Noaniq integralda o'zgaruvchan almashtirish usuli. Noaniq integralning o'zgaruvchan o'zgarishi

2. O‘zgaruvchan almashtirish (almashtirish usuli)

O'zgartirish usulining mohiyati shundan iboratki, yangi o'zgaruvchini kiritish natijasida berilgan murakkab integralni hisoblash usuli ma'lum bo'lgan jadval yoki shunga o'xshash shaklga keltiriladi.

Integralni hisoblash talab qilinsin. Ikkita almashtirish qoidalari mavjud:

Funksiyalarni tanlashning umumiy qoidasi
mavjud emas, lekin funksiya tanlash bo'yicha tavsiyalar mavjud bo'lgan bir necha turdagi integrallar mavjud
.

O'zgaruvchan almashtirish natija olinmaguncha bir necha marta qo'llanilishi mumkin.

1-misol. Integrallarni toping:

a)
; b)
; v)
;

G)
; e)
; e)
.

Yechim.

a) Jadvalli integrallar orasida turli darajadagi radikallar yo'q, shuning uchun "Men qutulmoqchiman", birinchi navbatda, dan
va
... Bu almashtirishni talab qiladi NS ikkala ildiz ham osonlik bilan olinadigan ibora:

b) Eksponensial funktsiyadan "qutilish" istagi paydo bo'lganda tipik misol
... Ammo bu holda, kasrning maxrajidagi barcha ifodani yangi o'zgaruvchi sifatida qabul qilish qulayroqdir:

;

c) Numerator ko'paytmani o'z ichiga olganligini ko'rish
radikal ifodaning differentsial qismi bo'lgan , butun ifodani yangi o'zgaruvchi bilan almashtiring:

;

d) Bu erda, a) holatda bo'lgani kabi, radikaldan xalos bo'lishni xohlaydi. Ammo a) nuqtadan farqli o'laroq, faqat bitta ildiz bor, shuning uchun biz uni yangi o'zgaruvchi bilan almashtiramiz:

e) Bu erda almashtirishni tanlashga ikkita holat yordam beradi: bir tomondan, logarifmlardan xalos bo'lishga intuitiv istak, boshqa tomondan, ifodaning mavjudligi. , bu funksiyaning differentsialidir
... Ammo oldingi misollarda bo'lgani kabi, almashtirishda logarifm bilan birga keladigan doimiylarni kiritish yaxshiroqdir:

f) Bu erda, oldingi misolda bo'lgani kabi, integranddagi noqulay ko'rsatkichdan qutulishning intuitiv istagi hammaga ma'lum bo'lgan haqiqatga mos keladi:
(3-jadvalning 8-formulasi). Shuning uchun bizda:

Funktsiyalarning ayrim sinflari uchun o'zgaruvchilarning o'zgarishi

Keling, ba'zi almashtirishlar tavsiya etilishi mumkin bo'lgan ba'zi funktsiyalar sinflarini ko'rib chiqaylik.

4-jadval.Ratsional funktsiyalar

Integral shakl	Integratsiya usuli
1.1.
1.2.
1.3.	To'liq kvadratni tanlash:
1.4.	Takroriy formula

Transsendental funktsiyalar:

1.5.
- almashtirish t = e x ;

1.6.
- almashtirish t= jurnal a x.

2-misol. Ratsional funksiyalarning integrallarini toping:

a)
; b)
;

v)
; e)
.

Yechim.

a) O'zgaruvchilarning o'zgarishi yordamida bu integralni hisoblashning hojati yo'q, bu erda differensial belgi ostida yig'indidan foydalanish osonroq:

b) Xuddi shunday, biz differensial belgi ostida yig'indidan foydalanamiz:

;

c) Bizdan oldin 4-jadvalning 1.3-toifali integrali bo'lsa, biz tegishli tavsiyalardan foydalanamiz:

e) oldingi misolga o'xshash:

3-misol. Integrallarni toping

a)
; b)
.

Yechim.

b) integranda logarifm mavjud, shuning uchun biz 1.6 tavsiyasidan foydalanamiz. Faqat bu holatda nafaqat funktsiyani almashtirish qulayroqdir
, va ildiz ostidagi butun ifoda:

6-jadval. Trigonometrik funktsiyalar (R

Integral shakl	Integratsiya usuli
3.1.	Universal almashtirish , , ,
3.1.1. , agar	O'zgartirish
3.1.2. , agar	O'zgartirish .
3.1.3. . , agar (ya'ni, funktsiyalarning faqat teng vakolatlari mavjud )	O'zgartirish
3.2.	Agar - toq, keyin 3.1.1 ga qarang; agar - toq, keyin 3.1.2 ga qarang; agar - teng, keyin 3.1.3 ga qarang; agar - teng, keyin darajani kamaytirish formulalaridan foydalaning ,
3.3. , ,	Formulalardan foydalaning

4-misol. Integrallarni toping:

a)
; b)
; v)
; e)
.

Yechim.

a) Bu yerda trigonometrik funktsiyani integrallaymiz. Keling, universal almashtirishni qo'llaymiz (6, 3.1-jadval):

b) Bu erda biz umumiy almashtirishni ham qo'llaymiz:

E'tibor bering, ko'rib chiqilayotgan integraldagi o'zgaruvchilarning o'zgarishi ikki marta qo'llanilishi kerak edi.

c) Xuddi shu tarzda hisoblang:

e) Ushbu integralni hisoblashning ikkita usulini ko'rib chiqing.

Ko'rib turganingizdek, bizda turli xil antiderivativ funktsiyalar mavjud. Bu ishlatiladigan texnikalardan biri noto'g'ri natija beradi degani emas. Gap shundaki, yarim burchakning tangensini umumiy burchakning trigonometrik funktsiyalari bilan bog'laydigan taniqli trigonometrik o'ziga xosliklardan foydalanib, biz

Shunday qilib, topilgan antiderivativlar bir-biriga mos keladi.

5-misol. Integrallarni toping:

a)
; b)
; v)
; G)
.

Yechim.

a) Bu integralda universal almashtirishni ham qo'llash mumkin
, lekin integrandga kiritilgan kosinus teng darajada bo'lganligi sababli, 6-jadvalning 3.1.3-bandidagi tavsiyalardan foydalanish yanada oqilona bo'ladi:

b) Birinchidan, integralga kiritilgan barcha trigonometrik funksiyalarni bitta argumentga keltiramiz:

Hosil boʻlgan integralda universal almashtirish qoʻllanilishi mumkin, lekin shuni taʼkidlaymizki, sinus va kosinusning belgisi oʻzgarganda integranda belgisi oʻzgarmaydi:

Shunday qilib, funktsiya 6-jadvalning 3.1.3-bandida ko'rsatilgan xususiyatlarga ega, shuning uchun eng qulay almashtirish bo'ladi.
... Bizda ... bor:

c) Berilgan integranda kosinusning belgisi o'zgartirilsa, butun funktsiya ishorani o'zgartiradi:

Demak, integrand 3.1.2-bo'limda tasvirlangan xususiyatga ega. Shuning uchun almashtirishdan foydalanish oqilona
... Lekin birinchi navbatda, oldingi misolda bo'lgani kabi, biz integralni o'zgartiramiz:

d) Agar berilgan integralda sinusning belgisi o'zgartirilsa, u holda butun funktsiya ishorani o'zgartiradi, ya'ni bizda 6-jadvalning 3.1.1-bandida tasvirlangan holat mavjud, shuning uchun yangi o'zgaruvchiga funktsiya belgilanishi kerak.
... Lekin integrandda funksiyaning mavjudligi ham kuzatilmagani uchun
, na uning differensiali, biz birinchi navbatda aylantiramiz:

6-misol. Integrallarni toping:

a)
; b)
;

v)
G)
.

Yechim.

a) Bu integral 6-jadvalning 3.2 ko'rinishdagi integrallariga tegishli. Sinus toq darajali bo'lgani uchun, tavsiyalarga ko'ra, funksiyani almashtirish qulay.
... Lekin birinchi navbatda biz integralni o'zgartiramiz:

b) Bu integral avvalgisi bilan bir xil turdagi, lekin bu erda funksiyalar
va
teng darajalarga ega, shuning uchun darajani kamaytirish formulalarini qo'llashingiz kerak:
,
... Biz olamiz:

c) funktsiyani o'zgartiramiz:

d) 6-jadvalning 3.1.3 tavsiyalariga muvofiq, bu integralda almashtirishni amalga oshirish qulay.
... Biz olamiz:

5-jadval.Irratsional funktsiyalar (R Uning argumentlarining ratsional funktsiyasi)

Integral shakl	Integratsiya usuli
	O'zgartirish , qayerda k – kasrlarning umumiy maxraji …, .
	O'zgartirish , qayerda k- kasrlarning umumiy maxraji …,
2.3.	almashtirish, , qayerda k- darajali kasrlarning umumiy maxraji …,
2.4.	O'zgartirish .
2.5.	O'zgartirish ,
2.6.	O'zgartirish , .
2.7.	O'zgartirish , .
2.8. (differentsial quti), faqat uchta holatda birlashtirilgan: a) R- butun son (almashtirish NS = t k, qayerda k- kasrlarning umumiy maxraji T va NS); b) - butun (almashtirish = t k, qayerda k- kasr maxraji R); v) - butun (almashtirish = t k, qayerda k- kasr maxraji R).

7-misol. Integrallarni toping:

a)
; b)
; v)
.

Yechim.

a) Ushbu integralni 2.1 ko'rinishdagi integrallarga kiritish mumkin, shuning uchun biz mos almashtirishni amalga oshiramiz. Eslatib o'tamiz, bu holatda almashtirishning ma'nosi irratsionallikdan xalos bo'lishdir. Va bu shuni anglatadiki, radikal ifoda yangi o'zgaruvchining shunday kuchi bilan almashtirilishi kerak, undan integral ostidagi barcha ildizlar olinadi. Bizning holatda, bu aniq :

Integral noto'g'ri ratsional kasrdir. Bunday kasrlarni birlashtirish, birinchi navbatda, butun qismni tanlashni nazarda tutadi. Shunday qilib, keling, sonni maxrajga ajratamiz:

Keyin olamiz
, bu yerdan

Biz umumiy holatni - noaniq integraldagi o'zgaruvchilarni o'zgartirish usulini ko'rib chiqishga murojaat qilamiz.

5-misol

Misol tariqasida men darsning boshida ko'rib chiqqan integralni oldim. Yuqorida aytib o'tganimizdek, integralni echish uchun bizga jadval formulasi yoqdi va men butun masalani unga qisqartirmoqchiman.

O'zgartirish usulining g'oyasi - murakkab ifodani (yoki qandaydir funksiyani) bitta harf bilan almashtiring.
Bunday holda, u iltimos qiladi:
Ikkinchi eng mashhur almashtirish xati - bu xat.
Asos sifatida, boshqa harflardan foydalanish mumkin, ammo biz hali ham an'anaga sodiq qolamiz.

Shunday qilib:
Ammo almashtirishda bizda hali ham bor! Ehtimol, ko'pchilik, agar yangi o'zgaruvchiga o'tish amalga oshirilsa, unda yangi integralda hamma narsa harf orqali ifodalanishi kerak va differentsial uchun joy yo'q deb taxmin qilgan.
Bu sizga kerak bo'lgan mantiqiy xulosaga keladi faqat bog'liq bo'lgan ba'zi ifodaga aylanadi.

Harakat quyidagicha. Biz o'rnini topganimizdan so'ng, ushbu misolda biz differentsialni topishimiz kerak. Farqlar bilan, menimcha, hamma allaqachon do'stlikni o'rnatgan.

O'shandan beri

Differensial ko'rinishdan so'ng, yakuniy natijani iloji boricha qisqaroq qayta yozishni maslahat beraman:
Endi, mutanosiblik qoidalariga ko'ra, biz kerakli narsani ifodalaymiz:

Natijada:
Shunday qilib:

Va bu allaqachon eng jadvalli integral ( integral jadval, albatta, o'zgaruvchi uchun ham amal qiladi).

Xulosa qilib aytganda, teskari almashtirishni amalga oshirish qoladi. Shuni yodda tuting.

Tayyor.

Ko'rib chiqilayotgan misolning yakuniy tartibi quyidagicha ko'rinishi kerak:

“

Keling, almashtiramiz:

“

Belgida hech qanday matematik ma'no yo'q, bu biz oraliq tushuntirishlar uchun yechimni to'xtatganimizni anglatadi.

Daftarga misol yozishda oddiy qalam bilan teskari o'rnini bosish yaxshidir.

Diqqat! Quyidagi misollarda differensialni topish batafsil bayon etilmaydi.

Endi birinchi yechimni eslash vaqti keldi:

Farqi nimada? Asosiy farq yo'q. Ular aslida bir xil narsadir. Ammo vazifani loyihalash nuqtai nazaridan funktsiyani differentsial belgi ostida olib kelish usuli ancha qisqaroq..

degan savol tug'iladi. Agar birinchi usul qisqaroq bo'lsa, nega almashtirish usulini ishlatish kerak? Gap shundaki, bir qator integrallar uchun funksiyani differentsial belgisi ostida “moslash” unchalik oson emas.

6-misol

Noaniq integralni toping.

Keling, almashtiramiz: (bu erda boshqa o'rinbosar haqida o'ylash qiyin)

Ko'rib turganingizdek, almashtirish natijasida asl integral ancha soddalashdi - oddiy quvvat funktsiyasiga qisqartirildi. Bu almashtirishning maqsadi - integralni soddalashtirish.

Dangasa ilg'or odamlar bu integralni differensial belgisi ostida funktsiyani qo'yish orqali osongina yechishlari mumkin:

Yana bir narsa shundaki, bunday yechim hamma talabalar uchun aniq emas. Bundan tashqari, ushbu misolda funktsiyani differentsial belgi ostida olib kelish usulidan foydalanish eritmada chalkashlik xavfini sezilarli darajada oshiradi.

7-misol

Noaniq integralni toping. Tekshirib ko'r.

8-misol

Noaniq integralni toping.

O'zgartirish:
Nima bo'lishini bilish qoladi

Xo'sh, biz buni ifodaladik, lekin hisoblagichda qolgan "x" bilan nima qilish kerak ?!
Vaqti-vaqti bilan integrallarni echish jarayonida quyidagi hiyla sodir bo'ladi: biz bir xil almashtirishdan ifodalaymiz!

9-misol

Noaniq integralni toping.

Bu o'z-o'zidan hal qilish uchun misol. Javob dars oxirida.

10-misol

Noaniq integralni toping.

Albatta, ba'zilar mening qidirish jadvalimda o'zgaruvchan almashtirish qoidasi yo'qligini payqashdi. Bu ataylab qilingan. Qoida tushuntirish va tushunishni chalkashtirib yuboradi, chunki u yuqoridagi misollarda aniq ko'rinmaydi.

Endi o'zgaruvchilarni almashtirish usulidan foydalanishning asosiy shartlari haqida gapirish vaqti keldi: integranda qandaydir funksiya bo'lishi kerak va uning hosilasi : (funktsiyalar ishda bo'lmasligi mumkin)

Shu munosabat bilan integrallarni topishda ko'pincha hosilalar jadvaliga qarashga to'g'ri keladi.

Ushbu misolda, hisoblagichning darajasi maxraj darajasidan bir kam bo'lganligiga e'tibor bering. Hosilalar jadvalida biz darajani bir marta pasaytiradigan formulani topamiz. Va shuning uchun, agar siz maxrajni belgilasangiz, unda hisoblagich yaxshi narsaga aylanishi ehtimoli katta.

O'zgartirish:

Aytgancha, bu erda funktsiyani differentsial belgi ostida olib kelish unchalik qiyin emas:

Shuni ta'kidlash kerakki, kabi kasrlar uchun bunday hiyla endi ishlamaydi (aniqrog'i, nafaqat almashtirish texnikasini qo'llash kerak bo'ladi). Darsda ba'zi kasrlarni integrallashni o'rganishingiz mumkin. Ayrim kasrlarning integrasiyasi.

Xuddi shu operadan mustaqil yechim uchun yana bir nechta odatiy misollar:

11-misol

Noaniq integralni toping.

12-misol

Noaniq integralni toping.

Dars oxiridagi yechimlar.

13-misol

Noaniq integralni toping.

Biz hosilalar jadvaliga qaraymiz va arkkosinamizni topamiz: ... Bizning integralimizda teskari kosinus va uning hosilasiga o'xshash narsa bor.

Umumiy qoida:
Per funktsiyaning o'zini belgilang(va uning hosilasi emas).

Ushbu holatda: . Qolgan integrand nimaga aylanishini aniqlash qoladi.

Ushbu misolda men topilmani batafsil tasvirlab beraman, chunki u murakkab funktsiyadir.

Yoki qisqaroq:
Proportsional qoidaga ko'ra, bizga kerak bo'lgan qoldiqni ifodalaymiz:

Shunday qilib:

Bu erda funktsiyani differensial belgi ostida olib kelish unchalik oson emas.

14-misol

Noaniq integralni toping.

Mustaqil yechim uchun misol. Javob juda yaqin.

Aqlli o'quvchilar men trigonometrik funktsiyalar bilan bir nechta misollarni ko'rib chiqqanimni payqashdi. Va bu tasodif emas, chunki ostida trigonometrik funksiyalarning integrallari alohida dars beriladi. Bundan tashqari, ushbu dars o'zgaruvchini o'zgartirish bo'yicha ba'zi foydali ko'rsatmalar beradi, bu har doim ham bo'lmagan va ma'lum bir integralda qanday almashtirish kerakligini darhol tushunmaydigan dummilar uchun juda muhimdir. Shuningdek, ba'zi turdagi almashtirishlarni maqolada topish mumkin Aniq integral. Yechimlarga misollar.

Ko'proq tajribali talabalar odatdagi almashtirish bilan tanishishlari mumkin irratsional funksiyali integrallarda... Ildizlarni integratsiyalashganda almashtirish o'ziga xos xususiyatga ega va uni bajarish texnikasi biz ushbu darsda muhokama qilganimizdan farq qiladi.

Omad tilayman!

3-misol:Yechim :

4-misol:Yechim :

7-misol:Yechim :

9-misol:Yechim :

O'zgartirish:

11-misol:Yechim :

Keling, almashtiramiz:

12-misol:Yechim :

Keling, almashtiramiz:

14-misol:Yechim :

Keling, almashtiramiz:

Qismlar bo'yicha integratsiya. Yechimlarga misollar

Yana bir bor salom. Bugun darsda biz parcha-parcha birlashtirishni o'rganamiz. Qismlar bo'yicha integratsiya integral hisobning asoslaridan biridir. Testda, imtihonda talabadan deyarli har doim quyidagi turdagi integrallarni yechish so'raladi: eng oddiy integral (maqolaga qarangNoaniq integral. Yechimlarga misollar ) yoki o'zgaruvchining o'zgarishi uchun integral (maqolaga qarangNoaniq integralda o'zgaruvchilarni o'zgartirish usuli ) yoki integral faqat yoqilgan qismlar bo'yicha integratsiya usuli.

Har doimgidek, qo'lingizda bo'lishi kerak: Integral jadval va Hosilalar jadvali... Agar sizda hali ham ular yo'q bo'lsa, iltimos, mening veb-saytim omboriga tashrif buyuring: Matematik formulalar va jadvallar... Men takrorlashdan charchamayman - hamma narsani chop etish yaxshiroqdir. Men barcha materiallarni izchil, sodda va oson taqdim etishga harakat qilaman, qismlarga integratsiya qilishda alohida qiyinchiliklar yo'q.

Qismlar bo'yicha integrallash usuli qanday muammoni hal qiladi? Qismlar bo'yicha integratsiya usuli juda muhim muammoni hal qiladi, bu sizga jadvalda mavjud bo'lmagan ba'zi funktsiyalarni birlashtirishga imkon beradi, ish funktsiyalari va ba'zi hollarda - va qism. Biz eslaganimizdek, qulay formula yo'q: ... Ammo bu bor: - shaxsan qismlar bo'yicha integratsiya formulasi. Bilaman, bilaman, siz yagonasiz - biz u bilan butun dars davomida ishlaymiz (bu allaqachon osonroq).

4), - teskari trigonometrik funktsiyalar ("arklar"), "arklar", ba'zi bir ko'phadga ko'paytiriladi.

Shuningdek, ba'zi kasrlar qismlarga bo'linadi, biz tegishli misollarni ham batafsil ko'rib chiqamiz.

Logarifmlarning integrallari

1-misol

Noaniq integralni toping.

Klassik. Vaqti-vaqti bilan bu integralni jadvallarda topish mumkin, ammo tayyor javobdan foydalanish istalmagan, chunki o'qituvchida bahorda vitamin etishmasligi bor va u qattiq qasam ichadi. Chunki ko'rib chiqilayotgan integral hech qanday jadval shaklida emas - u bo'lak-bo'lak olinadi. Biz qaror qilamiz:

Biz oraliq tushuntirishlar uchun yechimni to'xtatamiz.

Qismlar bo'yicha integratsiya uchun formuladan foydalanamiz:

A integrallarni jadvalga keltirish usullari biz siz uchun ro'yxatga kiritdik:

o'zgaruvchan almashtirish usuli;

qismlar bo'yicha birlashtirish usuli;

To'g'ridan-to'g'ri integratsiya usuli

ratsional kasrlar integrallari uchun noaniq integrallarni jadvalli integrallar bilan ifodalash usullari;

noaniq integrallarni irratsional ifodalar integrallari uchun jadvalli integrallar bilan ifodalash usullari;

trigonometrik funksiyalar uchun noaniq integrallarni jadvalli integrallar bilan ifodalash usullari.

Quvvat funksiyasining noaniq integrali

Ko'rsatkichli funktsiyaning noaniq integrali

Ammo logarifmning noaniq integrali jadvalli integral emas, uning o'rniga jadval formulasi:

Trigonometrik funksiyalarning noaniq integrallari: sinus kosinus va tangensning integrallari

Teskari trigonometrik funksiyali noaniq integrallar

Jadval ko'rinishiga qisqartirish yoki to'g'ridan-to'g'ri integratsiya usuli... Integralni bir xil o'zgartirishlar yordamida integral integralga keltiriladi, unga integrallashning asosiy qoidalari qo'llaniladi va asosiy integrallar jadvalidan foydalanish mumkin.

Misol

Mashq qilish. Integralni toping

Yechim. Biz integralning xossalaridan foydalanamiz va bu integralni jadval shakliga keltiramiz.

Javob.

Texnik jihatdan o'zgaruvchan almashtirish usuli noaniq integralda ikki usulda amalga oshiriladi:

– Funksiyani differentsial belgisi ostida keltirish. - o'zgaruvchining haqiqiy almashtirilishi.

Differensial belgisi ostida funktsiyani belgilash

2-misol

Tekshirib ko'r.

Biz integral funktsiyani tahlil qilamiz. Bu erda biz kasrga egamiz va maxraj chiziqli funktsiyadir (birinchi darajada "x" bilan). Biz integrallar jadvaliga qaraymiz va eng o'xshash narsani topamiz:.

Funktsiyani differentsial belgisi ostida keltiramiz:

Qaysi kasrni ko'paytirishni darhol aniqlash qiyin bo'lganlar, qoralamadagi differentsialni tezda aniqlashlari mumkin: Ha, hech narsa o'zgarmasligi uchun men integralni ko'paytirishim kerak. Keyinchalik, biz jadval formulasidan foydalanamiz:

Imtihon: Asl integral olinadi, ya'ni integral to'g'ri topilgan.

5-misol

Noaniq integralni toping.

Misol tariqasida men darsning boshida ko'rib chiqqan integralni oldim. Yuqorida aytganimizdek, integralni yechish uchun bizga jadvalli formula yoqdi , va men butun masalani unga qisqartirmoqchiman.

O'zgartirish usulining g'oyasi - murakkab ifodani (yoki qandaydir funksiyani) bitta harf bilan almashtiring. Bu holda, u o'zini taklif qiladi: Ikkinchi eng mashhur almashtirish xati - bu harf. Asos sifatida, boshqa harflardan foydalanish mumkin, ammo biz hali ham an'anaga sodiq qolamiz.

Shunday qilib: Ammo almashtirishda bizda hali ham bor! Ehtimol, ko'pchilik, agar yangi o'zgaruvchiga o'tish amalga oshirilsa, unda yangi integralda hamma narsa harf orqali ifodalanishi kerak va differentsial uchun joy yo'q deb taxmin qilgan. Bu sizga kerak bo'lgan mantiqiy xulosaga keladi faqat bog'liq bo'lgan ba'zi ifodaga aylanadi.

Harakat quyidagicha. Biz o'rnini topganimizdan so'ng, ushbu misolda biz differentsialni topishimiz kerak. Farqlar bilan, menimcha, hamma allaqachon do'stlikni o'rnatgan.

O'shandan beri

Differensial bilan hisob-kitobdan so'ng, men yakuniy natijani iloji boricha qisqaroq qayta yozishni maslahat beraman: Endi, mutanosiblik qoidalariga ko'ra, biz nima kerakligini ifodalaymiz:

Natijada: Shunday qilib: Va bu allaqachon eng jadvalli integraldir (integrallar jadvali tabiiy ravishda o'zgaruvchi uchun ham amal qiladi).

Xulosa qilib aytganda, teskari almashtirishni amalga oshirish qoladi. Shuni yodda tuting.

Tayyor.

Ko'rib chiqilayotgan misolning yakuniy tartibi quyidagicha ko'rinishi kerak:

“

Keling, almashtiramiz:

“

Belgida hech qanday matematik ma'no yo'q, bu biz oraliq tushuntirishlar uchun yechimni to'xtatganimizni anglatadi.

Daftarga misol yozishda oddiy qalam bilan teskari o'rnini bosish yaxshidir.

Diqqat! Quyidagi misollarda differensialni topish batafsil bayon etilmaydi.

Endi birinchi yechimni eslash vaqti keldi:

Farqi nimada? Asosiy farq yo'q. Ular aslida bir xil narsadir. Ammo vazifani loyihalash nuqtai nazaridan, funktsiyani differentsial belgi ostida olib kelish usuli ancha qisqaroq. degan savol tug'iladi. Agar birinchi usul qisqaroq bo'lsa, nega almashtirish usulini ishlatish kerak? Gap shundaki, bir qator integrallar uchun funksiyani differentsial belgisi ostida “moslash” unchalik oson emas.

Qismlar bo'yicha integratsiya. Yechimlarga misollar

Logarifmlarning integrallari

1-misol

Noaniq integralni toping.

Biz oraliq tushuntirishlar uchun yechimni to'xtatamiz.

Qismlar bo'yicha integratsiya uchun formuladan foydalanamiz:

Formula chapdan o'ngga qo'llaniladi

Biz chap tomonga qaraymiz:. Shubhasiz, bizning misolimizda (va biz ko'rib chiqadigan barcha boshqa misollarda) biror narsa uchun va biror narsa uchun belgilanishi kerak.

Ko'rib chiqilayotgan turdagi integrallardahar doim logarifm bilan belgilanadi.

Texnik jihatdan, yechimning dizayni quyidagicha amalga oshiriladi, ustunda biz yozamiz:

Ya'ni, biz logarifmni belgilagan edik va - qolgan qismi integral ifodasi.

Keyingi qadam: differentsialni toping:

Differensial hosila bilan deyarli bir xil, uni qanday topish mumkin, biz oldingi darslarda allaqachon tahlil qilgan edik.

Endi biz funktsiyani topamiz. Funktsiyani topish uchun integrallash kerak o'ng tomon past tenglik:

Endi biz yechimimizni ochamiz va formulaning o'ng tomonini quramiz:. Aytgancha, bu erda bir nechta eslatma bilan toza yechim namunasi:

Mahsulotdagi yagona lahzani men darhol joylarda qayta joylashtirdim va logarifmdan oldin multiplikatorni yozish odat tusiga kirganligi sababli.

Ko'rib turganingizdek, qismlar bo'yicha integrallash formulasini qo'llash, aslida, bizning yechimimizni ikkita oddiy integralga qisqartirdi.

E'tibor bering, ba'zi hollarda keyin darhol formulani qo'llash, qolgan integral ostida, soddalashtirish majburiy ravishda amalga oshiriladi - ko'rib chiqilayotgan misolda biz integratsiyani "x" ga kamaytirdik.

Keling, tekshiramiz. Buning uchun siz javobning hosilasini olishingiz kerak:

Asl integral olinadi, ya'ni integral to'g'ri echilgan.

Tekshiruv davomida biz mahsulotni farqlash qoidasidan foydalandik:. Va bu tasodif emas.

Qismlar formulasi bo'yicha integratsiya va formulaBir-biriga qarama-qarshi bo'lgan ikkita qoida.

Ko'rsatkichning ko'paytmali integrallari

Umumiy qoida: boshiga

5-misol

Noaniq integralni toping.

Tanish algoritmdan foydalanib, biz qismlarga birlashamiz:

Agar sizda integral bilan bog'liq qiyinchiliklar bo'lsa, maqolaga qaytishingiz kerak Noaniq integralda o'zgaruvchilarni o'zgartirish usuli.

Siz qila oladigan yagona narsa bu javobni tarashdir:

Ammo sizning hisoblash texnikangiz unchalik yaxshi bo'lmasa, unda eng foydali variant - javobni yoki hatto qoldirishdir

Ya'ni oxirgi integral olinganda misol yechilgan hisoblanadi. Bu xato bo'lmaydi, o'qituvchi javobni soddalashtirishni so'rashi mumkin bo'lgan boshqa masala.

Trigonometrik funktsiyalarning ko'phadga ko'paytiriladigan integrallari

Umumiy qoida: boshigahar doim polinom bilan belgilanadi

7-misol

Noaniq integralni toping.

Biz qismlarni birlashtiramiz:

Hmmm ... va izoh beradigan hech narsa yo'q.

Polinom o'zgarishi yoki. Bu erda darajali ko'phadlar, masalan, ifoda darajali ko'phaddir.

Aytaylik, bizda bir misol bor:

O'zgaruvchilarni almashtirish usulini qo'llaymiz. Nima uchun qabul qilish kerak deb o'ylaysiz? To'g'ri, .

Tenglama quyidagi shaklni oladi:

Biz o'zgaruvchilarning teskari o'zgarishini qilamiz:

Birinchi tenglamani yechamiz:

Biz hal qilamiz ikkinchi tenglama:

… Bu nimani anglatadi? To'g'ri! Hech qanday yechim yo'qligi.

Shunday qilib, biz ikkita javob oldik -; ...

Ko'phad bilan o'zgaruvchini o'zgartirish usulidan qanday foydalanishni tushundingizmi? Buni o'zingiz qilishni mashq qiling:

Qaror qildingizmi? Endi siz bilan diqqatga sazovor joylarni tekshiramiz.

Chunki siz olishingiz kerak.

Biz ifodani olamiz:

Kvadrat tenglamani yechib, uning ikkita ildizi borligini bilib olamiz: va.

Birinchi kvadrat tenglamaning yechimi va sonlari

Ikkinchi kvadrat tenglamaning yechimi va sonlari.

Javob: ; ; ;

Keling, xulosa qilaylik

O'zgaruvchilarni o'zgartirish usuli tenglamalar va tengsizliklardagi o'zgaruvchan o'zgarishlarning asosiy turlariga ega:

1. Quvvatni almashtirish, biz o'zimiz uchun kuchga ko'tarilgan ba'zi noma'lum narsalarni olganimizda.

2. Tarkibida noma’lum bo‘lgan butun sonli ifoda sifatida qabul qilinganda ko‘phadni almashtirish.

3. Noma'lum o'zgaruvchini o'z ichiga olgan har qanday munosabat sifatida qabul qilinganda kasrli ratsional almashtirish.

Muhim maslahat yangi o'zgaruvchini kiritishda:

1. O'zgaruvchilarni o'zgartirish darhol, imkon qadar tezroq amalga oshirilishi kerak.

2. Nisbatan yangi o'zgaruvchi uchun tenglama oxirigacha yechilishi kerak va shundan keyingina eski noma'lumga qaytish kerak.

3. Asl noma'lumga (va haqiqatan ham butun yechim bo'ylab) qaytib kelganda, ODZ uchun ildizlarni tekshirishni unutmang.

Yangi o'zgaruvchi tenglamalarda ham, tengsizliklarda ham xuddi shunday tarzda kiritiladi.

Keling, 3 ta vazifani tahlil qilaylik

3 ta savolga javoblar

1. Keling, u holda ifoda shaklni oladi.

Chunki u ham ijobiy, ham salbiy bo'lishi mumkin.

Javob:

2. Keling, u holda ifoda shaklni oladi.

beri hech qanday yechim yo'q.

Javob:

3. Guruhlash orqali biz quyidagilarni olamiz:

Keling, keyin ifoda shaklni oladi
.

Javob:

O'ZGARCHILARNI ALMASHI. O'RTACHA DARAJASI.

O'zgaruvchilarning o'zgarishi- bu tenglama yoki tengsizlik oddiyroq shaklga ega bo'lgan yangi noma'lumning kiritilishi.

Men almashtirishning asosiy turlarini sanab o'taman.

Quvvatni almashtirish

Quvvatni almashtirish.

Masalan, almashtirish yordamida bikvadrat tenglama kvadratga keltiriladi:.

Tengsizliklarda hamma narsa o'xshash.

Masalan, tengsizlikda biz almashtirishni amalga oshiramiz va kvadrat tengsizlikni olamiz:.

Misol (o'zingiz qaror qiling):

Yechim:

Bu kasrli ratsional tenglama (takrorlash), lekin uni odatiy usul bilan (umumiy maxrajga kamaytirish) yechish noqulay, chunki biz daraja tenglamasini olamiz, shuning uchun o'zgaruvchilarning o'zgarishi qo'llaniladi.

O'zgartirishdan keyin hamma narsa ancha osonlashadi:. Keyin:

Endi qilamiz teskari almashtirish:

Javob: ; ...

Polinom o'zgarishi

Polinomni almashtirish yoki.

Bu erda darajali polinom, ya'ni. kabi ifoda

(masalan, ifoda darajali ko'phad, ya'ni).

Ko'pincha kvadrat trinomialni almashtirish ishlatiladi: yoki.

Misol:

Tenglamani yeching.

Yechim:

Va yana o'zgaruvchan almashtirish ishlatiladi.

Keyin tenglama quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi:

Bu kvadrat tenglamaning ildizlari: va.

Bizda ikkita holat bor. Keling, ularning har biri uchun teskari almashtirishni amalga oshiramiz:

Bu shuni anglatadiki, bu tenglamaning ildizlari yo'q.

Bu tenglamaning ildizlari: va.

Javob. ...

Kasrli ratsional almashtirish

Fraksiyonel ratsional almashtirish.

va navbati bilan darajali polinomlar va.

Masalan, takroriy tenglamalarni, ya'ni ko'rinishdagi tenglamalarni yechishda

odatda almashtirish ishlatiladi.

Endi men sizga bu qanday ishlashini ko'rsataman.

Bu tenglamaning ildizi nima emasligini tekshirish oson: axir, agar uni tenglamaga almashtirsak, shartga zid keladigan natijaga erishamiz.

Tenglamani quyidagilarga ajrating:

Keling, qaytadan birlashaylik:

Endi biz almashtirishni amalga oshiramiz:.

Uning go'zalligi shundaki, atamalarning qo'sh ko'paytmasi kvadratiga aylantirilganda, x bekor qilinadi:

Demak, bundan kelib chiqadi.

Keling, tenglamamizga qaytaylik:

Endi kvadrat tenglamani yechish va teskari almashtirishni bajarish kifoya.

Misol:

Tenglamani yeching:.

Yechim:

Chunki tenglik qanoatlanmaydi, shuning uchun. Tenglamani quyidagilarga ajrating:

Tenglama quyidagi shaklda bo'ladi:

Uning ildizlari:

Keling, teskari almashtirishni amalga oshiramiz:

Olingan tenglamalarni yechamiz:

Javob: ; ...

Yana bir misol:

Tengsizlikni yeching.

Yechim:

To'g'ridan-to'g'ri almashtirish orqali biz bu tengsizlikning yechimiga kiritilmaganligini ko'ramiz. Har bir kasrning soni va maxrajini quyidagicha bo'ling:

O'zgaruvchan almashtirish endi aniq:.

Keyin tengsizlik quyidagi shaklni oladi:

Y ni topish uchun interval usulidan foydalanamiz:

hammaning oldida, chunki

Demak, tengsizlik quyidagiga ekvivalentdir:

hammaning oldida, chunki.

Demak, tengsizlik quyidagiga ekvivalentdir:.

Shunday qilib, tengsizlik umumiylikka ekvivalent bo'lib chiqadi:

Javob: .

O'zgaruvchilarning o'zgarishi- tenglama va tengsizliklarni yechishning eng muhim usullaridan biri.

Va nihoyat, men sizga bir nechta muhim maslahatlarni beraman:

O'ZGARCHILARNI ALMASHI. XULOSA VA ASOSIY FORMULALAR.

O'zgaruvchilarning o'zgarishi- murakkab tenglamalar va tengsizliklarni yechish usuli, bu asl ifodani soddalashtirish va uni standart shaklga keltirish imkonini beradi.

O'zgaruvchan almashtirish turlari:

Quvvatni almashtirish: ba'zi noma'lum uchun, kuchga ko'tarilgan -.
Fraksiyonel ratsional almashtirish: noma'lum o'zgaruvchini o'z ichiga olgan har qanday munosabat quyidagicha qabul qilinadi - , bu yerda va mos ravishda n va m darajali polinomlar.
Polinomni almashtirish: noma'lumni o'z ichiga olgan butun son ifodasi sifatida qabul qilinadi yoki, bu erda darajali ko'phad.

Soddalashtirilgan tenglama/tengsizlikni yechgandan so'ng, teskari almashtirishni amalga oshirish kerak.

Biz umumiy holatni - noaniq integraldagi o'zgaruvchilarni o'zgartirish usulini ko'rib chiqishga murojaat qilamiz.

5-misol

Misol tariqasida darsning boshida ko'rib chiqqan integralni olaylik. Yuqorida aytganimizdek, integralni yechish uchun bizga jadvalli formula yoqdi ,

va men butun masalani unga qisqartirishni xohlayman.

O'zgartirish usulining g'oyasi - murakkab ifodani (yoki qandaydir funksiyani) bitta harf bilan almashtiring.

Bunday holda, u iltimos qiladi:

Ikkinchi eng mashhur almashtirish xati - bu xat z... Asos sifatida, boshqa harflardan foydalanish mumkin, ammo biz hali ham an'anaga sodiq qolamiz.

Lekin almashtirishda biz hali ham bor dx! Ehtimol, ko'pchilik, agar yangi o'zgaruvchiga o'tish amalga oshirilsa, deb taxmin qilgan t, keyin yangi integralda hamma narsa harf orqali ifodalanishi kerak t, va differentsial dx umuman joy yo'q. Bundan mantiqiy xulosa kelib chiqadi dx zarur faqat bog'liq bo'lgan ba'zi ifodaga aylanadit.

Harakat quyidagicha. Biz o'rnini topganimizdan so'ng, ushbu misolda - bu, biz differentsialni topishimiz kerak dt.

Endi, mutanosiblik qoidalariga ko'ra, biz ifodalaymiz dx:

Shunday qilib:

Va bu allaqachon eng jadvalli integraldir

(integrallar jadvali tabiiy ravishda o'zgaruvchi uchun ham amal qiladi t).

Xulosa qilib aytganda, teskari almashtirishni amalga oshirish qoladi. Shuni yodda tuting.

Ko'rib chiqilayotgan misolning yakuniy tartibi quyidagicha ko'rinishi kerak:

Keling, almashtiramiz:, keyin

Belgida hech qanday matematik ma'no yo'q, bu biz oraliq tushuntirishlar uchun yechimni to'xtatganimizni anglatadi.

Daftarga misol yozishda oddiy qalam bilan teskari o'rnini bosish yaxshidir.

Diqqat! Keyingi misollarda yangi o'zgaruvchining differentsialini topish batafsil bayon etilmaydi.

Birinchi yechimni eslang:

Farqi nimada? Asosiy farq yo'q. Ular aslida bir xil narsadir.

Ammo, vazifani loyihalash nuqtai nazaridan, funktsiyani differentsial belgi ostida olib kelish usuli ancha qisqaroq.

6-misol

Noaniq integralni toping.

Keling, almashtiramiz:

;

Ko'rib turganingizdek, almashtirish natijasida asl integral ancha soddalashdi - oddiy quvvat funktsiyasiga qisqartirildi. Bu almashtirishning maqsadi - integralni soddalashtirish.

Dangasa ilg'or odamlar bu integralni differensial belgisi ostida funktsiyani qo'yish orqali osongina yechishlari mumkin:

7-misol

Noaniq integralni toping

Tekshirib ko'r.

8-misol

Noaniq integralni toping.

Yechim: Biz almashtirishni amalga oshiramiz:.

Nima bo'lishini bilish qoladi xdx? Vaqti-vaqti bilan, integrallarni echishda quyidagi hiyla sodir bo'ladi: x biz bir xil almashtirishdan ifodalaymiz:

9-misol

Noaniq integralni toping.

Bu o'z-o'zidan hal qilish uchun misol. Javob dars oxirida.

10-misol

Noaniq integralni toping.

Albatta, ba'zilar qidirish jadvalida o'zgaruvchan almashtirish qoidasi yo'qligini payqashdi. Bu ataylab qilingan. Qoida tushuntirish va tushunishni chalkashtirib yuboradi, chunki u yuqoridagi misollarda aniq ko'rinmaydi.

F funktsiyalar ishda emas, balki boshqa kombinatsiyada bo'lishi mumkin.

Shu munosabat bilan integrallarni topishda ko'pincha hosilalar jadvaliga qarashga to'g'ri keladi.

Ushbu 10-misolda hisobning darajasi maxrajning darajasidan bir kam bo'lganligiga e'tibor bering. Hosilalar jadvalida biz darajani bir marta pasaytiradigan formulani topamiz. Demak, bilan belgilasak t maxraj bo'lsa, u holda sanoqchi bo'lish ehtimoli yaxshi xdx yaxshi narsaga aylanadi:

O'zgartirish: .

Aytgancha, bu erda funktsiyani differentsial belgi ostida olib kelish unchalik qiyin emas:

Shuni ta'kidlash kerakki, kabi kasrlar uchun bunday hiyla endi ishlamaydi (aniqrog'i, nafaqat almashtirish texnikasini qo'llash kerak bo'ladi).

Darsda ba'zi kasrlarni integrallashni o'rganishingiz mumkin. Murakkab kasrlarni integrallash... Xuddi shu usulni mustaqil hal qilish uchun bir nechta tipik misollar.

11-misol

Noaniq integralni toping

12-misol

Noaniq integralni toping

Dars oxiridagi yechimlar.

13-misol

Noaniq integralni toping

Biz hosilalar jadvaliga qaraymiz va arkkosinamizni topamiz: , chunki bizda teskari kosinus va integranda uning hosilasiga o'xshash narsa bor.

Umumiy qoida:

Per t funktsiyaning o'zini belgilang(va uning hosilasi emas).

Ushbu holatda: . Qolgan integrand nimaga aylanishini aniqlash qoladi

Ushbu misolda topish d t Biz batafsil yozamiz, chunki bu murakkab funktsiya:

Yoki qisqasi:

Proportsional qoidaga ko'ra, bizga kerak bo'lgan qoldiqni ifodalaymiz: .

Shunday qilib:

14-misol

Noaniq integralni toping.

Mustaqil yechim uchun misol. Javob juda yaqin.

Aqlli o'quvchilar biz trigonometrik funktsiyalar bilan bir nechta misollarni ko'rib chiqqanimizni payqashdi. Va bu tasodifiy emas, chunki ostida va Trigonometrik funksiyalarning integrallari alohida darslar 7.1.5, 7.1.6, 7.1.7 ajratilgan. Bundan tashqari, o'zgaruvchini o'zgartirish bo'yicha ba'zi foydali ko'rsatmalar quyida keltirilgan, bu har doim ham bo'lmagan va ma'lum bir integralda qanday almashtirish kerakligini darhol tushunmaydigan dummilar uchun juda muhimdir. Shuningdek, almashtirishning ayrim turlarini 7.2-moddada topish mumkin.

Ko'proq tajribali talabalar odatdagi almashtirish bilan tanishishlari mumkin irratsional funksiyali integrallarda

12-misol: Yechish:

Keling, almashtiramiz:

14-misol: Yechish:

Keling, almashtiramiz: