Butterworth filtrining chastotali javobi tenglama bilan tavsiflanadi

Butterworth filtrining xususiyatlari: chiziqli bo'lmagan fazali javob; qutblar soniga bog'liq bo'lmagan kesish chastotasi; qadamli kirish signali bilan vaqtinchalik javobning tebranish xarakteri. Filtrning tartibi ortishi bilan tebranish xususiyati kuchayadi.

Chebyshev filtri

Chebyshev filtrining chastotali javobi tenglama bilan tavsiflanadi

,

qayerda T n 2 (ω/ω n ) - Chebishev polinomi n- Buyurtma.

Chebishev ko'phadini hisoblash rekursiv formula yordamida amalga oshiriladi

Chebyshev filtrining xususiyatlari: fazaviy javobning bir xil bo'lmasligini oshirish; o'tish chizig'idagi to'lqinli xususiyat. O'tish diapazonidagi filtrning chastota ta'sirining bir xil bo'lmaganlik koeffitsienti qanchalik yuqori bo'lsa, xuddi shu tartibda o'tish mintaqasida pasayish shunchalik keskin bo'ladi. Bosqichli kirish signali bilan vaqtinchalik to'lqin Butterworth filtriga qaraganda kuchliroqdir. Chebishev filtri qutblarining Q koeffitsienti Battervort filtriga qaraganda yuqori.

Bessel filtri

Bessel filtrining chastotali javobi tenglama bilan tavsiflanadi

,

qayerda
;B n 2 (ω/ω cp s ) - Bessel polinomi n th buyurtma.

Bessel polinomi takroriy formula yordamida hisoblanadi

Bessel filtrining xususiyatlari: Gauss funktsiyasi bo'yicha taxminan bir xil chastotali javob va fazali javob; filtrning fazali siljishi chastotaga mutanosib, ya'ni. filtr chastotaga bog'liq bo'lmagan guruhning kechikish vaqtiga ega. Filtr qutblari soni o'zgarishi bilan kesish chastotasi o'zgaradi. Filtrning aylanishi odatda Butterworth va Chebyshevnikiga qaraganda sayozroq. Ushbu filtr, ayniqsa, impulsli davrlar va fazaga sezgir signallarni qayta ishlash uchun juda mos keladi.

Cauer filtri (elliptik filtr)

Cauer filtrining uzatish funktsiyasining umumiy ko'rinishi

.

Cauer filtrining xususiyatlari: o'tish va to'xtash bandida notekis chastotali javob; sanab o'tilgan barcha filtrlarning chastotali javobidagi eng keskin pasayish; boshqa turdagi filtrlardan foydalanishga qaraganda kichikroq filtrlash tartibi bilan kerakli uzatish funksiyalarini amalga oshiradi.

Filtr tartibini aniqlash

Kerakli filtrlash tartibi quyidagi formulalar yordamida aniqlanadi va eng yaqin butun qiymatga yaxlitlanadi. Butterworth filtri buyurtmasi

.

Chebyshev filtri tartibi

.

Bessel filtri uchun tartibni hisoblash uchun formula mavjud emas, buning o'rniga filtr tartibining kechikish vaqtining birlik qiymatidan minimal og'ishiga va dBdagi yo'qotish darajasiga muvofiqligi jadvallari Bessel filtri uchun taqdim etilgan.

Bessel filtrining tartibini hisoblashda quyidagi parametrlar o'rnatiladi:

Berilgan chastotada guruh kechikish vaqtining foizli bardoshliligi ω ω cp s ;

Filtrning kuchayishining susaytirish darajasi chastotada dB da o'rnatilishi mumkin ω ga nisbatan normallashtirilgan ω cp s .

Ushbu ma'lumotlarga asoslanib, Bessel filtrining kerakli tartibi aniqlanadi.

1 va 2-tartibdagi yuqori bosimli filtrlar kaskadlarining sxemalari

Shaklda. 12.4, 12.5 LPF bosqichlarining tipik sxemalarini ko'rsatadi.

a) b)

Guruch. 12.4. Butterworth, Chebyshev va Besselning LPF bosqichlari: a - 1-tartib; b - 2-tartib

a) b)

Guruch. 12.5. Cauer LPF kaskadlari: a - 1-tartib; b - 2-tartib

LPF Butterworth, Chebyshev va Bessel 1 va 2 tartibli uzatish funktsiyalarining umumiy ko'rinishi

,
.

1 va 2-darajali Cauer LPF ning uzatish funktsiyalarining umumiy ko'rinishi

,
.

2-tartibli Cauer filtri va tishli filtr o'rtasidagi asosiy farq shundaki, Cauer filtrining uzatish funktsiyasida chastota nisbati Ω s ≠ 1.

Butterworth, Chebyshev va Bessel uchun LPFlarni hisoblash metodologiyasi

Ushbu uslub jadvallarda keltirilgan koeffitsientlarga asoslanadi va Butterworth, Chebyshev va Bessel filtrlari uchun amal qiladi. Cauer filtrlari uchun hisoblash usuli alohida berilgan. Butterworth, Chebyshev va Bessel uchun LPFlarni hisoblash ularning tartibini aniqlashdan boshlanadi. Barcha filtrlar uchun minimal va maksimal zaiflashuv parametrlari va kesish chastotasi o'rnatiladi. Chebyshev filtrlari uchun o'tish diapazonidagi chastota ta'sir koeffitsienti qo'shimcha ravishda aniqlanadi, Bessel filtrlari uchun esa guruhning kechikish vaqti. Keyinchalik, jadvallardan olinishi mumkin bo'lgan filtrning uzatish funktsiyasi aniqlanadi va uning 1 va 2-tartibdagi kaskadlari hisoblab chiqiladi, quyidagi hisoblash tartibi kuzatiladi:

Filtrning tartibi va turiga qarab, uning kaskadlarining sxemalari tanlanadi, juft tartibli filtr esa quyidagilardan iborat. n/ 2-tartibdagi 2 kaskad va toq tartibli filtr - 1-tartibdagi bir kaskaddan va ( n– 1) / 2-darajali 2 kaskad;

1-tartibli kaskadni hisoblash uchun:

Tanlangan filtr turi va tartibi qiymatni belgilaydi b 1 1-tartibli kaskad;

Oyoq izini kamaytirish orqali sig'im darajasi tanlanadi C va hisoblangan R formula bo'yicha (siz tanlashingiz mumkin va R, lekin tanlash tavsiya etiladi C, aniqlik uchun)

;

Daromad hisoblab chiqiladi TO da U 1 munosabatdan aniqlanadigan 1-tartibli kaskadi

,

qayerda TO da U- butun filtrning daromadi; TO da U 2 , …, TO da Un- 2-tartibli bosqichlarning kuchaytiruvchi omillari;

Amplifikatsiyani amalga oshirish uchun TO da U 1 rezistorlarni quyidagi nisbat asosida o'rnatish kerak

R B = R A ּ (TO da U1 –1) .

2-tartibli kaskadni hisoblash uchun:

Ishg'ol qilingan maydonni qisqartirish, quvvatlarning reytinglari tanlanadi C 1 = C 2 = C;

Koeffitsientlar jadvallar bo'yicha tanlanadi b 1 i va Q pi 2-darajali kaskadlar uchun;

Berilgan kondansatör nominalida C rezistorlar hisoblab chiqiladi R formula bo'yicha

;

Tanlangan filtr turi uchun tegishli daromadni o'rnatishingiz kerak TO da Ui = 3 – (1/Q pi) 2-darajali har bir bosqichning, quyidagi nisbatga asoslanib, rezistorlarni o'rnatish orqali

R B = R A ּ (TO da Ui –1) ;

Bessel filtrlari uchun barcha kondensatorlarning ko'rsatkichlarini kerakli guruh kechikish vaqtiga ko'paytirish kerak.

Raqamli IIR filtrlari (ya'ni, cheksiz impulsli javob filtrlari) ortidagi nazariyaning ko'p qismi doimiy vaqt filtrlarini qanday hisoblashni tushunishni talab qiladi. Shuning uchun ushbu bo'limda bir nechta standart turdagi analog filtrlar, jumladan Butterworth, Bessel va Chebyshev I va II turdagi filtrlar uchun dizayn formulalari taqdim etiladi. Ushbu filtrlarga mos keladigan berilgan xususiyatlarni yaqinlashtirish usullarining afzalliklari va kamchiliklarining batafsil tahlilini analog filtrlarni hisoblash usullariga bag'ishlangan bir qator ishlarda topish mumkin, shuning uchun quyida biz har bir filtrning asosiy xususiyatlarini qisqacha sanab o'tamiz. analog filtrlarning koeffitsientlarini olish uchun zarur bo'lgan hisoblangan nisbatlarni yozing va bering.

Ō = 1 rad / s ga teng bo'lgan kesish chastotasi bilan normallashtirilgan past o'tkazuvchan filtrni hisoblash kerak bo'lsin. Qoida tariqasida, amplituda xarakteristikasi kvadrati taxminiy funktsiya sifatida ishlatiladi (Bessel filtri bundan mustasno). Analog filtrning uzatish funksiyasi quyidagi ko'rinishdagi S o'zgaruvchining ratsional funksiyasi deb faraz qilamiz:

Past o'tkazuvchan Butterworth filtrlari s-tekisligida kelib chiqishida mumkin bo'lgan eng silliq amplitudali javobga ega bo'lishi bilan tavsiflanadi. Demak, boshlang'ichdagi amplituda xarakteristikasining barcha mavjud hosilalari nolga teng. Buttervort filtrining normallashtirilgan (ya'ni, kesish chastotasi 1 rad/s bo'lgan) kvadrat amplitudasi xarakteristikasi:

qayerda n - filtrlash tartibi. Funktsiyani (14.2) analitik ravishda butun S-tekislikka kengaytiramiz, biz olamiz

Barcha qutblar (14.3) birlik aylanasida bir-biridan bir xil masofada joylashgan S-samolyot ... Transfer funksiyasini ifodalaylik H (s) chap yarim tekislikda joylashgan qutblar orqali S :

Qaerda (14.4)

Bu erda k = 1,2 ... ..n (14.5)

a k 0 normallanish konstantasi hisoblanadi. Formulalar (14.2) va (14.5) yordamida past chastotali Butterworth filtrlarining bir nechta xususiyatlarini shakllantirish mumkin.

Past Pass Butterworth filtrlari xususiyatlari:

1. Butterworth filtrlarida faqat qutblar mavjud (bu filtrlarning uzatish funksiyalarining barcha nollari cheksizlikda joylashgan).

2. Ō = 1 rad / s chastotada Butterworth filtrlarining uzatish koeffitsienti (ya'ni, kesish chastotasida ularning amplituda xarakteristikasi 3 dB ga kamayadi).

3. Filtr tartibi n butun filtrni to'liq belgilaydi. Amalda, Butterworth filtrining tartibi odatda ma'lum bir chastotada ma'lum bir zaiflashuvni ta'minlash sharti asosida hisoblanadi Ō t> 1. Ō = Ō t chastotada ta'minlovchi filtrning tartibi.< уровень амплитудной характеристики, равный 1/А, можно найти из соотношения

Guruch. 14.1. Analog past chastotali Butterworth filtri uchun qutb joylari.

Guruch. 14.2- Amplituda va faza xarakteristikalari, shuningdek, analog past chastotali Butterworth filtrining guruh kechikishining xarakteristikasi.

Keling, masalan, chastotada talab qilinadi Ō t = 2 rad / s A = 100 ga teng zaiflashuvni ta'minlang. Keyin

Dumaloq n butun songacha, biz berilgan zaiflashuv 7-tartibli Butterworth filtrini ta'minlashini topamiz.

Yechim... Dizayn xususiyatlari sifatida foydalanish 1 / A == 0,0005 (bu 66 dB zaiflashuvga to'g'ri keladi) va Ō t = 2, olamiz n== 10,97. Yaxlitlash beradi n = 11... Shaklda. 14.1 da hisoblangan Butterworth filtrining qutblarining joylashuvi ko'rsatilgan s-tekisligi... Ushbu filtrning amplitudasi (logarifmik shkala bo'yicha) va fazaviy xarakteristikalar, shuningdek, ushbu filtrning guruh kechikishining xarakteristikasi rasmda ko'rsatilgan. 14.2.

Butterworth filtri

Butterworth Past Pass Filtrni uzatish funktsiyasi n-chi tartib quyidagi ifoda bilan tavsiflanadi:

Butterworth filtrining chastotali javobi quyidagi xususiyatlarga ega:

1) Har qanday tartibda n chastota javob qiymati

2) kesish chastotasida u = u s

LPF ning chastotali javobi chastotaning ortishi bilan monoton ravishda kamayadi. Shu sababli, Butterworth filtrlari tekis javob filtrlari deb ataladi. 3-rasmda 1-5 tartibli Butterworth LPF ning amplituda-chastota xususiyatlarining grafiklari ko'rsatilgan. Shubhasiz, filtr tartibi qanchalik katta bo'lsa, ideal past o'tkazuvchan filtrning chastotali javobi shunchalik aniqroq bo'ladi.

3-rasm - 1 dan 5 gacha bo'lgan tartibdagi past chastotali Butterworth filtri uchun chastotali javob

4-rasmda Butterworth HPF sxemasining amalga oshirilishi ko'rsatilgan.

4-rasm - Butterworth HPF-II

Butterworth filtrining afzalligi - o'tish diapazoni chastotalarida eng yumshoq chastotali javob va bostirish diapazoni chastotalarida uning deyarli nolga tushishi. Buttervort filtri yuqori buyurtmalar uchun chastota ta'sirini saqlaydigan yagona filtrdir (bostirish diapazonidagi keskin aylanishdan tashqari), boshqa ko'plab filtrlar (Bessel filtri, Chebishev filtri, elliptik filtr) esa har xil chastotaga ega. turli buyurtmalar bo'yicha javob shakllari.

Biroq, I va II turdagi Chebyshev filtrlari yoki elliptik filtrlar bilan solishtirganda, Butterworth filtri sayozroq aylanishga ega va shuning uchun to'xtash chastotalarida kerakli xususiyatlarni ta'minlash uchun yuqori tartibga ega bo'lishi kerak (buni amalga oshirish qiyinroq). .

Chebyshev filtri

Chebishev filtrining uzatish funktsiyasi modulining kvadrati quyidagi ifoda bilan aniqlanadi:

Chebishev ko'phad qayerda. Chebishev filtrining uzatish funktsiyasi moduli u yo'qolgan chastotalarda birga teng.

Chebyshev filtrlari odatda kichik tartibli filtr yordamida kerakli chastotali javob xususiyatlarini ta'minlash kerak bo'lganda qo'llaniladi, xususan, bostirish zonasidan chastotalarni yaxshi bostirish va o'tish va bostirish chastotalarida chastota reaktsiyasining silliqligi unchalik emas. muhim.

I va II turdagi Chebyshev filtrlari mavjud.

Chebyshev filtri 1-tur. Bu Chebyshev filtrlarining keng tarqalgan modifikatsiyasi. Bunday filtrning o'tish diapazonida to'lqinlar ko'rinadi, ularning amplitudasi to'lqin indeksi bilan belgilanadi e.Analog elektron Chebyshev filtri holatida uning tartibi uni amalga oshirishda ishlatiladigan reaktiv komponentlar soniga teng. Xarakteristikaning keskinroq aylanishini nafaqat o'tish diapazonida, balki bostirish zonasida ham to'lqinlanishga ruxsat berish orqali, murakkab tekislikdagi jsh xayoliy o'qi bo'yicha filtrning uzatish funktsiyasiga nollarni qo'shish orqali erishish mumkin. Biroq, bu tishli bandda kamroq samarali bostirishga olib keladi. Olingan filtr elliptik filtr bo'lib, u Cauer filtri sifatida ham tanilgan.

To'rtinchi tartibli birinchi turdagi Chebyshev past o'tkazuvchan filtri uchun chastota reaktsiyasi 5-rasmda ko'rsatilgan.

5-rasm - To'rtinchi tartibli birinchi turdagi Chebishev past o'tkazuvchan filtri uchun chastotali javob

Chebyshev tipi II filtri (teskari Chebyshev filtri) amplituda xarakteristikasining kamroq keskin pasayishi tufayli Chebishev tipidagi filtrga qaraganda kamroq qo'llaniladi, bu komponentlar sonining ko'payishiga olib keladi. Uning o'tish bandida to'lqini yo'q, lekin bostirish bandida mavjud.

To'rtinchi tartibli ikkinchi turdagi Chebyshev past o'tkazuvchan filtri uchun chastota reaktsiyasi 6-rasmda ko'rsatilgan.

6-rasm - II turdagi Chebishev past o'tkazuvchan filtri uchun OFK

7-rasmda I va II darajali Chebyshev HPFlarining sxematik amalga oshirilishi ko'rsatilgan.

7-rasm - HPF Chebyshev: a) buyurtma beraman; b) II tartib

Chebishev filtrlarining chastotali javob xususiyatlari:

1) O'tish diapazonida chastota javobi teng to'lqinli xarakterga ega. Intervalda (-1? U? 1) mavjud n funktsiya 1 ga teng maksimal qiymatga yoki ga teng bo'lgan minimal qiymatga erishadigan nuqtalar. Agar n toq bo'lsa, n juft bo'lsa;

2) Chebishev filtrining kesish chastotasidagi chastota javobining qiymati

3) At, funksiya monoton ravishda kamayadi va nolga intiladi.

4) e parametri o'tish diapazonidagi Chebyshev filtrining chastota ta'sirining notekisligini aniqlaydi:

Buttervort va Chebishev filtrlarining chastota reaktsiyasini taqqoslash shuni ko'rsatadiki, Chebyshev filtri bir xil tartibdagi Butterworth filtriga qaraganda o'tish diapazonida ko'proq zaiflashuvni ta'minlaydi. Chebyshev filtrlarining kamchiliklari shundaki, ularning o'tish diapazonidagi faza-chastota xususiyatlari chiziqlilardan sezilarli darajada farq qiladi.

Butterworth va Chebyshev filtrlari uchun qutblarning koordinatalarini va turli buyurtmalarning uzatish funktsiyalari koeffitsientlarini ko'rsatadigan batafsil jadvallar mavjud.

Filtrlarni tahlil qilish va ularning parametrlarini hisoblashda har doim ba'zi standart atamalar qo'llaniladi va eng boshidan ularga rioya qilish mantiqan.

Faraz qilaylik, siz tekis o'tkazuvchanlik diapazoni javobiga ega bo'lgan past o'tkazuvchan filtrni va tishli diapazonga keskin o'tishni xohlaysiz. To'xtash chizig'idagi oxirgi qiyalik har doim 6n dB / oktava bo'ladi, bu erda n - qutblar soni. Har bir qutb uchun bitta kondansatör (yoki induktor) talab qilinadi, shuning uchun filtrning chastotali javobining oxirgi aylanish tezligiga qo'yiladigan talablar, taxminan, uning murakkabligini aniqlaydi.

Endi siz 6 kutupli past o'tkazuvchan filtrdan foydalanishga qaror qildingiz deylik. Sizga yuqori chastotalarda 36 dB/oktavaning yakuniy siljishi kafolatlanadi. O'z navbatida, endi o'tish diapazonidan to'xtash chizig'iga o'tishning qiyaligini kamaytirish orqali o'tish diapazonida eng tekis javobni ta'minlash ma'nosida filtr sxemasini optimallashtirish mumkin. Boshqa tomondan, ba'zi bir o'tish diapazonining dalgalanishiga ruxsat berish orqali o'tish diapazonidan to'xtash chizig'iga keskin o'tishga erishish mumkin. Muhim bo'lishi mumkin bo'lgan uchinchi mezon filtrning o'tish diapazonida joylashgan spektrga ega signallarni fazalar siljishi natijasida ularning shaklini buzmasdan o'tkazish qobiliyatini tavsiflaydi. Sizni ko'tarilish vaqti, oshib ketish va o'rnatish vaqti ham qiziqtirishi mumkin.

Ushbu xususiyatlardan yoki ularning kombinatsiyalaridan birini optimallashtirish uchun mos bo'lgan ma'lum filtrni loyihalash usullari mavjud. Haqiqatan ham aqlli filtr tanlovlari yuqorida tavsiflanganidek ishlamaydi; Qoidaga ko'ra, birinchi navbatda o'tish diapazonidagi xususiyatlarning talab qilinadigan bir xilligi va o'tish diapazonidan tashqarida ma'lum bir chastotada zarur zaiflashuv va boshqa parametrlar o'rnatiladi. Shundan so'ng, ushbu talablarning barchasini qondirish uchun etarli bo'lgan qutblar soni bilan eng mos sxema tanlanadi. Keyingi bir necha bo'limda uchta eng mashhur filtr turlari ko'rib chiqiladi, ya'ni Butterworth (eng tekis o'tish diapazoni javobi), Chebishev filtri (eng keskin o'tish-o'tishga o'tish) va Bessel filtri (eng tekis kechikish javobi). Ushbu turdagi filtrlarning har biri turli filtr sxemalari yordamida amalga oshirilishi mumkin; ularning ba'zilari haqida keyinroq to'xtalib o'tamiz.Ularning barchasi past o'tkazuvchan, yuqori o'tkazuvchi va tarmoqli o'tkazuvchi filtrlarni qurish uchun birdek mos keladi.

Butterworth va Chebyshev filtrlari. Butterworth filtri o'tish zonasidagi eng tekis javobni ta'minlaydi, bu o'tish mintaqasida silliq javob berish xarajatida erishiladi, ya'ni. tarmoqli kengligi va kechikish o'rtasida. Keyinchalik ko'rsatilgandek, u ham zaif faza-chastota javobiga ega. Uning chastotali javobi quyidagi formula bilan ifodalanadi:
U chiqib / U in = 1/1/2,
bu erda n - filtrning tartibi (qutblar soni). Qutblar sonini ko'paytirish, rasmda ko'rsatilganidek, o'tish diapazoni javobini tekislash va qiyalikni o'tish polosasidan bostirish tarmoqli kengligigacha oshirish imkonini beradi. 5.10.

Guruch. 5.10 Past chastotali Butterworth filtrlarining normallashtirilgan xarakteristikalari. Filtrlash tartibi ortib borishi bilan roll-off ortishiga e'tibor bering.

Buttervort filtrini tanlab, biz iloji boricha tekis javob olish uchun hamma narsani murosaga keltiramiz. Uning xarakteristikasi nol chastotadan boshlab gorizontal ravishda ketadi, uning burilish chastotasi ƒ s chegarasida boshlanadi - bu chastota odatda -3 dB nuqtasiga to'g'ri keladi.

Ko'pgina ilovalarda eng muhim omil shundaki, o'tish diapazoni to'lqini ma'lum bir qiymatdan oshmasligi kerak, masalan, 1 dB. Chebyshev filtri bu talabga javob beradi, shu bilan birga butun o'tish diapazonida xarakteristikaning ba'zi bir notekisligiga yo'l qo'yiladi, lekin ayni paytda uning burilish keskinligi sezilarli darajada oshadi. Chebyshev filtri uchun qutblar soni va o'tish bandidagi notekislik o'rnatiladi. O'tish diapazoni to'lqinining ortishiga ruxsat berish keskin burilishga olib keladi. Ushbu filtrning chastotali javobi quyidagi munosabat bilan beriladi
U chiqib / U in = 1/1/2,
bu yerda C n - birinchi turdagi n darajali Chebishev ko'phad, e - o'tish zonasidagi xarakteristikaning bir xil emasligini aniqlaydigan doimiy. Chebyshev filtri, Butterworth filtri kabi, idealdan uzoq bo'lgan fazali chastotali xususiyatlarga ega. Shaklda. 5.11 6 kutupli past o'tkazgichli Chebyshev va Butterworth filtrlarining xususiyatlarini taqqoslash uchun ko'rsatilgan. Ko'rib turganingizdek, ikkalasi ham 6 kutupli RC filtridan ancha yaxshi.

Guruch. 5.11. Ba'zi tez-tez ishlatiladigan 6 kutupli past o'tkazuvchan filtrlarning xususiyatlarini taqqoslash. Xuddi shu filtrlarning xarakteristikalari ham logarifmik (yuqori) va chiziqli (pastki) shkalalarda ko'rsatilgan. 1 - Bessel filtri; 2 - Butterworth filtri; 3 - Chebyshev filtri (to'lqinli 0,5 dB).

Darhaqiqat, o'tish diapazonidagi maksimal tekis javobga ega Butterworth filtri ko'rinadigan darajada jozibali emas, chunki har qanday holatda siz o'tish diapazonidagi bir oz notekislikka dosh berishingiz kerak (Butterworth filtri uchun bu asta-sekin pasayish bo'ladi) ƒ s chastotasiga yaqinlashganda xarakteristikada va Chebyshev filtri uchun - butun o'tish diapazoni bo'ylab tarqalgan dalgalanma). Bundan tashqari, reytinglari ma'lum bardoshlik darajasiga ega bo'lgan elementlardan qurilgan faol filtrlar hisoblanganidan farq qiladigan xususiyatga ega bo'ladi, ya'ni aslida Batterworth filtrining xarakteristikasi bo'yicha o'tish chizig'ida har doim bir oz notekislik bo'ladi. Shaklda. 5.12 kondansatör sig'imi va rezistor qarshiligi qiymatlaridagi eng kiruvchi og'ishlarning filtr tavsifiga ta'sirini ko'rsatadi.

Guruch. 5.12. Elementlar parametrlaridagi o'zgarishlarning faol filtrning xarakteristikasiga ta'siri.

Yuqoridagilardan kelib chiqqan holda, juda oqilona tuzilma Chebyshev filtridir. Ba'zan uni teng to'lqinli filtr deb ham atashadi, chunki uning o'tish mintaqasidagi xarakteristikasi o'tish chizig'i bo'ylab bir nechta teng o'lchamdagi to'lqinlar taqsimlanganligi sababli yuqori tiklikka ega, ularning soni filtrning tartibi bilan ortadi. Nisbatan past to'lqin (taxminan 0,1 dB) bo'lsa ham, Chebyshev filtri Butterworth filtriga qaraganda o'tish mintaqasida ancha yuqori nishabni ta'minlaydi. Ushbu farqni aniqlash uchun sizga 0,1 dB dan ko'p bo'lmagan o'tish diapazoni to'lqinli va 20 dB pasaytirish chastotasi o'tish diapazoni kesish chastotasidan 25% farq qiladigan filtr kerak deb hisoblang. Hisoblash shuni ko'rsatadiki, bu holda 19 kutupli Butterworth filtri yoki faqat 8 kutupli Chebyshev filtri talab qilinadi.

O'tish qismining tikligini oshirish uchun o'tish chizig'idagi xarakteristikaning to'lqinlanishiga dosh berish mumkinligi haqidagi fikr elliptik filtr (yoki Cauer) g'oyasida mantiqiy xulosaga keltiriladi. filtri), bunda o'tish chizig'ida ham, chiziqda ham xarakteristikaning to'lqinlanishiga o'tish qismining tikligini Chebyshev filtri xarakteristikasidan ham kattaroq bo'lishini ta'minlash uchun kechiktirishga ruxsat beriladi. Kompyuter yordamida elliptik filtrlarni klassik Chebishev va Buttervort filtrlari kabi oson qurish mumkin. Shaklda. 5.13 filtrning chastotali javobining grafik sozlamalarini ko'rsatadi. Bu holda (past o'tkazuvchan filtr), o'tish diapazonidagi filtrning kuchayishining ruxsat etilgan diapazoni (ya'ni, tekislik), xarakteristikaning o'tish diapazonidan chiqishining minimal chastotasi, xarakteristikaning to'xtash chizig'iga o'tadigan maksimal chastotasi va o'tish diapazonidagi minimal zaiflashuv aniqlanadi.

Guruch. 5.13. Filtrning chastotali javob parametrlarini o'rnatish.

Bessel filtrlari. Yuqorida aytib o'tilganidek, filtrning chastotali javobi bu haqda to'liq ma'lumot bermaydi. Yassi chastotali javobga ega bo'lgan filtr katta fazali siljishlarga ega bo'lishi mumkin. Natijada, spektri o'tish diapazonida joylashgan to'lqin shakli filtrdan o'tganda buziladi. To'lqin shakli muhim ahamiyatga ega bo'lgan vaziyatda chiziqli fazali filtr (doimiy vaqtni kechiktirish filtri) mavjud bo'lishi maqsadga muvofiqdir. Filtrni chastotaga nisbatan chiziqli faza almashinuvini ta'minlashni talab qilish, spektri o'tish diapazonida bo'lgan signal uchun doimiy kechikishni talab qilishga teng, ya'ni to'lqin shaklining buzilishi. Bessel filtri (Tomson filtri deb ham ataladi) o'tish diapazonidagi kechikish vaqtining eng tekis qismiga ega, xuddi Butterworth filtri eng tekis chastotali javobga ega. Bessel filtri vaqt domenida qanday yaxshilanishni tushunish uchun rasmga qarang. 5.14, bu 6-qutbli Bessel va Butterworth past o'tkazuvchan filtrlari uchun chastotali normallashtirilgan kechikish vaqtini ko'rsatadi. Buttervort filtrining kechikish vaqtining past xarakteristikalari impulsli signallar filtrdan o'tganda haddan tashqari ta'sirga olib keladi. Boshqa tomondan, Bessel filtrining kechikish vaqtlarining doimiyligi uchun uning amplituda-chastota xarakteristikasi, hatto Batterworth filtrining xarakteristikasiga qaraganda, o'tish va to'xtash diapazoni o'rtasida tekisroq o'tish qismiga ega ekanligi bilan to'lash kerak. .

Guruch. 5.14. 6 diapazonli past chastotali Bessel (1) va Butterworth (2) filtrlari uchun vaqt kechikishlarini taqqoslash. Bessel filtri vaqt sohasida o'zining ajoyib xususiyatlari tufayli to'lqin shaklining eng kam buzilishlarini beradi.

Vaqt domenida Bessel filtrining ishlashini yaxshilashga harakat qiladigan, ko'tarilish vaqtini kamaytirish va chastota reaktsiyasini yaxshilash uchun kechikish vaqtining barqarorligini qisman qurbon qiladigan ko'plab turli xil filtr dizayn usullari mavjud. Gauss filtri deyarli Bessel filtri kabi yaxshi fazali javobga ega, ammo yaxshilangan vaqtinchalik javobga ega. Yana bir qiziqarli sinf - bu o'tish diapazonidagi kechikish vaqti egri chizig'ida bir xil dalgalanmaga erishishga imkon beradigan filtrlar (Chebishev filtrining chastota javobining to'lqiniga o'xshash) va spektrli signallar uchun taxminan bir xil kechikishni ta'minlaydi. to'xtash bandi. Doimiy kechikish bilan filtrlarni yaratishning yana bir yondashuvi - bu vaqt domeni ekvalayzerlari deb ham ataladigan to'liq o'tish filtrlaridan foydalanish. Ushbu filtrlar doimiy chastotali javobga ega va faza almashinuvi muayyan talablarga muvofiq o'zgarishi mumkin. Shunday qilib, ular har qanday filtrlarning, xususan Butterworth va Chebyshev filtrlarining kechikish vaqtini tenglashtirish uchun ishlatilishi mumkin.

Filtrlarni solishtirish. Bessel filtrlarining vaqtinchalik javobi haqidagi oldingi mulohazalarga qaramay, Butterworth va Chebyshev filtrlari bilan solishtirganda, u hali ham vaqt sohasida juda yaxshi xususiyatlarga ega. Chebyshev filtrining o'zi, juda mos chastotali javob bilan, barcha uch turdagi filtrlarning eng yomon vaqt-domen parametrlariga ega. Buttervort filtri chastota va vaqt o'rtasidagi muvozanatni taklif qiladi. Shaklda. 5.15, ilgari ko'rsatilgan chastotali javob chizmalariga qo'shimcha ravishda, vaqt sohasidagi ushbu uchta filtr turining ishlash xususiyatlari haqida ma'lumot beradi. Ushbu ma'lumotlarga asoslanib, vaqt domenidagi filtr parametrlari muhim bo'lgan hollarda Bessel filtrini qo'llash maqsadga muvofiq degan xulosaga kelish mumkin.

Guruch. 5.15. 6 kutupli past o'tkazuvchan filtrlarning o'tish jarayonlarini taqqoslash. Egri chiziqlar 3 dB zaiflashuvni 1 Gts chastotaga aylantirish orqali normallashtiriladi. 1 - Bessel filtri; 2 - Butterworth filtri; 3 - Chebyshev filtri (to'lqinli 0,5 dB).

Butterworth filtrining chastotali javobi tenglama bilan tavsiflanadi

Butterworth filtrining xususiyatlari: chiziqli bo'lmagan fazali javob; qutblar soniga bog'liq bo'lmagan kesish chastotasi; qadamli kirish signali bilan vaqtinchalik javobning tebranish xarakteri. Filtrning tartibi ortishi bilan tebranish xususiyati kuchayadi.

Chebyshev filtri

Chebyshev filtrining chastotali javobi tenglama bilan tavsiflanadi

,

qayerda T n 2 (ω/ω n ) - Chebishev polinomi n- Buyurtma.

Chebishev ko'phadini hisoblash rekursiv formula yordamida amalga oshiriladi

Chebyshev filtrining xususiyatlari: fazaviy javobning bir xil bo'lmasligini oshirish; o'tish chizig'idagi to'lqinli xususiyat. O'tish diapazonidagi filtrning chastota ta'sirining bir xil bo'lmaganlik koeffitsienti qanchalik yuqori bo'lsa, xuddi shu tartibda o'tish mintaqasida pasayish shunchalik keskin bo'ladi. Bosqichli kirish signali bilan vaqtinchalik to'lqin Butterworth filtriga qaraganda kuchliroqdir. Chebishev filtri qutblarining Q koeffitsienti Battervort filtriga qaraganda yuqori.

Bessel filtri

Bessel filtrining chastotali javobi tenglama bilan tavsiflanadi

,

qayerda
;B n 2 (ω/ω cp s ) - Bessel polinomi n th buyurtma.

Bessel polinomi takroriy formula yordamida hisoblanadi

Bessel filtrining xususiyatlari: Gauss funktsiyasi bo'yicha taxminan bir xil chastotali javob va fazali javob; filtrning fazali siljishi chastotaga mutanosib, ya'ni. filtr chastotaga bog'liq bo'lmagan guruhning kechikish vaqtiga ega. Filtr qutblari soni o'zgarishi bilan kesish chastotasi o'zgaradi. Filtrning aylanishi odatda Butterworth va Chebyshevnikiga qaraganda sayozroq. Ushbu filtr, ayniqsa, impulsli davrlar va fazaga sezgir signallarni qayta ishlash uchun juda mos keladi.

Cauer filtri (elliptik filtr)

Cauer filtrining uzatish funktsiyasining umumiy ko'rinishi

.

Cauer filtrining xususiyatlari: o'tish va to'xtash bandida notekis chastotali javob; sanab o'tilgan barcha filtrlarning chastotali javobidagi eng keskin pasayish; boshqa turdagi filtrlardan foydalanishga qaraganda kichikroq filtrlash tartibi bilan kerakli uzatish funksiyalarini amalga oshiradi.

Filtr tartibini aniqlash

Kerakli filtrlash tartibi quyidagi formulalar yordamida aniqlanadi va eng yaqin butun qiymatga yaxlitlanadi. Butterworth filtri buyurtmasi

.

Chebyshev filtri tartibi

.

Bessel filtri uchun tartibni hisoblash uchun formula mavjud emas, buning o'rniga filtr tartibining kechikish vaqtining birlik qiymatidan minimal og'ishiga va dBdagi yo'qotish darajasiga muvofiqligi jadvallari Bessel filtri uchun taqdim etilgan.

Bessel filtrining tartibini hisoblashda quyidagi parametrlar o'rnatiladi:

Berilgan chastotada guruh kechikish vaqtining foizli bardoshliligi ω ω cp s ;

Filtrning kuchayishining susaytirish darajasi chastotada dB da o'rnatilishi mumkin ω ga nisbatan normallashtirilgan ω cp s .

Ushbu ma'lumotlarga asoslanib, Bessel filtrining kerakli tartibi aniqlanadi.

1 va 2-tartibdagi yuqori bosimli filtrlar kaskadlarining sxemalari

Shaklda. 12.4, 12.5 LPF bosqichlarining tipik sxemalarini ko'rsatadi.

a) b)

Guruch. 12.4. Butterworth, Chebyshev va Besselning LPF bosqichlari: a - 1-tartib; b - 2-tartib

a) b)

Guruch. 12.5. Cauer LPF kaskadlari: a - 1-tartib; b - 2-tartib

LPF Butterworth, Chebyshev va Bessel 1 va 2 tartibli uzatish funktsiyalarining umumiy ko'rinishi

,
.

1 va 2-darajali Cauer LPF ning uzatish funktsiyalarining umumiy ko'rinishi

,
.

2-tartibli Cauer filtri va tishli filtr o'rtasidagi asosiy farq shundaki, Cauer filtrining uzatish funktsiyasida chastota nisbati Ω s ≠ 1.

Butterworth, Chebyshev va Bessel uchun LPFlarni hisoblash metodologiyasi

Ushbu uslub jadvallarda keltirilgan koeffitsientlarga asoslanadi va Butterworth, Chebyshev va Bessel filtrlari uchun amal qiladi. Cauer filtrlari uchun hisoblash usuli alohida berilgan. Butterworth, Chebyshev va Bessel uchun LPFlarni hisoblash ularning tartibini aniqlashdan boshlanadi. Barcha filtrlar uchun minimal va maksimal zaiflashuv parametrlari va kesish chastotasi o'rnatiladi. Chebyshev filtrlari uchun o'tish diapazonidagi chastota ta'sir koeffitsienti qo'shimcha ravishda aniqlanadi, Bessel filtrlari uchun esa guruhning kechikish vaqti. Keyinchalik, jadvallardan olinishi mumkin bo'lgan filtrning uzatish funktsiyasi aniqlanadi va uning 1 va 2-tartibdagi kaskadlari hisoblab chiqiladi, quyidagi hisoblash tartibi kuzatiladi:

Filtrning tartibi va turiga qarab, uning kaskadlarining sxemalari tanlanadi, juft tartibli filtr esa quyidagilardan iborat. n/ 2-tartibdagi 2 kaskad va toq tartibli filtr - 1-tartibdagi bir kaskaddan va ( n– 1) / 2-darajali 2 kaskad;

1-tartibli kaskadni hisoblash uchun:

Tanlangan filtr turi va tartibi qiymatni belgilaydi b 1 1-tartibli kaskad;

Oyoq izini kamaytirish orqali sig'im darajasi tanlanadi C va hisoblangan R formula bo'yicha (siz tanlashingiz mumkin va R, lekin tanlash tavsiya etiladi C, aniqlik uchun)

;

Daromad hisoblab chiqiladi TO da U 1 munosabatdan aniqlanadigan 1-tartibli kaskadi

,

qayerda TO da U- butun filtrning daromadi; TO da U 2 , …, TO da Un- 2-tartibli bosqichlarning kuchaytiruvchi omillari;

Amplifikatsiyani amalga oshirish uchun TO da U 1 rezistorlarni quyidagi nisbat asosida o'rnatish kerak

R B = R A ּ (TO da U1 –1) .

2-tartibli kaskadni hisoblash uchun:

Ishg'ol qilingan maydonni qisqartirish, quvvatlarning reytinglari tanlanadi C 1 = C 2 = C;

Koeffitsientlar jadvallar bo'yicha tanlanadi b 1 i va Q pi 2-darajali kaskadlar uchun;

Berilgan kondansatör nominalida C rezistorlar hisoblab chiqiladi R formula bo'yicha

;

Tanlangan filtr turi uchun tegishli daromadni o'rnatishingiz kerak TO da Ui = 3 – (1/Q pi) 2-darajali har bir bosqichning, quyidagi nisbatga asoslanib, rezistorlarni o'rnatish orqali

R B = R A ּ (TO da Ui –1) ;

Bessel filtrlari uchun barcha kondensatorlarning ko'rsatkichlarini kerakli guruh kechikish vaqtiga ko'paytirish kerak.