangan. ð

2.11 teorema. Mantiq algebrasining funksiyalar sistemalarining to`liqligi mezoni (Post teoremasi).

F = (fi) funktsiyalar tizimi to'liq bo'lishi uchun uning beshta yopiq sinf T 0, T 1, L, S, M, ya'ni har biri uchun to'liq bo'lmasligi zarur va etarli. F da T 0, T 1, L, S, M sinflari bu sinfga kirmaydigan kamida bitta funksiya mavjud.

Kerak... F to'liq sistema bo'lsin. Aytaylik, F ko'rsatilgan sinflardan birida mavjud; biz uni K bilan belgilaymiz, ya'ni F Í K. Oxirgi kiritish mumkin emas, chunki K - to'liq tizim bo'lmagan yopiq sinf.

Adekvatlik... F = (f i) funksiyalar tizimi T 0, T 1, L, S, M beshta yopiq sinfning hech biriga toʻliq kiritilmasin. F funksiyalarni qabul qiling:

Keyin, asosiy lemma (lemma 2.10 ) 0 ni saqlamaydigan funksiyadan, 1 ni saqlamaydigan o‘z-o‘zidan ikkilangan va monoton bo‘lmagan funksiyadan 0, 1 konstantalarini va inkor funksiyasini olishimiz mumkin:

Chiziqli bo'lmagan funktsiyaga asoslangan lemma (lemma 2.9 ) konstantalar, inkor va chiziqli bo'lmagan funksiyalardan bog'lanishni olishingiz mumkin:

Funktsional tizim - mantiq algebrasining har qanday funktsiyasini mukammal dis'yunktiv normal shakl ko'rinishida ifodalash imkoniyati to'g'risidagi teorema bo'yicha to'liq tizim (dizyunksiyani konyunksiya va inkor ko'rinishida ifodalash mumkinligiga e'tibor bering). ).

Teorema to'liq isbotlangan. ð

Misollar.

1. f (x, y) = x |y funksiya to`liq sistemani tashkil qilishini ko`rsatamiz. X½y funksiya qiymatlari jadvalini tuzamiz:

x	y	x \|y

f (0,0) = 1, shuning uchun x | yÏT 0.

f (1,1) = 0, shuning uchun x | yÏT 1.

f (0,0) = 1, f (1,1) = 0, demak, x | yÏM.

f (0,1) = f (1,0) = 1, - qarama-qarshi to'plamlarda x | y bir xil qiymatlarni oladi, shuning uchun x | yÏS.

Va nihoyat, funktsiyaning chiziqli emasligi nimani anglatadi
x | y.

To'liqlik mezoniga asoslanib, f (x, y) = x | y yaxlit tizimni tashkil qiladi. ð

2. Funktsiyalar sistemasini ko'rsataylik yaxlit tizimni tashkil qiladi.

Haqiqatan ham, .

Shunday qilib, tizimimizning funktsiyalari orasida biz topdik: 0 ni saqlamaydigan funktsiya, 1 ni saqlamaydigan funksiya, o'z-o'zidan ikkilangan, monoton bo'lmagan va chiziqli bo'lmagan funktsiyalar. To'liqlik mezoniga asoslanib, funktsiyalar tizimi ekanligini ta'kidlash mumkin yaxlit tizimni tashkil qiladi. ð

Shunday qilib, biz to'liqlik mezoni mantiq algebrasi funktsiyalari tizimlarining to'liqligini aniqlashtirishning konstruktiv va samarali usulini ta'minlashiga ishonch hosil qildik.

Keling, to'liqlik mezonining uchta natijasini shakllantiramiz.

Xulosa 1... Butun mantiqiy funktsiyalar to'plamiga (K¹P 2) to'g'ri kelmaydigan mantiqiy funktsiyalarning har qanday yopiq K sinfi tuzilgan yopiq sinflarning kamida bittasida mavjud.

Ta'rif. Yopiq K sinfi deyiladi oldindan to'la agar K to'liq bo'lmasa va har qanday fÏ K funksiya uchun K È (f) klassi to'liq bo'ladi.

Ta'rifdan kelib chiqadiki, precomplete sinf yopiq.

Xulosa 2. Mantiq algebrasida faqat beshta oldindan to'liq sinflar mavjud, xususan: T 0, T 1, L, M, S.

Natijani isbotlash uchun faqat ushbu sinflarning hech biri ikkinchisida mavjud emasligini tekshirish kerak, bu, masalan, funktsiyalarning turli sinflarga tegishliligi haqidagi quyidagi jadval bilan tasdiqlangan:

T 0	T 1	L	S	M
+	-	+	-	+
-	+	+	-	+
-	-	+	+	-

Xulosa 3. Har qanday to'liq funktsiyalar tizimidan to'rtta funktsiyadan ko'p bo'lmagan to'liq quyi tizimni ajratish mumkin.

To'liqlik mezonining isbotidan kelib chiqadiki, beshdan ortiq funktsiyani ajratib bo'lmaydi. Asosiy lemmaning isbotidan (lemma 2.10 ) shundan kelib chiqadi o'z-o'zidan ikkilanmaydi yoki birlikni saqlamaydi va monoton emas. Shuning uchun to'rtdan ortiq funktsiya kerak emas.